Երկու անկախ իրադարձություն. Կախված և անկախ իրադարձություններ. Պայմանական հավանականություն. Դասախոսությունը նշում է հավանականությունների տեսության և էկոնոմետիկայի մեջ օգտագործվող վիճակագրության հիմնական հասկացությունները

Մաթեմատիկայի USE առաջադրանքներում կան նաև հավանականության ավելի բարդ խնդիրներ (քան մենք դիտարկել ենք Մաս 1-ում), որտեղ պետք է կիրառել գումարման, հավանականությունների բազմապատկման կանոնը և տարբերակել համատեղ և անհամատեղելի իրադարձությունները:

Այսպիսով, տեսություն.

Համատեղ և ոչ համատեղ միջոցառումներ

Իրադարձությունները համարվում են անհամատեղելի, եթե դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսների առաջացումը: Այսինքն, միայն մեկ կոնկրետ իրադարձություն կարող է տեղի ունենալ, կամ մյուսը:

Օրինակ՝ գցելով ձեռը, դուք կարող եք տարբերակել այնպիսի իրադարձություններ, ինչպիսիք են զույգ քանակությունը և կենտ միավորները: Այս իրադարձություններն անհամատեղելի են։

Իրադարձությունները կոչվում են համատեղ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի բացառում մյուսի առաջացումը։

Օրինակ, մեռնոց նետելիս կարող եք տարբերակել այնպիսի իրադարձություններ, ինչպիսիք են կենտ թվով միավորների առաջացումը և մի քանի միավորների կորուստը, որը երեքի բազմապատիկ է: Երբ երեքը գլորվում է, երկու իրադարձություններն էլ իրականացվում են:

Իրադարձությունների գումարը

Մի քանի իրադարձությունների հանրագումարը (կամ միավորումը) իրադարձություն է, որը բաղկացած է այդ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացումից:

Որտեղ երկու տարանջատված իրադարձությունների գումարը այս իրադարձությունների հավանականությունների հանրագումարն է.

Օրինակ, 5 կամ 6-ը ստանալու հավանականությունը զառախաղմեկ պտույտի վրա, կլինի այն պատճառով, որ երկու իրադարձություններն էլ (գլանակ 5, պտույտ 6) անհամատեղելի են, և այս կամ այն ​​իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

Հավանականությունը երկու համատեղ իրադարձությունների գումարը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին՝ առանց հաշվի առնելու դրանց համատեղ առաջացումը.

Օրինակ՝ առևտրի կենտրոնում երկու միանման ավտոմատներ սուրճ են վաճառում: Հավանականությունը, որ մեքենայի սուրճը մինչև օրվա վերջ կպակասի, 0,3 է։ Հավանականությունը, որ երկու մեքենաներում էլ սուրճը կսպառվի, 0,12 է։ Գտնենք հավանականությունը, որ օրվա վերջում սուրճը կավարտվի մեքենաներից գոնե մեկում (այսինքն՝ կա՛մ մեկում, կա՛մ մյուսում, կա՛մ երկուսում՝ միանգամից)։

Առաջին իրադարձության հավանականությունը «սուրճը կավարտվի առաջին մեքենայում», ինչպես նաև երկրորդ իրադարձության «սուրճը կավարտվի երկրորդ մեքենայում» պայմանով հավասար է 0,3-ի։ Միջոցառումները համատեղ են:

Առաջին երկու իրադարձությունների համատեղ իրականացման հավանականությունն ըստ պայմանի հավասար է 0,12-ի.

Սա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ մինչև օրվա վերջ սուրճը կվերջանա ապարատներից գոնե մեկում,

Կախված և անկախ իրադարձություններ

Երկու պատահական իրադարձություններ A և B կոչվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի փոխում մյուսի տեղի ունենալու հավանականությունը: Հակառակ դեպքում A և B իրադարձությունները կոչվում են կախված:

Օրինակ՝ միաժամանակ երկու զառ նետելիս կաթիլը դրանցից մեկի վրա, ասենք 1-ին, իսկ երկրորդ 5-ի վրա, - անկախ միջոցառումներ.

Հավանականությունների արտադրանք

Մի քանի իրադարձությունների արտադրյալը (կամ խաչմերուկը) իրադարձություն է, որը բաղկացած է այս բոլոր իրադարձությունների համատեղ առաջացումից:

Եթե ​​կան երկու անկախ միջոցառումներ A և B՝ համապատասխանաբար P(A) և P(B) հավանականություններով, ապա A և B իրադարձությունների իրականացման հավանականությունը միաժամանակ հավասար է հավանականությունների արտադրյալին.

Օրինակ, մենք շահագրգռված ենք երկու անգամ անընդմեջ զառի վրա վեցի կորստով: Երկու իրադարձություններն էլ անկախ են, և դրանցից յուրաքանչյուրի առանձին տեղի ունենալու հավանականությունը մեծ է: Այս երկու իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը կհաշվարկվի վերը նշված բանաձևով.

Տեսեք առաջադրանքների ընտրանի թեման մշակելու համար:

Իրադարձությունները A, B, C... կոչվում են կախյալմիմյանցից, եթե դրանցից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը տատանվում է՝ կախված այլ իրադարձությունների տեղի ունենալուց կամ չկայանալուց: Իրադարձությունները կոչվում են անկախեթե դրանցից յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունը կախված չէ մյուսների առաջանալուց կամ չառաջանալուց.

Պայմանական հավանականություն(RA (B) - B իրադարձության պայմանական հավանականությունը A-ի նկատմամբ) B իրադարձության հավանականությունն է, որը հաշվարկվում է այն ենթադրության հիման վրա, որ իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել: պայմանական հավանականության օրինակ B իրադարձության պայմանական հավանականությունը, պայմանով, որ A իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել, ըստ սահմանման, հավասար է RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0):

Կախված իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկում.Երկու իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականության արտադրյալին մյուսի պայմանական հավանականությամբ, որը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ առաջին իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել.
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Օրինակ. Կոլեկցիոներն ունի 3 կոնաձև և 7 էլիպսաձև գլան: Կոլեկցիոները վերցրեց մեկ գլան, իսկ հետո երկրորդը: Գտե՛ք հավանականությունը, որ վերցված գլաններից առաջինը կոնաձև է, իսկ երկրորդը՝ էլիպսաձև։

Լուծում:Հավանականությունը, որ առաջին գլանակը կլինի կոնաձև (իրադարձություն A), P (A) = 3/10: Երկրորդ գլանակի էլիպսաձև լինելու հավանականությունը (իրադարձություն B), հաշվարկվում է այն ենթադրության ներքո, որ առաջին գլանաձևը կոնաձև է, այսինքն՝ պայմանական։ հավանականություն RA (B) = 7 / 9:
Ըստ բազմապատկման բանաձևի, ցանկալի հավանականությունը P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30: Նկատի ունեցեք, որ, պահպանելով նշումը, մենք կարող է հեշտությամբ գտնել՝ P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Իրադարձությունների անկախության պայման. Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկում. Օրինակներ.

B իրադարձությունը անկախ է A իրադարձությունից, եթե

P(B/A) = P(B) այսինքն. Իրադարձության B-ի հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե արդյոք իրադարձությունը տեղի է ունեցել, թե ոչ:

Այս դեպքում A իրադարձությունը կախված չէ B իրադարձությունից, այսինքն՝ իրադարձությունների անկախության հատկությունը փոխադարձ է։

Երկու անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին.

P(AB) = P(A)P(B) .

Օրինակ 1: T ժամանակում գործող սարքը բաղկացած է երեք հանգույցներից, որոնցից յուրաքանչյուրը, անկախ մյուսներից, կարող է խափանվել (անսարք լինել) t ժամանակի ընթացքում։ Առնվազն մեկ հանգույցի ձախողումը հանգեցնում է ամբողջ սարքի ձախողմանը: t ժամանակի ընթացքում առաջին հանգույցի հուսալիությունը (անվնաս աշխատանքի հավանականությունը) հավասար է p 1 = 0,8; երկրորդ p 2 = 0.9 երրորդ p 3 = 0.7: Գտեք սարքի հուսալիությունը որպես ամբողջություն:

Լուծում.Նշելով.

Ա - սարքերի անխափան շահագործում,

1 - առաջին հանգույցի առանց ձախողման գործողություն,

2 - երկրորդ հանգույցի անխափան աշխատանք,

3 - երրորդ հանգույցի անխափան աշխատանքը,

որտեղից անկախ իրադարձությունների բազմապատկման թեորեմով

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Օրինակ 2. Գտե՛ք թվանշանի միասին հայտնվելու հավանականությունը երկու մետաղադրամի մեկ նետումով:

Լուծում. Առաջին մետաղադրամի թվանշանի հայտնվելու հավանականությունը (իրադարձություն A) Р(А) = 1/2; երկրորդ մետաղադրամի (իրադարձություն B) թվանշանի հայտնվելու հավանականությունը P(B) = 1/2 է։

A և B իրադարձությունները անկախ են, ուստի մենք գտնում ենք ցանկալի հավանականությունը

ըստ բանաձևի.

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Իրադարձությունների հետևողականություն և անհամապատասխանություն. Երկու համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարում: Օրինակներ.

Երկու իրադարձությունները կոչվում են համատեղեթե դրանցից մեկի առաջացումը չի ազդում կամ բացառում է մյուսի առաջացումը: Համատեղ իրադարձությունները կարող են իրականացվել միաժամանակ, ինչպես, օրինակ, ցանկացած թվի հայտնվելը նույն զառերի վրա

ոչ մի կերպ չի ազդում այլ ոսկորների վրա թվերի տեսքի վրա: Իրադարձությունները անհամապատասխան են, եթե մի երևույթի կամ մի փորձության ժամանակ դրանք չեն կարող իրականացվել միաժամանակ, և դրանցից մեկի հայտնվելը բացառում է մյուսի տեսքը (նպատակին հարվածելը և անհայտ կորելը անհամատեղելի են):

A կամ B երկու համատեղ իրադարձություններից առնվազն մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին առանց դրանց համատեղ առաջացման հավանականության.

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB):

Օրինակ. Առաջին մարզիկի համար թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,85 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,8։ Մարզիկներն ինքնուրույն

արձակել է մեկ կրակոց. Գտեք հավանականությունը, որ գոնե մեկ մարզիկ դիպչի թիրախին:

Լուծում. Ներկայացնենք նշումը՝ իրադարձություններ A՝ «առաջին մարզիկի հարված», Բ՝ «երկրորդ մարզիկի հարված», C՝ «մարզիկներից առնվազն մեկի հարված»։ Ակնհայտ է, որ A + B = C, և A և B իրադարձությունները համատեղելի են: Բանաձևի համաձայն մենք ստանում ենք.

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

քանի որ A-ն և B-ն անկախ իրադարձություններ են: Փոխարինելով այս արժեքները P(A) = 0.85, P(B) = 0.8 P(C) բանաձևի մեջ, մենք գտնում ենք ցանկալի հավանականությունը:

P (C) \u003d (0.85 + 0.8) - 0.85 0.8 \u003d 0.97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ

Հակառականվանել երկու անհամատեղելի իրադարձություն, որոնք կազմում են ամբողջական խումբ: Եթե ​​երկու հակադիր իրադարձություններից մեկը նշանակվում է ԲԱՅՑ,մյուսը սովորաբար նշվում է . Հակառակ իրադարձություն կայանում է իրադարձության չկայանալու մեջ ԲԱՅՑ.

Թեորեմ.Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

P(A)+P()= 1.

Օրինակ 4Տուփը պարունակում է 11 մաս, որից 8-ը՝ ստանդարտ։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն արդյունահանված 3 մասերի մեջ կա առնվազն մեկ թերի:

Լուծում.Խնդիրը կարող է լուծվել երկու ճանապարհով.

1 ճանապարհ. Հակառակ են «արդյունահանված մասերի մեջ առնվազն մեկ թերի մաս» և «արդյունահանված մասերի մեջ ոչ մի թերի մաս չկա» իրադարձությունները։ Առաջին իրադարձությունը նշենք որպես ԲԱՅՑ,իսկ երկրորդը միջոցով :

P(A) =1 - P( ) .

Եկեք գտնենք R(). 11 մասից 3 մաս հանելու եղանակների ընդհանուր թիվը հավասար է համակցությունների թվին
. Ստանդարտ մասերի քանակը 8 է ; այս քանակի մասերից
3 ստանդարտ մասեր հանելու եղանակներ. Հետևաբար, հավանականությունը, որ արդյունահանված 3 մասերի մեջ չկան ոչ ստանդարտ մասեր, հավասար է.

Համաձայն հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմի՝ ցանկալի հավանականությունը հավասար է. P(A)=1 - P()=

2 ճանապարհ.Իրադարձություն ԲԱՅՑ- «արդյունահանված մասերի մեջ կա առնվազն մեկ թերի» - կարող է ընկալվել որպես տեսք.

կամ իրադարձություններ AT- «հանվել է 1 թերի և 2 ոչ թերի մասեր»,

կամ իրադարձություններ ԻՑ- «հանվել է 2 թերի և 1 ոչ թերի դետալ»,

կամ իրադարձություններ Դ - «3 թերի դետալ հանվել է».

Հետո Ա= Բ+ Գ+ Դ. Իրադարձություններից ի վեր Բ, Գ և Դ անհամատեղելի, ապա մենք կարող ենք կիրառել գումարման թեորեմը անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների համար.

4. Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմը

Երկու իրադարձությունների արդյունքԲԱՅՑ ևAT զանգահարել միջոցառումը Գ=AB,բաղկացած այս իրադարձությունների համատեղ տեսքից (համակցումից):

Մի քանի իրադարձությունների արդյունքանվանեք այն իրադարձությունը, որը բաղկացած է այս բոլոր իրադարձությունների համատեղ առաջացումից: Օրինակ՝ իրադարձություն ABCիրադարձությունների համակցությունն է Ա, Բև ԻՑ.

Երկու իրադարձություն է կոչվում անկախեթե դրանցից մեկի հավանականությունը կախված չէ մյուսի առաջանալուց կամ չկայանալուց։

Թեորեմ.Երկու անկախ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.

P(AB)=P(A) P(B).

Հետևանք.Մի քանի իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը, որոնք ընդհանուր առմամբ անկախ են, հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին. :

Պ(Ա 1 ԲԱՅՑ 2 ... ԲԱՅՑ n ) = P(A 1 ) Պ(Ա 2 )...Պ(Ա n ).

Օրինակ 5Գտե՛ք զինանշանի միասին հայտնվելու հավանականությունը երկու մետաղադրամի մեկ նետումով:

Լուծում. Նշենք իրադարձությունները. ԲԱՅՑ -առաջին մետաղադրամի զինանշանի տեսքը, AT -զինանշանի տեսքը երկրորդ մետաղադրամի վրա, ԻՑ- զինանշանի տեսքը երկու մետաղադրամի վրա C=AB.

Առաջին մետաղադրամի զինանշանի հայտնվելու հավանականությունը :

P(A) =.

Երկրորդ մետաղադրամի զինանշանի հայտնվելու հավանականությունը :

P(B) =.

Իրադարձություններից ի վեր ԲԱՅՑև ATանկախ, ապա ցանկալի հավանականությունը ըստ բազմապատկման թեորեմի հավասար է.

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Օրինակ 6Առկա է 3 տուփ, որը պարունակում է 10 մաս։ Առաջին դարակը պարունակում է 8, երկրորդ դարակը 7, իսկ երրորդ դարակը 9 ստանդարտ մասեր: Յուրաքանչյուր տուփից պատահականորեն նկարվում է մեկ տարր: Գտեք հավանականությունը, որ հանված բոլոր երեք մասերը ստանդարտ են:

Լուծում. Հավանականությունը, որ ստանդարտ մասը վերցված է առաջին տուփից (իրադարձություն ԲԱՅՑ):

P(A) =

Հավանականությունը, որ ստանդարտ մասը վերցված է երկրորդ տուփից (իրադարձություն AT):

Հավանականությունը, որ ստանդարտ մասը վերցված է երրորդ տուփից (իրադարձություն ԻՑ):

P(C)=

Իրադարձություններից ի վեր Ա, Բև ԻՑագրեգատի մեջ անկախ, ապա ցանկալի հավանականությունը (ըստ բազմապատկման թեորեմի) հավասար է.

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Օրինակ 7Երկու անկախ իրադարձություններից յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑ 1 և ԲԱՅՑ 2 համապատասխանաբար հավասար Ռ 1 և Ռ 2. Գտեք այս իրադարձություններից միայն մեկի առաջացման հավանականությունը:

Լուծում. Ներկայացնենք իրադարձությունների նշումը.

AT 1 – հայտնվեց միայն իրադարձությունը ԲԱՅՑ 1 ; AT 2 – հայտնվեց միայն իրադարձությունը ԲԱՅՑ 2 .

Իրադարձության առաջացում AT 1 համարժեք է իրադարձության առաջացմանը ԲԱՅՑ 1 2 (առաջին իրադարձությունը հայտնվեց, իսկ երկրորդը չհայտնվեց), այսինքն. AT 1 = Ա 1 2 .

Իրադարձության առաջացում AT 2 համարժեք է իրադարձության առաջացմանը 1 ԲԱՅՑ 2 (առաջին իրադարձությունը չհայտնվեց, իսկ երկրորդը հայտնվեց), այսինքն. AT 1 = 1 ԲԱՅՑ 2 .

Այսպիսով, գտնել իրադարձություններից միայն մեկի առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑ 1 կամ ԲԱՅՑ 2 , բավական է գտնել մեկի առաջացման հավանականությունը՝ անկախ իրադարձություններից որից AT 1 և AT 2 . Զարգացումներ AT 1 և AT 2 անհամատեղելի են, հետևաբար անհամատեղելի իրադարձությունների գումարման թեորեմը կիրառելի է.

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմներ.
Կախված և անկախ իրադարձություններ

Վերնագիրը սարսափելի է թվում, բայց իրականում շատ պարզ է: Այս դասում մենք կծանոթանանք իրադարձությունների հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմներին, ինչպես նաև կվերլուծենք բնորոշ առաջադրանքները, որոնց հետ մեկտեղ. առաջադրանք հավանականության դասական սահմանման համարանպայման կհանդիպեք կամ, ավելի հավանական է, արդեն հանդիպել եք ձեր ճանապարհին: Այս հոդվածի նյութերն արդյունավետ ուսումնասիրելու համար դուք պետք է իմանաք և հասկանաք հիմնական տերմինները հավանականությունների տեսությունև կարողանա կատարել պարզ թվաբանական գործողություններ: Ինչպես տեսնում եք, շատ քիչ բան է պահանջվում, և, հետևաբար, ակտիվում ճարպային գումարը գրեթե երաշխավորված է: Բայց մյուս կողմից, կրկին զգուշացնում եմ գործնական օրինակների նկատմամբ մակերեսային վերաբերմունքից՝ կան նաև բավական նրբություններ։ Հաջողություն:

Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմըերկուսից մեկի առաջացման հավանականությունը անհամատեղելիիրադարձություններ կամ (անկախ ամեն ինչից), հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

Նման փաստը ճիշտ է նաև ավելի մեծ թվով անհամատեղելի իրադարձությունների համար, օրինակ՝ երեք անհամատեղելի իրադարձությունների և.

Երազի թեորեմ =) Այնուամենայնիվ, նման երազը նույնպես ենթակա է ապացուցման, որը կարելի է գտնել, օրինակ, մեջ ուսումնական ուղեցույցՎ.Է. Գմուրման.

Ծանոթանանք նոր, մինչ այժմ չտեսնված հասկացություններին.

Կախված և անկախ իրադարձություններ

Սկսենք անկախ միջոցառումներից։ Իրադարձություններ են անկախ եթե առաջացման հավանականությունը նրանցից որևէ մեկը կախված չէդիտարկվող բազմության այլ իրադարձությունների հայտնվելուց/չհայտնվելուց (բոլոր հնարավոր համակցություններով): ... Բայց ի՞նչ կա սովորական արտահայտությունները մանրացնելու համար.

Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմըանկախ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը և հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.

Վերադառնանք 1-ին դասի ամենապարզ օրինակին, որտեղ երկու մետաղադրամ են նետվում և հետևյալ իրադարձությունները.

- գլուխները կընկնեն 1-ին մետաղադրամի վրա.
- Գլուխներ 2-րդ մետաղադրամի վրա:

Եկեք գտնենք իրադարձության հավանականությունը (գլուխները կհայտնվեն 1-ին մետաղադրամի վրա և 2-րդ մետաղադրամի վրա կհայտնվի արծիվ - հիշեք, թե ինչպես կարդալ իրադարձությունների արդյունք!) . Մեկ մետաղադրամի վրա գլուխներ ստանալու հավանականությունը կախված չէ մեկ այլ մետաղադրամ նետելու արդյունքից, հետևաբար իրադարձությունները և անկախ են:

Նմանապես.
հավանականությունն է, որ 1-ին մետաղադրամը կհայտնվի գլխիկներով և 2-րդ պոչի վրա;
1-ին մետաղադրամի վրա գլուխներ հայտնվելու հավանականությունն է և 2-րդ պոչի վրա;
1-ին մետաղադրամի պոչերի վրա ընկնելու հավանականությունն է և 2-րդ արծվի վրա.

Նկատի ունեցեք, որ իրադարձությունները ձևավորվում են ամբողջական խումբիսկ դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի՝ .

Բազմապատկման թեորեմն ակնհայտորեն տարածվում է ավելի մեծ թվով անկախ իրադարձությունների վրա, ուստի, օրինակ, եթե իրադարձություններն անկախ են, ապա դրանց համատեղ առաջացման հավանականությունը հետևյալն է. Եկեք պարապենք կոնկրետ օրինակներով.

Առաջադրանք 3

Երեք տուփերից յուրաքանչյուրը պարունակում է 10 մաս: Առաջին տուփի մեջ կա 8 ստանդարտ դետալ, երկրորդում՝ 7, երրորդում՝ 9։ Յուրաքանչյուր տուփից պատահականորեն մի մասը հանվում է։ Գտեք հավանականությունը, որ բոլոր մասերը ստանդարտ են:

ԼուծումՈրևէ տուփից ստանդարտ կամ ոչ ստանդարտ մաս հանելու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե որ մասերը կհանվեն այլ տուփերից, ուստի խնդիրը կապված է անկախ իրադարձությունների հետ։ Դիտարկենք հետևյալ անկախ իրադարձությունները.

– 1-ին տուփից հանվում է ստանդարտ հատված.
– 2-րդ տուփից հանվում է ստանդարտ մասը.
– 3-րդ դարակից հանվել է ստանդարտ հատված:

Ըստ դասական սահմանման.
համապատասխան հավանականություններն են։

Իրադարձություն, որը մեզ հետաքրքրում է (Ստանդարտ մասը վերցվելու է 1-ին դարակից և 2-րդ ստանդարտից և 3-րդ ստանդարտից)արտահայտվում է արտադրանքով.

Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի համաձայն.

հավանականությունն է, որ մեկ ստանդարտ մաս կհանվի երեք տուփից:

Պատասխանել: 0,504

Տուփերով աշխուժացնող վարժություններից հետո մեզ սպասում են ոչ պակաս հետաքրքիր կարասներ.

Առաջադրանք 4

Երեք urns պարունակում են 6 սպիտակ և 4 սև գնդակներ: Յուրաքանչյուր urn-ից պատահականորեն մեկ գնդակ է քաշվում: Գտե՛ք հավանականությունը, որ՝ ա) բոլոր երեք գնդիկները սպիտակ կլինեն. բ) բոլոր երեք գնդիկները կլինեն նույն գույնը:

Ստացված տեղեկատվության հիման վրա գուշակեք, թե ինչպես վարվել «be» կետի հետ ;-) Մոտավոր նմուշի լուծումը նախագծված է ակադեմիական ոճով՝ բոլոր իրադարձությունների մանրամասն նկարագրությամբ:

Կախված իրադարձություններ. Միջոցառումը կոչվում է կախյալ եթե դրա հավանականությունը կախված էմեկ կամ մի քանի իրադարձություններից, որոնք արդեն տեղի են ունեցել: Օրինակների համար հեռու գնալու կարիք չկա, պարզապես գնացեք մոտակա խանութ.

-Վաղը ժամը 19.00-ին թարմ հաց կվաճառվի։

Այս իրադարձության հավանականությունը կախված է բազմաթիվ այլ իրադարձություններից՝ վաղը թարմ հաց կմատակարարվի, մինչև երեկոյան 19-ը կվաճառվի, թե ոչ և այլն։ Կախված տարբեր հանգամանքներից՝ այս իրադարձությունը կարող է լինել և՛ հուսալի, և՛ անհնարին: Այսպիսով, իրադարձությունը կախյալ.

Հացը և, ինչպես պահանջում էին հռոմեացիները, կրկեսները.

- քննության ժամանակ ուսանողը կստանա պարզ տոմս:

Եթե ​​դուք առաջինը չգնաք, ապա իրադարձությունը կախված կլինի, քանի որ դրա հավանականությունը կախված կլինի նրանից, թե որ տոմսերն են արդեն նկարել դասընկերները:

Ինչպե՞ս որոշել իրադարձությունների կախվածությունը/անկախությունը:

Երբեմն դա ուղղակիորեն ասվում է խնդրի վիճակում, բայց ամենից հաճախ դուք պետք է անկախ վերլուծություն կատարեք: Այստեղ միանշանակ ուղեցույց չկա, և իրադարձությունների կախվածության կամ անկախության փաստը բխում է բնական տրամաբանական դատողություններից։

Որպեսզի ամեն ինչ մի կույտի մեջ չգցվի, առաջադրանքներ կախված իրադարձությունների համարԵս ընդգծեմ հաջորդ դասը, բայց առայժմ մենք գործնականում կդիտարկենք թեորեմների ամենատարածված փունջը.

Խնդիրներ գումարման թեորեմների վերաբերյալ անհամապատասխան հավանականությունների համար
և բազմապատկելով անկախ իրադարձությունների հավանականությունները

Այս տանդեմը, իմ սուբյեկտիվ գնահատմամբ, աշխատում է քննարկվող թեմայի առաջադրանքների մոտ 80%-ում։ Հիթերի հիթ և հավանականության տեսության իրական դասական.

Առաջադրանք 5

Երկու հրաձիգներ մեկական կրակոց են արձակել թիրախի ուղղությամբ։ Առաջին կրակողի համար հարվածելու հավանականությունը 0,8 է, երկրորդինը՝ 0,6։ Գտեք հավանականությունը, որ.

ա) միայն մեկ հրաձիգ կհարվածի թիրախին.
բ) կրակողներից առնվազն մեկը կհարվածի թիրախին.

ԼուծումՄեկ կրակողի հարվածի/վրիպման հավանականությունը ակնհայտորեն անկախ է մյուս հրաձողի խաղից:

Դիտարկենք իրադարձությունները.
- 1-ին հրաձիգը կհարվածի թիրախին.
– 2-րդ հրաձիգը կհարվածի թիրախին:

Ըստ պայմանի:

Եկեք գտնենք հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը, որ համապատասխան սլաքները բաց կթողնեն.

ա) Դիտարկենք իրադարձությունը. - միայն մեկ կրակող է դիպչում թիրախին: Այս իրադարձությունը բաղկացած է երկու անհամատեղելի արդյունքներից.

1-ին հրաձիգը կխփի և 2-րդ բաց թողած
կամ
1-ին բաց կթողնի և 2-րդը կխփի.

Լեզվի վրա իրադարձությունների հանրահաշիվներայս փաստը կարելի է գրել այսպես.

Նախ՝ մենք օգտագործում ենք անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը, այնուհետև՝ անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմը.

հավանականությունն է, որ կլինի միայն մեկ հարված.

բ) Դիտարկենք իրադարձությունը. - կրակողներից առնվազն մեկը կհարվածի թիրախին:

Նախ ՄՏԾԵՆՔ՝ ի՞նչ է նշանակում «ԳՈՆԵ ՄԵԿ» պայմանը։ Այս դեպքում դա նշանակում է, որ կամ 1-ին կրակողը կխփի (2-րդը բաց կթողնի) կամ 2-րդ (1-ին բաց թողած) կամերկու սլաքները միանգամից՝ ընդհանուր 3 անհամատեղելի արդյունք:

Մեթոդ առաջինՀաշվի առնելով նախորդ կետի պատրաստված հավանականությունը, հարմար է իրադարձությունը ներկայացնել որպես հետևյալ տարանջատված իրադարձությունների գումար.

մեկը կստանա (իրադարձություն, որն իր հերթին բաղկացած է 2 անհամատեղելի արդյունքներից) կամ
Եթե ​​երկու սլաքներն էլ դիպչում են, մենք այս իրադարձությունը նշում ենք տառով:

Այս կերպ:

Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի համաձայն.
հավանականությունն է, որ 1-ին կրակողը կհարվածի և 2-րդ հրաձիգը կխփի.

Համաձայն անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմի.
թիրախին առնվազն մեկ հարվածի հավանականությունն է:

Մեթոդ երկուՀաշվի առեք հակառակ իրադարձությունը. – երկու հրաձիգներն էլ բաց կթողնեն:

Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի համաձայն.

Որպես արդյունք:

Հատուկ ուշադրությունուշադրություն դարձրեք երկրորդ մեթոդին` ընդհանուր դեպքում այն ​​ավելի ռացիոնալ է:

Բացի այդ, կա լուծման այլընտրանքային՝ երրորդ եղանակ՝ հիմնված համատեղ իրադարձությունների գումարման թեորեմի վրա, որը վերը լռեց։

! Եթե ​​նյութն առաջին անգամ եք կարդում, ապա շփոթմունքից խուսափելու համար ավելի լավ է բաց թողնել հաջորդ պարբերությունը։

Մեթոդ երրորդ իրադարձությունները համատեղ են, ինչը նշանակում է, որ դրանց գումարն արտահայտում է «առնվազն մեկ կրակող թիրախին դիպչել է» իրադարձությունը (տես Նկ. իրադարձությունների հանրահաշիվ) Ըստ համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմև անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմը.

Ստուգենք՝ իրադարձություններ և (0, 1 և 2 հարվածներ համապատասխանաբար)կազմեք ամբողջական խումբ, ուստի դրանց հավանականությունների գումարը պետք է հավասար լինի մեկի.
, որը պետք է ստուգվեր։

Պատասխանել:

Հավանականությունների տեսության մանրակրկիտ ուսումնասիրությամբ դուք կհանդիպեք միլիտարիստական ​​բովանդակության տասնյակ առաջադրանքների, և, ինչը բնորոշ է, դրանից հետո չեք ցանկանա որևէ մեկին գնդակահարել՝ առաջադրանքները գրեթե նվեր են։ Ինչու չդարձնել կաղապարն էլ ավելի պարզ: Եկեք կրճատենք մուտքը.

Լուծումըստ պայմանի՝ , համապատասխան հրաձիգներին խոցելու հավանականությունն է։ Այնուհետև նրանց բաց թողնելու հավանականությունները հետևյալն են.

ա) Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման և անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմների համաձայն.
այն հավանականությունն է, որ միայն մեկ կրակող կհարվածի թիրախին:

բ) Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի համաձայն.
այն հավանականությունն է, որ երկու հրաձիգներն էլ բաց կթողնեն:

Այնուհետև՝ հավանականությունն է, որ կրակողներից գոնե մեկը կհարվածի թիրախին:

Պատասխանել:

Գործնականում դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած դիզայնի տարբերակ: Իհարկե, շատ ավելի հաճախ նրանք գնում են կարճ ճանապարհով, բայց չպետք է մոռանալ 1-ին մեթոդը, թեև այն ավելի երկար է, բայց ավելի բովանդակալից, ավելի պարզ է դրա մեջ. ինչ, ինչու և ինչուգումարվում և բազմապատկվում է: Որոշ դեպքերում տեղին է հիբրիդային ոճը, երբ հարմար է միայն որոշ իրադարձություններ նշել մեծատառերով։

Նմանատիպ առաջադրանքներ անկախ լուծման համար.

Առաջադրանք 6

Հրդեհի ազդանշանման համար տեղադրված են երկու անկախ գործող սենսորներ։ Հրդեհի ժամանակ սենսորը գործելու հավանականությունը 0,5 և 0,7 է առաջին և երկրորդ սենսորների համար, համապատասխանաբար: Գտեք հավանականությունը, որ հրդեհի ժամանակ.

ա) երկու սենսորներն էլ կխափանվեն.
բ) երկու սենսորներն էլ կաշխատեն:
գ) Օգտագործելով ամբողջական խումբ կազմող իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմ, գտեք հավանականությունը, որ հրդեհի ժամանակ կգործի միայն մեկ սենսոր: Ստուգեք արդյունքը՝ այս հավանականության ուղղակի հաշվարկով (օգտագործելով գումարման և բազմապատկման թեորեմներ).

Այստեղ սարքերի աշխատանքի անկախությունն ուղղակիորեն գրված է պայմանում, որն, ի դեպ, կարևոր պարզաբանում է։ Նմուշի լուծումը մշակված է ակադեմիական ոճով:

Իսկ եթե նմանատիպ խնդրի դեպքում տրվեն նույն հավանականությունները, օրինակ՝ 0,9 և 0,9: Դուք պետք է որոշեք ճիշտ նույնը: (ինչը, ըստ էության, արդեն ցուցադրվել է օրինակում երկու մետաղադրամով)

Առաջադրանք 7

Առաջին կրակողի կողմից թիրախը մեկ կրակոցով խոցելու հավանականությունը 0,8 է։ Հավանականությունը, որ առաջին և երկրորդ կրակողները մեկ կրակոց արձակելուց հետո թիրախը չի խոցվել, 0,08 է։ Որքա՞ն է երկրորդ կրակողի կողմից մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը:

Եվ սա փոքրիկ գլուխկոտրուկ է, որը շրջանակված է կարճ ձևով։ Պայմանն ավելի հակիրճ կարելի է վերաձեւակերպել, բայց բնօրինակը չեմ վերամշակի. գործնականում պետք է խորամուխ լինել ավելի զարդարուն հորինվածքների մեջ:

Հանդիպեք նրան. նա է, ով ձեզ համար կտրեց անչափելի քանակությամբ մանրամասներ =):

Առաջադրանք 8

Աշխատողը երեք մեքենա է շահագործում. Հավանականությունը, որ հերթափոխի ժամանակ առաջին մեքենան կպահանջի ճշգրտում, 0,3 է, երկրորդը՝ 0,75, երրորդը՝ 0,4։ Գտեք հավանականությունը, որ հերթափոխի ժամանակ.

ա) բոլոր մեքենաները կպահանջեն ճշգրտում.
բ) միայն մեկ մեքենա կպահանջի ճշգրտում.
գ) առնվազն մեկ մեքենա կպահանջի ճշգրտում:

ԼուծումՔանի որ պայմանը ոչինչ չի ասում մեկ տեխնոլոգիական գործընթացի մասին, ապա յուրաքանչյուր մեքենայի աշխատանքը պետք է դիտարկել անկախ այլ մեքենաների շահագործումից:

Ըստ No5 առաջադրանքի անալոգիայի՝ այստեղ կարող եք հաշվի առնել իրադարձություններ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ համապատասխան մեքենաները հերթափոխի ընթացքում կպահանջեն ճշգրտում, գրի առնել հավանականությունները, գտնել հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը և այլն։ Բայց երեք առարկաներով ես իսկապես չեմ ուզում առաջադրանքն այդպես կազմել, դա երկար և հոգնեցուցիչ կստացվի: Հետևաբար, այստեղ նկատելիորեն ավելի շահավետ է օգտագործել «արագ» ոճը.

Ըստ պայմանի՝ - հավանականությունը, որ հերթափոխի ընթացքում համապատասխան մեքենաները թյունինգ կպահանջեն։ Այնուհետև հավանականությունները, որ դրանք ուշադրություն չեն պահանջի.

Ընթերցողներից մեկն այստեղ գտել է հիանալի տառասխալ, ես նույնիսկ չեմ ուղղի այն =)

ա) Անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի համաձայն.
հավանականությունն է, որ հերթափոխի ընթացքում բոլոր երեք մեքենաները կպահանջեն ճշգրտում:

բ) «Հերթափոխի ընթացքում միայն մեկ մեքենա կպահանջի ճշգրտում» իրադարձությունը բաղկացած է երեք անհամատեղելի արդյունքներից.

1) 1-ին մեքենա կպահանջվիուշադրություն և 2-րդ մեքենա չի պահանջի և 3-րդ մեքենա չի պահանջի
կամ:
2) 1-ին մեքենա չի պահանջիուշադրություն և 2-րդ մեքենա կպահանջվի և 3-րդ մեքենա չի պահանջի
կամ:
3) 1-ին մեքենա չի պահանջիուշադրություն և 2-րդ մեքենա չի պահանջի և 3-րդ մեքենա կպահանջվի.

Համաձայն անհամատեղելիության հավանականությունների գումարման և անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմների.

- հավանականությունը, որ հերթափոխի ընթացքում միայն մեկ մեքենա կպահանջի ճշգրտում:

Կարծում եմ՝ մինչ այժմ ձեզ համար պետք է պարզ լինի, թե որտեղից է առաջացել այդ արտահայտությունը

գ) Հաշվեք հավանականությունը, որ մեքենաները չեն պահանջի ճշգրտում, իսկ հետո՝ հակառակ իրադարձության հավանականությունը.
- այն փաստը, որ առնվազն մեկ մեքենա կպահանջի ճշգրտում:

Պատասխանել:

«Վե» կետը կարող է լուծվել նաև գումարի միջոցով, որտեղ է հավանականությունը, որ հերթափոխի ընթացքում միայն երկու մեքենա կպահանջեն ճշգրտում: Այս իրադարձությունն իր հերթին ներառում է 3 անհամատեղելի ելքեր, որոնք անալոգիայով ստորագրվում են «be» կետի հետ։ Փորձեք ինքներդ գտնել հավանականությունը՝ ստուգելու ամբողջ խնդիրը հավասարության օգնությամբ։

Առաջադրանք 9

Երեք հրացաններ համազարկային կրակոցներ արձակեցին թիրախի ուղղությամբ. Միայն առաջին հրացանից մեկ կրակոցով խոցելու հավանականությունը 0,7 է, երկրորդից՝ 0,6, երրորդից՝ 0,8։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ՝ 1) առնվազն մեկ արկ դիպչի թիրախին. 2) միայն երկու արկ կհարվածեն թիրախին. 3) թիրախը խոցվելու է առնվազն երկու անգամ.

Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Եվ կրկին զուգադիպությունների մասին. այն դեպքում, երբ պայմանով, նախնական հավանականությունների երկու կամ նույնիսկ բոլոր արժեքները համընկնում են (օրինակ՝ 0,7; 0,7 և 0,7), ապա պետք է հետևել լուծման նույն ալգորիթմին:

Հոդվածի վերջում մենք կվերլուծենք ևս մեկ տարածված հանելուկ.

Առաջադրանք 10

Կրակողը յուրաքանչյուր կրակոցով խոցում է թիրախը նույն հավանականությամբ։ Որքա՞ն է այս հավանականությունը, եթե երեք կրակոցից առնվազն մեկ հարվածի հավանականությունը 0,973 է:

ԼուծումՆշում է - յուրաքանչյուր կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը:
իսկ միջոցով - յուրաքանչյուր հարվածով բաց թողնելու հավանականությունը:

Գրենք իրադարձությունները.
- 3 կրակոցով կրակողը առնվազն մեկ անգամ կհարվածի թիրախին.
- հրաձիգը բաց կթողնի 3 անգամ:

Ըստ պայմանի, ապա հակառակ իրադարձության հավանականությունը.

Մյուս կողմից, անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի համաձայն.

Այս կերպ:

- յուրաքանչյուր հարվածով բաց թողնելու հավանականությունը:

Որպես արդյունք:
յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունն է:

Պատասխանել: 0,7

Պարզ և էլեգանտ.

Դիտարկվող խնդիրում լրացուցիչ հարցեր կարող են առաջանալ միայն մեկ հարվածի, միայն երկու հարվածի հավանականության և թիրախին երեք հարվածի հավանականության մասին։ Լուծման սխեման կլինի նույնը, ինչ նախորդ երկու օրինակներում.

Այնուամենայնիվ, հիմնարար բովանդակային տարբերությունն այն է, որ կան կրկնվող անկախ թեստեր, որոնք կատարվում են հաջորդաբար, միմյանցից անկախ և արդյունքների նույն հավանականությամբ։

Խնդրի ընդհանուր դրույթը. որոշ իրադարձությունների հավանականությունները հայտնի են, սակայն անհրաժեշտ է հաշվարկել այլ իրադարձությունների հավանականությունները, որոնք կապված են այդ իրադարձությունների հետ: Այս խնդիրներում անհրաժեշտություն կա հավանականությունների վրա այնպիսի գործողությունների, ինչպիսիք են հավանականությունների գումարումը և բազմապատկումը:

Օրինակ՝ որսի ժամանակ երկու կրակոց է արձակվել։ Իրադարձություն Ա- բադին հարվածել առաջին կրակոցից, իրադարձություն Բ- հարվածել երկրորդ կրակոցից. Այնուհետև իրադարձությունների գումարը Աև Բ- հարվածել առաջին կամ երկրորդ կրակոցից կամ երկու կրակոցից.

Այլ տեսակի առաջադրանքներ. Տրվում են մի քանի միջոցառումներ, օրինակ՝ մետաղադրամը երեք անգամ նետվում է։ Պահանջվում է գտնել այն հավանականությունը, որ կա՛մ բոլոր երեք անգամները զինանշանը կընկնի, կա՛մ զինանշանը գոնե մեկ անգամ կընկնի։ Սա բազմապատկման խնդիր է:

Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների ավելացում

Հավանականության գումարումը օգտագործվում է, երբ անհրաժեշտ է հաշվարկել պատահական իրադարձությունների համակցության հավանականությունը կամ տրամաբանական գումարը։

Իրադարձությունների գումարը Աև Բնշանակել Ա + Բկամ Ա ∪ Բ. Երկու իրադարձությունների գումարը իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի է ունենում: Դա նշանակում է որ Ա + Բ- իրադարձություն, որը տեղի է ունենում այն ​​դեպքում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե որևէ իրադարձություն տեղի է ունենում դիտարկման ընթացքում Ակամ իրադարձություն Բ, կամ միևնույն ժամանակ Աև Բ.

Եթե ​​իրադարձություններ Աև Բփոխադարձաբար անհամատեղելի են և տրված են դրանց հավանականությունները, այնուհետև հավանականությունը, որ այս իրադարձություններից մեկը տեղի կունենա մեկ փորձության արդյունքում, հաշվարկվում է՝ օգտագործելով հավանականությունների գումարումը:

Հավանականությունների գումարման թեորեմ.Հավանականությունը, որ տեղի կունենա երկու փոխադարձ անհամատեղելի իրադարձություններից մեկը, հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

Օրինակ՝ որսի ժամանակ երկու կրակոց է արձակվել։ Իրադարձություն ԲԱՅՑ– բադին հարվածել առաջին կրակոցից, իրադարձություն AT– հարված երկրորդ կրակոցից, իրադարձություն ( ԲԱՅՑ+ AT) - հարված առաջին կամ երկրորդ կրակոցից կամ երկու կրակոցից։ Այսպիսով, եթե երկու իրադարձություն ԲԱՅՑև ATանհամատեղելի իրադարձություններ են, ուրեմն ԲԱՅՑ+ AT- այս իրադարձություններից առնվազն մեկի կամ երկու իրադարձությունների առաջացումը.

Օրինակ 1Տուփը պարունակում է նույն չափի 30 գնդակ՝ 10 կարմիր, 5 կապույտ և 15 սպիտակ։ Հաշվիր այն հավանականությունը, որ գունավոր (ոչ սպիտակ) գնդակը վերցվում է առանց նայելու:

Լուծում. Ենթադրենք, որ իրադարձությունը ԲԱՅՑ– «կարմիր գնդակը վերցված է», և իրադարձություն AT- «Կապույտ գնդակը վերցված է»: Այնուհետև միջոցառումը «վերցվում է գունավոր (ոչ սպիտակ) գնդակ»: Գտեք իրադարձության հավանականությունը ԲԱՅՑ:

և իրադարձություններ AT:

Զարգացումներ ԲԱՅՑև AT- փոխադարձ անհամատեղելի, քանի որ եթե մեկ գնդակ է վերցվում, ապա տարբեր գույների գնդակներ չեն կարող վերցնել: Հետևաբար, մենք օգտագործում ենք հավանականությունների գումարումը.

Մի քանի անհամատեղելի իրադարձությունների համար հավանականությունների գումարման թեորեմը.Եթե ​​իրադարձությունները կազմում են իրադարձությունների ամբողջությունը, ապա դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի.

Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը նույնպես հավասար է 1-ի.

Հակառակ իրադարձությունները կազմում են իրադարձությունների ամբողջական փաթեթ, և իրադարձությունների ամբողջական փաթեթի հավանականությունը 1 է:

Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը սովորաբար նշվում է փոքր տառերով: էջև ք. Մասնավորապես,

որից բխում են հակադիր իրադարձությունների հավանականության հետևյալ բանաձևերը.

Օրինակ 2Շրջանակի թիրախը բաժանված է 3 գոտիների. Հավանականությունը, որ առաջին գոտում որոշակի հրաձիգը կկրակի թիրախի վրա, 0,15 է, երկրորդ գոտում՝ 0,23, երրորդ գոտում՝ 0,17։ Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը հարվածում է թիրախին և հավանականությունը, որ կրակողը բաց է թողնում թիրախը:

Լուծում. Գտեք հավանականությունը, որ հրաձիգը կհարվածի թիրախին.

Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը բաց է թողել թիրախը.

Ավելի բարդ առաջադրանքներ, որոնցում դուք պետք է կիրառեք և՛ գումարում, և՛ հավանականությունների բազմապատկում - «Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման տարբեր առաջադրանքներ» էջում:

Փոխադարձ համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների ավելացում

Երկու պատահական իրադարձությունները համարվում են համատեղ, եթե մեկ իրադարձության առաջացումը չի բացառում նույն դիտարկման մեջ երկրորդ իրադարձության առաջացումը: Օրինակ՝ զառ նետելիս իրադարձությունը ԲԱՅՑհամարվում է 4 թվի առաջացումը, իսկ իրադարձությունը AT- զույգ թվի իջեցում: Քանի որ 4 թիվը զույգ թիվ է, երկու իրադարձությունները համատեղելի են: Գործնականում առաջադրանքներ կան՝ հաշվարկելու փոխադարձ համատեղ իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը։

Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը.Հավանականությունը, որ տեղի կունենա համատեղ իրադարձություններից մեկը, հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին, որից հանվում է երկու իրադարձությունների ընդհանուր առաջացման հավանականությունը, այսինքն՝ հավանականությունների արտադրյալը։ Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների բանաձևը հետևյալն է.

Քանի որ իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATհամատեղելի, իրադարձություն ԲԱՅՑ+ ATտեղի է ունենում, եթե տեղի է ունենում երեք հնարավոր իրադարձություններից մեկը. կամ ԱԲ. Համաձայն անհամատեղելի իրադարձությունների գումարման թեորեմի՝ մենք հաշվարկում ենք հետևյալ կերպ.

Իրադարձություն ԲԱՅՑտեղի է ունենում, եթե տեղի է ունենում երկու անհամատեղելի իրադարձություններից մեկը՝ կամ ԱԲ. Այնուամենայնիվ, մի քանի անհամատեղելի իրադարձություններից մեկ իրադարձության առաջացման հավանականությունը հավասար է այս բոլոր իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

Նմանապես.

Փոխարինելով (6) և (7) արտահայտությունները (5), մենք ստանում ենք համատեղ իրադարձությունների հավանականության բանաձևը.

(8) բանաձևն օգտագործելիս պետք է հաշվի առնել, որ իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATկարող է լինել:

• փոխադարձ անկախ;
• փոխադարձ կախվածություն.

Փոխադարձ անկախ իրադարձությունների հավանականության բանաձևը.

Փոխադարձ կախված իրադարձությունների հավանականության բանաձևը.

Եթե ​​իրադարձություններ ԲԱՅՑև ATանհամապատասխան են, ապա դրանց համընկնումը անհնարին դեպք է, և, հետևաբար, Պ(ԱԲ) = 0. Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականության չորրորդ բանաձևը հետևյալն է.

Օրինակ 3Ավտոմրցարշավներում առաջին մեքենայով վարելիս՝ հաղթելու հավանականությունը, երկրորդ մեքենայով վարելիս։ Գտնել.

• հավանականությունը, որ երկու մեքենաներն էլ կհաղթեն.
• հավանականությունը, որ առնվազն մեկ մեքենա կհաղթի.

1) Առաջին մեքենան հաղթելու հավանականությունը կախված չէ երկրորդ մեքենայի արդյունքից, հետևաբար իրադարձությունները. ԲԱՅՑ(առաջին մեքենան հաղթում է) և AT(երկրորդ մեքենան հաղթում է) - անկախ իրադարձություններ: Գտեք երկու մեքենաների շահելու հավանականությունը.

2) Գտեք հավանականությունը, որ երկու մեքենաներից մեկը կհաղթի.

Ավելի բարդ առաջադրանքներ, որոնցում դուք պետք է կիրառեք և՛ գումարում, և՛ հավանականությունների բազմապատկում - «Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման տարբեր առաջադրանքներ» էջում:

Ինքներդ լուծեք հավանականությունների գումարման խնդիրը, իսկ հետո նայեք լուծմանը

Օրինակ 4Երկու մետաղադրամ է նետվում։ Իրադարձություն Ա- զինանշանի կորուստ առաջին մետաղադրամի վրա. Իրադարձություն Բ- երկրորդ մետաղադրամի զինանշանի կորուստ. Գտեք իրադարձության հավանականությունը Գ = Ա + Բ .

Հավանականության բազմապատկում

Հավանականությունների բազմապատկումն օգտագործվում է, երբ պետք է հաշվարկվի իրադարձությունների տրամաբանական արտադրյալի հավանականությունը:

Այս դեպքում պատահական իրադարձությունները պետք է անկախ լինեն: Երկու իրադարձությունները փոխադարձաբար անկախ են, եթե մեկ իրադարձության առաջացումը չի ազդում երկրորդ իրադարձության առաջացման հավանականության վրա:

Անկախ իրադարձությունների հավանականության բազմապատկման թեորեմ.Երկու անկախ իրադարձությունների միաժամանակյա առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑև ATհավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին և հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ 5Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ անընդմեջ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ զինանշանը երեք անգամն էլ ընկնի։

Լուծում. Հավանականությունը, որ զինանշանը կընկնի մետաղադրամի առաջին նետման, երկրորդ անգամ և երրորդ անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ զինանշանը երեք անգամ էլ դուրս կգա.

Ինքներդ լուծեք հավանականությունները բազմապատկելու խնդիրները, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 6Կա մի տուփ, որտեղ կան թենիսի ինը նոր գնդակներ: Խաղի համար վերցնում են երեք գնդակ, խաղից հետո հետ են դնում։ Գնդակներ ընտրելիս նրանք չեն տարբերում խաղացած և չխաղացված գնդակները։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հետո երեք խաղԱրդյո՞ք տուփում չխաղված գնդակներ չեն լինի:

Օրինակ 7Կտրված այբուբենի բացիկների վրա գրված է ռուսերեն այբուբենի 32 տառ: Հինգ քարտերը պատահականության սկզբունքով նկարվում են մեկը մյուսի հետևից և դրվում սեղանի վրա այն հաջորդականությամբ, որով նրանք հայտնվում են: Գտեք հավանականությունը, որ տառերը կկազմեն «վերջ» բառը:

Օրինակ 8Քարտերի ամբողջական տախտակամածից (52 թերթ) միանգամից չորս քարտ է հանվում: Գտեք հավանականությունը, որ այս չորս քարտերն էլ միանման են:

Օրինակ 9Նույն խնդիրը, ինչ օրինակ 8-ում, բայց յուրաքանչյուր քարտը խաղարկվելուց հետո վերադարձվում է տախտակամած:

Ավելի բարդ առաջադրանքներ, որոնցում անհրաժեշտ է կիրառել և՛ գումարում, և՛ հավանականությունների բազմապատկում, ինչպես նաև հաշվարկել մի քանի իրադարձությունների արտադրյալը՝ «Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման տարբեր առաջադրանքներ» էջում:

Հավանականությունը, որ տեղի կունենա փոխադարձ անկախ իրադարձություններից գոնե մեկը, կարելի է հաշվարկել հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալը 1-ից հանելով, այսինքն՝ բանաձևով։