Sąlyginė tikimybė. Sąlyginė tikimybė ir paprasčiausios pagrindinės formulės. Įvykių, kurių viena įvyksta esant kito sąlygai, tikimybių daugybos teorema

4. Sąlyginė tikimybė. Tikimybių daugybos teorema.

Daugelyje problemų būtina rasti įvykių sujungimo tikimybę BET ir AT jei žinomos įvykių tikimybės BET ir AT.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Tegul bus išmestos dvi monetos. Raskite dviejų herbų atsiradimo tikimybę. Turime 4 vienodai tikėtinus porų nesuderinamus rezultatus, kurie sudaro visą grupę:

Dabar praneškite mums, kad herbas nukrito ant pirmosios monetos. Kaip po to pasikeis tikimybė, kad ant abiejų monetų atsiras herbas? Kadangi herbas nukrito ant pirmosios monetos, dabar visą grupę sudaro du vienodai tikėtini nesuderinami rezultatai:

naujo įvykio tikimybė BET, darant prielaidą, kad įvyko įvykis B, pažymėsime P B (A).

Šiuo būdu, P(A) = 1/4; P B (A) \u003d 1/2

Daugybos teorema. Įvykių A ir B sujungimo tikimybė lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvyko pirmasis įvykis, t.y.

Įrodymas.Įrodykime santykio (4) pagrįstumą, remdamiesi klasikiniu tikimybės apibrėžimu. Tegul galimi rezultatai E 1, E 2, ..., E Nšios patirties sudaro visą grupę vienodai tikėtinų poromis nesuderinamų įvykių, iš kurių įvykis A palankumą M rezultatus ir leiskite iš jų M rezultatus L rezultatai palankūs renginiui B. Akivaizdu, kad įvykių derinys A ir B palankumą L iš N galimi testo rezultatai. Tai suteikia; ;
Šiuo būdu,
Keičiamės vietomis A ir B, panašiai gauname
Daugybos teoremą galima lengvai apibendrinti bet kuriam baigtiniam įvykių skaičiui. Taigi, pavyzdžiui, trijų įvykių atveju A 1, A2, A 3 mes turime *
Apskritai

Iš (6) santykio išplaukia, kad iš dviejų lygybių (8) viena yra kitos pasekmė.

Pavyzdžiui, įvykis A- herbo atsiradimas per vieną monetos metimą ir įvykis B- deimantinio kostiumo kortos atsiradimas, kai korta išimama iš kaladės. Akivaizdu, kad įvykiai A ir B nepriklausomas.

Jeigu įvykiai nepriklausomi Aį B(4) formulė bus paprastesnė:

* Renginys A 1 A 2 A 3 gali būti pavaizduotas kaip dviejų įvykių derinys: įvykiai C=A 1 A 2 ir įvykius A 3.

Apsvarstykite įvykius A ir B susijusi su ta pačia patirtimi. Tegul iš kai kurių šaltinių tampa žinoma, kad įvykis Bįvyko, tačiau nežinoma, kurie iš elementarių padarinių sudarė įvykį B, įvyko. Ką šiuo atveju galima pasakyti apie įvykio tikimybę A?

Įvykio tikimybė A, apskaičiuotas darant prielaidą, kad įvykis B atsitiko, įprasta sąlyginę tikimybę vadinti ir žymėti P(A|B).

sąlyginė tikimybė P(A|B) pokyčius A atsižvelgiant į įvykį B klasikinės schemos rėmuose natūralu tikimybę apibrėžti kaip santykį NAB rezultatai, palankūs bendram renginių įgyvendinimui A ir B, į numerį NB renginiui palankių rezultatų B, tai yra

Jei šios išraiškos skaitiklį ir vardiklį padalinsime iš bendro skaičiaus N gauname elementarius rezultatus

Apibrėžimas. Sąlyginė įvykio tikimybė A atsižvelgiant į įvykį B vadinamas įvykių susikirtimo tikimybės santykiu A ir Bį įvykio tikimybę B:

Kartu daroma prielaida, kad P(B) ≠ 0.

Teorema. Sąlyginė tikimybė P(A|B) turi visas besąlyginės tikimybės savybes P(A).

Šios teoremos reikšmė yra ta, kad sąlyginė tikimybė yra besąlyginė tikimybė, pateikta naujoje erdvėje Ω 1 elementarius rezultatus, sutampančius su įvykiu B.

Pavyzdys. Iš urnos, kurioje a=7 baltas smėlis b = 3 juodi rutuliai, du rutuliai ištraukiami atsitiktine tvarka be pakeitimo. Tegul įvykis A 1 yra tai, kad pirmasis ištrauktas rutulys yra baltas, ir A2- antrasis rutulys yra baltas. Norėjosi rasti P(A 2 |A 1).

1 būdas.. Pagal sąlyginės tikimybės apibrėžimą

2 būdas.. Pereikime prie naujos elementarių rezultatų erdvės Ω 1. Nuo renginio A 1 atsitiko, tai reiškia, kad naujoje elementariųjų baigčių erdvėje bendras vienodai galimų baigčių skaičius NΩ 1 =a+b-1=9, ir įvykis A2 tam pritaria N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 rezultatus. Vadinasi,

Teorema [tikimybių daugyba]. Tegul įvykis A=A 1 A 2 …A n ir P(A)>0. Tada lygybė yra tiesa:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

komentuoti. Iš sankryžos komutatyvumo savybės galima rašyti

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Pavyzdys. Raidės, sudarančios žodį „LAKTINGALA“, užrašytos ant 7 kortelių. Kortos sumaišomos ir iš jų atsitiktinai išimamos trys kortos ir išdėstomos iš kairės į dešinę. Raskite tikimybę, kad bus gautas žodis „VOL“ (įvykis A).

Tegul įvykis A 1- pirmoje kortelėje parašyta raidė "B", A2- antroje kortelėje parašyta raidė "O", A2- ant trečios kortelės - raidė "L". Tada renginys A- įvykių sankirta A 1, A2, A 3. Vadinasi,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1) = 1/7; jei įvykis A 1 atsitiko, tada ant likusių 6 kortelių „O“ atsiranda du kartus, o tai reiškia P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Taip pat, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Vadinasi,

Apibrėžimas. Vystymai A ir B, turintys ne nulinę tikimybę, vadinami nepriklausoma, jei sąlyginė tikimybė A su salyga B sutampa su besąlygine tikimybe A arba jei sąlyginė tikimybė B su salyga A sutampa su besąlygine tikimybe B, tai yra

P(A|B) = P(A) arba P(B|A) = P(B),

kitaip įvykiai A ir B vadinamas priklausomu.

Teorema. Vystymai A ir B, kurių tikimybė yra ne nulinė, yra nepriklausomi tada ir tik tada

P(AB) = P(A) P(B).

Taigi galime pateikti lygiavertį apibrėžimą:

Apibrėžimas. Vystymai A ir B vadinami nepriklausomais, jei P(AB) = P(A) P(B).

Pavyzdys. Iš kortų kaladės, kurioje yra n = 36 kortelės, atsitiktine tvarka ištraukiama viena kortelė. Pažymėti Aįvykis, atitinkantis faktą, kad ištrauktas žemėlapis bus viršūnė, ir B– įvykis, atitinkantis „damos“ išvaizdą. Nustatykite, ar įvykiai yra priklausomi A ir B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB) = 1/36, . Todėl įvykiai A ir B nepriklausomas. Taip pat, .

Leisti BET ir AT yra du šiame teste nagrinėjami įvykiai. Šiuo atveju vieno iš įvykių įvykimas gali turėti įtakos kito įvykio galimybei. Pavyzdžiui, įvykio įvykis BET gali turėti įtakos įvykiui AT arba atvirkščiai. Siekiant atsižvelgti į tokią vienų įvykių priklausomybę nuo kitų, įvedama sąlyginės tikimybės sąvoka.

Apibrėžimas. Jei įvykio tikimybė AT yra su sąlyga, kad įvykis BET atsitiko, tada gaunama įvykio tikimybė AT paskambino sąlyginė tikimybė pokyčius AT. Tokiai sąlyginei tikimybei pažymėti naudojami šie simboliai: R BET ( AT) arba R(AT / BET).

2 pastaba. Priešingai nei sąlyginė tikimybė, atsižvelgiama ir į „besąlyginę“ tikimybę, kai yra kokios nors sąlygos įvykti kokiam nors įvykiui. AT dingęs.

Pavyzdys. Urnoje yra 5 rutuliukai, iš kurių 3 raudoni ir 2 mėlyni. Savo ruožtu iš jo ištraukiamas vienas rutulys su grąža ir be grąžos. Raskite sąlyginę tikimybę antrą kartą nupiešti raudoną rutulį, jei pirmą kartą paimtas: a) raudonas rutulys; b) mėlynas rutulys.

Tegul įvykis BET pirmą kartą piešia raudoną rutulį ir įvykis AT– raudono kamuoliuko ištraukimas antrą kartą. Tai akivaizdu R(BET) = 3/5; tada tuo atveju, kai pirmą kartą išimtas kamuolys grąžinamas į urną, R(AT)=3/5. Tuo atveju, kai ištrauktas rutulys negrąžinamas, tikimybė ištraukti raudoną rutulį R(AT) priklauso nuo to, kuris rutulys buvo ištrauktas pirmą kartą – raudonas (įvykis BET) arba mėlyna (įvykis). Tada pirmuoju atveju R BET ( AT) = 2/4, o antrajame ( AT) = 3 / 4.

Įvykių, kurių viena įvyksta esant kito sąlygai, tikimybių daugybos teorema

Dviejų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito įvykio tikimybe, nustatyta darant prielaidą, kad įvyko pirmasis įvykis:

R(A∙ B) = R(BET) ∙ R BET ( AT) . (1.7)

Įrodymas. Tikrai, tegul n- bendras vienodai tikėtinų ir nesuderinamų (elementarių) testo rezultatų skaičius. Paleisk n 1 – įvykiui palankių rezultatų skaičius BET, kuris atsiranda pradžioje, ir m– įvykių, kurių metu įvyko įvykis, skaičius AT darant prielaidą, kad įvykis BET Atėjo. Šiuo būdu, m yra įvykiui palankių rezultatų skaičius AT. Tada mes gauname:

Tie. kelių įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš šių įvykių tikimybės sandaugai su sąlyginėmis kitų tikimybėmis, o kiekvieno vėlesnio įvykio sąlyginė tikimybė apskaičiuojama darant prielaidą, kad įvyko visi ankstesni įvykiai.

Pavyzdys. 10 sportininkų komandoje yra 4 sporto meistrai. Burtų būdu iš komandos atrenkami 3 sportininkai. Kokia tikimybė, kad visi atrinkti sportininkai yra sporto meistrai?

Sprendimas. Problemą sumažinkime iki „urnos“ modelio, t.y. Tarkime, kad urnoje, kurioje yra 10 rutulių, yra 4 raudoni rutuliai ir 6 balti. Iš šios urnos atsitiktine tvarka ištraukiami 3 rutuliai (pasirinkta S= 3). Tegul įvykis BET susideda iš 3 rutulių ištraukimo. Uždavinį galima išspręsti dviem būdais: klasikine schema ir (1.9) formule.

Pirmasis metodas, pagrįstas kombinatorikos formule:

Antrasis metodas (pagal (1.9) formulę). Iš urnos paeiliui ištraukiami 3 rutuliai be pakeitimo. Leisti BET 1 - pirmasis ištrauktas rutulys yra raudonas, BET 2 - antras ištrauktas rutulys yra raudonas, BET 3 – trečias ištrauktas rutulys yra raudonas. Tegul ir renginys BET reiškia, kad visi 3 ištraukti kamuoliukai yra raudoni. Tada: BET = BET 1 ∙ (BET 2 / BET 1) ∙ BET 3 / (BET 1 ∙ BET 2), t.y.

Pavyzdys. Leiskite iš kortelių rinkinio a, a, r, b, o, t kortelės traukiamos po vieną. Kokia tikimybė gauti žodį " Darbas“, kai nuosekliai sulenkiate juos į vieną eilutę iš kairės į dešinę?

Leisti AT- įvykis, kurio metu buvo gautas deklaruojamas žodis. Tada pagal formulę (1.9) gauname:

R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Tikimybių daugybos teorema įgyja paprasčiausią formą, kai sandaugą sudaro vienas nuo kito nepriklausomi įvykiai.

Apibrėžimas. Renginys AT paskambino nepriklausomas iš renginio BET jei jo tikimybė nekinta nepriklausomai nuo to, ar įvykis įvyko BET arba ne. Du įvykiai vadinami nepriklausomais (priklausomais), jei vieno iš jų įvykimas nekeičia (nekeičia) kito įvykio tikimybės. Taigi, už ne priklausomi įvykiai p(B/A) = R(AT) arba = R(AT) ir priklausomiems įvykiams R(AT/A)

Renginys. Elementarių įvykių erdvė. Tam tikras įvykis, neįmanomas įvykis. Bendri, nebendri renginiai. Lygiaverčiai įvykiai. Visa renginių grupė. Operacijos renginiuose.

Renginys yra reiškinys, kurį galima sakyti vyksta arba nevyksta, priklausomai nuo paties įvykio pobūdžio.

Pagal elementarūs įvykiai susietas su konkrečiu testu suprasti visus nesuskaidomus to testo rezultatus. Kiekvienas įvykis, kuris gali įvykti dėl šio testo, gali būti laikomas tam tikra elementariųjų įvykių visuma.

Elementarių įvykių erdvė vadinama savavališka aibe (baigtinė arba begalinė). Jos elementai yra taškai (elementarūs įvykiai). Elementariųjų įvykių erdvės poaibiai vadinami įvykiais.

tam tikras įvykis vadinamas įvykis, kuris dėl šio testo tikrai įvyks; (žymimas E).

Neįmanomas įvykisįvykiu vadinamas toks įvykis, kuris dėl tam tikro testo negali atsitikti; (žymimas U). Pavyzdžiui, vieno iš šešių taškų pasirodymas per vieną metimą kauliukai- patikimas įvykis, o 8 balų pasirodymas neįmanomas.

Du įvykiai vadinami Bendras(suderinamas) tam tikroje patirtyje, jei vieno iš jų išvaizda neatmeta kito pasirodymo.

Du įvykiai vadinami nesuderinamas(nesuderinami) konkrečiame tyrime, jei jie negali atsirasti kartu tame pačiame tyrime. Sakoma, kad keli įvykiai yra nesuderinami, jei jie yra nesuderinami poromis.

Formos pradžia

Formos pabaiga

Tema numeris 2. Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Klasikinis, statistinis, geometrinis įvykio tikimybės apibrėžimas. Tikimybių savybės. Tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremos. nepriklausomi renginiai. Sąlyginė tikimybė. Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš įvykių. Bendrosios tikimybės formulė. Bayes formulė

Vadinamas skaitinis įvykio objektyvios galimybės laipsnio matas įvykio tikimybė. Šis apibrėžimas, kokybiškai atspindintis įvykio tikimybės sampratą, nėra matematinis. Kad taip būtų, būtina jį kokybiškai apibrėžti.

Pagal klasikinis apibrėžimas įvykio A tikimybė yra lygi jam palankių atvejų skaičiaus ir bendro atvejų skaičiaus santykiui, tai yra:

Kur P(A) yra įvykio A tikimybė.

A įvykiui palankių atvejų skaičius

Bendras bylų skaičius.

Statistinis tikimybės apibrėžimas:

Statistinė įvykio A tikimybė yra santykinis šio įvykio pasireiškimo dažnis atliekant bandymus, tai yra:

Kur yra įvykio A statistinė tikimybė.

Santykinis įvykio dažnis (dažnis) A.

Bandymų, kuriuose pasirodė įvykiai A, skaičius

Bendras bandymų skaičius.

Skirtingai nuo „matematinės“ tikimybės, laikomos klasikiniu apibrėžimu, statistinė tikimybė yra eksperimentinio, eksperimentinio charakteristika.

Jei yra dalis atvejų, kurie palankiai vertina įvykį A, kuris nustatomas tiesiogiai, be jokių bandymų, tai yra, tų faktiškai atliktų bandymų, kuriuose įvyko A, dalis.

Geometrinis tikimybės apibrėžimas:

Geometrinė įvykio A tikimybė yra ploto, palankaus įvykio A įvykimui, ir visų sričių matavimo santykis, ty:

Vienmačiu atveju:

Būtina įvertinti tikimybę pataikyti į tašką CD/

Pasirodo, ši tikimybė nepriklauso nuo CD vietos segmente AB, o priklauso tik nuo jo ilgio.

Tikimybė pataikyti į tašką nepriklauso nuo formų ar nuo B vietos A taške, o priklauso tik nuo šios atkarpos ploto.

Sąlyginė tikimybė

Tikimybė vadinama sąlyginis , jei jis apskaičiuojamas tam tikromis sąlygomis ir žymimas:

Tai yra įvykio A tikimybė. Ji apskaičiuojama su sąlyga, kad įvykis B jau įvyko.

Pavyzdys. Atliekame testą, iš kaladės išimame dvi kortas: Pirmoji tikimybė yra besąlyginė.

Apskaičiuojame tikimybę iš kaladės ištraukti tūzo:

Apskaičiuojame 2-tūzo atsiradimą iš kaladės:

A*B – bendras įvykių atsiradimas

– tikimybių daugybos teorema

Pasekmė:

Daugybos teorema, skirta bendram įvykių pasireiškimui, yra tokia:

Tai yra, kiekviena paskesnė tikimybė apskaičiuojama atsižvelgiant į tai, kad visos ankstesnės sąlygos jau įvyko.

Renginio nepriklausomybė:

Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno įvykis neprieštarauja kito įvykimui.

Pavyzdžiui, jei tūzai traukiami pakartotinai iš kaladės, jie yra nepriklausomi vienas nuo kito. Vėlgi, tai yra, korta buvo peržiūrėta ir grąžinta atgal į kaladę.

Bendri ir nebendri renginiai:

Bendras 2 įvykiai vadinami, jei vieno iš jų įvykis neprieštarauja kito įvykimui.

Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema:

Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykio.

Trims bendriems renginiams:

Įvykiai vadinami nenuosekliais, jei dėl vieno atsitiktinio eksperimento bandymo negali atsirasti dviejų iš jų vienu metu.

Teorema: Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.

Įvykių sumos tikimybė:

Tikimybių sudėjimo teorema:

Baigtinio skaičiaus nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

1 išvada:

Įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių suma lygi vienetui:

2 pasekmė:

komentaras: Reikia pabrėžti, kad nagrinėjama sudėjimo teorema taikoma tik nesuderinamiems įvykiams.

Priešingų įvykių tikimybė:

Priešingas vadinami du unikalūs galimi įvykiai, kurie sudaro visą grupę. Vienas iš dviejų priešingų įvykių žymimas BET, kitas - per .

Pavyzdys: pataikyti ir nepataikyti šaudant į taikinį yra priešingi įvykiai. Jei A yra pataikymas, tada praleistas.

Teorema: Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui:

1 pastaba: Jei vieno iš dviejų priešingų įvykių tikimybė žymima p, tai kito įvykio tikimybė žymima q Taigi, remiantis ankstesne teorema:

Užrašas 2: Sprendžiant uždavinius, siekiant rasti įvykio A tikimybę, dažnai naudinga pirmiausia apskaičiuoti įvykio tikimybę, o tada rasti norimą tikimybę naudojant formulę:

Bent vieno įvykio tikimybė:

Darykime prielaidą, kad dėl eksperimento gali atsirasti tam tikra dalis arba jo nebūti.

Teorema: Bent vieno įvykio iš nepriklausomų įvykių aibės atsiradimo tikimybė yra lygi skirtumui tarp vienybės ir jų tikimybės, kad įvykiai neįvyks.

Bendrosios tikimybės formulė leidžia rasti įvykio tikimybę A, kuris gali atsirasti tik su kiekvienu iš n vienas kitą paneigiantys įvykiai, kurie sudaro pilną sistemą, jei žinomos jų tikimybės, ir sąlyginės tikimybės pokyčius A kiekvieno iš sistemos įvykių atžvilgiu yra lygūs .

Įvykiai dar vadinami hipotezėmis, jie vienas kitą paneigia. Todėl literatūroje taip pat galite rasti jų žymėjimą ne raide B, bet su laišku H(hipotezė).

Norint išspręsti problemas su tokiomis sąlygomis, būtina atsižvelgti į 3, 4, 5 arba bendru atveju nįvykio galimybė A– su kiekvienu renginiu.

Naudodami tikimybių sudėties ir daugybos teoremas, gauname kiekvieno iš sistemos įvykių tikimybės sandaugų sumą sąlyginė tikimybė pokyčius A kiekvienam sistemos įvykiui. Tai yra įvykio tikimybė A galima apskaičiuoti pagal formulę

arba apskritai

,

kuris vadinamas bendrosios tikimybės formulė .

Bendrosios tikimybės formulė: problemų sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys Yra trys identiškos išvaizdos urnos: pirmoje yra 2 balti rutuliai ir 3 juodi, antroje - 4 balti ir viena juoda, trečioje - trys balti rutuliai. Kažkas atsitiktinai prieina prie vienos iš urnų ir išima iš jos vieną rutulį. Pasinaudodamas bendrosios tikimybės formulė, suraskite tikimybę, kad rutulys yra baltas.

Sprendimas. Renginys A- balto rutulio išvaizda. Mes pateikiame tris hipotezes:

Pasirinkta pirmoji urna;

Pasirinkta antroji urna;

Pasirinkta trečioji urna.

Sąlyginės įvykio tikimybės A kiekvienai iš hipotezių:

, , .

Taikome bendrosios tikimybės formulę, todėl reikiamą tikimybę:

.

2 pavyzdys Pirmoje gamykloje iš 100 lempučių vidutiniškai pagaminama 90 standartinių, antroje - 95, trečioje - 85, o šių gamyklų produkcija sudaro 50%, 30% ir 20%. atitinkamai visų elektros lempučių, tiekiamų į parduotuves tam tikroje vietovėje. Raskite tikimybę įsigyti standartinę lemputę.

Sprendimas. Tikimybę įsigyti standartinę lemputę pažymėkime kaip A, ir įvykiai, kad įsigyta lemputė buvo pagaminta atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje gamyklose per . Pagal sąlygą žinomos šių įvykių tikimybės: , , ir sąlyginės įvykio tikimybės A apie kiekvieną iš jų: , , . Tai yra tikimybė įsigyti standartinę lemputę, jei ji pagaminta atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje gamyklose.

Renginys Aįvyks, jei įvyks įvykis arba K- lemputė pagaminta pirmoje gamykloje ir yra standartinė, arba renginys L- lemputė pagaminta antroje gamykloje ir yra standartinė, arba renginys M- lemputė pagaminta trečioje gamykloje ir yra standartinė. Kitos įvykio atsiradimo galimybės A ne. Todėl renginys A yra įvykių suma K, L ir M kurios yra nesuderinamos. Taikydami tikimybių sudėjimo teoremą, reprezentuojame įvykio tikimybę A kaip

o tikimybių daugybos teorema gauname

tai yra, ypatingas bendrosios tikimybės formulės atvejis.

Tikimybes pakeitę kairėje formulės pusėje, gauname įvykio tikimybę A :

3 pavyzdys Lėktuvas leidžiasi oro uoste. Jei oras leidžia, pilotas nuleidžia lėktuvą, be prietaisų, pasitelkdamas ir vizualinį stebėjimą. Šiuo atveju sėkmingo nusileidimo tikimybė yra. Jei aerodrome apniukę debesys, tada pilotas nusileidžia lėktuvą, orientuodamasis tik pagal instrumentus. Šiuo atveju sėkmingo nusileidimo tikimybė yra ; . Įrenginiai, užtikrinantys aklą tūpimą, yra patikimi (tikimybė, kad veiks be gedimų) P. Esant mažam debesuotumui ir sugedus aklo nusileidimo instrumentams, sėkmingo nusileidimo tikimybė yra ; . Statistika rodo, kad m k% nusileidimų, aerodromą dengia žemi debesys. Rasti visa įvykio tikimybė A- saugus orlaivio nusileidimas.

Sprendimas. Hipotezės:

Žemo debesuotumo nėra;

Yra žemas debesuotumas.

Šių hipotezių (įvykių) tikimybės:

;

Sąlyginė tikimybė.

Sąlyginė tikimybė vėlgi randama suminės tikimybės formule su hipotezėmis

Aklųjų nusileidimo įrenginių veikimas;

Sugedo aklieji nusileidimo instrumentai.

Šių hipotezių tikimybė yra tokia:

Pagal bendrosios tikimybės formulę

4 pavyzdys Prietaisas gali veikti dviem režimais: normaliu ir nenormaliu. Normalus režimas stebimas 80% visų prietaiso veikimo atvejų, o nenormalus - 20% atvejų. Įrenginio gedimo tikimybė per tam tikrą laiką t lygus 0,1; esant nenormaliam 0,7. Rasti visa tikimybeįrenginio gedimas laiku t.

Sprendimas. Įrenginio gedimo tikimybę vėl pažymime kaip A. Taigi, kalbant apie įrenginio veikimą kiekviename režime (įvykiuose), tikimybės yra žinomos pagal sąlygą: normaliam režimui tai yra 80% (), nenormaliam režimui - 20% (). Įvykio tikimybė A(ty įrenginio gedimas), priklausomai nuo pirmojo įvykio (įprastas režimas), yra 0,1 (); priklausomai nuo antrojo įvykio (nenormalus režimas) - 0,7 ( ). Šias reikšmes pakeičiame bendrosios tikimybės formule (tai yra kiekvieno sistemos įvykio tikimybės ir sąlyginės įvykio tikimybės sandaugų suma A apie kiekvieną sistemos įvykį) ir turime reikiamą rezultatą.