Įvykiai vadinami nepriklausomais, jei. Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai. Bendrosios tikimybės formulė

Įvykių priklausomybė suprantama tikimybinis prasme, o ne funkcionaliai. Tai reiškia, kad vieno iš priklausomų įvykių atsiradimas negali vienareikšmiškai spręsti apie kito atsiradimą. Tikimybinė priklausomybė reiškia, kad vieno iš priklausomų įvykių įvykimas tik pakeičia kito tikimybę. Jei tikimybė nesikeičia, įvykiai laikomi nepriklausomais.

Apibrėžimas: Tegu – savavališka tikimybių erdvė, – kai kurie atsitiktiniai įvykiai. Jie taip sako renginys IR nepriklauso nuo įvykio AT , jei tai sąlyginė tikimybė sutampa su besąlygine tikimybe:

.

Jeigu , tada sakome, kad įvykis IR priklauso nuo įvykio AT.

Nepriklausomybės samprata yra simetriška, tai yra, jei įvykis IR nepriklauso nuo įvykio AT, tada įvykis AT nepriklauso nuo įvykio IR. Tikrai, tegul . Tada . Todėl jie tiesiog sako, kad įvykiai IR ir AT nepriklausomas.

Šis simetriškas įvykių nepriklausomumo apibrėžimas išplaukia iš tikimybių daugybos taisyklės.

Apibrėžimas: Pokyčiai IR ir AT, apibrėžtos toje pačioje tikimybių erdvėje yra vadinamos nepriklausomas, jei

Jeigu , tada įvykiai IR ir AT paskambino priklausomas.

Atkreipkite dėmesį, kad šis apibrėžimas galioja ir tada, kai arba .

Savarankiškų renginių savybės.

1. Jei įvykiai IR ir AT yra nepriklausomi, tada šios įvykių poros taip pat yra nepriklausomos: .

▲ Įrodykime, pavyzdžiui, įvykių nepriklausomumą. Įsivaizduokite įvykį IR kaip: . Kadangi įvykiai yra nesuderinami, tada , ir dėl įvykių nepriklausomumo IR ir AT mes tai gauname. Vadinasi, tai reiškia nepriklausomybę. ■

2. Jei įvykis IR nepriklauso nuo įvykių 1 ir AT 2, kurie yra nesuderinami () , tą įvykį IR nepriklauso nuo sumos.

▲ Iš tiesų, naudojant įvykio tikimybės ir nepriklausomybės aksiomą IR iš įvykių 1 ir AT 2, mes turime:

Nepriklausomybės ir nesuderinamumo sąvokų ryšys.

Leisti būti IR ir AT- bet kokie įvykiai, kurių tikimybė yra ne nulinė: , taigi . Jei įvykiai IR ir AT yra nenuoseklūs (), todėl lygybė niekada negali įvykti. Taigi, nesuderinami įvykiai yra priklausomi.

Kai vienu metu nagrinėjami daugiau nei du įvykiai, jų porinis nepriklausomumas nepakankamai apibūdina ryšį tarp visos grupės įvykių. Šiuo atveju įvedama savarankiškumo sąvoka visumoje.

Apibrėžimas: Iškviečiami įvykiai, apibrėžti toje pačioje tikimybių erdvėje kolektyviai nepriklausomi, jei kam 2 £ m £ n ir bet koks indeksų derinys turi lygybę:

At m = 2 nepriklausomumas visumoje reiškia porinį įvykių nepriklausomumą. Atvirkščiai netiesa.


Pavyzdys. (Bernstein S.N.)

Atsitiktinis eksperimentas susideda iš taisyklingo tetraedro (tetraedro) metimo. Yra veidas, kuris iškrito iš viršaus į apačią. Tetraedro veidai nudažyti taip: 1 veidas - baltas, 2 veidas - juodas,
3 veidai - raudoni, 4 veidai - yra visos spalvos.

Apsvarstykite įvykius:

IR= (Iškritimas balta spalva}; B= (Juodas iškritimas);

C= (Raudonasis iškritimas).

Tada ;

Todėl įvykiai IR, AT ir Su yra poromis nepriklausomi.

Tačiau .

Todėl įvykiai IR, AT ir Su kartu jie nėra nepriklausomi.

Praktikoje, kaip taisyklė, įvykių nepriklausomumas nustatomas ne jį tikrinant pagal apibrėžimą, o atvirkščiai: įvykiai laikomi nepriklausomais nuo bet kokių išorinių aplinkybių arba atsižvelgiant į aplinkybes. atsitiktinis eksperimentas, ir naudokite nepriklausomybę, kad surastumėte įvykių atsiradimo tikimybę.

Teorema (nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos).

Jei toje pačioje tikimybių erdvėje apibrėžti įvykiai yra nepriklausomi visumoje, tada jų sandaugos tikimybė yra lygi tikimybių sandaugai:

▲ Teoremos įrodymas išplaukia iš įvykių nepriklausomybės apibrėžimo visumoje arba iš bendrosios tikimybių daugybos teoremos, atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju

1 pavyzdys (tipinis sąlyginių tikimybių radimo pavyzdys, nepriklausomumo samprata, tikimybių sudėjimo teorema).

Elektros grandinė susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra atitinkamai lygi .

1) Raskite grandinės gedimo tikimybę.

2) Žinoma, kad grandinė sugedo.

Kokia tikimybė, kad nepavyks:

a) 1 elementas; b) 3 elementas?

Sprendimas. Apsvarstykite įvykius = (Nepavyko k elementas) ir įvykis IR= (Schema nepavyko). Tada renginys IR pateikiama tokia forma:

.

1) Kadangi įvykiai ir nėra nesuderinami, tai tikimybės Р3) adityvumo aksioma netaikytina ir tikimybei rasti reikia naudoti bendrąją tikimybių sudėjimo teoremą, pagal kurią

Tegul įvykio tikimybė AT nepriklauso nuo įvykio įvykio IR.

Apibrėžimas. Renginys AT paskambino Nepriklausomai nuo įvykio A jeigu įvykio įvykis IR nekeičia įvykio tikimybės AT, t.y. jeigu sąlyginė įvykio tikimybė AT yra lygi jos besąlyginei tikimybei:

R A(AT) = R(AT). (2.12)

Pakeitę (2.12) į santykį (2.11), gauname

R(IR)R(AT) = R(AT)R B(IR).

R B(IR) = R(IR),

tie. sąlyginė įvykio tikimybė IR darant prielaidą, kad įvyko įvykis AT, yra lygus jo besąlyginei tikimybei. Kitaip tariant, renginys IR nepriklauso nuo įvykio B.

Lemma (dėl abipusio įvykių nepriklausomumo): jei įvykis AT nepriklauso nuo įvykio IR, tada įvykis IR nepriklauso nuo įvykio AT; tai reiškia kad įvykių nepriklausomumo savybė.

Nepriklausomiems įvykiams daugybos teorema R(AB) = R(IR) R A(AT) turi formą

R(AB) = R(IR) R(AT), (2.13)

tie. dviejų nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai.

Lygybė (2.13) laikoma nepriklausomų įvykių apibrėžimu. Sakoma, kad du įvykiai yra nepriklausomi, jei vieno iš jų įvykimas nekeičia kito įvykio tikimybės.

Apibrėžimas. Vadinami du renginiai nepriklausomas, jeigu jų susijungimo tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sandaugai; kitaip įvykiai vadinami priklausomas.

Praktikoje įvykių nepriklausomybė apsprendžiama pagal problemos prasmę. Pavyzdžiui, tikimybė pataikyti į taikinį su kiekvienu iš dviejų ginklų nepriklauso nuo to, ar kitas ginklas pataikė į taikinį, todėl įvykiai „pirmasis pistoletas pataikė į taikinį“ ir „antras pataikė į taikinį“ yra nepriklausomi.

Pavyzdys. Raskite tikimybę pataikyti į taikinį kartu dviem ginklais, jei tikimybę pataikyti į taikinį pirmuoju ginklu (įvykis IR) yra lygus 0,8, o antrasis (įvykis AT) – 0,7.

Sprendimas. Vystymai IR ir AT nepriklausomas, todėl pagal daugybos teoremą norima tikimybė

R(AB) = R(IR)R(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

komentuoti 1. Jei įvykiai IR ir AT yra nepriklausomi, tada įvykiai taip pat yra nepriklausomi. IR ir , ir AT ir . tikrai,

Vadinasi,

, arba .

, arba .

tie. pokyčius IR ir AT nepriklausomas.

Renginių nepriklausomumas ir AT, ir yra įrodyto teiginio pasekmė.

Nepriklausomybės sąvoka gali būti išplėsta į atvejį nįvykius.

Apibrėžimas. Keli renginiai vadinami poromis nepriklausomas jei kas du iš jų yra nepriklausomi. Pavyzdžiui, renginiai IR, AT, Su poros nepriklausomi, jei įvykiai yra nepriklausomi IR ir AT, IR ir Su, AT ir Su.

Norėdami apibendrinti daugybos teoremą keliems įvykiams, pristatome įvykių nepriklausomumo sąvoką visumoje.

Apibrėžimas. Keli renginiai vadinami kolektyviai nepriklausomi(arba tiesiog nepriklausomi), jei kiekvienas iš jų yra nepriklausomas, o kiekvienas įvykis ir visi galimi kitų produktai yra nepriklausomi. Pavyzdžiui, jei įvykiai IR 1 , A 2 , IR 3 yra nepriklausomi visumoje, tada įvykiai yra nepriklausomi IR 1 ir A 2 , IR 1 ir IR 3 , A 2 ir IR 3 ; IR 1 ir A 2 IR 3 , A 2 ir IR 1 IR 3 , IR 3 ir IR 1 A 2. Iš to, kas pasakyta, darytina išvada, kad jei įvykiai visumoje yra nepriklausomi, tai sąlyginė bet kurio įvykio iš jų atsiradimo tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvyko bet kokie kiti įvykiai iš kitų, yra lygi jos besąlyginė tikimybė.



Pabrėžiame, kad jei keli įvykiai yra nepriklausomi poromis, tai jų nepriklausomumas visumoje iš to dar neišplaukia. Šia prasme įvykių nepriklausomumo reikalavimas visumoje yra stipresnis nei porinio jų nepriklausomumo reikalavimas.

Paaiškinkime, kas buvo pasakyta, pateikdami pavyzdį. Tarkime, kad urnoje yra 4 rutuliai, spalvoti: vienas raudonas ( IR), vienas - mėlynos spalvos ( AT), vienas - juodas ( Su) ir viena – visų šių trijų spalvų ( ABC). Kokia tikimybė, kad iš urnos ištrauktas rutulys yra raudonas?

Kadangi du iš keturių kamuoliukų yra raudoni, tada R(IR) = 2/4 = 1/2. Ginčiuodami panašiai, randame R(AT) = 1/2, R(Su) = 1/2. Dabar darykime prielaidą, kad paimtas kamuolys yra mėlynas, t.y. renginys AT jau įvyko. Ar pasikeis tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra raudonas, t.y. Ar pasikeis įvykio tikimybė? IR? Iš dviejų mėlynų kamuoliukų vienas rutulys taip pat yra raudonas, taigi įvykio tikimybė yra tokia IR vis dar yra 1/2. Kitaip tariant, sąlyginė įvykio tikimybė IR, apskaičiuotas darant prielaidą, kad įvyko įvykis AT, yra lygus jo besąlyginei tikimybei. Todėl įvykiai IR ir AT nepriklausomas. Panašiai darome išvadą, kad įvykiai IR ir Su, AT ir Su nepriklausomas. Taigi įvykiai IR, AT ir Su yra poromis nepriklausomi.

Ar šie įvykiai apskritai yra nepriklausomi? Pasirodo, kad ne. Iš tiesų, tegul ištrauktas rutulys būna dviejų spalvų, pavyzdžiui, mėlynos ir juodos. Kokia tikimybė, kad šis rutulys taip pat yra raudonas? Tik vienas rutulys yra nuspalvintas visomis trim spalvomis, todėl pagautas rutulys taip pat yra raudonas. Taigi, darant prielaidą, kad įvykiai AT ir Suįvyko, darome išvadą, kad įvykis IR būtinai ateis. Todėl šis įvykis yra patikimas ir jo tikimybė lygi vienetui. Kitaip tariant, sąlyginė tikimybė R BC(IR)= 1 įvykis IR nėra lygus jo besąlyginei tikimybei R(IR) = 1/2. Taigi, poromis nepriklausomi renginiai IR, AT, Su nėra kolektyviai nepriklausomi.

Dabar pateikiame daugybos teoremos išvadą.

Pasekmė. Tikimybė, kad kartu įvyks keli įvykiai, kurie yra nepriklausomi visumoje, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Įrodymas. Apsvarstykite tris įvykius: IR, AT ir Su. Renginių derinys IR, AT ir Su prilygsta įvykių deriniui AB ir Su, Štai kodėl

R(ABC) = R(AB × C).

Nuo įvykių IR, AT ir Su yra nepriklausomi visumoje, tada nepriklausomi, visų pirma, yra įvykiai AB ir Su, taip pat IR ir AT. Pagal dviejų nepriklausomų įvykių daugybos teoremą gauname:

R(AB × C) = R(AB)R(Su) ir R(AB) = R(IR)R(AT).

Taigi, pagaliau gauname

R(ABC) = R(IR)R(AT)R(Su).

Dėl savavališko nįrodymas atliekamas matematinės indukcijos metodu.

komentuoti. Jei įvykiai IR 1 , IR 2 , ...,A n yra nepriklausomi visumoje, tada priešingi įvykiai taip pat yra nepriklausomi visumoje.

Pavyzdys. Raskite tikimybę, kad herbas atsiras kartu išmetus dvi monetas.

Sprendimas. Pirmosios monetos herbo atsiradimo tikimybė (įvykis IR)

R(IR) = 1/2.

Antrosios monetos herbo atsiradimo tikimybė (įvykis AT)

R(AT) = 1/2.

Vystymai IR ir AT nepriklausomas, todėl norima daugybos teoremos tikimybė yra lygi

R(AB) = R(IR)R(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Pavyzdys. Yra 3 dėžės, kuriose yra 10 dalių. Pirmame stalčiuje yra 8, antrame stalčiuje 7 ir trečiame stalčiuje 9 standartinės dalys. Iš kiekvienos dėžutės atsitiktine tvarka ištraukiama po vieną daiktą. Raskite tikimybę, kad visos trys išimtos dalys yra standartinės.

Sprendimas. Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš pirmo langelio (įvykis IR),

R(IR) = 8/10 = 0,8.

Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš antrojo langelio (įvykis AT),

R(AT) = 7/10 = 0,7.

Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš trečiojo langelio (įvykis Su),

R(Su) = 9/10 = 0,9.

Nuo įvykių IR, AT ir Su nepriklausomas visumoje, tada norima tikimybė (pagal daugybos teoremą) lygi

R(ABC) = R(IR)R(AT)R(Su) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504.

Pateiksime sudėties ir daugybos teoremų bendro taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Kiekvieno iš trijų nepriklausomų įvykių tikimybės IR 1 , IR 2 , IR 3 atitinkamai lygus R 1 , R 2 , R 3 . Raskite tik vieno iš šių įvykių tikimybę.

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad, pavyzdžiui, išvaizda tik pirmasis įvykis IR 1 prilygsta įvykio atsiradimui (pirmasis pasirodė, o antrasis ir trečiasis įvykiai nepasirodė). Supažindinkime su užrašu:

B 1 - pasirodė tik įvykis IR 1 , t.y. ;

B 2 – pasirodė tik įvykis IR 2 , t.y. ;

B 3 – pasirodė tik įvykis IR 3 , t.y. .

Taigi, norint rasti tik vieno iš įvykių tikimybę IR 1 , IR 2 , IR 3 , ieškosime tikimybės P(B 1 + B 2 + AT 3) vieno pasirodymas, nesvarbu, kuris iš įvykių AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Nuo įvykių AT 1 , AT 2 , AT 3 yra nenuoseklūs, tada taikoma sudėjimo teorema

P(B 1 + B 2 + AT 3) = R(AT 1) + R(AT 2) + R(AT 3). (*)

Belieka surasti kiekvieno įvykio tikimybę AT 1 , AT 2 , AT 3 . Vystymai IR 1 , IR 2 , IR 3 yra nepriklausomi, todėl įvykiai yra nepriklausomi, todėl jiems galioja daugybos teorema

Taip pat,

Pakeitę šias tikimybes į (*), randame pageidaujamą tik vieno iš įvykių tikimybę IR 1 , IR 2 , IR 3.

Tikimybių apibrėžimai

Klasikinis apibrėžimas

Klasikinis tikimybės „apibrėžimas“ kyla iš sąvokos lygias galimybes kaip objektyvi tiriamų reiškinių savybė. Ekvivalentiškumas yra neapibrėžiama sąvoka ir nustatoma remiantis bendraisiais tiriamų reiškinių simetrijos svarstymais. Pavyzdžiui, metant monetą daroma prielaida, kad dėl tariamos monetos simetrijos, medžiagos homogeniškumo ir metimo atsitiktinumo (nešališkumo) nėra pagrindo teikti pirmenybę „uodegoms“, o ne „uodegoms“. „ereliai“ arba atvirkščiai, tai yra, šių pusių praradimas gali būti laikomas vienodai tikėtinu (ekviprobuotu) .

Kartu su lygiavertiškumo samprata bendruoju atveju, klasikinis apibrėžimas reikalauja ir elementaraus įvykio (rezultato), kuris palankiai vertina arba nepalanksta tiriamam įvykiui A. Kalbame apie rezultatus, kurių atsiradimas atmeta galimybę. kitų pasekmių atsiradimo. Tai nesuderinami elementarūs įvykiai. Pavyzdžiui, kai mesti kauliukai Numetus konkretų skaičių, kiti skaičiai nebus atmesti.

Klasikinį tikimybės apibrėžimą galima suformuluoti taip:

Atsitiktinio įvykio tikimybė A vadinamas skaičiaus santykiu n nesuderinami vienodai tikėtini elementarūs įvykiai, sudarantys įvykį A , į visų galimų elementarių įvykių skaičių N :

Pavyzdžiui, mesti du kauliukus. Akivaizdu, kad bendras vienodai galimų baigčių (elementarių įvykių) skaičius yra 36 (6 galimybės ant kiekvieno kauliuko). Įvertinkite tikimybę gauti 7 taškus. 7 taškus galima gauti šiais būdais: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Tai yra, yra tik 6 vienodai tikėtini rezultatai, palankūs įvykiui A – gauti 7 taškus. Todėl tikimybė bus lygi 6/36=1/6. Palyginimui, tikimybė gauti 12 taškų arba 2 balus yra tik 1/36 – 6 kartus mažesnė.

Geometrinis apibrėžimas

Nepaisant to, kad klasikinis apibrėžimas yra intuityvus ir kilęs iš praktikos, bent jau jis negali būti tiesiogiai taikomas, jei vienodai galimų rezultatų skaičius yra begalinis. Ryškus begalinio galimų rezultatų skaičiaus pavyzdys yra ribota geometrinė sritis G, pavyzdžiui, plokštumoje, kurios plotas S. Atsitiktinai „išmestas“ „taškas“ su vienoda tikimybe gali būti bet kuriame šios srities taške. Problema yra nustatyti tikimybę, kad taškas pateks į kokį nors subdomeną g, kurio plotas s. Šiuo atveju, apibendrindami klasikinį apibrėžimą, galime pasiekti geometrinį tikimybės patekti į subdomeną apibrėžimą:

Atsižvelgiant į vienodą galimybę, ši tikimybė nepriklauso nuo srities g formos, ji priklauso tik nuo jos ploto. Šį apibrėžimą natūraliai galima apibendrinti bet kokio matmens erdvei, kur vietoj ploto vartojama sąvoka „tūris“. Be to, būtent šis apibrėžimas veda prie šiuolaikinio aksiominio tikimybės apibrėžimo. Tūrio sąvoka apibendrinta į kažkokios abstrakčios aibės „mato“ sąvoką, kuriai keliami reikalavimai, kuriuos geometrinėje interpretacijoje turi ir „tūris“ – pirmiausia tai yra neneigiamumas ir adityvumas.

Dažnio (statistinis) nustatymas

Klasikinis apibrėžimas, nagrinėjant sudėtingas problemas, susiduria su neįveikiamo pobūdžio sunkumais. Visų pirma, kai kuriais atvejais gali būti neįmanoma nustatyti vienodai tikėtinų atvejų. Netgi monetos atveju, kaip žinoma, yra aiškiai nevienodai tikėtina „krašto“ iškritimo galimybė, kurios teoriniais samprotavimais įvertinti negalima (galima pasakyti tik tiek, kad mažai tikėtina ir šis svarstymas yra gana praktiškas ). Todėl tikimybių teorijos formavimosi aušroje buvo pasiūlytas alternatyvus „dažninis“ tikimybės apibrėžimas. Būtent formaliai tikimybę galima apibrėžti kaip įvykio A stebėjimų dažnumo ribą, darant prielaidą, kad stebėjimai yra homogeniški (tai yra visų stebėjimo sąlygų vienodumas) ir jų nepriklausomumas vienas nuo kito:

kur yra stebėjimų skaičius ir įvykio įvykių skaičius .

Nepaisant to, kad šis apibrėžimas veikiau nurodo nežinomos tikimybės įvertinimo būdą, naudojant daugybę vienarūšių ir nepriklausomų stebėjimų, vis dėlto šis apibrėžimas atspindi tikimybės sąvokos turinį. Būtent, jei įvykiui priskiriama tam tikra tikimybė, kaip objektyvus jo galimybės matas, tai reiškia, kad esant fiksuotoms sąlygoms ir daugkartiniams pasikartojimams, mes turėtume gauti artimą jo atsiradimo dažniui (kuo arčiau, tuo daugiau stebėjimų). Tiesą sakant, tai yra pirminė tikimybės sąvokos reikšmė. Jis pagrįstas objektyvistiniu gamtos reiškinių požiūriu. Žemiau yra vadinamieji įstatymai dideli skaičiai, kurie suteikia teorinį pagrindą (pagal toliau pateiktą šiuolaikinį aksiomatinį metodą), įskaitant tikimybės dažnio įvertinimą.

Aksiominis apibrėžimas

Šiuolaikiniame matematiniame požiūryje tikimybę suteikia Kolmogorovo aksiomatika. Spėjama, kad kai kurie elementarių įvykių erdvė. Šios erdvės poaibiai interpretuojami kaip atsitiktiniai įvykiai. Kai kurių poaibių (įvykių) sąjunga (suma) aiškinama kaip įvykis, susidedantis iš įvykio mažiausiai vienas iš šių įvykių. Poaibių (įvykių) sankirta (produktas) aiškinama kaip įvykis, susidedantis iš įvykio visišiuos įvykius. Nejungtinės aibės aiškinamos kaip nesuderinamasįvykių (jų bendras puolimas neįmanomas). Atitinkamai tuščias rinkinys reiškia neįmanomasįvykis.

Tikimybė ( tikimybės matas) vadinamas matuoti(skaitinė funkcija), apibrėžta įvykių rinkinyje, turinti šias savybes:

Jei elementarių įvykių erdvė X tikrai, tada pakanka nurodytos adityvumo sąlygos atsitiktiniams dviems nesuderinamiems įvykiams, iš kurių adityvumas atsiras bet kuriam galutinis nesuderinamų įvykių skaičius. Tačiau begalinės (suskaičiuojamos arba nesuskaičiuojamos) elementariųjų įvykių erdvės atveju šios sąlygos nepakanka. Taip vadinamas skaičiuojamasis arba sigmos adityvumas, tai yra adityvumo savybės įvykdymas bet kuriai ne daugiau kaip suskaičiuojama porų nesuderinamų įvykių šeimos. Tai būtina, kad būtų užtikrintas tikimybės mato „nepertraukiamumas“.

Tikimybės matas gali būti apibrėžtas ne visiems aibės poaibiams. Daroma prielaida, kad kai kuriose srityse ji apibrėžta sigmos algebra poaibiai . Šie poaibiai vadinami išmatuojamas pagal tam tikrą tikimybės matą, ir tai yra atsitiktiniai įvykiai. Aibė – tai yra elementariųjų įvykių aibė, jos poaibių sigma-algebra ir tikimybės matas – vadinama tikimybių erdvė.

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Be diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, kurių galimos reikšmės sudaro baigtinę arba begalinę skaičių seką, kuri visiškai neužpildo jokio intervalo, dažnai yra atsitiktinių dydžių, kurių galimos reikšmės sudaro tam tikrą intervalą. Tokio atsitiktinio dydžio pavyzdys yra tam tikro dydžio detalės nuokrypis nuo nominalios vertės, esant tinkamai nustatytam technologiniam procesui. Tokio tipo atsitiktinių dydžių negalima nurodyti naudojant tikimybių pasiskirstymo dėsnį p(x). Tačiau juos galima nurodyti naudojant tikimybių pasiskirstymo funkciją F(x). Ši funkcija apibrėžiama lygiai taip pat, kaip ir diskrečiojo atsitiktinio dydžio atveju:

Taigi čia taip pat funkcija F(x) apibrėžta sveikojo skaičiaus ašyje, o jo reikšmė taške X yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę nei X. Formulė (19) ir savybės 1° ir 2° galioja bet kurio atsitiktinio dydžio skirstinio funkcijai. Įrodymas atliekamas panašiai kaip ir diskrečiojo dydžio atveju. Atsitiktinis dydis vadinamas tęstinis, jei jai yra neneigiama ištisinė funkcija*, atitinkanti bet kokias reikšmes x lygybė

Remdamiesi integralo, kaip srities, geometrine reikšme, galime teigti, kad nelygybių išsipildymo tikimybė yra lygi kreivinės trapecijos su pagrindu plotui. viršuje apribotas kreive (6 pav.).

Nuo , ir remiantis (22) formule

Atkreipkite dėmesį, kad nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui paskirstymo funkcija F(x) nuolatinis bet kuriame taške X, kur funkcija yra ištisinė. Tai išplaukia iš to, kad F(x)šiuose taškuose skiriasi. Remiantis (23) formule, darant prielaidą x 1 =x, , mes turime

Dėl funkcijos tęstinumo F(x) mes tai gauname

Vadinasi

Taigi, tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis gali įgyti bet kurią vieną x reikšmę, yra lygi nuliui. Iš to išplaukia, kad įvykiai susideda iš kiekvienos nelygybės išsipildymo

Jie turi vienodą tikimybę, t.y.

Tikrai, pvz.

nes komentuoti. Kaip žinome, jei įvykis neįmanomas, tada jo atsiradimo tikimybė lygi nuliui. Klasikiniame tikimybės apibrėžime, kai testo rezultatų skaičius yra baigtinis, galioja ir atvirkštinis teiginys: jei įvykio tikimybė lygi nuliui, tai įvykis neįmanomas, nes šiuo atveju nė viena iš testo baigčių jam nepalanki. Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio atveju jo galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Tikimybė, kad ši vertė įgis kokią nors konkrečią vertę x 1 kaip matėme, yra lygus nuliui. Tačiau iš to nereiškia, kad šis įvykis neįmanomas, nes atlikus testą atsitiktinis kintamasis visų pirma gali įgyti reikšmę x 1 . Todėl esant nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, prasminga kalbėti apie tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą, o ne apie tikimybę, kad jis įgis tam tikrą reikšmę. Taigi, pavyzdžiui, gaminant volą, mūsų nedomina tikimybė, kad jo skersmuo bus lygus vardinei vertei. Mums svarbi tikimybė, kad volo skersmuo neišeis iš tolerancijos ribų. Pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis pateikiamas taip:

Funkcijos grafikas parodytas fig. 7. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis nelygybes tenkinančią reikšmę Raskite duoto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją. ( Sprendimas)

Kitos dvi pastraipos yra skirtos nuolatinių atsitiktinių dydžių, su kuriais dažnai susiduriama praktikoje, skirstiniams – vienodais ir normaliojo skirstinio.

* Funkcija vadinama ištisine ištisine visoje skaitinėje ašyje, jei ji yra ištisinė bet kurioje atkarpoje arba turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškų. ** Integralo su kintamąja viršutine riba diferencijavimo taisyklė, gauta baigtinės apatinės ribos atveju, galioja integralams su begaline apatine riba. Iš tikrųjų,

Kadangi integralas

yra pastovi vertė.

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai. Sąlyginė tikimybė

Atskirkite priklausomus ir nepriklausomus įvykius. Sakoma, kad du įvykiai yra nepriklausomi, jei vieno iš jų įvykimas nekeičia kito įvykio tikimybės. Pavyzdžiui, jei ceche veikia dvi automatinės linijos, kurios nėra tarpusavyje sujungtos pagal gamybos sąlygas, tai šių linijų sustojimai yra savarankiški įvykiai.

3 pavyzdys Moneta išverčiama du kartus. „Gerbo“ atsiradimo tikimybė pirmame bandyme (įvykyje ) nepriklauso nuo „herbo“ atsiradimo ar nepasirodymo antrajame bandyme (įvykyje ). Savo ruožtu „herbo“ atsiradimo tikimybė antrajame bandyme nepriklauso nuo pirmojo bandymo rezultato. Taigi, įvykiai ir nepriklausomi.

Keli renginiai vadinami kolektyviai nepriklausomi , jei kuris nors iš jų nepriklauso nuo jokio kito įvykio ir bet kokio kitų derinio.

Renginiai vadinami priklausomas , jei vienas iš jų turi įtakos kito atsiradimo tikimybei. Pavyzdžiui, dvi gamyklos yra sujungtos vienu technologiniu ciklu. Tuomet vieno iš jų gedimo tikimybė priklauso nuo kito būsenos. Vieno įvykio tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvyks kitas įvykis, vadinama sąlyginė tikimybė įvykių ir žymimas .

Įvykio nepriklausomumo nuo įvykio sąlyga rašoma formoje , o priklausomybės sąlyga - formoje . Apsvarstykite sąlyginės įvykio tikimybės apskaičiavimo pavyzdį.

4 pavyzdys Dėžutėje yra 5 kandžiai: du dėvėti ir trys nauji. Atliekami du iš eilės smilkinių ištraukimai. Nustatykite sąlyginę susidėvėjusio pjaustytuvo atsiradimo tikimybę antrojo ištraukimo metu, jei pirmą kartą išimtas pjaustytuvas nebus grąžintas į dėžę.

Sprendimas. Pirmuoju atveju pažymėkime susidėvėjusios frezos ištraukimą, o - naujos ištraukimą. Tada . Kadangi išimtas pjaustytuvas negrąžinamas į dėžę, pasikeičia susidėvėjusių ir naujų pjaustytuvų skaičiaus santykis. Todėl tikimybė pašalinti susidėvėjusį pjaustytuvą antruoju atveju priklauso nuo to, koks įvykis įvyko prieš tai.

Nurodykime įvykį, kuris antruoju atveju reiškia susidėvėjusio pjaustytuvo ištraukimą. Šio įvykio tikimybė yra tokia:

Todėl įvykio tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis įvyko, ar ne.

Tikimybių tankis- vienas iš būdų nustatyti tikimybės matą Euklido erdvėje. Tuo atveju, kai tikimybės matas yra atsitiktinio dydžio skirstinys, kalbama apie tankisatsitiktinis kintamasis.

Tikimybių tankis Tegul yra tikimybės matas, tai yra, yra apibrėžta tikimybių erdvė, kur žymi Borelio σ-algebrą. Leiskite pažymėti Lebesgue matą.

1 apibrėžimas. Tikimybė vadinama absoliučiai tęstine (atsižvelgiant į Lebesgue matą) (), jei bet kuri Borelio nulinio Lebesgue mato aibė taip pat turi nulį:

Jei tikimybė yra absoliučiai tolydi, tai pagal Radono-Nikodimo teoremą egzistuoja tokia neneigiama Borelio funkcija,

,

kur vartojama bendra santrumpa , o integralas suprantamas Lebesgue prasme.

2 apibrėžimas. Apskritai, tegul yra savavališkai išmatuojama erdvė ir tegul ir yra du matai šioje srityje. Jei yra neneigiamas , leidžiantis išreikšti matus formoje matomuoju būdu

tada ši funkcija vadinama matuoti tankį kaip , arba Radon-Nikodim darinys matuoti atsižvelgiant į priemonę , ir žymėti

Jei įvykus įvykiui įvykio tikimybė nesikeičia, tada įvykiai ir paskambino nepriklausomas.

Teorema:Dviejų nepriklausomų įvykių bendro atsiradimo tikimybė ir (veikia ir ) yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai.

Tiesa, nuo pokyčius ir nepriklausomas, tada
. Šiuo atveju įvykių sandaugos tikimybės formulė ir įgauna formą.

Vystymai
paskambino poromis nepriklausomas jei kurie nors iš jų yra nepriklausomi.

Vystymai
paskambino kolektyviai nepriklausomas (arba tiesiog nepriklausomas), jei kiekvienas iš jų yra nepriklausomas, o kiekvienas įvykis ir visi galimi kitų produktai yra nepriklausomi.

Teorema:Baigtinio skaičiaus nepriklausomų įvykių sandaugoje tikimybė
yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai.

Pavyzdžiais iliustruojame įvykių tikimybių formulių skirtumą priklausomiems ir nepriklausomiems įvykiams

1 pavyzdys. Tikimybė, kad pirmasis šaulys pataikys į taikinį yra 0,85, antrasis – 0,8. Ginklai šaudė po vieną šūvį. Kokia tikimybė, kad bent vienas sviedinys pataikys į taikinį?

Sprendimas: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Kadangi kadrai yra nepriklausomi, tada

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

2 pavyzdys. Urnoje yra 2 raudoni ir 4 juodi rutuliai. Iš jo iš eilės išimami 2 rutuliukai. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra raudoni.

Sprendimas: 1 atvejis. Įvykis A – raudono rutulio pasirodymas pirmojo pašalinimo metu, įvykis B – antrojo. C įvykis yra dviejų raudonų kamuoliukų pasirodymas.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2-as atvejis. Pirmasis ištrauktas kamuolys grąžinamas į krepšį.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Bendrosios tikimybės formulė.

Tegul renginys gali atsitikti tik vienam iš nesuderinamų įvykių
, sudaro pilną grupę. Pavyzdžiui, parduotuvė gauna tuos pačius produktus iš trijų įmonių ir skirtingais kiekiais. Tikimybė gaminti žemos kokybės produktus šiose įmonėse yra skirtinga. Vienas iš prekių parenkamas atsitiktine tvarka. Būtina nustatyti tikimybę, kad šis produktas bus nekokybiškas (įvykis ). Renginiai čia
- tai yra prekės pasirinkimas iš atitinkamos įmonės produktų.

Šiuo atveju įvykio tikimybė galima laikyti įvykių sandaugų suma
.

Sudėjimo teorema dėl nesuderinamų įvykių tikimybių gauname
. Naudodamiesi tikimybių daugybos teorema, randame

.

Gauta formulė vadinama bendrosios tikimybės formulė.

Bayes formulė

Tegul renginys įvyksta tuo pačiu metu kaip ir vienas iš nesuderinami įvykiai
, kurių tikimybės
(
) yra žinomi prieš patirtį ( a priori tikimybės). Atliekamas eksperimentas, kurio rezultatas registruojamas įvykio įvykis , ir žinoma, kad šis įvykis turėjo tam tikrų sąlyginių tikimybių
(
). Būtina rasti įvykių tikimybes
jei įvykis žinomas įvyko ( a posteriori tikimybės).

Problema ta, kad turint nauja informacija(įvykis A įvyko), reikia iš naujo įvertinti įvykių tikimybę
.

Remiantis teorema apie dviejų įvykių sandaugos tikimybę

.

Gauta formulė vadinama Bayes formulės.

Pagrindinės kombinatorikos sąvokos.

Sprendžiant daugybę teorinių ir praktinių uždavinių, iš baigtinės elementų aibės pagal pateiktas taisykles reikia sudaryti įvairius derinius ir suskaičiuoti visų galimų tokių kombinacijų skaičių. Tokios užduotys vadinamos kombinatorinis.

Spręsdama uždavinius kombinatorika naudoja sumos ir sandaugos taisykles.

Bendras problemos teiginys: kai kurių įvykių tikimybės yra žinomos, tačiau reikia apskaičiuoti kitų įvykių, kurie yra susiję su šiais įvykiais, tikimybes. Šiose problemose reikalingos tokios tikimybių operacijos kaip tikimybių sudėjimas ir dauginimas.

Pavyzdžiui, medžiojant buvo paleisti du šūviai. Renginys A- pataikymas į antį iš pirmo šūvio, įvykis B- pataikė iš antro šūvio. Tada įvykių suma A ir B- pataikyti iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių.

Kitokio tipo užduotys. Pateikiami keli įvykiai, pavyzdžiui, moneta metama tris kartus. Reikia rasti tikimybę, kad arba visus tris kartus iškris herbas, arba kad herbas iškris bent kartą. Tai daugybos problema.

Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimas

Tikimybių sudėjimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti atsitiktinių įvykių kombinacijos tikimybę arba loginę sumą.

Įvykių suma A ir B paskirti A + B arba A ∪ B. Dviejų įvykių suma yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių. Tai reiškia kad A + B- įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykis įvyksta stebėjimo metu A arba renginys B, arba tuo pačiu metu A ir B.

Jei įvykiai A ir B yra tarpusavyje nesuderinami ir pateikiamos jų tikimybės, tada tikimybė, kad vienas iš šių įvykių įvyks po vieno bandymo, apskaičiuojama pridedant tikimybes.

Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų tarpusavyje nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

Pavyzdžiui, medžiojant buvo paleisti du šūviai. Renginys IR– pataikyti į antis iš pirmo šūvio, įvykis AT– pataikymas iš antro šūvio, įvykis ( IR+ AT) – pataikymas iš pirmo ar antro šūvio arba iš dviejų šūvių. Taigi, jei du įvykiai IR ir AT tai nesuderinami įvykiai IR+ AT- bent vieno iš šių įvykių arba dviejų įvykių.

1 pavyzdys Dėžutėje yra 30 vienodo dydžio kamuoliukų: 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Apskaičiuokite tikimybę, kad nežiūrint bus paimtas spalvotas (ne baltas) rutulys.

Sprendimas. Tarkime, kad įvykis IR– „raudonas kamuolys paimtas“, ir įvykis AT- "Mėlynas kamuolys paimtas". Tada įvykis yra „paimamas spalvotas (ne baltas) kamuolys“. Raskite įvykio tikimybę IR:

ir įvykius AT:

Vystymai IR ir AT- tarpusavyje nesuderinami, nes paėmus vieną rutulį negalima paimti skirtingų spalvų kamuoliukų. Todėl naudojame tikimybių pridėjimą:

Kelių nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Jei įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, tada jų tikimybių suma yra lygi 1:

Priešingų įvykių tikimybių suma taip pat lygi 1:

Priešingi įvykiai sudaro visą įvykių rinkinį, o viso įvykių rinkinio tikimybė yra 1.

Priešingų įvykių tikimybės dažniausiai žymimos mažomis raidėmis. p ir q. Visų pirma,

iš kurių išplaukia šios priešingų įvykių tikimybės formulės:

2 pavyzdys Taikinys brūkšnyje yra padalintas į 3 zonas. Tikimybė, kad tam tikras šaulys šaudys į taikinį pirmoje zonoje yra 0,15, antroje zonoje - 0,23, trečioje zonoje - 0,17. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį, ir tikimybę, kad šaulys nepataiko į taikinį.

Sprendimas: Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys į taikinį:

Raskite tikimybę, kad šaulys nepataikė į taikinį:

Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėjimo ir daugybos užduotys“ .

Abipusių bendrų įvykių tikimybių pridėjimas

Du atsitiktiniai įvykiai laikomi bendrais, jei vieno įvykio įvykis netrukdo įvykti antram įvykiui tame pačiame stebėjime. Pavyzdžiui, metant kauliuką, įvykis IR yra laikomas skaičiaus 4 atsiradimas ir įvykis AT- numesti lyginį skaičių. Kadangi skaičius 4 yra lyginis skaičius, abu įvykiai yra suderinami. Praktikoje yra užduočių, skirtų apskaičiuoti vieno iš abipusiai bendrų įvykių tikimybę.

Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, iš kurios atimama abiejų įvykių bendro įvykio tikimybė, tai yra tikimybių sandauga. Bendrų įvykių tikimybių formulė yra tokia:

Nes įvykiai IR ir AT suderinamas, įvykis IR+ ATįvyksta, jei įvyksta vienas iš trijų galimų įvykių: arba AB. Pagal nesuderinamų įvykių pridėjimo teoremą apskaičiuojame taip:

Renginys IRįvyksta, jei įvyksta vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: arba AB. Tačiau vieno įvykio iš kelių nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi visų šių įvykių tikimybių sumai:

Panašiai:

Pakeitę išraiškas (6) ir (7) į išraišką (5), gauname bendrų įvykių tikimybės formulę:

Naudojant formulę (8), reikia atsižvelgti į tai, kad įvykiai IR ir AT gal būt:

  • tarpusavyje nepriklausomi;
  • viena nuo kitos priklausomos.

Tikimybių formulė viena kitai nepriklausomiems įvykiams:

Tikimybių formulė viena kitai priklausomiems įvykiams:

Jei įvykiai IR ir AT yra nenuoseklūs, tada jų sutapimas yra neįmanomas atvejis ir todėl P(AB) = 0. Ketvirtoji nesuderinamų įvykių tikimybės formulė yra tokia:

3 pavyzdys Automobilių lenktynėse, važiuojant pirmuoju automobiliu, tikimybė laimėti, važiuojant antruoju automobiliu. Rasti:

  • tikimybė, kad laimės abu automobiliai;
  • tikimybė, kad laimės bent vienas automobilis;

1) Tikimybė, kad laimės pirmasis automobilis, nepriklauso nuo antrojo automobilio rezultato, todėl įvykiai IR(laimi pirmasis automobilis) ir AT(laimi antrasis automobilis) – nepriklausomi renginiai. Raskite tikimybę, kad laimės abu automobiliai:

2) Raskite tikimybę, kad laimės vienas iš dviejų automobilių:

Sunkesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą – puslapyje „Įvairios tikimybių sudėjimo ir daugybos užduotys“ .

Išspręskite tikimybių pridėjimo problemą patys, o tada pažiūrėkite į sprendimą

4 pavyzdys Mestos dvi monetos. Renginys A- herbo praradimas ant pirmosios monetos. Renginys B- antrosios monetos herbo praradimas. Raskite įvykio tikimybę C = A + B .

Tikimybių daugyba

Tikimybių dauginimas naudojamas, kai reikia apskaičiuoti įvykių loginės sandaugos tikimybę.

Šiuo atveju atsitiktiniai įvykiai turi būti nepriklausomi. Sakoma, kad du įvykiai yra vienas nuo kito nepriklausomi, jei vieno įvykio įvykis neturi įtakos antrojo įvykio tikimybei.

Tikimybių daugybos teorema nepriklausomiems įvykiams. Tikimybė, kad vienu metu įvyks du nepriklausomi įvykiai IR ir AT yra lygus šių įvykių tikimybių sandaugai ir apskaičiuojamas pagal formulę:

5 pavyzdys Moneta metama tris kartus iš eilės. Raskite tikimybę, kad herbas iškris visus tris kartus.

Sprendimas. Tikimybė, kad herbas nukris pirmą kartą išmetus monetą, antrą kartą ir trečią kartą. Raskite tikimybę, kad herbas iškris visus tris kartus:

Pats išspręskite tikimybių padauginimo uždavinius, o tada pažiūrėkite į sprendimą

6 pavyzdys Yra dėžė su devyniais naujais teniso kamuoliukais. Žaidimui paimami trys kamuoliai, po žaidimo jie grąžinami atgal. Renkantis kamuoliukus jie neskiria sužaistų ir nežaistų kamuolių. Kokia tikimybė, kad po trys žaidimai ar dėžėje nebus nesužaistų kamuolių?

7 pavyzdys Ant iškirptų abėcėlės kortelių parašytos 32 rusiškos abėcėlės raidės. Atsitiktinai viena po kitos ištraukiamos penkios kortos ir dedamos ant stalo tokia tvarka, kokia jos pasirodo. Raskite tikimybę, kad raidės sudarys žodį „pabaiga“.

8 pavyzdys Iš pilnos kortų kaladės (52 lapai) iš karto išimamos keturios kortos. Raskite tikimybę, kad visos keturios šios kortos yra tos pačios spalvos.

9 pavyzdys Ta pati problema kaip ir 8 pavyzdyje, bet kiekviena korta ištraukus grąžinama į kaladę.

Sudėtingesnės užduotys, kuriose reikia taikyti ir tikimybių sudėjimą, ir dauginimą, taip pat apskaičiuoti kelių įvykių sandaugą - puslapyje „Įvairios tikimybių sudėties ir daugybos užduotys“ .

Tikimybę, kad įvyks bent vienas iš tarpusavyje nepriklausomų įvykių, galima apskaičiuoti iš 1 atėmus priešingų įvykių tikimybių sandaugą, tai yra pagal formulę.

Panašūs įrašai