Хэрэв үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг. Хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй үйл явдал. Нийт магадлалын томъёо

Үйл явдлын хамаарлыг дараахь байдлаар ойлгодог магадлалмэдрэмж, үйл ажиллагааны хувьд биш. Энэ нь нэг нь гарч ирэхэд гэсэн үг юм хамааралтай үйл явдлуудбусдын дүр төрхийг хоёрдмол утгагүйгээр шүүх боломжгүй юм. Магадлалын хамаарал гэдэг нь хамааралтай үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох нь зөвхөн нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчилдөг гэсэн үг юм. Хэрэв магадлал өөрчлөгдөхгүй бол үйл явдлыг бие даасан гэж үзнэ.

Тодорхойлолт: Let - дурын магадлалын орон зай, - зарим санамсаргүй үйл явдал. Тэд ингэж хэлдэг үйл явдал ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарахгүй AT , Хэрэв уу нөхцөлт магадлалболзолгүй магадлалтай давхцаж байна:

Хэрвээ , дараа нь бид үйл явдал гэж хэлж байна ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарна AT.

Тусгаар тогтнолын тухай ойлголт нь тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл үйл явдал юм ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарахгүй AT, дараа нь үйл явдал ATүйл явдлаас хамаарахгүй ГЭХДЭЭ. Нээрээ л байя . Дараа нь . Тиймээс тэд зүгээр л үйл явдал гэж хэлдэг ГЭХДЭЭболон ATбие даасан.

Үйл явдлын бие даасан байдлын дараах тэгш хэмтэй тодорхойлолт нь магадлалыг үржүүлэх дүрмээс гарна.

Тодорхойлолт: Хөгжил ГЭХДЭЭболон AT,ижил магадлалын орон зай дээр тодорхойлогдсон гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв

Хэрвээ , дараа нь үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATдуудсан хамааралтай.

Энэ тодорхойлолт нь хэзээ ч хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу эсвэл .

Бие даасан үйл явдлын шинж чанарууд.

1. Хэрэв үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATбие даасан байвал дараах хос үйл явдлууд мөн бие даасан байна: .

▲ Жишээлбэл, үйл явдлуудын бие даасан байдлыг баталъя. Үйл явдлыг төсөөлөөд үз дээ ГЭХДЭЭгэж: . Үйл явдал нь хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул үйл явдлын бие даасан байдлаас болж ГЭХДЭЭболон ATбид үүнийг ойлгодог. Тэгэхээр тусгаар тогтнол гэсэн үг. ■

2. Хэрэв үйл явдал ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаардаггүй ДАХЬ 1болон ДАХЬ 2, нийцэхгүй байна () , тэр үйл явдал ГЭХДЭЭхэмжээнээс хамаарахгүй.

▲ Үнэн хэрэгтээ үйл явдлын магадлал ба бие даасан байдлын нэмэлтийн аксиомыг ашиглан ГЭХДЭЭүйл явдлуудаас ДАХЬ 1болон ДАХЬ 2, бидэнд байгаа:

Бие даасан байдал ба үл нийцэх ойлголтуудын хоорондын хамаарал.

Болъё ГЭХДЭЭболон AT- тэгээс өөр магадлал бүхий аливаа үйл явдал: , тэгэхээр . Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй () тул тэгш байдал хэзээ ч бий болохгүй. Энэ замаар, үл нийцэх үйл явдлууд хамаарна.

Хоёроос дээш үйл явдлыг нэгэн зэрэг авч үзэхэд тэдгээрийн хос бие даасан байдал нь бүхэл бүтэн бүлгийн үйл явдлын хоорондын холбоог хангалттай тодорхойлдоггүй. Энэ тохиолдолд нийлбэрт бие даасан байдлын тухай ойлголтыг оруулсан болно.

Тодорхойлолт: Ижил магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон үйл явдлуудыг дуудна хамтын бие даасан, хэрэв байгаа бол 2 £м £ниндексүүдийн аль ч хослол нь тэгш байдлыг хангана:

At м = 2Нийтдээ бие даасан байдал нь үйл явдлын хос бие даасан байдлыг илэрхийлдэг. Урвуу нь үнэн биш юм.

Жишээ. (Бернштейн С.Н.)

Санамсаргүй туршилт нь ердийн тетраэдр (тетраэдр) шидэхээс бүрдэнэ. Дээрээс доошоо унасан царай байна. Тетраэдрийн нүүр царай нь дараах өнгөтэй байна: 1-р нүүр - цагаан, 2-р нүүр - хар,
3 нүүр - улаан, 4 нүүр - бүх өнгийг агуулсан.

Үйл явдлыг авч үзье:

ГЭХДЭЭ= (Суралцах цагаан өнгө}; Б= (Хар хар);

C= (Улаан завсарлага).

Дараа нь ;

Тиймээс үйл явдлууд ГЭХДЭЭ, ATболон FROMхос бие даасан байдаг.

Гэсэн хэдий ч, .

Тиймээс үйл явдал ГЭХДЭЭ, ATболон FROMХамтдаа тэд бие даасан биш юм.

Практикт, дүрмээр бол үйл явдлын бие даасан байдал тогтоогдоогүй бөгөөд үүнийг тодорхойлолтоор нь шалгадаггүй, харин эсрэгээр: үйл явдлууд нь аливаа гадны хүчин зүйлээс хараат бус эсвэл нөхцөл байдлыг харгалзан үздэг. санамсаргүй туршилт, үйл явдал үүсгэх магадлалыг олохын тулд бие даасан байдлыг ашиглана.

Теорем (бие даасан үйл явдлын магадлалын үржвэр).

Хэрэв магадлалын ижил орон зайд тодорхойлсон үйл явдлууд нийлбэрээр бие даасан байвал тэдгээрийн үржвэрийн магадлал нь магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

▲ Теоремын баталгаа нь агрегат дахь үйл явдлын бие даасан байдлын тодорхойлолт эсвэл ерөнхий магадлалын үржүүлэх теоремоос үүсэлтэй бөгөөд энэ тохиолдолд

Жишээ 1 (нөхцөлт магадлалыг олох ердийн жишээ, бие даасан байдлын тухай ойлголт, магадлалын нэмэх теорем).

Цахилгаан хэлхээ нь бие даасан ажиллагаатай гурван элементээс бүрдэнэ. Элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал нь -тэй тэнцүү байна.

1) Хэлхээний эвдрэлийн магадлалыг ол.

2) Хэлхээ амжилтгүй болсон нь мэдэгдэж байна.

Энэ нь амжилтгүй болох магадлал хэд вэ:

a) 1-р элемент; б) 3-р элемент?

Шийдэл.Үйл явдлыг авч үзье = (Бүтэлгүйтсэн к th элемент), үйл явдал ГЭХДЭЭ= (Схем амжилтгүй болсон). Дараа нь үйл явдал ГЭХДЭЭхэлбэрээр толилуулж байна:

1) Үйл явдал нь хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул магадлалын P3) нэмэлтийн аксиом хамаарахгүй тул магадлалыг олохын тулд ерөнхий магадлалын нэмэх теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

Үйл явдлын магадлалыг үзье ATүйл явдлын өрнөлөөс хамаарахгүй ГЭХДЭЭ.

Тодорхойлолт.Үйл явдал ATдуудсан үйл явдлаас хамааралгүй Ахэрэв үйл явдал тохиолдсон бол ГЭХДЭЭүйл явдлын магадлалыг өөрчлөхгүй AT, өөрөөр хэлбэл хэрэв үйл явдлын нөхцөлт магадлал ATтүүний болзолгүй магадлалтай тэнцүү байна:

Р А(AT) = Р(AT). (2.12)

(2.12)-ыг (2.11) хамааралд орлуулснаар бид олж авна

Р(ГЭХДЭЭ)Р(AT) = Р(AT)Р Б(ГЭХДЭЭ).

Р Б(ГЭХДЭЭ) = Р(ГЭХДЭЭ),

тэдгээр. үйл явдлын нөхцөлт магадлал ГЭХДЭЭүйл явдал болсон гэж үзвэл AT, түүний болзолгүй магадлалтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарахгүй Б.

Лемма (үйл явдлын харилцан бие даасан байдлын тухай): хэрэв үйл явдал ATүйл явдлаас хамаарахгүй ГЭХДЭЭ, дараа нь үйл явдал ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарахгүй AT; гэсэн үг харилцан бие даасан үйл явдлын өмч.

Бие даасан үйл явдлын хувьд үржүүлэх теорем Р(AB) = Р(ГЭХДЭЭ) Р А(AT) хэлбэртэй байна

Р(AB) = Р(ГЭХДЭЭ) Р(AT), (2.13)

тэдгээр. бие даасан хоёр үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тэгш байдлыг (2.13) бие даасан үйл явдлуудын тодорхойлолт болгон авсан. Хэрэв аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.Хоёр үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн хослолын магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бол; эс бөгөөс үйл явдлуудыг дуудна хамааралтай.

Практикт үйл явдлын бие даасан байдал нь асуудлын утгын дагуу дүгнэгддэг. Тухайлбал, хоёр буу тус бүрээр бай онох магадлал нь нөгөө буу нь бай оносон эсэхээс хамаардаггүй тул “эхний буу оносон”, “хоёр дахь буу оносон” үйл явдлууд бие даасан байдаг.

Жишээ. Эхний буугаар байг онох магадлал (үйл явдал) бол хоёр буугаар хамт онох магадлалыг ол. ГЭХДЭЭ) нь 0.8-тай тэнцүү бөгөөд хоёр дахь нь (үйл явдал AT) – 0,7.

Шийдэл.Хөгжил ГЭХДЭЭболон ATбие даасан, тиймээс, үржүүлэх теоремоор, хүссэн магадлал

Р(AB) = Р(ГЭХДЭЭ)Р(AT) = 0.7 × 0.8 = 0.56.

Сэтгэгдэл 1. Хэрэв үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATбие даасан, дараа нь үйл явдал нь бас бие даасан байна. ГЭХДЭЭба , ба AT, ба . Үнэхээр,

Үүний үр дүнд,

, эсвэл .

тэдгээр. хөгжил ГЭХДЭЭболон ATбие даасан.

Үйл явдлын хараат бус байдал ба AT, бөгөөд энэ нь батлагдсан мэдэгдлийн үр дагавар юм.

Хараат бус байдлын тухай ойлголтыг энэ тохиолдолд өргөтгөж болно nүйл явдал.

Тодорхойлолт.Хэд хэдэн арга хэмжээ гэж нэрлэдэг хос бие даасанхэрэв тэдгээрийн хоёр нь бие даасан байвал. Жишээлбэл, үйл явдал ГЭХДЭЭ, AT, FROMүйл явдлууд бие даасан бол хос бие даасан ГЭХДЭЭболон AT, ГЭХДЭЭболон FROM, ATболон FROM.

Үржүүлэх теоремыг хэд хэдэн үйл явдалд нэгтгэхийн тулд бид агрегат дахь үйл явдлуудын бие даасан байдлын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Тодорхойлолт.Хэд хэдэн арга хэмжээ гэж нэрлэдэг хамтын бие даасан(эсвэл зүгээр л бие даасан) хэрэв тэдгээрийн хоёр нь бие даасан бөгөөд бусад үйл явдал, бүх боломжит бүтээгдэхүүн нь бие даасан байвал. Жишээлбэл, хэрэв үйл явдал бол ГЭХДЭЭ 1 , А 2 , ГЭХДЭЭ 3 нь нийлбэрээр бие даасан, дараа нь үйл явдлууд бие даасан байна ГЭХДЭЭ 1 ба А 2 , ГЭХДЭЭ 1 ба ГЭХДЭЭ 3 , А 2 ба ГЭХДЭЭ 3 ; ГЭХДЭЭ 1 ба А 2 ГЭХДЭЭ 3 , А 2 ба ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 3 , ГЭХДЭЭ 3 ба ГЭХДЭЭ 1 А 2. Дээр дурдсан зүйлсээс үзэхэд хэрэв үйл явдлууд нийлбэрээрээ бие даасан байвал бусад үйл явдлуудаас бусад үйл явдлууд тохиолдсон гэсэн таамаглал дээр үндэслэн тэдгээрээс аливаа үйл явдал тохиолдох нөхцөлт магадлал нь түүний үйл явдалтай тэнцүү байна. болзолгүй магадлал.

Хэрэв хэд хэдэн үйл явдал хосоороо бие даасан байвал нийт бие даасан байдал нь үүнээс хараахан гараагүй гэдгийг бид онцолж байна. Энэ утгаараа үйл явдлын нийлбэр дэх бие даасан байдлын шаардлага нь тэдгээрийн хос бие даасан байдлын шаардлагаас илүү хүчтэй байдаг.

Юу хэлснийг жишээгээр тайлбарлая. Цүнхэнд өнгөт 4 бөмбөг байна гэж бодъё: нэг нь улаан ( ГЭХДЭЭ), нэг - цэнхэр өнгөтэй ( AT), нэг - хар ( FROM) ба нэг нь - эдгээр гурван өнгөөр ( ABC). Урднаас гаргасан бөмбөг улаан өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Дөрвөн бөмбөгний хоёр нь улаан өнгөтэй тул Р(ГЭХДЭЭ) = 2/4 = 1/2. Үүнтэй адил маргаж, бид олж мэднэ Р(AT) = 1/2, Р(FROM) = 1/2. Одоо авсан бөмбөгийг цэнхэр өнгөтэй гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. үйл явдал ATаль хэдийн болсон. Тассан бөмбөг улаан өнгөтэй байх магадлал өөрчлөгдөх үү, өөрөөр хэлбэл. Үйл явдлын магадлал өөрчлөгдөх үү? ГЭХДЭЭ? Цэнхэр өнгөтэй хоёр бөмбөгний нэг нь бас улаан өнгөтэй тул үйл явдлын магадлал өндөр байна ГЭХДЭЭ 1/2 хэвээр байна. Өөрөөр хэлбэл, үйл явдлын нөхцөлт магадлал ГЭХДЭЭ, үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар тооцоолсон AT, түүний болзолгүй магадлалтай тэнцүү байна. Тиймээс үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATбие даасан. Үүний нэгэн адил бид үйл явдлуудыг дүгнэж байна ГЭХДЭЭболон FROM, ATболон FROMбие даасан. Тиймээс үйл явдлууд ГЭХДЭЭ, ATболон FROMхос бие даасан байдаг.

Эдгээр үйл явдлууд нийлбэр дүнгээр бие даасан байна уу? Үгүй нь харагдаж байна. Үнэхээр гаргаж авсан бөмбөгийг цэнхэр, хар гэх мэт хоёр өнгөтэй болго. Энэ бөмбөг бас улаан байх магадлал хэд вэ? Зөвхөн нэг бөмбөг гурван өнгөөр будагдсан тул баригдсан бөмбөг нь улаан өнгөтэй байна. Тиймээс үйл явдлуудыг тооцвол ATболон FROMболсон, бид үйл явдал гэж дүгнэж байна ГЭХДЭЭгарцаагүй ирнэ. Тиймээс энэ үйл явдал найдвартай бөгөөд түүний магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл нөхцөлт магадлал R BC(ГЭХДЭЭ)= 1 үйл явдал ГЭХДЭЭтүүний болзолгүй магадлалтай тэнцүү биш байна Р(ГЭХДЭЭ) = 1/2. Тиймээс, хос бие даасан үйл явдлууд ГЭХДЭЭ, AT, FROMхамтын бие даасан биш юм.

Одоо бид үржүүлэх теоремын үр дүнг танилцуулж байна.

Үр дагавар.Нийтдээ бие даасан хэд хэдэн үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа.Гурван үйл явдлыг авч үзье: ГЭХДЭЭ, ATболон FROM. Үйл явдлын хослол ГЭХДЭЭ, ATболон FROMүйл явдлын хослолтой адил юм ABболон FROM, ийм учраас

Р(ABC) = Р(AB×C).

Үйл явдлуудаас хойш ГЭХДЭЭ, ATболон FROMнийлбэрээрээ бие даасан, дараа нь бие даасан, ялангуяа үйл явдлууд юм ABболон FROM, түүнчлэн ГЭХДЭЭболон AT. Хоёр бие даасан үйл явдлын үржүүлэх теоремоор бид:

Р(AB×C) = Р(AB)Р(FROM) ба Р(AB) = Р(ГЭХДЭЭ)Р(AT).

Тиймээс, эцэст нь бид хүртлээ

Р(ABC) = Р(ГЭХДЭЭ)Р(AT)Р(FROM).

Дурын хувьд nБаталгаажуулалтыг математик индукцийн аргаар гүйцэтгэдэг.

Сэтгэгдэл.Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ...,А ннийлбэрээрээ бие даасан байвал эсрэг үйл явдлууд нь нийлбэрээрээ мөн бие даасан байна.

Жишээ.Хоёр зоос шидэхэд сүлд хамт гарч ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл.Эхний зоосны сүлд гарч ирэх магадлал (үйл явдал ГЭХДЭЭ)

Р(ГЭХДЭЭ) = 1/2.

Хоёр дахь зоосны сүлд гарч ирэх магадлал (үйл явдал AT)

Р(AT) = 1/2.

Хөгжил ГЭХДЭЭболон ATбие даасан тул үржүүлэх теоремоор хүссэн магадлал нь тэнцүү байна

Р(AB) = Р(ГЭХДЭЭ)Р(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Жишээ. 10 хэсэг бүхий 3 хайрцаг байна. Эхний шургуулганд 8, хоёр дахь шургуулганд 7, гурав дахь шургуулганд 9 стандарт эд анги байдаг. Хайрцаг бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг зүйлийг зурсан. Гаргасан гурван хэсэг бүгд стандарт байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Эхний хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (үйл явдал ГЭХДЭЭ),

Р(ГЭХДЭЭ) = 8/10 = 0,8.

Хоёрдахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (үйл явдал AT),

Р(AT) = 7/10 = 0,7.

Гурав дахь хайрцагнаас стандарт хэсгийг авах магадлал (үйл явдал FROM),

Р(FROM) = 9/10 = 0,9.

Үйл явдлуудаас хойш ГЭХДЭЭ, ATболон FROMнийлбэрт бие даасан байвал хүссэн магадлал (үржүүлэх теоремоор) тэнцүү байна.

Р(ABC) = Р(ГЭХДЭЭ)Р(AT)Р(FROM) = 0.8×0.7×0.9 = 0.504.

Нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг хамтран хэрэглэх жишээг өгье.

Жишээ.Гурван бие даасан үйл явдал тус бүрийн тохиолдох магадлал ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 3 тус тус тэнцүү Р 1 , Р 2 , Р 3 . Эдгээр үйл явдлын зөвхөн нэг нь тохиолдох магадлалыг ол.

Шийдэл. Жишээлбэл, гадаад төрх байдал гэдгийг анхаарна уу зөвхөнанхны үйл явдал ГЭХДЭЭ 1 нь үйл явдлын дүр төрхтэй тэнцэнэ (эхнийх нь гарч, хоёр, гурав дахь үйл явдал гарч ирээгүй). Тэмдэглэгээг танилцуулъя:

Б 1 - зөвхөн үйл явдал гарч ирэв ГЭХДЭЭ 1, i.e. ;

Б 2 - зөвхөн үйл явдал гарч ирэв ГЭХДЭЭ 2, өөрөөр хэлбэл. ;

Б 3 - зөвхөн үйл явдал гарч ирэв ГЭХДЭЭ 3, өөрөөр хэлбэл. .

Тиймээс зөвхөн нэг үйл явдал тохиолдох магадлалыг олох ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 3 , бид магадлалыг хайх болно П(Б 1 + Б 2 + AT 3) үйл явдлын аль нь ч хамаагүй нэгний дүр төрх AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Үйл явдлуудаас хойш AT 1 , AT 2 , AT 3 нь нийцэхгүй байвал нэмэх теорем хэрэгжинэ

П(Б 1 + Б 2 + AT 3) = Р(AT 1) + Р(AT 2) + Р(AT 3). (*)

Үйл явдал бүрийн магадлалыг олоход л үлддэг AT 1 , AT 2 , AT 3 . Хөгжил ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 3 нь бие даасан, тиймээс үйл явдлууд нь бие даасан байдаг тул үржүүлэх теорем нь тэдгээрт хамаарна

Үүний нэгэн адил,

Эдгээр магадлалыг (*) гэж орлуулснаар бид зөвхөн нэг үйл явдал тохиолдох магадлалыг олно. ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 3.

Магадлалын тодорхойлолт

Сонгодог тодорхойлолт

Магадлалын сонгодог "тодорхойлолт" нь уг ойлголтоос үүдэлтэй тэгш боломжсудалж буй үзэгдлийн объектив шинж чанар. Эквивалент гэдэг нь тодорхойлогддоггүй ойлголт бөгөөд судалж буй үзэгдлийн тэгш хэмийн талаархи ерөнхий ойлголтоос үүсдэг. Жишээлбэл, зоос шидэх үед зоосны тэгш хэм, материалын нэгэн төрлийн байдал, шидэх санамсаргүй байдал (хязгааргүй) зэргээс шалтгаалан "сүүл"-ийг илүүд үзэх шалтгаан байхгүй гэж үздэг. "бүргэдүүд" эсвэл эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл эдгээр талуудын алдагдлыг ижил магадлалтай (тэнцүү магадлалтай) гэж үзэж болно.

Сонгодог тодорхойлолтод ерөнхий тохиолдолд тэгш магадлалын тухай ойлголттой зэрэгцээд судлаж буй А үйл явдалд таатай эсвэл үл нийцэх энгийн үзэгдэл (үр дүн) гэсэн ойлголтыг бас шаарддаг.Бид гарч ирэх боломжийг үгүйсгэдэг үр дүнгийн тухай ярьж байна. бусад үр дагавар гарах тухай. Эдгээр нь үл нийцэх энгийн үйл явдлууд юм. Жишээлбэл, шидэх үед шооТодорхой дугаарыг хасвал бусад дугаарыг хасна.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Санамсаргүй тохиолдлын магадлалА тооны харьцаа гэж нэрлэдэг n үйл явдлыг бүрдүүлдэг үл нийцэх адил магадлалтай энгийн үйл явдлуудА , бүх боломжит анхан шатны үйл явдлын тоо хүртэлН :

Жишээлбэл, хоёр шоо шидэв гэж бодъё. Адилхан боломжтой үр дүнгийн нийт тоо (анхан шатны үйл явдлууд) нь 36 (үхэл бүрт 6 боломж) байх нь ойлгомжтой. 7 оноо авах магадлалыг тооцоол. 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 гэсэн аргаар 7 оноо авах боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, А үйл явдлыг дэмжсэн 6 ижил магадлалтай үр дүн байдаг - 7 оноо авах. Тиймээс магадлал нь 6/36=1/6 байх болно. Харьцуулбал 12 оноо буюу 2 оноо авах магадлал ердөө 1/36 - 6 дахин бага байна.

Геометрийн тодорхойлолт

Сонгодог тодорхойлолт нь зөн совингийн шинж чанартай бөгөөд практик дээр үндэслэсэн боловч ижил төстэй үр дүнгийн тоо хязгааргүй бол наад зах нь шууд хэрэглэх боломжгүй юм. Хязгааргүй тооны боломжит үр дүнгийн гайхалтай жишээ бол хязгаарлагдмал геометрийн бүс G, жишээлбэл, хавтгай дээр, S талбайтай. Санамсаргүй байдлаар "шидэгдсэн" ижил магадлалтай "цэг" нь энэ бүсийн аль ч цэг дээр байж болно. Асуудал нь s талбайтай g ямар нэг дэд домайнд цэг унах магадлалыг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд сонгодог тодорхойлолтыг нэгтгэн дүгнэхэд бид дэд домайн руу орох магадлалын геометрийн тодорхойлолтод хүрч болно.

Тэнцүү боломжийг авч үзвэл энэ магадлал нь g бүсийн хэлбэрээс хамаарахгүй, зөвхөн талбайгаас хамаарна. Энэ тодорхойлолтыг талбайн оронд "эзэлхүүн" гэсэн ойлголтыг ашигладаг ямар ч хэмжээсийн орон зайд ерөнхийд нь оруулж болно. Түүгээр ч барахгүй энэ тодорхойлолт нь магадлалын орчин үеийн аксиоматик тодорхойлолтод хүргэдэг. Эзлэхүүний тухай ойлголтыг зарим хийсвэр багцын "хэмжих" үзэл баримтлалд нэгтгэсэн бөгөөд үүнд тавигдах шаардлага тавигддаг бөгөөд "эзлэхүүн" нь геометрийн тайлбарт бас байдаг - юуны түрүүнд эдгээр нь сөрөг бус ба нэмэлт чанар юм.

Давтамж (статистик) тодорхойлох

Сонгодог тодорхойлолт нь нарийн төвөгтэй асуудлыг авч үзэхэд даван туулахын аргагүй бэрхшээлтэй тулгардаг. Ялангуяа зарим тохиолдолд адил магадлалтай тохиолдлуудыг тодорхойлох боломжгүй байдаг. Мэдэгдэж байгаагаар зоосны хувьд ч гэсэн онолын үүднээс авч үзэх боломжгүй "ирмэг" унах магадлал бараг адилгүй байдаг (энэ нь магадлал багатай гэж хэлж болно, энэ нь илүү дээр юм. практик). Тиймээс магадлалын онол үүсэх эхэн үед магадлалын өөр "давтамж" тодорхойлолтыг санал болгосон. Албан ёсоор магадлалыг ажиглалтын нэгэн төрлийн (өөрөөр хэлбэл ажиглалтын бүх нөхцлийн ижил байдал) болон бие биенээсээ хараат бус байдлыг харгалзан А үйл явдлын ажиглалтын давтамжийн хязгаар гэж тодорхойлж болно.

хаана нь ажиглалтын тоо, үйл явдлын тохиолдлын тоо юм.

Энэхүү тодорхойлолт нь үл мэдэгдэх магадлалыг олон тооны нэгэн төрлийн, бие даасан ажиглалтын тусламжтайгаар тооцоолох арга замыг зааж байгаа хэдий ч энэхүү тодорхойлолт нь магадлалын ойлголтын агуулгыг тусгасан болно. Тухайлбал, хэрэв тодорхой магадлалыг үйл явдалд түүний боломжийн объектив хэмжүүр болгон холбосон бол энэ нь тогтмол нөхцөл, олон давталтын үед бид түүний тохиолдох давтамжийг ойртох тусам (илүү ойртох тусам илүү их ажиглалт) авах ёстой гэсэн үг юм. Ер нь магадлал гэдэг ойлголтын анхны утга нь энэ. Энэ нь байгалийн үзэгдлийн талаархи объективист үзэл дээр суурилдаг. Доорх хуулиуд гэж нэрлэгддэг том тоомагадлалын давтамжийн тооцоог багтаасан онолын үндэслэлийг (доор үзүүлсэн орчин үеийн аксиоматик аргын хүрээнд) өгдөг.

Аксиоматик тодорхойлолт

Орчин үеийн математикийн аргад магадлалыг өгөгдсөн Колмогоровын аксиоматик. Зарим нь гэж таамаглаж байна анхан шатны үйл явдлын орон зай. Энэ орон зайн дэд олонлогуудыг гэж тайлбарладаг санамсаргүй үйл явдал. Зарим дэд олонлогуудын (үйл явдлуудын) нэгдэл (нийлбэр) нь тохиолдох үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал гэж тайлбарлагддаг. ядаж нэгэдгээр үйл явдлуудаас. Дэд олонлогуудын (үйл явдал) огтлолцол (бүтээгдэхүүн) нь тохиолдохоос бүрдэх үйл явдал гэж тайлбарлагддаг. бүгдэдгээр үйл явдлууд. Салангид олонлогуудыг гэж тайлбарладаг нийцэхгүйүйл явдал (тэдний хамтарсан довтолгоо хийх боломжгүй). Үүний дагуу хоосон багц нь гэсэн үг юм боломжгүйүйл явдал.

Магадлал ( магадлалын хэмжүүр) гэж нэрлэдэг хэмжих(тоон функц) нь дараах шинж чанартай үйл явдлын багц дээр тодорхойлогддог.

Хэрэв элементар үйл явдлын орон зай X мэдээж, дараа нь дурын хоёр үл нийцэх үйл явдлын тодорхойлсон нэмэлт байдлын нөхцөл хангалттай байх бөгөөд үүнээс аль ч тохиолдолд нэмэлт хүчин зүйл дагах болно. эцсийнүл нийцэх үйл явдлын тоо. Гэсэн хэдий ч, анхан шатны үйл явдлуудын хязгааргүй (тоолж болох эсвэл тоолох боломжгүй) орон зайн хувьд энэ нөхцөл хангалтгүй юм. гэж нэрлэгддэг тоолох буюу сигма нэмэлт, өөрөөр хэлбэл аливаа зүйлийн нэмэлт шинж чанарыг биелүүлэх тоолохоос хэтрэхгүйхосоороо үл нийцэх үйл явдлын гэр бүл. Энэ нь магадлалын хэмжүүрийн "тасралтгүй байдлыг" хангахад зайлшгүй шаардлагатай.

Магадлалын хэмжүүр нь олонлогийн бүх дэд олонлогт тодорхойлогдоогүй байж болно. Энэ нь зарим дээр тодорхойлогддог гэж үздэг сигма алгебрдэд олонлогууд . Эдгээр дэд олонлогуудыг нэрлэдэг хэмжигдэхүйцөгөгдсөн магадлалын хэмжүүрийн дагуу бөгөөд тэдгээр нь санамсаргүй үйл явдал юм. Олонлогийг, өөрөөр хэлбэл, анхан шатны үйл явдлын багц, түүний дэд олонлогуудын сигма-алгебр ба магадлалын хэмжүүрийг нэрлэдэг. магадлалын орон зай.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээс гадна боломжит утгууд нь ямар ч интервалыг бүрэн дүүргэдэггүй тоонуудын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй дарааллыг бүрдүүлдэг, боломжит утгууд нь тодорхой интервал үүсгэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ бол технологийн процессыг зохих ёсоор тогтоосон тодорхой хэмжээний эд ангиудын нэрлэсэн үнэ цэнээс хазайх явдал юм. Энэ төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлох боломжгүй p(x). Гэхдээ магадлалын тархалтын функцийг ашиглан тэдгээрийг тодорхойлж болно F(x). Энэ функц нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй яг адилхан тодорхойлогддог.

Тиймээс энд бас функц байна F(x)бүхэл тооны тэнхлэг дээр тодорхойлогддог ба цэг дээрх түүний утга X-аас бага утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлалтай тэнцүү байна X. Формула (19) ба 1° ба 2° шинж чанарууд нь дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцэд хүчинтэй байна. Баталгаажуулалтыг салангид хэмжигдэхүүнтэй адил гүйцэтгэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг Үргэлжилсэн, хэрэв түүний хувьд ямар ч утгыг хангадаг сөрөг бус хэсэгчилсэн тасралтгүй функц* байгаа бол xтэгш байдал

Интегралын талбайн геометрийн утгыг үндэслэн тэгш бус байдлыг биелүүлэх магадлал нь суурьтай муруйн трапецын талбайтай тэнцүү гэж хэлж болно. дээр нь муруйгаар хязгаарлагдсан (Зураг 6).

оноос хойш, мөн томъёонд үндэслэсэн (22)

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функцийг анхаарна уу F(x)ямар ч үед тасралтгүй X, энд функц тасралтгүй байна. Энэ нь үүнээс үүдэлтэй юм F(x)Эдгээр цэгүүдэд ялгах боломжтой. Томъёо (23) дээр үндэслэн тооцсон x 1 =x, , бидэнд байгаа

Функцийн тасралтгүй байдлын улмаас F(x)бид үүнийг ойлгодог

Үүний үр дүнд

Энэ замаар, Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ийн дурын нэг утгыг авах магадлал тэг байна. Үүнээс үзэхэд тэгш бус байдал бүрийн биелэлтээс бүрдэх үйл явдлууд гарч ирдэг

Тэд ижил магадлалтай, өөрөөр хэлбэл.

Үнэндээ, жишээ нь,

учир нь Сэтгэгдэл.Бидний мэдэж байгаагаар хэрэв үйл явдал боломжгүй бол түүний тохиолдох магадлал тэг болно. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтод туршилтын үр дүнгийн тоо хязгаарлагдмал байх үед урвуу санал мөн явагдана: хэрэв үйл явдлын магадлал тэг байвал үйл явдал боломжгүй, учир нь энэ тохиолдолд туршилтын үр дүнгийн аль нь ч үүнийг дэмждэггүй. Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчийн хувьд түүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байна. Энэ утга нь ямар нэгэн тодорхой утгыг авах магадлал x 1 бидний харсанчлан тэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авч чаддаг тул энэ үйл явдал боломжгүй гэсэн үг биш юм. x 1 . Иймд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой утгыг авах магадлалын тухай биш харин тухайн интервалд орох магадлалын тухай ярих нь утга учиртай юм. Тиймээс, жишээлбэл, булны үйлдвэрлэлд түүний диаметр нь нэрлэсэн утгатай тэнцүү байх магадлалыг бид сонирхдоггүй. Бидний хувьд булны диаметр нь хүлцэх хэмжээнээс гарахгүй байх магадлал чухал юм. Жишээ.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгнө.

Функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 7. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн тэгш бус байдлыг хангасан утгыг авах магадлалыг тодорхойл.Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол. ( Шийдэл)

Дараагийн хоёр догол мөр нь практикт ихэвчлэн тохиолддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтад зориулагдсан болно - жигд ба хэвийн тархалт.

* Функц нь аль ч сегмент дээр үргэлжилсэн эсвэл эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай бол функцийг бүхэл тоон тэнхлэг дээр хэсэгчлэн тасралтгүй гэж нэрлэдэг. ** Хязгааргүй доод хязгаартай интегралын хувьд хувьсах дээд хязгаартай интегралыг ялгах дүрэм нь хязгаарлагдмал доод хязгаартай тохиолдолд хүчинтэй хэвээр байна. Үнэхээр,

Интегралаас хойш

тогтмол утга юм.

Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд. Нөхцөлт магадлал

Хараат болон бие даасан үйл явдлуудыг ялгах. Хэрэв аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн нөхцлийн дагуу хоорондоо холбогдоогүй хоёр автомат шугам нь цехэд ажилладаг бол эдгээр шугамын зогсолт нь бие даасан үйл явдал юм.

Жишээ 3Зоосыг хоёр удаа эргүүлэв. Эхний сорилд (үйл явдал) "сүлд" гарч ирэх магадлал нь хоёр дахь туршилтын (үйл явдал) "сүлд"-ийн харагдах байдал, харагдахгүй байдлаас хамаарахгүй. Хариуд нь хоёр дахь туршилтын "сүлд" харагдах магадлал нь эхний сорилтын үр дүнгээс хамаардаггүй. Тиймээс, үйл явдал, бие даасан.

Хэд хэдэн арга хэмжээ гэж нэрлэдэг хамтын бие даасан , хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь бусад үйл явдлууд болон бусад үйл явдлуудын хослолоос хамаарахгүй бол.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамааралтай , хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө нь тохиолдох магадлалд нөлөөлж байвал. Тухайлбал, хоёр үйлдвэрлэлийн үйлдвэр технологийн нэг циклээр холбогдсон. Дараа нь тэдгээрийн аль нэг нь бүтэлгүйтэх магадлал нь нөгөөгийн төлөв байдлаас хамаарна. Нэг үйл явдлын магадлалыг өөр үйл явдал тохиолдсон гэж тооцож тооцдог нөхцөлт магадлал үйл явдлууд болон тэмдэглэгдсэн байна.

Үйл явдлын үйл явдлаас хамааралгүй байх нөхцөлийг хэлбэрээр, түүний хамаарлын нөхцөлийг хэлбэрээр бичнэ. Үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг тооцоолох жишээг авч үзье.

Жишээ 4Хайрцагт 5 шүд байна: хоёр хуучирсан, гурван шинэ. Шүдний шүдийг хоёр дараалан гаргаж авдаг. Эхний удаа авч хаясан зүсэгчийг хайрцагт буцааж аваагүй тохиолдолд хоёр дахь олборлолтын явцад элэгдсэн зүсэгч гарч ирэх нөхцөлт магадлалыг тодорхойлно.

Шийдэл. Эхний тохиолдолд хуучирсан зүсэгчийг гаргаж авах, шинийг гаргаж авахыг тэмдэглэе. Дараа нь . Устгасан таслагчийг хайрцагт буцааж өгөхгүй тул элэгдэж, шинэ зүсэгч хоёрын харьцаа өөрчлөгдөнө. Тиймээс хоёр дахь тохиолдолд хуучирсан таслагчийг арилгах магадлал нь өмнө нь ямар үйл явдал болсоноос хамаарна.

Хоёр дахь тохиолдолд хуучирсан зүсэгчийг гаргаж авах үйл явдлыг тэмдэглэе. Энэ үйл явдлын магадлал нь:

Тиймээс үйл явдлын магадлал нь тухайн үйл явдал болсон эсэхээс хамаарна.

Магадлалын нягт- Евклидийн орон зайд магадлалын хэмжүүрийг тогтоох аргуудын нэг. Магадлалын хэмжүүр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт байх тохиолдолд нэг нь ярьдаг нягтралсанамсаргүй хувьсагч.

Магадлалын нягтрал Магадлалын хэмжигдэхүүнийг дээр гэж үзье, өөрөөр хэлбэл магадлалын орон зай тодорхойлогдсон бөгөөд энд Borel σ-алгебрийг тэмдэглэнэ. Лебегийн хэмжүүр дээр тэмдэглэе.

Тодорхойлолт 1.Хэрэв 0 Лебег хэмжүүрийн аль нэг Борелийн багц магадлал тэгтэй байвал магадлалыг үнэмлэхүй тасралтгүй (Лебесгийн хэмжүүрийн хувьд) гэж нэрлэдэг.

Хэрэв магадлал туйлын тасралтгүй байвал Радон-Никодимын теоремын дагуу сөрөг бус Борелийн функц байдаг.

нийтлэг товчлолыг ашигласан газар , интеграл нь Лебесгийн утгаар ойлгогддог.

Тодорхойлолт 2.Ерөнхийд нь дурын хэмжигдэхүйц орон зай, энэ орон зайд хоёр хэмжигдэхүүн байг. Хэрэв сөрөг биш байвал хэмжүүрийг хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог

дараа нь энэ функцийг дуудна нягтыг хэмжих зэрэг , эсвэл Радон-Никодимийн деривативхэмжүүрээр хэмжиж, тэмдэглэнэ

Хэрэв үйл явдал тохиолдоход үйл явдлын магадлал өөрчлөгдөхгүй, дараа нь үйл явдал болон дуудсан бие даасан.

Теорем:Хоёр бие даасан үйл явдал хамтдаа тохиолдох магадлал болон (ажил болон ) нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үнэхээр тэр цагаас хойш хөгжил болон тэгвэл бие даасан
. Энэ тохиолдолд үйл явдлын үржвэрийн магадлалын томъёо болон хэлбэрийг авдаг.

Хөгжил
дуудсан хос бие даасанхэрэв тэдгээрийн аль нэг нь бие даасан байвал.

Хөгжил
дуудсан Хамтын бие даасан (эсвэл зүгээр л бие даасан), хэрэв тэдгээрийн хоёр нь бие даасан, үйл явдал тус бүр болон бусад бүх боломжит бүтээгдэхүүн нь бие даасан байвал.

Теорем:Агрегат дахь хязгаарлагдмал тооны бие даасан үйл явдлын үржвэрийн магадлал
нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хараат болон бие даасан үйл явдлуудад тохиолдох магадлалын томъёоны хэрэглээний ялгааг жишээн дээр харуулъя.

Жишээ 1. Эхний шидэгчийн бай онох магадлал 0.85, хоёр дахь нь 0.8 байна. Буунууд нэг нэгээр нь буудаж байв. Ядаж нэг сум байг онох магадлал хэд вэ?

Шийдэл: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Нэгэнт шидэлтүүд бие даасан байна.

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Жишээ 2. Нэг саванд 2 улаан, 4 хар бөмбөг байдаг. Үүнээс 2 бөмбөгийг дараалан гаргаж авдаг. Хоёр бөмбөг улаан байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл: 1 тохиолдол. А үйл явдал - эхний зайлуулах үед улаан бөмбөг гарч ирэх, В үйл явдал - хоёр дахь үед. C үйл явдал бол хоёр улаан бөмбөг гарч ирэх явдал юм.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2 дахь тохиолдол. Эхний зурсан бөмбөгийг сагсанд буцааж өгнө.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Нийт магадлалын томъёо.

Үйл явдал болъё Зөвхөн үл нийцэх үйл явдлуудын аль нэгэнд тохиолдож болно
, бүрэн бүлэг бүрдүүлэх. Тухайлбал, тус дэлгүүр гурван аж ахуйн нэгжээс ижил бүтээгдэхүүн, өөр өөр тоо хэмжээгээр авдаг. Эдгээр үйлдвэрүүдэд чанар муутай бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх магадлал өөр байна. Бүтээгдэхүүнүүдийн нэгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Энэ бүтээгдэхүүн чанар муутай байх магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай (үйл явдал ). Энд байгаа үйл явдлууд
- энэ нь холбогдох аж ахуйн нэгжийн бүтээгдэхүүнээс бүтээгдэхүүнийг сонгох явдал юм.

Энэ тохиолдолд үйл явдлын магадлал үйл явдлын бүтээгдэхүүний нийлбэр гэж үзэж болно
.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремоор бид олж авна
. Магадлалын үржүүлэх теоремыг ашиглан бид олдог

Үүссэн томъёог дуудна нийт магадлалын томъёо.

Бэйсийн томъёо

Үйл явдал болъё аль нэгтэй зэрэгцэн тохиолддог үл нийцэх үйл явдлууд
, хэний магадлал
(
) туршлагаас өмнө мэддэг ( априори магадлал). Туршилт хийж, үр дүнд нь үйл явдал тохиолдсоныг бүртгэдэг , мөн энэ үйл явдал тодорхой нөхцөлт магадлалтай байсан нь мэдэгдэж байна
(
). Үйл явдлын магадлалыг олох шаардлагатай
хэрэв үйл явдал мэдэгдэж байгаа бол болсон ( a posteriori магадлал).

Асуудал нь байгаа юм шинэ мэдээлэл(А үйл явдал болсон), та үйл явдлын магадлалыг дахин тооцоолох хэрэгтэй
.

Хоёр үйл явдлын үржвэрийн магадлалын теорем дээр үндэслэсэн

Үүссэн томъёог дуудна Бэйсийн томъёо.

Комбинаторикийн үндсэн ойлголтууд.

Онолын болон практикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн дүрмийн дагуу хязгаарлагдмал олон тооны элементүүдээс янз бүрийн хослолуудыг хийж, бүх боломжит хослолуудын тоог тоолох шаардлагатай. Ийм ажлуудыг нэрлэдэг комбинатор.

Бодлого шийдвэрлэхдээ комбинаторикууд нийлбэр ба үржвэрийн дүрмийг ашигладаг.

Асуудлын ерөнхий мэдэгдэл: зарим үйл явдлын магадлалыг мэддэг боловч эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай. Эдгээр асуудлуудад магадлалыг нэмэх, үржүүлэх гэх мэт магадлалын үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг.

Тухайлбал, ан хийж байгаад хоёр удаа буудсан. Үйл явдал А- анхны цохилтоос нугас цохих, үйл явдал Б- хоёр дахь цохилтоос цохисон. Дараа нь үйл явдлын нийлбэр Аболон Б- эхний эсвэл хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос цохих.

Өөр төрлийн даалгавар. Хэд хэдэн үйл явдлуудыг өгдөг, жишээлбэл, зоосыг гурван удаа шиддэг. Гурван удаа бүгдээрээ сүлд унах, эсвэл ядаж нэг удаа төрийн сүлд унах магадлалыг олох шаардлагатай. Энэ бол үржүүлэх асуудал юм.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх

Магадлалын нэмэх нь хослолын магадлал эсвэл санамсаргүй үйл явдлын логик нийлбэрийг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.

Үйл явдлын нийлбэр Аболон Бтомилох А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь тийм гэсэн үг А + Б- ажиглалтын явцад ямар нэгэн үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг Аболон Б.

Хэрэв үйл явдлууд Аболон Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгсөн бол нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалын нэмэгдлийг ашиглан тооцоолно.

Магадлалыг нэмэх теорем.Хоёр бие биендээ үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Тухайлбал, ан хийж байгаад хоёр удаа буудсан. Үйл явдал ГЭХДЭЭ– эхний цохилтоос нугас цохих, үйл явдал AT– хоёр дахь цохилт, үйл явдал ( ГЭХДЭЭ+ AT) - эхний эсвэл хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос цохих. Тэгэхээр хоёр үйл явдал бол ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй үйл явдлууд юм ГЭХДЭЭ+ AT- эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.

Жишээ 1Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 30 бөмбөг байдаг: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харалгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж бодъё ГЭХДЭЭ– “улаан бөмбөгийг авсан”, мөн үйл явдал AT- "Цэнхэр бөмбөгийг авлаа." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг". Үйл явдлын магадлалыг ол ГЭХДЭЭ:

болон үйл явдлууд AT:

Хөгжил ГЭХДЭЭболон AT- харилцан нийцэхгүй, учир нь нэг бөмбөг авбал өөр өөр өнгийн бөмбөг авах боломжгүй. Тиймээс бид магадлалын нэмэхийг ашигладаг:

Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.

Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.

Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг. хболон q. Тухайлбал,

Үүний эсрэг үйл явдлын магадлалын дараах томьёо дагана.

Жишээ 2Зураас дахь бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёр дахь бүсэд 0.23, гуравдугаар бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.

Шийдэл: Буудагч бай онох магадлалыг ол.

Буудагч байгаа алдах магадлалыг ол:

Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхийн аль алиныг нь ашиглах шаардлагатай илүү хэцүү даалгаврууд - "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх янз бүрийн даалгавар" хуудсан дээр.

Харилцан хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх

Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, шоо шидэх үед үйл явдал ГЭХДЭЭ 4-ийн тооны тохиолдох, үйл явдал гэж үздэг AT- тэгш тоог хасах. 4-ийн тоо тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт харилцан хамтарсан үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолох даалгавар байдаг.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс хоёр үйл явдлын нийтлэг тохиолдох магадлалыг хасч, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэрийг хасна. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Учир нь үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнийцтэй, үйл явдал ГЭХДЭЭ+ ATГурван боломжит үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.

Үйл явдал ГЭХДЭЭХоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолддог: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүнтэй адилаар:

(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.

Томъёо (8) ашиглахдаа үйл явдлуудыг анхаарч үзэх хэрэгтэй ГЭХДЭЭболон ATболомжтой:

харилцан бие даасан;
харилцан хамааралтай.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:

Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:

Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо дараах байдалтай байна.

Жишээ 3Автомашины уралдаанд эхний машиныг жолоодох үед хожих магадлал, хоёр дахь машиныг жолоодох үед. Олно:

хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
дор хаяж нэг машин ялах магадлал;

1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаарахгүй тул үйл явдлууд ГЭХДЭЭ(эхний машин ялна) ба AT(хоёр дахь машин ялна) - бие даасан үйл явдлууд. Хоёр машин хожих магадлалыг ол:

2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.

Магадлал нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 4Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- анхны зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .

Магадлалын үржвэр

Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох үед магадлалыг үржүүлэх аргыг ашиглана.

Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлууд бие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.

Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал ГЭХДЭЭболон ATнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 5Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурвууланд нь унах магадлалыг ол.

Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь удаагаа, гурав дахь удаагаа шидэхэд төрийн сүлд унах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа унах магадлалыг ол.

Магадлалыг үржүүлэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 6Есөн шинэ теннисний бөмбөгтэй хайрцаг байна. Тоглолтод зориулж гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тэд тоглосон, тоглоогүй бөмбөгийг ялгадаггүй. Үүний дараа гарах магадлал хэд вэ гурван тоглоомхайрцагт тоглоогүй бөмбөг байхгүй гэж үү?

Жишээ 7Зүссэн цагаан толгойн карт дээр орос цагаан толгойн 32 үсэг бичигдсэн байдаг. Таван картыг санамсаргүй байдлаар нэг нэгээр нь сугалж, дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.

Жишээ 8Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд ижил төстэй байх магадлалыг ол.

Жишээ 9Жишээ 8-тай ижил асуудал боловч карт бүрийг сугалсны дараа тавцан руу буцаана.

Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү нарийн төвөгтэй ажлуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх янз бүрийн даалгавар" хуудаснаас үзнэ үү.

Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёогоор тооцоолж болно.