ორი დამოუკიდებელი ღონისძიება. დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები. პირობითი ალბათობა. ლექცია აღნიშნავს ალბათობის თეორიის ძირითად ცნებებს და სტატისტიკას, რომელიც გამოიყენება ეკონომიკაში

მათემატიკაში USE დავალებაში ასევე არის უფრო რთული ალბათობის ამოცანები (ვიდრე ჩვენ განვიხილეთ ნაწილ 1-ში), სადაც უნდა გამოიყენოთ შეკრების წესი, ალბათობების გამრავლება და განასხვავოთ ერთობლივი და შეუთავსებელი მოვლენები.

ასე რომ, თეორია.

ერთობლივი და არაერთობლივი ღონისძიებები

ამბობენ, რომ მოვლენები შეუთავსებელია, თუ ერთ-ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომას. ანუ, მხოლოდ ერთი კონკრეტული მოვლენა შეიძლება მოხდეს, ან სხვა.

მაგალითად, ჯაგრისის სროლით, შეგიძლიათ განასხვავოთ ისეთი მოვლენები, როგორიცაა ლუწი ქულების რაოდენობა და კენტი რაოდენობა. ეს მოვლენები შეუთავსებელია.

მოვლენებს ერთობლივად უწოდებენ, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის გაჩენას.

მაგალითად, ჯარისკაცის სროლისას შეგიძლიათ განასხვავოთ ისეთი მოვლენები, როგორიცაა კენტი რაოდენობის ქულების დადგომა და ქულების რაოდენობის დაკარგვა, რომელიც არის სამის ჯერადი. როდესაც სამი შემოვიდა, ორივე მოვლენა რეალიზდება.

მოვლენების ჯამი

რამდენიმე მოვლენის ჯამი (ან გაერთიანება) არის მოვლენა, რომელიც შედგება ამ მოვლენებიდან მინიმუმ ერთის დადგომაში.

სადაც ორი არაერთგვაროვანი მოვლენის ჯამი არის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამი:

მაგალითად, 5 ან 6-ის მიღების ალბათობა კამათელიერთ როლზე, იქნება იმის გამო, რომ ორივე მოვლენა (როლი 5, როლი 6) შეუთავსებელია და ერთი ან მეორე მოვლენის დადგომის ალბათობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

ალბათობა ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამი უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი წარმოშობის გათვალისწინების გარეშე:

მაგალითად, სავაჭრო ცენტრში ორი იდენტური ავტომატი ყიდის ყავას. იმის ალბათობა, რომ აპარატს დღის ბოლომდე ყავა ამოეწურება, არის 0,3. ალბათობა იმისა, რომ ორივე აპარატს ყავა ამოიწურება არის 0,12. მოდი ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ დღის ბოლომდე ყავა ერთ მანქანაში მაინც დასრულდეს (ანუ ერთში, ან მეორეში, ან ორივეში ერთდროულად).

პირველი მოვლენის "ყავა დამთავრდება პირველ აპარატში" ალბათობა, ასევე მეორე მოვლენის "ყავა დასრულდება მეორე აპარატში" პირობით უდრის 0,3-ს. ღონისძიებები თანამშრომლობითია.

პირველი ორი მოვლენის ერთობლივი განხორციელების ალბათობა პირობის მიხედვით უდრის 0,12-ს.

ეს ნიშნავს, რომ ალბათობა იმისა, რომ დღის ბოლომდე ყავა ერთ-ერთ აპარატში მაინც ამოიწურება არის

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

ორი შემთხვევითი მოვლენა A და B ეწოდება დამოუკიდებელ მოვლენას, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. წინააღმდეგ შემთხვევაში A და B მოვლენებს დამოკიდებულს უწოდებენ.

მაგალითად, ორი კამათლის ერთდროულად სროლისას, წვეთი ერთ მათგანზე, ვთქვათ 1, ხოლო მეორე 5-ზე, - დამოუკიდებელი ღონისძიებები.

ალბათობების პროდუქტი

რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი (ან გადაკვეთა) არის მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი წარმოშობისგან.

თუ არის ორი დამოუკიდებელი ღონისძიებები A და B ალბათობით P(A) და P(B) შესაბამისად, მაშინ A და B მოვლენების განხორციელების ალბათობა ერთდროულად უდრის ალბათობების ნამრავლს:

მაგალითად, ჩვენ გვაინტერესებს ზედიზედ ორჯერ კამათელზე ექვსის დაკარგვა. ორივე მოვლენა დამოუკიდებელია და თითოეული მათგანის ცალ-ცალკე განხორციელების ალბათობა არის . ორივე მოვლენის დადგომის ალბათობა გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: .

იხილეთ ამოცანების შერჩევა თემის შესამუშავებლად.

მოვლენებს A, B, C... ეწოდება დამოკიდებულიერთმანეთისგან, თუ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა განსხვავდება სხვა მოვლენების დადგომის ან არდადგომის მიხედვით. მოვლენებს ე.წ დამოუკიდებელითუ თითოეული მათგანის გაჩენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული სხვათა დადგომაზე ან არ მომხდარზე.

პირობითი ალბათობა(RA (B) - B მოვლენის პირობითი ალბათობა A-სთან მიმართებაში) არის B მოვლენის ალბათობა, გამოითვლება იმ დაშვებით, რომ მოვლენა A უკვე მოხდა. პირობითი ალბათობის მაგალითი B მოვლენის პირობითი ალბათობა, იმ პირობით, რომ მოვლენა A უკვე მოხდა, განსაზღვრებით, უდრის RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

დამოკიდებული მოვლენების ალბათობების გამრავლება:ორი მოვლენის ერთობლივი მოვლენის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოვლენა უკვე მოხდა:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

მაგალითი. კოლექტორს აქვს 3 კონუსური და 7 ელიფსური ლილვაკი. კოლექციონერმა აიღო ერთი როლიკერი, შემდეგ კი მეორე. იპოვეთ ალბათობა, რომ აღებული ლილვაკებიდან პირველი კონუსურია, ხოლო მეორე ელიფსური.

გამოსავალი:ალბათობა იმისა, რომ პირველი როლიკერი იქნება კონუსური (მოვლენა A), P (A) = 3/10. ალბათობა იმისა, რომ მეორე როლიკერი იქნება ელიფსური (მოვლენა B), გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ პირველი როლიკერი კონუსურია, ანუ პირობითი. ალბათობა RA (B) = 7/9.
გამრავლების ფორმულის მიხედვით, სასურველი ალბათობა P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. გაითვალისწინეთ, რომ ნოტაციის დაცვით, ჩვენ ადვილად პოულობენ: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

მოვლენათა დამოუკიდებლობის პირობა. დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლება. მაგალითები.

მოვლენა B დამოუკიდებელია A მოვლენისგან თუ

P(B/A) = P(B) ე.ი. B მოვლენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა A.

ამ შემთხვევაში მოვლენა A არ არის დამოკიდებული B მოვლენაზე, ანუ მოვლენათა დამოუკიდებლობის თვისება ორმხრივია.

ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს:

P(AB) = P(A)P(B) .

მაგალითი 1: t დროში მოქმედი მოწყობილობა შედგება სამი კვანძისაგან, რომელთაგან თითოეული, სხვებისგან დამოუკიდებლად, შეიძლება წარიმართოს (მწყობრიდან გამოსული იყოს) t დროის განმავლობაში. მინიმუმ ერთი კვანძის უკმარისობა იწვევს მთლიანი მოწყობილობის უკმარისობას. t დროის განმავლობაში, პირველი კვანძის საიმედოობა (შეუფერხებელი მუშაობის ალბათობა) უდრის p 1 = 0,8; მეორე p 2 = 0.9 მესამე p 3 = 0.7. იპოვნეთ მთლიანი მოწყობილობის საიმედოობა.

გამოსავალი.აღმნიშვნელი:

A - მოწყობილობების უპრობლემოდ მუშაობა,

1 - პირველი კვანძის უშედეგო ოპერაცია,

2 - მეორე კვანძის უპრობლემო მოქმედება,

3 - მესამე კვანძის უპრობლემო ოპერაცია,

საიდანაც დამოუკიდებელი მოვლენების გამრავლების თეორემით

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504

მაგალითი 2. იპოვეთ რიცხვის ერთად გამოჩენის ალბათობა ორი მონეტის ერთ გადაყრაში.

გამოსავალი. პირველი მონეტის ციფრის გამოჩენის ალბათობა (A მოვლენა) Р(А) = 1/2; მეორე მონეტის (მოვლენა B) ციფრის გამოჩენის ალბათობა არის P(B) = 1/2.

მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, ამიტომ ვპოულობთ სასურველ ალბათობას

ფორმულის მიხედვით:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

მოვლენების თანმიმდევრულობა და შეუსაბამობა. ორი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის დამატება. მაგალითები.

ორ მოვლენას ე.წ ერთობლივითუ ერთი მათგანის დადგომა არ ახდენს გავლენას ან გამორიცხავს მეორის დადგომას. ერთობლივი მოვლენები შეიძლება განხორციელდეს ერთდროულად, მაგალითად, ნებისმიერი რიცხვის გამოჩენა იმავე კამათელზე

არანაირად არ მოქმედებს სხვა ძვალზე რიცხვების გარეგნობაზე. მოვლენები არათანმიმდევრულია, თუ ერთ ფენომენში ან ერთ ტესტში მათი ერთდროულად რეალიზება შეუძლებელია და ერთი მათგანის გამოჩენა გამორიცხავს მეორის გამოჩენას (სამიზნეზე დარტყმა და გაუჩინარება შეუთავსებელია).

ორი A ან B ერთობლივი მოვლენიდან მინიმუმ ერთის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის გარეშე:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

მაგალითი. პირველი სპორტსმენისთვის მიზანში მოხვედრის ალბათობა არის 0,85, ხოლო მეორის - 0,8. სპორტსმენები დამოუკიდებლად

გაისროლა ერთი გასროლა. იპოვეთ ალბათობა, რომ მინიმუმ ერთი სპორტსმენი მოხვდება მიზანში?

გამოსავალი. შემოვიღოთ აღნიშვნა: მოვლენები A - "პირველი სპორტსმენის დარტყმა", B - "მეორე სპორტსმენის დარტყმა", C - "ერთ-ერთი სპორტსმენის დარტყმა". ცხადია, A + B = C და მოვლენები A და B თავსებადია. ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

რადგან A და B დამოუკიდებელი მოვლენებია. ამ მნიშვნელობების P(A) = 0.85, P(B) = 0.8 P(C) ფორმულაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ სასურველ ალბათობას.

P (C) \u003d (0.85 + 0.8) - 0.85 0.8 \u003d 0.97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. საპირისპირო მოვლენების ალბათობათა შეკრების თეორემა

Საწინააღმდეგოდაასახელეთ ორი შეუთავსებელი მოვლენა, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. თუ ორი საპირისპირო მოვლენადან ერთ-ერთი აღინიშნება მაგრამ,მეორე ჩვეულებრივ აღინიშნება . საპირისპირო მოვლენა შედგება მოვლენის არ მომხდარში მაგრამ.

თეორემა.საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

P(A)+P()= 1.

მაგალითი 4ყუთი შეიცავს 11 ნაწილს, რომელთაგან 8 სტანდარტულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ 3 შემთხვევით ამოღებულ ნაწილს შორის არის მინიმუმ ერთი დეფექტური.

გამოსავალი.პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ორი გზით.

1 გზა. საპირისპიროა მოვლენები „ამოღებულ ნაწილებს შორის ერთი დეფექტური ნაწილი მაინც არის“ და „ამოღებულ ნაწილებს შორის არც ერთი დეფექტური ნაწილი არ არის“. პირველი მოვლენა აღვნიშნოთ როგორც მაგრამ,და მეორე მეშვეობით :

P(A) =1 - P( ) .

მოდი ვიპოვოთ R(). გზების საერთო რაოდენობა, რომლითაც შესაძლებელია 3 ნაწილის ამოღება 11 ნაწილიდან, უდრის კომბინაციების რაოდენობას
. სტანდარტული ნაწილების რაოდენობაა 8 ; ამ რაოდენობის ნაწილებიდან
3 სტანდარტული ნაწილის ამოღების გზები. მაშასადამე, ალბათობა იმისა, რომ ამოღებულ 3 ნაწილს შორის არ არის არასტანდარტული ნაწილები, უდრის:

საპირისპირო მოვლენების ალბათობის დამატების თეორემის მიხედვით, სასურველი ალბათობა უდრის: P(A)=1 - P()=

2 გზა.ღონისძიება მაგრამ- "მოპოვებულ ნაწილებს შორის არის მინიმუმ ერთი დეფექტი" - შეიძლება ჩაითვალოს გარეგნულად:

ან მოვლენები AT- "ამოღებულია 1 დეფექტური და 2 არა დეფექტური ნაწილი",

ან მოვლენები FROM- "ამოღებულია 2 დეფექტური და 1 უხარისხო ნაწილი",

ან მოვლენები დ - "3 დეფექტური ნაწილი ამოღებულია".

მერე ა= ბ+ C+ დ. მოვლენებიდან მოყოლებული ბ, C და დ შეუთავსებელია, მაშინ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მიმატების თეორემა შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობებისთვის:

4. დამოუკიდებელ მოვლენათა ალბათობათა გამრავლების თეორემა

ორი მოვლენის პროდუქტიმაგრამ დაAT დარეკეთ ღონისძიებაზე C=AB,რომელიც შედგება ამ მოვლენების ერთობლივი გარეგნობის (კომბინაციის)გან.

რამდენიმე მოვლენის პროდუქტიდაასახელეთ მოვლენა, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი შემთხვევისგან. მაგალითად, მოვლენა ABCარის მოვლენების ერთობლიობა A, Bდა FROM.

ორ მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელითუ ერთი მათგანის ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორის დადგომაზე ან არ მომხდარზე.

თეორემა.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

P(AB)=P(A) P(B).

შედეგი.რამდენიმე მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს. :

P(A 1 მაგრამ 2 ... მაგრამ ნ ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A ნ ).

მაგალითი 5იპოვეთ გერბის ერთად გამოჩენის ალბათობა ორი მონეტის ერთ გადაყრაში.

გამოსავალი. ავღნიშნოთ მოვლენები: მაგრამ -გერბის გამოჩენა პირველ მონეტაზე, AT -გერბის გამოჩენა მეორე მონეტაზე, FROM- გერბის გამოჩენა ორ მონეტაზე C=AB.

პირველი მონეტის გერბის გამოჩენის ალბათობა :

P(A) =.

მეორე მონეტის გერბის გამოჩენის ალბათობა :

P(B) =.

მოვლენებიდან მოყოლებული მაგრამდა ATდამოუკიდებელი, მაშინ სასურველი ალბათობა გამრავლების თეორემის მიხედვით უდრის:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

მაგალითი 6არის 3 ყუთი, რომელიც შეიცავს 10 ნაწილს. პირველი უჯრა შეიცავს 8, მეორე უჯრა 7 და მესამე უჯრა 9 სტანდარტულ ნაწილს. თითო უჯრიდან შემთხვევით შედგენილია ერთი ელემენტი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული სამივე ნაწილი სტანდარტულია.

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი აღებულია პირველი უჯრიდან (მოვლენა მაგრამ):

P(A) =

ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი აღებულია მეორე უჯრიდან (მოვლენა AT):

ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი აღებულია მესამე უჯრიდან (მოვლენა FROM):

P(C)=

მოვლენებიდან მოყოლებული A, Bდა FROMაგრეგატში დამოუკიდებელი, მაშინ სასურველი ალბათობა (გამრავლების თეორემის მიხედვით) უდრის:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

მაგალითი 7ორი დამოუკიდებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამ 1 და მაგრამ 2 შესაბამისად თანაბარი რ 1 და რ 2. იპოვეთ ამ მოვლენებიდან მხოლოდ ერთის დადგომის ალბათობა.

გამოსავალი. მოდით წარმოგიდგინოთ მოვლენების აღნიშვნა:

AT 1 – გამოჩნდა მხოლოდ მოვლენა მაგრამ 1 ; AT 2 – გამოჩნდა მხოლოდ მოვლენა მაგრამ 2 .

მოვლენის შემთხვევა AT 1 მოვლენის დადგომის ტოლფასია მაგრამ 1 2 (პირველი მოვლენა გამოჩნდა და მეორე არ გამოჩნდა), ე.ი. AT 1 = ა 1 2 .

მოვლენის შემთხვევა AT 2 მოვლენის დადგომის ტოლფასია 1 მაგრამ 2 (პირველი მოვლენა არ გამოჩნდა და მეორე გამოჩნდა), ე.ი. AT 1 = 1 მაგრამ 2 .

ამრიგად, იპოვნეთ მხოლოდ ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამ 1 ან მაგრამ 2 საკმარისია იპოვოთ ერთის დადგომის ალბათობა, არ აქვს მნიშვნელობა რომელი მოვლენა AT 1 და AT 2 . განვითარებული მოვლენები AT 1 და AT 2 არათანმიმდევრულია, ამიტომ შეუთავსებელი მოვლენების დამატების თეორემა გამოიყენება:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემები.
დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

სათაური საშინლად გამოიყურება, მაგრამ სინამდვილეში ძალიან მარტივია. ამ გაკვეთილზე გავეცნობით მოვლენათა ალბათობების შეკრებისა და გამრავლების თეორემებს, ასევე გავაანალიზებთ ტიპურ ამოცანებს, რომლებიც ამოცანა ალბათობის კლასიკური განმარტებისთვისაუცილებლად შეხვდებით ან, უფრო სავარაუდოა, უკვე შეგხვედრიათ გზაში. ამ სტატიის მასალების ეფექტურად შესასწავლად, თქვენ უნდა იცოდეთ და გაიგოთ ძირითადი ტერმინები ალბათობის თეორიადა შეძლოს მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება. როგორც ხედავთ, ძალიან ცოტაა საჭირო და, შესაბამისად, აქტივში მსუქანი პლუსი თითქმის გარანტირებულია. მაგრამ მეორეს მხრივ, მე კვლავ ვაფრთხილებ პრაქტიკული მაგალითების მიმართ ზედაპირული დამოკიდებულების წინააღმდეგ - ასევე არის საკმარისი დახვეწილობა. Წარმატებები:

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობის მიმატების თეორემა: ორიდან ერთის გაჩენის ალბათობა შეუთავსებელიმოვლენები ან (არ აქვს მნიშვნელობა რა), უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:

მსგავსი ფაქტი ასევე ეხება შეუთავსებელი მოვლენების უფრო დიდ რაოდენობას, მაგალითად, სამი შეუთავსებელი მოვლენისთვის და:

სიზმრის თეორემა =) თუმცა, ასეთი სიზმარი ასევე ექვემდებარება მტკიცებას, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ქ სასწავლო სახელმძღვანელოვ.ე. გმურმანი.

მოდით გავეცნოთ ახალ, აქამდე არნახულ ცნებებს:

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

დავიწყოთ დამოუკიდებელი ღონისძიებებით. მოვლენები არის დამოუკიდებელი თუ დადგომის ალბათობა ნებისმიერი მათგანი არ არის დამოკიდებულიგანხილული ნაკრების სხვა მოვლენების გამოჩენა/არგამოჩენიდან (ყველა შესაძლო კომბინაციაში). ... მაგრამ რა არის საერთო ფრაზების გასაშლელი:

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემა: დამოუკიდებელი მოვლენების ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა და უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

დავუბრუნდეთ 1-ლი გაკვეთილის უმარტივეს მაგალითს, რომელშიც ორი მონეტა ყრიან და შემდეგ მოვლენებს:

- თავები დაეცემა პირველ მონეტაზე;
- თავები მე-2 მონეტაზე.

მოდი ვიპოვოთ მოვლენის ალბათობა (თავები გამოჩნდება პირველ მონეტაზე დამე-2 მონეტაზე არწივი გამოჩნდება - დაიმახსოვრე როგორ უნდა წაიკითხო მოვლენების პროდუქტი!) . ერთ მონეტაზე თავების მოხვედრის ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე მონეტის გადაყრის შედეგზე, შესაბამისად, მოვლენები და დამოუკიდებელია.

ანალოგიურად:
არის ალბათობა იმისა, რომ 1-ლი მონეტა მოხვდება თავებს დამე-2 კუდზე;
არის ალბათობა იმისა, რომ თავები გამოჩნდება პირველ მონეტაზე დამე-2 კუდზე;
არის ალბათობა იმისა, რომ 1-ლი მონეტა კუდებზე მოხვდება დამე-2 არწივზე.

გაითვალისწინეთ, რომ მოვლენები იქმნება სრული ჯგუფიხოლო მათი ალბათობათა ჯამი ერთის ტოლია: .

გამრავლების თეორემა აშკარად ვრცელდება დამოუკიდებელი მოვლენების უფრო დიდ რაოდენობაზე, ასე რომ, მაგალითად, თუ მოვლენები დამოუკიდებელია, მაშინ მათი ერთობლივი წარმოშობის ალბათობაა: . მოდით ვივარჯიშოთ კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება 3

სამი ყუთიდან თითოეული შეიცავს 10 ნაწილს. პირველ ყუთში არის 8 სტანდარტული ნაწილი, მეორეში - 7, მესამეში - 9. თითოეული ყუთიდან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ნაწილი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა ნაწილი სტანდარტულია.

გამოსავალი: ნებისმიერი ყუთიდან სტანდარტული ან არასტანდარტული ნაწილის ამოღების ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი ნაწილები იქნება ამოღებული სხვა უჯრებიდან, ამიტომ პრობლემა დამოუკიდებელ მოვლენებს ეხება. განვიხილოთ შემდეგი დამოუკიდებელი მოვლენები:

– 1-ლი ყუთიდან ამოღებულია სტანდარტული ნაწილი;
– მე-2 ყუთიდან ამოღებულია სტანდარტული ნაწილი;
– მე-3 უჯრიდან ამოღებულია სტანდარტული ნაწილი.

კლასიკური განმარტების მიხედვით:
არის შესაბამისი ალბათობები.

ღონისძიება, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს (სტანდარტული ნაწილი აღებული იქნება 1-ლი უჯრიდან დამე-2 სტანდარტიდან დამე-3 სტანდარტიდან)გამოიხატება პროდუქტით.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:

არის ალბათობა იმისა, რომ ერთი სტანდარტული ნაწილი იქნება ამოღებული სამი ყუთიდან.

უპასუხე: 0,504

ყუთებით გამამხნევებელი ვარჯიშების შემდეგ, არანაკლებ საინტერესო ურნები გველოდებიან:

დავალება 4

სამი ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 4 შავ ბურთს. თითო ურნადან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ: ა) სამივე ბურთი თეთრი იყოს; ბ) სამივე ბურთი ერთნაირი ფერის იქნება.

მიღებული ინფორმაციის საფუძველზე გამოიცანით, როგორ მოიქცეთ „იყოს“ პუნქტთან ;-) სავარაუდო ნიმუშის გადაწყვეტა შექმნილია აკადემიურ სტილში ყველა მოვლენის დეტალური აღწერით.

დამოკიდებული მოვლენები. ღონისძიება ე.წ დამოკიდებული თუ მისი ალბათობა დამოკიდებულიაუკვე მომხდარი ერთი ან მეტი მოვლენიდან. თქვენ არ გჭირდებათ შორს წასვლა მაგალითებისთვის - უბრალოდ გადადით უახლოეს მაღაზიაში:

- ხვალ 19:00 საათზე იყიდება ახალი პური.

ამ მოვლენის ალბათობა ბევრ სხვა მოვლენაზეა დამოკიდებული: ხვალ ახალი პურის მიწოდება მოხდება, საღამოს 7 საათამდე გაიყიდება თუ არა და ა.შ. სხვადასხვა გარემოებიდან გამომდინარე, ეს მოვლენა შეიძლება იყოს სანდო და შეუძლებელი. ასე რომ, ღონისძიება დამოკიდებული.

პური და, როგორც რომაელები მოითხოვდნენ, ცირკები:

- გამოცდაზე სტუდენტი მიიღებს მარტივ ბილეთს.

თუ პირველივე არ წახვალთ, მაშინ ღონისძიება იქნება დამოკიდებული, რადგან მისი ალბათობა დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ რომელი ბილეთები აქვთ უკვე გათამაშებული კლასელებმა.

როგორ განვსაზღვროთ მოვლენების დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა?

ზოგჯერ ეს პირდაპირ არის მითითებული პრობლემის მდგომარეობაში, მაგრამ ყველაზე ხშირად თქვენ უნდა ჩაატაროთ დამოუკიდებელი ანალიზი. აქ არ არსებობს ცალსახა მიმართულება და მოვლენათა დამოკიდებულების ან დამოუკიდებლობის ფაქტი ბუნებრივი ლოგიკური მსჯელობიდან გამომდინარეობს.

იმისათვის, რომ არ ჩააგდოთ ყველაფერი ერთ გროვაში, ამოცანები დამოკიდებული მოვლენებისთვისმე გამოვყოფ შემდეგ გაკვეთილს, მაგრამ ახლა განვიხილავთ თეორემების ყველაზე გავრცელებულ ჯგუფს პრაქტიკაში:

ამოცანები მიმატების თეორემებზე არათანმიმდევრული ალბათობებისთვის
და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლება

ეს ტანდემი, ჩემი სუბიექტური შეფასებით, მუშაობს განსახილველ თემაზე ამოცანების დაახლოებით 80%-ში. ჰიტები და ალბათობის თეორიის ნამდვილი კლასიკა:

დავალება 5

ორმა მსროლელმა თითო გასროლა მიზანში ესროლა. პირველი მსროლელისთვის დარტყმის ალბათობა არის 0,8, მეორის - 0,6. იპოვეთ ალბათობა, რომ:

ა) მხოლოდ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანში;
ბ) ერთ-ერთი მსროლელი მაინც მოხვდება მიზანში.

გამოსავალი: ერთი მსროლელის დარტყმის/გაშვების ალბათობა აშკარად დამოუკიდებელია მეორე მსროლელის მოქმედებისგან.

განიხილეთ მოვლენები:
– პირველი მსროლელი მოხვდება მიზანში;
- მე-2 მსროლელი მოხვდება მიზანში.

პირობით: .

მოდი ვიპოვოთ საპირისპირო მოვლენების ალბათობა - რომ შესაბამისი ისრები გამოტოვებენ:

ა) განვიხილოთ მოვლენა: - მხოლოდ ერთი მსროლელი ხვდება მიზანს. ეს მოვლენა შედგება ორი შეუთავსებელი შედეგისგან:

1-ლი მსროლელი მოხვდება დამე-2 აცდენა
ან
1-ს გამოტოვებს დამე-2 მოხვდება.

ენაზე მოვლენის ალგებრებიეს ფაქტი შეიძლება დაიწეროს ასე:

ჯერ ვიყენებთ შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემას, შემდეგ - დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემას:

არის ალბათობა იმისა, რომ იქნება მხოლოდ ერთი დარტყმა.

ბ) განიხილეთ მოვლენა: - ერთი მსროლელი მაინც მოხვდება მიზანში.

უპირველეს ყოვლისა, მოდი დავფიქრდეთ - რას ნიშნავს პირობა „ერთი მაინც“? ამ შემთხვევაში, ეს ნიშნავს, რომ ან 1-ლი მსროლელი მოხვდება (მე-2 გამოტოვებს) ანმე-2 (1-ლი გაცდენა) ანორივე ისარი ერთდროულად - სულ 3 შეუთავსებელი შედეგი.

მეთოდი პირველი: წინა პუნქტის მომზადებული ალბათობის გათვალისწინებით, მოსახერხებელია მოვლენის წარმოდგენა, როგორც შემდეგი განცალკევებული მოვლენების ჯამი:

ერთი მიიღებს (მოვლენა, რომელიც თავის მხრივ შედგება 2 შეუთავსებელი შედეგისგან) ან
თუ ორივე ისარი მოხვდა, ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მოვლენას ასოთი.

Ამგვარად:

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:
არის ალბათობა იმისა, რომ 1-ლი მსროლელი მოხვდება დამე-2 მსროლელი მოხვდება.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემის მიხედვით:
არის მინიმუმ ერთი დარტყმის ალბათობა სამიზნეზე.

მეთოდი მეორე: განიხილეთ საპირისპირო მოვლენა: – ორივე მსროლელი გამოტოვებს.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:

Როგორც შედეგი:

Განსაკუთრებული ყურადღებაყურადღება მიაქციეთ მეორე მეთოდს - ზოგადად ეს უფრო რაციონალურია.

გარდა ამისა, არსებობს ამოხსნის ალტერნატიული, მესამე გზა, რომელიც დაფუძნებულია ერთობლივი მოვლენების შეჯამების თეორემაზე, რომელიც ზემოთ დუმდა.

! თუ მასალას პირველად კითხულობთ, მაშინ დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია გამოტოვოთ შემდეგი აბზაცი.

მეთოდი სამი : მოვლენები ერთობლივია, რაც ნიშნავს, რომ მათი ჯამი გამოხატავს მოვლენას „მინიმუმ ერთი მსროლელი ურტყამს მიზანს“ (იხ. მოვლენის ალგებრა). მიერ ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემადა დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა:

შევამოწმოთ: მოვლენები და (0, 1 და 2 დარტყმა შესაბამისად)შექმენით სრული ჯგუფი, ამიტომ მათი ალბათობების ჯამი უნდა იყოს ერთის ტოლი:
, რომელიც გადამოწმებული იყო.

უპასუხე:

ალბათობის თეორიის საფუძვლიანი შესწავლით, თქვენ წააწყდებით მილიტარისტული შინაარსის ათეულ ამოცანას და, რაც დამახასიათებელია, ამის შემდეგ არ მოგინდებათ ვინმეს სროლა - დავალებები თითქმის ნაჩუქარია. რატომ არ გავხადოთ შაბლონი კიდევ უფრო მარტივი? შევამოკლოთ ჩანაწერი:

გამოსავალი: პირობის მიხედვით: , არის შესაბამის მსროლელებზე დარტყმის ალბათობა. მაშინ მათი გამოტოვების ალბათობაა:

ა) შეუთავსებლობის ალბათობების შეკრების და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემების მიხედვით:
არის იმის ალბათობა, რომ მხოლოდ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანში.

ბ) დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემის მიხედვით:
არის იმის ალბათობა, რომ ორივე მსროლელი გამოტოვებს.

მაშინ: არის ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთი მსროლელი მაინც მოხვდება მიზანში.

უპასუხე:

პრაქტიკაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი დიზაინის ვარიანტი. რა თქმა უნდა, ბევრად უფრო ხშირად მიდიან მოკლე გზაზე, მაგრამ არ უნდა დაგვავიწყდეს პირველი მეთოდი - თუმცა ის უფრო გრძელია, მაგრამ უფრო აზრიანი - მასში უფრო ნათელია, რა, რატომ და რატომკრებს და მრავლდება. ზოგიერთ შემთხვევაში, ჰიბრიდული სტილი მიზანშეწონილია, როდესაც მოსახერხებელია მხოლოდ ზოგიერთი მოვლენის აღნიშვნა დიდი ასოებით.

მსგავსი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

დავალება 6

ხანძრის განგაშისთვის დამონტაჟებულია ორი დამოუკიდებლად მოქმედი სენსორი. ალბათობა იმისა, რომ სენსორი იმუშავებს ხანძრის დროს არის 0.5 და 0.7, შესაბამისად პირველი და მეორე სენსორებისთვის. იპოვეთ ალბათობა, რომ ცეცხლში:

ა) ორივე სენსორი გაუმართავს;
ბ) ორივე სენსორი იმუშავებს.
გ) გამოყენებით მიმატების თეორემა მოვლენათა ალბათობის ფორმირების სრული ჯგუფისთვისიპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ მხოლოდ ერთი სენსორი იმუშავებს ხანძრის დროს. შეამოწმეთ შედეგი ამ ალბათობის პირდაპირი გაანგარიშებით (შეკრების და გამრავლების თეორემების გამოყენებით).

აქ, მოწყობილობების მუშაობის დამოუკიდებლობა პირდაპირ არის გაწერილი პირობით, რაც, სხვათა შორის, მნიშვნელოვანი განმარტებაა. ნიმუშის გადაწყვეტა შექმნილია აკადემიურ სტილში.

რა მოხდება, თუ მსგავს პრობლემაში მოცემულია იგივე ალბათობები, მაგალითად, 0.9 და 0.9? თქვენ ზუსტად იგივე უნდა გადაწყვიტოთ! (რაც, ფაქტობრივად, უკვე ნაჩვენებია მაგალითში ორი მონეტით)

დავალება 7

პირველი მსროლელის მიერ მიზანში ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,8. ალბათობა იმისა, რომ სამიზნე არ მოხვდეს პირველი და მეორე მსროლელის ერთი გასროლის შემდეგ არის 0,08. რა არის მეორე მსროლელის მიერ მიზანში ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა?

და ეს არის პატარა თავსატეხი, რომელიც ჩარჩოშია მოკლედ. პირობის გადაფორმება შეიძლება უფრო მოკლედ, მაგრამ მე არ გავაკეთებ ორიგინალს - პრაქტიკაში, მე უნდა ჩავუღრმავდე უფრო მორთულ ფაბრიკაციებს.

გაიცანით - ის არის ის, ვინც დაგიჭრათ განუზომელი რაოდენობის დეტალები =):

დავალება 8

მუშა მართავს სამ მანქანას. ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს პირველ მანქანას კორექტირება დასჭირდება არის 0.3, მეორე - 0.75, მესამე - 0.4. იპოვეთ ალბათობა, რომ ცვლაში:

ა) ყველა მანქანა საჭიროებს კორექტირებას;
ბ) მხოლოდ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას;
გ) მინიმუმ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას.

გამოსავალი: ვინაიდან პირობა არაფერს ამბობს ერთ ტექნოლოგიურ პროცესზე, მაშინ თითოეული მანქანის მუშაობა უნდა ჩაითვალოს დამოუკიდებლად სხვა მანქანების მუშაობისგან.

№5 დავალების ანალოგიით, აქ შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ მოვლენები, რომლებიც შედგება იმაში, რომ შესაბამისი მანქანები საჭიროებენ კორექტირებას ცვლის დროს, ჩაწერეთ ალბათობა, იპოვონ საპირისპირო მოვლენების ალბათობა და ა.შ. მაგრამ სამი ობიექტით, ნამდვილად არ მინდა დავალების ასე შედგენა - ეს გრძელი და დამღლელი აღმოჩნდება. აქედან გამომდინარე, აქ შესამჩნევად უფრო მომგებიანია "სწრაფი" სტილის გამოყენება:

პირობით: - ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს შესაბამის მანქანებს დასჭირდებათ დარეგულირება. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ისინი ყურადღებას არ მოითხოვენ არის:

ერთ-ერთმა მკითხველმა აქ იპოვა მაგარი შეცდომა, არც გავასწორებ =)

ა) დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემის მიხედვით:
არის ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს სამივე მანქანა საჭიროებს კორექტირებას.

ბ) მოვლენა „ცვლის დროს მხოლოდ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას“ შედგება სამი შეუთავსებელი შედეგისგან:

1) 1 მანქანა დასჭირდებაყურადღება დამე-2 მანქანა არ დასჭირდება დამე-3 მანქანა არ დასჭირდება
ან:
2) 1 მანქანა არ დასჭირდებაყურადღება დამე-2 მანქანა დასჭირდება დამე-3 მანქანა არ დასჭირდება
ან:
3) 1 მანქანა არ დასჭირდებაყურადღება დამე-2 მანქანა არ დასჭირდება დამე-3 მანქანა დასჭირდება.

შეუთავსებლობის ალბათობების შეკრების და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემების მიხედვით:

- ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს მხოლოდ ერთი მანქანა მოითხოვს კორექტირებას.

ვფიქრობ, ახლა თქვენთვის გასაგები უნდა იყოს, საიდან გაჩნდა ეს გამოთქმა

გ) გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ მანქანებს კორექტირება არ დასჭირდებათ, შემდეგ კი საპირისპირო მოვლენის ალბათობა:
- ის ფაქტი, რომ მინიმუმ ერთი მანქანა მოითხოვს კორექტირებას.

უპასუხე:

პუნქტი "ვე" ასევე შეიძლება ამოიხსნას ჯამით, სადაც არის ალბათობა, რომ ცვლაში მხოლოდ ორ მანქანას დასჭირდება კორექტირება. ეს მოვლენა, თავის მხრივ, მოიცავს 3 შეუთავსებელ შედეგს, რომლებიც ხელმოწერილია „be“ პუნქტის ანალოგიით. შეეცადეთ იპოვოთ ალბათობა, რომ გადაამოწმოთ მთელი პრობლემა თანასწორობის დახმარებით.

დავალება 9

სამმა იარაღმა სამიზნეს ფრენბურთი ესროლა. მხოლოდ პირველი თოფიდან ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,7, მეორიდან - 0,6, მესამედან - 0,8. იპოვეთ ალბათობა, რომ: 1) ერთი ჭურვი მაინც მოხვდეს მიზანში; 2) მხოლოდ ორი ჭურვი მოხვდება მიზანში; 3) მიზანს ორჯერ მაინც მოხვდება.

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

და ისევ დამთხვევებზე: იმ შემთხვევაში, თუ პირობით, საწყისი ალბათობების ორი ან თუნდაც ყველა მნიშვნელობა ემთხვევა (მაგალითად, 0.7; 0.7 და 0.7), მაშინ ზუსტად იგივე გადაწყვეტის ალგორითმი უნდა დაიცვას.

სტატიის დასასრულს ჩვენ გავაანალიზებთ კიდევ ერთ ჩვეულებრივ თავსატეხს:

დავალება 10

მსროლელი ყოველ გასროლაზე ერთნაირი ალბათობით ურტყამს მიზანს. რა არის ეს ალბათობა, თუ მინიმუმ ერთი დარტყმის ალბათობა სამ გასროლაში არის 0,973.

გამოსავალი: აღნიშნავს - ყოველი გასროლით სამიზნეზე დარტყმის ალბათობას.
და მეშვეობით - ყოველი გასროლით გაშვების ალბათობა.

დავწეროთ მოვლენები:
- 3 გასროლით მსროლელი ერთხელ მაინც მოხვდება მიზანში;
- მსროლელი გამოტოვებს 3-ჯერ.

პირობის მიხედვით, მაშინ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა:

მეორეს მხრივ, დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:

Ამგვარად:

- ყოველი გასროლით გაშვების ალბათობა.

Როგორც შედეგი:
არის ყოველი გასროლის ალბათობა.

უპასუხე: 0,7

მარტივი და ელეგანტური.

განხილულ პრობლემაში შეიძლება დაისვას დამატებითი კითხვები მხოლოდ ერთი დარტყმის, მხოლოდ ორი დარტყმის და მიზანზე სამი დარტყმის ალბათობის შესახებ. გადაწყვეტის სქემა ზუსტად იგივე იქნება, რაც ორ წინა მაგალითში:

თუმცა, ფუნდამენტური არსებითი განსხვავება ისაა, რომ არსებობს განმეორებითი დამოუკიდებელი ტესტები, რომლებიც სრულდება თანმიმდევრულად, ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და შედეგების ერთნაირი ალბათობით.

პრობლემის ზოგადი განცხადება: ზოგიერთი მოვლენის ალბათობა ცნობილია, მაგრამ სხვა მოვლენების ალბათობა, რომლებიც დაკავშირებულია ამ მოვლენებთან, უნდა გამოითვალოს. ამ პრობლემებში საჭიროა ალბათობაზე ისეთი ოპერაციები, როგორიცაა ალბათობათა შეკრება და გამრავლება.

მაგალითად, ნადირობისას ორი გასროლა მოხდა. ღონისძიება ა- იხვის დარტყმა პირველი გასროლიდან, მოვლენა ბ- დაარტყა მეორე გასროლიდან. შემდეგ მოვლენათა ჯამი ადა ბ- მოხვდა პირველი ან მეორე გასროლიდან ან ორი გასროლიდან.

სხვადასხვა ტიპის ამოცანები. მოცემულია რამდენიმე ღონისძიება, მაგალითად, მონეტის სროლა სამჯერ. საჭიროა იპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ან სამჯერ ამოვარდეს გერბი, ან რომ გერბი ერთხელ მაინც ამოვარდეს. ეს გამრავლების პრობლემაა.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატება

ალბათობის შეკრება გამოიყენება მაშინ, როდესაც საჭიროა გამოთვალოთ კომბინაციის ალბათობა ან შემთხვევითი მოვლენების ლოგიკური ჯამი.

მოვლენების ჯამი ადა ბდანიშნოს ა + ბან ა ∪ ბ. ორი მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი მოვლენა მაინც მოხდება. Ეს ნიშნავს, რომ ა + ბ- მოვლენა, რომელიც ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა ხდება დაკვირვების დროს აან მოვლენა ბ, ან ამავე დროს ადა ბ.

თუ მოვლენები ადა ბერთმანეთის შეუსაბამობაა და მოცემულია მათი ალბათობა, მაშინ ალბათობა, რომ ერთ-ერთი მოვლენა მოხდეს ერთი ცდის შედეგად, გამოითვლება ალბათობების დამატებით.

ალბათობათა შეკრების თეორემა.ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს ორი ურთიერთშეთავსებადი მოვლენიდან ერთი, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:

მაგალითად, ნადირობისას ორი გასროლა მოხდა. ღონისძიება მაგრამ– იხვის დარტყმა პირველი გასროლიდან, მოვლენა AT– დარტყმა მეორე გასროლიდან, მოვლენა ( მაგრამ+ AT) - დარტყმა პირველი ან მეორე გასროლიდან ან ორი გასროლიდან. ასე რომ, თუ ორი მოვლენა მაგრამდა ATშეუთავსებელი მოვლენებია, მაშინ მაგრამ+ AT- ამ მოვლენებიდან ერთი ან ორი მოვლენის დადგომა.

მაგალითი 1ყუთი შეიცავს იმავე ზომის 30 ბურთულას: 10 წითელი, 5 ლურჯი და 15 თეთრი. გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ ფერადი (არა თეთრი) ბურთი აიღეს შეხედვის გარეშე.

გამოსავალი. დავუშვათ, რომ მოვლენა მაგრამ– „წითელი ბურთი აღებულია“ და ღონისძიება AT- "ლურჯი ბურთი აღებულია." შემდეგ ღონისძიება არის "ფერადი (არა თეთრი) ბურთის აღება". იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა მაგრამ:

და მოვლენები AT:

განვითარებული მოვლენები მაგრამდა AT- ურთიერთ შეუთავსებელია, რადგან თუ ერთი ბურთი აიღეთ, მაშინ სხვადასხვა ფერის ბურთების აღება შეუძლებელია. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ალბათობების დამატებას:

რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენისთვის ალბათობების დამატების თეორემა.თუ მოვლენები ქმნიან მოვლენათა სრულ სიმრავლეს, მაშინ მათი ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს:

საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი ასევე უდრის 1-ს:

საპირისპირო მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ კრებულს, ხოლო მოვლენების სრული ნაკრების ალბათობა არის 1.

საპირისპირო მოვლენების ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ასოებით. გვდა ქ. Კერძოდ,

საიდანაც გამომდინარეობს საპირისპირო მოვლენების ალბათობის შემდეგი ფორმულები:

მაგალითი 2ტირეში სამიზნე დაყოფილია 3 ზონად. ალბათობა იმისა, რომ გარკვეულმა მსროლელმა პირველ ზონაში ისროლოს სამიზნე არის 0,15, მეორე ზონაში - 0,23, მესამე ზონაში - 0,17. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანში მოხვდა და ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს გაუშვა.

გამოსავალი: იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანში მოხვდა:

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს გაუშვა:

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

ორმხრივი ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატება

ორი შემთხვევითი მოვლენა ერთობლივად ითვლება, თუ ერთი მოვლენის დადგომა არ გამორიცხავს მეორე მოვლენის დადგომას იმავე დაკვირვებაში. მაგალითად, კამათლის სროლისას მოვლენა მაგრამითვლება 4 რიცხვის და მოვლენად AT- ლუწი რიცხვის ჩამოგდება. ვინაიდან რიცხვი 4 არის ლუწი რიცხვი, ეს ორი მოვლენა თავსებადია. პრაქტიკაში, არსებობს დავალებები ერთ-ერთი ერთობლივი მოვლენის დადგომის ალბათობის გამოსათვლელად.

ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა.ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს ერთ-ერთი ერთობლივი მოვლენა, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, საიდანაც გამოკლებულია ორივე მოვლენის საერთო დადგომის ალბათობა, ანუ ალბათობების ნამრავლი. ერთობლივი მოვლენების ალბათობის ფორმულა ასეთია:

რადგან მოვლენები მაგრამდა ATთავსებადი, მოვლენა მაგრამ+ ATხდება თუ სამი შესაძლო მოვლენადან ერთ-ერთი მოხდება: ან AB. შეუთავსებელი მოვლენების დამატების თეორემის მიხედვით ვიანგარიშებთ შემდეგნაირად:

ღონისძიება მაგრამხდება, თუ მოხდება ორი შეუთავსებელი მოვლენადან ერთი: ან AB. თუმცა, რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ყველა ამ მოვლენის ალბათობის ჯამს:

ანალოგიურად:

გამონათქვამების (6) და (7) ჩანაცვლებით გამოსახულებით (5), ჩვენ ვიღებთ ერთობლივი მოვლენების ალბათობის ფორმულას:

ფორმულის (8) გამოყენებისას გასათვალისწინებელია, რომ მოვლენები მაგრამდა ATშეიძლება იყოს:

• ორმხრივად დამოუკიდებელი;
• ორმხრივად დამოკიდებული.

ორმხრივად დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის ფორმულა:

ორმხრივად დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის ფორმულა:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATარათანმიმდევრულია, მაშინ მათი დამთხვევა შეუძლებელი შემთხვევაა და, ამრიგად, პ(AB) = 0. შეუთავსებელი მოვლენების მეოთხე ალბათობის ფორმულა ასეთია:

მაგალითი 3ავტორბოლაში, პირველი მანქანით მართვისას, გამარჯვების ალბათობა, მეორე მანქანით მართვისას. იპოვე:

• ორივე მანქანის მოგების ალბათობა;
• ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი მანქანა გაიმარჯვებს;

1) პირველი მანქანის მოგების ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე მანქანის შედეგზე, ამიტომ მოვლენები მაგრამ(პირველი მანქანა იგებს) და AT(მეორე მანქანა იგებს) - დამოუკიდებელი ღონისძიებები. იპოვეთ ორივე მანქანის მოგების ალბათობა:

2) იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი მანქანიდან ერთ-ერთი მოიგოს:

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

თავად გადაჭრით ალბათობების დამატების პრობლემა და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 4ორი მონეტა იყრება. ღონისძიება ა- გერბის დაკარგვა პირველ მონეტაზე. ღონისძიება ბ- გერბის დაკარგვა მეორე მონეტაზე. იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა C = ა + ბ .

ალბათობის გამრავლება

ალბათობათა გამრავლება გამოიყენება, როდესაც უნდა გამოითვალოს მოვლენათა ლოგიკური ნამრავლის ალბათობა.

ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი მოვლენები დამოუკიდებელი უნდა იყოს. ორი მოვლენა ითვლება ურთიერთდამოუკიდებელად, თუ ერთი მოვლენის დადგომა არ იმოქმედებს მეორე მოვლენის დადგომის ალბათობაზე.

ალბათობის გამრავლების თეორემა დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთდროული წარმოშობის ალბათობა მაგრამდა ATუდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს და გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი 5მონეტა ზედიზედ სამჯერ იყრება. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ ამოვარდეს.

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ გერბი დაეცემა მონეტის პირველ გადაგდებაზე, მეორედ და მესამედ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ ამოვარდეს:

თავად გადაწყვიტეთ პრობლემები ალბათობის გასამრავლებლად და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 6არის ყუთი ჩოგბურთის ცხრა ახალი ბურთით. სამი ბურთი იღება თამაშისთვის, თამაშის შემდეგ ისინი უკან აბრუნებენ. ბურთების არჩევისას არ განასხვავებენ დათამაშებულ და უთამაშებელ ბურთებს. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემდეგ სამი თამაშიარ იქნება უთამაშებელი ბურთები ყუთში?

მაგალითი 7ამოჭრილ ანბანურ ბარათებზე რუსული ანბანის 32 ასოა დაწერილი. ხუთი კარტი იხსნება შემთხვევით, ერთმანეთის მიყოლებით და მაგიდაზე მოთავსებულია თანმიმდევრობით. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ ასოები წარმოადგენენ სიტყვას "ბოლო".

მაგალითი 8კარტების სრული დასტადან (52 ფურცელი) ამოღებულია ოთხი კარტი ერთდროულად. იპოვეთ ალბათობა, რომ ოთხივე კარტი ერთნაირია.

მაგალითი 9იგივე პრობლემა, როგორც მე-8 მაგალითში, მაგრამ თითოეული კარტი ბრუნდება გემბანზე გათამაშების შემდეგ.

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება, ასევე გამოთვალოთ რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

ალბათობა იმისა, რომ მოხდება მინიმუმ ერთი ურთიერთდამოუკიდებელი მოვლენა, შეიძლება გამოითვალოს საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ნამრავლის გამოკლებით 1-დან, ანუ ფორმულით.