მოვლენის ალბათობა. მოვლენის ალბათობის განსაზღვრა. მოვლენების დამოუკიდებლობა. ალბათობის გამრავლების თეორემა როგორ მოვძებნოთ დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. საპირისპირო მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა

Საწინააღმდეგოდაასახელეთ ორი შეუთავსებელი მოვლენა, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. თუ ორი დაპირისპირებული მოვლენადან ერთ-ერთი მითითებულია A,ჩვეულებრივ სხვა რამეს აღნიშნავენ . საპირისპირო მოვლენა შედგება მოვლენის არ დადგომაში ა.

თეორემა.საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

P(A)+P()= 1.

მაგალითი 4.ყუთი შეიცავს 11 ნაწილს, რომელთაგან 8 სტანდარტულია. იპოვეთ ალბათობა, რომ 3 შემთხვევით ამოღებულ ნაწილს შორის არის მინიმუმ ერთი დეფექტური.

გამოსავალი.პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ორი გზით.

1 გზა. საპირისპიროა მოვლენები „ამოღებულ ნაწილებს შორის ერთი დეფექტური მაინც“ და „ამოღებულ ნაწილებს შორის არც ერთი დეფექტური ნაწილი არ არის“. პირველი მოვლენა ავღნიშნოთ A,და მეორე მეშვეობით :

P(A) =1 - P( ) .

ჩვენ ვიპოვით R(). გზების საერთო რაოდენობა, რომლითაც შესაძლებელია 3 ნაწილის ამოღება 11 ნაწილიდან, უდრის კომბინაციების რაოდენობას
. სტანდარტული ნაწილების რაოდენობაა 8 ; ამ რაოდენობის ნაწილებიდან შესაძლებელია
3 სტანდარტული ნაწილის ამოღების გზები. ამიტომ, ალბათობა იმისა, რომ ამოღებულ 3 ნაწილს შორის არ არის არც ერთი არასტანდარტული ნაწილი, უდრის:

საპირისპირო მოვლენების ალბათობის დამატების თეორემის მიხედვით, სასურველი ალბათობა უდრის: P(A)=1 - P()=

მეთოდი 2.ღონისძიება ა- "ამოღებულ ნაწილებს შორის არის მინიმუმ ერთი დეფექტური" - შეიძლება შეფასდეს, როგორც გარეგნობა:

ან მოვლენები IN- „ამოღებულია 1 დეფექტური და 2 უნაყოფო ნაწილი“,

ან მოვლენები თან- „ამოღებულია 2 დეფექტური და 1 უნაყოფო ნაწილი“,

ან მოვლენები დ - „მოხსნილია 3 დეფექტური ნაწილი“.

მერე ა= ბ+ C+ დ. მოვლენებიდან მოყოლებული ბ, C და დ არათანმიმდევრული, მაშინ შეგვიძლია გამოვიყენოთ თეორემა შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დასამატებლად:

4. დამოუკიდებელ მოვლენათა ალბათობების გამრავლების თეორემა

ორი მოვლენის პროდუქტია დაIN დარეკეთ ღონისძიებაზე C=AB,რომელიც შედგება ამ მოვლენების ერთობლივი გარეგნობის (კომბინაციის)გან.

რამდენიმე მოვლენის პროდუქტიმოვუწოდებთ მოვლენას, რომელიც შედგება ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი მოვლენისგან. მაგალითად, მოვლენა ABCშედგება მოვლენების გაერთიანებისგან A, Bდა თან.

ორ მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელი, თუ ერთი მათგანის ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორის გარეგნობაზე ან არ გამოჩენაზე.

თეორემა.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლის:

P(AB)=P(A) P(B).

შედეგი.რამდენიმე მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს. :

P(A 1 ა 2 ... ა ნ ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A ნ ).

მაგალითი 5.იპოვეთ გერბის ერთად გამოჩენის ალბათობა ორი მონეტის გადაყრისას.

გამოსავალი. ავღნიშნოთ მოვლენები: A -გერბის გამოჩენა პირველ მონეტაზე, IN -გერბის გამოჩენა მეორე მონეტაზე, თან- გერბის გამოჩენა ორ მონეტაზე C=AB.

პირველი მონეტის გერბის გამოჩენის ალბათობა :

P(A) =.

მეორე მონეტის გერბის გამოჩენის ალბათობა :

P(B) =.

მოვლენებიდან მოყოლებული ადა INდამოუკიდებელი, მაშინ გამრავლების თეორემის მიხედვით საჭირო ალბათობა უდრის:

P(C)=P(AB) = P(A) P(B) = =.

მაგალითი 6.არის 3 ყუთი, რომელიც შეიცავს 10 ნაწილს. პირველი ყუთი შეიცავს 8, მეორე 7 და მესამე 9 სტანდარტულ ნაწილს. თითოეული ყუთიდან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ნაწილი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული სამივე ნაწილი სტანდარტული იქნება.

გამოსავალი. ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი ამოღებულია პირველი უჯრიდან (მოვლენა ა):

P(A) =

ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი ამოღებულია მეორე უჯრიდან (მოვლენა IN):

ალბათობა იმისა, რომ სტანდარტული ნაწილი ამოღებულია მესამე უჯრიდან (მოვლენა თან):

P(C)=

მოვლენებიდან მოყოლებული A, Bდა თანაგრეგატში დამოუკიდებელი, მაშინ სასურველი ალბათობა (გამრავლების თეორემით) უდრის:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

მაგალითი 7.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის დადგომის ალბათობა ა 1 და ა 2 შესაბამისად თანაბარი რ 1 და რ 2. იპოვეთ ამ მოვლენებიდან მხოლოდ ერთის დადგომის ალბათობა.

გამოსავალი. წარმოგიდგენთ ღონისძიების აღნიშვნებს:

IN 1 – მხოლოდ მოვლენა გამოჩნდა ა 1 ; IN 2 – მხოლოდ მოვლენა გამოჩნდა ა 2 .

მოვლენის შემთხვევა IN 1 მოვლენის დადგომის ტოლფასია ა 1 2 (პირველი მოვლენა გამოჩნდა და მეორე არ გამოჩნდა), ე.ი. IN 1 = ა 1 2 .

მოვლენის შემთხვევა IN 2 მოვლენის დადგომის ტოლფასია 1 ა 2 (პირველი მოვლენა არ გამოჩნდა და მეორე გამოჩნდა), ე.ი. IN 1 = 1 ა 2 .

ამრიგად, იპოვონ მხოლოდ ერთი მოვლენის დადგომის ალბათობა ა 1 ან ა 2 , საკმარისია იპოვოთ ერთის დადგომის ალბათობა, არ აქვს მნიშვნელობა რომელი მოვლენა IN 1 და IN 2 . Ივენთი IN 1 და IN 2 არათანმიმდევრულია, ამიტომ მოქმედებს შეუთავსებელი მოვლენების დამატების თეორემა:

P(B 1 +ბ 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

თეორემა

ორი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს და მეორის პირობით ალბათობას, გამოითვლება იმ პირობით, რომ პირველი მოხდა.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

ღონისძიება $A$ ეწოდება ღონისძიება დამოუკიდებელი$B$ თუ $A$ მოვლენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა $B$. ღონისძიება $A$ ეწოდება მოვლენაზე დამოკიდებული$B$ თუ $A$ მოვლენის ალბათობა იცვლება იმის მიხედვით, მოხდება თუ არა მოვლენა $B$.

მოვლენის ალბათობა $A$, გამოთვლილი იმის გათვალისწინებით, რომ მოხდა სხვა მოვლენა $B$, ეწოდება მოვლენის პირობითი ალბათობა$A$ და აღინიშნება $P(A | B)$-ით.

$A$ მოვლენის დამოუკიდებლობის პირობა $B$ მოვლენისგან შეიძლება დაიწეროს:

$$P(A | B)=P(A)$$

და დამოკიდებულების პირობა ასეთია:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

დასკვნა 1.თუ $A$ მოვლენა არ არის დამოკიდებული $B$ მოვლენაზე, მაშინ $B$ მოვლენა არ არის დამოკიდებული $A$ მოვლენაზე.

დასკვნა 2.ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლის:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

ალბათობის გამრავლების თეორემა შეიძლება განზოგადდეს მოვლენათა თვითნებური რაოდენობის შემთხვევაში. ზოგადად, იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად.

რამდენიმე მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობის ნამრავლს და ყოველი მომდევნო მოვლენის ალბათობა თანმიმდევრობით გამოითვლება იმ პირობით, რომ ყველა წინა მოხდა:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1) \მარჯვნივ) \cdot P\left(A_(3) | A_(1) A_(2)\right) \cdots \cdots P\left(A_(n) | A_(1) A_(2) \ldots A_( n-1)\მარჯვნივ)$$

დამოუკიდებელი მოვლენების შემთხვევაში, თეორემა ამარტივებს და იღებს ფორმას:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right) \cdot P\left(A_(3)\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_(n)\right)$$

ანუ დამოუკიდებელი მოვლენების წარმოქმნის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

$$P\left(\prod_(i=1)^(n) A_(i)\right)=\prod_(i=1)^(n) P\left(A_(i)\მარჯვნივ)$$

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მაგალითი

ვარჯიში.ურნაში არის 2 თეთრი და 3 შავი ბურთი. ურნადან ზედიზედ ამოღებულია ორი ბურთი და უკან არ ბრუნდება. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრია.

გამოსავალი.დაე, მოვლენა $A$ იყოს ორი თეთრი ბურთის გამოჩენა. ეს ღონისძიება ორი მოვლენის პროდუქტია:

$$A=A_(1) A_(2)$$

სადაც მოვლენა $A_1$ არის თეთრი ბურთის გამოჩენა პირველი ამოღების დროს, $A_2$ არის თეთრი ბურთის გამოჩენა მეორე ამოღების დროს. შემდეგ, ალბათობის გამრავლების თეორემით

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1)\ მარჯვნივ)=\frac(2)(5) \cdot \frac(1)(4)=\frac(1)(10)=0.1$$

უპასუხე. $0,1$

მაგალითი

ვარჯიში.ურნაში არის 2 თეთრი და 3 შავი ბურთი. ურნადან ზედიზედ გამოყვანილია ორი ბურთი. პირველი გათამაშების შემდეგ ბურთი უბრუნდება ურნაში და ურნაში ბურთებს ურევენ. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრია.

გამოსავალი.ამ შემთხვევაში, მოვლენები $A_1$ და $A_2$ დამოუკიდებელია, შემდეგ კი საჭირო ალბათობა

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right)=\frac (2)(5) \cdot \frac(2)(5)=\frac(4)(25)=0.16$$

ალბათობის კლასიკური განმარტება.

მოვლენის ალბათობა არის რაოდენობრივი საზომი, რომელიც შემოღებულია მოვლენების შესადარებლად მათი წარმოშობის შესაძლებლობის ხარისხის მიხედვით.

მოვლენას, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რამდენიმე ელემენტარული მოვლენის კრებულად (ჯამად), კომპოზიტი ეწოდება.

მოვლენას, რომელიც არ შეიძლება დაიშალოს უფრო მარტივებად, ელემენტარული ეწოდება.

მოვლენას შეუძლებელი ეწოდება, თუ ის არასოდეს ხდება მოცემული ექსპერიმენტის (ტესტის) პირობებში.

გარკვეული და შეუძლებელი მოვლენები შემთხვევითი არ არის.

ერთობლივი ღონისძიებები– რამდენიმე მოვლენას ეწოდება ერთობლივი, თუ ექსპერიმენტის შედეგად ერთი მათგანის გაჩენა არ გამორიცხავს სხვის გაჩენას.

შეუთავსებელი მოვლენები- მოცემულ ექსპერიმენტში რამდენიმე მოვლენას უწოდებენ შეუთავსებელს, თუ ერთ-ერთი მათგანის დადგომა გამორიცხავს სხვას. ორ მოვლენას ე.წ საწინააღმდეგო,თუ ერთი მათგანი ხდება, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მეორე არ მოხდება.

A მოვლენის ალბათობა არის P(A) – ეწოდება რიცხვთა თანაფარდობა მმოვლენის დადგომისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული მოვლენები (შედეგები). A,ნომერზე ნყველა ელემენტარული მოვლენა მოცემული ალბათური ექსპერიმენტის პირობებში.

ალბათობის შემდეგი თვისებები გამომდინარეობს განმარტებიდან:

1. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი 0-დან 1-მდე:

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა არის 1: (3)

3. თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ მისი ალბათობა უდრის

4. თუ მოვლენები შეუთავსებელია, მაშინ

5. თუ მოვლენები A და B ერთობლივია, მაშინ მათი ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი დადგომის ალბათობის გარეშე:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. თუ და არის საპირისპირო მოვლენები, მაშინ (7)

7. მოვლენის ალბათობათა ჯამი A 1, A 2, …, A n, რომელიც ქმნის სრულ ჯგუფს, უდრის 1:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

ეკონომიკურ კვლევებში, მნიშვნელობები და ფორმულები შეიძლება განსხვავებულად იქნას განმარტებული. ზე სტატისტიკური განმარტებამოვლენის ალბათობა არის ექსპერიმენტული შედეგების დაკვირვების რაოდენობა, რომელშიც მოვლენა მოხდა ზუსტად ერთხელ. ამ შემთხვევაში კავშირი ეწოდება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე (სიხშირე).

Ივენთი A, Bუწოდებენ დამოუკიდებელი, თუ თითოეული მათგანის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა სხვა მოვლენა. დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა ე.წ უპირობო.

Ივენთი A, Bუწოდებენ დამოკიდებული, თუ თითოეული მათგანის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, მოხდა თუ არა სხვა მოვლენა. B მოვლენის ალბათობა, რომელიც გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ სხვა მოვლენა A უკვე მოხდა, ეწოდება პირობითი ალბათობა.

თუ ორი მოვლენა A და B დამოუკიდებელია, მაშინ ტოლობები ჭეშმარიტია:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) ან P(B/A) – P(B) = 0(9)

ორი დამოკიდებული მოვლენის A, B ნამრავლის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)ან P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

B მოვლენის ალბათობა A მოვლენის დადგომის გათვალისწინებით:

ორის ნამრავლის ალბათობა დამოუკიდებელიმოვლენები A, B უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

თუ რამდენიმე მოვლენა წყვილში დამოუკიდებელია, მაშინ მათი დამოუკიდებლობა მთლიანობაში არ მოჰყვება.

Ივენთი A 1, A 2, ..., A n (n>2)მთლიანობაში დამოუკიდებელებს უწოდებენ, თუ თითოეული მათგანის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა რომელიმე სხვა მოვლენა.

რამდენიმე მოვლენის ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია, უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

თუ ორი მოვლენა A და B დამოუკიდებელია, მაშინ ტოლობები ჭეშმარიტია:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) ან P(B/A) – P(B) = 0(9)

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B)ან P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

B მოვლენის ალბათობა A მოვლენის დადგომის გათვალისწინებით:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის განყოფილებას:

ლექციის შენიშვნები: ალბათობის თეორიისა და სტატისტიკის ძირითადი ცნებები, რომლებიც გამოიყენება ეკონომეტრიაში

ყაზანის სახელმწიფო.. საფინანსო და ეკონომიკური ინსტიტუტი.. სტატისტიკისა და ეკონომეტრიის დეპარტამენტი..

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძიება ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი
დისკრეტული ცვლადის ყველაზე სრული, ამომწურავი აღწერა არის მისი განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი არის ნებისმიერი დადგენილი კავშირი

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი
უწყვეტი SV-სთვის შეუძლებელია იმის დადგენა, რომ ის მიიღებს რაიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას (წერტილური ალბათობა). ვინაიდან ნებისმიერი ინტერვალი შეიცავს მნიშვნელობების უსასრულო რაოდენობას, სავარაუდოა

კავშირი შემთხვევით ცვლადებს შორის
ბევრი ეკონომიკური ინდიკატორი განისაზღვრება რამდენიმე რიცხვით, არის მრავალგანზომილებიანი SV. შეკვეთილი ნაკრები X = (X1, X2, ..., Xn) შემთხვევითი ში

შერჩევითი დაკვირვება
ზოგადი პოპულაცია არის შესწავლილი SV X-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ან რეალიზაციის ერთობლიობა მოცემული რეალური პირობების პირობებში. სინჯის აღება

ნიმუშის მახასიათებლების გაანგარიშება
ნებისმიერი CV X-ისთვის, მისი განაწილების ფუნქციის განსაზღვრის გარდა, სასურველია მიეთითოს რიცხვითი მახასიათებლები, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანია: - მათემატიკური მოლოდინი; - დისპერსია

Ნორმალური დისტრიბუცია
ნორმალური განაწილება (გაუსური განაწილება) არის თითქმის ყველა რეალური ალბათობის განაწილების უკიდურესი შემთხვევა. ამიტომ, იგი გამოიყენება თეორიის რეალურ აპლიკაციებში ძალიან დიდი რაოდენობით

მოსწავლეთა განაწილება
ვთქვათ SV U ~ N (0,1), SV V არის U-სგან დამოუკიდებელი სიდიდე, განაწილებული χ2 კანონის მიხედვით თავისუფლების n გრადუსით. შემდეგ ღირებულება

ფიშერის განაწილება
მოდით V და W იყოს დამოუკიდებელი SV-ები, რომლებიც განაწილებულია χ2 კანონის მიხედვით თავისუფლების ხარისხით, შესაბამისად, v1 = m და v2 = n. შემდეგ ღირებულება

ქულების შეფასებები და მათი თვისებები
მოდით შევაფასოთ დაკვირვებული SW-ის ზოგიერთი პარამეტრი

სიმდიდრე
შეფასებას ეწოდება მიუკერძოებელი პარამეტრის შეფასება, თუ მისი მათემატიკაა

ნიმუშების შეფასების თვისებები
საწყის ეტაპზე მიიღება ნიმუშის რიცხვითი მახასიათებელი, როგორც ამა თუ იმ რიცხვითი მახასიათებლის (მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსია და ა.შ.) შეფასება. შემდეგ, ამ შეფასების შესწავლით, განისაზღვრება

ნდობის ინტერვალი ნორმალური SV-ის დისპერსიისთვის
ვთქვათ X ~ N (m, σ2) და და უცნობია. მოდით შეფასებისთვის

გადამოწმების კრიტერიუმები. კრიტიკული რეგიონი
სტატისტიკური ჰიპოთეზა შემოწმებულია ნიმუშის მონაცემების საფუძველზე, ამ მიზნით გამოიყენება სპეციალურად შერჩეული SV (სტატისტიკა, კრიტერიუმი), რომლის ზუსტი ან სავარაუდო მნიშვნელობა ცნობილია. ე

მოვლენებს A, B, C... ეწოდება დამოკიდებულიერთმანეთისგან, თუ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა იცვლება სხვა მოვლენების დადგომის ან არდადგომის მიხედვით. მოვლენებს ე.წ დამოუკიდებელი, თუ თითოეული მათგანის გამოჩენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული სხვების გარეგნობაზე ან გამოუჩენლობაზე.

პირობითი ალბათობა(PA (B) - B მოვლენის პირობითი ალბათობა A-სთან შედარებით) არის B მოვლენის ალბათობა, გამოთვლილი იმ ვარაუდით, რომ მოვლენა A უკვე მოხდა. პირობითი ალბათობის მაგალითი B მოვლენის პირობითი ალბათობა, იმ პირობით, რომ მოვლენა A უკვე მოხდა, განსაზღვრებით უდრის PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

დამოკიდებული მოვლენების ალბათობების გამრავლება:ორი მოვლენის ერთობლივი მოვლენის ალბათობა უდრის ერთი მათგანის ალბათობის ნამრავლს მეორის პირობითი ალბათობით, გამოთვლილი იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოვლენა უკვე მოხდა:
P (AB) = P (A) PA (B)

მაგალითი. კოლექტორს აქვს 3 კონუსური და 7 ელიფსური ლილვაკი. ამომრჩეველმა აიღო ერთი როლიკერი, შემდეგ კი მეორე. იპოვეთ ალბათობა, რომ აღებული ლილვაკებიდან პირველი კონუსურია, ხოლო მეორე ელიფსური.

გამოსავალი:ალბათობა იმისა, რომ პირველი როლიკერი აღმოჩნდეს კონუსური (მოვლენა A), P (A) = 3/10. ალბათობა იმისა, რომ მეორე როლიკერი აღმოჩნდეს ელიფსური (მოვლენა B), გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ პირველი როლიკერი არის კონუსური, ანუ პირობითი ალბათობა RA (B) = 7/9.
გამრავლების ფორმულის მიხედვით, სასურველი ალბათობაა P (AB) = P (A) PA (B) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. გაითვალისწინეთ, რომ აღნიშვნის დაცვით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად იპოვეთ: P (B) = 7 / 10, РB (A) = 3/9, Р (В) РB (А) = 7 / 30

მოვლენათა დამოუკიდებლობის პირობა. დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლება. მაგალითები.

მოვლენა B არ არის დამოკიდებული A მოვლენაზე თუ

P(B/A) = P(B) ე.ი. B მოვლენის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა მოვლენა A.

ამ შემთხვევაში A მოვლენა არ არის დამოკიდებული B მოვლენაზე, ანუ მოვლენათა დამოუკიდებლობის თვისება ორმხრივია.

ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ნამრავლის ალბათობა უდრის მათი ალბათობების ნამრავლს:

P(AB) = P(A)P(B) .

მაგალითი 1: t დროისთვის მოქმედი მოწყობილობა შედგება სამი კვანძისაგან, რომელთაგან თითოეული, სხვებისგან დამოუკიდებლად, შეიძლება წარუმატებელი იყოს (ჩავარდნა) დროის t დროს. მინიმუმ ერთი კვანძის უკმარისობა იწვევს მთლიანი მოწყობილობის უკმარისობას. t დროის განმავლობაში, პირველი კვანძის საიმედოობა (შეუვალი მუშაობის ალბათობა) არის p 1 = 0.8; მეორე p 2 = 0.9 მესამე p 3 = 0.7. იპოვნეთ მთლიანი მოწყობილობის საიმედოობა.

გამოსავალი.აღმნიშვნელი:

A - მოწყობილობების უპრობლემოდ მუშაობა,

1 - პირველი კვანძის უპრობლემო მოქმედება,

2 - მეორე კვანძის უპრობლემოდ მუშაობა,

3 - მესამე კვანძის უპრობლემო ოპერაცია,

საიდანაც, დამოუკიდებელი მოვლენების გამრავლების თეორემით

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504

მაგალითი 2. იპოვეთ რიცხვის ერთად გამოჩენის ალბათობა ორი მონეტის გადაყრისას.

გამოსავალი. პირველი მონეტის ციფრის გამოჩენის ალბათობა (მოვლენა A) P(A) = 1/2; მეორე მონეტის (მოვლენა B) ციფრის გამოჩენის ალბათობა არის P(B) = 1/2.

მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, ამიტომ ჩვენ ვიპოვით საჭირო ალბათობას

ფორმულის მიხედვით:

P(AB) = P(A)P(B) = 1/2 *1/2 = 1/4

მოვლენების თავსებადობა და შეუთავსებლობა. ორი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის დამატება. მაგალითები.

ორ მოვლენას ე.წ ერთობლივი, თუ ერთი მათგანის გარეგნობა გავლენას არ ახდენს ან გამორიცხავს მეორის გარეგნობას. ერთობლივი მოვლენები შეიძლება მოხდეს ერთდროულად, როგორიცაა, მაგალითად, რიცხვის გამოჩენა ერთ კამათელზე ან

არანაირად არ იმოქმედებს რიცხვების გარეგნობაზე სხვა საძირეზე. მოვლენები შეუთავსებელიათუ ერთ ფენომენში ან ერთი გამოცდის დროს მათი ერთდროულად რეალიზება შეუძლებელია და ერთის გამოჩენა გამორიცხავს მეორის გამოჩენას (სამიზნეზე დარტყმა და გაცდენა შეუთავსებელია).

ორი A ან B ერთობლივი მოვლენიდან ერთის დადგომის ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი მოვლენის ალბათობის გარეშე:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

მაგალითი. პირველი სპორტსმენისთვის მიზანში მოხვედრის ალბათობა არის 0,85, ხოლო მეორის - 0,8. სპორტსმენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად

გაისროლა თითო გასროლა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მინიმუმ ერთი სპორტსმენი მოხვდება მიზანში?

გამოსავალი. შემოვიღოთ შემდეგი აღნიშვნები: მოვლენები A - "დაარტყა პირველმა სპორტსმენმა", B - "დაარტყა მეორე სპორტსმენმა", C - "დაარტყა ერთმა სპორტსმენმა მაინც". ცხადია, A + B = C და მოვლენები A და B ერთდროულია. ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(C) = P(A)+ P(B)-P(A)P(B),

ვინაიდან A და B დამოუკიდებელი მოვლენებია. ამ მნიშვნელობების P(A) = 0.85, P(B) = 0.8 P(C) ფორმულაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ სასურველ ალბათობას.

P(C) = (0.85 + 0.8) - 0.85·0.8 = 0.97