მოვლენებს დამოუკიდებელ თუ. დამოკიდებული და დამოუკიდებელი შემთხვევითი მოვლენები. საერთო ალბათობის ფორმულა

მოვლენების დამოკიდებულება გასაგებია სავარაუდოგაგებით, არა ფუნქციურად. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი დამოკიდებული მოვლენის გამოჩენა არ შეუძლია ცალსახად განსაჯოს მეორის გარეგნობა. ალბათური დამოკიდებულება ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი დამოკიდებული მოვლენის დადგომა მხოლოდ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. თუ ალბათობა არ იცვლება, მაშინ მოვლენები დამოუკიდებლად ითვლება.

განმარტება: მოდით - თვითნებური ალბათობის სივრცე, - რამდენიმე შემთხვევითი მოვლენა. ამას ამბობენ ღონისძიება მაგრამმოვლენაზე არ არის დამოკიდებული AT , თუ ის პირობითი ალბათობაემთხვევა უპირობო ალბათობას:

.

Თუ , მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოვლენა მაგრამმოვლენაზე დამოკიდებული AT.

დამოუკიდებლობის ცნება არის სიმეტრიული, ანუ თუ მოვლენა მაგრამმოვლენაზე არ არის დამოკიდებული AT, შემდეგ ღონისძიება ATმოვლენაზე არ არის დამოკიდებული მაგრამ. მართლაც, დაე . მერე . ამიტომ, ისინი უბრალოდ ამბობენ, რომ მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი.

მოვლენათა დამოუკიდებლობის შემდეგი სიმეტრიული განმარტება გამომდინარეობს ალბათობათა გამრავლების წესიდან.

განმარტება: განვითარებული მოვლენები მაგრამდა AT,იგივე ალბათობის სივრცეზე განსაზღვრული ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ

Თუ , შემდეგ მოვლენები მაგრამდა ATდაურეკა დამოკიდებული.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს განმარტება ასევე მოქმედებს, როდესაც ან .

დამოუკიდებელი მოვლენების თვისებები.

1. თუ მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებლები არიან, მაშინ მოვლენების შემდეგი წყვილიც დამოუკიდებელია: .

▲ დავამტკიცოთ, მაგალითად, მოვლენების დამოუკიდებლობა. წარმოიდგინეთ მოვლენა მაგრამროგორც: . ვინაიდან მოვლენები შეუთავსებელია, მაშინ და მოვლენების დამოუკიდებლობის გამო მაგრამდა ATჩვენ ამას ვიღებთ. აქედან გამომდინარე, რაც ნიშნავს დამოუკიდებლობას. ■

2. თუ მოვლენა მაგრამარ არის დამოკიდებული მოვლენებზე 1-შიდა 2-ში, რომლებიც შეუთავსებელია () , იმ მოვლენას მაგრამთანხაზე არ არის დამოკიდებული.

▲ მართლაც, მოვლენის ალბათობისა და დამოუკიდებლობის დანამატის აქსიომის გამოყენებით მაგრამმოვლენებიდან 1-შიდა 2-ში, ჩვენ გვაქვს:

კავშირი დამოუკიდებლობისა და შეუთავსებლობის ცნებებს შორის.

დაე მაგრამდა AT- ნებისმიერი მოვლენა, რომელსაც აქვს არანულოვანი ალბათობა: , ასე . თუ მოვლენები მაგრამდა ATარათანმიმდევრულია () და ამიტომ თანასწორობა ვერასოდეს იქნება. Ამგვარად, შეუთავსებელი მოვლენები დამოკიდებულია.

როდესაც ორზე მეტი მოვლენა ერთდროულად განიხილება, მათი წყვილი დამოუკიდებლობა საკმარისად არ ახასიათებს კავშირს მთელი ჯგუფის მოვლენებს შორის. ამ შემთხვევაში ინერგება მთლიანობაში დამოუკიდებლობის ცნება.

განმარტება: ერთსა და იმავე ალბათობის სივრცეზე განსაზღვრული მოვლენები ეწოდება კოლექტიურად დამოუკიდებელი, თუ რომელიმესთვის 2 £ მილიონი £ nდა ინდექსების ნებისმიერ კომბინაციას აქვს თანასწორობა:

ზე მ = 2დამოუკიდებლობა მთლიანობაში გულისხმობს მოვლენათა წყვილ დამოუკიდებლობას. საპირისპირო არ არის სიმართლე.

მაგალითი. (ბერნშტეინი ს.ნ.)

შემთხვევითი ექსპერიმენტი შედგება ჩვეულებრივი ტეტრაედრის (ტეტრაედრის) გადაყრაში. ზემოდან ქვემოდან ამოვარდნილი სახეა. ტეტრაედონის სახეები შემდეგნაირად არის შეღებილი: 1-ლი სახე - თეთრი, მე-2 სახე - შავი,
3 სახე - წითელი, 4 სახე - შეიცავს ყველა ფერს.

განიხილეთ მოვლენები:

მაგრამ= (მიტოვება თეთრი ფერი}; ბ= (Black drop out);

C= (წითელი მიტოვება).

მერე ;

ამიტომ, მოვლენები მაგრამ, ATდა FROMარიან წყვილი დამოუკიდებელნი.

თუმცა, .

ამიტომ, მოვლენები მაგრამ, ATდა FROMერთობლივად ისინი არ არიან დამოუკიდებლები.

პრაქტიკაში, როგორც წესი, მოვლენების დამოუკიდებლობა არ დგინდება მისი განსაზღვრებით შემოწმებით, არამედ პირიქით: მოვლენები განიხილება დამოუკიდებლად ნებისმიერი გარე მოსაზრებებისგან ან გარემოებების გათვალისწინებით. შემთხვევითი ექსპერიმენტიდა გამოიყენე დამოუკიდებლობა მოვლენების წარმოქმნის ალბათობის მოსაძებნად.

თეორემა (დამოუკიდებელ მოვლენებზე ალბათობათა გამრავლება).

თუ ერთი და იგივე ალბათობის სივრცეზე განსაზღვრული მოვლენები მთლიანობაში დამოუკიდებელია, მაშინ მათი ნამრავლის ალბათობა უდრის ალბათობების ნამრავლს:

▲ თეორემის დადასტურება გამომდინარეობს მოვლენათა დამოუკიდებლობის განსაზღვრებიდან აგრეგატში ან საერთო ალბათობის გამრავლების თეორემიდან, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ შემთხვევაში

მაგალითი 1 (პირობითი ალბათობების პოვნის ტიპიური მაგალითი, დამოუკიდებლობის ცნება, ალბათობის მიმატების თეორემა).

ელექტრული წრე შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა შესაბამისად ტოლია.

1) იპოვნეთ მიკროსქემის უკმარისობის ალბათობა.

2) ცნობილია, რომ წრე ჩავარდა.

რა არის იმის ალბათობა, რომ ვერ მოხერხდეს:

ა) 1 ელემენტი; ბ) მე-3 ელემენტი?

გამოსავალი.განიხილეთ მოვლენები = (ვერ შედგა კე ელემენტი) და მოვლენა მაგრამ= (სქემა ვერ მოხერხდა). შემდეგ ღონისძიება მაგრამწარმოდგენილია სახით:

.

1) ვინაიდან მოვლენები და არ არის შეუთავსებელი, მაშინ ალბათობის დანამატის აქსიომა Р3) გამოუსადეგარია და ალბათობის საპოვნელად უნდა გამოვიყენოთ ალბათობის საერთო თეორემა, რომლის მიხედვითაც.

მოდით, მოვლენის ალბათობა ATარ არის დამოკიდებული მოვლენის დადგომაზე მაგრამ.

განმარტება.ღონისძიება ATდაურეკა მოვლენისგან დამოუკიდებელი ათუ მოვლენის დადგომა მაგრამარ ცვლის მოვლენის ალბათობას AT, ე.ი. თუ მოვლენის პირობითი ალბათობა ATუდრის მის უპირობო ალბათობას:

რ ა(AT) = რ(AT). (2.12)

ჩანაცვლებით (2.12) მიმართებაში (2.11), მივიღებთ

რ(მაგრამ)რ(AT) = რ(AT)R B(მაგრამ).

R B(მაგრამ) = რ(მაგრამ),

იმათ. მოვლენის პირობითი ალბათობა მაგრამვარაუდობენ, რომ მოვლენა მოხდა AT, უდრის მის უპირობო ალბათობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენა მაგრამმოვლენაზე არ არის დამოკიდებული ბ.

ლემა (მოვლენების ურთიერთდამოუკიდებლობის შესახებ): თუ მოვლენა ATმოვლენაზე არ არის დამოკიდებული მაგრამ, შემდეგ ღონისძიება მაგრამმოვლენაზე არ არის დამოკიდებული AT; ეს ნიშნავს, რომ მოვლენათა ურთიერთდამოუკიდებლობის საკუთრება.

დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის, გამრავლების თეორემა რ(AB) = რ(მაგრამ) რ ა(AT) აქვს ფორმა

რ(AB) = რ(მაგრამ) რ(AT), (2.13)

იმათ. ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს.

ტოლობა (2.13) მიღებულია როგორც დამოუკიდებელი მოვლენების განმარტება. ორ მოვლენად ითვლება დამოუკიდებელი, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას.

განმარტება.ორ მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელი, თუ მათი გაერთიანების ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს; წინააღმდეგ შემთხვევაში მოვლენებს უწოდებენ დამოკიდებული.

პრაქტიკაში მოვლენების დამოუკიდებლობა ფორმდება პრობლემის მნიშვნელობის მიხედვით. მაგალითად, ორი იარაღით მიზანში დარტყმის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხვდა თუ არა მეორე იარაღმა მიზანში, ამიტომ მოვლენები „პირველი იარაღი მიზანში მოხვდა“ და „მეორე იარაღმა მიზანში მოხვდა“ დამოუკიდებელია.

მაგალითი. იპოვეთ სამიზნეზე ორი იარაღით ერთობლივად დარტყმის ალბათობა, თუ სამიზნეს პირველი იარაღით დარტყმის ალბათობა (მოვლენა მაგრამ) უდრის 0,8-ს, ხოლო მეორე (მოვლენა AT) – 0,7.

გამოსავალი.განვითარებული მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი, შესაბამისად, გამრავლების თეორემით, სასურველი ალბათობა

რ(AB) = რ(მაგრამ)რ(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

კომენტარი 1. თუ მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებლები არიან, მაშინ მოვლენებიც დამოუკიდებელია. მაგრამდა , და AT, და . მართლაც,

შესაბამისად,

, ან .

, ან .

იმათ. განვითარებული მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი.

მოვლენათა დამოუკიდებლობა და AT, და დადასტურებული მტკიცების შედეგია.

დამოუკიდებლობის ცნება შეიძლება გავრცელდეს საქმეზე ნივენთი.

განმარტება.რამდენიმე ღონისძიებას უწოდებენ წყვილი დამოუკიდებელითუ ყოველი ორი მათგანი დამოუკიდებელია. მაგალითად, მოვლენები მაგრამ, AT, FROMწყვილი დამოუკიდებელი თუ მოვლენები დამოუკიდებელია მაგრამდა AT, მაგრამდა FROM, ATდა FROM.

გამრავლების თეორემის რამდენიმე მოვლენაზე განზოგადების მიზნით, შემოგვაქვს მოვლენათა დამოუკიდებლობის ცნება აგრეგატში.

განმარტება.რამდენიმე ღონისძიებას უწოდებენ კოლექტიურად დამოუკიდებელი(ან უბრალოდ დამოუკიდებელი), თუ ყოველი ორი მათგანი დამოუკიდებელია და ყველა მოვლენა და სხვების ყველა შესაძლო პროდუქტი დამოუკიდებელია. მაგალითად, თუ მოვლენები მაგრამ 1 , ა 2 , მაგრამ 3 დამოუკიდებელია მთლიანობაში, შემდეგ მოვლენები დამოუკიდებელია მაგრამ 1 და ა 2 , მაგრამ 1 და მაგრამ 3 , ა 2 და მაგრამ 3 ; მაგრამ 1 და ა 2 მაგრამ 3 , ა 2 და მაგრამ 1 მაგრამ 3 , მაგრამ 3 და მაგრამ 1 ა 2. ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მოვლენები მთლიანობაში დამოუკიდებელია, მაშინ მათგან რაიმე მოვლენის დადგომის პირობითი ალბათობა, გამოთვლილი იმ ვარაუდით, რომ მომხდარი იყო სხვა მოვლენებიდან, უდრის მისი უპირობო ალბათობა.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ თუ რამდენიმე მოვლენა დამოუკიდებელია წყვილებში, მაშინ მათი დამოუკიდებლობა მთლიანობაში ჯერ არ გამომდინარეობს აქედან. ამ თვალსაზრისით, მოვლენის მთლიანობაში დამოუკიდებლობის მოთხოვნა უფრო ძლიერია, ვიდრე მოთხოვნა მათი წყვილის დამოუკიდებლობისთვის.

მოდი ავხსნათ რაც ითქვა მაგალითით. დავუშვათ, ურნაში არის 4 ბურთი, ფერადი: ერთი არის წითელი ( მაგრამ), ერთი - ლურჯში ( AT), ერთი - შავი ( FROM) და ერთი - ამ სამივე ფერში ( ABC). რა არის იმის ალბათობა, რომ ურნადან ამოღებული ბურთი წითელი იყოს?

ვინაიდან ოთხი ბურთიდან ორი წითელია, მაშინ რ(მაგრამ) = 2/4 = 1/2. ანალოგიურად კამათით ვხვდებით რ(AT) = 1/2, რ(FROM) = 1/2. ახლა დავუშვათ, რომ აღებული ბურთი ლურჯია, ე.ი. ღონისძიება ATუკვე მოხდა. შეიცვლება თუ არა იმის ალბათობა, რომ გათამაშებული ბურთი წითელია, ე.ი. შეიცვლება თუ არა მოვლენის ალბათობა? მაგრამ? ორი ბურთიდან, რომლებიც ლურჯია, ერთი ბურთი ასევე წითელია, ამიტომ მოვლენის ალბათობა არის მაგრამჯერ კიდევ 1/2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენის პირობითი ალბათობა მაგრამ, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მოხდა მოვლენა AT, უდრის მის უპირობო ალბათობას. ამიტომ, მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი. ანალოგიურად, ჩვენ ვასკვნით, რომ მოვლენები მაგრამდა FROM, ATდა FROMდამოუკიდებელი. ასე რომ, მოვლენები მაგრამ, ATდა FROMარიან წყვილი დამოუკიდებელნი.

არის თუ არა ეს მოვლენები მთლიანობაში დამოუკიდებელი? თურმე არა. მართლაც, მოდით, ამოღებულ ბურთს ჰქონდეს ორი ფერი, მაგალითად, ლურჯი და შავი. რა არის ალბათობა, რომ ეს ბურთიც წითელი იყოს? სამივე ფერში მხოლოდ ერთი ბურთია შეღებილი, ამიტომ დაჭერილი ბურთიც წითელია. ამრიგად, თუ ვივარაუდებთ, რომ მოვლენები ATდა FROMმოხდა, ჩვენ ვასკვნით, რომ მოვლენა მაგრამაუცილებლად მოვა. ამიტომ ეს მოვლენა სანდოა და მისი ალბათობა ერთის ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირობითი ალბათობა რ ძვ.წ(მაგრამ)= 1 მოვლენა მაგრამარ უდრის მის უპირობო ალბათობას რ(მაგრამ) = 1/2. ასე რომ, წყვილებში დამოუკიდებელი ღონისძიებები მაგრამ, AT, FROMარ არიან კოლექტიური დამოუკიდებლები.

ახლა წარმოგიდგენთ გამრავლების თეორემის დასკვნას.

შედეგი.რამდენიმე მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

მტკიცებულება.განვიხილოთ სამი მოვლენა: მაგრამ, ATდა FROM. მოვლენათა ერთობლიობა მაგრამ, ATდა FROMმოვლენების ერთობლიობის ტოლფასია ABდა FROM, ამიტომაც

რ(ABC) = რ(AB×C).

მოვლენებიდან მოყოლებული მაგრამ, ATდა FROMმთლიანობაში დამოუკიდებლები არიან, შემდეგ დამოუკიდებლები, კერძოდ, მოვლენები ABდა FROM, ისევე, როგორც მაგრამდა AT. ორი დამოუკიდებელი მოვლენის გამრავლების თეორემით გვაქვს:

რ(AB×C) = რ(AB)რ(FROM) და რ(AB) = რ(მაგრამ)რ(AT).

ასე რომ, საბოლოოდ მივიღებთ

რ(ABC) = რ(მაგრამ)რ(AT)რ(FROM).

თვითნებურისთვის ნმტკიცებულება ხორციელდება მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით.

კომენტარი.თუ მოვლენები მაგრამ 1 , მაგრამ 2 , ...,A nდამოუკიდებელნი არიან აგრეგატში, მაშინ საპირისპირო მოვლენებიც დამოუკიდებელია აგრეგატში.

მაგალითი.იპოვეთ გერბის ერთად გამოჩენის ალბათობა ორი მონეტის ერთ გადაყრაში.

გამოსავალი.პირველი მონეტის გერბის გამოჩენის ალბათობა (მოვლენა მაგრამ)

რ(მაგრამ) = 1/2.

მეორე მონეტის გერბის გამოჩენის ალბათობა (მოვლენა AT)

რ(AT) = 1/2.

განვითარებული მოვლენები მაგრამდა ATდამოუკიდებელი, ამიტომ გამრავლების თეორემით სასურველი ალბათობა უდრის

რ(AB) = რ(მაგრამ)რ(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

მაგალითი.არის 3 ყუთი, რომელიც შეიცავს 10 ნაწილს. პირველი უჯრა შეიცავს 8, მეორე უჯრა 7 და მესამე უჯრა 9 სტანდარტულ ნაწილს. თითო უჯრიდან შემთხვევით შედგენილია ერთი ელემენტი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული სამივე ნაწილი სტანდარტულია.

გამოსავალი.ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი აღებულია პირველი უჯრიდან (მოვლენა მაგრამ),

რ(მაგრამ) = 8/10 = 0,8.

ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი აღებულია მეორე უჯრიდან (მოვლენა AT),

რ(AT) = 7/10 = 0,7.

ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი აღებულია მესამე უჯრიდან (მოვლენა FROM),

რ(FROM) = 9/10 = 0,9.

მოვლენებიდან მოყოლებული მაგრამ, ATდა FROMაგრეგატში დამოუკიდებელი, მაშინ სასურველი ალბათობა (გამრავლების თეორემით) უდრის

რ(ABC) = რ(მაგრამ)რ(AT)რ(FROM) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

მოვიყვანოთ შეკრებისა და გამრავლების თეორემების ერთობლივი გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი.სამი დამოუკიდებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამ 1 , მაგრამ 2 , მაგრამ 3 შესაბამისად ტოლია რ 1 , რ 2 , რ 3 . იპოვეთ ამ მოვლენებიდან მხოლოდ ერთის დადგომის ალბათობა.

გამოსავალი. გაითვალისწინეთ, რომ, მაგალითად, გარეგნობა მხოლოდპირველი მოვლენა მაგრამ 1 არის მოვლენის გარეგნობის ტოლფასი (პირველი გამოჩნდა და მეორე და მესამე მოვლენები არ გამოჩნდა). შემოვიღოთ აღნიშვნა:

ბ 1 - გამოჩნდა მხოლოდ მოვლენა მაგრამ 1, ე.ი. ;

ბ 2 - გამოჩნდა მხოლოდ მოვლენა მაგრამ 2, ე.ი. ;

ბ 3 - გამოჩნდა მხოლოდ მოვლენა მაგრამ 3, ე.ი. .

ამრიგად, იპოვნეთ მხოლოდ ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამ 1 , მაგრამ 2 , მაგრამ 3, ჩვენ ვეძებთ ალბათობას პ(ბ 1 + ბ 2 + AT 3) ერთის გამოჩენა, არ აქვს მნიშვნელობა რომელი მოვლენა AT 1 , AT 2 , AT 3 .

მოვლენებიდან მოყოლებული AT 1 , AT 2 , AT 3 არათანმიმდევრულია, მაშინ გამოიყენება მიმატების თეორემა

პ(ბ 1 + ბ 2 + AT 3) = რ(AT 1) + რ(AT 2) + რ(AT 3). (*)

რჩება თითოეული მოვლენის ალბათობის პოვნა AT 1 , AT 2 , AT 3 . განვითარებული მოვლენები მაგრამ 1 , მაგრამ 2 , მაგრამ 3 დამოუკიდებელია, შესაბამისად, მოვლენები დამოუკიდებელია, ამიტომ მათზე ვრცელდება გამრავლების თეორემა

ანალოგიურად,

ამ ალბათობების (*) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ მხოლოდ ერთი მოვლენის დადგომის სასურველ ალბათობას. მაგრამ 1 , მაგრამ 2 , მაგრამ 3.

ალბათობის განმარტებები

კლასიკური განმარტება

ალბათობის კლასიკური „განმარტება“ ცნებადან მოდის თანაბარი შესაძლებლობაროგორც შესწავლილი ფენომენების ობიექტური თვისება. ეკვივალენტობა განუსაზღვრელი ცნებაა და ჩამოყალიბებულია შესასწავლი ფენომენების სიმეტრიის ზოგადი მოსაზრებებიდან. მაგალითად, მონეტის სროლისას, ვარაუდობენ, რომ მონეტის სავარაუდო სიმეტრიის, მასალის ჰომოგენურობისა და გადაყრის შემთხვევითობის (არამიკერძოებულობის) გამო, არ არსებობს მიზეზი, რომ უპირატესობა მიანიჭოთ „კუდებს“. "არწივები" ან პირიქით, ანუ ამ მხარეების დაკარგვა შეიძლება ჩაითვალოს თანაბრად სავარაუდო (თანაბარი სავარაუდო) .

ზოგად შემთხვევაში თანასწორობის ცნებასთან ერთად, კლასიკური განმარტება ასევე მოითხოვს ელემენტარული მოვლენის (შედეგის) კონცეფციას, რომელიც ხელს უწყობს ან არ ემხრობა შესწავლილ მოვლენას A. საუბარია შედეგებზე, რომელთა წარმოშობა გამორიცხავს შესაძლებლობას. სხვა შედეგების გაჩენის შესახებ. ეს შეუთავსებელი ელემენტარული მოვლენებია. მაგალითად, სროლისას კამათელიკონკრეტული ნომრის ჩამოგდება გამორიცხავს სხვა ნომრების ჩამოგდებას.

ალბათობის კლასიკური განმარტება შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

შემთხვევითი მოვლენის ალბათობაა უწოდა რიცხვის თანაფარდობან შეუთავსებელი თანაბრად სავარაუდო ელემენტარული მოვლენები, რომლებიც ქმნიან მოვლენასა , ყველა შესაძლო ელემენტარული მოვლენის რაოდენობამდენ :

მაგალითად, დავუშვათ, ორი კამათელი აგდებულია. თანაბრად შესაძლო შედეგების ჯამური რაოდენობა (ელემენტარული მოვლენები) აშკარად არის 36 (6 შესაძლებლობა თითოეულ კვერზე). შეაფასეთ 7 ქულის მიღების ალბათობა. 7 ქულის მოპოვება შესაძლებელია შემდეგი გზებით: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. ანუ, არსებობს მხოლოდ 6 თანაბრად სავარაუდო შედეგი, რომელიც ხელს უწყობს A მოვლენას - 7 ქულის მიღება. მაშასადამე, ალბათობა ტოლი იქნება 6/36=1/6. შედარებისთვის, 12 ქულის ან 2 ქულის მიღების ალბათობა მხოლოდ 1/36 - 6-ჯერ ნაკლებია.

გეომეტრიული განმარტება

იმისდა მიუხედავად, რომ კლასიკური განმარტება ინტუიციურია და პრაქტიკიდან გამომდინარეობს, ყოველ შემთხვევაში მისი პირდაპირ გამოყენება შეუძლებელია, თუ თანაბრად შესაძლო შედეგების რაოდენობა უსასრულოა. უსასრულო რაოდენობის შესაძლო შედეგების ნათელი მაგალითია შეზღუდული გეომეტრიული რეგიონი G, მაგალითად, სიბრტყეზე, S ფართობით. თანაბარი ალბათობით შემთხვევით „გაყრილი“ „წერტილი“ შეიძლება იყოს ამ რეგიონის ნებისმიერ წერტილში. პრობლემა მდგომარეობს იმაში, რომ განვსაზღვროთ წერტილის მოხვედრის ალბათობა g ქვედომენში s ფართობით. ამ შემთხვევაში, კლასიკური განმარტების განზოგადებით, შეგვიძლია მივიდეთ ქვედომენში მოხვედრის ალბათობის გეომეტრიულ განსაზღვრებამდე:

თანაბარი შესაძლებლობის გათვალისწინებით, ეს ალბათობა არ არის დამოკიდებული g რეგიონის ფორმაზე, ეს დამოკიდებულია მხოლოდ მის ფართობზე. ეს განსაზღვრება ბუნებრივად შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი განზომილების სივრცეზე, სადაც ფართობის ნაცვლად გამოიყენება ცნება „მოცულობა“. უფრო მეტიც, სწორედ ამ განმარტებას მივყავართ ალბათობის თანამედროვე აქსიომატიურ განსაზღვრებამდე. მოცულობის ცნება განზოგადებულია რაიმე აბსტრაქტული კომპლექტის „ზომის“ ცნებაზე, რომელსაც ეკისრება მოთხოვნები, რაც „მოცულობასაც“ აქვს გეომეტრიულ ინტერპრეტაციაში - პირველ რიგში, ეს არის არანეგატიურობა და მატება.

სიხშირის (სტატისტიკური) განსაზღვრა

კლასიკური განმარტება რთული პრობლემების განხილვისას აწყდება გადაულახავი ხასიათის სირთულეებს. კერძოდ, ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება შეუძლებელი იყოს თანაბრად სავარაუდო შემთხვევების იდენტიფიცირება. მონეტის შემთხვევაშიც კი, როგორც ცნობილია, აშკარად არ არის თანაბრად სავარაუდო "ზღვარის" ამოვარდნის შესაძლებლობა, რაც თეორიული მოსაზრებებიდან გამომდინარე ვერ შეფასდება (მხოლოდ შეიძლება ითქვას, რომ ნაკლებად სავარაუდოა და ეს მოსაზრება საკმაოდ პრაქტიკულია. ). ამიტომ, ალბათობის თეორიის ჩამოყალიბების გარიჟრაჟზე, შემოთავაზებული იქნა ალბათობის ალტერნატიული „სიხშირის“ განმარტება. კერძოდ, ფორმალურად, ალბათობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც A მოვლენის დაკვირვების სიხშირის ზღვარი, დაკვირვების ერთგვაროვნების (ანუ ყველა დაკვირვების პირობების ერთგვაროვნების) და ერთმანეთისგან დამოუკიდებლობის გათვალისწინებით:

სად არის დაკვირვებების რაოდენობა და არის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა.

იმისდა მიუხედავად, რომ ეს განმარტება უფრო მეტად მიუთითებს უცნობი ალბათობის შეფასების გზაზე - დიდი რაოდენობით ერთგვაროვანი და დამოუკიდებელი დაკვირვების საშუალებით - მიუხედავად ამისა, ეს განსაზღვრება ასახავს ალბათობის ცნების შინაარსს. კერძოდ, თუ მოვლენას მიეკუთვნება გარკვეული ალბათობა, როგორც მისი შესაძლებლობის ობიექტური საზომი, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ ფიქსირებულ პირობებში და მრავალჯერადი გამეორების პირობებში, უნდა მივიღოთ მისი კლების სიხშირე ახლოს (რაც უფრო ახლოს, მით მეტია დაკვირვება). სინამდვილეში, ეს არის ალბათობის კონცეფციის ორიგინალური მნიშვნელობა. იგი ეფუძნება ბუნების ფენომენების ობიექტივისტურ შეხედულებას. ქვემოთ მოცემულია კანონები ე.წ დიდი რიცხვები, რომლებიც იძლევა თეორიულ საფუძველს (ქვემოთ წარმოდგენილი თანამედროვე აქსიომატური მიდგომის ფარგლებში), მათ შორის ალბათობის სიხშირის შეფასებისთვის.

აქსიომატური განმარტება

თანამედროვე მათემატიკური მიდგომით, ალბათობა მოცემულია კოლმოგოროვის აქსიომატიკა. ვარაუდობენ, რომ ზოგიერთი ელემენტარული მოვლენების სივრცე. ამ სივრცის ქვესიმრავლეები ინტერპრეტირებულია როგორც შემთხვევითი მოვლენები. ზოგიერთი ქვესიმრავლის (მოვლენის) გაერთიანება (ჯამობა) ინტერპრეტირებულია, როგორც მოვლენა, რომელიც შედგება შემთხვევისგან. ერთი მაინცამ მოვლენებიდან. ქვეჯგუფების (მოვლენების) გადაკვეთა (პროდუქტი) ინტერპრეტირებულია, როგორც მოვლენა, რომელიც შედგება მოვლენისგან. ყველაამ მოვლენებს. განცალკევებული კომპლექტები ინტერპრეტირებულია როგორც შეუთავსებელიმოვლენები (მათი ერთობლივი შეტევა შეუძლებელია). შესაბამისად ცარიელი ნაკრები ნიშნავს შეუძლებელიაღონისძიება.

ალბათობა ( ალბათობის საზომი) ეწოდება საზომი(რიცხვითი ფუნქცია) განსაზღვრულია მოვლენების სიმრავლეზე, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:

თუ ელემენტარული მოვლენათა სივრცე X რა თქმა უნდა, მაშინ საკმარისია მითითებული დანამატის პირობა თვითნებური ორი შეუთავსებელი მოვლენისთვის, საიდანაც მოჰყვება დანამატობა ნებისმიერი საბოლოოშეუთავსებელი მოვლენების რაოდენობა. თუმცა ელემენტარული მოვლენების უსასრულო (დათვლადი ან უთვალავი) სივრცის შემთხვევაში ეს პირობა საკმარისი არ არის. Ე. წ თვლადი ან სიგმა დანამატობა, ანუ დანამატის თვისების შესრულება ნებისმიერისთვის არაუმეტეს თვლადიწყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენების ოჯახები. ეს აუცილებელია ალბათობის ღონისძიების „უწყვეტობის“ უზრუნველსაყოფად.

ალბათობის ზომა შეიძლება არ იყოს განსაზღვრული სიმრავლის ყველა ქვეჯგუფისთვის. ვარაუდობენ, რომ ის განსაზღვრულია ზოგიერთზე სიგმა ალგებრაქვეჯგუფები . ამ ქვეჯგუფებს ე.წ გაზომვადიმოცემული ალბათობის საზომის მიხედვით და ისინი შემთხვევითი მოვლენებია. სიმრავლე - ანუ ელემენტარული მოვლენების სიმრავლე, მისი ქვესიმრავლეების სიგმა-ალგებრა და ალბათობის საზომი - ე.წ. ალბათობის სივრცე.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების გარდა, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან რიცხვების სასრულ ან უსასრულო თანმიმდევრობას, რომლებიც სრულად არ ავსებენ არცერთ ინტერვალს, ხშირად არის შემთხვევითი ცვლადები, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან გარკვეულ ინტერვალს. ასეთი შემთხვევითი ცვლადის მაგალითია ნაწილის გარკვეული ზომის ნომინალური მნიშვნელობიდან გადახრა სათანადოდ ჩამოყალიბებული ტექნოლოგიური პროცესით. ამ ტიპის შემთხვევითი ცვლადები არ შეიძლება დაზუსტდეს ალბათობის განაწილების კანონის გამოყენებით p(x). თუმცა, მათი დაზუსტება შესაძლებელია ალბათობის განაწილების ფუნქციის გამოყენებით F(x). ეს ფუნქცია განისაზღვრება ზუსტად ისე, როგორც დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში:

ამრიგად, აქაც ფუნქცია F(x)განისაზღვრება მთელი რიცხვის ღერძზე და მისი მნიშვნელობა წერტილში Xუდრის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს იმაზე ნაკლებ მნიშვნელობას X. ფორმულა (19) და თვისებები 1° და 2° მოქმედებს ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციისთვის. მტკიცებულება ხორციელდება ისევე, როგორც დისკრეტული რაოდენობის შემთხვევაში. შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება უწყვეტი, თუ მისთვის არსებობს არაუარყოფითი ცალ-ცალკე-უწყვეტი ფუნქცია*, რომელიც აკმაყოფილებს ნებისმიერ მნიშვნელობას xთანასწორობა

ინტეგრალის, როგორც ფართობის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უტოლობების შესრულების ალბათობა უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს ფუძით. ზემოთ შემოსაზღვრულია მრუდით (სურ. 6).

მას შემდეგ, რაც და ფორმულაზე (22)

გაითვალისწინეთ, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, განაწილების ფუნქცია F(x)უწყვეტი ნებისმიერ წერტილში X, სადაც ფუნქცია უწყვეტია. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ F(x)ამ წერტილებში დიფერენცირებადია. ფორმულაზე დაყრდნობით (23), ვარაუდით x 1 =x, , ჩვენ გვაქვს

ფუნქციის უწყვეტობის გამო F(x)ჩვენ ამას ვიღებთ

შესაბამისად

Ამგვარად, ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება მიიღოს x-ის რომელიმე მნიშვნელობით არის ნული. აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენები, რომლებიც შედგება თითოეული უთანასწორობის შესრულებაში

მათ აქვთ იგივე ალბათობა, ე.ი.

მართლაც, მაგალითად,

რადგან კომენტარი.როგორც ვიცით, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ მისი დადგომის ალბათობა ნულის ტოლია. ალბათობის კლასიკურ განმარტებაში, როდესაც ტესტის შედეგების რაოდენობა სასრულია, ხდება საპირისპირო წინადადებაც: თუ მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, მაშინ მოვლენა შეუძლებელია, რადგან ამ შემთხვევაში არცერთი ტესტის შედეგი არ აწყობს მას. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, მისი შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა. ალბათობა იმისა, რომ ეს მნიშვნელობა მიიღებს რაიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას x 1 როგორც ვნახეთ, ნულის ტოლია. თუმცა, აქედან არ გამომდინარეობს, რომ ეს მოვლენა შეუძლებელია, რადგან ტესტის შედეგად შემთხვევით ცვლადს შეუძლია, კერძოდ, მიიღოს მნიშვნელობა x 1 . ამიტომ, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, აზრი აქვს ვისაუბროთ შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობაზე და არა იმაზე, რომ ის მიიღებს კონკრეტულ მნიშვნელობას. ასე რომ, მაგალითად, როლიკერის დამზადებისას, ჩვენ არ გვაინტერესებს იმის ალბათობა, რომ მისი დიამეტრი ნომინალური მნიშვნელობის ტოლი იქნება. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია იმის ალბათობა, რომ როლიკერის დიამეტრი არ გამოვიდეს ტოლერანტობიდან. მაგალითი.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე მოცემულია შემდეგნაირად:

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 7. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობებს იპოვეთ მოცემული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია. ( გამოსავალი)

შემდეგი ორი აბზაცი ეძღვნება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების განაწილებას, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში - ერთგვაროვანი და ნორმალური განაწილებები.

* ფუნქციას ეწოდება ცალმხრივი უწყვეტი მთელ ციფრულ ღერძზე, თუ ის ან უწყვეტია რომელიმე სეგმენტზე ან აქვს პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა. ** ინტეგრალის ცვლადი ზედა ზღვართან დიფერენცირების წესი, რომელიც მიღებულია სასრული ქვედა ზღვრის შემთხვევაში, მოქმედებს უსასრულო ქვედა ზღვრის მქონე ინტეგრალებისთვის. Ნამდვილად,

მას შემდეგ, რაც ინტეგრალური

არის მუდმივი მნიშვნელობა.

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები. პირობითი ალბათობა

განასხვავებენ დამოკიდებულ და დამოუკიდებელ მოვლენებს. ორ მოვლენად ითვლება დამოუკიდებელი, თუ ერთი მათგანის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას. მაგალითად, თუ სახელოსნოში მუშაობს ორი ავტომატური ხაზი, რომლებიც ერთმანეთთან არ არის დაკავშირებული წარმოების პირობების მიხედვით, მაშინ ამ ხაზების გაჩერებები დამოუკიდებელი მოვლენებია.

მაგალითი 3მონეტა გადატრიალებულია ორჯერ. პირველ ტესტში (მოვლენაში) "გერბის" გამოჩენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე ტესტში (მოვლენა) "გერბის" გამოჩენაზე ან არ გამოჩენაზე. თავის მხრივ, მეორე ტესტში „გერბის“ გამოჩენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული პირველი ტესტის შედეგზე. ამდენად, მოვლენები და დამოუკიდებელი.

რამდენიმე ღონისძიებას ეძახიან კოლექტიურად დამოუკიდებელი , თუ რომელიმე მათგანი არ არის დამოკიდებული რაიმე სხვა მოვლენაზე და სხვათა რომელიმე კომბინაციაზე.

მოვლენებს ე.წ დამოკიდებული , თუ ერთი მათგანი გავლენას ახდენს მეორის გაჩენის ალბათობაზე. მაგალითად, ორი საწარმოო ქარხანა დაკავშირებულია ერთი ტექნოლოგიური ციკლით. მაშინ ერთი მათგანის წარუმატებლობის ალბათობა დამოკიდებულია მეორის მდგომარეობაზე. ერთი მოვლენის ალბათობა, რომელიც გამოითვლება სხვა მოვლენის დადგომის ვარაუდით, ეწოდება პირობითი ალბათობა მოვლენები და აღინიშნება .

მოვლენის დამოუკიდებლობის პირობა მოვლენისგან იწერება ფორმით, ხოლო მისი დამოკიდებულების პირობა - ფორმით. განვიხილოთ მოვლენის პირობითი ალბათობის გამოთვლის მაგალითი.

მაგალითი 4ყუთში არის 5 საჭრელი: ორი ნახმარი და სამი ახალი. კეთდება საჭრელების ზედიზედ ორი ექსტრაქცია. დაადგინეთ ნახმარი საჭრელის გამოჩენის პირობითი ალბათობა მეორე ამოღების დროს, იმ პირობით, რომ პირველად ამოღებული საჭრელი არ დაბრუნდეს ყუთში.

გამოსავალი. ავღნიშნოთ ნახმარი საჭრელის ამოღება პირველ შემთხვევაში და - ახლის ამოღება. მაშინ . ვინაიდან ამოღებული საჭრელი არ არის დაბრუნებული ყუთში, იცვლება თანაფარდობა ნახმარი და ახალი საჭრელების რაოდენობას შორის. ამიტომ, მეორე შემთხვევაში ნახმარი საჭრელის მოხსნის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მოვლენა მოხდა მანამდე.

მოდით აღვნიშნოთ მოვლენა, რომელიც ნიშნავს ნახმარი საჭრელის ამოღებას მეორე შემთხვევაში. ამ მოვლენის ალბათობაა:

ამიტომ, მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა.

ალბათობის სიმკვრივე- ევკლიდეს სივრცეზე ალბათობის საზომის დაყენების ერთ-ერთი გზა. იმ შემთხვევაში, როდესაც ალბათობის ზომა არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილება, საუბარია სიმჭიდროვეშემთხვევითი ცვლადი.

ალბათობის სიმკვრივე მოდით იყოს ალბათობის საზომი, ანუ განისაზღვროს ალბათობის სივრცე, სადაც აღნიშნავს ბორელის σ-ალგებრას. მოდით აღვნიშნოთ ლებეგის ზომა.

განმარტება 1.ალბათობას ეწოდება აბსოლუტურად უწყვეტი (ლებეგის საზომთან მიმართებაში) () თუ ლებეგის საზომის ნულოვანი რომელიმე ბორელის სიმრავლეს ასევე აქვს ალბათობა ნული:

თუ ალბათობა აბსოლუტურად უწყვეტია, მაშინ რადონ-ნიკოდიმ თეორემის მიხედვით, არსებობს არაუარყოფითი ბორელის ფუნქცია ისეთი, რომ

,

სადაც გამოიყენება საერთო აბრევიატურა , ხოლო ინტეგრალი გაგებულია ლებეგის მნიშვნელობით.

განმარტება 2.უფრო ზოგადად, მოდით იყოს თვითნებური გაზომვადი სივრცე და იყოს ორი ზომა ამ სივრცეში. თუ არსებობს არაუარყოფითი , რაც საშუალებას იძლევა გამოხატოს ზომა ზომაში სახით

მაშინ ამ ფუნქციას ეძახიან გაზომეთ სიმკვრივე როგორც , ან რადონ-ნიკოდმის წარმოებულიგავზომოთ ზომასთან მიმართებაში და აღვნიშნოთ

თუ მოვლენის დადგომისას მოვლენის ალბათობა არ იცვლება, მერე მოვლენები და დაურეკა დამოუკიდებელი.

თეორემა:ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა და (მუშაობს და ) უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს.

მართლაც, მას შემდეგ განვითარებული მოვლენები და დამოუკიდებელი, მაშინ
. ამ შემთხვევაში, მოვლენათა პროდუქტის ალბათობის ფორმულა და ფორმას იღებს.

განვითარებული მოვლენები
დაურეკა წყვილი დამოუკიდებელითუ რომელიმე მათგანი დამოუკიდებელია.

განვითარებული მოვლენები
დაურეკა კოლექტიურად დამოუკიდებელი (ან უბრალოდ დამოუკიდებელი), თუ ყოველი ორი მათგანი დამოუკიდებელია და თითოეული მოვლენა და სხვების ყველა შესაძლო პროდუქტი დამოუკიდებელია.

თეორემა:აგრეგატში სასრული რაოდენობის დამოუკიდებელი მოვლენების ნამრავლის ალბათობა
უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს.

მოდით ილუსტრაციოთ განსხვავება მოვლენათა ალბათობის ფორმულების გამოყენებაში დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის მაგალითების გამოყენებით

მაგალითი 1. პირველი მსროლელის მიერ მიზანში მოხვედრის ალბათობაა 0,85, მეორის 0,8. თოფები თითო გასროლას ისროდნენ. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ერთი ჭურვი მაინც მოხვდეს მიზანში?

ამოხსნა: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) ვინაიდან კადრები დამოუკიდებელია, მაშინ

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

მაგალითი 2. ურნა შეიცავს 2 წითელ და 4 შავ ბურთულას. მისგან ზედიზედ ამოიღება 2 ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ბურთი წითელი იყოს.

გამოსავალი: 1 შემთხვევა. მოვლენა A - წითელი ბურთის გამოჩენა პირველ ამოღებაზე, მოვლენა B - მეორეზე. მოვლენა C არის ორი წითელი ბურთის გამოჩენა.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

მე-2 შემთხვევა. პირველი გათამაშებული ბურთი ბრუნდება კალათში.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

საერთო ალბათობის ფორმულა.

დაე, ღონისძიება შეიძლება მოხდეს მხოლოდ ერთ-ერთ შეუთავსებელ მოვლენასთან
სრული ჯგუფის ჩამოყალიბება. მაგალითად, მაღაზია ერთსა და იმავე პროდუქტს სამი საწარმოდან იღებს და სხვადასხვა რაოდენობით. ამ საწარმოებში დაბალი ხარისხის პროდუქციის წარმოების ალბათობა განსხვავებულია. ერთ-ერთი პროდუქტი შერჩეულია შემთხვევითობის პრინციპით. საჭიროა დადგინდეს ალბათობა იმისა, რომ ეს პროდუქტი უხარისხოა (მოვლენა ). მოვლენები აქ
- ეს არის პროდუქტის არჩევანი შესაბამისი საწარმოს პროდუქტებიდან.

ამ შემთხვევაში მოვლენის ალბათობა შეიძლება ჩაითვალოს მოვლენათა პროდუქტთა ჯამად
.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობის დამატების თეორემით ვიღებთ
. ალბათობის გამრავლების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ

.

შედეგად მიღებული ფორმულა ე.წ საერთო ალბათობის ფორმულა.

ბეიზის ფორმულა

დაე, ღონისძიება ხდება ერთსა და იმავე დროს შეუთავსებელი მოვლენები
, რომლის ალბათობაც
(
) ცნობილია გამოცდილებამდე ( აპრიორი ალბათობა). ტარდება ექსპერიმენტი, რის შედეგადაც ხდება მოვლენის დაფიქსირება და ცნობილია, რომ ამ მოვლენას გარკვეული პირობითი ალბათობა ჰქონდა
(
). საჭიროა მოვლენის ალბათობის პოვნა
თუ მოვლენა ცნობილია მოხდა ( a posteriori ალბათობა).

პრობლემა ის არის, რომ, რომელსაც ახალი ინფორმაცია(მოვლენა A მოხდა), თქვენ უნდა გადააფასოთ მოვლენების ალბათობა
.

ორი მოვლენის ნამრავლის ალბათობის თეორემაზე დაყრდნობით

.

შედეგად მიღებული ფორმულა ე.წ ბეიზის ფორმულები.

კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები.

რიგი თეორიული და პრაქტიკული ამოცანის ამოხსნისას საჭიროა მოცემული წესების მიხედვით ელემენტების სასრული ნაკრებიდან სხვადასხვა კომბინაციების გაკეთება და ყველა შესაძლო ასეთი კომბინაციის რაოდენობის დათვლა. ასეთ დავალებებს ე.წ კომბინატორული.

ამოცანების ამოხსნისას კომბინატორიკა იყენებს ჯამისა და ნამრავლის წესებს.

პრობლემის ზოგადი განცხადება: ზოგიერთი მოვლენის ალბათობა ცნობილია, მაგრამ სხვა მოვლენების ალბათობა, რომლებიც დაკავშირებულია ამ მოვლენებთან, უნდა გამოითვალოს. ამ პრობლემებში საჭიროა ალბათობაზე ისეთი ოპერაციები, როგორიცაა ალბათობათა შეკრება და გამრავლება.

მაგალითად, ნადირობისას ორი გასროლა მოხდა. ღონისძიება ა- იხვის დარტყმა პირველი გასროლიდან, მოვლენა ბ- დაარტყა მეორე გასროლიდან. შემდეგ მოვლენათა ჯამი ადა ბ- მოხვდა პირველი ან მეორე გასროლიდან ან ორი გასროლიდან.

სხვადასხვა ტიპის ამოცანები. მოცემულია რამდენიმე ღონისძიება, მაგალითად, მონეტის სროლა სამჯერ. საჭიროა იპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ან სამჯერ ამოვარდეს გერბი, ან რომ გერბი ერთხელ მაინც ამოვარდეს. ეს გამრავლების პრობლემაა.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატება

ალბათობის შეკრება გამოიყენება მაშინ, როდესაც საჭიროა გამოთვალოთ კომბინაციის ალბათობა ან შემთხვევითი მოვლენების ლოგიკური ჯამი.

მოვლენების ჯამი ადა ბდანიშნოს ა + ბან ა ∪ ბ. ორი მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი მოვლენა მაინც მოხდება. Ეს ნიშნავს, რომ ა + ბ- მოვლენა, რომელიც ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა ხდება დაკვირვების დროს აან მოვლენა ბ, ან ამავე დროს ადა ბ.

თუ მოვლენები ადა ბერთმანეთის შეუსაბამობაა და მოცემულია მათი ალბათობა, მაშინ ალბათობა, რომ ერთ-ერთი მოვლენა მოხდეს ერთი ცდის შედეგად, გამოითვლება ალბათობების დამატებით.

ალბათობათა შეკრების თეორემა.ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს ორი ურთიერთშეთავსებადი მოვლენიდან ერთი, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:

მაგალითად, ნადირობისას ორი გასროლა მოხდა. ღონისძიება მაგრამ– იხვის დარტყმა პირველი გასროლიდან, მოვლენა AT– დარტყმა მეორე გასროლიდან, მოვლენა ( მაგრამ+ AT) - დარტყმა პირველი ან მეორე გასროლიდან ან ორი გასროლიდან. ასე რომ, თუ ორი მოვლენა მაგრამდა ATშეუთავსებელი მოვლენებია, მაშინ მაგრამ+ AT- ამ მოვლენებიდან ერთი ან ორი მოვლენის დადგომა.

მაგალითი 1ყუთი შეიცავს იმავე ზომის 30 ბურთულას: 10 წითელი, 5 ლურჯი და 15 თეთრი. გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ ფერადი (არა თეთრი) ბურთი აიღეს შეხედვის გარეშე.

გამოსავალი. დავუშვათ, რომ მოვლენა მაგრამ– „წითელი ბურთი აღებულია“ და ღონისძიება AT- "ლურჯი ბურთი აღებულია." შემდეგ ღონისძიება არის "ფერადი (არა თეთრი) ბურთის აღება". იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა მაგრამ:

და მოვლენები AT:

განვითარებული მოვლენები მაგრამდა AT- ურთიერთ შეუთავსებელია, რადგან თუ ერთი ბურთი აიღეთ, მაშინ სხვადასხვა ფერის ბურთების აღება შეუძლებელია. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ალბათობების დამატებას:

რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენისთვის ალბათობების დამატების თეორემა.თუ მოვლენები ქმნიან მოვლენათა სრულ სიმრავლეს, მაშინ მათი ალბათობების ჯამი უდრის 1-ს:

საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი ასევე უდრის 1-ს:

საპირისპირო მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ კრებულს, ხოლო მოვლენების სრული ნაკრების ალბათობა არის 1.

საპირისპირო მოვლენების ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება მცირე ასოებით. გვდა ქ. Კერძოდ,

საიდანაც გამომდინარეობს საპირისპირო მოვლენების ალბათობის შემდეგი ფორმულები:

მაგალითი 2ტირეში სამიზნე დაყოფილია 3 ზონად. ალბათობა იმისა, რომ გარკვეულმა მსროლელმა პირველ ზონაში ისროლოს სამიზნე არის 0,15, მეორე ზონაში - 0,23, მესამე ზონაში - 0,17. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანში მოხვდა და ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს გაუშვა.

გამოსავალი: იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანში მოხვდა:

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მსროლელმა მიზანს გაუშვა:

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

ორმხრივი ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატება

ორი შემთხვევითი მოვლენა ერთობლივად ითვლება, თუ ერთი მოვლენის დადგომა არ გამორიცხავს მეორე მოვლენის დადგომას იმავე დაკვირვებაში. მაგალითად, კამათლის სროლისას მოვლენა მაგრამითვლება 4 რიცხვის და მოვლენად AT- ლუწი რიცხვის ჩამოგდება. ვინაიდან რიცხვი 4 არის ლუწი რიცხვი, ეს ორი მოვლენა თავსებადია. პრაქტიკაში, არსებობს დავალებები ერთ-ერთი ერთობლივი მოვლენის დადგომის ალბათობის გამოსათვლელად.

ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა.ალბათობა იმისა, რომ მოხდეს ერთ-ერთი ერთობლივი მოვლენა, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, საიდანაც გამოკლებულია ორივე მოვლენის საერთო დადგომის ალბათობა, ანუ ალბათობების ნამრავლი. ერთობლივი მოვლენების ალბათობის ფორმულა ასეთია:

რადგან მოვლენები მაგრამდა ATთავსებადი, მოვლენა მაგრამ+ ATხდება თუ სამი შესაძლო მოვლენადან ერთ-ერთი მოხდება: ან AB. შეუთავსებელი მოვლენების დამატების თეორემის მიხედვით ვიანგარიშებთ შემდეგნაირად:

ღონისძიება მაგრამხდება, თუ მოხდება ორი შეუთავსებელი მოვლენადან ერთი: ან AB. თუმცა, რამდენიმე შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ყველა ამ მოვლენის ალბათობის ჯამს:

ანალოგიურად:

გამონათქვამების (6) და (7) ჩანაცვლებით გამოსახულებით (5), ჩვენ ვიღებთ ერთობლივი მოვლენების ალბათობის ფორმულას:

ფორმულის (8) გამოყენებისას გასათვალისწინებელია, რომ მოვლენები მაგრამდა ATშეიძლება იყოს:

• ორმხრივად დამოუკიდებელი;
• ორმხრივად დამოკიდებული.

ორმხრივად დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის ფორმულა:

ორმხრივად დამოკიდებული მოვლენების ალბათობის ფორმულა:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATარათანმიმდევრულია, მაშინ მათი დამთხვევა შეუძლებელი შემთხვევაა და, ამრიგად, პ(AB) = 0. შეუთავსებელი მოვლენების მეოთხე ალბათობის ფორმულა ასეთია:

მაგალითი 3ავტორბოლაში, პირველი მანქანით მართვისას, გამარჯვების ალბათობა, მეორე მანქანით მართვისას. იპოვე:

• ორივე მანქანის მოგების ალბათობა;
• ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი მანქანა გაიმარჯვებს;

1) პირველი მანქანის მოგების ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე მანქანის შედეგზე, ამიტომ მოვლენები მაგრამ(პირველი მანქანა იგებს) და AT(მეორე მანქანა იგებს) - დამოუკიდებელი ღონისძიებები. იპოვეთ ორივე მანქანის მოგების ალბათობა:

2) იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი მანქანიდან ერთ-ერთი მოიგოს:

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

თავად გადაჭრით ალბათობების დამატების პრობლემა და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 4ორი მონეტა იყრება. ღონისძიება ა- გერბის დაკარგვა პირველ მონეტაზე. ღონისძიება ბ- გერბის დაკარგვა მეორე მონეტაზე. იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა C = ა + ბ .

ალბათობის გამრავლება

ალბათობათა გამრავლება გამოიყენება, როდესაც უნდა გამოითვალოს მოვლენათა ლოგიკური ნამრავლის ალბათობა.

ამ შემთხვევაში, შემთხვევითი მოვლენები დამოუკიდებელი უნდა იყოს. ორი მოვლენა ითვლება ურთიერთდამოუკიდებელად, თუ ერთი მოვლენის დადგომა არ იმოქმედებს მეორე მოვლენის დადგომის ალბათობაზე.

ალბათობის გამრავლების თეორემა დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთდროული წარმოშობის ალბათობა მაგრამდა ATუდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს და გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი 5მონეტა ზედიზედ სამჯერ იყრება. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ ამოვარდეს.

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ გერბი დაეცემა მონეტის პირველ გადაგდებაზე, მეორედ და მესამედ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ გერბი სამჯერ ამოვარდეს:

თავად გადაწყვიტეთ პრობლემები ალბათობის გასამრავლებლად და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 6არის ყუთი ჩოგბურთის ცხრა ახალი ბურთით. სამი ბურთი იღება თამაშისთვის, თამაშის შემდეგ ისინი უკან აბრუნებენ. ბურთების არჩევისას არ განასხვავებენ დათამაშებულ და უთამაშებელ ბურთებს. რა არის იმის ალბათობა, რომ შემდეგ სამი თამაშიარ იქნება უთამაშებელი ბურთები ყუთში?

მაგალითი 7ამოჭრილ ანბანურ ბარათებზე რუსული ანბანის 32 ასოა დაწერილი. ხუთი კარტი იხსნება შემთხვევით, ერთმანეთის მიყოლებით და მაგიდაზე მოთავსებულია თანმიმდევრობით. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ ასოები წარმოადგენენ სიტყვას "ბოლო".

მაგალითი 8კარტების სრული დასტადან (52 ფურცელი) ამოღებულია ოთხი კარტი ერთდროულად. იპოვეთ ალბათობა, რომ ოთხივე კარტი ერთნაირია.

მაგალითი 9იგივე პრობლემა, როგორც მე-8 მაგალითში, მაგრამ თითოეული კარტი ბრუნდება გემბანზე გათამაშების შემდეგ.

უფრო რთული ამოცანები, რომლებშიც თქვენ უნდა გამოიყენოთ როგორც შეკრება, ასევე ალბათობების გამრავლება, ასევე გამოთვალოთ რამდენიმე მოვლენის პროდუქტი - გვერდზე "სხვადასხვა დავალებები ალბათობის შეკრებისა და გამრავლებისთვის" .

ალბათობა იმისა, რომ მოხდება მინიმუმ ერთი ურთიერთდამოუკიდებელი მოვლენა, შეიძლება გამოითვალოს საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ნამრავლის გამოკლებით 1-დან, ანუ ფორმულით.