Du nepriklausomi renginiai. Priklausomi ir nepriklausomi renginiai. Sąlyginė tikimybė. Paskaitoje pateikiamos pagrindinės tikimybių teorijos ir statistikos sąvokos, naudojamos ekonometrijoje
Matematikos USE užduotyse yra ir sudėtingesnių tikimybių uždavinių (negu nagrinėjome 1 dalyje), kur reikia taikyti sudėjimo, tikimybių daugybos taisyklę ir atskirti bendrus ir nesuderinamus įvykius.
Taigi, teorija.
Bendri ir nebendri renginiai
Teigiama, kad įvykiai yra nesuderinami, jei įvykęs vienas iš jų neleidžia įvykti kitiems. Tai yra, gali įvykti tik vienas konkretus įvykis arba kitas.
Pavyzdžiui, mesdami kauliuką galite atskirti tokius įvykius kaip lyginis taškų skaičius ir nelyginis taškų skaičius. Šie įvykiai yra nesuderinami.
Įvykiai vadinami jungtiniais, jei vieno iš jų įvykis neatmeta kito.
Pavyzdžiui, mesdami kauliuką, galite atskirti tokius įvykius kaip nelyginio taškų skaičiaus atsiradimas ir taškų skaičiaus, kuris yra trijų kartotinis, praradimas. Kai išmeta tris, abu įvykiai realizuojami.
Įvykių suma
Kelių įvykių suma (arba sąjunga) yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.
Kuriame dviejų nesusijusių įvykių suma yra šių įvykių tikimybių suma:
Pavyzdžiui, tikimybė gauti 5 arba 6 kauliukai viename metime, bus todėl, kad abu įvykiai (5, 6 ritinys) yra nesuderinami ir vieno ar kito įvykio tikimybė apskaičiuojama taip:
Tikimybė dviejų bendrų renginių suma yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, neatsižvelgiant į jų bendrą atsiradimą:
Pavyzdžiui, prekybos centre du vienodi automatai parduoda kavą. Tikimybė, kad iki dienos pabaigos aparate baigsis kava, yra 0,3. Tikimybė, kad abiejuose aparatuose pritrūks kavos, yra 0,12. Raskime tikimybę, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų (tai yra arba viename, arba kitame, arba abiejuose iš karto).
Pirmojo įvykio „kava baigsis pirmame aparate“ tikimybė, taip pat antrojo įvykio „kava baigsis antrame aparate“ tikimybė pagal sąlygą lygi 0,3. Renginiai vyksta bendradarbiaujant.
Pirmųjų dviejų įvykių bendro realizavimo tikimybė yra lygi 0,12 pagal sąlygą.
Tai reiškia, kad tikimybė, kad iki dienos pabaigos kava baigsis bent viename iš aparatų, yra
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai
Du atsitiktiniai įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykis nekeičia kito įvykimo tikimybės. Kitu atveju įvykiai A ir B vadinami priklausomais.
Pavyzdžiui, metant du kauliukus vienu metu, lašas ant vieno iš jų, tarkime 1, o ant antro 5, - nepriklausomi renginiai.
Tikimybių sandauga
Kelių įvykių sandauga (arba sankirta) yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių kartu.
Jei yra du nepriklausomi renginiai A ir B su tikimybėmis P(A) ir P(B) atitinkamai, tada įvykių A ir B realizavimosi tikimybė vienu metu yra lygi tikimybių sandaugai:
Pavyzdžiui, mus domina šešetuko praradimas ant kauliuko du kartus iš eilės. Abu įvykiai yra nepriklausomi ir tikimybė, kad kiekvienas iš jų įvyks atskirai, yra . Tikimybė, kad įvyks abu šie įvykiai, bus apskaičiuojama naudojant aukščiau pateiktą formulę: .
Žr. užduočių, skirtų temai parengti, pasirinkimą.
Įvykiai A, B, C... vadinami priklausomas vienas nuo kito, jei bent vieno iš jų atsiradimo tikimybė kinta priklausomai nuo kitų įvykių atsiradimo ar neįvykimo. Renginiai vadinami nepriklausomas jeigu kiekvienos iš jų atsiradimo tikimybės nepriklauso nuo kitų atsiradimo ar neįvykimo.
Sąlyginė tikimybė(RA (B) – sąlyginė įvykio B tikimybė, palyginti su A) yra įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvykis A jau įvyko. sąlyginės tikimybės pavyzdys Sąlyginė įvykio B tikimybė, jei įvykis A jau įvyko, pagal apibrėžimą yra lygi RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).
Priklausomų įvykių tikimybių padauginimas: tikimybė, kad du įvykiai įvyks kartu, yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito įvykio tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)
Pavyzdys. Kolektorius turi 3 kūginius ir 7 elipsinius volelius. Kolektorius paėmė vieną ritinėlį, o paskui antrą. Raskite tikimybę, kad pirmasis iš paimtų ritinėlių yra kūgio formos, o antrasis – elipsės formos.
Sprendimas: Tikimybė, kad pirmasis volas bus kūginis (įvykis A), P (A) = 3/10. Tikimybė, kad antrasis volas bus elipsinis (įvykis B), apskaičiuojama darant prielaidą, kad pirmasis volas yra kūginis, t.y. sąlyginis tikimybė RA (B) = 7/9.
Pagal daugybos formulę norima tikimybė P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Atkreipkite dėmesį, kad laikydamiesi žymėjimo, mes gali lengvai rasti: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
Renginių nepriklausomumo sąlyga. Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimas. Pavyzdžiai.
Įvykis B nepriklauso nuo įvykio A, jei
P(B/A) = P(B) t.y. Įvykio B tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvykis A įvyko, ar ne.
Šiuo atveju įvykis A nepriklauso nuo įvykio B, tai yra, įvykių nepriklausomumo savybė yra abipusė.
Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi jų tikimybių sandaugai:
P(AB) = P(A)P(B) .
1 pavyzdys: Laiku t veikiantis įrenginys susideda iš trijų mazgų, kurių kiekvienas, nepriklausomai nuo kitų, gali sugesti (neveikti) per laiką t. Bent vieno mazgo gedimas sukelia viso įrenginio gedimą. Per laiką t pirmojo mazgo patikimumas (tikimybė be gedimų) lygus p 1 = 0,8; antras p 2 = 0,9 trečias p 3 = 0,7. Raskite viso įrenginio patikimumą.
Sprendimas.Žymi:
A - prietaisų veikimas be problemų,
A 1 – pirmojo mazgo veikimas be gedimų,
A 2 - antrojo mazgo veikimas be problemų,
A 3 - trečiojo mazgo veikimas be problemų,
iš kur nepriklausomų įvykių daugybos teorema
P(A) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
2 pavyzdys. Raskite tikimybę, kad skaitmuo atsiras kartu išmetus dvi monetas.
Sprendimas. Pirmosios monetos skaitmens atsiradimo tikimybė (įvykis A) Р(А) = 1/2; antrosios monetos skaitmens atsiradimo tikimybė (įvykis B) yra P(B) = 1/2.
Įvykiai A ir B yra nepriklausomi, todėl randame norimą tikimybę
pagal formulę:
P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4
Įvykių nuoseklumas ir nenuoseklumas. Sudėjus dviejų bendrų įvykių tikimybes. Pavyzdžiai.
Du įvykiai vadinami Bendras jeigu vieno iš jų atsiradimas neturi įtakos arba neatmeta kito atsiradimo. Bendri įvykiai gali būti realizuoti vienu metu, pavyzdžiui, bet kurio skaičiaus pasirodymas ant to paties kauliuko
jokiu būdu neturi įtakos skaičių atsiradimui ant kito kaulo. Įvykiai nenuoseklūs, jei viename reiškinyje ar viename bandyme jie negali būti realizuoti vienu metu, o vieno iš jų atsiradimas pašalina kito atsiradimą (pataikyti į taikinį ir trūkti nesuderinami).
Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių A arba B, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).
Pavyzdys. Pirmajam sportininkui tikimybė pataikyti į taikinį yra 0,85, o antrajam - 0,8. Sportininkai savarankiškai
paleido vieną šūvį. Raskite tikimybę, kad bent vienas sportininkas pataikys į tikslą?
Sprendimas. Įveskime žymėjimą: įvykiai A – „pirmojo sportininko smūgis“, B – „antrojo sportininko smūgis“, C – „bent vieno iš sportininkų smūgis“. Akivaizdu, kad A + B = C, o įvykiai A ir B yra suderinami. Pagal formulę gauname:
P(C) = P(A) + P(B) – P(AB)
P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),
nes A ir B yra nepriklausomi įvykiai. Pakeitę šias reikšmes P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 į P(C) formulę, randame norimą tikimybę
P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97
P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.
3. Priešingų įvykių tikimybių sudėjimo teorema
Priešingasįvardykite du nesuderinamus įvykius, kurie sudaro visą grupę. Jei vienas iš dviejų priešingų įvykių žymimas BET, kitas dažniausiai žymimas .
Priešingas įvykis 
susideda iš įvykio neįvykimo BET.
Teorema. Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui:
P(A)+P(
)=
1.
4 pavyzdys Dėžutėje yra 11 dalių, iš kurių 8 yra standartinės. Raskite tikimybę, kad tarp 3 atsitiktinai išskirtų dalių yra bent viena su defektu.
Sprendimas. Problemą galima išspręsti dviem būdais.
1 būdas. Įvykiai „tarp ištrauktų dalių yra bent viena defektuota dalis“ ir „tarp ištrauktų dalių nėra nė vienos defektinės dalies“ yra priešingi. Pirmąjį įvykį pažymėkime kaip BET, o antrasis per 
:
P(A) =1 - P( 
)
.
Raskime R(
).
Bendras būdų, kuriais iš 11 dalių galima išgauti 3 dalis, skaičius yra lygus derinių skaičiui 
. Standartinių dalių skaičius yra 8 ;
nuo šio dalių skaičiaus 
3 standartinių dalių ištraukimo būdai. Todėl tikimybė, kad tarp išgautų 3 dalių nebus nestandartinių dalių, yra lygi: 
Pagal priešingų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą norima tikimybė lygi: P(A)=1 – P(
)=
2 būdas. Renginys BET- "tarp ištrauktų dalių yra bent vienas defektas" - gali būti įgyvendinta kaip:
ar įvykius AT- „pašalintos 1 sugedusios ir 2 nedefektuotos dalys“,
ar įvykius NUO- "pašalintos 2 sugedusios ir 1 be defektų dalys",
ar įvykius D - „Pašalintos 3 sugedusios dalys“.
Tada A= B+ C+ D. Nuo įvykių B, C ir D nesuderinama, tada nesuderinamų įvykių tikimybėms galime pritaikyti sudėjimo teoremą:
4. Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema
Dviejų įvykių rezultatasBET irAT paskambinti į renginį C=AB, susidedantis iš bendro šių įvykių atsiradimo (derinio).
Kelių įvykių rezultatasįvardykite įvykį, kurį sudaro visi šie įvykiai kartu. Pavyzdžiui, renginys ABC yra įvykių derinys A, B ir NUO.
Vadinami du renginiai nepriklausomas jeigu vienos iš jų tikimybė nepriklauso nuo kitos atsiradimo ar neįvykimo.
Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:
P(AB) = P(A) P(B).
Pasekmė. Kelių įvykių, kurie visumoje yra nepriklausomi, bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai :
P(A 1 BET 2 ... BET n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).
5 pavyzdys Raskite tikimybę, kad herbas atsiras kartu išmetus dvi monetas.
Sprendimas. Pažymime įvykius: BET - herbo atsiradimas ant pirmosios monetos, AT – antrosios monetos herbas, NUO- herbo išvaizda ant dviejų monetų C=AB.
Pirmosios monetos herbo atsiradimo tikimybė :
P(A) =.
Antrosios monetos herbo atsiradimo tikimybė :
P(B) =.
Nuo įvykių BET ir AT nepriklausomas, tada norima tikimybė pagal daugybos teoremą yra lygi:
P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.
6 pavyzdys Yra 3 dėžės, kuriose yra 10 dalių. Pirmame stalčiuje yra 8, antrame stalčiuje 7 ir trečiame stalčiuje 9 standartinės dalys. Iš kiekvienos dėžutės atsitiktine tvarka ištraukiama po vieną daiktą. Raskite tikimybę, kad visos trys išimtos dalys yra standartinės.
Sprendimas. Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš pirmo langelio (įvykis BET):
P(A) = 
Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš antrojo langelio (įvykis AT):
Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš trečiojo langelio (įvykis NUO):
P(C)= 
Nuo įvykių A, B ir NUO nepriklausomas visumoje, tada norima tikimybė (pagal daugybos teoremą) yra lygi:
P(ABC) = P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.
7 pavyzdys Kiekvieno iš dviejų nepriklausomų įvykių tikimybės BET 1 ir BET 2 atitinkamai lygus R 1 ir R 2. Raskite tik vieno iš šių įvykių tikimybę.
Sprendimas. Supažindinkime su įvykių žymėjimu:
AT 1 – pasirodė tik įvykis BET 1 ; AT 2 – pasirodė tik įvykis BET 2 .
Įvykio įvykis AT 1
yra lygiavertis įvykio įvykiui BET 1
2
(pirmas įvykis pasirodė, o antrasis nepasirodė), t.y. AT 1
= A 1
2
.
Įvykio įvykis AT 2
yra lygiavertis įvykio įvykiui 
1
BET 2
(pirmasis įvykis nepasirodė, o antrasis pasirodė), t.y. AT 1
=
1
BET 2
.
Taigi, norint rasti tik vieno iš įvykių tikimybę BET 1 arba BET 2 , pakanka rasti vieno įvykio tikimybę, nesvarbu, kuris įvykis AT 1 ir AT 2 . Vystymai AT 1 ir AT 2 yra nenuoseklūs, todėl taikytina nesuderinamų įvykių pridėjimo teorema:
P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .
Tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremos.
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai
Pavadinimas atrodo bauginantis, bet iš tikrųjų labai paprastas. Šioje pamokoje susipažinsime su įvykių tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis, taip pat analizuosime tipines užduotis, kurios kartu su Klasikinio tikimybės apibrėžimo uždavinys tikrai susitiks arba, greičiausiai, jau susitiko savo kelyje. Norėdami efektyviai išstudijuoti šio straipsnio medžiagą, turite žinoti ir suprasti pagrindinius terminus tikimybių teorija ir mokėti atlikti nesudėtingus aritmetinius veiksmus. Kaip matote, reikia labai nedaug, todėl beveik garantuotas didelis turto pliusas. Bet kita vertus, dar kartą perspėju dėl paviršutiniško požiūrio į praktinius pavyzdžius – subtilybių irgi pakanka. Sėkmės:
Nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema: vieno iš dviejų atsiradimo tikimybė nesuderinamasįvykius arba (Nesvarbu kas), yra lygus šių įvykių tikimybių sumai:
Panašus faktas galioja ir didesniam nesuderinamų įvykių skaičiui, pavyzdžiui, trims nesuderinamiems įvykiams ir:
Svajonių teorema =) Tačiau toks sapnas taip pat turi būti įrodytas, kurį galima rasti, pavyzdžiui, in studijų vadovas V.E. Gmurmanas.
Susipažinkime su naujomis, iki šiol nematytomis sąvokomis:
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai
Pradėkime nuo nepriklausomų įvykių. Renginiai yra nepriklausomas jei atsiradimo tikimybė bet kuris iš jų nepriklauso nuo kitų nagrinėjamos aibės įvykių atsiradimo/nepasirodymo (visais įmanomais deriniais). ... Bet ką čia šlifuoti įprastas frazes:
Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema: nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė ir yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:
Grįžkime prie paprasčiausio 1-osios pamokos pavyzdžio, kuriame mestos dvi monetos ir šie įvykiai:
- galvos kris ant 1-osios monetos;
- Galvos ant 2-osios monetos.
Raskime įvykio tikimybę (galvos atsiras ant 1-osios monetos ir Ant 2-osios monetos atsiras erelis - prisimink, kaip skaityti įvykių produktas!)
. Tikimybė patekti ant vienos monetos galvos nepriklauso nuo kitos monetos metimo rezultato, todėl įvykiai ir yra nepriklausomi. 
Panašiai: 
yra tikimybė, kad 1-oji moneta nusileis galvas ir ant 2 uodegos; 
yra tikimybė, kad ant 1-osios monetos atsiras galvos ir ant 2 uodegos; 
yra tikimybė, kad 1-oji moneta nukris ant uodegų ir ant 2-ojo erelio.
Atkreipkite dėmesį, kad įvykiai formuojasi pilna grupė o jų tikimybių suma lygi vienetui: .
Daugybos teorema akivaizdžiai išplečiama ir didesniam nepriklausomų įvykių skaičiui, todėl, pavyzdžiui, jei įvykiai yra nepriklausomi, tai jų bendro atsiradimo tikimybė yra: . Praktikuokime su konkrečiais pavyzdžiais:
3 užduotis
Kiekvienoje iš trijų dėžučių yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje - 7, trečioje - 9. Iš kiekvienos dėžės atsitiktinai išimama viena dalis. Raskite tikimybę, kad visos dalys yra standartinės.
Sprendimas: tikimybė ištraukti standartinę ar nestandartinę dalį iš bet kurios dėžės nepriklauso nuo to, kurios dalys bus ištrauktos iš kitų dėžių, todėl problema yra dėl nepriklausomų įvykių. Apsvarstykite šiuos nepriklausomus įvykius:
– iš 1 dėžės išimama standartinė dalis;
– iš 2 dėžės išimama standartinė dalis;
– Iš 3 stalčiaus išimta standartinė dalis.
Pagal klasikinį apibrėžimą:
yra atitinkamos tikimybės.
Mus dominantis renginys (Standartinė dalis bus paimta iš 1 stalčiaus ir nuo 2 standarto ir nuo 3 standarto) išreiškiamas gaminiu.
Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad iš trijų dėžių bus ištraukta viena standartinė dalis.
Atsakymas: 0,504
Po gaivinančių pratimų su dėžėmis mūsų laukia ne mažiau įdomios urnos:
4 užduotis
Trijose urnose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad: a) visi trys rutuliai bus balti; b) visi trys rutuliai bus vienodos spalvos.
Remdamiesi gauta informacija, atspėkite, kaip elgtis su „būti“ dalyku ;-) Apytikslis sprendimo pavyzdys parengtas akademiniu stiliumi su išsamiu visų įvykių aprašymu.
Priklausomi įvykiai. Renginys vadinamas priklausomas jei jos tikimybė priklauso iš vieno ar kelių jau įvykusių įvykių. Jums nereikia toli ieškoti pavyzdžių – tiesiog eikite į artimiausią parduotuvę:
- Rytoj 19.00 bus parduodama šviežia duona.
Šio įvykio tikimybė priklauso nuo daugelio kitų įvykių: ar rytoj bus pristatyta šviežia duona, ar ji bus išparduota iki 19 valandos ar ne ir pan. Atsižvelgiant į įvairias aplinkybes, šis įvykis gali būti ir patikimas, ir neįmanomas. Taigi renginys yra priklausomas.
Duona... ir, kaip reikalavo romėnai, cirkai:
- per egzaminą studentas gaus paprastą bilietą.
Jei eisi ne pats pirmas, tada įvykis priklausys, nes jo tikimybė priklausys nuo to, kokius bilietus klasės draugai jau ištraukė.
Kaip nustatyti įvykių priklausomybę/nepriklausomybę?
Kartais tai tiesiogiai nurodoma problemos būsenoje, tačiau dažniausiai turite atlikti nepriklausomą analizę. Čia nėra vienareikšmės gairės, o įvykių priklausomybės ar nepriklausomybės faktas išplaukia iš natūralaus loginio samprotavimo.
Kad nesumestum visko į vieną krūvą, užduotys priklausomiems įvykiams Išskirsiu kitą pamoką, bet kol kas apsvarstysime dažniausiai praktikoje pasitaikančias teoremas:
Nenuoseklių tikimybių sudėjimo teoremų uždaviniai
ir padauginus nepriklausomų įvykių tikimybes
Šis tandemas, mano subjektyviu vertinimu, veikia apie 80% nagrinėjamos temos užduočių. Hitai ir tikra tikimybių teorijos klasika:
5 užduotis
Du šauliai paleido po vieną šūvį į taikinį. Pirmajam šauliui pataikymo tikimybė yra 0,8, antrajam - 0,6. Raskite tikimybę, kad:
a) tik vienas šaulys pataikys į taikinį;
b) bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.
Sprendimas: vieno šaulio pataikymo / nepataikymo tikimybė akivaizdžiai nepriklauso nuo kito šaulio pasirodymo.
Apsvarstykite įvykius:
– 1-asis šaulys pataikys į taikinį;
– 2-asis šaulys pataikys į taikinį.
Pagal sąlygą:.
Raskime priešingų įvykių tikimybes, kad atitinkamos rodyklės praleistų: 
a) Apsvarstykite įvykį: - į taikinį pataiko tik vienas šaulys. Šį įvykį sudaro du nesuderinami rezultatai:
Pataikys 1-asis šaulys ir 2-as praleidžia
arba
1-oji praleis ir 2-asis pataikys.
Ant liežuvio įvykių algebrašį faktą galima parašyti taip: 
Pirmiausia naudojame nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą, tada - nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad bus tik vienas smūgis.
b) Apsvarstykite įvykį: - bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.
Visų pirma, PAGALVOKIM – ką reiškia sąlyga „BENT VIENA“? Šiuo atveju tai reiškia, kad arba 1-asis šaulys pataikys (antrasis nepataikys) arba 2-as (1-as praleidžiamas) arba abi rodyklės vienu metu – iš viso 3 nesuderinami rezultatai.
Pirmasis metodas: atsižvelgiant į paruoštą ankstesnio elemento tikimybę, įvykį patogu pavaizduoti kaip šių nevienodų įvykių sumą:
vienas gaus (įvykis, susidedantis iš 2 nesuderinamų baigčių) arba
Jei pataikė abi rodyklės, šį įvykį žymime raide .
Šiuo būdu:
Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad pataikys pirmasis šaulys ir Pataikys 2-asis šaulys.
Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:
yra bent vieno smūgio į taikinį tikimybė.
Antras metodas: apsvarstykite priešingą įvykį: – abu šauliai praleis.
Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
Kaip rezultatas:
Ypatingas dėmesys atkreipkite dėmesį į antrąjį būdą – apskritai jis racionalesnis.
Be to, yra alternatyvus, trečiasis sprendimo būdas, pagrįstas aukščiau nutylima bendrų įvykių sumavimo teorema.
! Jei skaitote medžiagą pirmą kartą, norint išvengti painiavos, geriau praleisti kitą pastraipą.
Trečias būdas
: įvykiai yra jungtiniai, o tai reiškia, kad jų suma išreiškia įvykį „bent vienas šaulys pataiko į taikinį“ (žr. įvykių algebra). Autorius jungtinių įvykių tikimybių sudėjimo teorema ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema:
Patikrinkime: įvykius ir (atitinkamai 0, 1 ir 2 smūgiai) sudaryti visą grupę, todėl jų tikimybių suma turi būti lygi vienetui:
, kuris turėjo būti patikrintas.
Atsakymas: 
Nuodugniai išstudijavę tikimybių teoriją, susidursite su dešimtimis militaristinio turinio užduočių ir, kaip būdinga, po jų nebesinori šaudyti į nieką – užduotys beveik dovanotos. Kodėl nepadarius šablono dar paprastesnio? Sutrumpinkime įrašą:
Sprendimas: pagal sąlygą: , yra tikimybė pataikyti į atitinkamus šaulius. Tada jų praleidimo tikimybė yra tokia: 
a) Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:
yra tikimybė, kad tik vienas šaulys pataikys į taikinį.
b) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad abu šauliai nepataikys.
Tada: yra tikimybė, kad bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.
Atsakymas: 
Praktiškai galite naudoti bet kurią dizaino parinktį. Žinoma, kur kas dažniau jie eina trumpuoju keliu, bet nereikėtų pamiršti 1-ojo metodo – nors jis ilgesnis, bet prasmingesnis – jame aiškesnis, kas, kodėl ir kodėl sumuojasi ir padaugina. Kai kuriais atvejais tinka hibridinis stilius, kai patogu tik kai kuriuos įvykius nurodyti didžiosiomis raidėmis.
Panašios užduotys savarankiškam sprendimui:
6 užduotis
Priešgaisrinei signalizacijai sumontuoti du nepriklausomai veikiantys jutikliai. Tikimybė, kad jutiklis veiks gaisro metu, yra atitinkamai 0,5 ir 0,7 pirmajam ir antrajam jutikliams. Raskite tikimybę, kad kilus gaisrui:
a) suges abu jutikliai;
b) abu jutikliai veiks.
c) Naudojant įvykių, sudarytų ištisą grupę, tikimybių sudėjimo teorema, raskite tikimybę, kad gaisro metu veiks tik vienas jutiklis. Patikrinkite rezultatą tiesiogiai apskaičiuodami šią tikimybę (naudojant sudėties ir daugybos teoremas).
Čia įrenginių veikimo nepriklausomumas yra tiesiogiai išreiškiamas būsenoje, o tai, beje, yra svarbus paaiškinimas. Pavyzdinis sprendimas sukurtas akademiniu stiliumi.
Ką daryti, jei panašioje užduotyje pateikiamos tos pačios tikimybės, pavyzdžiui, 0,9 ir 0,9? Jūs turite nuspręsti lygiai taip pat! (kas iš tikrųjų jau buvo parodyta pavyzdyje su dviem monetomis)
7 užduotis
Tikimybė, kad pirmasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, yra 0,8. Tikimybė, kad taikinys nepataikytas pirmajam ir antrajam šauliui iššovus vieną šūvį, yra 0,08. Kokia tikimybė, kad antrasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį?
Ir tai yra mažas galvosūkis, kuris yra trumpai įrėmintas. Sąlygą galima performuluoti ir glaustai, bet originalo neperdarysiu – praktiškai tenka gilintis į puošnesnius prasimanymus.
Susipažinkite su juo – jis yra tas, kuris jums supjaustė nepamatuojamą kiekį detalių =):
8 užduotis
Darbuotojas valdo tris mašinas. Tikimybė, kad per pamainą pirmai mašinai reikės reguliuoti, yra 0,3, antrosios - 0,75, trečiosios - 0,4. Raskite tikimybę, kad pamainos metu:
a) visas mašinas reikės reguliuoti;
b) tik vieną mašiną reikės reguliuoti;
c) bent vieną mašiną reikės reguliuoti.
Sprendimas: kadangi sąlyga nieko nesako apie vieną technologinį procesą, tai kiekvienos mašinos veikimas turėtų būti laikomas nepriklausomu nuo kitų mašinų veikimo.
Analogiškai su užduotimi Nr. 5, čia galite atsižvelgti į įvykius, susidedančius iš to, kad atitinkamas mašinas reikės koreguoti pamainos metu, užrašyti tikimybes, rasti priešingų įvykių tikimybes ir pan. Tačiau su trimis objektais aš tikrai nenoriu taip rengti užduoties - ji pasirodys ilga ir nuobodu. Todėl pastebimai pelningiau čia naudoti „greitąjį“ stilių:
Pagal sąlygą: - tikimybė, kad pamainos metu atitinkamas mašinas reikės derinti. Tada tikimybė, kad jiems nereikės dėmesio, yra: 
Vienas iš skaitytojų čia rado šaunią rašybos klaidą, net netaisysiu =)
a) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti visas tris mašinas.
b) Renginys „Pamainos metu reikės reguliuoti tik vieną mašiną“ susideda iš trijų nesuderinamų rezultatų:
1) 1 mašina pareikalaus dėmesį ir 2-oji mašina nereikės ir 3 mašina nereikės
arba:
2) 1-oji mašina nereikės dėmesį ir 2-oji mašina pareikalaus ir 3 mašina nereikės
arba:
3) 1-oji mašina nereikės dėmesį ir 2-oji mašina nereikės ir 3 mašina pareikalaus.
Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:
- tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik vieną mašiną.
Manau, kad dabar jums turėtų būti aišku, iš kur kilo ši išraiška
c) Apskaičiuokite tikimybę, kad mašinos nereikės reguliuoti, o tada priešingo įvykio tikimybę:
– tai, kad bent vieną mašiną reikės reguliuoti.
Atsakymas:
Punktą „ve“ galima išspręsti ir per sumą , kur tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik dvi mašinas. Šis įvykis, savo ruožtu, apima 3 nesuderinamus rezultatus, kurie yra pasirašyti pagal analogiją su elementu „būti“. Pabandykite patys rasti tikimybę patikrinti visą problemą lygybės pagalba.
9 užduotis
Trys ginklai paleido salvę į taikinį. Tikimybė pataikyti vienu šūviu tik iš pirmo ginklo yra 0,7, iš antrojo - 0,6, iš trečio - 0,8. Raskite tikimybę, kad: 1) bent vienas sviedinys pataikys į taikinį; 2) į taikinį pataikys tik du sviediniai; 3) į taikinį bus pataikyta bent du kartus.
Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ir vėl apie sutapimus: tuo atveju, jei pagal sąlygą sutampa dvi ar net visos pradinių tikimybių reikšmės (pavyzdžiui, 0,7; 0,7 ir 0,7), tuomet reikia vadovautis lygiai tuo pačiu sprendimo algoritmu.
Straipsnio pabaigoje išanalizuosime dar vieną įprastą galvosūkį:
10 užduotis
Šaulys su kiekvienu šūviu pataiko į taikinį ta pačia tikimybe. Kokia yra ši tikimybė, jei tikimybė, kad pataikys bent vienas per tris šūvius, yra 0,973.
Sprendimas: žymi - tikimybę pataikyti į taikinį su kiekvienu šūviu.
ir per – kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.
Užsirašykime įvykius:
- 3 šūviais šaulys pataikys į taikinį bent kartą;
- šaulys nepataikys 3 kartus.
Pagal sąlygą , tada priešingo įvykio tikimybė:
Kita vertus, pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: 
Šiuo būdu: 
- kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.
Kaip rezultatas:
yra kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė.
Atsakymas: 0,7
Paprasta ir elegantiška.
Nagrinėjamoje užduotyje galima kelti papildomus klausimus apie tik vieno smūgio, tik dviejų ir trijų pataikymų į taikinį tikimybę. Sprendimo schema bus lygiai tokia pati kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose: 
Tačiau esminis esminis skirtumas yra tas, kad yra pakartotiniai nepriklausomi testai, kurie atliekami nuosekliai, nepriklausomai vienas nuo kito ir su ta pačia rezultatų tikimybe.
Bendras problemos teiginys: kai kurių įvykių tikimybės yra žinomos, tačiau reikia apskaičiuoti kitų įvykių, kurie yra susiję su šiais įvykiais, tikimybes. Šiose problemose reikalingos tokios tikimybių operacijos kaip tikimybių sudėjimas ir dauginimas.
Pavyzdžiui, medžiojant buvo paleisti du šūviai. Renginys A- pataikymas į antį iš pirmo šūvio, įvykis B- pataikė iš antro šūvio. Tada įvykių suma A ir B- pataikyti iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių.
Kitokio tipo užduotys. Pateikiami keli įvykiai, pavyzdžiui, moneta metama tris kartus. Reikia rasti tikimybę, kad arba visus tris kartus iškris herbas, arba kad herbas iškris bent kartą. Tai daugybos problema.
Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimas
Tikimybių sudėjimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti atsitiktinių įvykių kombinacijos tikimybę arba loginę sumą.
Įvykių suma A ir B paskirti A + B arba A ∪ B. Dviejų įvykių suma yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių. Tai reiškia kad A + B- įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykis įvyksta stebėjimo metu A arba renginys B, arba tuo pačiu metu A ir B.
Jei įvykiai A ir B yra tarpusavyje nesuderinami ir pateiktos jų tikimybės, tikimybė, kad vienas iš šių įvykių įvyks po vieno bandymo, apskaičiuojama pridedant tikimybes.
Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų tarpusavyje nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:
Pavyzdžiui, medžiojant buvo paleisti du šūviai. Renginys BET– pataikymas į antis iš pirmo šūvio, įvykis AT– pataikymas iš antro šūvio, įvykis ( BET+ AT) – pataikymas iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių. Taigi, jei du įvykiai BET ir AT tai nesuderinami įvykiai BET+ AT- bent vieno iš šių įvykių arba dviejų įvykių.
1 pavyzdys Dėžutėje yra 30 vienodo dydžio kamuoliukų: 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Apskaičiuokite tikimybę, kad nežiūrint bus paimtas spalvotas (ne baltas) rutulys.
Sprendimas. Tarkime, kad įvykis BET– „raudonas kamuolys paimtas“, ir įvykis AT- "Mėlynas kamuolys paimtas". Tada įvykis yra „paimamas spalvotas (ne baltas) kamuolys“. Raskite įvykio tikimybę BET:
ir įvykius AT:
Vystymai BET ir AT- tarpusavyje nesuderinami, nes paėmus vieną rutulį negalima paimti skirtingų spalvų kamuoliukų. Todėl naudojame tikimybių pridėjimą:
Kelių nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Jei įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, tada jų tikimybių suma yra lygi 1:
Priešingų įvykių tikimybių suma taip pat lygi 1:
Priešingi įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, o viso įvykių rinkinio tikimybė yra 1.
Priešingų įvykių tikimybės dažniausiai žymimos mažomis raidėmis. p ir q. Visų pirma,
iš kurių išplaukia šios priešingų įvykių tikimybės formulės:
2 pavyzdys Taikinys brūkšnyje yra padalintas į 3 zonas. Tikimybė, kad tam tikras šaulys šaudys į taikinį pirmoje zonoje yra 0,15, antroje zonoje - 0,23, trečioje zonoje - 0,17. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį, ir tikimybę, kad šaulys nepataiko į taikinį.
Sprendimas: Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį:
Raskite tikimybę, kad šaulys nepataikė į taikinį:
Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėjimo ir daugybos užduotys“ .
Abipusių bendrų įvykių tikimybių pridėjimas
Du atsitiktiniai įvykiai laikomi bendrais, jei vieno įvykio įvykis netrukdo įvykti antram įvykiui tame pačiame stebėjime. Pavyzdžiui, metant kauliuką, įvykis BET yra laikomas skaičiaus 4 atsiradimas ir įvykis AT- numesti lyginį skaičių. Kadangi skaičius 4 yra lyginis skaičius, abu įvykiai yra suderinami. Praktikoje yra užduočių, skirtų apskaičiuoti vieno iš abipusiai bendrų įvykių tikimybę.
Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, iš kurios atimama abiejų įvykių bendro įvykio tikimybė, tai yra tikimybių sandauga. Bendrų įvykių tikimybių formulė yra tokia:
Nes įvykiai BET ir AT suderinamas, įvykis BET+ ATįvyksta, jei įvyksta vienas iš trijų galimų įvykių: arba AB. Pagal nesuderinamų įvykių pridėjimo teoremą apskaičiuojame taip:
Renginys BETįvyksta, jei įvyksta vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: arba AB. Tačiau vieno įvykio iš kelių nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi visų šių įvykių tikimybių sumai:
Panašiai:
Pakeitę išraiškas (6) ir (7) į išraišką (5), gauname bendrų įvykių tikimybės formulę:
Naudojant formulę (8), reikia atsižvelgti į tai, kad įvykiai BET ir AT gali būti:
- tarpusavyje nepriklausomi;
- viena nuo kitos priklausomos.
Tikimybių formulė viena kitai nepriklausomiems įvykiams:
Tikimybių formulė viena kitai priklausomiems įvykiams:
Jei įvykiai BET ir AT yra nenuoseklūs, tada jų sutapimas yra neįmanomas atvejis ir todėl P(AB) = 0. Ketvirtoji nesuderinamų įvykių tikimybės formulė yra tokia:
3 pavyzdys Automobilių lenktynėse, važiuojant pirmuoju automobiliu, tikimybė laimėti, važiuojant antruoju automobiliu. Rasti:
- tikimybė, kad laimės abu automobiliai;
- tikimybė, kad laimės bent vienas automobilis;
1) Tikimybė, kad laimės pirmasis automobilis, nepriklauso nuo antrojo automobilio rezultato, todėl įvykiai BET(laimi pirmasis automobilis) ir AT(laimi antrasis automobilis) – nepriklausomi renginiai. Raskite tikimybę, kad laimės abu automobiliai:
2) Raskite tikimybę, kad laimės vienas iš dviejų automobilių:
Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėjimo ir daugybos užduotys“ .
Išspręskite tikimybių pridėjimo problemą patys, o tada pažiūrėkite į sprendimą
4 pavyzdys Mestos dvi monetos. Renginys A- herbo praradimas ant pirmosios monetos. Renginys B- antrosios monetos herbo praradimas. Raskite įvykio tikimybę C = A + B .
Tikimybių daugyba
Tikimybių dauginimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti įvykių loginės sandaugos tikimybę.
Šiuo atveju atsitiktiniai įvykiai turi būti nepriklausomi. Sakoma, kad du įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi, jei vieno įvykio įvykis neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.
Tikimybių daugybos teorema nepriklausomiems įvykiams. Tikimybė, kad vienu metu įvyks du nepriklausomi įvykiai BET ir AT yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai ir apskaičiuojamas pagal formulę:
5 pavyzdys Moneta metama tris kartus iš eilės. Raskite tikimybę, kad herbas iškris visus tris kartus.
Sprendimas. Tikimybė, kad herbas nukris pirmą kartą išmetus monetą, antrą kartą ir trečią kartą. Raskite tikimybę, kad herbas iškris visus tris kartus:
Pats išspręskite tikimybių padauginimo uždavinius, tada pažiūrėkite į sprendimą
6 pavyzdys Yra dėžė su devyniais naujais teniso kamuoliukais. Žaidimui paimami trys kamuoliai, po žaidimo jie grąžinami atgal. Renkantis kamuoliukus jie neskiria sužaistų ir nežaistų kamuolių. Kokia tikimybė, kad po trys žaidimai ar dėžėje nebus nesužaistų kamuolių?
7 pavyzdys Ant iškirptų abėcėlės kortelių parašytos 32 rusiškos abėcėlės raidės. Atsitiktinai viena po kitos ištraukiamos penkios kortos ir dedamos ant stalo tokia tvarka, kokia jos pasirodo. Raskite tikimybę, kad raidės sudarys žodį „pabaiga“.
8 pavyzdys Iš pilnos kortų kaladės (52 lapai) iš karto išimamos keturios kortos. Raskite tikimybę, kad visos keturios šios kortos yra tos pačios spalvos.
9 pavyzdys Ta pati problema kaip ir 8 pavyzdyje, bet kiekviena korta po ištraukimo grąžinama į kaladę.
Sudėtingesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą, taip pat apskaičiuoti kelių įvykių sandaugą, puslapyje „Įvairios tikimybių sudėties ir daugybos užduotys“ .
Tikimybę, kad įvyks bent vienas iš tarpusavyje nepriklausomų įvykių, galima apskaičiuoti iš 1 atėmus priešingų įvykių tikimybių sandaugą, tai yra pagal formulę.
