이벤트를 독립 if라고 합니다. 종속 및 독립 임의 이벤트. 총 확률 공식

이벤트의 의존성은 다음에서 이해됩니다. 확률적인기능적으로가 아니라 감각적으로. 이것은 다음 중 하나가 나타날 때 종속 이벤트다른 사람의 외모를 명확하게 판단하는 것은 불가능합니다. 확률적 의존성은 종속적 사건 중 하나의 발생이 다른 하나의 발생 확률만 변경함을 의미합니다. 확률이 변하지 않으면 사건은 독립적인 것으로 간주됩니다.

정의: 하자 - 임의의 확률 공간 - 일부 임의의 사건. 그들은 말한다 이벤트 하지만이벤트에 의존하지 않는다 에 , 그 경우 조건부 확률무조건 확률과 일치합니다.

.

만약 , 다음 우리는 이벤트 하지만이벤트 종속 에.

독립의 개념은 대칭적입니다. 하지만이벤트에 의존하지 않는다 에, 다음 이벤트 에이벤트에 의존하지 않는다 하지만. 과연, 하자 . 그 다음에 . 따라서 그들은 단순히 사건이 하지만그리고 에독립적인.

사건의 독립성에 대한 다음 대칭적 정의는 확률의 곱셈 규칙에서 따릅니다.

정의: 개발 하지만그리고 에,동일한 확률 공간에 정의된 독립적인, 만약에

만약 , 다음 이벤트 하지만그리고 에~라고 불리는 매달린.

이 정의는 다음과 같은 경우에도 유효합니다. 또는 .

독립 이벤트의 속성.

1. 이벤트가 발생하면 하지만그리고 에독립적인 경우 다음 이벤트 쌍도 독립적입니다. .

▲ 예를 들어 사건의 독립성을 증명하자. 이벤트 상상하기 하지만처럼: . 이벤트가 호환되지 않으므로 , 이벤트의 독립성으로 인해 하지만그리고 에우리는 그것을 얻는다. 따라서 독립을 의미합니다. ■

2. 이벤트의 경우 하지만이벤트에 의존하지 않는다 1에서그리고 2에서, 호환되지 않는 () , 그 사건 하지만금액에 의존하지 않습니다.

▲ 실제로 사건의 확률의 가산성과 독립성의 공리를 이용하여 하지만이벤트에서 1에서그리고 2에서, 우리는:

독립성과 비호환성 개념 간의 관계.

허락하다 하지만그리고 에- 확률이 0이 아닌 모든 사건: , 그래서 . 만약 이벤트가 하지만그리고 에는 일치하지 않으므로(), 따라서 평등은 발생할 수 없습니다. 이런 식으로, 호환되지 않는 이벤트는 종속적입니다..

세 개 이상의 사건이 동시에 고려될 때, 그들의 쌍별 독립성은 전체 그룹의 사건 사이의 연결을 충분히 특성화하지 못합니다. 이 경우 집합적 독립성의 개념이 도입됩니다.

정의: 동일한 확률 공간에 정의된 이벤트를 호출합니다. 집단적으로 독립적인, 어떤 경우 2백만 파운드인덱스의 모든 조합은 평등을 유지합니다.

~에 m = 2집합의 독립성은 사건의 쌍별 독립성을 의미합니다. 그 반대는 사실이 아닙니다.

예시. (번스타인 S.N.)

무작위 실험은 정사면체(tetrahedron)를 던지는 것으로 구성됩니다. 위에서 아래로 떨어진 얼굴이 있습니다. 정사면체의 면은 다음과 같이 색상이 지정됩니다. 첫 번째 면 - 흰색, 두 번째 면 - 검정색,
3면 - 빨강, 4면 - 모든 색상을 포함합니다.

다음과 같은 이벤트를 고려하십시오.

하지만= (탈락 흰색}; 비= (검은색 드롭아웃);

씨= (빨간색 탈락).

그 다음에 ;

따라서 이벤트 하지만, 에그리고 에서쌍으로 독립적입니다.

하지만, .

따라서 이벤트 하지만, 에그리고 에서집합적으로 그들은 독립적이지 않습니다.

실제로, 일반적으로 이벤트의 독립성은 정의에 의해 확인하여 설정되지 않지만 그 반대도 마찬가지입니다. 이벤트는 외부 고려 사항이나 상황을 고려하여 독립적인 것으로 간주됩니다. 무작위 실험, 독립성을 사용하여 사건이 발생할 확률을 찾습니다.

정리(독립적인 사건에 대한 확률의 곱셈).

동일한 확률 공간에 정의된 이벤트가 집계에서 독립적인 경우 해당 제품의 확률은 확률의 곱과 같습니다.

▲ 정리의 증명은 사건의 총체적 독립성 정의 또는 일반확률곱셈 정리에서 다음과 같은 사실을 고려하여 따른다.

예 1(조건부 확률을 찾는 일반적인 예, 독립성 개념, 확률 덧셈 정리).

전기 회로는 3개의 독립적으로 작동하는 요소로 구성됩니다. 각 요소의 실패 확률은 각각 와 같습니다.

1) 회로 고장 확률을 구합니다.

2) 회로가 고장난 것으로 알려져 있습니다.

실패할 확률은 얼마입니까?

a) 첫 번째 요소 b) 세 번째 요소?

해결책.이벤트 고려 = (실패 케이 th 요소) 및 이벤트 하지만= (계획 실패). 그럼 이벤트 하지만다음과 같은 형식으로 표시됩니다.

.

1) 사건들과 양립할 수 없기 때문에 확률 3)의 가산성 공리는 적용할 수 없으며 확률을 찾기 위해 일반 확률 덧셈 정리를 사용해야 합니다.

사건의 확률을 보자 에이벤트 발생에 의존하지 않음 하지만.

정의.이벤트 에~라고 불리는 사건 A와 무관이벤트가 발생하면 하지만사건의 확률을 바꾸지 않는다 에, 즉. 사건의 조건부 확률이라면 에무조건 확률과 같습니다.

라(에) = 아르 자형(에). (2.12)

(2.12)를 관계식 (2.11)에 대입하면 다음을 얻습니다.

아르 자형(하지만)아르 자형(에) = 아르 자형(에)알비(하지만).

알비(하지만) = 아르 자형(하지만),

저것들. 사건의 조건부 확률 하지만이벤트가 발생했다고 가정 에는 무조건 확률과 같습니다. 즉, 이벤트 하지만이벤트에 의존하지 않는다 비.

보조 정리(사건의 상호 독립성): 이벤트인 경우 에이벤트에 의존하지 않는다 하지만, 다음 이벤트 하지만이벤트에 의존하지 않는다 에; 그것은 의미 사건의 상호 독립성.

독립 사건의 경우 곱셈 정리 아르 자형(AB) = 아르 자형(하지만) 라(에) 형식을 갖는다

아르 자형(AB) = 아르 자형(하지만) 아르 자형(에), (2.13)

저것들. 두 개의 독립적인 사건의 공동 발생 확률은 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다.

평등(2.13)은 독립 사건의 정의로 간주됩니다. 두 사건 중 하나가 발생해도 다른 사건이 발생할 확률이 변하지 않으면 두 사건을 독립이라고 합니다.

정의.두 개의 이벤트가 호출됩니다. 독립적인, 조합의 확률이 이러한 사건의 확률의 곱과 같은 경우; 그렇지 않으면 이벤트가 호출됩니다. 매달린.

실제로 사건의 독립성은 문제의 의미에 따라 결론지어진다. 예를 들어, 두 개의 총으로 각각 표적을 명중할 확률은 다른 총이 표적을 명중했는지 여부에 의존하지 않으므로 "첫 번째 총이 표적에 명중" 및 "두 번째 총이 표적에 명중" 이벤트는 독립적입니다.

예시. 첫 번째 총으로 목표물을 명중할 확률(이벤트 하지만)는 0.8이고 두 번째(이벤트 에) – 0,7.

해결책.개발 하지만그리고 에따라서 독립적이므로 곱셈 정리에 의해 원하는 확률

아르 자형(AB) = 아르 자형(하지만)아르 자형(에) = 0.7 × 0.8 = 0.56.

논평 1. 이벤트가 발생하면 하지만그리고 에독립이면 사건도 독립입니다. 하지만, 그리고 에, 그리고 . 진짜,

따라서,

, 또는 .

, 또는 .

저것들. 개발 하지만그리고 에독립적인.

사건의 독립성과 에, 그리고 입증된 주장의 결과입니다.

독립의 개념은 경우로 확장될 수 있습니다. N이벤트.

정의.여러 이벤트가 호출됩니다. 쌍으로 독립둘 모두가 독립적인 경우. 예를 들어, 이벤트 하지만, 에, 에서사건이 독립적인 경우 쌍별 독립 하지만그리고 에, 하지만그리고 에서, 에그리고 에서.

곱셈 정리를 여러 사건으로 일반화하기 위해 우리는 사건의 집합적 독립성 개념을 도입합니다.

정의.여러 이벤트가 호출됩니다. 집단적으로 독립적인(또는 단순히 독립) 만약 그것들 중 두 개 모두가 독립적이고 모든 사건과 다른 것들의 가능한 모든 제품이 독립적이라면. 예를 들어 이벤트의 경우 하지만 1 , ㅏ 2 , 하지만 3은 총계에서 독립이고 사건은 독립입니다. 하지만 1 및 ㅏ 2 , 하지만 1 및 하지만 3 , ㅏ 2 및 하지만 3 ; 하지만 1 및 ㅏ 2 하지만 3 , ㅏ 2 및 하지만 1 하지만 3 , 하지만 3 그리고 하지만 1 ㅏ 2. 앞에서 말한 것으로부터 사건이 총체적으로 독립적인 경우 다른 사건 중 다른 사건이 발생했다는 가정 하에 계산된 사건 중 어떤 사건이 발생할 조건부 확률은 다음과 같습니다. 무조건 확률입니다.

우리는 여러 이벤트가 쌍으로 독립적인 경우 집계에서 독립성이 아직 이를 따르지 않는다는 점을 강조합니다. 이러한 의미에서 집계에서 이벤트의 독립성에 대한 요구 사항은 쌍별 독립성에 대한 요구 사항보다 더 강력합니다.

예를 들어 말한 내용을 설명하겠습니다. 항아리에 색깔이 있는 4개의 공이 있다고 가정합니다. 하나는 빨간색( 하지만), 하나 - 파란색( 에), 하나 - 검정색( 에서) 및 하나 - 이 세 가지 색상 모두에서( 알파벳). 항아리에서 꺼낸 공이 빨간색일 확률은 얼마입니까?

4개의 공 중 2개가 빨간색이므로 아르 자형(하지만) = 2/4 = 1/2. 비슷하게 논하면 우리는 아르 자형(에) = 1/2, 아르 자형(에서) = 1/2. 이제 가져온 공이 파란색이라고 가정해 보겠습니다. 이벤트 에이미 일어났다. 뽑힌 공이 빨간색일 확률, 즉 사건의 확률이 변합니까? 하지만? 파란색인 두 개의 공 중 하나의 공도 빨간색이므로 사건의 확률은 다음과 같습니다. 하지만아직 1/2이다. 즉, 사건의 조건부 확률 하지만, 이벤트가 발생한 것으로 가정하여 계산 에는 무조건 확률과 같습니다. 따라서 이벤트 하지만그리고 에독립적인. 유사하게, 우리는 사건이 하지만그리고 에서, 에그리고 에서독립적인. 그래서 이벤트 하지만, 에그리고 에서쌍으로 독립적입니다.

이러한 이벤트는 종합적으로 독립적입니까? 그렇지 않다는 것이 밝혀졌습니다. 실제로 추출된 공에 파란색과 검정색과 같은 두 가지 색상이 있습니다. 이 공도 빨간색일 확률은 얼마입니까? 세 가지 색상 모두에 하나의 공만 색칠되어 있으므로 캡처한 공도 빨간색입니다. 따라서 이벤트를 가정하면 에그리고 에서발생, 우리는 이벤트 하지만반드시 올 것이다. 따라서 이 이벤트는 신뢰할 수 있고 확률은 1입니다. 즉, 조건부 확률 R BC(하지만)= 1개의 이벤트 하지만무조건 확률과 같지 않다 아르 자형(하지만) = 1/2. 따라서 쌍별 독립 이벤트 하지만, 에, 에서집단적으로 독립적이지 않다.

이제 우리는 곱셈 정리의 결과를 제시합니다.

결과.집합적으로 독립적인 여러 사건의 공동 발생 확률은 다음 사건의 확률의 곱과 같습니다.

증거.세 가지 이벤트를 고려하십시오. 하지만, 에그리고 에서. 이벤트 조합 하지만, 에그리고 에서이벤트의 조합에 해당 AB그리고 에서, 그래서

아르 자형(알파벳) = 아르 자형(AB×C).

사건 이후 하지만, 에그리고 에서총체적으로 독립적이고, 특히 독립적인 사건 AB그리고 에서, 만큼 잘 하지만그리고 에. 두 개의 독립적인 사건에 대한 곱셈 정리에 의해 다음을 얻습니다.

아르 자형(AB×C) = 아르 자형(AB)아르 자형(에서) 그리고 아르 자형(AB) = 아르 자형(하지만)아르 자형(에).

그래서, 마침내 우리는

아르 자형(알파벳) = 아르 자형(하지만)아르 자형(에)아르 자형(에서).

임의의 경우 N증명은 수학적 귀납법으로 수행됩니다.

논평.만약 이벤트 하지만 1 , 하지만 2 , ...,엔집합에서 독립적인 경우 반대 이벤트도 집합에서 독립적입니다.

예시.두 개의 동전을 한 번 던질 때 문장이 함께 나타날 확률을 구하십시오.

해결책.첫 번째 주화의 문장이 나타날 확률(이벤트 하지만)

아르 자형(하지만) = 1/2.

두 번째 동전의 문장이 나타날 확률(이벤트 에)

아르 자형(에) = 1/2.

개발 하지만그리고 에독립적이므로 곱셈 정리에 의한 원하는 확률은 다음과 같습니다.

아르 자형(AB) = 아르 자형(하지만)아르 자형(에) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

예시. 10개의 부품이 들어 있는 3개의 상자가 있습니다. 첫 번째 서랍에는 8개, 두 번째 서랍에는 7개, 세 번째 서랍에는 9개의 표준 부품이 들어 있습니다. 각 상자에서 하나의 항목이 무작위로 추출됩니다. 꺼낸 세 부분이 모두 표준 부품일 확률을 구하십시오.

해결책.표준 부품이 첫 번째 상자에서 추출될 확률(사건 하지만),

아르 자형(하지만) = 8/10 = 0,8.

두 번째 상자에서 표준 부품을 가져올 확률(사건 에),

아르 자형(에) = 7/10 = 0,7.

표준 부품이 세 번째 상자(사건 에서),

아르 자형(에서) = 9/10 = 0,9.

사건 이후 하지만, 에그리고 에서집계에서 독립적인 경우 원하는 확률(곱셈 정리에 의해)은 다음과 같습니다.

아르 자형(알파벳) = 아르 자형(하지만)아르 자형(에)아르 자형(에서) = 0.8×0.7×0.9 = 0.504.

덧셈 정리와 곱셈 정리를 함께 적용한 예를 들어 보겠습니다.

예시. 3개의 독립적인 사건 각각의 발생 확률 하지만 1 , 하지만 2 , 하지만 3 각각 동일 아르 자형 1 , 아르 자형 2 , 아르 자형삼 . 이러한 사건 중 하나만 발생할 확률을 구하십시오.

해결책. 예를 들어 외모에 유의하십시오. 뿐첫 번째 이벤트 하지만 1은 이벤트의 출현과 동일합니다(첫 번째 이벤트는 나타나고 두 번째 및 세 번째 이벤트는 나타나지 않음). 표기법을 소개하겠습니다.

비 1 - 이벤트만 나타남 하지만 1, 즉 ;

비 2 – 이벤트만 등장 하지만 2, 즉 ;

비 3 – 이벤트만 등장 하지만 3, 즉 .

따라서 사건 중 하나만 발생할 확률을 구하려면 하지만 1 , 하지만 2 , 하지만 3, 우리는 확률을 찾을 것입니다 피(비 1 + 비 2 + 에 3) 어떤 사건이든 상관없이 하나의 출현 에 1 , 에 2 , 에 3 .

사건 이후 에 1 , 에 2 , 에 3이 일치하지 않으면 덧셈 정리가 적용됩니다.

피(비 1 + 비 2 + 에 3) = 아르 자형(에 1) + 아르 자형(에 2) + 아르 자형(에 3). (*)

각 사건의 확률을 찾는 것이 남아 있습니다. 에 1 , 에 2 , 에삼 . 개발 하지만 1 , 하지만 2 , 하지만 3은 독립적이므로 사건은 독립적이므로 곱셈 정리가 적용됩니다.

비슷하게,

이 확률을 (*)에 대입하면 이벤트 중 하나만 발생할 원하는 확률을 찾습니다. 하지만 1 , 하지만 2 , 하지만 3.

확률 정의

고전적인 정의

확률의 고전적 "정의"는 평등한 기회연구되는 현상의 객관적인 속성으로. 등가는 정의할 수 없는 개념이며 연구 중인 현상의 대칭성에 대한 일반적인 고려에서 설정됩니다. 예를 들어, 동전을 던질 때 동전의 대칭성, 재료의 균질성 및 토스의 무작위성(편향성이 없음)으로 인해 "꼬리"보다 "꼬리"를 선호할 이유가 없다고 가정합니다. "독수리" 또는 그 반대의 경우, 즉 이러한 측면의 손실이 동등하게 가능성 있는 것으로 간주될 수 있습니다(동등한 가능성) .

일반적인 경우의 등가가능성의 개념과 함께 고전적 정의는 연구 중인 사건 A를 선호하거나 선호하지 않는 기본 사건(결과)의 개념도 요구합니다. 다른 결과의 발생. 이들은 호환되지 않는 기본 이벤트입니다. 예를 들어 던질 때 주사위특정 번호를 삭제하면 다른 번호는 제외됩니다.

확률의 고전적 정의는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

무작위 사건의 확률ㅏ 수의 비율이라고 함 N 사건을 구성하는 양립할 수 없는 동등 확률의 기본 사건ㅏ , 가능한 모든 기본 사건의 수로 N :

예를 들어, 두 개의 주사위를 던졌다고 가정합니다. 동등하게 가능한 결과(기본 이벤트)의 총 수는 분명히 36(각 주사위에서 6개의 가능성)입니다. 7점을 얻을 확률을 추정하십시오. 7점을 얻는 방법은 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1입니다. 즉, 7점을 얻는 이벤트 A를 선호하는 동일한 가능성이 있는 결과가 6개뿐입니다. 따라서 확률은 6/36=1/6과 같습니다. 비교를 위해 12점 또는 2점을 얻을 확률은 1/36 - 6배에 불과합니다.

기하학적 정의

고전적 정의가 직관적이고 실천에서 파생되었다는 사실에도 불구하고, 동등하게 가능한 결과의 수가 무한하다면 적어도 직접적으로 적용될 수 없다. 무한한 수의 가능한 결과의 생생한 예는 예를 들어 평면에서 면적이 S인 제한된 기하학적 영역 G입니다. 동일한 확률로 무작위로 "던진" "점"은 이 영역의 임의의 지점에 있을 수 있습니다. 문제는 영역이 s인 일부 하위 도메인 g에 한 점이 떨어질 확률을 결정하는 것입니다. 이 경우 고전적인 정의를 일반화하면 하위 도메인에 속할 확률의 기하학적 정의에 도달할 수 있습니다.

동일한 가능성의 관점에서 이 확률은 영역 g의 모양에 의존하지 않고 영역에만 의존합니다. 이 정의는 면적 대신 "체적"의 개념이 사용되는 모든 차원의 공간으로 자연스럽게 일반화될 수 있습니다. 더욱이, 확률의 현대적 공리적 정의로 이어지는 것은 이 정의입니다. 볼륨의 개념은 요구 사항이 부과되는 일부 추상 세트의 "측정" 개념으로 일반화되며 "볼륨"도 기하학적 해석에 있습니다.

빈도(통계) 결정

복잡한 문제를 고려할 때 고전적인 정의는 극복할 수 없는 성격의 어려움에 직면합니다. 특히 경우에 따라 동일한 가능성이 있는 사례를 식별하지 못할 수도 있습니다. 알려진 바와 같이 동전의 경우에도 "가장자리"가 떨어질 가능성은 분명히 동등하지 않으며 이론적 고려 사항에서 추정할 수 없습니다(가능성이 낮고 이 고려 사항이 오히려 실용적이라고 말할 수 있을 뿐입니다. ). 따라서 확률 이론의 형성 초기에 확률의 대안적인 "빈도" 정의가 제안되었습니다. 즉, 공식적으로 확률은 관찰의 동질성(즉, 모든 관찰 조건의 동일성)과 서로 독립성을 가정할 때 이벤트 A의 관찰 빈도의 한계로 정의할 수 있습니다.

여기서 은 관측값의 수이고 는 이벤트의 발생 수입니다.

이 정의가 다수의 균일하고 독립적인 관찰을 통해 알려지지 않은 확률을 추정하는 방법을 나타낸다는 사실에도 불구하고, 이 정의는 확률 개념의 내용을 반영합니다. 즉, 특정 확률이 이벤트에 기인하는 경우 가능성의 객관적인 측정으로서, 이는 고정된 조건 및 다중 반복 하에서 발생 빈도를 (가까울수록 더 많은 관찰)에 가깝게 얻어야 함을 의미합니다. 사실 이것이 확률 개념의 본래 의미입니다. 그것은 자연 현상에 대한 객관주의적 관점에 기초합니다. 아래는 소위 법 큰 숫자, 확률의 빈도 추정을 포함하여 (아래에 제시된 현대 공리적 접근의 틀 내에서) 이론적 기초를 제공합니다.

공리적 정의

현대 수학적 접근에서 확률은 다음과 같이 주어진다. 콜모고로프의 공리학. 일부 초등 행사 공간. 이 공간의 부분집합은 다음과 같이 해석됩니다. 무작위 사건. 일부 하위 집합(사건)의 합집합(합)은 발생으로 구성된 사건으로 해석됩니다. 적어도 하나이러한 이벤트에서. 부분집합(사건)의 교집합(곱)은 발생으로 구성된 사건으로 해석됩니다. 모두이러한 이벤트. Disjoint 집합은 다음과 같이 해석됩니다. 호환되지 않는(그들의 공동 공격은 불가능합니다). 따라서 빈 집합은 다음을 의미합니다. 불가능한이벤트.

확률( 확률 측정)라고 한다 측정하다(숫자 함수) 이벤트 집합에 대해 정의되며 다음 속성을 가집니다.

기본 사건의 공간 X 틀림없이, 그러면 임의의 두 개의 호환되지 않는 이벤트에 대해 지정된 가산성 조건이 충분하며, 이로부터 가산성은 모든 이벤트에 대해 뒤따를 것입니다. 결정적인호환되지 않는 이벤트의 수. 그러나 기본 사건의 무한(가산 또는 불가산) 공간의 경우 이 조건으로는 충분하지 않습니다. 소위 가산 또는 시그마 가산성, 즉, 임의의 가산성 속성의 충족 셀 수 없을 정도로쌍으로 호환되지 않는 이벤트의 가족. 이것은 확률 측정의 "연속성"을 보장하기 위해 필요합니다.

확률 측정은 집합의 모든 하위 집합에 대해 정의되지 않을 수 있습니다. 일부에 정의되어 있다고 가정합니다. 시그마 대수학하위 집합 . 이러한 하위 집합을 측정 가능한주어진 확률 척도에 따라, 그리고 그것들은 무작위 사건입니다. 집합(즉, 기본 사건의 집합, 부분 집합의 시그마 대수 및 확률 측정)을 호출합니다. 확률 공간.

연속 확률 변수.간격을 완전히 채우지 않는 유한하거나 무한한 숫자 시퀀스를 형성하는 가능한 값인 이산 확률 변수 외에도 가능한 값이 특정 간격을 형성하는 확률 변수가 종종 있습니다. 이러한 확률 변수의 예는 적절하게 확립된 기술 프로세스를 통해 부품의 특정 크기의 공칭 값과의 편차입니다. 이러한 종류의 확률 변수는 확률 분포 법칙을 사용하여 지정할 수 없습니다. 피(x). 그러나 확률 분포 함수를 사용하여 지정할 수 있습니다. F(x). 이 함수는 이산 확률 변수의 경우와 정확히 같은 방식으로 정의됩니다.

따라서 여기에서도 기능 F(x)정수 축에 정의된 점에서의 값 엑스확률변수가 다음보다 작은 값을 가질 확률과 같습니다. 엑스. 공식 (19)와 속성 1° 및 2°는 임의의 확률 변수의 분포 함수에 대해 유효합니다. 증명은 이산 수량의 경우와 유사하게 수행됩니다. 랜덤 변수는 마디 없는, 모든 값을 충족하는 음수가 아닌 조각별 연속 함수*가 있는 경우 엑스평등

면적으로서의 적분의 기하학적 의미에 기초하여 부등식을 충족할 확률은 밑변이 있는 곡선 사다리꼴의 면적과 같다고 말할 수 있습니다 곡선으로 경계를 이룹니다(그림 6).

, 및 식 (22)에 기초

연속 확률 변수의 경우 분포 함수는 F(x)어느 지점에서나 연속 엑스, 여기서 함수는 연속입니다. 이것은 다음 사실에서 비롯됩니다. F(x)이 지점에서 미분 가능합니다. 식 (23)에 기초하여, 엑스 1 =x, , 우리는

기능의 연속성으로 인해 F(x)우리는 그것을 얻는다

따라서

이런 식으로, 연속 확률 변수가 x의 단일 값을 취할 확률은 0입니다.. 이로부터 각각의 불평등의 충족으로 구성된 사건들이 나온다.

그들은 같은 확률을 가지고 있습니다.

실제로 예를 들어,

왜냐하면 논평.알다시피, 이벤트가 불가능하면 발생 확률은 0입니다. 확률의 고전적 정의에서 테스트 결과의 수가 유한할 때 반대 명제가 발생합니다. 이벤트의 확률이 0이면 이 경우 테스트 결과가 이를 선호하지 않기 때문에 이벤트가 불가능합니다. 연속 확률 변수의 경우 가능한 값의 수는 무한합니다. 이 값이 특정 값을 가질 확률 엑스 1 우리가 보았듯이 는 0과 같습니다. 그러나 테스트의 결과로 확률 변수가 특히 값을 취할 수 있기 때문에 이 이벤트가 불가능하다는 것은 아닙니다. 엑스 1 . 따라서 연속 확률 변수의 경우 확률 변수가 특정 값을 취할 확률이 아니라 해당 구간에 속할 확률에 대해 이야기하는 것이 합리적입니다. 예를 들어 롤러 제조에서 직경이 공칭 값과 같을 확률에는 관심이 없습니다. 우리에게는 롤러의 직경이 허용 오차를 벗어나지 않을 확률이 중요합니다. 예시.연속 확률 변수의 분포 밀도는 다음과 같이 주어집니다.

함수의 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 7. 랜덤 변수가 부등식을 만족하는 값을 취할 확률을 결정하고 주어진 랜덤 변수의 분포 함수를 찾습니다. ( 해결책)

다음 두 단락은 실제로 자주 접하게 되는 연속 확률 변수의 분포(균일 분포 및 정규 분포)에 대해 설명합니다.

* 함수가 임의의 세그먼트에서 연속적이거나 제1종 불연속점이 유한한 경우 전체 숫자 축에서 조각별 연속이라고 합니다. ** 유한 하한의 경우 파생된 가변 상한이 있는 적분을 미분하는 규칙은 무한 하한이 있는 적분에 대해 유효합니다. 물론,

적분부터

상수 값입니다.

종속 및 독립 이벤트. 조건부 확률

종속 사건과 독립 사건을 구별하십시오. 두 사건 중 하나가 발생해도 다른 사건이 발생할 확률이 변하지 않으면 두 사건을 독립이라고 합니다. 예를 들어, 두 개의 자동 라인이 생산 조건에 따라 상호 연결되지 않은 작업장에서 작동하는 경우 이러한 라인의 중지는 독립적인 이벤트입니다.

실시예 3동전은 두 번 던집니다. 1차 시험(event)에서 '문장'이 출현할 확률은 2차 시험(event )에서 '문장'의 출현 여부에 의존하지 않는다. 차례로 두 번째 테스트에서 "국장"이 나타날 확률은 첫 번째 테스트의 결과에 의존하지 않습니다. 따라서 이벤트 및 독립.

여러 이벤트가 호출됩니다. 집단적으로 독립적인 , 그 중 하나가 다른 이벤트 및 다른 이벤트의 조합에 의존하지 않는 경우.

이벤트라고 합니다 매달린 , 그들 중 하나가 다른 하나의 발생 확률에 영향을 미치는 경우. 예를 들어, 두 개의 생산 공장이 단일 기술 주기로 연결되어 있습니다. 그런 다음 그 중 하나가 실패할 확률은 다른 하나의 상태에 따라 다릅니다. 다른 사건의 발생을 가정하여 계산된 한 사건의 확률을 조건부 확률 이벤트 및 로 표시됩니다.

이벤트로부터 이벤트의 독립 조건은 형식으로 작성되고 종속 조건은 형식으로 작성됩니다. 이벤트의 조건부 확률을 계산하는 예를 고려하십시오.

실시예 4상자에 5개의 앞니가 있습니다: 2개는 착용하고 3개는 새 것입니다. 앞니를 두 번 연속 추출합니다. 처음으로 제거한 커터가 상자에 반환되지 않은 경우 두 번째 추출 중 마모된 커터가 나타날 조건부 확률을 결정합니다.

해결책. 첫 번째 경우에 마모된 커터의 추출과 새 커터의 추출을 나타냅니다. 그 다음에 . 제거된 커터는 상자로 반환되지 않으므로 마모된 커터와 새 커터 수의 비율이 변경됩니다. 따라서 두 번째 경우에 마모된 커터를 제거할 확률은 이전에 발생한 이벤트에 따라 다릅니다.

두 번째 경우에 마모된 커터의 추출을 의미하는 이벤트를 지정합시다. 이 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.

따라서 사건의 확률은 사건이 발생했는지 여부에 달려 있습니다.

확률 밀도- 유클리드 공간에 확률 척도를 설정하는 방법 중 하나. 확률 측정이 확률 변수의 분포인 경우 밀도랜덤 변수.

확률 밀도 에 대한 확률 척도, 즉 확률 공간이 정의됩니다. 여기서 는 보렐 σ-대수학을 나타냅니다. 르베그 측정값을 표시하자.

정의 1.확률은 0 Lebesgue 측정의 Borel 집합에도 확률이 0인 경우 절대 연속(르베그 측정과 관련하여)()이라고 합니다.

확률이 절대적으로 연속적이면 Radon-Nikodym 정리에 따라 다음과 같은 음이 아닌 보렐 함수가 존재합니다.

,

일반적인 약어가 사용되는 곳 , 그리고 적분은 르베그의 의미로 이해됩니다.

정의 2.보다 일반적으로, 를 임의의 측정 가능한 공간이라고 하고, 를 이 공간에 대한 두 개의 측정값이라고 합니다. 음수가 아닌 경우 , 형식의 측정값으로 측정값을 표현할 수 있습니다.

그런 다음이 함수가 호출됩니다. 밀도 측정 ~처럼 , 또는 라돈-니코딤의 파생물측정과 관련하여 측정하고 표시

만약 사건이 발생했을 때 사건의 확률은 변경되지 않으면 이벤트 그리고 ~라고 불리는 독립적인.

정리:두 개의 독립적인 사건의 공동 발생 확률 그리고 (공장 그리고 )는 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다.

실제로, 이후 개발 그리고 그럼 독립
. 이 경우, 사건의 곱의 확률 공식은 그리고 형태를 취합니다.

개발
~라고 불리는 쌍으로 독립둘 중 하나라도 독립적인 경우.

개발
~라고 불리는 집단적으로 독립(또는 단순히 독립), 둘 모두가 독립적이고 각 사건과 다른 사건의 가능한 모든 곱이 독립적인 경우.

정리:총계에서 유한한 수의 독립 사건의 곱 확률
는 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다.

예를 사용하여 종속 및 독립 이벤트에 대한 이벤트 확률 공식의 적용 차이점을 설명하겠습니다.

실시예 1. 첫 번째 사수가 목표물을 명중할 확률은 0.85이고 두 번째 사수가 0.8입니다. 총은 한발씩 발사되었다. 적어도 하나의 발사체가 목표물을 명중할 확률은 얼마입니까?

해: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) 샷이 독립적이므로

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B) = 0.97

실시예 2. 항아리에는 빨간색 공 2개와 검은 공 4개가 들어 있습니다. 2개의 공을 연속으로 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간색일 확률은 얼마입니까?

솔루션: 1 케이스. 이벤트 A - 첫 번째 제거에서 빨간 공의 출현, 이벤트 B - 두 번째 제거. 이벤트 C는 두 개의 빨간 공의 출현입니다.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

두 번째 경우. 먼저 뽑은 공은 바구니에 반환됩니다.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

총 확률 공식.

이벤트하자 호환되지 않는 이벤트 중 하나에만 발생할 수 있습니다.
, 완전한 그룹을 형성합니다. 예를 들어, 상점은 세 개의 기업으로부터 동일한 제품을 다른 수량으로 받습니다. 이러한 기업에서 저품질 ​​제품을 생산할 확률은 다릅니다. 제품 중 하나가 무작위로 선택됩니다. 이 제품의 품질이 낮을 확률(이벤트 ). 여기에서 이벤트
- 이것은 해당 기업의 제품에서 제품을 선택하는 것입니다.

이 경우 사건의 확률은 사건의 곱의 합으로 간주될 수 있다.
.

양립할 수 없는 사건의 확률에 대한 덧셈 정리에 의해 다음을 얻습니다.
. 확률 곱셈 정리를 사용하여 다음을 찾습니다.

.

결과 공식은 총 확률 공식.

베이즈 공식

이벤트하자 중 하나와 동시에 발생 호환되지 않는 이벤트
, 누구의 확률
(
)는 경험( 선험적 확률). 실험이 수행되어 이벤트의 발생이 등록됩니다. , 그리고 이 사건에는 특정 조건부 확률이 있는 것으로 알려져 있습니다.
(
). 사건의 확률을 찾는 것이 필요합니다.
이벤트가 알려진 경우 일어난 ( 사후 확률).

문제는, 가지고 있는 새로운 정보(사건 A가 발생함), 사건의 확률을 다시 추정해야 합니다.
.

두 사건의 곱의 확률에 대한 정리에 기초

.

결과 공식은 베이즈 공식.

조합의 기본 개념.

많은 이론 및 실제 문제를 풀 때 주어진 규칙에 따라 유한 요소 집합에서 다양한 조합을 만들고 가능한 모든 조합의 수를 세는 것이 필요합니다. 이러한 작업을 조합의.

문제를 풀 때 조합론은 합과 곱의 규칙을 사용합니다.

문제에 대한 일반적인 설명: 일부 이벤트의 확률은 알려져 있지만 이러한 이벤트와 관련된 다른 이벤트의 확률을 계산해야 합니다. 이러한 문제에서는 확률의 덧셈과 곱셈과 같은 확률에 대한 연산이 필요합니다.

예를 들어 사냥 중에 두 발이 발사되었습니다. 이벤트 ㅏ- 첫 슛부터 오리 치기, 이벤트 비- 두 번째 샷에서 쳤다. 그런 다음 이벤트의 합계 ㅏ그리고 비- 첫 번째 또는 두 번째 샷 또는 두 번의 샷에서 히트.

다른 유형의 작업. 예를 들어 동전을 세 번 던지는 것과 같은 여러 이벤트가 제공됩니다. 3번의 문장이 모두 빠지거나 적어도 한 번은 문장이 빠질 확률을 구해야 합니다. 이것은 곱셈 문제입니다.

호환되지 않는 이벤트의 확률 추가

확률 덧셈은 조합의 확률이나 무작위 사건의 논리적 합을 계산해야 할 때 사용됩니다.

이벤트 합계 ㅏ그리고 비가리키다 ㅏ + 비또는 ㅏ ∪ 비. 두 이벤트의 합은 이벤트 중 하나 이상이 발생하는 경우에만 발생하는 이벤트입니다. 그 의미 ㅏ + 비- 관찰 중 이벤트가 발생한 경우에만 발생하는 이벤트 ㅏ또는 이벤트 비, 또는 동시에 ㅏ그리고 비.

만약 이벤트 ㅏ그리고 비가 서로 일치하지 않고 확률이 주어지면 한 번의 시행으로 인해 이러한 사건 중 하나가 발생할 확률은 확률을 더하여 계산됩니다.

확률 더하기의 정리.서로 양립할 수 없는 두 사건 중 하나가 발생할 확률은 다음 사건의 확률의 합과 같습니다.

예를 들어 사냥 중에 두 발이 발사되었습니다. 이벤트 하지만– 첫 번째 샷부터 오리 치기, 이벤트 에– 두 번째 샷, 이벤트( 하지만+ 에) - 첫 번째 또는 두 번째 샷 또는 두 번의 샷에서 쳤다. 따라서 두 개의 이벤트가 하지만그리고 에호환되지 않는 이벤트인 경우 하지만+ 에- 이러한 사건 중 적어도 하나 또는 두 사건의 발생.

실시예 1상자에는 같은 크기의 공 30개가 들어 있습니다(빨간색 10개, 파란색 5개, 흰색 15개). 유색(흰색이 아닌) 공을 보지 않고 가져갈 확률을 계산하십시오.

해결책. 이벤트라고 가정하자. 하지만– "빨간 공을 가져갑니다" 및 이벤트 에- "파란 공을 가져갑니다." 그런 다음 이벤트는 "색이 있는(흰색이 아닌) 공을 가져갑니다"입니다. 사건의 확률 찾기 하지만:

및 이벤트 에:

개발 하지만그리고 에- 하나의 공을 가져 가면 다른 색상의 공을 가져올 수 없으므로 상호 호환되지 않습니다. 따라서 확률 추가를 사용합니다.

여러 가지 호환되지 않는 사건에 대한 확률을 더하는 정리.사건이 사건의 전체 집합을 구성하는 경우 확률의 합은 1과 같습니다.

반대 사건의 확률의 합도 1과 같습니다.

반대 사건은 완전한 사건 집합을 형성하고 완전한 사건 집합의 확률은 1입니다.

반대 사건의 확률은 일반적으로 소문자로 표시됩니다. 피그리고 큐. 특히,

반대 사건의 확률에 대한 다음 공식은 다음과 같습니다.

실시예 2대시의 대상은 3개의 영역으로 나뉩니다. 특정 사수가 첫 번째 영역에서 목표물을 쏠 확률은 0.15, 두 번째 영역에서는 0.23, 세 번째 영역에서는 0.17입니다. 저격수가 표적을 명중할 확률과 저격수가 표적을 놓칠 확률을 구하십시오.

솔루션: 저격수가 목표물을 명중할 확률을 찾으십시오.

저격수가 목표물을 놓칠 확률을 찾으십시오.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 적용해야 하는 더 어려운 작업 - 페이지에서 "확률의 덧셈과 곱셈을 위한 다양한 작업" .

상호 공동 사건의 확률 추가

한 사건의 발생이 동일한 관측에서 두 번째 사건의 발생을 배제하지 않는 경우 두 개의 무작위 사건을 결합이라고 합니다. 예를 들어 주사위를 던질 때 이벤트 하지만숫자 4의 발생으로 간주되며 이벤트 에- 짝수를 떨어 뜨립니다. 숫자 4는 짝수이므로 두 이벤트가 호환됩니다. 실제로, 상호 공동 이벤트 중 하나가 발생할 확률을 계산하는 작업이 있습니다.

공동 사건에 대한 확률의 추가 정리.결합 사건 중 하나가 발생할 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 같으며, 여기서 두 사건의 공통 발생 확률을 뺀 것, 즉 확률의 곱입니다. 공동 사건의 확률에 대한 공식은 다음과 같습니다.

이벤트 때문에 하지만그리고 에호환, 이벤트 하지만+ 에세 가지 가능한 이벤트 중 하나가 발생하는 경우 발생: 또는 AB. 호환되지 않는 이벤트의 추가 정리에 따라 다음과 같이 계산합니다.

이벤트 하지만두 가지 호환되지 않는 이벤트 중 하나가 발생하는 경우 발생: 또는 AB. 그러나 여러 개의 호환되지 않는 이벤트에서 하나의 이벤트가 발생할 확률은 다음 모든 이벤트의 확률의 합과 같습니다.

비슷하게:

식 (6)과 (7)을 식 (5)에 대입하면 결합 이벤트에 대한 확률 공식을 얻습니다.

공식 (8)을 사용할 때 다음 이벤트를 고려해야 합니다. 하지만그리고 에될 수 있습니다:

• 상호 독립;
• 상호 의존적.

서로 독립적인 사건에 대한 확률 공식:

상호 의존적 사건에 대한 확률 공식:

만약 이벤트 하지만그리고 에일치하지 않는 경우 우연의 일치는 불가능한 경우이므로, 피(AB) = 0. 호환되지 않는 이벤트에 대한 네 번째 확률 공식은 다음과 같습니다.

실시예 3자동차 경주에서 1차로 운전할 때, 2차로 운전할 때 이길 확률. 찾다:

• 두 자동차가 모두 이길 확률;
• 적어도 하나의 자동차가 이길 확률;

1) 첫 번째 자동차가 이길 확률은 두 번째 자동차의 결과에 의존하지 않으므로 이벤트 하지만(첫 번째 자동차가 이깁니다) 그리고 에(두 번째 자동차 승리) - 독립 이벤트. 두 자동차가 모두 이길 확률을 찾으십시오.

2) 두 자동차 중 하나가 이길 확률을 구하십시오.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 적용해야 하는 더 어려운 작업 - 페이지에서 "확률의 덧셈과 곱셈을 위한 다양한 작업" .

확률의 덧셈 문제를 스스로 풀고 그 해를 살펴보세요.

실시예 4두 개의 동전이 던져집니다. 이벤트 ㅏ- 첫 번째 동전의 문장 손실. 이벤트 비- 두 번째 동전의 문장 손실. 사건의 확률 찾기 씨 = ㅏ + 비 .

확률 곱셈

확률의 곱셈은 사건의 논리적 곱의 확률을 계산할 때 사용됩니다.

이 경우 임의의 이벤트는 독립적이어야 합니다. 한 사건의 발생이 두 번째 사건의 발생 확률에 영향을 미치지 않으면 두 사건은 상호 독립이라고 합니다.

독립 사건에 대한 확률 곱셈 정리.두 개의 독립적인 사건이 동시에 발생할 확률 하지만그리고 에는 이러한 사건의 확률을 곱한 값과 같으며 다음 공식으로 계산됩니다.

실시예 5동전을 세 번 연속으로 던집니다. 문장이 세 번 모두 떨어질 확률을 구하십시오.

해결책. 문장이 동전을 처음 던질 때, 두 번째, 세 번째 던질 때 떨어질 확률. 문장이 세 번 모두 떨어질 확률을 구하십시오.

확률을 곱하는 문제를 직접 풀고 솔루션을 살펴보십시오.

실시예 6 9개의 새 테니스 공이 들어 있는 상자가 있습니다. 게임을 위해 세 개의 공을 가져오고 게임 후에 다시 넣습니다. 볼을 선택할 때 플레이한 볼과 플레이하지 않은 볼을 구분하지 않습니다. 이후 확률은 얼마인가 세 게임상자에 플레이하지 않은 공이 없을까요?

실시예 7잘라낸 알파벳 카드에는 32개의 러시아 알파벳이 새겨져 있습니다. 다섯 장의 카드가 무작위로 차례로 뽑혀 나온 순서대로 테이블에 놓입니다. 문자가 단어 "끝"을 형성할 확률을 찾으십시오.

실시예 8전체 카드 데크(52장)에서 한 번에 4장의 카드를 꺼냅니다. 이 네 장의 카드가 모두 같은 무늬일 확률을 구하십시오.

실시예 9예제 8과 같은 문제이지만 각 카드는 뽑힌 후 덱으로 되돌려집니다.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 적용하고 여러 이벤트의 곱을 계산해야 하는 보다 복잡한 작업 - "확률의 덧셈 및 곱셈을 위한 다양한 작업" 페이지 .

상호 독립적인 이벤트 중 하나 이상이 발생할 확률은 1에서 반대 이벤트의 확률을 곱한 값, 즉 공식으로 계산할 수 있습니다.