Պայմանական հավանականություն. Պայմանական հավանականություն և ամենապարզ հիմնական բանաձևերը: Իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմը, որոնցից մեկը տեղի է ունենում մյուսի պայմանով
4. Պայմանական հավանականություն. Հավանականության բազմապատկման թեորեմ.
Շատ խնդիրներում անհրաժեշտ է գտնել իրադարձությունների համադրման հավանականությունը ԵՎև ATեթե հայտնի են իրադարձությունների հավանականությունները ԵՎև AT.
Դիտարկենք հետևյալ օրինակը. Թող երկու մետաղադրամ նետվի: Գտե՛ք երկու զինանշանների հայտնվելու հավանականությունը: Մենք ունենք 4 հավասարապես հավանական զույգերով անհամատեղելի ելքեր, որոնք կազմում են ամբողջական խումբ.
| 1-ին մետաղադրամ | 2-րդ մետաղադրամ | |
| 1-ին արդյունք | գերբ | գերբ |
| 2-րդ արդյունք | գերբ | մակագրությունը |
| 3-րդ գաղթ | մակագրությունը | գերբ |
| 4-րդ արդյունք | մակագրությունը | մակագրությունը |
Այսպիսով, Պ(զինանշան, զինանշան)=1/4.
Հիմա իմանանք, որ զինանշանն ընկել է առաջին մետաղադրամի վրա։ Սրանից հետո ինչպե՞ս կփոխվի զինանշանի հայտնվելու հավանականությունը երկու մետաղադրամների վրա։ Քանի որ զինանշանն ընկել է առաջին մետաղադրամի վրա, այժմ ամբողջ խումբը բաղկացած է երկու հավասարապես հավանական անհամատեղելի արդյունքներից.
| 1-ին մետաղադրամ | 2-րդ մետաղադրամ | |
| 1-ին արդյունք | գերբ | գերբ |
| 2-րդ արդյունք | գերբ | մակագրությունը |
Այս դեպքում ելքերից միայն մեկն է ձեռնտու միջոցառմանը (զինանշան, զինանշան): Ուստի արված ենթադրությունների համաձայն P (զինանշան, զինանշան) \u003d 1/2. Նշել ըստ ԵՎերկու զինանշանների տեսքը և միջով AT- զինանշանի տեսքը առաջին մետաղադրամի վրա. Մենք տեսնում ենք, որ իրադարձության հավանականությունը ԵՎփոխվել է, երբ հայտնի է դարձել, որ միջոցառումը Բտեղի է ունեցել.
նոր իրադարձության հավանականություն ԵՎ, ենթադրելով, որ իրադարձություն է տեղի ունեցել Բ, կնշենք P B (A).
Այսպիսով, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2
Բազմապատկման թեորեմ. A և B իրադարձությունների համատեղման հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականության արտադրյալին մյուսի պայմանական հավանականությամբ, որը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ առաջին իրադարձությունը տեղի է ունեցել, այսինքն.
| P(AB)=P(A)P A (B) | (4) |
Ապացույց.Եկեք ապացուցենք (4) հարաբերության վավերականությունը հավանականության դասական սահմանման հիման վրա։ Թող հնարավոր արդյունքները Ե 1, Ե 2, ..., Է ՆԱյս փորձից ձևավորվում է հավասարապես հավանական զույգ անհամատեղելի իրադարձությունների մի ամբողջական խումբ, որոնցից իրադարձությունը Աբարեհաճություն Մարդյունքները, և թողեք դրանցից Մարդյունքները Լարդյունքները նպաստում են իրադարձությանը Բ. Ակնհայտ է, որ իրադարձությունների համադրություն Աև Բբարեհաճություն Լ-ից Նհնարավոր թեստի արդյունքները. Սա տալիս է; ;
Այսպիսով, 
Տեղերի փոխանակում Աև Բ, նմանապես մենք ստանում ենք
Բազմապատկման թեորեմը հեշտությամբ կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած վերջավոր թվով իրադարձությունների համար։ Այսպես, օրինակ, երեք իրադարձությունների դեպքում Ա 1, A2, Ա 3մենք ունենք *
Ընդհանրապես
(6) հարաբերությունից հետևում է, որ երկու հավասարություններից (8) մեկը մյուսի հետևանք է։
Եկեք, օրինակ, իրադարձությունը Ա- զինանշանի հայտնվելը մետաղադրամի մեկ նետման ժամանակ և իրադարձությունը Բ- ադամանդե կոստյումի քարտի տեսքը, երբ քարտը հանվում է տախտակամածից: Ակնհայտորեն իրադարձությունները Աև Բանկախ.
Եթե իրադարձությունները անկախ են Ադեպի ԲԲանաձևը (4) կունենա ավելի պարզ ձև.
* Իրադարձություն A 1 A 2 A 3կարող է ներկայացվել որպես երկու իրադարձությունների համադրություն՝ իրադարձություններ C=A 1 A 2և իրադարձություններ Ա 3.
Հաշվի առեք իրադարձությունները Աև Բկապված նույն փորձի հետ: Որոշ աղբյուրներից հայտնի կդառնա, որ միջոցառումը Բտեղի է ունեցել, սակայն հայտնի չէ, թե տարրական արդյունքներից որն է կազմում իրադարձությունը Բ, տեղի է ունեցել. Ի՞նչ կարելի է ասել այս դեպքում իրադարձության հավանականության մասին Ա?
Իրադարձության հավանականություն Ա, հաշվարկված այն ենթադրությամբ, որ իրադարձությունը Բպատահել է, ընդունված է անվանել պայմանական հավանականություն և նշել P(A|B).
պայմանական հավանականություն P(A|B)զարգացումները Ամիջոցառմանը ենթակա ԲԴասական սխեմայի շրջանակներում բնական է հավանականությունը սահմանել որպես հարաբերակցություն ՆԱԲիրադարձությունների համատեղ իրականացմանը նպաստող արդյունքներ Աև Բ, համարին ՆԲիրադարձություններին նպաստող արդյունքները Բ, այն է
Եթե այս արտահայտության համարիչն ու հայտարարը բաժանենք ընդհանուր թվի վրա Նտարրական արդյունքներ, մենք ստանում ենք
Սահմանում. Իրադարձության պայմանական հավանականություն Ամիջոցառմանը ենթակա Բկոչվում է իրադարձությունների հատման հավանականության հարաբերակցություն Աև Բիրադարձության հավանականությանը Բ:
Միաժամանակ ենթադրվում է, որ P(B) ≠ 0.
Թեորեմ. Պայմանական հավանականություն P(A|B)ունի անվերապահ հավանականության բոլոր հատկությունները P(A).
Այս թեորեմի իմաստն այն է, որ պայմանական հավանականությունը նոր տարածության վրա տրված անվերապահ հավանականությունն է Ω 1տարրական արդյունքներ, որոնք համընկնում են իրադարձության հետ Բ.
Օրինակ. Սուրճից, որի մեջ a=7սպիտակները և b=3սև գնդակներ, պատահականորեն գծվում են երկու գնդակներ՝ առանց փոխարինման: Թող իրադարձությունը Ա 1այն է, որ առաջին խաղարկված գնդակը սպիտակ է, և A2- երկրորդ գնդակը սպիտակ է: Ուզում էր գտնել P(A 2 |A 1).
Մեթոդ 1.. Պայմանական հավանականության սահմանմամբ
Մեթոդ 2.. Եկեք անցնենք տարրական արդյունքների նոր տարածության Ω 1. Իրադարձությունից ի վեր Ա 1տեղի է ունեցել, սա նշանակում է, որ տարրական արդյունքների նոր տարածության մեջ հավասարապես հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը NΩ 1 =a+b-1=9, և միջոցառումը A2նպաստում է դրան N A 2 \u003d a-1 \u003d 6արդյունքները։ հետևաբար,
Թեորեմ [հավանականությունների բազմապատկում]. Թող իրադարձությունը A=A 1 A 2 …A nև P(A)>0. Այնուհետև հավասարությունը ճշմարիտ է.
P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).
Մեկնաբանություն. Խաչմերուկի փոխադարձության հատկությունից կարելի է գրել
P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)
P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).
Օրինակ. 7 քարտերի վրա գրված են «NIGHTINGALE» բառը կազմող տառերը։ Քարտերը խառնվում են, և երեք քարտերը պատահականորեն հանվում են դրանցից և դրվում ձախից աջ: Գտեք հավանականությունը, որ «VOL» բառը կստացվի (իրադարձություն Ա).
Թող իրադարձությունը Ա 1- առաջին քարտի վրա գրված է «B» տառը, A2- երկրորդ քարտի վրա գրված է «O» տառը, A2- երրորդ քարտի վրա - «L» տառը: Հետո միջոցառումը Ա- իրադարձությունների խաչմերուկ Ա 1, A2, Ա 3. հետևաբար,
P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).
P(A1)=1/7; եթե իրադարձություն Ա 1տեղի ունեցավ, այնուհետև մնացած 6 քարտերի վրա «O» տեղի է ունենում երկու անգամ, ինչը նշանակում է P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Նմանապես, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. հետևաբար,
Սահմանում. Զարգացումներ Աև Բ, ունենալով ոչ զրոյական հավանականություն, կոչվում են անկախ, եթե պայմանական հավանականությունը Ահաշվի առնելով, որ Բհամընկնում է անվերապահ հավանականության հետ Ակամ եթե պայմանական հավանականությունը Բհաշվի առնելով, որ Ահամընկնում է անվերապահ հավանականության հետ Բ, այն է
P(A|B) = P(A)կամ P(B|A) = P(B),
հակառակ դեպքում իրադարձությունները Աև Բկոչվում է կախված.
Թեորեմ. Զարգացումներ Աև Բ, որոնք ունեն ոչ զրոյական հավանականություն, անկախ են, եթե և միայն եթե
P(AB) = P(A) P(B).
Այսպիսով, մենք կարող ենք տալ համարժեք սահմանում.
Սահմանում. Զարգացումներ Աև Բկոչվում են անկախ, եթե P(AB) = P(A) P(B).
Օրինակ. Քարտերի տախտակամածից, որը պարունակում է n=36քարտեր, պատահականության սկզբունքով խաղարկվում է մեկ քարտ: Նշել ըստ Աիրադարձություն, որը համապատասխանում է նրան, որ արդյունահանված քարտեզը կլինի գագաթնակետ, և Բ- «տիկնոջ» արտաքին տեսքին համապատասխան իրադարձություն. Որոշեք, արդյոք իրադարձությունները կախված են Աև Բ.
P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB) = 1/36, 
. Հետեւաբար, իրադարձությունները Աև Բանկախ. Նմանապես, 
.
Թող լինի ԵՎև ATայս թեստի երկու իրադարձություններն են: Այս դեպքում իրադարձություններից մեկի առաջացումը կարող է ազդել մյուսի առաջացման հնարավորության վրա: Օրինակ՝ իրադարձության առաջացումը ԵՎկարող է ազդել իրադարձության վրա ATկամ հակառակը։ Որոշ իրադարձությունների նման կախվածությունը մյուսներից հաշվի առնելու համար ներդրվում է պայմանական հավանականության հասկացությունը:
Սահմանում.Եթե իրադարձության հավանականությունը ATգտնվում է պայմանով, որ միջոցառումը ԵՎտեղի է ունեցել, ապա իրադարձության արդյունքում առաջացած հավանականությունը ATկանչեց պայմանական հավանականությունզարգացումները AT. Նման պայմանական հավանականությունը նշելու համար օգտագործվում են հետևյալ նշանները. ՌԵՎ ( AT) կամ Ռ(AT / ԵՎ).
Դիտողություն 2. Ի տարբերություն պայմանական հավանականության, դիտարկվում է նաև «անվերապահ» հավանականությունը, երբ որևէ իրադարձության առաջացման որևէ պայման. ATանհայտ կորած.
Օրինակ. Սուրը պարունակում է 5 գնդիկ, որոնցից 3-ը կարմիր են, 2-ը՝ կապույտ։ Իր հերթին դրանից մեկ գնդակ է քաշվում հետադարձով և առանց վերադարձի։ Գտեք երկրորդ անգամ կարմիր գնդակ նկարելու պայմանական հավանականությունը, պայմանով, որ առաջին անգամ նկարելը լինի՝ ա) կարմիր գնդակ. բ) կապույտ գնդակ:
Թող իրադարձությունը ԵՎառաջին անգամ է նկարում կարմիր գնդակը, և իրադարձությունը AT– երկրորդ անգամ հանելով կարմիր գնդակը: Ակնհայտ է, որ Ռ(ԵՎ) = 3/5; ապա այն դեպքում, երբ առաջին անգամ հանված գնդակը վերադարձվում է ափսե, Ռ(AT)=3/5. Այն դեպքում, երբ խաղարկված գնդակը չի վերադարձվում, կարմիր գնդակ նկարելու հավանականությունը Ռ(AT) կախված է նրանից, թե որ գնդակն է խաղարկվել առաջին անգամ՝ կարմիր (իրադարձություն ԵՎ) կամ կապույտ (իրադարձություն): Հետո առաջին դեպքում ՌԵՎ ( AT) = 2/4, իսկ երկրորդում ( AT) = 3 / 4.
Իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմը, որոնցից մեկը տեղի է ունենում մյուսի պայմանով
Երկու իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականության արտադրյալին մյուսի պայմանական հավանականությամբ, որը գտնվել է այն ենթադրությամբ, որ առաջին իրադարձությունը տեղի է ունեցել.
Ռ(A ∙ B) = Ռ(ԵՎ) ∙ ՌԵՎ ( AT) . (1.7)
Ապացույց. Իսկապես, թող n- թեստի հավասարապես հավանական և անհամատեղելի (տարրական) արդյունքների ընդհանուր թիվը. Թող գնա n 1 - իրադարձությանը նպաստող արդյունքների քանակը ԵՎ, որը տեղի է ունենում սկզբում, և մ- արդյունքների քանակը, որոնցում տեղի է ունենում իրադարձությունը ATենթադրելով, որ իրադարձությունը ԵՎեկել է. Այսպիսով, միրադարձությանը նպաստող արդյունքների քանակն է AT.Հետո մենք ստանում ենք.
Նրանք. Մի քանի իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձություններից մեկի հավանականության արտադրյալին մյուսների պայմանական հավանականությունների կողմից, և յուրաքանչյուր հաջորդ իրադարձության պայմանական հավանականությունը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ բոլոր նախորդ իրադարձությունները տեղի են ունեցել:
Օրինակ. 10 մարզիկներից բաղկացած թիմում 4 սպորտի վարպետ են։ Վիճակահանությամբ թիմից ընտրվում է 3 մարզիկ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընտրված բոլոր մարզիկները սպորտի վարպետներ են։
Որոշում. Եկեք խնդիրը կրճատենք «մուռ» մոդելի վրա, այսինքն. Ենթադրենք, որ 10 գնդիկ պարունակող սափորի մեջ կա 4 կարմիր և 6 սպիտակ գնդակ։ Այս urn-ից պատահականորեն 3 գնդակ է քաշվում (ընտրված Ս= 3): Թող իրադարձությունը ԵՎբաղկացած է 3 գնդակ հանելուց։ Խնդիրը կարող է լուծվել երկու եղանակով՝ դասական սխեմայով և բանաձևով (1.9):
Առաջին մեթոդը, որը հիմնված է կոմբինատորիկայի բանաձևի վրա.
Երկրորդ մեթոդը (բանաձևով (1.9)): 3 գնդակներ անընդմեջ քաշվում է ափսեից առանց փոխարինման: Թող լինի ԵՎ 1 - առաջին խաղարկված գնդակը կարմիր է, ԵՎ 2 - երկրորդ խաղարկված գնդակը կարմիր է, ԵՎ 3 - երրորդ խաղարկված գնդակը կարմիր է: Թող նաև իրադարձությունը ԵՎնշանակում է, որ բոլոր 3 գծված գնդակները կարմիր են: Ապա. ԵՎ = ԵՎ 1 ∙ (ԵՎ 2 / ԵՎ 1) ∙ ԵՎ 3 / (ԵՎ 1 ∙ ԵՎ 2), այսինքն.
Օրինակ.Թողեք քարտերի հավաքածուից a, a, r, b, o, tքարտերը խաղարկվում են մեկ առ մեկ: Ո՞րն է բառը ստանալու հավանականությունը Աշխատանքերբ դրանք հաջորդաբար մեկ տողի մեջ ծալում ենք ձախից աջ:
Թող լինի AT- իրադարձությունը, որի ժամանակ ստացվել է հայտարարված բառը. Այնուհետև (1.9) բանաձևով մենք ստանում ենք.
Ռ(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
Հավանականության բազմապատկման թեորեմը ստանում է իր ամենապարզ ձևը, երբ արտադրյալը ձևավորվում է միմյանցից անկախ իրադարձություններով։
Սահմանում.Իրադարձություն ATկանչեց անկախմիջոցառումից ԵՎեթե դրա հավանականությունը չի փոխվում՝ անկախ այն բանից, թե դեպքը տեղի է ունեցել ԵՎկամ ոչ. Երկու իրադարձություն կոչվում են անկախ (կախված), եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի փոխում (փոխում) մյուսի առաջացման հավանականությունը։ Այսպիսով, հանուն ոչ կախված իրադարձություններ p(B/Ա) = Ռ(AT) կամ = Ռ(AT), և կախված իրադարձությունների համար Ռ(AT/Ա)
Իրադարձություն. Տարրական իրադարձությունների տարածություն. Որոշակի իրադարձություն, անհնարին իրադարձություն. Համատեղ, ոչ համատեղ միջոցառումներ. Համարժեք իրադարձություններ. Միջոցառումների ամբողջական խումբ. Գործողություններ իրադարձությունների վրա.
Իրադարձություներեւույթ է, որը կարելի է ասել շարունակվում էկամ տեղի չի ունենում, կախված բուն իրադարձության բնույթից։
Տակ տարրական իրադարձություններորոշակի թեստի հետ կապված հասկանալ այդ թեստի բոլոր անլուծելի արդյունքները: Յուրաքանչյուր իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ այս թեստի արդյունքում, կարելի է դիտարկել որպես տարրական իրադարձությունների որոշակի շարք:
Տարրական իրադարձությունների տարածությունկոչվում է կամայական բազմություն (վերջավոր կամ անվերջ): Դրա տարրերն են կետերը (տարրական իրադարձություններ): Տարրական իրադարձությունների տարածության ենթաբազմությունները կոչվում են իրադարձություններ:
որոշակի իրադարձությունկոչվում է իրադարձություն, որը, այս թեստի արդյունքում, անպայման տեղի կունենա. (նշվում է E-ով):
Անհնար իրադարձությունիրադարձությունը կոչվում է այնպիսի իրադարձություն, որը տրված թեստի արդյունքում չի կարող պատահել; (նշվում է U): Օրինակ՝ մեկ նետման ժամանակ վեց միավորներից մեկի հայտնվելը զառախաղ- հուսալի իրադարձություն, իսկ 8 միավորի հայտնվելն անհնար է:
Երկու իրադարձությունները կոչվում են համատեղ(համատեղելի) տվյալ փորձառության մեջ, եթե դրանցից մեկի արտաքին տեսքը չի բացառում մյուսի տեսքը։
Երկու իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի(անհամատեղելի) տվյալ փորձարկման դեպքում, եթե դրանք չեն կարող միասին առաջանալ նույն փորձարկման ժամանակ: Մի քանի իրադարձություններ անհամատեղելի են, եթե դրանք զույգերով անհամատեղելի են:
Ձևի սկիզբ
Ձևի ավարտը
| Իրադարձությունը մի երեւույթ է, որը կարելի է ասել շարունակվում էկամ տեղի չի ունենում, կախված բուն իրադարձության բնույթից։ Իրադարձությունները նշվում են լատինական այբուբենի մեծատառերով A, B, C, ... Ցանկացած իրադարձություն տեղի է ունենում թեստեր. Օրինակ` մետաղադրամ ենք նետում` թեստ, զինանշանի տեսքը իրադարձություն է; լամպը տուփից հանում ենք՝ թեստ, թերի է՝ իրադարձություն; մենք տուփից պատահական գնդակ ենք հանում՝ թեստ, գնդակը սև է ստացվել՝ իրադարձություն։ Պատահական իրադարձությունը այն իրադարձությունն է, որը կարող է պատահելկամ տեղի չունենաայս թեստի ընթացքում: Օրինակ, տախտակամածից պատահական մեկ քարտ քաշելով, դուք վերցրեցիք ace; կրակելով, կրակողը դիպչում է թիրախին. Ուսումնասիրում է միայն հավանականությունների տեսությունը զանգվածայինպատահական իրադարձություններ. Որոշակի իրադարձություն այն իրադարձությունն է, որը տվյալ թեստի արդյունքում անպայման տեղի կունենա. (նշվում է E-ով): Անհնարին իրադարձությունն այն իրադարձությունն է, որը տվյալ թեստի արդյունքում՝ չի կարող պատահել; (նշվում է U): Օրինակ, մեկ զառ գլորելու ընթացքում վեց միավորից մեկի հայտնվելը որոշակի իրադարձություն է, բայց 8 միավորի հայտնվելն անհնար է։ Համարժեք իրադարձություններն այն իրադարձություններն են, որոնցից յուրաքանչյուրը արտաքին տեսքով առավելություն չունիավելի հաճախ, քան մյուսը բազմաթիվ թեստերի ժամանակ, որոնք կատարվում են նույն պայմաններում: Զույգ անհամատեղելի իրադարձությունները իրադարձություններ են, որոնցից երկուսը միասին չեն կարող տեղի ունենալ: Պատահական իրադարձության հավանականությունը այս իրադարձությանը նպաստող իրադարձությունների քանակի հարաբերակցությունն է բոլոր հավասարապես հնարավոր անհամատեղելի իրադարձությունների ընդհանուր թվին. P(A) = որտեղ A-ն իրադարձություն է; P(A) - իրադարձության հավանականություն; N-ը հավասարապես հնարավոր և անհամատեղելի իրադարձությունների ընդհանուր թիվն է. N(A)-ն իրադարձությունների թիվն է, որոնք նպաստում են A-ին: Սա պատահական իրադարձության հավանականության դասական սահմանումն է: Հավանականության դասական սահմանումը գործում է նույնքան հավանական թեստի արդյունքների վերջավոր թվով թեստերի համար: Թող լինի թիրախի ուղղությամբ արձակված n կրակոց, որոնցից մ հարվածներ են եղել։ W(A) = հարաբերակցությունը կոչվում է A իրադարձության հարաբերական վիճակագրական հաճախականություն: Հետևաբար, W(A)-ը վիճակագրական հարվածի հաճախականությունն է: Մի շարք կրակոցներ իրականացնելիս (Աղյուսակ 1) վիճակագրական հաճախականությունը տատանվելու է որոշակի հաստատուն թվի շուրջ: Ցանկալի է այս թիվը ընդունել որպես հարվածի հավանականության գնահատական։ Իրադարձության հավանականությունը A-ն այն անհայտ P թիվն է, որի շուրջ հավաքվում են A դեպքի առաջացման վիճակագրական հաճախականությունների արժեքները՝ փորձարկումների քանակի ավելացմամբ: Սա պատահական իրադարձության հավանականության վիճակագրական նշանակում է: |
| Գործողություններ իրադարձությունների վրա |
| Որոշակի թեստի հետ կապված տարրական իրադարձությունների ներքո հասկացեք այս թեստի բոլոր անլուծելի արդյունքները: Յուրաքանչյուր իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ այս թեստի արդյունքում, կարելի է դիտարկել որպես տարրական իրադարձությունների որոշակի շարք: Տարրական իրադարձությունների տարածությունը կամայական բազմություն է (վերջավոր կամ անսահման): Դրա տարրերն են կետերը (տարրական իրադարձություններ): Տարրական իրադարձությունների տարածության ենթաբազմությունները կոչվում են իրադարձություններ: Կոմպլեկտների վրա հայտնի բոլոր հարաբերությունները և գործողությունները փոխանցվում են իրադարձությունների: A իրադարձությունը կոչվում է B իրադարձության հատուկ դեպք (կամ B-ն A-ի արդյունքն է), եթե A բազմությունը B-ի ենթաբազմություն է: Այս հարաբերությունը նշվում է այնպես, ինչպես բազմությունների համար. A ⊂ B կամ B: ⊃ A. Այսպիսով, A ⊂ B հարաբերակցությունը նշանակում է, որ A-ում ներառված բոլոր տարրական իրադարձությունները նույնպես ներառված են B-ում, այսինքն, երբ տեղի է ունենում A իրադարձությունը, տեղի է ունենում նաև իրադարձություն B: Ավելին, եթե A ⊂ B և B ⊂ A, ապա A. = B. Իրադարձությունը A, որը տեղի է ունենում այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ իրադարձությունը տեղի չի ունենում, կոչվում է A իրադարձության հակառակը: Քանի որ յուրաքանչյուր փորձության ժամանակ տեղի է ունենում իրադարձություններից միայն մեկը՝ A կամ A, ապա P(A) + P (A) = 1, կամ P(A) = 1 - P(A): A և B իրադարձությունների միությունը կամ գումարը C իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կամ A իրադարձություն է տեղի ունենում, կամ իրադարձություն B տեղի է ունենում, կամ A և B-ն տեղի են ունենում միաժամանակ: Սա նշանակվում է C = A ∪ B կամ C = A + B: Իրադարձությունների միությունը A 1 , A 2 , ... A n իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այդ իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի է ունենում: Իրադարձությունների միությունը նշվում է որպես A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n , կամ A k , կամ A 1 + A 2 + ... + A n : A և B իրադարձությունների հատումը կամ արտադրյալը D իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ A և B իրադարձությունները տեղի են ունենում միաժամանակ, և նշվում է D = A ∩ B կամ D = A × B: A 1 իրադարձությունների համակցությունը կամ արտադրյալը: , A 2 , ... A n-ը իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ և A 1 իրադարձությունը, և A 2 իրադարձությունը և այլն, և A n իրադարձությունը տեղի են ունենում: Համակցությունը նշվում է հետևյալ կերպ՝ A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n կամ A k , կամ A 1 × A 2 × ... × A n ։ |
Թեմա թիվ 2. Հավանականության աքսիոմատիկ սահմանում. Իրադարձության հավանականության դասական, վիճակագրական, երկրաչափական սահմանում։ Հավանականության հատկություններ. Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմներ. անկախ միջոցառումներ։ Պայմանական հավանականություն. Հավանականությունը, որ իրադարձություններից գոնե մեկը տեղի կունենա: Ընդհանուր հավանականության բանաձև. Բեյսի բանաձևը
Իրադարձության տեղի ունենալու օբյեկտիվ հնարավորության աստիճանի թվային չափումը կոչվում է իրադարձության հավանականությունը. Այս սահմանումը, որը որակապես արտացոլում է իրադարձության հավանականության հայեցակարգը, մաթեմատիկական չէ։ Այդպես դարձնելու համար անհրաժեշտ է որակապես սահմանել։
Համաձայն դասական սահմանում Ա իրադարձության հավանականությունը հավասար է իրեն ձեռնտու դեպքերի թվի հարաբերակցությանը դեպքերի ընդհանուր թվին, այսինքն.
Որտեղ P(A)-ը A-ի իրադարձության հավանականությունն է:
Իրադարձությանը նպաստավոր դեպքերի թիվը Ա
Դեպքերի ընդհանուր թիվը.
Հավանականության վիճակագրական սահմանում.
A իրադարձության վիճակագրական հավանականությունը կատարված թեստերում այս իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախությունն է, այսինքն.
Որտե՞ղ է իրադարձության վիճակագրական հավանականությունը Ա.
Իրադարձության հարաբերական հաճախականությունը (հաճախականությունը) Ա.
Դատավարությունների թիվը, որոնցում ի հայտ են եկել իրադարձությունները Ա
Փորձարկումների ընդհանուր թիվը.
Ի տարբերություն «մաթեմատիկական» հավանականության, որը դիտարկվում է դասական սահմանման մեջ, վիճակագրական հավանականությունը փորձարարական, փորձարարականի հատկանիշ է։
Եթե կա դեպքերի մի մասնաբաժին, որը նպաստում է A-ին, որը որոշվում է ուղղակիորեն, առանց որևէ փորձարկումների, այսինքն՝ իրականում կատարված փորձերի մասնաբաժինը, որում հայտնվել է Ա-ն իրադարձությունը:
Հավանականության երկրաչափական սահմանում.
A իրադարձության երկրաչափական հավանականությունը A իրադարձության առաջացմանը նպաստող տարածքի չափի հարաբերությունն է բոլոր տարածքների չափմանը, այսինքն.
Միաչափ դեպքում.
Անհրաժեշտ է գնահատել CD-ի վրա կետին հարվածելու հավանականությունը/
Պարզվում է, որ այդ հավանականությունը կախված չէ CD-ի գտնվելու վայրից AB հատվածում, այլ կախված է միայն դրա երկարությունից։
Կետին հարվածելու հավանականությունը կախված չէ ձևերից կամ A-ի վրա B-ի գտնվելու վայրից, այլ կախված է միայն այս հատվածի տարածքից:
Պայմանական հավանականություն
Հավանականությունը կոչվում է պայմանական , եթե այն հաշվարկվում է որոշակի պայմաններում և նշվում է.
Սա A իրադարձության հավանականությունն է: Այն հաշվարկվում է այն պայմանով, որ B իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել:
Օրինակ. Մենք թեստ ենք անում, տախտակամածից երկու քարտ ենք հանում. Առաջին հավանականությունը անվերապահ է:
Մենք հաշվարկում ենք տախտակամածից ace նկարելու հավանականությունը.
Մենք հաշվարկում ենք տախտակամածից 2-ակի առաջացումը.
A*B - իրադարձությունների համատեղ առաջացում
– հավանականության բազմապատկման թեորեմ
Հետևանք.
Իրադարձությունների համատեղ առաջացման բազմապատկման թեորեմն ունի ձև.
Այսինքն՝ յուրաքանչյուր հաջորդ հավանականությունը հաշվարկվում է՝ հաշվի առնելով, որ բոլոր նախկին պայմաններն արդեն տեղի են ունեցել։
Իրադարձության անկախություն.
Երկու իրադարձություն կոչվում են անկախ, եթե մեկի առաջացումը չի հակասում մյուսի առաջացմանը:
Օրինակ, եթե տախտակամածից մի քանի անգամ քաշվում են էյսեր, ապա նրանք միմյանցից անկախ են: Կրկին, այսինքն, քարտը նայվեց և հետ վերադարձվեց տախտակամած:
Համատեղ և ոչ համատեղ միջոցառումներ.
համատեղ 2 իրադարձություն կոչվում է, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի հակասում մյուսի առաջացմանը։
Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ.
Երկու համատեղ իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին առանց դրանց համատեղ առաջացման:
Երեք համատեղ միջոցառումների համար.
Իրադարձությունները կոչվում են անհամապատասխան, եթե դրանցից ոչ մեկը չի կարող միաժամանակ հայտնվել պատահական փորձի մեկ փորձարկման արդյունքում:
Թեորեմ.Երկու անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին:
Իրադարձությունների գումարի հավանականությունը.
Հավանականության գումարման թեորեմ.
Վերջավոր թվով անհամատեղելի իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.
Հետևություն 1.
Ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.
Հետևություն 2.
Մեկնաբանություն:Հարկ է ընդգծել, որ դիտարկվող գումարման թեորեմը կիրառելի է միայն անհամատեղելի իրադարձությունների համար։
Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը.
Հակառակկոչվում են երկու եզակի հնարավոր իրադարձություններ, որոնք կազմում են ամբողջական խումբ: Երկու հակադիր իրադարձություններից մեկը նշվում է ԵՎ, մյուսը - միջոցով .
Օրինակ. Թիրախի վրա կրակելիս հարվածելն ու անհետանալը հակադիր իրադարձություններ են: Եթե A-ն հարված է, ապա բաց թողնում:
Թեորեմ.Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.
Ծանոթագրություն 1:Եթե երկու հակադիր իրադարձություններից մեկի հավանականությունը նշանակվում է p-ով, ապա մյուս իրադարձության հավանականությունը նշվում է q-ով Այսպիսով, նախորդ թեորեմի ուժով.
Ծանոթագրություն 2: A իրադարձության հավանականությունը գտնելու համար խնդիրներ լուծելիս հաճախ ձեռնտու է նախ հաշվարկել իրադարձության հավանականությունը, այնուհետև գտնել ցանկալի հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը.
Առնվազն մեկ իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը.
Ենթադրենք, որ փորձի արդյունքում կարող է հայտնվել որևէ դեպք կամ որևէ դեպք:
Թեորեմ.Անկախ իրադարձությունների մի շարքից առնվազն մեկ իրադարձության առաջացման հավանականությունը հավասար է միասնության և իրադարձությունների չկայանալու դրանց հավանականության տարբերությանը:
Ընդհանուր հավանականության բանաձևը թույլ է տալիս գտնել իրադարձության հավանականությունը Ա, որը կարող է առաջանալ միայն յուրաքանչյուրի հետ nփոխադարձ բացառող իրադարձություններ, որոնք կազմում են ամբողջական համակարգ, եթե հայտնի են դրանց հավանականությունները, և պայմանական հավանականություններ զարգացումները Ահամակարգի իրադարձություններից յուրաքանչյուրի նկատմամբ հավասար են .
Իրադարձությունները կոչվում են նաև վարկածներ, դրանք միմյանց բացառող են։ Հետևաբար, գրականության մեջ կարելի է գտնել նաև դրանց նշանակումը ոչ տառով Բ, բայց նամակով Հ(վարկած):
Նման պայմաններով խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել 3-ը, 4-ը, 5-ը կամ ընդհանուր դեպքում nիրադարձության հնարավորությունը Ա- յուրաքանչյուր իրադարձության հետ:
Օգտագործելով հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմները՝ մենք ստանում ենք համակարգի յուրաքանչյուր իրադարձության հավանականության արտադրյալների գումարը՝ ըստ. պայմանական հավանականություն զարգացումները Ահամակարգի յուրաքանչյուր իրադարձության համար: Այսինքն՝ իրադարձության հավանականությունը Ակարելի է հաշվարկել բանաձևով
կամ ընդհանրապես
,
որը կոչվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևը .
Ընդհանուր հավանականության բանաձև՝ խնդրի լուծման օրինակներ
Օրինակ 1Կան երեք նույնական տեսք ունեցող կարասներ՝ առաջինում՝ 2 սպիտակ և 3 սև, երկրորդում՝ 4 սպիտակ և մեկ սև, երրորդում՝ երեք սպիտակ գնդիկ։ Ինչ-որ մեկը պատահականորեն մոտենում է սափորներից մեկին և հանում մեկ գնդակ: Օգտվել առավելությունից ընդհանուր հավանականության բանաձևը, գտե՛ք գնդակի սպիտակ լինելու հավանականությունը։
Որոշում. Իրադարձություն Ա- սպիտակ գնդակի տեսքը. Մենք երեք վարկած ենք առաջ քաշում.
Ընտրված է առաջին սափորը;
Ընտրված է երկրորդ urn;
Ընտրվել է երրորդ սափորը։
Պայմանական իրադարձությունների հավանականությունները Ավարկածներից յուրաքանչյուրի համար.
,
,
.
Մենք կիրառում ենք ընդհանուր հավանականության բանաձևը, արդյունքում՝ պահանջվող հավանականությունը.
.
Օրինակ 2Առաջին գործարանում յուրաքանչյուր 100 լամպից արտադրվում է միջինը 90 ստանդարտ լամպ, երկրորդում՝ 95, երրորդում՝ 85, և այդ գործարանների արտադրանքը կազմում է 50%, 30% և 20%։ համապատասխանաբար, որոշակի տարածքում գտնվող խանութներին մատակարարվող բոլոր էլեկտրական լամպերից: Գտեք ստանդարտ լամպ գնելու հավանականությունը:
Որոշում. Ստանդարտ լամպ ձեռք բերելու հավանականությունը նշենք որպես Ա, և այն իրադարձությունները, որ գնված լամպը արտադրվել է համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ և երրորդ գործարաններում՝ միջոցով: Պայմաններով հայտնի են այս իրադարձությունների հավանականությունները՝ , , և դեպքի պայմանական հավանականությունները Ադրանցից յուրաքանչյուրի վերաբերյալ. 
,
,
. Սրանք ստանդարտ լամպ ձեռք բերելու հավանականությունն է՝ պայմանով, որ այն արտադրվի համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ և երրորդ գործարաններում։
Իրադարձություն Ատեղի կունենա, եթե իրադարձություն տեղի ունենա կամ Կ- լամպը պատրաստված է առաջին գործարանում և ստանդարտ է, կամ իրադարձություն Լ- լամպը պատրաստված է երկրորդ գործարանում և ստանդարտ է, կամ իրադարձություն Մ- լամպը արտադրված է երրորդ գործարանում և ստանդարտ է: Իրադարձության առաջացման այլ հնարավորություններ Աոչ Հետեւաբար, միջոցառումը Աիրադարձությունների հանրագումարն է Կ, Լև Մորոնք անհամատեղելի են։ Կիրառելով հավանականության գումարման թեորեմը՝ մենք ներկայացնում ենք իրադարձության հավանականությունը Աինչպես
իսկ հավանականության բազմապատկման թեորեմով ստանում ենք
այն է, ընդհանուր հավանականության բանաձևի հատուկ դեպք.
Փոխարինելով հավանականությունները բանաձևի ձախ կողմում, մենք ստանում ենք իրադարձության հավանականությունը Ա :
Օրինակ 3Ինքնաթիռը վայրէջք է կատարում օդանավակայանում։ Եթե եղանակը թույլ է տալիս, օդաչուն վայրէջք է կատարում ինքնաթիռը՝ գործիքներից բացի, օգտագործելով նաև տեսողական դիտարկում։ Այս դեպքում հաջող վայրէջքի հավանականությունը մեծ է: Եթե օդանավակայանը ամպամած է ցածր ամպերով, ապա օդաչուն վայրէջք է կատարում ինքնաթիռը՝ կողմնորոշվելով միայն գործիքների վրա։ Այս դեպքում հաջող վայրէջքի հավանականությունը մեծ է. . Սարքերը, որոնք ապահովում են կույր վայրէջք, ունեն հուսալիություն (անխափան աշխատանքի հավանականություն) Պ. Ցածր ամպամածության և ձախողված կույր վայրէջքի գործիքների առկայության դեպքում հաջող վայրէջքի հավանականությունը մեծ է. . Վիճակագրությունը ցույց է տալիս, որ ին կՎայրէջքների տոկոսը, օդանավակայանը ծածկված է ցածր ամպերով: Գտեք իրադարձության ամբողջական հավանականությունը Ա- օդանավի անվտանգ վայրէջք.
Որոշում. Վարկածներ.
Ցածր ամպամածություն չկա;
Կա ցածր ամպամածություն։
Այս վարկածների (իրադարձությունների) հավանականությունը.
;
Պայմանական հավանականություն.
Պայմանական հավանականությունը կրկին գտնում ենք վարկածներով ընդհանուր հավանականության բանաձևով
Կույր վայրէջքի սարքերը աշխատում են;
Կույր վայրէջքի գործիքները ձախողվեցին.
Այս վարկածների հավանականությունը հետևյալն է.
Ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի
Օրինակ 4Սարքը կարող է աշխատել երկու ռեժիմով՝ նորմալ և աննորմալ: Նորմալ ռեժիմը դիտվում է սարքի շահագործման բոլոր դեպքերի 80%-ում, իսկ աննորմալը՝ 20%-ի դեպքում։ Սարքի խափանման հավանականությունը որոշակի ժամանակահատվածում տհավասար է 0,1; աննորմալ 0.7-ում: Գտեք լրիվ հավանականությունսարքի ժամանակին ձախողում տ.
Որոշում. Մենք կրկին նշում ենք սարքի խափանման հավանականությունը որպես Ա. Այսպիսով, ինչ վերաբերում է սարքի աշխատանքին յուրաքանչյուր ռեժիմում (իրադարձություններ), հավանականությունները հայտնի են պայմանով. նորմալ ռեժիմի համար այն կազմում է 80% (), աննորմալ ռեժիմի համար՝ 20% (): Իրադարձության հավանականություն Ա(այսինքն, սարքի խափանումը) կախված առաջին իրադարձությունից (նորմալ ռեժիմ) 0.1 (); կախված երկրորդ իրադարձությունից (աննորմալ ռեժիմ) - 0.7 ( 
) Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք ընդհանուր հավանականության բանաձևով (այսինքն՝ համակարգի իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականության արտադրյալների գումարը և իրադարձության պայմանական հավանականությունը Ահամակարգի իրադարձություններից յուրաքանչյուրի վերաբերյալ) և մենք ունենք պահանջվող արդյունքը։
