Įvykio tikimybė. Įvykio tikimybės nustatymas. Renginių nepriklausomybė. Tikimybių daugybos teorema Kaip rasti nepriklausomų įvykių tikimybę

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Priešingų įvykių tikimybių sudėjimo teorema

Priešingasįvardykite du nesuderinamus įvykius, kurie sudaro visą grupę. Jei vieną iš dviejų priešingų įvykių nurodo A, dažniausiai žymima kažkas kita . Priešingas įvykis susideda iš įvykio neįvykimo A.

Teorema. Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui:

P(A)+P()= 1.

4 pavyzdys. Dėžutėje yra 11 dalių, iš kurių 8 yra standartinės. Raskite tikimybę, kad tarp 3 atsitiktinai išskirtų dalių yra bent viena su defektu.

Sprendimas. Problemą galima išspręsti dviem būdais.

1 būdas. Įvykiai „tarp ištrauktų dalių yra bent viena brokuota“ ir „tarp ištrauktų dalių nėra nė vienos defektinės dalies“ yra priešingi. Pirmąjį įvykį pažymėkime A, o antrasis per :

P(A) =1 - P( ) .

Mes surasime R(). Bendras būdų, kuriais iš 11 dalių galima išgauti 3 dalis, skaičius yra lygus derinių skaičiui
. Standartinių dalių skaičius yra 8 ; iš šio dalių skaičiaus galima
3 standartinių dalių ištraukimo būdai. Todėl tikimybė, kad tarp išskirtų 3 dalių nėra nė vienos nestandartinės dalies, lygi:

Pagal priešingų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą norima tikimybė lygi: P(A)=1 – P()=

2 būdas. Renginys A- "tarp ištrauktų dalių yra bent viena defektinė" - gali būti įgyvendinta kaip:

ar įvykius IN- „Pašalinta 1 sugedusi ir 2 be defektų dalys“,

ar įvykius SU- „Pašalintos 2 sugedusios ir 1 be defektų dalys“,

ar įvykius D - „Pašalintos 3 sugedusios dalys“.

Tada A= B+ C+ D. Nuo įvykių B, C Ir D nenuoseklus, tada galime pritaikyti nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo teoremą:

4. Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema

Dviejų įvykių rezultatasA IrIN paskambinti į įvykį C=AB, susidedantis iš bendro šių įvykių atsiradimo (derinio).

Kelių įvykių rezultatas vadinti įvykiu, susidedančiu iš visų šių įvykių bendro įvykio. Pavyzdžiui, renginys ABC susideda iš įvykių derinimo A, B Ir SU.

Vadinami du renginiai nepriklausomas, jei vieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo kito atsiradimo ar neatsiradimo.

Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

P(AB) = P(A) P(B).

Pasekmė. Kelių įvykių, kurie visumoje yra nepriklausomi, bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai :

P(A 1 A 2 ... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

5 pavyzdys. Raskite tikimybę, kad išmetus dvi monetas herbas atsiras kartu.

Sprendimas. Pažymime įvykius: A - herbo atsiradimas ant pirmosios monetos, IN – antrosios monetos herbas, SU- herbo išvaizda ant dviejų monetų C=AB.

Pirmosios monetos herbo atsiradimo tikimybė :

P(A) =.

Antrosios monetos herbo atsiradimo tikimybė :

P(B) =.

Nuo įvykių A Ir IN nepriklausomas, tada reikiama tikimybė pagal daugybos teoremą yra lygi:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

6 pavyzdys. Yra 3 dėžės, kuriose yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8, antroje 7 ir trečioje 9 standartinės dalys. Iš kiekvienos dėžutės atsitiktinai išimama viena dalis. Raskite tikimybę, kad visos trys išimtos dalys bus standartinės.

Sprendimas. Tikimybė, kad standartinė dalis bus pašalinta iš pirmosios dėžutės (įvykis A):

P(A) =

Tikimybė, kad standartinė dalis bus pašalinta iš antrojo langelio (įvykis IN):

Tikimybė, kad standartinė dalis bus pašalinta iš trečiojo langelio (įvykis SU):

P(C)=

Nuo įvykių A, B Ir SU nepriklausomas visumoje, tada norima tikimybė (pagal daugybos teoremą) yra lygi:

P(ABC) = P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

7 pavyzdys. Kiekvieno iš dviejų nepriklausomų įvykių tikimybės A 1 Ir A 2 atitinkamai lygus R 1 Ir R 2. Raskite tik vieno iš šių įvykių tikimybę.

Sprendimas. Pristatome renginių pavadinimus:

IN 1 – pasirodė tik įvykis A 1 ; IN 2 – pasirodė tik įvykis A 2 .

Įvykio įvykis IN 1 yra lygiavertis įvykio įvykiui A 1 2 (pirmas įvykis pasirodė, o antrasis nepasirodė), t.y. IN 1 = A 1 2 .

Įvykio įvykis IN 2 yra lygiavertis įvykio įvykiui 1 A 2 (pirmasis įvykis nepasirodė, o antrasis pasirodė), t.y. IN 1 = 1 A 2 .

Taigi, norint rasti tik vieno iš įvykių tikimybę A 1 arba A 2 , pakanka rasti vieno įvykio tikimybę, nesvarbu, kuris iš įvykių IN 1 Ir IN 2 . Renginiai IN 1 Ir IN 2 yra nenuoseklūs, todėl galioja nesuderinamų įvykių pridėjimo teorema:

P(B 1 +B 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Teorema

Dviejų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybių ir kito sąlyginės tikimybės sandaugai, apskaičiuotai su sąlyga, kad įvyko pirmasis.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Renginys $A$ vadinamas renginys nepriklausomas$B$, jei įvykio $A$ tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvykis $B$ įvyko, ar ne. Renginys $A$ vadinamas priklausomas nuo įvykio$B$, jei įvykio $A$ tikimybė pasikeičia priklausomai nuo to, ar įvykis $B$ įvyksta, ar ne.

Iškviečiama įvykio $A$ tikimybė, apskaičiuota atsižvelgiant į tai, kad įvyko kitas įvykis $B$ sąlyginė įvykio tikimybė$A$ ir žymimas $P(A | B)$ .

Įvykio $A$ nepriklausomumo nuo $B$ sąlygą galima parašyti taip:

$$P(A | B)=P(A)$$

o priklausomybės sąlyga yra tokia:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

1 išvada. Jei įvykis $A$ nepriklauso nuo įvykio $B$, tai įvykis $B$ nepriklauso nuo įvykio $A$.

2 išvada. Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Tikimybių daugybos teoremą galima apibendrinti atsitiktinio įvykių skaičiaus atveju. Apskritai jis suformuluotas taip.

Tikimybė, kad įvyks keli įvykiai, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai, o kiekvieno paskesnio įvykio tikimybė apskaičiuojama su sąlyga, kad įvyko visi ankstesni:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2) | A_(1) \right) \cdot P\left(A_(3) | A_(1) A_(2)\right) \cdots \cdots P\left(A_(n) | A_(1) A_(2) \ltaškai A_( n-1)\right)$$

Nepriklausomų įvykių atveju teorema supaprastėja ir įgyja tokią formą:

$$P\left(A_(1) A_(2) \ldots A_(n)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right) \cdot P\left(A_(3)\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_(n)\right)$$

tai yra, nepriklausomų įvykių atsiradimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

$$P\left(\prod_(i=1)^(n) A_(i)\right)=\prod_(i=1)^(n) P\left(A_(i)\right)$$

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pavyzdys

Pratimas. Urnoje yra 2 balti ir 3 juodi rutuliai. Iš urnos iš eilės išimami du rutuliai ir negrąžinami. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra balti.

Sprendimas. Tegul įvykis $A$ yra dviejų baltų rutuliukų atsiradimas. Šis įvykis yra dviejų įvykių rezultatas:

$$A=A_(1) A_(2)$$

kur įvykis $A_1$ yra balto rutulio atsiradimas pirmojo pašalinimo metu, $A_2$ yra balto rutulio atsiradimas antrojo pašalinimo metu. Tada pagal tikimybių daugybos teoremą

$$P(A)=P\kairė(A_(1) A_(2)\dešinė)=P\kairė(A_(1)\dešinė) \ctaškas P\kairė(A_(2) | A_(1)\ dešinė)=\frac(2)(5) \cdot \frac(1)(4)=\frac(1)(10)=0,1$$

Atsakymas. $0,1$

Pavyzdys

Pratimas. Urnoje yra 2 balti ir 3 juodi rutuliai. Iš urnos iš eilės traukiami du rutuliai. Po pirmojo traukimo kamuoliukas grąžinamas į urną ir urnoje esantys rutuliai sumaišomi. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra balti.

Sprendimas.Šiuo atveju įvykiai $A_1$ ir $A_2$ yra nepriklausomi, o tada reikiama tikimybė

$$P(A)=P\left(A_(1) A_(2)\right)=P\left(A_(1)\right) \cdot P\left(A_(2)\right)=\frac (2) (5) \cdot \frac(2) (5)=\frac(4)(25)=0,16 $$

Klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Įvykio tikimybė yra kiekybinis matas, įvedamas norint palyginti įvykius pagal jų atsiradimo tikimybės laipsnį.

Įvykis, kurį galima pavaizduoti kaip kelių elementarių įvykių rinkinį (sumą), vadinamas sudėtiniu.

Įvykis, kurio negalima suskaidyti į paprastesnius, vadinamas elementariu.

Įvykis vadinamas neįmanomu, jei jis niekada neįvyksta tam tikro eksperimento (testo) sąlygomis.

Tam tikri ir neįmanomi įvykiai nėra atsitiktiniai.

Bendri renginiai– keli įvykiai vadinami jungtiniais, jei dėl eksperimento įvykęs vienas iš jų neatmeta kitų.

Nesuderinami įvykiai– keli įvykiai yra vadinami nesuderinamais tam tikrame eksperimente, jei įvykus vienas iš jų neleidžia įvykti kitiems. Du įvykiai vadinami priešingas, jei vienas iš jų atsiranda tada ir tik tada, kai neįvyksta kitas.

Įvykio A tikimybė yra P(A) – vadinamas skaičių santykiu m elementarūs įvykiai (rezultatai), palankūs įvykiui įvykti A, prie numerio n visų elementarių įvykių tam tikro tikimybinio eksperimento sąlygomis.

Iš apibrėžimo išplaukia šios tikimybės savybės:

1. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo 0 iki 1:

2. Tam tikro įvykio tikimybė yra 1: (3)

3. Jei įvykis neįmanomas, tai jo tikimybė lygi

4. Jei įvykiai nesuderinami, tada

5. Jeigu įvykiai A ir B yra jungtiniai, tai jų sumos tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro atsiradimo tikimybės:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)(6)

6. Jei ir yra priešingi įvykiai, tada (7)

7. Įvykio tikimybių suma A 1, A 2, …, A n, sudaro visą grupę, yra lygus 1:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

Ekonomikos studijose reikšmės ir formulė gali būti interpretuojamos skirtingai. At statistinis apibrėžimasĮvykio tikimybė – tai eksperimentinių rezultatų stebėjimų skaičius, kai įvykis įvyko tiksliai vieną kartą. Šiuo atveju santykis vadinamas santykinis įvykio dažnis (dažnis).

Renginiai A, B yra vadinami nepriklausomas, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Nepriklausomų įvykių tikimybės vadinamos besąlyginis.

Renginiai A, B yra vadinami priklausomas, jei kiekvieno iš jų tikimybė priklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad jau įvyko kitas įvykis A, vadinama sąlyginė tikimybė.

Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada lygybės yra teisingos:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) arba P(B/A) – P(B) = 0(9)

Dviejų priklausomų įvykių A, B sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) arba P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Įvykio B tikimybė, atsižvelgiant į įvykį A:

Dviejų sandaugos tikimybė nepriklausomasįvykiai A, B yra lygūs jų tikimybių sandaugai:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Jei keli įvykiai yra poromis nepriklausomi, tada jų nepriklausomumas visumoje neįvyksta.

Renginiai A 1, A 2, ..., A n (n>2) yra vadinami nepriklausomais visumoje, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kuris nors kitas įvykis, ar ne.

Tikimybė, kad kartu įvyks keli įvykiai, kurie yra nepriklausomi visumoje, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

P(A1∙A2∙A3∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Renginiai A, B yra vadinami nepriklausomas, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Nepriklausomų įvykių tikimybės vadinamos besąlyginis.

Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada lygybės yra teisingos:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) arba P(B/A) – P(B) = 0(9)

Dviejų priklausomų įvykių A, B sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) arba P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Įvykio B tikimybė, atsižvelgiant į įvykį A:

Dviejų sandaugos tikimybė nepriklausomasįvykiai A, B yra lygūs jų tikimybių sandaugai:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Jei keli įvykiai yra poromis nepriklausomi, tada jų nepriklausomumas visumoje neįvyksta.

Renginiai A 1, A 2, ..., A n (n>2) yra vadinami nepriklausomais visumoje, jei kiekvieno iš jų tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kuris nors kitas įvykis, ar ne.

Tikimybė, kad kartu įvyks keli įvykiai, kurie yra nepriklausomi visumoje, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

P(A1∙A2∙A3∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso skyriui:

Paskaitų konspektas: pagrindinės tikimybių teorijos ir statistikos sąvokos, naudojamos ekonometrijoje

Kazanės valstija.. Finansų ir ekonomikos institutas.. Statistikos ir ekonometrijos departamentas..

Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

Visos temos šiame skyriuje:

Diskretus atsitiktinis dydis
Pats išsamiausias ir išsamiausias diskretinio kintamojo aprašymas yra jo pasiskirstymo dėsnis. Atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo dėsnis yra bet koks nustatytas ryšys

Nuolatinis atsitiktinis dydis
Ištisiniam SV neįmanoma nustatyti tikimybės, kad ji įgis kokią nors konkrečią reikšmę (taško tikimybę). Kadangi bet kuriame intervale yra begalinis skaičius reikšmių, tikėtina

Atsitiktinių dydžių ryšys
Daugelį ekonominių rodiklių lemia keli skaičiai, tai yra daugiamačiai SV. Sutvarkytas X = (X1, X2, ..., Xn) rinkinys atsitiktinis

Atrankinis stebėjimas
Bendroji populiacija yra visų galimų tirto SV X verčių arba realizacijų rinkinys tam tikromis realiomis sąlygomis. Mėginių ėmimas

Imties charakteristikų skaičiavimas
Prie bet kurio CV X, be jo pasiskirstymo funkcijos nustatymo, pageidautina nurodyti skaitines charakteristikas, iš kurių svarbiausios yra: - matematinis lūkestis; - dispersija

Normalus skirstinys
Normalusis skirstinys (Gauso skirstinys) yra kraštutinis beveik visų realių tikimybių skirstinių atvejis. Todėl jis naudojamas labai daugybei realių teorijos pritaikymų

Studentų paskirstymas
Tegu SV U ~ N (0,1), SV V yra nuo U nepriklausomas dydis, paskirstytas pagal χ2 dėsnį su n laisvės laipsnių. Tada vertė

Fisher platinimas
Tegu V ir W yra nepriklausomi SV, pasiskirstę pagal χ2 dėsnį, kurių laisvės laipsniai atitinkamai v1 = m ir v2 = n. Tada vertė

Taškiniai įverčiai ir jų savybės
Įvertinkime kokį nors stebimo SW parametrą

Turtas
Įvertis vadinamas nešališku parametro įvertinimu, jei jo matematika

Imties įverčių savybės
Pradiniame etape imties skaitinė charakteristika imama kaip vienos ar kitos skaitinės charakteristikos įvertis (matematinė prognozė, sklaida ir kt.). Tada, išnagrinėjus šį įvertinimą, nustatoma

Normalios SV dispersijos pasitikėjimo intervalas
Tegu X ~ N (m, σ2) ir ir yra nežinomi. Leiskite įvertinti

Patikrinimo kriterijai. Kritinis regionas
Statistinė hipotezė tikrinama remiantis imties duomenimis Tam naudojamas specialiai parinktas SV (statistika, kriterijus), kurio tiksli arba apytikslė reikšmė yra žinoma. E

Įvykiai A, B, C... vadinami priklausomas vienas nuo kito, jeigu bent vieno iš jų atsiradimo tikimybė kinta priklausomai nuo kitų įvykių atsiradimo ar neįvykimo. Renginiai vadinami nepriklausomas, jei kiekvieno iš jų atsiradimo tikimybės nepriklauso nuo kitų atsiradimo ar nepasirodymo.

Sąlyginė tikimybė(PA (B) – sąlyginė įvykio B tikimybė, palyginti su A) yra įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvykis A jau įvyko. sąlyginės tikimybės pavyzdys Sąlyginė įvykio B tikimybė, jei įvykis A jau įvyko, pagal apibrėžimą yra lygi PA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Priklausomų įvykių tikimybių padauginimas: dviejų įvykių bendro įvykimo tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės ir kito sąlyginės tikimybės sandaugai, apskaičiuotai darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko:
P (AB) = P (A) PA (B)

Pavyzdys. Kolektorius turi 3 kūginius ir 7 elipsinius volelius. Rinkėjas paėmė vieną volą, o paskui antrą. Raskite tikimybę, kad pirmasis iš paimtų ritinėlių yra kūgio formos, o antrasis – elipsės formos.

Sprendimas: Tikimybė, kad pirmasis volas pasirodys kūginis (įvykis A), P (A) = 3/10. Tikimybė, kad antrasis volas bus elipsinis (įvykis B), apskaičiuojama darant prielaidą, kad pirmasis volas yra kūginė, t.y. sąlyginė tikimybė RA (B) = 7/9.
Pagal daugybos formulę norima tikimybė yra P (AB) = P (A) PA (B) = (3 / 10) * (7 / 9) = 7 / 30. Atkreipkite dėmesį, kad, laikydamiesi žymėjimo, galime lengvai rasti: P (B) = 7 / 10, РB (A) = 3/9, Р (В) РB (А) = 7 / 30

Renginių nepriklausomumo sąlyga. Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimas. Pavyzdžiai.

Įvykis B nepriklauso nuo įvykio A, jei

P(B/A) = P(B) t.y. Įvykio B tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyks A įvykis.

Šiuo atveju įvykis A nepriklauso nuo įvykio B, tai yra, įvykių nepriklausomumo savybė yra abipusė.

Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi jų tikimybių sandaugai:

P(AB) = P(A)P(B) .

1 pavyzdys:Įrenginys, veikiantis laiką t, susideda iš trijų mazgų, kurių kiekvienas, nepriklausomai nuo kitų, gali sugesti (sugesti) per laiką t. Bent vieno mazgo gedimas sukelia viso įrenginio gedimą. Laikotarpiu t pirmojo mazgo patikimumas (tikimybė be gedimų) yra p 1 = 0,8; antras p 2 = 0,9 trečias p 3 = 0,7. Raskite viso įrenginio patikimumą.

Sprendimas.Žymi:

A – prietaisų veikimas be problemų,

A 1 - pirmojo mazgo veikimas be problemų,

A 2 - antrojo mazgo veikimas be problemų,

A 3 - trečiojo mazgo veikimas be problemų,

iš kur pagal nepriklausomų įvykių daugybos teoremą

P(A) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

2 pavyzdys. Raskite tikimybę, kad skaičius atsiras kartu išmetus dvi monetas.

Sprendimas. Pirmosios monetos skaitmens atsiradimo tikimybė (įvykis A) P(A) = 1/2; antrosios monetos skaitmens atsiradimo tikimybė (įvykis B) yra P(B) = 1/2.

Įvykiai A ir B yra nepriklausomi, todėl rasime reikiamą tikimybę

pagal formulę:

P(AB) = P(A)P(B) = 1/2 * 1/2 = 1/4

Įvykių suderinamumas ir nesuderinamumas. Sudėjus dviejų bendrų įvykių tikimybes. Pavyzdžiai.

Du įvykiai vadinami Bendras, jei vieno iš jų išvaizda neturi įtakos arba neatmeta kitos išvaizdos. Bendri įvykiai gali vykti vienu metu, pavyzdžiui, skaičiaus pasirodymas ant vieno kauliuko arba

jokiu būdu neturi įtakos skaičių išvaizdai ant kito kauliuko. Įvykiai nesuderinami, jei viename reiškinyje ar vieno bandymo metu jie negali būti realizuoti vienu metu, o vieno iš jų atsiradimas pašalina kito atsiradimą (pataikyti į taikinį ir nebuvimas nesuderinami).

Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių A arba B, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Pavyzdys. Pirmajam sportininkui tikimybė pataikyti į taikinį yra 0,85, o antrajam - 0,8. Sportininkai nepriklausomai vienas nuo kito

paleido po vieną šūvį. Raskite tikimybę, kad bent vienas sportininkas pasieks taikinį?

Sprendimas. Įveskime tokius žymėjimus: įvykiai A - „pataikė pirmas sportininkas“, B - „pataikė antras sportininkas“, C - „pataikė bent vienas iš sportininkų“. Akivaizdu, kad A + B = C, o įvykiai A ir B yra vienu metu. Pagal formulę gauname:

P(C) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(C) = P(A)+ P(B)-P(A)P(B),

kadangi A ir B yra nepriklausomi įvykiai. Pakeitę šias reikšmes P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 į P(C) formulę, randame norimą tikimybę

P(C) = (0,85 + 0,8) - 0,85 · 0,8 = 0,97