Az eseményeket függetlennek nevezzük, ha. Függő és független véletlenszerű események. Teljes valószínűségi képlet

Az események függőségét abban értjük valószínűségiértelemszerűen, nem funkcionálisan. Ez azt jelenti, hogy az egyik megjelenése után függő események lehetetlen egyértelműen megítélni egy másik megjelenését. A valószínűségi függés azt jelenti, hogy az egyik függő esemény bekövetkezése csak a másik bekövetkezésének valószínűségét változtatja meg. Ha a valószínűség nem változik, akkor az eseményeket függetlennek tekintjük.

Meghatározás: Legyen - tetszőleges valószínűségi tér, - néhány véletlenszerű esemény. Azt mondják esemény DE nem függ az eseménytől NÁL NÉL , ha azt feltételes valószínűség egybeesik a feltétel nélküli valószínűséggel:

.

Ha egy , akkor azt mondjuk, hogy az esemény DE esemény függő NÁL NÉL.

A függetlenség fogalma szimmetrikus, vagyis ha egy esemény DE nem függ az eseménytől NÁL NÉL, majd az esemény NÁL NÉL nem függ az eseménytől DE. Valóban, hagyjuk . Akkor . Ezért egyszerűen azt mondják, hogy az események DEés NÁL NÉL független.

Az események függetlenségének alábbi szimmetrikus definíciója a valószínűségek szorzásának szabályából következik.

Meghatározás: Fejlesztések DEés NÁL NÉL, ugyanazon a valószínűségi téren definiált hívják független, ha

Ha egy , majd az eseményeket DEés NÁL NÉL hívott függő.

Vegye figyelembe, hogy ez a meghatározás akkor is érvényes, amikor vagy .

A független események tulajdonságai.

1. Ha események DEés NÁL NÉL függetlenek, akkor a következő eseménypárok is függetlenek: .

▲ Bizonyítsuk be például az események függetlenségét . Képzelj el egy eseményt DE mint: . Mivel az események összeférhetetlenek, akkor , és az események függetlensége miatt DEés NÁL NÉL azt kapjuk. Tehát ami függetlenséget jelent. ■

2. Ha az esemény DE nem függ az eseményektől AZ 1-BENés IN 2, amelyek nem kompatibilisek () , azt az eseményt DE nem függ az összegtől.

▲ Valóban, az esemény valószínűségének és függetlenségének additivitásának axiómáját használva DE eseményekből AZ 1-BENés IN 2, nekünk van:

A függetlenség és az összeférhetetlenség fogalmának kapcsolata.

Hadd DEés NÁL NÉL- minden olyan esemény, amelynek a valószínűsége nem nulla: , tehát . Ha az események DEés NÁL NÉL következetlenek (), és ezért az egyenlőség soha nem valósulhat meg. Ily módon összeférhetetlen események függőek.

Ha kettőnél több eseményt veszünk figyelembe egyidejűleg, ezek páronkénti függetlensége nem jellemzi kellőképpen az egész csoport eseményei közötti kapcsolatot. Ebben az esetben a függetlenség fogalma az aggregátumban kerül bevezetésre.

Meghatározás: Az ugyanazon a valószínűségi téren meghatározott események meghívása kollektíven független, ha van ilyen 2 £ m £ nés az indexek bármely kombinációja egyenlő:

Nál nél m = 2 a függetlenség az aggregátumban az események páronkénti függetlenségét jelenti. Ennek a fordítottja nem igaz.

Példa. (Bernstein S.N.)

Egy véletlenszerű kísérlet egy szabályos tetraéder (tetraéder) feldobásából áll. Van egy arc, ami fentről lefelé kiesett. A tetraéder lapjai a következő színűek: 1. lap - fehér, 2. lap - fekete,
3 arc - piros, 4 arc - minden színt tartalmaz.

Vegye figyelembe az eseményeket:

DE= (Lemorzsolódás fehér szín}; B= (Fekete kiesés);

C= (Piros kiesés).

Akkor ;

Ezért az események DE, NÁL NÉLés TÓL TŐL páronként függetlenek.

Azonban, .

Ezért események DE, NÁL NÉLés TÓL TŐL együttesen nem függetlenek.

A gyakorlatban az események függetlenségét általában nem definíciós ellenőrzéssel állapítják meg, hanem fordítva: az eseményeket minden külső megfontolástól függetlennek vagy a körülmények figyelembevételével tekintik. véletlenszerű kísérlet, és használja a függetlenséget az események előidézésének valószínűségének meghatározásához.

Tétel (független események valószínűségeinek szorzatai).

Ha az ugyanazon a valószínűségi téren meghatározott események az aggregátumban függetlenek, akkor szorzatuk valószínűsége megegyezik a valószínűségek szorzatával:

▲ A tétel bizonyítása az aggregált események függetlenségének meghatározásából vagy az általános valószínűségi szorzási tételből következik, figyelembe véve, hogy ebben az esetben

1. példa (tipikus példa feltételes valószínűségek megállapítására, a függetlenség fogalma, a valószínűség-összeadás tétele).

Az elektromos áramkör három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodási valószínűsége rendre egyenlő .

1) Határozza meg az áramkör meghibásodásának valószínűségét!

2) Ismeretes, hogy az áramkör meghibásodott.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy meghiúsul:

a) 1. elem; b) 3. elem?

Megoldás. Vegye figyelembe az eseményeket = (Sikertelen k elem), és az esemény DE= (A séma meghiúsult). Aztán az esemény DE formában jelenik meg:

.

1) Mivel a és események nem összeférhetetlenek, ezért az Р3) valószínűség additív axiómája nem alkalmazható, és a valószínűség meghatározásához az általános valószínűségi összeadás tételt kell használni, amely szerint

Legyen egy esemény valószínűsége NÁL NÉL nem függ az esemény bekövetkezésétől DE.

Meghatározás. Esemény NÁL NÉL hívott az eseménytől függetlenül A ha az esemény bekövetkezése DE nem változtatja meg az esemény valószínűségét NÁL NÉL, azaz ha az esemény feltételes valószínűsége NÁL NÉL egyenlő annak feltétlen valószínűségével:

R A(NÁL NÉL) = R(NÁL NÉL). (2.12)

Ha (2.12) behelyettesítjük a (2.11) relációba, azt kapjuk

R(DE)R(NÁL NÉL) = R(NÁL NÉL)R B(DE).

R B(DE) = R(DE),

azok. egy esemény feltételes valószínűsége DE feltételezve, hogy esemény történt NÁL NÉL, egyenlő annak feltétlen valószínűségével. Más szóval az esemény DE nem függ az eseménytől B.

Lemma (az események kölcsönös függetlenségéről): ha esemény NÁL NÉL nem függ az eseménytől DE, majd az esemény DE nem függ az eseménytől NÁL NÉL; ez azt jelenti az események kölcsönös függetlenségének tulajdonsága.

Független eseményekre a szorzási tétel R(AB) = R(DE) R A(NÁL NÉL) alakja van

R(AB) = R(DE) R(NÁL NÉL), (2.13)

azok. két független esemény együttes előfordulásának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával.

Az egyenlőség (2.13) a független események definíciója. Két eseményt függetlennek mondunk, ha az egyik esemény bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét.

Meghatározás. Két eseményt hívnak független, ha ezek kombinációjának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával; egyébként az eseményeket ún függő.

A gyakorlatban az események függetlenségét a probléma jelentése szerint zárják le. Például annak a valószínűsége, hogy a két fegyver mindegyikével eltalál egy célt, nem függ attól, hogy a másik fegyver eltalálta-e a célt, így az „első fegyver eltalálta a célt” és a „második fegyver eltalálta a célt” események függetlenek.

Példa. Határozza meg annak valószínűségét, hogy két fegyver együttesen találja el a célt, ha annak valószínűsége, hogy az első fegyver eltalálja a célt (esemény DE) egyenlő 0,8-cal, a második pedig (az esemény NÁL NÉL) – 0,7.

Megoldás. Fejlesztések DEés NÁL NÉL független tehát a szorzási tétel által a kívánt valószínűség

R(AB) = R(DE)R(NÁL NÉL) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Megjegyzés 1. Ha események DEés NÁL NÉL függetlenek, akkor az események is függetlenek. DEésés NÁL NÉL, és . Igazán,

Következésképpen,

, vagy .

, vagy .

azok. fejlesztéseket DEés NÁL NÉL független.

Az események függetlensége és NÁL NÉL, és a bizonyított állítás következménye.

A függetlenség fogalma kiterjeszthető az esetre n eseményeket.

Meghatározás. Számos rendezvényt hívnak páronként független ha mindegyikük független. Például események DE, NÁL NÉL, TÓL TŐL páronként független, ha az események függetlenek DEés NÁL NÉL, DEés TÓL TŐL, NÁL NÉLés TÓL TŐL.

Annak érdekében, hogy a szorzási tételt több eseményre általánosítsuk, bevezetjük az események összesített függetlenségének fogalmát.

Meghatározás. Több rendezvényt ún kollektíven független(vagy egyszerűen független), ha mind a kettő független, és a többi minden esemény és minden lehetséges terméke független. Például ha az események DE 1 , A 2 , DE 3 összességében függetlenek, akkor az események függetlenek DE 1 és A 2 , DE 1 és DE 3 , A 2 és DE 3 ; DE 1 és A 2 DE 3 , A 2 és DE 1 DE 3 , DE 3 és DE 1 A 2. Az elmondottakból az következik, hogy ha az események összességében függetlenek, akkor a köztük lévő bármely esemény bekövetkezésének feltételes valószínűsége, amelyet abból a feltételezésből számítunk, hogy a többi esemény közül bármely más esemény bekövetkezett, egyenlő feltétlen valószínűsége.

Hangsúlyozzuk, hogy ha több esemény páronként független, akkor az összesített függetlenségük ebből még nem következik. Ebben az értelemben az események összesített függetlenségének követelménye erősebb, mint a páronkénti függetlenségük követelménye.

Magyarázzuk meg egy példával az elhangzottakat. Tegyük fel, hogy 4 golyó van az urnában, színesek: az egyik piros ( DE), egy - kékben ( NÁL NÉL), egy - fekete ( TÓL TŐL) és egy - ebben a három színben ( ABC). Mennyi annak a valószínűsége, hogy az urnából kihúzott labda piros?

Mivel a négy golyó közül kettő piros, akkor R(DE) = 2/4 = 1/2. Hasonlóan érvelve azt találjuk R(NÁL NÉL) = 1/2, R(TÓL TŐL) = 1/2. Most tegyük fel, hogy az elvett labda kék, azaz. esemény NÁL NÉL már megtörtént. Megváltozik-e annak a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó piros, pl. Megváltozik egy esemény valószínűsége? DE? A két kék golyó közül az egyik piros is, tehát az esemény valószínűsége az DE még mindig 1/2. Más szóval egy esemény feltételes valószínűsége DE, amelyet abból a feltételezésből számítanak ki, hogy egy esemény megtörtént NÁL NÉL, egyenlő annak feltétlen valószínűségével. Ezért az események DEés NÁL NÉL független. Hasonlóképpen arra a következtetésre jutunk, hogy az események DEés TÓL TŐL, NÁL NÉLés TÓL TŐL független. Tehát az események DE, NÁL NÉLés TÓL TŐL páronként függetlenek.

Ezek az események összességében függetlenek? Kiderült, hogy nem. Valóban, legyen a kihúzott labdának két színe, például kék és fekete. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a golyó is piros? Mindhárom színben csak egy golyó van színezve, így a befogott labda is piros. Így, feltételezve, hogy az események NÁL NÉLés TÓL TŐL történt, arra a következtetésre jutottunk, hogy az esemény DE biztosan eljön. Ezért ez az esemény megbízható, és a valószínűsége egyenlő eggyel. Más szóval a feltételes valószínűség R BC(DE)= 1 esemény DE nem egyenlő annak feltétlen valószínűségével R(DE) = 1/2. Tehát páronként független események DE, NÁL NÉL, TÓL TŐL nem kollektíven függetlenek.

Most bemutatjuk a szorzási tétel következményét.

Következmény. Több, aggregáltan független esemény együttes előfordulásának valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával:

Bizonyíték. Nézzünk három eseményt: DE, NÁL NÉLés TÓL TŐL. Események kombinációja DE, NÁL NÉLés TÓL TŐL események kombinációjával egyenértékű ABés TÓL TŐL, ezért

R(ABC) = R(AB×C).

Az események óta DE, NÁL NÉLés TÓL TŐLösszességében függetlenek, akkor különösen függetlenek az események ABés TÓL TŐL, szintén DEés NÁL NÉL. Két független esemény szorzási tétele alapján a következőt kapjuk:

R(AB×C) = R(AB)R(TÓL TŐL) és R(AB) = R(DE)R(NÁL NÉL).

Szóval végre megérkeztünk

R(ABC) = R(DE)R(NÁL NÉL)R(TÓL TŐL).

Egy önkényesnek n a bizonyítást a matematikai indukció módszerével végezzük.

Megjegyzés. Ha események DE 1 , DE 2 , ...,A n aggregátumban függetlenek, akkor az ellentétes események is függetlenek az aggregátumban.

Példa. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer együtt jelenik meg két pénzérme feldobásakor!

Megoldás. Az első érme címerének megjelenésének valószínűsége (esemény DE)

R(DE) = 1/2.

A második érme címerének megjelenésének valószínűsége (esemény NÁL NÉL)

R(NÁL NÉL) = 1/2.

Fejlesztések DEés NÁL NÉL független, így a szorzási tétel által kívánt valószínűség egyenlő

R(AB) = R(DE)R(NÁL NÉL) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Példa. 3 doboz van, amelyek 10 alkatrészt tartalmaznak. Az első fiók 8, a második fiók 7 és a harmadik fiók 9 szabványos alkatrészt tartalmaz. Minden dobozból véletlenszerűen egy elem kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindhárom kivett alkatrész szabványos.

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy a szabványos alkatrészt az első dobozból (az esemény DE),

R(DE) = 8/10 = 0,8.

Annak a valószínűsége, hogy a második dobozból (az esemény NÁL NÉL),

R(NÁL NÉL) = 7/10 = 0,7.

Annak a valószínűsége, hogy a harmadik dobozból (az esemény TÓL TŐL),

R(TÓL TŐL) = 9/10 = 0,9.

Az események óta DE, NÁL NÉLés TÓL TŐL független az aggregátumban, akkor a kívánt valószínűség (a szorzási tétel szerint) egyenlő

R(ABC) = R(DE)R(NÁL NÉL)R(TÓL TŐL) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504.

Adjunk példát az összeadási és szorzási tétel együttes alkalmazására.

Példa. Három független esemény előfordulásának valószínűsége DE 1 , DE 2 , DE 3 rendre egyenlő R 1 , R 2 , R 3. Határozza meg ezen események közül csak egy bekövetkezésének valószínűségét.

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy például a megjelenés csak első esemény DE 1 egyenértékű egy esemény megjelenésével (az első megjelent, a második és a harmadik esemény nem jelent meg). Bemutatjuk a jelölést:

B 1 - csak esemény jelent meg DE 1 , azaz ;

B 2 – csak esemény jelent meg DE 2 , azaz ;

B 3 – csak esemény jelent meg DE 3 , azaz .

Így csak az egyik esemény bekövetkezésének valószínűségét kell megtalálni DE 1 , DE 2 , DE 3 , meg fogjuk keresni a valószínűséget P(B 1 + B 2 + NÁL NÉL 3) az egyik megjelenése, függetlenül attól, hogy az események közül melyik NÁL NÉL 1 , NÁL NÉL 2 , NÁL NÉL 3 .

Az események óta NÁL NÉL 1 , NÁL NÉL 2 , NÁL NÉL 3 inkonzisztens, akkor az összeadási tétel érvényes

P(B 1 + B 2 + NÁL NÉL 3) = R(NÁL NÉL 1) + R(NÁL NÉL 2) + R(NÁL NÉL 3). (*)

Továbbra is meg kell találni az egyes események valószínűségét NÁL NÉL 1 , NÁL NÉL 2 , NÁL NÉL 3. Fejlesztések DE 1 , DE 2 , DE 3 függetlenek, ezért az események függetlenek, ezért a szorzási tétel vonatkozik rájuk

Hasonlóképpen,

Ezeket a valószínűségeket (*-ba) behelyettesítve csak az egyik esemény bekövetkezésének kívánt valószínűségét kapjuk meg. DE 1 , DE 2 , DE 3.

Valószínűség-definíciók

Klasszikus meghatározás

A valószínűség klasszikus "definíciója" a fogalomból származik esélyegyenlőség mint a vizsgált jelenségek objektív tulajdonsága. Az ekvivalencia egy meghatározhatatlan fogalom, és a vizsgált jelenségek szimmetriájának általános megfontolások alapján jön létre. Például egy érme feldobásakor azt feltételezzük, hogy az érme feltételezett szimmetriája, az anyag homogenitása és a feldobás véletlenszerűsége (nem torzítottsága) miatt nincs ok a „farok” előnyben részesítésére. „sasok” vagy fordítva, vagyis ezen oldalak elvesztése egyformán valószínűnek (equiprobable) tekinthető.

Az általános esetben a kiegyenlítődési valószínűség fogalma mellett a klasszikus definíció megköveteli az elemi esemény (eredmény) fogalmát is, amely a vizsgált A eseménynek kedvez vagy nem.. Olyan kimenetelekről beszélünk, amelyek bekövetkezése kizárja annak lehetőségét. egyéb következmények előfordulásáról. Ezek összeférhetetlen elemi események. Például dobáskor dobókocka Egy adott szám eldobása kizárja a többi szám eldobását.

A valószínűség klasszikus definíciója a következőképpen fogalmazható meg:

Egy véletlenszerű esemény valószínűsége A a szám arányának nevezzük n az eseményt alkotó összeférhetetlen, egyformán valószínű elemi események A , az összes lehetséges elemi esemény számához N :

Tegyük fel például, hogy két kockával dobunk fel. Az egyformán lehetséges kimenetelek (elemi események) teljes száma nyilvánvalóan 36 (6 lehetőség minden kockán). Becsülje meg a 7 pont megszerzésének valószínűségét! 7 pont a következő módokon szerezhető: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Ez azt jelenti, hogy csak 6 egyformán valószínű kimenetel van, amely kedvez az A eseménynek – 7 pont. Ezért a valószínűség 6/36=1/6 lesz. Összehasonlításképpen a 12 vagy 2 pont megszerzésének valószínűsége csak 1/36-6-szor kisebb.

Geometriai meghatározás

Annak ellenére, hogy a klasszikus definíció intuitív és gyakorlatból származik, legalábbis nem alkalmazható közvetlenül, ha az egyformán lehetséges kimenetelek száma végtelen. A végtelen számú lehetséges kimenet szemléletes példája egy korlátozott G geometriai tartomány, például egy síkon, S területtel. Egy véletlenszerűen „eldobott” „pont” azonos valószínűséggel a tartomány bármely pontján lehet. A probléma annak meghatározása, hogy egy pont mekkora valószínűséggel esik valamilyen s területű g altartományba. Ebben az esetben, általánosítva a klasszikus definíciót, az altartományba kerülés valószínűségének geometriai definíciójához juthatunk:

Az egyenlő lehetőségre tekintettel ez a valószínűség nem függ a g régió alakjától, csak a területétől. Ez a meghatározás természetesen általánosítható bármilyen dimenziójú térre, ahol a terület helyett a „térfogat” fogalmát használjuk. Ráadásul ez a meghatározás vezet a valószínűség modern axiomatikus definíciójához. A térfogat fogalmát általánosítjuk valamilyen elvont halmaz "mértéke" fogalmára, amelyhez a követelményeket támasztják, ami a geometriai értelmezésben a "térfogat" is megvan - mindenekelőtt ezek a nem-negativitás és az additivitás.

Gyakoriság (statisztikai) meghatározás

A klasszikus definíció összetett problémák mérlegelésekor leküzdhetetlen természetű nehézségekbe ütközik. Különösen bizonyos esetekben előfordulhat, hogy nem lehet azonosan valószínű eseteket azonosítani. Mint ismeretes, még egy érme esetében is nyilvánvalóan nem egyformán valószínű egy "él" kiesésének lehetősége, ami elméleti megfontolások alapján nem becsülhető meg (csak azt lehet mondani, hogy nem valószínű, és ez a megfontolás inkább gyakorlatias ). Ezért a valószínűségelmélet kialakulásának hajnalán a valószínűség egy alternatív "gyakorisági" definícióját javasolták. Formálisan ugyanis a valószínűség az A esemény megfigyelési gyakoriságának határaként definiálható, feltételezve a megfigyelések homogenitását (vagyis az összes megfigyelési feltétel azonosságát) és egymástól való függetlenségét:

ahol a megfigyelések száma, és az esemény előfordulásának száma .

Annak ellenére, hogy ez a definíció inkább egy ismeretlen valószínűség becslésének módját jelöli - nagyszámú homogén és független megfigyelés segítségével -, ez a meghatározás mégis tükrözi a valószínűség fogalmának tartalmát. Ugyanis, ha egy eseményhez egy bizonyos valószínűséget tulajdonítunk, annak lehetőségének objektív mérőszámaként, akkor ez azt jelenti, hogy rögzített feltételek mellett, többszöri ismétlődés esetén közeli előfordulási gyakoriságot kell kapnunk (minél közelebb, annál több megfigyelés). Valójában ez a valószínűség fogalmának eredeti jelentése. A természeti jelenségek objektivista szemléletén alapul. Az alábbiakban az úgynevezett törvények találhatók nagy számok, amelyek elméleti alapot adnak (az alábbiakban bemutatott modern axiomatikus megközelítés keretein belül), beleértve a valószínűség gyakorisági becslését is.

Axiomatikus definíció

A modern matematikai megközelítésben a valószínűséget az adja Kolmogorov axiomatikája. Feltételezhető, hogy néhány elemi események tere. Ennek a térnek a részhalmazait úgy értelmezzük véletlenszerű események. Egyes részhalmazok (események) egyesülése (összege) olyan eseményként értelmezhető, amely az előfordulásból áll. legalább egy ezektől az eseményektől. A részhalmazok (események) metszéspontja (szorzata) olyan eseményként értelmezendő, amely az előfordulásból áll. összes ezeket az eseményeket. A diszjunkt halmazokat úgy értelmezzük összeegyeztethetetlen események (közös offenzívájuk lehetetlen). Ennek megfelelően az üres halmaz azt jelenti lehetetlen esemény.

Valószínűség ( valószínűségi mérték) nak, nek hívják intézkedés(numerikus függvény), amely az események halmazán van definiálva, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Ha az elemi események tere X biztosan, akkor tetszőleges két inkompatibilis eseményre elegendő a megadott additív feltétel, amelyből az additivitás következik bármely végső az összeférhetetlen események száma. Az elemi események végtelen (megszámlálható vagy megszámlálhatatlan) tere esetén azonban ez a feltétel nem elegendő. Az úgynevezett megszámlálható vagy szigma additív, vagyis az additív tulajdonság teljesülése bármely nem több, mint megszámlálható páronként összeférhetetlen események családjai. Erre azért van szükség, hogy biztosítsuk a valószínűségi mérőszám „folytonosságát”.

Előfordulhat, hogy a valószínűségi mérték nem definiálható a halmaz összes részhalmazához. Feltételezhető, hogy egyeseknél definiálva van szigma algebra részhalmazok . Ezeket a részhalmazokat ún mérhető egy adott valószínűségi mérték szerint, és ezek véletlenszerű események. A halmazt - vagyis az elemi események halmazát, részhalmazainak szigma-algebráját és a valószínűségi mértéket - ún. valószínűségi tér.

Folyamatos valószínűségi változók. A diszkrét valószínűségi változókon kívül, amelyek lehetséges értékei véges vagy végtelen számsort alkotnak, amelyek nem töltenek ki teljesen egyetlen intervallumot sem, gyakran vannak olyan valószínűségi változók, amelyek lehetséges értékei egy bizonyos intervallumot alkotnak. Ilyen valószínűségi változó például egy megfelelően kialakított technológiai eljárás mellett egy adott méretű alkatrész névértékétől való eltérés. Az ilyen valószínűségi változók nem adhatók meg a valószínűségi eloszlási törvény segítségével p(x). Ezek azonban megadhatók a valószínűségi eloszlásfüggvénnyel F(x). Ez a függvény pontosan ugyanúgy definiálható, mint egy diszkrét valószínűségi változó esetében:

Így itt is a függvény F(x) az egész szám tengelyén van meghatározva, és annak értéke a pontban x egyenlő annak a valószínűségével, hogy a valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint x. A (19) képlet és az 1° és 2° tulajdonságok bármely valószínűségi változó eloszlásfüggvényére érvényesek. A bizonyítást a diszkrét mennyiséghez hasonlóan hajtjuk végre. A valószínűségi változót ún folyamatos, ha létezik nemnegatív darabonként folytonos függvény*, amely bármely értékre kielégít x egyenlőség

Az integrál mint terület geometriai jelentése alapján azt mondhatjuk, hogy az egyenlőtlenségek teljesülésének valószínűsége megegyezik egy görbe vonalú trapéz alapterületével. felül görbe határolja (6. ábra).

óta, és a (22) képlet alapján

Figyeljük meg, hogy folytonos valószínűségi változó esetén az eloszlásfüggvény F(x) bármely ponton folyamatos x, ahol a függvény folytonos. Ez abból következik, hogy F(x) ezeken a pontokon differenciálható. A (23) képlet alapján, feltételezve x 1 =x, , nekünk van

A funkció folytonossága miatt F(x) azt kapjuk

Következésképpen

Ily módon annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó felveheti az x tetszőleges értékét, nulla. Ebből az következik, hogy az egyes egyenlőtlenségek beteljesüléséből álló események

Ugyanolyan valószínűségűek, pl.

Valóban, pl.

mert Megjegyzés. Mint tudjuk, ha egy esemény lehetetlen, akkor bekövetkezésének valószínűsége nulla. A valószínűség klasszikus definíciójában, amikor a teszteredmények száma véges, akkor a fordított állítás is érvényesül: ha egy esemény valószínűsége nulla, akkor az esemény lehetetlen, mivel ebben az esetben egyik teszteredmény sem kedvez neki. Folytonos valószínűségi változó esetén a lehetséges értékeinek száma végtelen. Annak a valószínűsége, hogy ez az érték felvesz egy adott értéket x 1 mint láttuk, egyenlő nullával. Ebből azonban nem következik, hogy ez az esemény lehetetlen, hiszen a teszt eredményeként a valószínűségi változó különösen felveheti az értéket. x 1 . Ezért egy folytonos valószínűségi változó esetén érdemes arról beszélni, hogy a valószínűségi változó mekkora valószínűséggel esik az intervallumba, és nem arról, hogy milyen valószínűséggel vesz fel egy adott értéket. Így például egy henger gyártása során nem érdekel bennünket, hogy annak átmérője megegyezik-e a névleges értékkel. Számunkra fontos, hogy a görgő átmérője ne lépje túl a tűréshatárt. Példa. A folytonos valószínűségi változó eloszlássűrűsége a következő:

A függvény grafikonja az ábrán látható. 7. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó olyan értéket vesz fel, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, Határozza meg egy adott valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! ( Megoldás)

A következő két bekezdés a gyakorlatban gyakran előforduló folytonos valószínűségi változók eloszlásának szenteljük - az egyenletes és normál eloszlásokat.

* Egy függvényt szakaszonként folytonosnak nevezünk a teljes numerikus tengelyen, ha bármely szakaszon folytonos, vagy véges számú első típusú szakadási pontja van. ** A véges alsó korlát esetén levezetett változó felső határú integrál differenciálására vonatkozó szabály a végtelen alsó határú integrálokra is érvényben marad. Valóban,

Mivel az integrál

állandó érték.

Függő és független események. Feltételes valószínűség

Tegyen különbséget függő és független események között. Két eseményt függetlennek mondunk, ha az egyik esemény bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét. Például, ha egy műhelyben két automata vonal üzemel, amelyek a gyártási feltételeknek megfelelően nem kapcsolódnak egymáshoz, akkor ezeknek a vonalaknak a leállása egymástól független esemény.

3. példa Az érmét kétszer feldobják. A „címer” megjelenésének valószínűsége az első tesztben (esemény ) nem függ a „címer” megjelenésétől vagy meg nem jelenésétől a második tesztben (esemény ). Viszont a második tesztben a „címer” megjelenésének valószínűsége nem függ az első teszt eredményétől. Így események és függetlenek.

Több rendezvényt ún kollektíven független , ha ezek közül bármelyik nem függ semmilyen más eseménytől és a többiek kombinációjától.

Az eseményeket ún függő , ha az egyik befolyásolja a másik előfordulási valószínűségét. Például két gyártóüzemet egyetlen technológiai ciklus köt össze. Ekkor az egyik meghibásodásának valószínűsége a másik állapotától függ. Egy esemény valószínűségét, amelyet egy másik esemény bekövetkezését feltételezve számítjuk, ún feltételes valószínűség eseményeket, és jelöli.

Egy esemény eseménytől való függetlenségének feltétele az alakba, a függésének feltétele pedig az alakba van írva. Vegyünk egy példát egy esemény feltételes valószínűségének kiszámítására.

4. példa 5 metszőfog van a dobozban: kettő kopott és három új. Két egymást követő metszőfog kihúzása történik. Határozza meg annak feltételes valószínűségét, hogy a második kihúzás során egy elhasználódott vágószerszám megjelenik, feltéve, hogy az első alkalommal eltávolított vágó nem kerül vissza a dobozba.

Megoldás. Jelöljük az első esetben a kopott vágó kihúzását, és - az új kihúzását. Akkor . Mivel az eltávolított vágószerszám nem kerül vissza a dobozba, a kopott és az új marók száma közötti arány megváltozik. Ezért a második esetben a kopott vágó eltávolításának valószínűsége attól függ, hogy milyen esemény történt korábban.

Jelöljük azt az eseményt, amely a második esetben a kopott vágó kihúzását jelenti. Ennek az eseménynek a valószínűsége:

Ezért egy esemény valószínűsége attól függ, hogy az esemény megtörtént-e vagy sem.

Valószínűségi sűrűség- az euklideszi tér valószínűségi mértékének beállításának egyik módja. Abban az esetben, ha a valószínűségi mérték egy valószínűségi változó eloszlása, arról beszélünk sűrűségvalószínűségi változó.

Valószínűségi sűrűség Legyen egy valószínűségi mérték on, azaz egy valószínűségi tér van definiálva, ahol jelöli a Borel σ-algebrát on. Jelölje a Lebesgue mértéket on.

1. definíció. A valószínűséget abszolút folytonosnak nevezzük (a Lebesgue-mértékhez képest) (), ha bármely nulla Lebesgue-mérték Borel-halmazának valószínűsége is nulla:

Ha a valószínűség abszolút folytonos, akkor a Radon-Nikodym-tétel szerint létezik olyan nemnegatív Borel-függvény,

,

ahol a gyakori rövidítést használjuk , az integrál pedig Lebesgue értelmében értendő.

2. definíció.Általánosabban, legyen egy tetszőleges mérhető tér, és legyen és két mérték ezen a téren. Ha van egy nemnegatív , amely lehetővé teszi a mérték kifejezést az ütemben a formában

akkor ezt a függvényt hívjuk mérje meg a sűrűséget mint , vagy Radon-Nikodim származéka mérték a mértékhez képest , és jelölje

Ha egy esemény bekövetkezésekor az esemény valószínűsége nem változik, akkor az események és hívott független.

Tétel:Két független esemény együttes előfordulásának valószínűsége és (művek és ) egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával.

Valóban, azóta fejlesztéseket és akkor független
. Ebben az esetben az események szorzatának valószínűségének képlete és felveszi a formát.

Fejlesztések
hívott páronként független ha bármelyik kettő független.

Fejlesztések
hívott kollektíven független (vagy egyszerűen független), ha mindegyikük független, a többi eseménye és minden lehetséges terméke pedig független.

Tétel:Véges számú független esemény szorzatának valószínűsége az aggregátumban
egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával.

Szemléltessük példákon keresztül a függő és független eseményekre vonatkozó eseményvalószínűségi képletek alkalmazásának különbségét!

1. példa. Annak a valószínűsége, hogy az első lövő célba talál, 0,85, a második 0,8. A fegyverek egy-egy lövést adtak le. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább egy lövedék eltalálja a célt?

Megoldás: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Mivel a felvételek függetlenek, így

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

2. példa. Egy urnában 2 piros és 4 fekete golyó található. Egymás után 2 golyót veszünk ki belőle. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét golyó piros?

Megoldás: 1 eset. A esemény - piros labda megjelenése az első eltávolításkor, B esemény - a másodiknál. A C esemény két piros golyó megjelenése.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2. eset. Az elsőként húzott labda visszakerül a kosárba.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Teljes valószínűségi képlet.

Legyen az esemény csak az összeférhetetlen események egyikével történhet meg
, teljes csoportot alkotva. Például az üzlet három vállalkozástól kapja ugyanazokat a termékeket, és eltérő mennyiségben. Ezeknél a vállalkozásoknál eltérő a valószínűsége annak, hogy rossz minőségű termékeket állítanak elő. Az egyik termék véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Meg kell határozni annak valószínűségét, hogy ez a termék rossz minőségű (esemény ). Események itt
- ez egy termék kiválasztása a megfelelő vállalkozás termékei közül.

Ebben az esetben az esemény valószínűsége események szorzatának tekinthető
.

Az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadási tételével azt kapjuk, hogy
. A valószínűségi szorzási tétel segítségével azt találjuk

.

A kapott képletet ún teljes valószínűségi képlet.

Bayes képlet

Legyen az esemény az egyikkel egy időben történik összeférhetetlen események
, melynek valószínűségei
(
) tapasztalat előtt ismertek ( a priori valószínűségek). Kísérletet végzünk, melynek eredményeként egy esemény bekövetkezését regisztráljuk , és ismert, hogy ennek az eseménynek voltak bizonyos feltételes valószínűségei
(
). Meg kell találni az események valószínűségét
ha ismert az esemény történt ( a posteriori valószínűségek).

A probléma az, hogy van új információ(A esemény megtörtént), újra kell becsülnie az események valószínűségét
.

A két esemény szorzatának valószínűségére vonatkozó tétel alapján

.

A kapott képletet ún Bayes képletek.

A kombinatorika alapfogalmai.

Számos elméleti és gyakorlati feladat megoldása során egy véges elemhalmazból különböző kombinációkat kell készíteni adott szabályok szerint, és meg kell számolni az összes lehetséges ilyen kombináció számát. Az ilyen feladatokat ún kombinatorikus.

A feladatok megoldása során a kombinatorika az összeg és a szorzat szabályait alkalmazza.

A probléma általános megfogalmazása: egyes események valószínűsége ismert, de más események valószínűségét, amelyek ezekhez az eseményekhez kapcsolódnak, ki kell számítani. Ezekben a problémákban szükség van olyan valószínűségi műveletekre, mint a valószínűségek összeadása és szorzása.

Például vadászat közben két lövést adtak le. Esemény A- kacsa ütés az első lövésből, esemény B- talált el a második lövésből. Aztán az események összessége Aés B- eltalálni az első vagy második lövésből vagy két lövésből.

Más típusú feladatok. Több esemény is adott, például háromszor dobnak fel egy érmét. Meg kell találni annak valószínűségét, hogy a címer mindháromszor kiesik, vagy legalább egyszer kiesik a címer. Ez szorzási probléma.

Az összeférhetetlen események valószínűségeinek összeadása

A valószínűségi összeadást akkor használjuk, ha véletlenszerű események kombinációjának vagy logikai összegének valószínűségét kell kiszámítani.

Az események összege Aés B kijelöl A + B vagy A ∪ B. Két esemény összege olyan esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha legalább az egyik esemény bekövetkezik. Ez azt jelenti A + B- olyan esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha a megfigyelés során esemény következik be A vagy esemény B, vagy egyidejűleg Aés B.

Ha események Aés B kölcsönösen inkonzisztensek, és adottak a valószínűségeik, akkor a valószínűségek összeadásával számítjuk ki annak valószínűségét, hogy egy kísérlet eredményeként egy ilyen esemény bekövetkezik.

A valószínűségek összeadásának tétele. Annak a valószínűsége, hogy két egymással összeegyeztethetetlen esemény valamelyike ​​bekövetkezik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

Például vadászat közben két lövést adtak le. Esemény DE– kacsa ütés az első lövésből, esemény NÁL NÉL– találat a második lövésből, esemény ( DE+ NÁL NÉL) - találat az első vagy a második lövésből vagy két lövésből. Tehát ha két esemény DEés NÁL NÉL akkor összeférhetetlen események DE+ NÁL NÉL- ezen események közül legalább egy vagy két esemény bekövetkezése.

1. példa Egy dobozban 30 azonos méretű golyó található: 10 piros, 5 kék és 15 fehér. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy színes (nem fehér) golyót vesznek el anélkül, hogy megnéznénk!

Megoldás. Tegyük fel, hogy az esemény DE– „elvették a piros labdát”, és az esemény NÁL NÉL- "Elvitték a kék golyót." Ezután az esemény „egy színes (nem fehér) labdát vesznek”. Keresse meg egy esemény valószínűségét DE:

és események NÁL NÉL:

Fejlesztések DEés NÁL NÉL- kölcsönösen összeegyeztethetetlen, mivel ha egy labdát vesznek el, akkor különböző színű labdákat nem lehet venni. Ezért a valószínűségek összeadását használjuk:

Valószínűségek összeadásának tétele több inkompatibilis eseményre. Ha az események alkotják az események teljes halmazát, akkor valószínűségeik összege 1:

Az ellentétes események valószínűségeinek összege szintén egyenlő 1-gyel:

Az ellentétes események egy teljes eseményhalmazt alkotnak, és a teljes eseményhalmaz valószínűsége 1.

Az ellentétes események valószínűségét általában kis betűkkel jelöljük. pés q. Különösen,

amelyekből a következő képletek következnek az ellenkező események valószínűségére:

2. példa A műszerfalban lévő cél 3 zónára van osztva. Annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos lövész az első zónában lévő célpontra lő, 0,15, a második zónában - 0,23, a harmadik zónában - 0,17. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő eltalálja a célt, és annak a valószínűségét, hogy a lövő eltéveszti a célt.

Megoldás: Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő eltalálja a célt:

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő eltéveszti a célt:

Nehezebb feladatok, amelyekben a valószínűségek összeadását és szorzását is alkalmazni kell - a „Különféle feladatok a valószínűségek összeadásához és szorzásához” oldalon.

Kölcsönösen közös események valószínűségeinek összeadása

Két véletlenszerű eseményt akkor nevezünk együttesnek, ha az egyik esemény bekövetkezése nem zárja ki egy másik esemény bekövetkezését ugyanabban a megfigyelésben. Például kockadobásnál az esemény DE a 4-es szám előfordulását és az eseményt tekintjük NÁL NÉL- páros szám eldobása. Mivel a 4-es szám páros szám, a két esemény kompatibilis. A gyakorlatban vannak olyan feladatok, amelyekkel kiszámítható az egyik kölcsönösen együttes esemény bekövetkezésének valószínűsége.

Valószínűségek összeadásának tétele közös eseményekre. Annak a valószínűsége, hogy valamelyik együttes esemény bekövetkezik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, amelyből kivonjuk mindkét esemény közös előfordulásának valószínűségét, vagyis a valószínűségek szorzatát. A közös események valószínűségének képlete a következő:

Mert az események DEés NÁL NÉL kompatibilis, esemény DE+ NÁL NÉL akkor következik be, ha a három lehetséges esemény egyike bekövetkezik: vagy AB. Az inkompatibilis események összeadásának tétele szerint a következőképpen számolunk:

Esemény DE akkor következik be, ha két összeférhetetlen esemény egyike következik be: vagy AB. Azonban annak a valószínűsége, hogy egy esemény bekövetkezik több összeférhetetlen eseményből, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

Hasonlóképpen:

Ha a (6) és (7) kifejezést behelyettesítjük az (5) kifejezésbe, megkapjuk az együttes események valószínűségi képletét:

A (8) képlet használatakor figyelembe kell venni, hogy az események DEés NÁL NÉL lehet:

• egymástól független;
• kölcsönösen függő.

Valószínűségi képlet egymástól független eseményekre:

Valószínűségi képlet kölcsönösen függő eseményekre:

Ha események DEés NÁL NÉL inkonzisztensek, akkor az egybeesésük lehetetlen eset, és így P(AB) = 0. Az inkompatibilis események negyedik valószínűségi képlete a következő:

3. példa Az autóversenyzésben, amikor az első autóban vezet, a győzelem valószínűsége, amikor a második autóban vezet. Megtalálja:

• annak a valószínűsége, hogy mindkét autó nyer;
• annak a valószínűsége, hogy legalább egy autó nyer;

1) Annak a valószínűsége, hogy az első autó nyer, nem függ a második autó eredményétől, tehát az események DE(első autó nyer) és NÁL NÉL(második autó nyer) - független események. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét autó nyer:

2) Határozza meg annak valószínűségét, hogy a két autó közül az egyik nyer:

Nehezebb feladatok, amelyekben a valószínűségek összeadását és szorzását is alkalmazni kell - a „Különféle feladatok a valószínűségek összeadásához és szorzásához” oldalon.

Oldja meg saját maga a valószínűségek összeadásának problémáját, majd nézze meg a megoldást

4. példa Két érmét dobnak. Esemény A- a címer elvesztése az első érmén. Esemény B- a címer elvesztése a második érmén. Keresse meg egy esemény valószínűségét C = A + B .

Valószínűségi szorzás

A valószínűségek szorzatát akkor használjuk, ha az események logikai szorzatának valószínűségét kell kiszámítani.

Ebben az esetben a véletlenszerű eseményeknek függetleneknek kell lenniük. Két eseményt egymástól függetlennek mondunk, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a második esemény bekövetkezésének valószínűségét.

Valószínűségszorzó tétel független eseményekre. Két független esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűsége DEés NÁL NÉL egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával, és a következő képlettel számítják ki:

5. példa Az érmét egymás után háromszor dobják fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer mindhárom alkalommal kiesik.

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy a címer az érme első feldobásakor, a második és a harmadik alkalommal esik le. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer mindhárom alkalommal kiesik:

Oldja meg saját maga a valószínűségek szorzásának problémáit, majd nézze meg a megoldást

6. példa Van egy doboz kilenc új teniszlabdával. A játékhoz három labdát vesznek el, a játék után visszateszik. A labdák kiválasztásakor nem tesznek különbséget játszott és meg nem játszott labdák között. Mekkora a valószínűsége annak, hogy miután három játék nem lesz kijátszatlan labda a dobozban?

7. példa Az orosz ábécé 32 betűje van felírva a vágott ábécé kártyákra. Véletlenszerűen, egymás után öt lapot húznak ki, és a megjelenésük sorrendjében helyezik az asztalra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a betűk a „vége” szót alkotják.

8. példa Egy teljes kártyapakliból (52 lap) egyszerre négy kártya kerül ki. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mind a négy kártya azonos színű.

9. példa Ugyanaz a probléma, mint a 8. példában, de minden kártya a húzás után visszakerül a pakliba.

Bonyolultabb feladatok, amelyekben a valószínűségek összeadását és szorzását egyaránt alkalmazni kell, valamint több esemény szorzatát kell kiszámítani - a "Különféle feladatok a valószínűségek összeadásához és szorzásához" oldalon.

A kölcsönösen független események legalább egyikének bekövetkezésének valószínűségét úgy számíthatjuk ki, hogy az ellentétes események valószínűségeinek szorzatát 1-ből kivonjuk, vagyis a képlettel.