Իրադարձությունները կոչվում են անկախ եթե. Կախված և անկախ պատահական իրադարձություններ: Ընդհանուր հավանականության բանաձև

Իրադարձությունների կախվածությունը հասկացվում է հավանականիմաստով, ոչ ֆունկցիոնալ: Սա նշանակում է, որ մեկի հայտնվելուց հետո կախված իրադարձություններանհնար է միանշանակ դատել ուրիշի արտաքինի մասին: Հավանական կախվածությունը նշանակում է, որ կախված իրադարձություններից մեկի առաջացումը միայն փոխում է մյուսի առաջացման հավանականությունը: Եթե ​​հավանականությունը չի փոխվում, ապա իրադարձությունները համարվում են անկախ։

ՍահմանումԹող - կամայական հավանականության տարածություն, - որոշ պատահական իրադարձություններ: Նրանք դա ասում են իրադարձություն ԲԱՅՑիրադարձությունից կախված չէ AT , Եթե ​​այն պայմանական հավանականությունհամընկնում է անվերապահ հավանականության հետ.

.

Եթե , ապա ասում ենք, որ իրադարձությունը ԲԱՅՑիրադարձությունից կախված AT.

Անկախության հասկացությունը սիմետրիկ է, այսինքն՝ եթե իրադարձություն ԲԱՅՑիրադարձությունից կախված չէ AT, ապա միջոցառումը ATիրադարձությունից կախված չէ ԲԱՅՑ. Իսկապես, թող . Հետո . Ուստի ուղղակի ասում են, որ իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATանկախ.

Իրադարձությունների անկախության հետևյալ սիմետրիկ սահմանումը բխում է հավանականությունների բազմապատկման կանոնից.

ՍահմանումԶարգացումներ ԲԱՅՑև AT,Միևնույն հավանականության տարածության վրա սահմանված են կոչվում անկախ, եթե

Եթե , ապա իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATկանչեց կախյալ.

Նկատի ունեցեք, որ այս սահմանումը նույնպես վավեր է, երբ կամ .

Անկախ իրադարձությունների հատկությունները.

1. Եթե իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATանկախ են, ապա անկախ են նաև իրադարձությունների հետևյալ զույգերը.

▲ Եկեք ապացուցենք, օրինակ, իրադարձությունների անկախությունը։ Պատկերացրեք իրադարձություն ԲԱՅՑինչպես: Քանի որ իրադարձություններն անհամատեղելի են, ուրեմն և իրադարձությունների անկախության պատճառով ԲԱՅՑև ATմենք դա ստանում ենք: Այսպիսով, ինչը նշանակում է անկախություն: ■

2. Եթե իրադարձությունը ԲԱՅՑկախված չէ իրադարձություններից 1-ումև 2-ՈՒՄ, որոնք անհամատեղելի են () , այդ իրադարձությունը ԲԱՅՑչափից կախված չէ.

▲ Իրոք, օգտագործելով իրադարձության հավանականության և անկախության ավելացման աքսիոմը ԲԱՅՑիրադարձություններից 1-ումև 2-ՈՒՄ, մենք ունենք:

Անկախության և անհամատեղելիության հասկացությունների փոխհարաբերությունները:

Թող ԲԱՅՑև AT- ցանկացած իրադարձություն, որն ունի ոչ զրոյական հավանականություն . Եթե ​​իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATանհամապատասխան են (), և, հետևաբար, հավասարությունը երբեք չի կարող տեղի ունենալ: Այս կերպ, անհամատեղելի իրադարձությունները կախված են.

Երբ միաժամանակ դիտարկվում են երկուից ավելի իրադարձություններ, դրանց զույգ անկախությունը բավականաչափ չի բնութագրում կապը ամբողջ խմբի իրադարձությունների միջև: Այս դեպքում ներդրվում է անկախության հայեցակարգը ագրեգատում։

ՍահմանումՄիևնույն հավանականության տարածության վրա սահմանված իրադարձությունները կոչվում են հավաքականորեն անկախ, եթե որևէ մեկի համար 2 £մ £nև ինդեքսների ցանկացած համակցություն ունի հավասարություն.

ժամը մ = 2անկախությունը ընդհանուր առմամբ ենթադրում է իրադարձությունների զույգ անկախություն: Հակառակը ճիշտ չէ։

Օրինակ. (Bernstein S.N.)

Պատահական փորձը բաղկացած է սովորական քառաեդրոն (տետրաեդրոն) նետելուց: Դեմք կա, որ վերից վար ընկել է։ Տետրաեդրոնի երեսները գունավորվում են հետևյալ կերպ՝ 1-ին դեմք՝ սպիտակ, 2-րդ դեմք՝ սև,
3 դեմք - կարմիր, 4 դեմք - պարունակում է բոլոր գույները:

Դիտարկենք իրադարձությունները.

ԲԱՅՑ= (Հեռացում սպիտակ գույն}; Բ= (Black drop out);

Գ= (Կարմիր թողարկում):

Հետո ;

Հետեւաբար, իրադարձությունները ԲԱՅՑ, ATև ԻՑզույգերով անկախ են:

Այնուամենայնիվ, .

Հետևաբար, իրադարձություններ ԲԱՅՑ, ATև ԻՑմիասին նրանք անկախ չեն:

Գործնականում, որպես կանոն, իրադարձությունների անկախությունը չի հաստատվում՝ ստուգելով այն ըստ սահմանման, այլ հակառակը՝ իրադարձությունները համարվում են անկախ արտաքին որևէ նկատառումներից կամ հաշվի առնելով հանգամանքները։ պատահական փորձև օգտագործել անկախությունը՝ գտնելու իրադարձությունների առաջացման հավանականությունները:

Թեորեմ (անկախ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկում).

Եթե ​​միևնույն հավանականության տարածության վրա սահմանված իրադարձությունները ագրեգատում անկախ են, ապա դրանց արտադրյալի հավանականությունը հավասար է հավանականությունների արտադրյալին.

▲ Թեորեմի ապացույցը բխում է ագրեգատում իրադարձությունների անկախության սահմանումից կամ ընդհանուր հավանականության բազմապատկման թեորեմից՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ տվյալ դեպքում.

Օրինակ 1 (պայմանական հավանականությունների հայտնաբերման բնորոշ օրինակ, անկախության հայեցակարգ, հավանականության գումարման թեորեմ):

Էլեկտրական սխեման բաղկացած է երեք անկախ գործող տարրերից. Տարրերից յուրաքանչյուրի ձախողման հավանականությունը համապատասխանաբար հավասար է .

1) Գտեք շղթայի խափանման հավանականությունը:

2) Հայտնի է, որ միացումը ձախողվել է:

Որքա՞ն է այն ձախողվելու հավանականությունը.

ա) 1-ին տարր; բ) 3-րդ տարր.

Լուծում.Դիտարկենք իրադարձությունները = (Չհաջողվեց կրդ տարր) և իրադարձությունը ԲԱՅՑ= (Սխեման ձախողվեց): Հետո միջոցառումը ԲԱՅՑներկայացված է ձևով.

.

1) Քանի որ իրադարձությունները և անհամատեղելի չեն, ուրեմն P3 հավանականության հավելման աքսիոմը կիրառելի չէ, և հավանականությունը գտնելու համար պետք է օգտագործել հավանականության գումարման ընդհանուր թեորեմը, ըստ որի.

Թող իրադարձության հավանականությունը ATկախված չէ իրադարձության առաջացումից ԲԱՅՑ.

Սահմանում.Իրադարձություն ATկանչեց իրադարձությունից անկախ Աեթե իրադարձության առաջացումը ԲԱՅՑչի փոխում իրադարձության հավանականությունը AT, այսինքն. եթե իրադարձության պայմանական հավանականությունը ATհավասար է դրա անվերապահ հավանականությանը.

Ռ Ա(AT) = Ռ(AT). (2.12)

Փոխարինելով (2.12) (2.11) առնչությամբ, մենք ստանում ենք

Ռ(ԲԱՅՑ)Ռ(AT) = Ռ(AT)Ռ Բ(ԲԱՅՑ).

Ռ Բ(ԲԱՅՑ) = Ռ(ԲԱՅՑ),

դրանք. իրադարձության պայմանական հավանականություն ԲԱՅՑենթադրելով, որ իրադարձություն է տեղի ունեցել AT, հավասար է դրա անվերապահ հավանականությանը։ Այսինքն՝ միջոցառումը ԲԱՅՑիրադարձությունից կախված չէ Բ.

Լեմմա (իրադարձությունների փոխադարձ անկախության մասին)եթե իրադարձություն ATիրադարձությունից կախված չէ ԲԱՅՑ, ապա միջոցառումը ԲԱՅՑիրադարձությունից կախված չէ AT; Դա նշանակում է որ իրադարձությունների փոխադարձ անկախության սեփականություն.

Անկախ իրադարձությունների համար՝ բազմապատկման թեորեմը Ռ(ԱԲ) = Ռ(ԲԱՅՑ) Ռ Ա(AT) ունի ձևը

Ռ(ԱԲ) = Ռ(ԲԱՅՑ) Ռ(AT), (2.13)

դրանք. երկու անկախ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին:

Որպես անկախ իրադարձությունների սահմանում ընդունվում է հավասարությունը (2.13): Երկու իրադարձություն համարվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի փոխում մյուսի առաջացման հավանականությունը:

Սահմանում.Երկու իրադարձություն է կոչվում անկախ, եթե դրանց համակցության հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին. հակառակ դեպքում իրադարձությունները կոչվում են կախյալ.

Գործնականում իրադարձությունների անկախությունը կնքվում է ըստ խնդրի իմաստի։ Օրինակ, երկու ատրճանակներից յուրաքանչյուրով թիրախ խոցելու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե արդյոք մյուս ատրճանակը դիպել է թիրախին, հետևաբար «առաջին հրացանը հարվածել է թիրախին» և «երկրորդ հրացանը հարվածել է թիրախին» իրադարձությունները անկախ են:

Օրինակ. Գտեք թիրախը երկու հրացանով համատեղ հարվածելու հավանականությունը, եթե առաջին հրացանով թիրախը խոցելու հավանականությունը (իրադարձություն ԲԱՅՑ) հավասար է 0,8-ի, իսկ երկրորդը (իրադարձությունը AT) – 0,7.

Լուծում.Զարգացումներ ԲԱՅՑև ATանկախ, հետևաբար, բազմապատկման թեորեմով, ցանկալի հավանականությունը

Ռ(ԱԲ) = Ռ(ԲԱՅՑ)Ռ(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56:

Մեկնաբանություն 1. Եթե իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATանկախ են, ապա իրադարձություններն էլ են անկախ։ ԲԱՅՑև , և AT, եւ . Իսկապես,

հետևաբար,

, կամ .

, կամ .

դրանք. զարգացումները ԲԱՅՑև ATանկախ.

իրադարձությունների անկախությունը և AT, և ապացուցված պնդման հետևանք է։

Անկախության հասկացությունը կարելի է տարածել գործի վրա nիրադարձություններ.

Սահմանում.Մի քանի իրադարձություններ են կոչվում զույգերով անկախեթե նրանցից յուրաքանչյուր երկուսն անկախ են. Օրինակ՝ իրադարձություններ ԲԱՅՑ, AT, ԻՑզույգերով անկախ, եթե իրադարձություններն անկախ են ԲԱՅՑև AT, ԲԱՅՑև ԻՑ, ATև ԻՑ.

Բազմապատկման թեորեմը մի քանի իրադարձությունների ընդհանրացնելու համար մենք ներկայացնում ենք իրադարձությունների անկախության հայեցակարգը ագրեգատում:

Սահմանում.Մի քանի իրադարձություններ են կոչվում հավաքականորեն անկախ(կամ պարզապես անկախ), եթե դրանցից յուրաքանչյուր երկուսն անկախ են, և յուրաքանչյուր իրադարձություն և մյուսների բոլոր հնարավոր արտադրանքները անկախ են: Օրինակ, եթե իրադարձությունները ԲԱՅՑ 1 , Ա 2 , ԲԱՅՑ 3-ն անկախ են ագրեգատով, հետո իրադարձություններն անկախ են ԲԱՅՑ 1 և Ա 2 , ԲԱՅՑ 1 և ԲԱՅՑ 3 , Ա 2 և ԲԱՅՑ 3 ; ԲԱՅՑ 1 և Ա 2 ԲԱՅՑ 3 , Ա 2 և ԲԱՅՑ 1 ԲԱՅՑ 3 , ԲԱՅՑ 3 և ԲԱՅՑ 1 Ա 2. Ասվածից հետևում է, որ եթե իրադարձություններն ընդհանուր առմամբ անկախ են, ապա դրանցից որևէ իրադարձության տեղի ունենալու պայմանական հավանականությունը, որը հաշվարկվում է այն ենթադրության վրա, որ տեղի են ունեցել մյուսներից որևէ այլ իրադարձություն, հավասար է դրան. անվերապահ հավանականություն.

Մենք շեշտում ենք, որ եթե մի քանի իրադարձություններ զույգերով անկախ են, ապա դրանց անկախությունը ագրեգատում դեռ չի բխում դրանից։ Այս առումով իրադարձությունների ագրեգատի անկախության պահանջն ավելի ուժեղ է, քան դրանց զույգ անկախության պահանջը:

Ասվածը բացատրենք օրինակով։ Ենթադրենք, որ կարասի մեջ կա 4 գնդիկ՝ գունավոր. մեկը կարմիր է ( ԲԱՅՑ), մեկը - կապույտ ( AT), մեկ - սև ( ԻՑ) և մեկ - այս բոլոր երեք գույներով ( ABC) Որքա՞ն է հավանականությունը, որ կարասից հանված գնդակը կարմիր է:

Քանի որ չորս գնդակներից երկուսը կարմիր են, ուրեմն Ռ(ԲԱՅՑ) = 2/4 = 1/2: Նմանապես վիճելով՝ մենք գտնում ենք Ռ(AT) = 1/2, Ռ(ԻՑ) = 1/2. Այժմ ենթադրենք, որ վերցված գնդակը կապույտ է, այսինքն. իրադարձություն ATարդեն եղել է. Կփոխվի՞ հավանականությունը, որ գծված գնդակը կարմիր է, այսինքն. Կփոխվի՞ արդյոք իրադարձության հավանականությունը։ ԲԱՅՑ? Երկու գնդակներից, որոնք կապույտ են, մեկ գնդակը նույնպես կարմիր է, ուստի իրադարձության հավանականությունը մեծ է ԲԱՅՑդեռ 1/2 է։ Այսինքն՝ իրադարձության պայմանական հավանականությունը ԲԱՅՑ, հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ տեղի է ունեցել իրադարձություն AT, հավասար է դրա անվերապահ հավանականությանը։ Հետեւաբար, իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATանկախ. Նմանապես մենք եզրակացնում ենք, որ իրադարձությունները ԲԱՅՑև ԻՑ, ATև ԻՑանկախ. Այսպիսով, իրադարձությունները ԲԱՅՑ, ATև ԻՑզույգերով անկախ են:

Արդյո՞ք այս իրադարձությունները ընդհանուր առմամբ անկախ են: Պարզվում է՝ ոչ։ Իսկապես, թող արդյունահանված գնդակը ունենա երկու գույն, օրինակ՝ կապույտ և սև։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս գնդակը նույնպես կարմիր է: Միայն մեկ գնդակ է գունավորված բոլոր երեք գույներով, ուստի գրավված գնդակը նույնպես կարմիր է: Այսպիսով, ենթադրելով, որ իրադարձությունները ATև ԻՑտեղի է ունեցել, եզրակացնում ենք, որ դեպքը ԲԱՅՑանպայման կգա: Հետևաբար, այս իրադարձությունը հուսալի է, և դրա հավանականությունը հավասար է մեկի: Այսինքն՝ պայմանական հավանականությունը Ռ մ.թ.ա(ԲԱՅՑ)= 1 իրադարձություն ԲԱՅՑհավասար չէ դրա անվերապահ հավանականությանը Ռ(ԲԱՅՑ) = 1/2. Այսպիսով, զույգ անկախ իրադարձություններ ԲԱՅՑ, AT, ԻՑկոլեկտիվ անկախ չեն:

Այժմ ներկայացնում ենք բազմապատկման թեորեմի հետևանքը:

Հետևանք.Մի քանի իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը, որոնք ընդհանուր առմամբ անկախ են, հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին.

Ապացույց.Դիտարկենք երեք իրադարձություն. ԲԱՅՑ, ATև ԻՑ. Իրադարձությունների համադրություն ԲԱՅՑ, ATև ԻՑհավասարազոր է իրադարձությունների համակցության ԱԲև ԻՑ, Ահա թե ինչու

Ռ(ABC) = Ռ(AB×C).

Իրադարձություններից ի վեր ԲԱՅՑ, ATև ԻՑանկախ են ագրեգատով, ապա անկախ են, մասնավորապես, իրադարձությունները ԱԲև ԻՑ, Ինչպես նաեւ ԲԱՅՑև AT. Երկու անկախ իրադարձությունների բազմապատկման թեորեմով մենք ունենք.

Ռ(AB×C) = Ռ(ԱԲ)Ռ(ԻՑ) և Ռ(ԱԲ) = Ռ(ԲԱՅՑ)Ռ(AT).

Այսպիսով, վերջապես մենք ստանում ենք

Ռ(ABC) = Ռ(ԲԱՅՑ)Ռ(AT)Ռ(ԻՑ).

Կամայականի համար nապացուցումն իրականացվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

Մեկնաբանություն.Եթե ​​իրադարձություններ ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , ...,A nագրեգատում անկախ են, ապա ագրեգատում անկախ են նաև հակառակ իրադարձությունները։

Օրինակ.Գտե՛ք զինանշանի միասին հայտնվելու հավանականությունը երկու մետաղադրամի մեկ նետումով:

Լուծում.Առաջին մետաղադրամի զինանշանի հայտնվելու հավանականությունը (իրադարձություն ԲԱՅՑ)

Ռ(ԲԱՅՑ) = 1/2.

Երկրորդ մետաղադրամի զինանշանի հայտնվելու հավանականությունը (իրադարձություն AT)

Ռ(AT) = 1/2.

Զարգացումներ ԲԱՅՑև ATանկախ, ուստի բազմապատկման թեորեմով ցանկալի հավանականությունը հավասար է

Ռ(ԱԲ) = Ռ(ԲԱՅՑ)Ռ(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4:

Օրինակ.Առկա է 3 տուփ, որը պարունակում է 10 մաս։ Առաջին դարակը պարունակում է 8, երկրորդ դարակը 7, իսկ երրորդ դարակը 9 ստանդարտ մասեր: Յուրաքանչյուր տուփից պատահականորեն նկարվում է մեկ տարր: Գտեք հավանականությունը, որ հանված բոլոր երեք մասերը ստանդարտ են:

Լուծում.Հավանականությունը, որ ստանդարտ մասը վերցված է առաջին տուփից (իրադարձություն ԲԱՅՑ),

Ռ(ԲԱՅՑ) = 8/10 = 0,8.

Հավանականությունը, որ ստանդարտ մասը վերցված է երկրորդ տուփից (իրադարձություն AT),

Ռ(AT) = 7/10 = 0,7.

Հավանականությունը, որ ստանդարտ մասը վերցված է երրորդ տուփից (իրադարձություն ԻՑ),

Ռ(ԻՑ) = 9/10 = 0,9.

Իրադարձություններից ի վեր ԲԱՅՑ, ATև ԻՑանկախ ագրեգատում, ապա ցանկալի հավանականությունը (բազմապատկման թեորեմով) հավասար է

Ռ(ABC) = Ռ(ԲԱՅՑ)Ռ(AT)Ռ(ԻՑ) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504։

Բերենք գումարման և բազմապատկման թեորեմների համատեղ կիրառման օրինակ։

Օրինակ.Երեք անկախ իրադարձություններից յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , ԲԱՅՑ 3 համապատասխանաբար հավասար Ռ 1 , Ռ 2 , Ռ 3 . Գտեք այս իրադարձություններից միայն մեկի առաջացման հավանականությունը:

Լուծում. Նշենք, որ, օրինակ, արտաքին տեսքը միայնառաջին իրադարձություն ԲԱՅՑ 1-ը համարժեք է իրադարձության հայտնվելուն (առաջինը հայտնվեց, իսկ երկրորդ և երրորդ իրադարձությունները չհայտնվեցին): Ներկայացնենք նշումը.

Բ 1 - հայտնվեց միայն իրադարձությունը ԲԱՅՑ 1, այսինքն. ;

Բ 2 – հայտնվեց միայն իրադարձությունը ԲԱՅՑ 2, այսինքն. ;

Բ 3 – հայտնվեց միայն իրադարձությունը ԲԱՅՑ 3, այսինքն. .

Այսպիսով, գտնել իրադարձություններից միայն մեկի առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , ԲԱՅՑ 3, մենք կփնտրենք հավանականությունը Պ(Բ 1 + Բ 2 + AT 3) մեկի հայտնվելը, անկախ նրանից, թե որ իրադարձություններից AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Իրադարձություններից ի վեր AT 1 , AT 2 , AT 3-ը անհամապատասխան են, ապա կիրառվում է գումարման թեորեմը

Պ(Բ 1 + Բ 2 + AT 3) = Ռ(AT 1) + Ռ(AT 2) + Ռ(AT 3). (*)

Մնում է գտնել իրադարձություններից յուրաքանչյուրի հավանականությունը AT 1 , AT 2 , AT 3 . Զարգացումներ ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , ԲԱՅՑ 3-ն անկախ են, հետևաբար, իրադարձություններն անկախ են, ուստի դրանց վրա կիրառվում է բազմապատկման թեորեմը

Նմանապես,

Փոխարինելով այս հավանականությունները (*)՝ մենք գտնում ենք իրադարձություններից միայն մեկի առաջացման ցանկալի հավանականությունը. ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , ԲԱՅՑ 3.

Հավանականության սահմանումներ

Դասական սահմանում

Հավանականության դասական «սահմանումը» գալիս է հասկացությունից հավասար հնարավորություններորպես ուսումնասիրվող երեւույթների օբյեկտիվ հատկություն։ Համարժեքությունը անորոշ հասկացություն է և հիմնված է ուսումնասիրվող երևույթների համաչափության ընդհանուր նկատառումներից: Օրինակ՝ մետաղադրամ նետելիս ենթադրվում է, որ մետաղադրամի ենթադրյալ համաչափության, նյութի միատարրության և նետման պատահականության (ոչ կողմնակալության) պատճառով «պոչերը» գերադասելու պատճառ չկա։ «արծիվներ» կամ հակառակը, այսինքն՝ այս կողմերի կորուստը կարելի է համարել հավասարապես հավանական (հավասար հավանական):

Ընդհանուր դեպքում համարժեքության հայեցակարգի հետ մեկտեղ դասական սահմանումը պահանջում է նաև տարրական իրադարձության (արդյունքի) հայեցակարգ, որը նպաստում է կամ չի նպաստում ուսումնասիրվող Ա իրադարձությանը։ Խոսքը արդյունքների մասին է, որոնց առաջացումը բացառում է հնարավորությունը։ այլ արդյունքների առաջացման մասին: Սրանք անհամատեղելի տարրական իրադարձություններ են։ Օրինակ՝ նետելիս զառախաղԿոնկրետ թվի անկումը բացառում է այլ թվերի անկումը:

Հավանականության դասական սահմանումը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

Պատահական իրադարձության հավանականությունըԱ կոչվում է թվի հարաբերակցություն n անհամատեղելի հավասարապես հավանական տարրական իրադարձություններ, որոնք կազմում են իրադարձությունըԱ , բոլոր հնարավոր տարրական իրադարձությունների թվինՆ :

Օրինակ, ենթադրենք, որ երկու զառ են նետել: Հավասարապես հնարավոր արդյունքների (տարրական իրադարձությունների) ընդհանուր թիվը ակնհայտորեն 36 է (յուրաքանչյուր ձողի վրա 6 հնարավորություն): Գնահատեք 7 միավոր ստանալու հավանականությունը։ 7 միավոր ստանալը հնարավոր է հետևյալ եղանակներով՝ 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1։ Այսինքն, կա միայն 6 հավասարապես հավանական արդյունք, որոնք նպաստում են A իրադարձությունին՝ ստանալով 7 միավոր: Հետեւաբար հավանականությունը հավասար կլինի 6/36=1/6-ի։ Համեմատության համար նշենք, որ 12 միավոր կամ 2 միավոր ստանալու հավանականությունը ընդամենը 1/36-ով է՝ 6 անգամ պակաս։

Երկրաչափական սահմանում

Չնայած այն հանգամանքին, որ դասական սահմանումը ինտուիտիվ է և բխում է պրակտիկայից, առնվազն այն չի կարող ուղղակիորեն կիրառվել, եթե հավասարապես հնարավոր արդյունքների թիվը անսահման է: Անսահման թվով հնարավոր արդյունքների վառ օրինակ է սահմանափակ երկրաչափական G շրջանը, օրինակ՝ հարթության վրա, S մակերեսով: Պատահականորեն «գցված» «կետը» հավասար հավանականությամբ կարող է լինել այս տարածաշրջանի ցանկացած կետում: Խնդիրն այն է, որ որոշվի g ենթադոմեյնի մեջ կետ ընկնելու հավանականությունը s տարածքով: Այս դեպքում, ընդհանրացնելով դասական սահմանումը, մենք կարող ենք գալ ենթադոմեյնի մեջ ընկնելու հավանականության երկրաչափական սահմանմանը.

Հաշվի առնելով հավասար հնարավորությունը՝ այս հավանականությունը կախված չէ g շրջանի ձևից, այն կախված է միայն դրա տարածքից։ Այս սահմանումը բնականաբար կարող է ընդհանրացվել ցանկացած հարթության տարածության վրա, որտեղ տարածքի փոխարեն օգտագործվում է «ծավալ» հասկացությունը: Ընդ որում, հենց այս սահմանումն է հանգեցնում հավանականության ժամանակակից աքսիոմատիկ սահմանմանը։ Ծավալի հասկացությունն ընդհանրացված է ինչ-որ վերացական բազմության «չափի» հայեցակարգին, որին դրվում են պահանջներ, որոնք «ծավալն» ունի նաև երկրաչափական մեկնաբանության մեջ. առաջին հերթին դրանք ոչ բացասականությունն ու հավելումն են։

Հաճախականության (վիճակագրական) որոշում

Դասական սահմանումը բարդ խնդիրներ դիտարկելիս հանդիպում է անհաղթահարելի բնույթի դժվարությունների։ Մասնավորապես, որոշ դեպքերում հնարավոր չէ նույնքան հավանական դեպքերը բացահայտել: Անգամ մետաղադրամի դեպքում, ինչպես հայտնի է, կա «եզր» ընկնելու հստակ ոչ նույնքան հավանական հավանականություն, որը հնարավոր չէ գնահատել տեսական նկատառումներից (կարելի է միայն ասել, որ դա քիչ հավանական է, և այս նկատառումը ավելի շուտ. գործնական): Ուստի հավանականության տեսության ձևավորման արշալույսին առաջարկվեց հավանականության այլընտրանքային «հաճախականության» սահմանումը։ Մասնավորապես, ֆորմալ առումով հավանականությունը կարող է սահմանվել որպես Ա իրադարձության դիտումների հաճախականության սահման՝ ենթադրելով դիտումների միատարրությունը (այսինքն՝ բոլոր դիտարկման պայմանների նույնականությունը) և դրանց անկախությունը միմյանցից.

որտեղ է դիտարկումների թիվը և իրադարձության դեպքերի թիվն է:

Չնայած այն հանգամանքին, որ այս սահմանումը ավելի շուտ մատնանշում է անհայտ հավանականության գնահատման եղանակը` մեծ թվով միատարր և անկախ դիտարկումների միջոցով, այնուամենայնիվ, այս սահմանումը արտացոլում է հավանականության հայեցակարգի բովանդակությունը: Մասնավորապես, եթե իրադարձությանը վերագրվում է որոշակի հավանականություն՝ որպես դրա հնարավորության օբյեկտիվ չափում, ապա դա նշանակում է, որ ֆիքսված պայմաններում և բազմակի կրկնություններում մենք պետք է ստանանք դրա առաջացման հաճախականությունը մոտ (որքան մոտ, այնքան շատ դիտարկումներ): Փաստորեն, սա է հավանականության հայեցակարգի սկզբնական իմաստը։ Այն հիմնված է բնական երեւույթների օբյեկտիվիստական ​​հայացքի վրա: Ստորև ներկայացված են այսպես կոչված օրենքները մեծ թվեր, որոնք ապահովում են տեսական հիմք (ստորև ներկայացված ժամանակակից աքսիոմատիկ մոտեցման շրջանակներում), այդ թվում՝ հավանականության հաճախականության գնահատման համար։

Աքսիոմատիկ սահմանում

Ժամանակակից մաթեմատիկական մոտեցման մեջ հավանականությունը տրվում է Կոլմոգորովի աքսիոմատիկա. Ենթադրվում է, որ ոմանք տարրական իրադարձությունների տարածություն. Այս տարածության ենթաբազմությունները մեկնաբանվում են որպես պատահական իրադարձություններ. Որոշ ենթաբազմությունների (իրադարձությունների) միավորումը (գումարը) մեկնաբանվում է որպես իրադարձություն, որը բաղկացած է տեղի ունեցածից. գոնե մեկըայս իրադարձություններից։ Ենթաբազմությունների (իրադարձությունների) հատումը (արտադրանքը) մեկնաբանվում է որպես իրադարձություն, որը բաղկացած է տեղի ունեցածից. բոլորըայս իրադարձությունները։ Անջատված հավաքածուները մեկնաբանվում են որպես անհամատեղելիիրադարձությունները (նրանց համատեղ հարձակումն անհնար է): Ըստ այդմ, դատարկ հավաքածուն նշանակում է անհնարինիրադարձություն.

Հավանականություն ( հավանականության չափում) կոչվում է չափել(թվային ֆունկցիա), որը սահմանված է իրադարձությունների բազմության վրա՝ ունենալով հետևյալ հատկությունները.

Եթե ​​տարրական իրադարձությունների տարածությունը X անշուշտ, ապա կամայական երկու անհամատեղելի իրադարձությունների համար նշված հավելումների պայմանը բավարար է, որից կհետևի հավելումը ցանկացած եզրափակիչանհամատեղելի իրադարձությունների քանակը. Սակայն տարրական իրադարձությունների անսահման (հաշվելի կամ անհաշվելի) տարածության դեպքում այս պայմանը բավարար չէ։ Այսպես կոչված հաշվելի կամ սիգմա հավելում, այսինքն՝ հավելումային հատկության կատարումը ցանկացածի համար ոչ ավելի, քան հաշվելիզույգերով անհամատեղելի իրադարձությունների ընտանիքներ: Սա անհրաժեշտ է հավանականության չափման «շարունակականությունն» ապահովելու համար։

Հավանականության չափումը չի կարող սահմանվել բազմության բոլոր ենթաբազմությունների համար: Ենթադրվում է, որ դա որոշված ​​է ոմանց վրա սիգմա հանրահաշիվենթաբազմություններ . Այս ենթաբազմությունները կոչվում են չափելիըստ տրված հավանականության չափման, և դրանք պատահական իրադարձություններ են։ Բազմությունը, այսինքն՝ տարրական իրադարձությունների բազմությունը, նրա ենթաբազմությունների սիգմա-հանրահաշիվը և հավանականության չափը կոչվում է. հավանականության տարածություն.

Շարունակական պատահական փոփոխականներ.Բացի դիսկրետ պատահական փոփոխականներից, որոնց հնարավոր արժեքները կազմում են թվերի վերջավոր կամ անսահման հաջորդականություն, որոնք ամբողջությամբ չեն լրացնում որևէ ինտերվալ, հաճախ լինում են պատահական փոփոխականներ, որոնց հնարավոր արժեքները կազմում են որոշակի ինտերվալ: Նման պատահական փոփոխականի օրինակ է պատշաճ ձևավորված տեխնոլոգիական գործընթացով մասի որոշակի չափի անվանական արժեքից շեղումը։ Այս տեսակի պատահական փոփոխականները չեն կարող սահմանվել՝ օգտագործելով հավանականության բաշխման օրենքը p(x). Այնուամենայնիվ, դրանք կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով հավանականության բաշխման ֆունկցիան F(x). Այս ֆունկցիան սահմանվում է ճիշտ այնպես, ինչպես դիսկրետ պատահական փոփոխականի դեպքում.

Այսպիսով, այստեղ ևս ֆունկցիան F(x)սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա և դրա արժեքը կետում Xհավասար է այն հավանականությանը, որ պատահական փոփոխականը կստանա ավելի փոքր արժեք, քան X. Բանաձևը (19) և 1° և 2° հատկությունները վավեր են ցանկացած պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիայի համար: Ապացուցումն իրականացվում է այնպես, ինչպես դիսկրետ քանակի դեպքում: Պատահական փոփոխականը կոչվում է շարունակական, եթե դրա համար գոյություն ունի ոչ բացասական հատվածաբար շարունակական ֆունկցիա*, որը բավարարում է ցանկացած արժեքի համար xհավասարություն

Ելնելով ինտեգրալի՝ որպես տարածքի երկրաչափական իմաստից, կարող ենք ասել, որ անհավասարությունների կատարման հավանականությունը հավասար է հիմքով կորագիծ տրապեզիի մակերեսին։ վերևում սահմանափակված է կորով (նկ. 6):

Քանի որ և հիմնված է բանաձևի վրա (22)

Նկատի ունեցեք, որ շարունակական պատահական փոփոխականի համար բաշխման ֆունկցիան F(x)շարունակական ցանկացած կետում X, որտեղ ֆունկցիան շարունակական է։ Սա բխում է այն փաստից, որ F(x)այս կետերում տարբերվում է: Ելնելով բանաձևից (23), ենթադրելով x 1 =x, , մենք ունենք

Գործառույթի շարունակականության շնորհիվ F(x)մենք դա ստանում ենք

Հետեւաբար

Այս կերպ, հավանականությունը, որ շարունակական պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել x-ի ցանկացած մեկ արժեք, զրո է. Սրանից բխում է, որ անհավասարություններից յուրաքանչյուրի կատարումից բաղկացած իրադարձությունները

Նրանք ունեն նույն հավանականությունը, այսինքն.

Իսկապես, օրինակ,

որովհետեւ Մեկնաբանություն.Ինչպես գիտենք, եթե իրադարձությունն անհնար է, ապա դրա առաջացման հավանականությունը զրոյական է։ Հավանականության դասական սահմանման մեջ, երբ թեստի արդյունքների թիվը վերջավոր է, տեղի է ունենում նաև հակառակ դրույթը. եթե իրադարձության հավանականությունը զրոյական է, ապա իրադարձությունն անհնար է, քանի որ այս դեպքում թեստի արդյունքներից ոչ մեկը չի նպաստում դրան: Շարունակական պատահական փոփոխականի դեպքում դրա հնարավոր արժեքների թիվը անսահման է: Հավանականությունը, որ այս արժեքը կվերցնի որևէ որոշակի արժեք x 1 ինչպես տեսանք, հավասար է զրոյի։ Այնուամենայնիվ, սրանից չի բխում, որ այս իրադարձությունն անհնար է, քանի որ թեստի արդյունքում պատահական փոփոխականը կարող է, մասնավորապես, վերցնել արժեքը. x 1 . Հետևաբար, շարունակական պատահական փոփոխականի դեպքում իմաստ ունի խոսել պատահական փոփոխականի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականության մասին, այլ ոչ թե այն որոշակի արժեք վերցնելու հավանականության մասին։ Այսպիսով, օրինակ, գլանափաթեթի արտադրության մեջ մեզ չի հետաքրքրում հավանականությունը, որ դրա տրամագիծը հավասար կլինի անվանական արժեքին: Մեզ համար կարևոր է հավանականությունը, որ գլանափաթեթի տրամագիծը հանդուրժողականությունից դուրս չգա։ Օրինակ.Շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը տրված է հետևյալ կերպ.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 7. Որոշեք հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը կընդունի անհավասարություններին բավարարող արժեք Գտե՛ք տրված պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան։ ( Լուծում)

Հաջորդ երկու պարբերությունները նվիրված են շարունակական պատահական փոփոխականների բաշխմանը, որոնք հաճախ հանդիպում են պրակտիկայում՝ միատեսակ և նորմալ բաշխումներ:

* Ֆունկցիան կոչվում է մաս-մաս շարունակական ամբողջ թվային առանցքի վրա, եթե այն կա՛մ շարունակական է որևէ հատվածի վրա, կա՛մ ունի վերջավոր թվով առաջին տեսակի անջատման կետեր: ** Ինտեգրալը փոփոխական վերին սահմանով տարբերելու կանոնը, որը ստացվում է վերջավոր ստորին սահմանի դեպքում, գործում է անվերջ ստորին սահման ունեցող ինտեգրալների համար։ Իսկապես,

Քանի որ ինտեգրալ

հաստատուն արժեք է:

Կախված և անկախ իրադարձություններ. Պայմանական հավանականություն

Տարբերակել կախյալ և անկախ իրադարձությունները: Երկու իրադարձություն համարվում են անկախ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի փոխում մյուսի առաջացման հավանականությունը: Օրինակ, եթե արտադրամասում գործում են երկու ավտոմատ գիծ, ​​որոնք փոխկապակցված չեն ըստ արտադրական պայմանների, ապա այդ գծերի կանգառները ինքնուրույն իրադարձություններ են։

Օրինակ 3Մետաղադրամը շրջվում է երկու անգամ: Առաջին թեստում (իրադարձություն) «զինանշանի» հայտնվելու հավանականությունը կախված չէ երկրորդ թեստում (իրադարձություն) «զինանշանի» հայտնվելուց կամ չհայտնվելուց: Իր հերթին, երկրորդ թեստում «զինանշանի» հայտնվելու հավանականությունը կախված չէ առաջին թեստի արդյունքից։ Այսպիսով, իրադարձությունները եւ անկախ.

Մի քանի իրադարձություններ են կոչվում հավաքականորեն անկախ , եթե դրանցից որևէ մեկը կախված չէ որևէ այլ իրադարձությունից և մյուսների որևէ համակցությունից:

Իրադարձությունները կոչվում են կախյալ , եթե դրանցից մեկը ազդում է մյուսի առաջացման հավանականության վրա։ Օրինակ, երկու արտադրական գործարաններ միացված են մեկ տեխնոլոգիական ցիկլով։ Հետո դրանցից մեկի ձախողման հավանականությունը կախված է մյուսի վիճակից։ Մեկ իրադարձության հավանականությունը, որը հաշվարկվում է մեկ այլ իրադարձության առաջացման ենթադրությամբ, կոչվում է պայմանական հավանականություն իրադարձությունները և նշվում է .

Իրադարձության անկախության պայմանը իրադարձությունից գրվում է ձևով, իսկ դրա կախվածության պայմանը՝ ձևով։ Դիտարկենք իրադարձության պայմանական հավանականության հաշվարկման օրինակ:

Օրինակ 4Տուփում կա 5 կտրիչ՝ երկուսը մաշված, երեքը՝ նոր։ Կատարվում են կտրիչների երկու հաջորդական հեռացում։ Որոշեք երկրորդ արդյունահանման ժամանակ մաշված կտրիչի հայտնվելու պայմանական հավանականությունը, պայմանով, որ առաջին անգամ հանված կտրիչը չվերադարձվի տուփ:

Լուծում. Առաջին դեպքում նշենք մաշված կտրիչի արդյունահանումը, իսկ նորի հանումը։ Հետո . Քանի որ հեռացված կտրիչը չի վերադարձվում տուփի մեջ, փոխվում է մաշված և նոր կտրիչների քանակի հարաբերակցությունը: Հետեւաբար, երկրորդ դեպքում մաշված կտրիչը հեռացնելու հավանականությունը կախված է նրանից, թե ինչ իրադարձություն է տեղի ունեցել նախկինում։

Եկեք նշանակենք այն իրադարձությունը, որը նշանակում է մաշված կտրիչի արդյունահանում երկրորդ դեպքում: Այս իրադարձության հավանականությունը հետևյալն է.

Հետևաբար, իրադարձության հավանականությունը կախված է նրանից՝ դեպքը տեղի է ունեցել, թե ոչ։

Հավանականության խտությունը- Էվկլիդեսյան տարածության վրա հավանականության չափման միջոցներից մեկը: Այն դեպքում, երբ հավանականության չափանիշը պատահական փոփոխականի բաշխումն է, խոսվում է խտությունըպատահական փոփոխական.

Հավանականության խտություն Թող լինի հավանականության չափում, այսինքն՝ սահմանվում է հավանականության տարածություն, որտեղ նշվում է Borel σ-հանրահաշիվը: Նշենք Լեբեգի չափը:

Սահմանում 1.Հավանականությունը կոչվում է բացարձակապես շարունակական (Լեբեգի չափման նկատմամբ) (), եթե Լեբեգի չափման զրոյական Բորելի բազմությունը նույնպես ունի զրո հավանականություն.

Եթե ​​հավանականությունը բացարձակապես շարունակական է, ապա Ռադոն-Նիկոդիմ թեորեմի համաձայն գոյություն ունի ոչ բացասական Բորելի ֆունկցիա, որն այնպիսին է.

,

որտեղ օգտագործվում է ընդհանուր հապավումը , իսկ ինտեգրալը հասկացվում է Լեբեգի իմաստով։

Սահմանում 2.Ավելի ընդհանուր առմամբ, թող լինի կամայական չափելի տարածություն, և թող և լինի երկու չափ այս տարածության վրա: Եթե ​​կա ոչ բացասական , որը թույլ է տալիս չափումը չափի առումով արտահայտել ձևի մեջ

ապա այս ֆունկցիան կոչվում է չափել խտությունը ինչպես , կամ Ռադոն-Նիկոդիմի ածանցյալչափել չափի նկատմամբ և նշել

Եթե ​​իրադարձության ժամանակ իրադարձության հավանականությունը չի փոխվում, հետո իրադարձությունները և կանչեց անկախ.

Թեորեմ.Երկու անկախ իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը և (աշխատում է և ) հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին:

Իսկապես, քանի որ զարգացումները և անկախ, ուրեմն
. Այս դեպքում իրադարձությունների արդյունքի հավանականության բանաձեւը և վերցնում է ձևը.

Զարգացումներ
կանչեց զույգերով անկախեթե նրանցից երկուսը անկախ են:

Զարգացումներ
կանչեց հավաքականորեն անկախ (կամ պարզապես անկախ), եթե նրանցից յուրաքանչյուր երկուսն անկախ են, և յուրաքանչյուր իրադարձություն և մյուսների բոլոր հնարավոր արտադրանքները անկախ են:

Թեորեմ.Վերջավոր թվով անկախ իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը ագրեգատում
հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին:

Եկեք օրինակներով ցույց տանք կախված և անկախ իրադարձությունների համար իրադարձությունների հավանականության բանաձևերի կիրառման տարբերությունը

Օրինակ 1. Առաջին կրակողի կողմից թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,85 է, երկրորդինը՝ 0,8։ Հրացանները մեկական կրակոց են արձակել: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գոնե մեկ արկ դիպչի թիրախին:

Լուծում՝ P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Քանի որ կադրերն անկախ են, ուրեմն

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Օրինակ 2. Սուրը պարունակում է 2 կարմիր և 4 սև գնդակներ: Նրանից անընդմեջ հանում են 2 գնդակ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ կարմիր են:

Լուծում` 1 դեպք. Իրադարձություն A - առաջին հեռացման ժամանակ կարմիր գնդակի ի հայտ գալը, երկրորդի ժամանակ B իրադարձություն: Իրադարձությունը C-ն երկու կարմիր գնդակների տեսքն է։

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2-րդ դեպք. Առաջին խաղարկված գնդակը վերադարձվում է զամբյուղ:

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Ընդհանուր հավանականության բանաձև.

Թող իրադարձությունը կարող է պատահել միայն անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի հետ
, կազմելով ամբողջական խումբ։ Օրինակ, խանութը նույն ապրանքը ստանում է երեք ձեռնարկություններից և տարբեր քանակությամբ։ Այս ձեռնարկություններում անորակ արտադրանք արտադրելու հավանականությունը տարբեր է։ Ապրանքներից մեկը ընտրված է պատահականության սկզբունքով։ Պահանջվում է որոշել այս ապրանքի անորակ լինելու հավանականությունը (իրադարձություն ) Իրադարձություններ այստեղ
- սա ապրանքի ընտրությունն է համապատասխան ձեռնարկության արտադրանքից:

Այս դեպքում՝ իրադարձության հավանականությունը կարելի է դիտարկել որպես իրադարձությունների արտադրյալների հանրագումար
.

Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմով մենք ստանում ենք
. Օգտագործելով հավանականության բազմապատկման թեորեմը՝ գտնում ենք

.

Ստացված բանաձեւը կոչվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևը.

Բեյսի բանաձևը

Թող իրադարձությունը տեղի է ունենում մեկի հետ միաժամանակ անհամատեղելի իրադարձություններ
, որոնց հավանականությունները
(
) հայտնի են փորձից առաջ ( a priori հավանականությունները) Կատարվում է փորձ, որի արդյունքում գրանցվում է իրադարձության առաջացումը , և հայտնի է, որ այս իրադարձությունը որոշակի պայմանական հավանականություններ ուներ
(
) Պահանջվում է գտնել իրադարձությունների հավանականությունները
եթե իրադարձությունը հայտնի է տեղի է ունեցել ( a posteriori հավանականությունները).

Խնդիրն այն է, որ ունենալով նոր տեղեկություններ(Ա իրադարձությունը տեղի է ունեցել), դուք պետք է վերագնահատեք իրադարձությունների հավանականությունը
.

Երկու իրադարձությունների արտադրյալի հավանականության թեորեմի հիման վրա

.

Ստացված բանաձեւը կոչվում է Բեյսի բանաձևերը.

Կոմբինատորիկայի հիմնական հասկացությունները.

Մի շարք տեսական և գործնական խնդիրներ լուծելիս պահանջվում է ըստ տրված կանոնների տարրերի վերջավոր շարքից կատարել տարբեր համակցություններ և հաշվել բոլոր հնարավոր նման համակցությունների քանակը։ Նման առաջադրանքները կոչվում են կոմբինատոր.

Խնդիրներ լուծելիս կոմբինատորիկան ​​օգտագործում է գումարի և արտադրյալի կանոնները։

Խնդրի ընդհանուր դրույթը. որոշ իրադարձությունների հավանականությունները հայտնի են, սակայն անհրաժեշտ է հաշվարկել այլ իրադարձությունների հավանականությունները, որոնք կապված են այդ իրադարձությունների հետ: Այս խնդիրներում անհրաժեշտություն կա հավանականությունների վրա այնպիսի գործողությունների, ինչպիսիք են հավանականությունների գումարումը և բազմապատկումը:

Օրինակ՝ որսի ժամանակ երկու կրակոց է արձակվել։ Իրադարձություն Ա- բադին հարվածել առաջին կրակոցից, իրադարձություն Բ- հարվածել երկրորդ կրակոցից. Այնուհետև իրադարձությունների գումարը Աև Բ- հարվածել առաջին կամ երկրորդ կրակոցից կամ երկու կրակոցից.

Այլ տեսակի առաջադրանքներ. Տրվում են մի քանի միջոցառումներ, օրինակ՝ մետաղադրամը երեք անգամ նետվում է։ Պահանջվում է գտնել այն հավանականությունը, որ կա՛մ բոլոր երեք անգամները զինանշանը կընկնի, կա՛մ զինանշանը գոնե մեկ անգամ կընկնի։ Սա բազմապատկման խնդիր է:

Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունների ավելացում

Հավանականության գումարումը օգտագործվում է, երբ անհրաժեշտ է հաշվարկել պատահական իրադարձությունների համակցության հավանականությունը կամ տրամաբանական գումարը։

Իրադարձությունների գումարը Աև Բնշանակել Ա + Բկամ Ա ∪ Բ. Երկու իրադարձությունների գումարը իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի է ունենում: Դա նշանակում է որ Ա + Բ- իրադարձություն, որը տեղի է ունենում այն ​​դեպքում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե որևէ իրադարձություն տեղի է ունենում դիտարկման ընթացքում Ակամ իրադարձություն Բ, կամ միևնույն ժամանակ Աև Բ.

Եթե ​​իրադարձություններ Աև Բփոխադարձաբար անհամատեղելի են և տրված են դրանց հավանականությունները, հավանականությունը, որ այս իրադարձություններից մեկը տեղի կունենա մեկ փորձության արդյունքում, հաշվարկվում է հավանականությունների գումարման միջոցով:

Հավանականությունների գումարման թեորեմ.Հավանականությունը, որ տեղի կունենա երկու փոխադարձ անհամատեղելի իրադարձություններից մեկը, հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

Օրինակ՝ որսի ժամանակ երկու կրակոց է արձակվել։ Իրադարձություն ԲԱՅՑ– բադին հարվածել առաջին կրակոցից, իրադարձություն AT– հարված երկրորդ կրակոցից, իրադարձություն ( ԲԱՅՑ+ AT) - հարված առաջին կամ երկրորդ կրակոցից կամ երկու կրակոցից։ Այսպիսով, եթե երկու իրադարձություն ԲԱՅՑև ATանհամատեղելի իրադարձություններ են, ուրեմն ԲԱՅՑ+ AT- այս իրադարձություններից առնվազն մեկի կամ երկու իրադարձությունների առաջացումը.

Օրինակ 1Տուփը պարունակում է նույն չափի 30 գնդակ՝ 10 կարմիր, 5 կապույտ և 15 սպիտակ։ Հաշվիր այն հավանականությունը, որ գունավոր (ոչ սպիտակ) գնդակը վերցվում է առանց նայելու:

Լուծում. Ենթադրենք, որ իրադարձությունը ԲԱՅՑ– «կարմիր գնդակը վերցված է», և իրադարձություն AT- «Կապույտ գնդակը վերցված է»: Այնուհետև միջոցառումը «վերցվում է գունավոր (ոչ սպիտակ) գնդակ»: Գտեք իրադարձության հավանականությունը ԲԱՅՑ:

և իրադարձություններ AT:

Զարգացումներ ԲԱՅՑև AT- փոխադարձ անհամատեղելի, քանի որ եթե մեկ գնդակ է վերցվում, ապա տարբեր գույների գնդակներ չեն կարող վերցնել: Հետևաբար, մենք օգտագործում ենք հավանականությունների գումարում.

Մի քանի անհամատեղելի իրադարձությունների համար հավանականությունների գումարման թեորեմը.Եթե ​​իրադարձությունները կազմում են իրադարձությունների ամբողջությունը, ապա դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի.

Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների գումարը նույնպես հավասար է 1-ի.

Հակառակ իրադարձությունները կազմում են իրադարձությունների ամբողջական փաթեթ, և իրադարձությունների ամբողջական փաթեթի հավանականությունը 1 է:

Հակառակ իրադարձությունների հավանականությունը սովորաբար նշվում է փոքր տառերով: էջև ք. Մասնավորապես,

որից բխում են հակադիր իրադարձությունների հավանականության հետևյալ բանաձևերը.

Օրինակ 2Շրջանակի թիրախը բաժանված է 3 գոտիների. Հավանականությունը, որ առաջին գոտում որոշակի հրաձիգը կկրակի թիրախի վրա, 0,15 է, երկրորդ գոտում՝ 0,23, երրորդ գոտում՝ 0,17։ Գտեք այն հավանականությունը, որ կրակողը հարվածում է թիրախին և հավանականությունը, որ կրակողը բաց է թողնում թիրախը:

Լուծում. Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը հարվածում է թիրախին.

Գտեք հավանականությունը, որ կրակողը բաց է թողել թիրախը.

Ավելի բարդ առաջադրանքներ, որոնցում դուք պետք է կիրառեք և՛ գումարում, և՛ հավանականությունների բազմապատկում - «Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման տարբեր առաջադրանքներ» էջում:

Փոխադարձ համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների ավելացում

Երկու պատահական իրադարձությունները համարվում են համատեղ, եթե մեկ իրադարձության առաջացումը չի բացառում նույն դիտարկման մեջ երկրորդ իրադարձության առաջացումը: Օրինակ՝ զառ նետելիս իրադարձությունը ԲԱՅՑհամարվում է 4 թվի առաջացումը, իսկ իրադարձությունը AT- զույգ թվի իջեցում: Քանի որ 4 թիվը զույգ թիվ է, երկու իրադարձությունները համատեղելի են: Գործնականում առաջադրանքներ կան՝ հաշվարկելու փոխադարձ համատեղ իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը։

Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների գումարման թեորեմը.Հավանականությունը, որ տեղի կունենա համատեղ իրադարձություններից մեկը, հավասար է այդ իրադարձությունների հավանականությունների գումարին, որից հանվում է երկու իրադարձությունների ընդհանուր առաջացման հավանականությունը, այսինքն՝ հավանականությունների արտադրյալը։ Համատեղ իրադարձությունների հավանականությունների բանաձևը հետևյալն է.

Քանի որ իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATհամատեղելի, իրադարձություն ԲԱՅՑ+ ATտեղի է ունենում, եթե տեղի է ունենում երեք հնարավոր իրադարձություններից մեկը ԱԲ. Համաձայն անհամատեղելի իրադարձությունների գումարման թեորեմի՝ մենք հաշվարկում ենք հետևյալ կերպ.

Իրադարձություն ԲԱՅՑտեղի է ունենում, եթե տեղի է ունենում երկու անհամատեղելի իրադարձություններից մեկը՝ կամ ԱԲ. Այնուամենայնիվ, մի քանի անհամատեղելի իրադարձություններից մեկ իրադարձության առաջացման հավանականությունը հավասար է այս բոլոր իրադարձությունների հավանականությունների գումարին.

Նմանապես.

(6) և (7) արտահայտությունները փոխարինելով (5) արտահայտությամբ՝ մենք ստանում ենք համատեղ իրադարձությունների հավանականության բանաձևը.

(8) բանաձևն օգտագործելիս պետք է հաշվի առնել, որ իրադարձությունները ԲԱՅՑև ATկարող է լինել:

• փոխադարձ անկախ;
• փոխադարձ կախվածություն.

Փոխադարձ անկախ իրադարձությունների հավանականության բանաձևը.

Փոխադարձ կախված իրադարձությունների հավանականության բանաձևը.

Եթե ​​իրադարձություններ ԲԱՅՑև ATանհամապատասխան են, ապա դրանց համընկնումը անհնարին դեպք է, և, հետևաբար, Պ(ԱԲ) = 0. Անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականության չորրորդ բանաձևը հետևյալն է.

Օրինակ 3Ավտոմրցարշավներում առաջին մեքենայով վարելիս՝ հաղթելու հավանականությունը, երկրորդ մեքենայով վարելիս։ Գտնել.

• հավանականությունը, որ երկու մեքենաներն էլ կհաղթեն.
• հավանականությունը, որ առնվազն մեկ մեքենա կհաղթի.

1) Առաջին մեքենան հաղթելու հավանականությունը կախված չէ երկրորդ մեքենայի արդյունքից, հետևաբար իրադարձությունները. ԲԱՅՑ(առաջին մեքենան հաղթում է) և AT(երկրորդ մեքենան հաղթում է) - անկախ իրադարձություններ: Գտեք երկու մեքենաների շահելու հավանականությունը.

2) Գտեք հավանականությունը, որ երկու մեքենաներից մեկը կհաղթի.

Ավելի բարդ առաջադրանքներ, որոնցում դուք պետք է կիրառեք և՛ գումարում, և՛ հավանականությունների բազմապատկում - «Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման տարբեր առաջադրանքներ» էջում:

Ինքներդ լուծեք հավանականությունների գումարման խնդիրը, իսկ հետո նայեք լուծմանը

Օրինակ 4Երկու մետաղադրամ է նետվում։ Իրադարձություն Ա- զինանշանի կորուստ առաջին մետաղադրամի վրա. Իրադարձություն Բ- երկրորդ մետաղադրամի զինանշանի կորուստ. Գտեք իրադարձության հավանականությունը Գ = Ա + Բ .

Հավանականության բազմապատկում

Հավանականությունների բազմապատկումն օգտագործվում է, երբ պետք է հաշվարկվի իրադարձությունների տրամաբանական արտադրյալի հավանականությունը:

Այս դեպքում պատահական իրադարձությունները պետք է անկախ լինեն: Երկու իրադարձությունները փոխադարձաբար անկախ են, եթե մեկ իրադարձության առաջացումը չի ազդում երկրորդ իրադարձության առաջացման հավանականության վրա:

Անկախ իրադարձությունների հավանականության բազմապատկման թեորեմ.Երկու անկախ իրադարձությունների միաժամանակյա առաջացման հավանականությունը ԲԱՅՑև ATհավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին և հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ 5Մետաղադրամը նետվում է երեք անգամ անընդմեջ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ զինանշանը երեք անգամն էլ ընկնի։

Լուծում. Հավանականությունը, որ զինանշանը կընկնի մետաղադրամի առաջին նետման, երկրորդ անգամ և երրորդ անգամ: Գտեք հավանականությունը, որ զինանշանը երեք անգամ էլ դուրս կգա.

Ինքներդ լուծեք հավանականությունները բազմապատկելու խնդիրները, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 6Կա մի տուփ, որտեղ կան թենիսի ինը նոր գնդակներ: Խաղի համար վերցնում են երեք գնդակ, խաղից հետո հետ են դնում։ Գնդակներ ընտրելիս նրանք չեն տարբերում խաղացած և չխաղացված գնդակները։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հետո երեք խաղԱրդյո՞ք տուփում չխաղված գնդակներ չեն լինի:

Օրինակ 7Կտրված այբուբենի բացիկների վրա գրված է ռուսերեն այբուբենի 32 տառ: Հինգ քարտերը պատահականության սկզբունքով նկարվում են մեկը մյուսի հետևից և դրվում սեղանի վրա այն հաջորդականությամբ, որով նրանք հայտնվում են: Գտեք հավանականությունը, որ տառերը կկազմեն «վերջ» բառը:

Օրինակ 8Քարտերի ամբողջական տախտակամածից (52 թերթ) միանգամից չորս քարտ է հանվում: Գտեք հավանականությունը, որ այս չորս քարտերն էլ միանման են:

Օրինակ 9Նույն խնդիրը, ինչ օրինակ 8-ում, բայց յուրաքանչյուր քարտը խաղարկվելուց հետո վերադարձվում է տախտակամած:

Ավելի բարդ առաջադրանքներ, որոնցում անհրաժեշտ է կիրառել և՛ գումարում, և՛ հավանականությունների բազմապատկում, ինչպես նաև հաշվարկել մի քանի իրադարձությունների արտադրյալը, «Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման տարբեր առաջադրանքներ» էջում:

Հավանականությունը, որ տեղի կունենա փոխադարձ անկախ իրադարձություններից գոնե մեկը, կարելի է հաշվարկել հակառակ իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալը 1-ից հանելով, այսինքն՝ բանաձևով։