조건부 확률. 조건부 확률과 가장 간단한 기본 공식. 사건의 확률의 곱셈의 정리, 그 중 하나는 다른 하나의 조건에서 발생

4. 조건부 확률. 확률 곱셈 정리.

많은 문제에서 사건을 결합할 확률을 찾는 것이 필요합니다. 하지만그리고 에사건의 확률을 알고 있는 경우 하지만그리고 에.

다음 예를 고려하십시오. 두 개의 동전을 던져 보자. 두 개의 문장이 나타날 확률을 구하십시오. 완전한 그룹을 형성하는 4개의 동등하게 가능한 쌍으로 호환되지 않는 결과가 있습니다.

이제 문장이 첫 번째 동전에 떨어졌음을 알 수 있습니다. 이 후에 두 주화에 문장이 나타날 확률은 어떻게 변합니까? 문장이 첫 번째 동전에 떨어졌기 때문에 이제 전체 그룹은 동등하게 양립할 수 없는 두 가지 결과로 구성됩니다.

새로운 사건 확률 하지만, 이벤트가 발생했다고 가정 비, 우리는 나타낼 것입니다 피비 (A).

이런 식으로, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

곱셈 정리. 이벤트 A와 B를 결합할 확률은 첫 번째 이벤트가 발생했다는 가정, 즉

증거.확률의 고전적 정의를 기반으로 관계 (4)의 타당성을 증명합시다. 가능한 결과를 보자 전자 1, 전자 2, ..., E N이 경험의 전체 그룹은 동등하게 가능성이 있는 쌍으로 양립할 수 없는 사건의 완전한 그룹을 형성합니다. ㅏ호의 중결과, 그리고 이들로부터 중결과 엘결과는 이벤트를 선호합니다 비. 당연히 이벤트 조합은 ㅏ그리고 비호의 엘~에서 N가능한 테스트 결과. 이것은 제공합니다 ; ;
이런 식으로,
장소 교환 ㅏ그리고 비, 유사하게 우리는 얻는다
곱셈 정리는 유한한 수의 이벤트로 쉽게 일반화될 수 있습니다. 예를 들어 세 가지 이벤트의 경우 1, A2, 3우리는 *
일반적으로

관계 (6)에서 두 개의 평등 (8)에서 하나는 다른 것의 결과라는 것을 알 수 있습니다.

예를 들어 이벤트를 보자 ㅏ- 1회 동전 던지기 시 문장의 등장 및 이벤트 비- 카드가 데크에서 제거될 때 다이아몬드 슈트의 카드 모양. 분명히 사건들 ㅏ그리고 비독립적인.

이벤트가 독립적인 경우 ㅏ에게 비공식 (4)는 더 간단한 형식을 취합니다.

* 이벤트 A 1 A 2 A 3다음 두 이벤트의 조합으로 나타낼 수 있습니다. C=A 1 A 2및 이벤트 3.

이벤트 고려 ㅏ그리고 비같은 경험과 관련이 있습니다. 일부 출처를 통해 해당 이벤트가 비발생했지만 사건을 구성하는 기본 결과 중 어느 것이 알려져 있지 않습니다. 비, 일어난. 이 경우 사건의 확률에 대해 말할 수 있는 것 ㅏ?

사건 확률 ㅏ, 이벤트가 비발생한 경우 조건부 확률을 호출하고 다음을 나타내는 것이 일반적입니다. 피(A|B).

조건부 확률 피(A|B)개발 ㅏ이벤트 대상 비고전적 체계의 틀 내에서 확률을 비율로 정의하는 것은 당연합니다. 붙잡다이벤트의 공동 구현을 선호하는 결과 ㅏ그리고 비, 번호로 주의이벤트에 유리한 결과 비, 그건

이 식의 분자와 분모를 전체 수로 나누면 N기본 결과, 우리는

정의. 사건의 조건부 확률 ㅏ이벤트 대상 비사건의 교차 확률의 비율이라고합니다 ㅏ그리고 비사건의 확률에 비:

동시에 다음과 같이 가정합니다. P(B) ≠ 0.

정리. 조건부 확률 피(A|B)무조건 확률의 모든 속성을 가짐 아빠).

이 정리의 의미는 조건부 확률이 새로운 공간에 주어진 무조건 확률이라는 것입니다. Ω 1이벤트와 일치하는 기본 결과 비.

예시. 그 항아리에서 a=7백인과 b=3검은 공, 두 개의 공을 교체하지 않고 무작위로 뽑습니다. 이벤트하자 1첫 번째로 뽑힌 공은 흰색이고, A2- 두 번째 공은 흰색입니다. 찾고 싶었다 P(A 2 |A 1).

방법 1.. 조건부 확률의 정의

방법 2.. 초등성과의 새로운 공간으로 나아가자 Ω 1. 이벤트 이후 1이것은 기본 결과의 새로운 공간에서 동등하게 가능한 결과의 총 수를 의미합니다. NΩ 1 =a+b-1=9, 그리고 이벤트 A2그것을 선호 N A 2 \u003d a-1 \u003d 6결과. 따라서,

정리 [확률의 곱셈]. 이벤트하자 A=A 1 A 2 …그리고 P(A)>0. 그러면 평등이 참입니다.

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) ... P(A n |A 1 A 2 ...A n-1).

논평. 교차점의 가환성 속성에서 다음을 쓸 수 있습니다.

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

예시. "나이팅게일"이라는 단어를 구성하는 글자가 7장의 카드에 쓰여 있습니다. 카드를 섞고 세 장의 카드를 무작위로 꺼내 왼쪽에서 오른쪽으로 배치합니다. 단어 "VOL"이 획득될 확률을 찾으십시오(사건 ㅏ).

이벤트하자 1- 문자 "B"는 첫 번째 카드에 쓰여지고, A2- 문자 "O"는 두 번째 카드에 쓰여지고, A2- 세 번째 카드 - 문자 "L". 그럼 이벤트 ㅏ- 사건의 교차점 1, A2, 3. 따라서,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; 이벤트라면 1그런 다음 나머지 6장의 카드에서 "O"가 두 번 나타납니다. P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. 비슷하게, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. 따라서,

정의. 개발 ㅏ그리고 비, 확률이 0이 아닌 경우 조건부 확률이 있는 경우 독립이라고 합니다. ㅏ조건에 비무조건 확률과 일치 ㅏ또는 조건부 확률 비조건에 ㅏ무조건 확률과 일치 비, 그건

P(A|B) = P(A)또는 P(B|A) = P(B),

그렇지 않으면 이벤트 ㅏ그리고 비종속이라고 합니다.

정리. 개발 ㅏ그리고 비 0이 아닌 확률을 갖는 는 다음과 같은 경우에만 독립적입니다.

P(AB) = P(A) P(B).

따라서 우리는 동등한 정의를 내릴 수 있습니다.

정의. 개발 ㅏ그리고 비다음과 같은 경우 독립이라고 합니다. P(AB) = P(A) P(B).

예시. 다음을 포함하는 카드 더미에서 n=36카드 한 장을 무작위로 뽑습니다. 로 나타내다 ㅏ추출된 맵이 피크가 될 것이라는 사실에 해당하는 이벤트, 비- "숙녀"의 출현에 해당하는 이벤트. 이벤트가 종속되는지 확인 ㅏ그리고 비.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . 따라서 이벤트 ㅏ그리고 비독립적인. 비슷하게, .

허락하다 하지만그리고 에이 테스트에서 고려되는 두 가지 이벤트입니다. 이 경우 이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생 가능성에 영향을 줄 수 있습니다. 예를 들어 이벤트 발생 하지만이벤트에 영향을 줄 수 있습니다 에혹은 그 반대로도. 일부 이벤트가 다른 이벤트에 의존하는 것을 고려하기 위해 조건부 확률 개념이 도입되었습니다.

정의.사건의 확률이라면 에이벤트가 발생한다는 조건하에 위치합니다. 하지만가 발생한 후 사건의 결과 확률 에~라고 불리는 조건부 확률개발 에. 이러한 조건부 확률을 나타내기 위해 다음 기호가 사용됩니다. 아르 자형하지만 ( 에) 또는 아르 자형(에 / 하지만).

비고 2. 조건부 확률과 달리 "무조건" 확률도 고려됩니다. 에잃어버린.

예시. 항아리에는 5개의 공이 들어 있으며 그 중 3개는 빨간색이고 2개는 파란색입니다. 차례로, 하나의 공이 리턴과 함께 그리고 리턴 없이 꺼집니다. 첫 번째 시간이 다음과 같은 경우 두 번째로 빨간 공을 뽑을 조건부 확률을 구하십시오. a) 빨간 공 b) 파란 공.

이벤트하자 하지만처음으로 빨간 공을 뽑고 이벤트는 에– 두 번째로 빨간 공을 추출합니다. 그것은 분명하다 아르 자형(하지만) = 3/5; 그 후 처음으로 꺼낸 공을 항아리에 되돌려 놓는 경우 아르 자형(에)=3/5. 뽑은 공이 반환되지 않는 경우 빨간 공을 뽑을 확률 아르 자형(에) 처음으로 뽑힌 공에 따라 다름 - 빨간색(이벤트 하지만) 또는 파란색(이벤트). 그럼 첫번째 경우 아르 자형하지만 ( 에) = 2 / 4, 그리고 두 번째 ( 에) = 3 / 4.

사건의 확률의 곱셈의 정리, 그 중 하나는 다른 하나의 조건에서 발생

두 사건의 곱의 확률은 첫 번째 사건이 발생했다는 가정 하에 발견되는 다른 사건의 조건부 확률에 대한 확률의 곱과 같습니다.

아르 자형(에이 ∙ 나) = 아르 자형(하지만) ∙ 아르 자형하지만 ( 에) . (1.7)

증거. 과연, 하자 N- 테스트의 가능성이 동일하고 양립할 수 없는(기본) 결과의 총 수. 놔줘 N 1 - 이벤트에 유리한 결과의 수 하지만, 처음에 발생하고 중- 사건이 발생한 결과의 수 에이벤트를 가정 하지만왔다. 이런 식으로, 중이벤트를 선호하는 결과의 수입니다. 에.그 다음에 우리는 얻는다:

저것들. 여러 사건의 곱의 확률은 이러한 사건 중 하나의 확률과 다른 사건의 조건부 확률의 곱과 같으며, 각 후속 사건의 조건부 확률은 모든 이전 사건이 발생했다는 가정 하에 계산됩니다.

예시. 10명의 선수로 구성된 팀에 4명의 스포츠 마스터가 있습니다. 추첨을 통해 팀에서 3명의 선수를 선발합니다. 선발된 모든 선수가 스포츠의 달인일 확률은 얼마인가?

해결책. 문제를 "항아리" 모델로 축소해 보겠습니다. 10개의 공이 들어 있는 항아리에 4개의 빨간 공과 6개의 흰색 공이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 항아리에서 무작위로 3개의 공을 뽑습니다(선택 에스= 3). 이벤트하자 하지만 3개의 공을 추출하는 것으로 구성됩니다. 문제는 두 가지 방법으로 해결할 수 있습니다. 고전적 방식과 공식 (1.9).

조합 공식을 기반으로 하는 첫 번째 방법:

두 번째 방법(식(1.9)). 3개의 공을 교체하지 않고 항아리에서 연속으로 꺼냅니다. 허락하다 하지만 1 - 첫 번째 그려진 공은 빨간색, 하지만 2 - 두 번째로 그려진 공은 빨간색, 하지만 3 - 세 번째로 뽑힌 공은 빨간색입니다. 이벤트도 해주세요 하지만 3개의 그려진 공이 모두 빨간색임을 의미합니다. 그 다음에: 하지만 = 하지만 1 ∙ (하지만 2 / 하지만 1) ∙ 하지만 3 / (하지만 1 ∙ 하지만 2), 즉

예시.카드 세트에서 보자 a, a, r, b, o, t카드는 한 번에 하나씩 뽑힙니다. "라는 단어를 얻을 확률은 얼마입니까? 일하다” 왼쪽에서 오른쪽으로 차례로 한 줄로 접으면?

허락하다 에- 선언된 단어가 획득되는 이벤트. 그런 다음 공식 (1.9)에 의해 다음을 얻습니다.

아르 자형(에) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

확률 곱셈 정리는 곱이 서로 독립적인 사건에 의해 형성될 때 가장 단순한 형태를 취합니다.

정의.이벤트 에~라고 불리는 독립적인이벤트에서 하지만사건의 발생 여부와 관계없이 확률이 변하지 않는 경우 하지만아니면. 두 이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생 확률을 변경(변경)하지 않는 경우 두 이벤트를 독립(종속)이라고 합니다. 따라서 그렇지 않은 경우 종속 이벤트 피(B/ㅏ) = 아르 자형(에) 또는 = 아르 자형(에) 및 종속 이벤트의 경우 아르 자형(에/ㅏ)

이벤트. 초등 행사의 공간. 어떤 사건, 불가능한 사건. 공동, 비 공동 이벤트. 동등한 이벤트. 이벤트 그룹을 완료하십시오. 이벤트에 대한 작업.

이벤트라고 할 수 있는 현상이다. 계속또는 일어나지 않는, 이벤트 자체의 특성에 따라 다릅니다.

아래에 초등 행사특정 테스트와 관련된 해당 테스트의 분해할 수 없는 모든 결과를 이해합니다. 이 테스트의 결과로 발생할 수 있는 각 이벤트는 기본 이벤트의 특정 집합으로 간주될 수 있습니다.

초등행사 공간임의의 집합(유한 또는 무한)이라고 합니다. 그 요소는 포인트(기본 이벤트)입니다. 기본 사건 공간의 부분집합을 사건이라고 합니다.

특정 이벤트이 테스트의 결과로 확실히 발생할 이벤트가 호출됩니다. (E로 표시).

불가능한 사건이벤트는 주어진 테스트의 결과로 발생하는 이벤트라고 합니다. 일어날 수 없다; (U로 표시). 예를 들어, 한 던지기 동안 6점 중 하나의 출현 주사위- 믿을 수 있는 이벤트이며, 8점의 출현은 불가능합니다.

두 가지 이벤트를 호출합니다. 관절(호환성) 주어진 경험에서 그 중 하나의 출현이 다른 하나의 출현을 배제하지 않는 경우.

두 가지 이벤트를 호출합니다. 호환되지 않는동일한 시행에서 함께 발생할 수 없는 경우 주어진 시행에서 (비호환). 여러 이벤트가 쌍으로 호환되지 않는 경우 호환되지 않는다고 합니다.

양식 시작

양식 끝

주제 번호 2. 확률의 공리적 정의. 사건의 확률에 대한 고전적, 통계적, 기하학적 정의. 확률 속성. 확률의 덧셈과 곱셈의 정리. 독립 이벤트. 조건부 확률. 이벤트 중 하나 이상이 발생할 확률입니다. 총 확률 공식. 베이즈 공식

사건이 일어날 객관적 가능성의 정도를 수치적으로 측정한 것을 사건의 확률. 사건의 확률 개념을 정성적으로 반영하는 이 정의는 수학이 아닙니다. 그러기 위해서는 질적으로 정의할 필요가 있다.

에 따르면 고전적 정의 사건 A의 확률은 총 사건 수에 대한 유리한 사건 수의 비율과 같습니다. 즉,

여기서 P(A)는 사건 A의 확률입니다.

사건 A에 유리한 경우의 수

총 케이스 수입니다.

확률의 통계적 정의:

이벤트 A의 통계적 확률은 수행된 테스트에서 이 이벤트가 발생하는 상대적 빈도입니다. 즉,

사건 A의 통계적 확률은 어디에 있습니까?

사건의 상대빈도(빈도) A.

사건 A가 나타난 시행 횟수

총 시도 횟수입니다.

고전적 정의에서 고려되는 "수학적" 확률과 달리 통계적 확률은 실험적, 실험적 특성입니다.

어떤 시행도 거치지 않고 직접적으로 결정되는 사건 A를 선호하는 경우의 비율이 있다면, 즉 사건 A가 발생한 실제 시행된 시행의 비율이다.

확률의 기하학적 정의:

사건 A의 기하 확률은 사건 A의 발생을 선호하는 면적의 측도와 모든 면적의 측도의 비율입니다. 즉,

1차원의 경우:

CD/

이 확률은 세그먼트 AB의 CD 위치에 의존하지 않고 길이에만 의존한다는 것이 밝혀졌습니다.

점을 칠 확률은 모양이나 A에서 B의 위치에 의존하지 않고 이 세그먼트의 면적에만 의존합니다.

조건부 확률

확률이라고 한다 가정 어구 , 특정 조건에서 계산되고 다음과 같이 표시되는 경우:

이것은 사건 A의 확률입니다. 사건 B가 이미 발생한 조건에서 계산됩니다.

예시. 테스트를 하고 덱에서 두 장의 카드를 추출합니다. 첫 번째 확률은 무조건적입니다.

우리는 데크에서 에이스를 뽑을 확률을 계산합니다.

우리는 데크에서 2-ace의 발생을 계산합니다.

A*B - 이벤트의 공동 발생

– 확률 곱셈 정리

결과:

이벤트의 공동 발생에 대한 곱셈 정리의 형식은 다음과 같습니다.

즉, 이전의 모든 조건이 이미 발생했음을 고려하여 각 후속 확률을 계산합니다.

이벤트 독립성:

하나의 발생이 다른 발생과 모순되지 않는 경우 두 이벤트를 독립이라고 합니다.

예를 들어 에이스가 덱에서 반복적으로 뽑히면 서로 독립적입니다. 다시 말해서, 카드를 보고 덱으로 되돌려 놓았습니다.

공동 및 비공동 행사:

관절 2개의 이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생과 모순되지 않으면 2개의 이벤트가 호출됩니다.

공동 사건의 확률을 더하는 정리:

두 개의 결합 이벤트 중 하나가 발생할 확률은 이러한 이벤트가 결합되지 않은 확률의 합과 같습니다.

3개의 공동 이벤트:

무작위 실험에 대한 단일 테스트의 결과로 이벤트 중 두 개가 동시에 나타날 수 없는 경우 이벤트가 일치하지 않는다고 합니다.

정리:양립할 수 없는 두 사건 중 하나가 발생할 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

사건의 합이 일어날 확률:

확률 덧셈 정리:

유한한 수의 호환되지 않는 이벤트의 합계 확률은 다음 이벤트의 확률의 합계와 같습니다.

결론 1:

완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.

결과 2:

논평:고려된 덧셈 정리는 양립할 수 없는 사건에만 적용된다는 점을 강조해야 합니다.

반대 사건의 확률:

반대완전한 그룹을 형성하는 두 개의 고유한 가능한 이벤트가 호출됩니다. 반대되는 두 사건 중 하나는 다음과 같이 표시됩니다. 하지만, 다른 통해 .

예: 목표물을 쏠 때 명중과 누락은 반대 이벤트입니다. A가 안타라면 미스다.

정리:반대 사건의 확률의 합은 1과 같습니다.

참고 1:두 반대 이벤트 중 하나의 확률이 p로 표시되면 다른 이벤트의 확률은 q로 표시됩니다. 따라서 이전 정리 덕분에:

노트 2:사건 A의 확률을 찾기 위해 문제를 풀 때, 먼저 사건의 확률을 계산한 다음 다음 공식을 사용하여 원하는 확률을 찾는 것이 종종 유리합니다.

적어도 하나의 이벤트가 발생할 확률:

실험 1의 결과로 이벤트가 일부 또는 전혀 나타나지 않을 수 있다고 가정해 보겠습니다.

정리:일련의 독립적인 사건에서 적어도 하나의 사건이 발생할 확률은 단일성과 사건이 발생하지 않을 확률의 차이와 같습니다.

총 확률 공식을 사용하면 이벤트의 확률을 찾을 수 있습니다. ㅏ, 각각의 경우에만 발생할 수 있는 N확률이 알려진 경우 완전한 시스템을 형성하는 상호 배타적인 사건, 조건부 확률 개발 ㅏ시스템의 각 이벤트에 대해 는 와 같습니다.

이벤트는 가설이라고도 하며 상호 배타적입니다. 따라서 문헌에서 문자가 아닌 지정을 찾을 수도 있습니다. 비하지만 편지와 함께 시간(가설).

이러한 조건의 문제를 해결하려면 3, 4, 5 또는 일반적인 경우를 고려해야 합니다. N사건의 가능성 ㅏ- 모든 이벤트와 함께.

확률의 덧셈 및 곱셈 정리를 사용하여 시스템의 각 이벤트 확률 곱의 합을 다음과 같이 얻습니다. 조건부 확률 개발 ㅏ시스템의 각 이벤트에 대해 즉, 사건의 확률은 ㅏ공식으로 계산할 수 있습니다

또는 일반적으로

,

라고 불리는 총 확률 공식 .

총 확률 공식: 문제 해결의 예

실시예 1똑같이 생긴 항아리 3개가 있습니다. 첫 번째 항아리에는 흰색 공 2개와 검은색 항아리 3개가 있고, 두 번째 항아리에는 흰색 공 4개와 검은색 항아리 1개가 있고, 세 번째 항아리에는 흰색 공 3개가 있습니다. 누군가 무작위로 항아리 중 하나에 접근하여 항아리에서 공 하나를 꺼냅니다. 활용 총 확률 공식, 공이 흰색일 확률을 구하십시오.

해결책. 이벤트 ㅏ- 흰 공 모양. 우리는 세 가지 가설을 제시합니다.

첫 번째 항아리가 선택되었습니다.

두 번째 항아리가 선택됩니다.

세 번째 항아리가 선택되었습니다.

조건부 이벤트 확률 ㅏ각각의 가설에 대해:

, , .

결과적으로 필요한 확률인 총 확률 공식을 적용합니다.

.

실시예 2 1공장에서는 전구 100개당 평균 90개의 표준 전구가 생산되고, 2번째 공장에서는 95개, 3번째 공장에서는 85개가 생산되며 이들 공장의 제품이 50%, 30%, 20%를 차지하며, 특정 지역의 매장에 공급되는 모든 전구 중 표준 전구를 구입할 확률을 구하십시오.

해결책. 표준 전구를 얻을 확률을 다음과 같이 표시합시다. ㅏ, 그리고 구매한 전구가 각각 1, 2, 3 공장에서 제조된 이벤트를 통해 . 조건에 따라 이러한 이벤트의 확률은 다음과 같이 알려져 있습니다. , 및 이벤트의 조건부 확률 ㅏ그들 각각에 관하여: , , . 1차, 2차, 3차 공장에서 각각 생산되는 표준 전구를 구입할 확률입니다.

이벤트 ㅏ이벤트가 발생하거나 케이- 전구는 1차 공장에서 제작되어 표준 또는 이벤트 엘- 전구는 2공장에서 제작되어 표준 또는 이벤트 중- 전구는 3공장에서 생산되며 표준입니다. 이벤트 발생에 대한 기타 가능성 ㅏ아니요. 따라서 이벤트 ㅏ사건의 합이다 케이, 엘그리고 중호환되지 않습니다. 확률 덧셈 정리를 적용하여 사건의 확률을 나타냅니다. ㅏ~처럼

확률 곱셈 정리에 의해 우리는

그건, 총 확률 공식의 특별한 경우.

확률을 공식의 왼쪽에 대입하면 사건의 확률을 얻습니다. ㅏ :

실시예 3항공기가 공항에 착륙하고 있습니다. 날씨가 허락한다면 조종사는 계기 외에도 육안 관찰을 사용하여 비행기를 착륙시킵니다. 이 경우 착륙에 성공할 확률은 입니다. 비행장이 낮은 구름으로 흐리면 조종사는 비행기를 착륙시키고 계기에만 방향을 잡습니다. 이 경우 착륙에 성공할 확률은 ; . 블라인드 랜딩을 제공하는 장치는 신뢰성(무고장 작동 확률)이 있습니다. 피. 구름이 적고 블라인드 착륙 장치가 실패한 경우 성공적인 착륙 확률은 다음과 같습니다. . 통계에 따르면 케이착륙의 %, 비행장은 낮은 구름으로 덮여 있습니다. 찾다 사건의 전체 확률 ㅏ- 항공기의 안전한 착륙.

해결책. 가설:

낮은 구름이 없습니다.

구름이 적습니다.

다음 가설(사건)의 확률:

;

조건부 확률.

조건부 확률은 가설이 있는 전체 확률 공식에 의해 다시 구합니다.

블라인드 랜딩 장치가 작동합니다.

블라인드 착륙 장치가 실패했습니다.

이러한 가설의 확률은 다음과 같습니다.

총 확률 공식에 따르면

실시예 4장치는 정상과 비정상의 두 가지 모드로 작동할 수 있습니다. 정상 모드는 장치 작동의 모든 경우의 80%에서 관찰되고 비정상은 20%의 경우에서 관찰됩니다. 특정 시간에 장치가 고장날 확률 티 0.1과 동일; 비정상적인 0.7. 찾다 완전한 확률시간의 장치 오류 티.

해결책. 우리는 다시 장치 고장 확률을 다음과 같이 나타냅니다. ㅏ. 따라서 각 모드(이벤트)에서 장치의 작동과 관련하여 확률은 조건으로 알려져 있습니다. 정상 모드의 경우 80%(), 비정상 모드의 경우 20%()입니다. 사건 확률 ㅏ첫 번째 이벤트(일반 모드)에 따른 (즉, 장치의 고장)은 0.1()입니다. 두 번째 이벤트(비정상 모드)에 따라 - 0.7( ). 우리는 이러한 값을 총 확률 공식으로 대체합니다(즉, 시스템의 각 이벤트 확률과 이벤트의 조건부 확률 곱의 합 ㅏ시스템의 각 이벤트에 대해) 필요한 결과를 얻었습니다.