Хоёр бие даасан үйл явдал. Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд. Нөхцөлт магадлал. Лекцийн тэмдэглэлд эконометрикт хэрэглэгддэг магадлалын онол, статистикийн үндсэн ойлголтуудыг тусгасан болно
Математикийн USE даалгавруудад илүү төвөгтэй магадлалын даалгаврууд (бидний 1-р хэсэгт авч үзсэнээс) байдаг бөгөөд үүнд та нэмэх, магадлалыг үржүүлэх дүрмийг хэрэглэх, хамтарсан болон үл нийцэх үйл явдлуудыг ялгах хэрэгтэй.
Тэгэхээр онол.
Хамтарсан болон хамтарсан бус арга хэмжээ
Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход бусад нь тохиолдохгүй бол үйл явдлыг үл нийцэх үйл явдлууд гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн нэг тодорхой үйл явдал тохиолдож болно, эсвэл өөр.
Жишээлбэл, үхэл шидэх замаар та тэгш тооны оноо, сондгой тооны оноо зэрэг үйл явдлуудыг ялгаж чадна. Эдгээр үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байна.
Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол үйл явдлуудыг хамтарсан гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, үхэл шидэх үед сондгой тооны оноо гарах, гурвын үржвэр болох хэд хэдэн оноо алдах зэрэг үйл явдлуудыг ялгаж болно. Гуравыг эргүүлэхэд хоёр үйл явдал хоёулаа хэрэгжинэ.
Үйл явдлын нийлбэр
Хэд хэдэн үйл явдлын нийлбэр (эсвэл нэгдэл) нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм.
Хаана хоёр салангид үйл явдлын нийлбэр нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр юм:
Жишээлбэл, 5 эсвэл 6 авах магадлал шооХоёр үйл явдал (5-р өнхрөх, 6-р өнхрөх) нь хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул нэг эсвэл өөр үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах байдлаар тооцно.
магадлал хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэр Эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлыг харгалзахгүйгээр тэнцүү байна.
Жишээлбэл, худалдааны төвд хоёр ижил автомат кофе зардаг. Өдрийн эцэс гэхэд машинд кофе дуусах магадлал 0.3 байна. Хоёр машин хоёуланд нь кофе дуусах магадлал 0.12 байна. Өдрийн эцэс гэхэд кофе нь ядаж нэг машинд (өөрөөр хэлбэл аль нэг машинд эсвэл нөгөөд эсвэл хоёуланд нь нэг дор) дуусах магадлалыг олцгооё.
"Кофе эхний машинд дуусна" гэсэн эхний үйл явдлын магадлал, мөн нөхцөлөөр "кофе хоёр дахь машинд дуусах" хоёр дахь үйл явдлын магадлал 0.3-тай тэнцүү байна. Үйл явдал нь хамтын ажиллагаа юм.
Эхний хоёр үйл явдлыг хамтран хэрэгжүүлэх магадлал нөхцөлийн дагуу 0.12-той тэнцүү байна.
Энэ нь өдрийн эцэс гэхэд ядаж нэг машинд кофе дуусах магадлал өндөр байна гэсэн үг юм.
Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд
Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол А ба В хоёр санамсаргүй үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол А ба В үйл явдлуудыг хамааралтай гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, хоёр шоо нэгэн зэрэг шидэх үед тэдгээрийн аль нэгийг нь унагавал 1, хоёр дахь нь 5 гэж хэлнэ. бие даасан үйл явдлууд.
Магадлалын бүтээгдэхүүн
Хэд хэдэн үйл явдлын бүтээгдэхүүн (эсвэл огтлолцол) нь эдгээр бүх үйл явдлын хамт тохиолдсон үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм.
Хэрэв хоёр байвал бие даасан үйл явдлууд P(A) ба P(B) магадлал бүхий A ба B магадлалууд нь A ба B үйл явдлуудын биелэх магадлал нь магадлалын үржвэртэй нэгэн зэрэг тэнцүү байна.
Жишээлбэл, бид хоёр удаа дараалан шоо дээр зургаа алдахыг сонирхож байна. Хоёр үйл явдал хоёулаа бие даасан бөгөөд тус бүр нь тус тусад нь тохиолдох магадлал нь . Эдгээр хоёр үйл явдал тохиолдох магадлалыг дээрх томъёогоор тооцоолно: .
Сэдвийг боловсруулахад зориулсан даалгавруудын сонголтыг харна уу.
A, B, C... үйл явдлуудыг дуудна хамааралтайХэрэв тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь бусад үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаарч өөр өөр байвал бие биенээсээ. Үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасанхэрэв тэдгээр нь тус бүрийн тохиолдох магадлал нь бусад нь тохиолдох эсвэл үүсэхгүй байхаас хамаарахгүй бол.
Нөхцөлт магадлал(RA (B)-Б үйл явдлын А-тай харьцуулахад нөхцөлт магадлал) нь А үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон В үйл явдлын магадлал юм. нөхцөлт магадлалын жишээ А үйл явдал аль хэдийн тохиолдсон тохиолдолд В үйл явдлын нөхцөлт магадлал нь тодорхойлолтоор RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0) -тэй тэнцүү байна.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх:Хоёр үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцоолсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
P (AB) \u003d P (A) RA (B)
Жишээ. Коллектор нь 3 конус, 7 зууван бултай. Коллектор нэг өнхрүүш аваад дараа нь хоёр дахь нь. Авсан булны эхнийх нь конус хэлбэртэй, хоёр дахь нь зууван хэлбэртэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл:Эхний бул конус хэлбэртэй байх магадлал (А үйл явдал), P (A) = 3 / 10. Хоёр дахь бул нь зууван хэлбэртэй байх магадлал (B үйл явдал), эхний бул нь конус хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөлт байна гэсэн таамаглалаар тооцоолсон. магадлал RA (B) = 7/9.
Үржүүлэх томьёоны дагуу хүссэн магадлал P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3/10) * (7/9) \u003d 7/30. Тэмдэглэгээг хадгалахад бид үүнийг анхаарна уу. амархан олох боломжтой: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
Үйл явдлын бие даасан байдлын нөхцөл. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх. Жишээ.
В үйл явдал нь А үйлдлээс үл хамаарах юм
P(B/A) = P(B) i.e. В үйл явдлын магадлал нь А үйл явдал болсон эсэхээс хамаарахгүй.
Энэ тохиолдолд А үйл явдал нь В үйл явдлаас хамаарахгүй, өөрөөр хэлбэл үйл явдлуудын бие даасан шинж чанар нь харилцан хамааралтай байдаг.
Хоёр бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
P(AB) = P(A)P(B) .
Жишээ 1: t хугацаанд ажиллаж байгаа төхөөрөмж нь гурван зангилаанаас бүрдэх ба тэдгээр нь тус бүр нь бусдаас үл хамааран t хугацааны туршид бүтэлгүйтэх (эхэлдэггүй) болно. Наад зах нь нэг зангилааны эвдрэл нь төхөөрөмжийн бүтэлгүйтэлд хүргэдэг. t хугацааны туршид эхний зангилааны найдвартай байдал (алдаагүй ажиллах магадлал) p 1 = 0.8; хоёр дахь p 2 = 0.9 гурав дахь p 3 = 0.7. Төхөөрөмжийн найдвартай байдлыг бүхэлд нь олох.
Шийдэл.Тэмдэглэх нь:
A - төхөөрөмжүүдийн асуудалгүй ажиллах,
1 - эхний зангилааны гэмтэлгүй ажиллагаа,
2 - хоёр дахь зангилааны асуудалгүй ажиллагаа,
3 - гурав дахь зангилааны асуудалгүй ажиллагаа,
үүнээс бие даасан үйл явдлын үржүүлэх теоремоор
P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0.504
Жишээ 2. Хоёр зоос шидэхэд нэг цифр хамт гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл. Эхний зоосны цифр гарч ирэх магадлал (А үйл явдал) Р(А) = 1/2; Хоёр дахь зоосны цифр гарч ирэх магадлал (B үйл явдал) нь P(B) = 1/2.
А ба В үйл явдлууд бие даасан тул бид хүссэн магадлалыг олно
томъёоны дагуу:
P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4
Үйл явдлын тууштай байдал, уялдаа холбоогүй байдал. Хоёр хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх. Жишээ.
Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг хамтарсанхэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөөд нь нөлөөлөхгүй эсвэл үгүйсгэхгүй бол. Нэг шоо дээр дурын тоо гарч ирэх гэх мэт хамтарсан үйл явдлуудыг нэгэн зэрэг хийж болно
өөр яс дээрх тооны харагдах байдалд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Үйл явдлууд хоорондоо зөрчилддөг, хэрэв нэг үзэгдэл эсвэл нэг туршилтанд тэдгээрийг нэгэн зэрэг хэрэгжүүлэх боломжгүй бөгөөд тэдгээрийн аль нэгнийх нь харагдах байдал нь нөгөөгийнх нь харагдах байдлыг үгүйсгэдэг (байлга онох, алга болох нь үл нийцэх).
А эсвэл В хоёр хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг тооцдоггүй.
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).
Жишээ. Эхний тамирчны бай онох магадлал 0.85, хоёр дахь тамирчны хувьд 0.8 байна. Тамирчид бие даасан
нэг буудсан. Ядаж нэг тамирчин бай онох магадлалыг олоорой?
Шийдэл. Тэмдэглэгээг танилцуулъя: үйл явдлууд A - "эхний тамирчны цохилт", B - "хоёр дахь тамирчны цохилт", C - "дор хаяж нэг тамирчны цохилт". Мэдээжийн хэрэг, A + B = C, A ба B үйл явдлууд нийцэж байна. Томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна.
P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)
P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),
Учир нь А ба В нь бие даасан үйл явдал юм. P (A) = 0.85, P (B) = 0.8 утгыг P (C) томъёонд орлуулснаар бид хүссэн магадлалыг олно.
P (C) \u003d (0.85 + 0.8) - 0.85 0.8 \u003d 0.97
P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.
3. Эсрэг үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем
Эсрэгбүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг үл нийцэх хоёр үйл явдлыг нэрлэ. Эсрэг хоёр үйл явдлын аль нэгийг нь тэмдэглэвэл ГЭХДЭЭ,нөгөөг нь ихэвчлэн тэмдэглэдэг .
Эсрэг үйл явдал 
үйл явдал тохиолдохгүй байхаас бүрдэнэ ГЭХДЭЭ.
Теорем.Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.
P(A)+P(
)=
1.
Жишээ 4Хайрцаг нь 11 хэсгээс бүрдэх ба 8 нь стандарт юм. Санамсаргүй байдлаар гаргаж авсан 3 хэсгээс ядаж нэг гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл.Асуудлыг хоёр аргаар шийдэж болно.
1 арга зам. “Олборлосон хэсгүүдийн дунд ядаж нэг гэмтэлтэй хэсэг байна”, “олборлосон хэсгүүдэд нэг ч доголдол байхгүй” гэсэн үйл явдлууд эсрэгээрээ байна. Эхний үйл явдлыг гэж тэмдэглэе ГЭХДЭЭ,болон хоёр дахь нь дамжуулан 
:
P(A) =1 - P( 
)
.
Олъё R(
).
11 хэсгээс 3 хэсгийг гаргаж авах арга замын нийт тоо нь хослолын тоотой тэнцүү байна 
. Стандарт хэсгүүдийн тоо 8 байна ;
энэ тооны хэсгээс 
3 стандарт хэсгийг гаргаж авах арга . Иймд олборлосон 3 хэсгийн дунд стандарт бус хэсэг байхгүй байх магадлал дараах байдалтай тэнцүү байна. 
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремын дагуу хүссэн магадлал нь дараахтай тэнцүү байна. P(A)=1 - P(
)=
2 арга зам.Үйл явдал ГЭХДЭЭ- "олборлосон хэсгүүдийн дунд дор хаяж нэг согогтой байна" - дараахь байдлаар илэрч болно.
эсвэл үйл явдал AT- "1 гэмтэлтэй, 2 гэмтэлгүй хэсгийг арилгасан",
эсвэл үйл явдал FROM- "2 гэмтэлтэй, 1 гэмтэлгүй хэсгийг арилгасан",
эсвэл үйл явдал Д - "3 гэмтэлтэй хэсгийг арилгасан".
Дараа нь А= Б+ C+ Д. Үйл явдлуудаас хойш Б, C болон Д нийцэхгүй бол бид үл нийцэх үйл явдлын магадлалын хувьд нэмэх теоремыг хэрэглэж болно.
4. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем
Хоёр үйл явдлын үр дүнГЭХДЭЭ болонAT арга хэмжээг дуудах C=AB,эдгээр үйл явдлын хамтарсан дүр төрх (хослол) -аас бүрддэг.
Хэд хэдэн арга хэмжээний бүтээгдэхүүнэдгээр бүх үйл явдлын хамт тохиолдсон үйл явдлыг нэрлэ. Жишээлбэл, үйл явдал ABCүйл явдлын нэгдэл юм А, Бболон FROM.
Хоёр үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасанхэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал нь нөгөө нь тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаарахгүй бол.
Теорем.Хоёр бие даасан үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
P(AB)=P(A) P(B).
Үр дагавар.Нийтдээ бие даасан хэд хэдэн үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. :
П(А 1 ГЭХДЭЭ 2 ... ГЭХДЭЭ n ) = P(А 1 ) P(A 2 )...П(А n ).
Жишээ 5Хоёр зоос шидэхэд сүлд хамт гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл. Үйл явдлыг тэмдэглэе: ГЭХДЭЭ -анхны зоос дээрх сүлдний дүр төрх, AT -хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлдний дүр төрх, FROM- хоёр зоос дээрх төрийн сүлдний дүр төрх C=AB.
Эхний зоосны сүлд гарч ирэх магадлал :
P(A) =.
Хоёр дахь зоосны сүлд гарч ирэх магадлал :
P(B) =.
Үйл явдлуудаас хойш ГЭХДЭЭболон ATбие даасан, дараа нь үржүүлэх теоремын дагуу хүссэн магадлал нь тэнцүү байна:
P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.
Жишээ 6 10 хэсэг бүхий 3 хайрцаг байна. Эхний шургуулганд 8, хоёр дахь шургуулганд 7, гурав дахь шургуулганд 9 стандарт эд анги байдаг. Хайрцаг бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг зүйлийг зурсан. Гаргасан гурван хэсэг бүгд стандарт байх магадлалыг ол.
Шийдэл. Эхний хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (үйл явдал ГЭХДЭЭ):
P(A) = 
Хоёрдахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (үйл явдал AT):
Гурав дахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (үйл явдал FROM):
P(C)= 
Үйл явдлуудаас хойш А, Бболон FROMнийлбэрт бие даасан, дараа нь хүссэн магадлал (үржүүлэх теоремын дагуу) тэнцүү байна:
P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.
Жишээ 7Хоёр бие даасан үйл явдал тус бүрийн тохиолдох магадлал ГЭХДЭЭ 1 болон ГЭХДЭЭ 2 тус тус тэнцүү байна Р 1 болон Р 2. Эдгээр үйл явдлын зөвхөн нэг нь тохиолдох магадлалыг ол.
Шийдэл. Үйл явдлын тэмдэглэгээг танилцуулъя:
AT 1 – цорын ганц үйл явдал гарч ирэв ГЭХДЭЭ 1 ; AT 2 – цорын ганц үйл явдал гарч ирэв ГЭХДЭЭ 2 .
Үйл явдал тохиолдох AT 1
үйл явдал болсонтой тэнцүү байна ГЭХДЭЭ 1
2
(эхний үйл явдал гарч, хоёр дахь нь гарч ирээгүй), i.e. AT 1
= А 1
2
.
Үйл явдал тохиолдох AT 2
үйл явдал болсонтой тэнцүү байна 
1
ГЭХДЭЭ 2
(эхний үйл явдал гарч ирээгүй, хоёр дахь нь гарч ирэв), i.e. AT 1
=
1
ГЭХДЭЭ 2
.
Тиймээс зөвхөн нэг үйл явдал тохиолдох магадлалыг олох ГЭХДЭЭ 1 эсвэл ГЭХДЭЭ 2 , үйл явдлын аль нь ч тохиолдох магадлалыг олоход хангалттай AT 1 болон AT 2 . Хөгжил AT 1 болон AT 2 нийцэхгүй байгаа тул үл нийцэх үйл явдлыг нэмэх теоремыг хэрэглэнэ.
П(Б 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд.
Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд
Гарчиг нь аймшигтай харагдаж байгаа ч үнэндээ маш энгийн. Энэ хичээлээр бид үйл явдлын магадлалыг нэмэх, үржүүлэх теоремуудтай танилцахаас гадна ердийн даалгавруудыг шинжлэх болно. магадлалын сонгодог тодорхойлолтын даалгаваргарцаагүй уулзах болно, эсвэл замдаа аль хэдийн уулзсан байх магадлалтай. Энэ нийтлэлийн материалыг үр дүнтэй судлахын тулд та үндсэн нэр томъёог мэдэж, ойлгох хэрэгтэй магадлалын онолэнгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай байх. Таны харж байгаагаар маш бага зүйл шаардагддаг тул хөрөнгөнд өөх тос нэмэгдэх нь бараг баталгаатай юм. Гэхдээ нөгөө талаас би практик жишээн дээр өнгөцхөн хандахаас дахин анхааруулж байна - бас хангалттай нарийн зүйл байдаг. Амжилт хүсье:
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем: хоёрын аль нэг нь тохиолдох магадлал нийцэхгүйүйл явдал эсвэл (юу ч байсан хамаагүй), эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна:
Үүнтэй төстэй баримт нь олон тооны үл нийцэх үйл явдлын хувьд ч үнэн юм, жишээлбэл, гурван үл нийцэх үйл явдал болон:
Мөрөөдлийн теорем =) Гэсэн хэдий ч ийм мөрөөдөл нь нотлох баримттай байдаг, жишээлбэл, эндээс олж болно сургалтын гарын авлага V.E. Гмурман.
Шинэ, урьд өмнө үзэгдэж байгаагүй ойлголтуудтай танилцацгаая.
Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд
Бие даасан үйл явдлуудаас эхэлье. Үйл явдал байна бие даасан тохиолдох магадлал бол аль нэг нь хамаарахгүйавч үзсэн багцын бусад үйл явдлын харагдах байдал / харагдахгүй байдлаас (бүх боломжит хослолоор). ... Гэхдээ нийтлэг хэллэгийг нунтаглах юу байна:
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем: бие даасан үйл явдлын хамт тохиолдох магадлал ба эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хоёр зоос шидсэн 1-р хичээлийн хамгийн энгийн жишээ болон дараах үйл явдлууд руу буцъя.
- 1-р зоос дээр толгой унах болно;
- Хоёр дахь зоос дээр толгойнууд.
Үйл явдлын магадлалыг олцгооё (1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ болонБүргэд 2 дахь зоос дээр гарч ирнэ - хэрхэн уншихаа санаарай үйл явдлын бүтээгдэхүүн!)
. Нэг зоос дээр толгой авах магадлал нь өөр зоос шидэх үр дүнгээс хамаардаггүй тул үйл явдлууд бие даасан байдаг. 
Үүнтэй адилаар: 
нь 1-р зоос толгой дээр буух магадлал юм болон 2-р сүүл дээр; 
1-р зоос дээр толгой гарч ирэх магадлал болон 2-р сүүл дээр; 
нь 1-р зоос сүүл дээр буух магадлал юм болон 2-р бүргэд дээр.
Үйл явдал үүсдэг гэдгийг анхаарна уу бүтэн бүлэгба тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна: .
Үржүүлэх теорем нь илүү олон тооны бие даасан үйл явдлуудыг хамардаг тул жишээлбэл, хэрэв үйл явдлууд бие даасан байвал тэдгээрийн хамтарсан тохиолдох магадлал нь: . Тодорхой жишээн дээр дадлага хийцгээе:
Даалгавар 3
Гурван хайрцаг тус бүр 10 хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хайрцагт 8 стандарт хэсэг, хоёрдугаарт - 7, гурав дахь нь - 9. Хайрцаг бүрээс нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Бүх хэсгүүд стандарт байх магадлалыг ол.
Шийдэл: аль ч хайрцагнаас стандарт болон стандарт бус хэсгийг гаргаж авах магадлал нь бусад хайрцагнаас аль хэсгийг гаргаж авахаас хамаарахгүй тул асуудал нь бие даасан үйл явдлын тухай юм. Дараах бие даасан үйл явдлуудыг авч үзье.
– 1-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хассан;
– 2-р хайрцагнаас стандарт хэсгийг хассан;
– 3-р шүүгээнээс стандарт хэсгийг хассан.
Сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
харгалзах магадлалууд юм.
Бидний сонирхож буй үйл явдал (Стандарт хэсгийг 1-р шүүгээнээс авна болон 2-р стандартаас болон 3-р стандартаас)бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгддэг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
нь гурван хайрцагнаас нэг стандарт хэсгийг гаргаж авах магадлал юм.
Хариулт: 0,504
Хайрцагтай эрч хүчтэй дасгал хийсний дараа биднийг илүү сонирхолтой ургамлууд хүлээж байна.
Даалгавар 4
Гурван саванд 6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг байдаг. Урд бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалж авдаг. Магадлалыг ол: a) бүх гурван бөмбөг цагаан байх; б) гурван бөмбөг бүгд ижил өнгөтэй байна.
Хүлээн авсан мэдээлэлд үндэслэн "байх" гэсэн зүйлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг тааварлаарай ;-) Ойролцоогоор жишээ шийдэл нь бүх үйл явдлын нарийвчилсан тайлбар бүхий академик хэв маягаар хийгдсэн болно.
Хамааралтай үйл явдлууд. Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамааралтай хэрэв түүний магадлал хамаарнааль хэдийн болсон нэг буюу хэд хэдэн үйл явдлаас. Та жишээ авахын тулд хол явах шаардлагагүй - хамгийн ойрын дэлгүүрт очно уу:
- Маргааш 19.00 цагаас шинэ талх худалдаанд гарна.
Энэ үйл явдлын магадлал нь маргааш шинэ талх хүргэх эсэх, оройн 19 цагаас өмнө зарагдах эсэх гэх мэт бусад олон үйл явдлаас хамаарна. Янз бүрийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан энэ үйл явдал найдвартай, боломжгүй байж болно. Тиймээс үйл явдал болж байна хамааралтай.
Талх ... мөн Ромчуудын шаардсанаар циркчид:
- шалгалтанд оюутан энгийн тасалбар авна.
Хэрэв та хамгийн түрүүнд явахгүй бол үйл явдал нь хамааралтай байх болно, учир нь түүний магадлал нь ангийнхан аль тасалбар авсан эсэхээс хамаарна.
Үйл явдлын хамаарал/бие даасан байдлыг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Заримдаа энэ нь асуудлын нөхцөл байдалд шууд илэрхийлэгддэг боловч ихэнхдээ бие даасан дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай болдог. Энд хоёрдмол утгагүй удирдамж байхгүй бөгөөд үйл явдлын хамаарал эсвэл бие даасан байдал нь байгалийн логик үндэслэлээс үүдэлтэй юм.
Бүгдийг нэг овоолон хаяхгүйн тулд хамааралтай үйл явдлын даалгаварБи дараагийн хичээлийг онцлох болно, гэхдээ одоо бид практикт хамгийн түгээмэл теоремуудыг авч үзэх болно.
Тогтворгүй магадлалын нэмэх теоремуудын бодлого
бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх
Энэхүү тандем нь миний субъектив үнэлгээгээр хэлэлцэж буй сэдвийн даалгаврын 80 орчим хувийг гүйцэтгэдэг. Хит хит, магадлалын онолын жинхэнэ сонгодог бүтээл:
Даалгавар 5
Хоёр буудагч бай руу тус бүр нэг сум хийв. Эхний мэргэн буучийн хувьд онох магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.6 байна. Магадлалыг ол:
a) зөвхөн нэг буудагч бай онох болно;
б) буудлагын дор хаяж нэг нь бай онох болно.
Шийдэл: Нэг мэргэн буучийн онох/алдах магадлал нь нөгөө мэргэн буучийн гүйцэтгэлээс үл хамаарах нь ойлгомжтой.
Үйл явдлыг авч үзье:
- 1-р буудагч байг онох болно;
– Хоёр дахь буудагч байг ононо.
Нөхцөлөөр: .
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг олцгооё - харгалзах сумнууд алга болно. 
a) Үйл явдлыг авч үзье: - зөвхөн нэг буудагч байг ононо. Энэ үйл явдал нь хоёр нийцэхгүй үр дүнгээс бүрдэнэ:
1-р мэргэн бууч цохих болно болон 2 дахь хожигдол
эсвэл
1-ийг алдах болно болон 2 дахь нь цохино.
Хэл дээр үйл явдлын алгебруудЭнэ баримтыг дараах байдлаар бичиж болно. 
Нэгдүгээрт, бид үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремыг, дараа нь бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашигладаг.
нь зөвхөн нэг цохилт байх магадлал юм.
б) Үйл явдлыг авч үзье: - буудагчдаас дор хаяж нэг нь бай онох болно.
Юуны өмнө БОДОЁ - "Ядаж НЭГ" гэсэн нөхцөл юу гэсэн үг вэ? Энэ тохиолдолд 1-р мэргэн бууч онох болно (2 дахь нь алдах болно) эсвэл 2 дахь (1 дэх хожигдол) эсвэлхоёр сум нэг дор - нийт 3 үл нийцэх үр дүн.
Нэгдүгээр арга: өмнөх зүйлийн бэлтгэсэн магадлалыг харгалзан тухайн үйл явдлыг дараах салангид үйл явдлын нийлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой.
нэг авах болно (зохицохгүй 2 үр дүнгээс бүрдэх үйл явдал) эсвэл
Хэрэв хоёр сум тусвал бид энэ үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэнэ.
Энэ замаар:
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
нь 1-р мэргэн бууч онох магадлал юм болон 2 дахь мэргэн бууч цохих болно.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремын дагуу:
гэдэг нь байг дор хаяж нэг удаа онох магадлал юм.
Хоёр дахь арга: эсрэг үйл явдлыг авч үзье: - хоёр мэргэн бууч хоцрох болно.
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
Үр дүнд нь:
Онцгой анхааралХоёрдахь аргад анхаарлаа хандуулаарай - ерөнхий тохиолдолд энэ нь илүү оновчтой байдаг.
Нэмж дурдахад дээр дурдсан чимээгүй байсан хамтарсан үйл явдлуудыг нэгтгэх теорем дээр үндэслэн шийдвэрлэх гуравдахь хувилбар бий.
! Хэрэв та материалыг анх удаа уншиж байгаа бол төөрөгдөлд орохгүйн тулд дараагийн догол мөрийг алгасах нь дээр.
Гурав дахь арга
: үйл явдлууд нь хамтарсан бөгөөд энэ нь тэдний нийлбэр нь "дор хаяж нэг буудагч байг онох" үйл явдлыг илэрхийлж байна гэсэн үг юм (Зураг 2-ыг үз). үйл явдлын алгебр). By хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорембие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:
Шалгаж үзье: үйл явдал ба (0, 1, 2 цохилт тус тус)бүрэн бүлэг үүсгэх тул тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой.
, үүнийг шалгах ёстой байсан.
Хариулт: 
Магадлалын онолыг сайтар судалснаар та милитарист агуулгатай олон арван даалгавартай тулгарах бөгөөд энэ нь ердийн зүйл бол үүний дараа та хэнийг ч буудахыг хүсэхгүй байх болно - даалгавар нь бараг бэлэг юм. Загварыг илүү хялбар болгож яагаад болохгүй гэж? Бичлэгийг товчилъё:
Шийдэл: нөхцлийн дагуу: , харгалзах шидэгчдийг онох магадлал. Тэгвэл тэдний алдах магадлал нь: 
a) Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудын дагуу:
ганцхан буудагч бай онох магадлал юм.
б) Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
Энэ нь хоёр мэргэн бууч хожих магадлал юм.
Дараа нь: бууддаг хүмүүсийн ядаж нэг нь бай онох магадлал юм.
Хариулт: 
Практикт та ямар ч дизайны сонголтыг ашиглаж болно. Мэдээжийн хэрэг, тэд ихэвчлэн богино замаар явдаг, гэхдээ 1-р аргыг мартаж болохгүй - энэ нь урт боловч илүү утга учиртай - энэ нь илүү тодорхой, юу, яагаад, яагааднэмээд үржүүлнэ. Зарим тохиолдолд зөвхөн зарим үйл явдлыг том үсгээр тэмдэглэхэд тохиромжтой үед эрлийз хэв маяг тохиромжтой байдаг.
Бие даасан шийдлийн ижил төстэй ажлууд:
Даалгавар 6
Галын дохиоллын хувьд бие даасан хоёр мэдрэгч суурилуулсан. Галын үед мэдрэгч ажиллах магадлал нь эхний болон хоёр дахь мэдрэгчийн хувьд 0.5 ба 0.7 байна. Гал гарах магадлалыг ол:
a) мэдрэгч хоёулаа амжилтгүй болно;
б) мэдрэгч хоёулаа ажиллах болно.
в) ашиглах Бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем, галын үед зөвхөн нэг мэдрэгч ажиллах магадлалыг ол. Энэ магадлалыг шууд тооцоолох замаар үр дүнг шалгана уу (нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг ашиглах).
Энд төхөөрөмжүүдийн үйл ажиллагааны бие даасан байдлыг тухайн нөхцөл байдалд шууд тусгасан байдаг бөгөөд энэ нь чухал тайлбар юм. Шийдэл дээжийг академик хэв маягаар боловсруулсан болно.
Хэрэв ижил төстэй бодлогод ижил магадлал, жишээ нь 0,9 ба 0,9 байвал яах вэ? Та яг адилхан шийдэх хэрэгтэй! (үнэндээ үүнийг хоёр зоосоор жишээн дээр харуулсан)
Даалгавар 7
Нэг удаагийн буудлагаар эхний харвасан хүний бай онох магадлал 0.8 байна. Эхний болон хоёр дахь харваачид нэг удаа буудсаны дараа бай оногдохгүй байх магадлал 0.08 байна. Хоёр дахь буудагч нэг сумаар бай онох магадлал хэд вэ?
Мөн энэ бол богино байдлаар хүрээлэгдсэн жижиг оньсого юм. Нөхцөл байдлыг илүү товчоор өөрчилж болох ч би эх хувилбарыг нь дахин хийхгүй - практик дээр би илүү гоёмсог зохиомжийг судлах хэрэгтэй болно.
Түүнтэй уулзаарай - тэр бол таны хувьд хэмжээлшгүй их хэмжээний нарийн ширийн зүйлийг багасгасан хүн юм =):
Даалгавар 8
Нэг ажилчин гурван машин ажиллуулдаг. Эхний ээлжийн машинд тохируулга хийх магадлал 0.3, хоёр дахь нь 0.75, гурав дахь нь 0.4 байна. Шилжилтийн үед гарах магадлалыг ол:
a) бүх машинд тохируулга шаардлагатай болно;
б) зөвхөн нэг машин тохируулах шаардлагатай;
в) дор хаяж нэг машин тохируулга хийх шаардлагатай.
Шийдэл: нөхцөл нь нэг технологийн процессын талаар юу ч хэлээгүй тул машин бүрийн ажиллагааг бусад машинуудын үйл ажиллагаанаас хамааралгүй гэж үзэх хэрэгтэй.
Даалгавар №5-тай адилтгаж үзвэл, та ээлжийн явцад тохирох машинууд тохируулга хийх шаардлагатай болох, магадлалыг бичих, эсрэг үйл явдлын магадлалыг олох гэх мэт үйл явдлуудыг авч үзэх боломжтой. Гэхдээ гурван объекттой бол би ийм даалгавар хийхийг үнэхээр хүсэхгүй байна - энэ нь урт бөгөөд уйтгартай байх болно. Тиймээс энд "хурдан" хэв маягийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.
Нөхцөлөөр: - ээлжийн үед тохирох машинд тааруулах шаардлагатай байх магадлал. Дараа нь тэдэнд анхаарал хандуулахгүй байх магадлал нь: 
Уншигчдын нэг эндээс дажгүй үсгийн алдаа олсон, би засах ч үгүй =)
a) Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу:
Энэ нь ээлжийн үед гурван машинд тохируулга хийх шаардлагатай байх магадлал юм.
б) "Ээлжийн үед зөвхөн нэг машинд тохируулга хийх шаардлагатай" үйл явдал нь гурван үл нийцэх үр дүнгээс бүрдэнэ.
1) 1-р машин шаардах болноанхаарал болон 2-р машин шаардахгүй болон 3 дахь машин шаардахгүй
эсвэл:
2) 1-р машин шаардахгүйанхаарал болон 2-р машин шаардах болно болон 3 дахь машин шаардахгүй
эсвэл:
3) 1-р машин шаардахгүйанхаарал болон 2-р машин шаардахгүй болон 3 дахь машин шаардах болно.
Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудын дагуу:
- ээлжийн үед зөвхөн нэг машин тохируулах шаардлагатай байх магадлал.
Энэ илэрхийлэл хаанаас ирсэн нь танд тодорхой болсон байх ёстой гэж би бодож байна
в) Машинуудад тохируулга хийх шаардлагагүй байх магадлал, дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлалыг тооцоол.
- дор хаяж нэг машин тохируулга хийх шаардлагатай болно.
Хариулт:
"Ve" гэсэн зүйлийг мөн нийлбэрээр шийдэж болно, энэ нь ээлжийн үед зөвхөн хоёр машинд тохируулга шаардагдах магадлал энд байна. Энэ үйл явдал нь эргээд "байх" зүйлтэй аналогиар гарын үсэг зурсан 3 үл нийцэх үр дүнг агуулдаг. Тэгш байдлын тусламжтайгаар асуудлыг бүхэлд нь шалгах магадлалыг өөрөө олохыг хичээ.
Даалгавар 9
Гурван буугаар бай руу буудсан. Эхний буунаас зөвхөн нэг сумаар цохих магадлал 0.7, хоёр дахь буунаас 0.6, гурав дахь буунаас 0.8 байна. Дараах магадлалыг ол: 1) ядаж нэг сум байг онох; 2) зөвхөн хоёр сум бай онох болно; 3) байг дор хаяж хоёр удаа цохино.
Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт.
Дахин давхцлын тухай: нөхцөл байдлын дагуу эхний магадлалын хоёр эсвэл бүр бүх утга давхцаж байвал (жишээлбэл, 0.7; 0.7 ба 0.7) яг ижил шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөх шаардлагатай.
Өгүүллийн төгсгөлд бид өөр нэг нийтлэг тааврыг шинжлэх болно.
Даалгавар 10
Буудагч нь шидэлт болгондоо ижил магадлалаар байг ононо. Гурван цохилтонд дор хаяж нэг цохилт өгөх магадлал 0.973 бол энэ магадлал хэд вэ.
Шийдэл: -ээр тэмдэглэнэ - сум болгонд бай онох магадлал.
ба дамжуулан - цохилт болгонд алдах магадлал.
Үйл явдлыг бичье:
- 3 удаагийн цохилтоор мэргэн буудагч дор хаяж нэг удаа бай онох болно;
- мэргэн буудагч 3 удаа алдах болно.
Нөхцөлийн дагуу эсрэг үйл явдлын магадлал:
Нөгөөтэйгүүр, бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу: 
Энэ замаар: 
- шидэлт болгондоо алдах магадлал.
Үр дүнд нь:
нь цохилт бүрийг онох магадлал юм.
Хариулт: 0,7
Энгийн бөгөөд дэгжин.
Бодлоготой асуудалд зөвхөн нэг цохилт, хоёр цохилт, байн дээр гурван цохилт өгөх магадлалын талаар нэмэлт асуултуудыг тавьж болно. Шийдлийн схем нь өмнөх хоёр жишээн дээрхтэй яг ижил байх болно. 
Гэсэн хэдий ч үндсэн бодит ялгаа нь байдаг давтан бие даасан туршилтууд, бие биенээсээ хамааралгүй, үр дүнгийн магадлал ижил дарааллаар хийгддэг.
Асуудлын ерөнхий мэдэгдэл: зарим үйл явдлын магадлалыг мэддэг боловч эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай. Эдгээр асуудлуудад магадлалыг нэмэх, үржүүлэх гэх мэт магадлалын үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг.
Тухайлбал, ан хийж байгаад хоёр удаа буудсан. Үйл явдал А- анхны цохилтоос нугас цохих, үйл явдал Б- хоёр дахь цохилтоос цохисон. Дараа нь үйл явдлын нийлбэр Аболон Б- эхний эсвэл хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос цохих.
Өөр төрлийн даалгавар. Хэд хэдэн үйл явдлуудыг өгдөг, жишээлбэл, зоосыг гурван удаа шиддэг. Гурван удаа бүгдээрээ сүлд унах, эсвэл ядаж нэг удаа төрийн сүлд унах магадлалыг олох шаардлагатай. Энэ бол үржүүлэх асуудал юм.
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх
Магадлалын нэмэх нь хослолын магадлал эсвэл санамсаргүй үйл явдлын логик нийлбэрийг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.
Үйл явдлын нийлбэр Аболон Бтомилох А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь тийм гэсэн үг А + Б- ажиглалтын явцад ямар нэгэн үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг Аболон Б.
Хэрэв үйл явдлууд Аболон Бхарилцан нийцэхгүй байгаа ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.
Магадлалыг нэмэх теорем.Хоёр бие биендээ үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тухайлбал, ан хийж байгаад хоёр удаа буудсан. Үйл явдал ГЭХДЭЭ– эхний цохилтоос нугас цохих, үйл явдал AT– хоёр дахь цохилт, үйл явдал ( ГЭХДЭЭ+ AT) - эхний эсвэл хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос цохих. Тэгэхээр хоёр үйл явдал бол ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй үйл явдлууд юм ГЭХДЭЭ+ AT- эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.
Жишээ 1Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 30 бөмбөг байдаг: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харалгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж бодъё ГЭХДЭЭ– “улаан бөмбөгийг авсан”, мөн үйл явдал AT- "Цэнхэр бөмбөгийг авлаа." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг". Үйл явдлын магадлалыг ол ГЭХДЭЭ:
болон үйл явдлууд AT:
Хөгжил ГЭХДЭЭболон AT- харилцан нийцэхгүй, учир нь нэг бөмбөг авбал өөр өөр өнгийн бөмбөг авах боломжгүй. Тиймээс бид магадлалын нэмэхийг ашигладаг:
Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг. хболон q. Тухайлбал,
Үүний эсрэг үйл явдлын магадлалын дараах томьёо дагана.
Жишээ 2Зураас дахь бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн буудагч эхний бүсэд 0.15, хоёрдугаар бүсэд 0.23, гуравдугаар бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.
Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:
Буудагч байгаа алдах магадлалыг ол:
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхийн аль алиныг нь ашиглах шаардлагатай илүү хэцүү даалгаврууд - "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх янз бүрийн даалгавар" хуудсан дээр.
Харилцан хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх
Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, шоо шидэх үед үйл явдал ГЭХДЭЭ 4-ийн тооны тохиолдох, үйл явдал гэж үздэг AT- тэгш тоог хасах. 4-ийн тоо тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт харилцан хамтарсан үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолох даалгавар байдаг.
Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс хоёр үйл явдлын нийтлэг тохиолдох магадлалыг хасч, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэрийг хасна. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах байдалтай байна.
Учир нь үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнийцтэй, үйл явдал ГЭХДЭЭ+ ATГурван боломжит үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.
Үйл явдал ГЭХДЭЭХоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үүнтэй адилаар:
(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.
Томъёо (8) ашиглахдаа үйл явдлуудыг анхаарч үзэх хэрэгтэй ГЭХДЭЭболон ATболомжтой:
- харилцан бие даасан;
- харилцан хамааралтай.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:
Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:
Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо дараах байдалтай байна.
Жишээ 3Автомашины уралдаанд эхний машиныг жолоодох үед хожих магадлал, хоёр дахь машиныг жолоодох үед. Олно:
- хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
- дор хаяж нэг машин ялах магадлал;
1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаардаггүй тул үйл явдлууд ГЭХДЭЭ(эхний машин ялна) ба AT(хоёр дахь машин ялна) - бие даасан үйл явдлууд. Хоёр машин хожих магадлалыг ол:
2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхийн аль алиныг нь ашиглах шаардлагатай илүү хэцүү даалгаврууд - "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх янз бүрийн даалгавар" хуудсан дээр.
Магадлал нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 4Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- анхны зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .
Магадлалын үржвэр
Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох үед магадлалыг үржүүлэх аргыг ашиглана.
Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал ГЭХДЭЭболон ATнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 5Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурвууланд нь унах магадлалыг ол.
Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь удаагаа, гурав дахь удаагаа шидэхэд төрийн сүлд унах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа унах магадлалыг ол.
Магадлалыг үржүүлэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 6Есөн шинэ теннисний бөмбөгтэй хайрцаг байна. Тоглолтод зориулж гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тэд тоглосон, тоглоогүй бөмбөгийг ялгадаггүй. Үүний дараа гарах магадлал хэд вэ гурван тоглоомхайрцагт тоглоогүй бөмбөг байхгүй гэж үү?
Жишээ 7Зүссэн цагаан толгойн карт дээр орос цагаан толгойн 32 үсэг бичигдсэн байдаг. Таван картыг санамсаргүй байдлаар нэг нэгээр нь сугалж, дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд нь "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.
Жишээ 8Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд ижил төрлийн байх магадлалыг ол.
Жишээ 9 8-р жишээтэй ижил асуудал боловч карт бүрийг сугалсны дараа тавцан руу буцаана.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй ажлууд - "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх янз бүрийн даалгавар" хуудсан дээр.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёогоор тооцоолж болно.
