Нөхцөлт магадлал. Нөхцөлт магадлал ба хамгийн энгийн үндсэн томъёо. Нэг нь нөгөөгийн нөхцөлд явагдах үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем

4. Нөхцөлт магадлал. Магадлалын үржүүлэх теорем.

Олон асуудалд үйл явдлыг нэгтгэх магадлалыг олох шаардлагатай байдаг ГЭХДЭЭболон ATүйл явдлын магадлал нь мэдэгдэж байгаа бол ГЭХДЭЭболон AT.

Дараах жишээг авч үзье. Хоёр зоос шидэх болтугай. Хоёр сүлд гарч ирэх магадлалыг ол. Бидэнд иж бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг 4 ижил магадлалтай, хосоороо нийцэхгүй үр дүн байна:

Анхны зоосон дээр төрийн сүлд унасныг одоо мэдэгдье. Үүний дараа хоёр зоос дээр сүлд харагдах магадлал хэрхэн өөрчлөгдөх вэ? Эхний зоосон дээр төрийн сүлд унасан тул одоо бүрэн бүлэг нь хоёр ижил төстэй үл нийцэх үр дүнгээс бүрдэнэ.

шинэ үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭ, үйл явдал болсон гэж үзвэл Б, бид тэмдэглэх болно P B (A).

Энэ замаар, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Үржүүлэх теорем. А ба В үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлал нь эхний үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа.Магадлалын сонгодог тодорхойлолт дээр үндэслэн (4) хамаарлын үнэн зөвийг баталъя. Боломжит үр дүнгүүд E 1, E 2, ..., Э НЭнэ туршлага нь ижил магадлалтай хос үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнээс үйл явдал юм Аивээл Мүр дүн, эдгээрээс үзье Мүр дүн Лүр дүн нь үйл явдлыг дэмжинэ Б. Мэдээжийн хэрэг, үйл явдлын хослол Аболон Бивээл Л-аас Нболомжит туршилтын үр дүн. Энэ нь өгдөг; ;
Энэ замаар,
Байрыг солих Аболон Б, мөн адил бид олж авдаг
Үржүүлэх теоремыг ямар ч хязгаарлагдмал тооны үйл явдалд хялбархан ерөнхийлж болно. Жишээлбэл, гурван үйл явдлын хувьд А 1, А2, А 3бидэнд байгаа *
Ерөнхийдөө

(6) харьцаанаас үзэхэд хоёр тэгшитгэлээс (8) нэг нь нөгөөгийнхөө үр дагавар юм.

Жишээлбэл, үйл явдлыг үзье А- нэг зоос шидэх үед сүлдний харагдах байдал, үйл явдал Б- картыг тавцангаас гаргах үед алмаазан костюмны карт гарч ирэх. Үйл явдал нь ойлгомжтой Аболон Ббие даасан.

Хэрэв үйл явдлууд бие даасан байвал Аруу Бтомъёо (4) нь илүү энгийн хэлбэрийг авна:

* Үйл явдал A 1 A 2 A 3үйл явдал гэсэн хоёр үйл явдлын нэгдэл хэлбэрээр төлөөлүүлж болно C=A 1 A 2болон үйл явдлууд А 3.

Үйл явдлыг авч үзье Аболон Бижил туршлагатай холбоотой. Уг үйл явдал болсон талаар зарим эх сурвалжаас мэдээллээ Бтохиолдсон боловч энэ үйл явдлыг бүрдүүлдэг энгийн үр дүнгүүдийн аль нь тодорхойгүй байна Б, болсон. Энэ тохиолдолд үйл явдлын магадлалын талаар юу хэлж болох вэ А?

Үйл явдлын магадлал А, үйл явдал гэсэн таамаглалаар тооцсон Бтохиолдсон бол нөхцөлт магадлалыг дуудаж, тэмдэглэдэг заншилтай P(A|B).

нөхцөлт магадлал P(A|B)хөгжил Аүйл явдалд хамаарна Бсонгодог схемийн хүрээнд магадлалыг харьцаа гэж тодорхойлох нь зүйн хэрэг NABарга хэмжээг хамтран хэрэгжүүлэхэд таатай үр дүн Аболон Б, дугаар руу NBүйл явдалд таатай үр дүн Б, тэр бол

Хэрэв бид энэ илэрхийллийн хүртэгч ба хуваагчийг нийт тоонд хуваавал Нанхан шатны үр дүнг бид олж авдаг

Тодорхойлолт. Үйл явдлын нөхцөлт магадлал Аүйл явдалд хамаарна Бүйл явдлын огтлолцлын магадлалын харьцаа гэж нэрлэдэг Аболон Бүйл явдлын магадлалд Б:

Үүний зэрэгцээ үүнийг таамаглаж байна P(B) ≠ 0.

Теорем. Нөхцөлт магадлал P(A|B)болзолгүй магадлалын бүх шинж чанаруудтай P(A).

Энэ теоремын утга нь болзолт магадлал нь шинэ орон зайд өгөгдсөн болзолгүй магадлал юм. Ω 1үйл явдалтай давхцаж буй энгийн үр дүн Б.

Жишээ. Дотор нь байгаа савнаас a=7цагаан элс b=3хар бөмбөг, хоёр бөмбөгийг солихгүйгээр санамсаргүй байдлаар зурдаг. Үйл явдал болъё А 1Эхний зурсан бөмбөг нь цагаан өнгөтэй, мөн А2- хоёр дахь бөмбөг цагаан. олохыг хүссэн P(A 2 |A 1).

Арга 1.. Нөхцөлт магадлалын тодорхойлолтоор

Арга 2.. Анхан шатны үр дүнгийн шинэ орон зай руу шилжье Ω 1. Үйл явдлаас хойш А 1тохиолдсон, энэ нь анхан шатны үр дүнгийн шинэ орон зайд ижил боломжтой үр дүнгийн нийт тоо гэсэн үг юм NΩ 1 =a+b-1=9, мөн үйл явдал А2үүнийг дэмждэг N A 2 \u003d a-1 \u003d 6үр дүн. Үүний үр дүнд,

теорем [магадлалыг үржүүлэх]. Үйл явдал болъё A=A 1 A 2 …A nболон P(A)>0. Дараа нь тэгш байдал үнэн болно:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Сэтгэгдэл. Уулзварын шилжих шинж чанараас хүн бичиж болно

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Жишээ. "NIGHTINGALE" гэсэн үгийг бүрдүүлсэн үсгүүдийг 7 карт дээр бичсэн. Картуудыг хольж, гурван картыг санамсаргүй байдлаар гаргаж, зүүнээс баруун тийш байрлуулна. "VOL" гэсэн үгийг олж авах магадлалыг ол (үйл явдал А).

Үйл явдал болъё А 1- эхний карт дээр "B" үсэг бичигдсэн; А2- хоёр дахь карт дээр "O" үсэг бичигдсэн, А2- гурав дахь карт дээр - "L" үсэг. Дараа нь үйл явдал А- үйл явдлын огтлолцол А 1, А2, А 3. Үүний үр дүнд,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; үйл явдал бол А 1болсон, дараа нь үлдсэн 6 карт дээр "O" хоёр удаа гарч ирдэг, энэ нь гэсэн үг юм P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Үүний нэгэн адил, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Үүний үр дүнд,

Тодорхойлолт. Хөгжил Аболон Б, тэгээс өөр магадлалтай, нөхцөлт магадлал бол бие даасан гэж нэрлэдэг Анөхцөлөөр Бболзолгүй магадлалтай давхцаж байна Аэсвэл нөхцөлт магадлал бол Бнөхцөлөөр Аболзолгүй магадлалтай давхцаж байна Б, тэр бол

P(A|B) = P(A)эсвэл P(B|A) = P(B),

өөрөөр хэлбэл үйл явдлууд Аболон Бхамааралтай гэж нэрлэдэг.

Теорем. Хөгжил Аболон Б, тэгээс өөр магадлалтай нь зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд бие даасан байна

P(AB) = P(A) P(B).

Тиймээс бид ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:

Тодорхойлолт. Хөгжил Аболон Бхэрэв бие даасан гэж нэрлэдэг P(AB) = P(A) P(B).

Жишээ. агуулсан картуудын тавцангаас n=36картууд, нэг картыг санамсаргүй байдлаар зурдаг. -ээр тэмдэглээрэй Аолборлосон газрын зураг нь оргил болно гэдгийг харгалзах үйл явдал, болон Б- "хатагтай" -ын дүр төрхтэй тохирох үйл явдал. Үйл явдал хамааралтай эсэхийг тодорхойлох Аболон Б.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Тиймээс үйл явдлууд Аболон Ббие даасан. Үүний нэгэн адил, .

Болъё ГЭХДЭЭболон ATЭнэ туршилтанд авч үзсэн хоёр үйл явдал юм. Энэ тохиолдолд нэг үйл явдал тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох магадлалд нөлөөлж болно. Жишээлбэл, үйл явдал тохиолдох ГЭХДЭЭүйл явдалд нөлөөлж болно ATэсвэл эсрэгээр. Зарим үйл явдлууд бусдаас ийм хамааралтай байдгийг харгалзан үзэхийн тулд нөхцөлт магадлалын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Тодорхойлолт.Хэрэв үйл явдлын магадлал ATүйл явдал болох нөхцөлөөр байрлана ГЭХДЭЭболсон, дараа нь үйл явдлын үр дүнд үүсэх магадлал ATдуудсан нөхцөлт магадлалхөгжил AT. Ийм нөхцөлт магадлалыг тэмдэглэхийн тулд дараах тэмдэглэгээг ашиглана. РГЭХДЭЭ ( AT) эсвэл Р(AT / ГЭХДЭЭ).

Тайлбар 2. Нөхцөлт магадлалаас ялгаатай нь ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох нөхцөл бүрдсэн тохиолдолд "болзолгүй" магадлалыг мөн авч үздэг. ATалга.

Жишээ. Нэг саванд 5 бөмбөлөг агуулагдах ба үүнээс 3 нь улаан, 2 нь цэнхэр байна. Хариуд нь нэг бөмбөгийг буцаах, буцаахгүйгээр сугалж авдаг. Эхний удаа авсан бол улаан бөмбөгийг хоёр дахь удаагаа зурах нөхцөлт магадлалыг ол: a) улаан бөмбөг; б) цэнхэр бөмбөг.

Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭулаан бөмбөгийг анх удаа зурж байгаа бөгөөд үйл явдал AT– улаан бөмбөгийг хоёр дахь удаагаа гаргаж байна. Энэ нь ойлгомжтой Р(ГЭХДЭЭ) = 3/5; анх удаа гаргаж авсан бөмбөгийг саванд буцааж өгөх тохиолдолд; Р(AT)=3/5. Хэрэв татсан бөмбөгийг буцааж өгөхгүй бол улаан бөмбөг зурах магадлал Р(AT) аль бөмбөгийг анх зурсанаас хамаарна - улаан (үйл явдал ГЭХДЭЭ) эсвэл цэнхэр (үйл явдал). Дараа нь эхний тохиолдолд РГЭХДЭЭ ( AT) = 2/4, хоёр дахь нь ( AT) = 3 / 4.

Нэг нь нөгөөгийн нөхцөлд явагдах үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем

Хоёр үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эхний үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар олдсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Р(A ∙ B) = Р(ГЭХДЭЭ) ∙ РГЭХДЭЭ ( AT) . (1.7)

Баталгаа. Нээрээ л байя n- тестийн ижил магадлалтай, үл нийцэх (анхан шатны) үр дүнгийн нийт тоо. Үүнийг орхи n 1 - үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо ГЭХДЭЭ, эхэнд тохиолдох ба м- үйл явдал болсон үр дүнгийн тоо ATүйл явдал гэж үзвэл ГЭХДЭЭирсэн. Энэ замаар, мнь тухайн үйл явдлыг дэмжсэн үр дүнгийн тоо юм AT.Дараа нь бид авах:

Тэдгээр. хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын аль нэгний магадлалыг бусдын болзолт магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү бөгөөд өмнөх бүх үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар дараагийн үйл явдал бүрийн нөхцөлт магадлалыг тооцно.

Жишээ. 10 тамирчинтай багт 4 спортын мастер бий. Сугалаагаар багаас 3 тамирчин шалгардаг. Сонгогдсон тамирчид бүгд спортын мастер байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Асуудлыг "urn" загвар болгон бууруулъя, өөрөөр хэлбэл. 10 бөмбөг агуулсан саванд 4 улаан, 6 цагаан бөмбөг байна гэж бодъё. Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар 3 бөмбөг сугалж авна (сонголт С= 3). Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭ 3 бөмбөг гаргаж авахаас бүрдэнэ. Асуудлыг сонгодог схемээр болон (1.9) томъёогоор хоёр аргаар шийдэж болно.

Комбинаторикийн томъёонд суурилсан эхний арга:

Хоёр дахь арга (томъёогоор (1.9)). Орлуулахгүйгээр 3 бөмбөгийг урингаас дараалан гаргаж авдаг. Болъё ГЭХДЭЭ 1 - эхний зурсан бөмбөг улаан, ГЭХДЭЭ 2 - хоёр дахь зурсан бөмбөг улаан, ГЭХДЭЭ 3 - гурав дахь зурсан бөмбөг улаан байна. Мөн үйл явдлыг явуулъя ГЭХДЭЭсугалсан 3 бөмбөг бүгд улаан байна гэсэн үг. Дараа нь: ГЭХДЭЭ = ГЭХДЭЭ 1 ∙ (ГЭХДЭЭ 2 / ГЭХДЭЭ 1) ∙ ГЭХДЭЭ 3 / (ГЭХДЭЭ 1 ∙ ГЭХДЭЭ 2), өөрөөр хэлбэл.

Жишээ.Картуудын багцаас аваарай a, a, r, b, o, tкартуудыг нэг нэгээр нь зурдаг. гэдэг үгийг авах магадлал хэд вэ? Ажил” тэдгээрийг зүүнээс баруун тийш нэг мөрөнд дараалан нугалахад?

Болъё AT- зарласан үгийг олж авсан үйл явдал. Дараа нь (1.9) томъёогоор бид дараахь зүйлийг авна.

Р(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Магадлалын үржүүлэх теорем нь үржвэр нь бие биенээсээ хамааралгүй үйл явдлуудаар үүссэн тохиолдолд хамгийн энгийн хэлбэрээ авдаг.

Тодорхойлолт.Үйл явдал ATдуудсан бие даасанарга хэмжээнээс ГЭХДЭЭүйл явдал болсон эсэхээс үл хамааран түүний магадлал өөрчлөгдөхгүй бол ГЭХДЭЭэсвэл биш. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдох магадлал өөрчлөгддөггүй (өөрчлөгддөг) хоёр үйл явдлыг бие даасан (хамааралтай) гэж нэрлэдэг. Тиймээс, үгүй хамааралтай үйл явдлууд p(B/А) = Р(AT) эсвэл = Р(AT), мөн хамааралтай үйл явдлуудын хувьд Р(AT/А)

Үйл явдал. Энгийн үйл явдлын орон зай. Тодорхой үйл явдал, боломжгүй үйл явдал. Хамтарсан, хамтарсан бус арга хэмжээ. Ижил үйл явдал. Үйл явдлын бүрэн бүлэг. Үйл явдал дээрх үйл ажиллагаа.

Үйл явдалгэж хэлж болох үзэгдэл юм явж байнаэсвэл болохгүй байна, үйл явдлын мөн чанараас хамаарна.

Доод энгийн үйл явдлуудтодорхой тесттэй холбоотой нь тухайн сорилын бүх задрах боломжгүй үр дүнг ойлгодог. Энэхүү туршилтын үр дүнд тохиолдож болох үйл явдал бүрийг тодорхой энгийн үйл явдлын багц гэж үзэж болно.

Энгийн үйл явдлын орон зайдурын олонлог (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) гэж нэрлэдэг. Түүний элементүүд нь цэгүүд (анхан шатны үйл явдлууд) юм. Энгийн үйл явдлын орон зайн дэд олонлогуудыг үйл явдал гэж нэрлэдэг.

тодорхой үйл явдалэнэ туршилтын үр дүнд гарцаагүй тохиолдох үйл явдал гэж нэрлэгддэг; (E-ээр тэмдэглэсэн).

Боломжгүй үйл явдалТухайн туршилтын үр дүнд үүссэн үйл явдлыг ийм үйл явдал гэж нэрлэдэг болохгүй; (U гэж тэмдэглэсэн). Жишээлбэл, нэг шидэлтийн үед зургаан онооны нэг нь гарч ирэх шоо- найдвартай үйл явдал бөгөөд 8 онооны харагдах байдал боломжгүй юм.

Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг хамтарсанХэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь харагдах байдал нь нөгөөгийнхөө харагдах байдлыг үгүйсгэхгүй бол тухайн туршлагад (нийцтэй).

Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг нийцэхгүй(үл нийцэхгүй) тухайн шүүх хуралдаанд тэд хамтдаа нэг шүүх хуралд оролцох боломжгүй бол. Хэд хэдэн үйл явдал нь хосоороо таарахгүй бол таарахгүй гэж хэлдэг.

Маягтын эхлэл

Маягтын төгсгөл

Сэдвийн дугаар 2. Магадлалын аксиоматик тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлалын сонгодог, статистик, геометрийн тодорхойлолт. Магадлалын шинж чанарууд. Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд. бие даасан үйл явдлууд. Нөхцөлт магадлал. Ядаж нэг үйл явдал тохиолдох магадлал. Нийт магадлалын томъёо. Бэйсийн томъёо

Үйл явдал болох объектив боломжийн зэрэглэлийн тоон хэмжүүр гэж нэрлэдэг үйл явдлын магадлал. Аливаа үйл явдлын магадлалын тухай ойлголтыг чанарын хувьд тусгасан энэхүү тодорхойлолт нь математик биш юм. Ийм болгохын тулд чанарын хувьд тодорхойлох шаардлагатай.

дагуу сонгодог тодорхойлолт А үйл явдлын магадлал нь түүнд тааламжтай тохиолдлын тоог нийт тохиолдлын тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

Энд P(A) нь А үйл явдлын магадлал юм.

А үйл явдалд таатай тохиолдлын тоо

Нийт тохиолдлын тоо.

Магадлалын статистик тодорхойлолт:

А үйл явдлын статистик магадлал нь хийсэн туршилтуудад энэ үйл явдал тохиолдох харьцангуй давтамж юм, өөрөөр хэлбэл:

А үйл явдлын статистик магадлал хаана байна.

Үйл явдлын харьцангуй давтамж (давтамж) А.

А үйл явдал тохиолдсон туршилтын тоо

Туршилтын нийт тоо.

Сонгодог тодорхойлолтод авч үзсэн "математик" магадлалаас ялгаатай нь статистик магадлал нь туршилт, туршилтын шинж чанар юм.

Хэрэв ямар нэгэн туршилтгүйгээр шууд тодорхойлогддог А үйл явдлыг дэмжсэн тохиолдлын хувь хэмжээ байгаа бол, өөрөөр хэлбэл А үйл явдал тохиолдсон бодитоор хийгдсэн туршилтуудын эзлэх хувь.

Магадлалын геометрийн тодорхойлолт:

А үйл явдлын геометрийн магадлал нь А үйл явдал тохиолдоход таатай талбайн хэмжигдэхүүнийг бүх талбайн хэмжигдэхүүнтэй харьцуулсан харьцаа юм, өөрөөр хэлбэл:

Нэг хэмжээст тохиолдолд:

CD дээрх цэгийг онох магадлалыг тооцоолох шаардлагатай/

Энэ магадлал нь AB сегмент дэх CD-ийн байршлаас хамаарахгүй бөгөөд зөвхөн түүний уртаас хамаарна.

Нэг цэгийг онох магадлал нь A цэг дээрх B-ийн хэлбэр эсвэл байршлаас хамаарахгүй, зөвхөн энэ сегментийн талбайгаас хамаарна.

Нөхцөлт магадлал

магадлал гэж нэрлэдэг нөхцөлт , хэрэв үүнийг тодорхой нөхцлөөр тооцож, дараах байдлаар тэмдэглэвэл:

Энэ нь А үйл явдлын магадлал юм. Энэ нь В үйл явдал аль хэдийн тохиолдсон нөхцөлд тооцогдоно.

Жишээ. Бид тест хийж, тавцангаас хоёр карт гаргаж авдаг: Эхний магадлал бол болзолгүй юм.

Бид тавцангаас хөзрийн тамга зурах магадлалыг тооцоолно.

Бид тавцангаас 2 хөзрийн үзэгдлийг тооцоолно.

A*B - үйл явдлын хамтарсан тохиолдол

– магадлалын үржүүлэх теорем

Үр дагавар:

Үйл явдлын хамтарсан тохиолдлын үржүүлэх теорем нь дараах хэлбэртэй байна.

Өөрөөр хэлбэл, өмнөх бүх нөхцөл аль хэдийн үүссэнийг харгалзан дараагийн магадлал бүрийг тооцдог.

Үйл явдлын бие даасан байдал:

Хэрэв нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдохтой зөрчилддөггүй бол хоёр үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, хэрвээ хөзрийг давцан дээрээс дахин дахин зурсан бол тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй болно. Дахин хэлэхэд, картыг үзээд тавцан руугаа буцаасан.

Хамтарсан болон хамтарсан бус арга хэмжээ:

хамтарсанХэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох нь нөгөө нь тохиолдохтой зөрчилдөхгүй бол 2 үйл явдлыг дууддаг.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем:

Хамтарсан хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын хамтдаа тохиолдохгүйгээр тохиолдох магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гурван хамтарсан арга хэмжээний хувьд:

Санамсаргүй туршилтын нэг туршилтын үр дүнд хоёр нь нэгэн зэрэг гарч ирэхгүй бол үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

Теорем:Хоёр үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үйл явдлын нийлбэрийн магадлал:

Магадлалын нэмэх теорем:

Хязгаарлагдмал тооны үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр дүн 1:

Бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

Үр дүн 2:

Сэтгэгдэл:Нэмэх теорем нь зөвхөн үл нийцэх үйл явдлуудад хамаарна гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эсрэг үйл явдлын магадлал:

ЭсрэгээрээБүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр өвөрмөц боломжит үйл явдлуудыг нэрлэнэ. Эсрэг хоёр үйл явдлын аль нэгийг нь тэмдэглэнэ ГЭХДЭЭ, нөгөө нь - дамжуулан .

Жишээ нь: Бай руу буудах үед онох, алдах нь эсрэг тэсрэг үйл явдал юм. Хэрэв А нь хит бол мисс болно.

Теорем:Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

Тайлбар 1:Эсрэг хоёр үйл явдлын аль нэгний магадлалыг р гэж тэмдэглэвэл нөгөө үзэгдлийн магадлалыг q гэж тэмдэглэвэл өмнөх теоремын хүчинд:

Тайлбар 2:А үйл явдлын магадлалыг олох асуудлыг шийдэхдээ эхлээд үйл явдлын магадлалыг тооцоолж, дараа нь дараах томъёог ашиглан хүссэн магадлалаа олох нь ихэвчлэн давуу талтай байдаг.

Дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдох магадлал:

Туршилтын үр дүнд үйл явдлын зарим хэсэг эсвэл огт байхгүй байж магадгүй гэж бодъё.

Теорем:Бие даасан үйл явдлын багцаас дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь нэгдмэл байдал ба үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлалын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.

Нийт магадлалын томъёо нь үйл явдлын магадлалыг олох боломжийг олгодог А, энэ нь зөвхөн тус бүртэй тохиолдож болно nмагадлал нь мэдэгдэж байгаа бол бүрэн системийг бүрдүүлдэг харилцан үл хамаарах үйл явдлууд ба нөхцөлт магадлал хөгжил Асистемийн үйл явдал тус бүрийн хувьд тэнцүү байна.

Үйл явдлыг мөн таамаглал гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь бие биенээ үгүйсгэдэг. Тиймээс, уран зохиолоос та үсгээр биш тэдний тэмдэглэгээг олж болно Б, гэхдээ захидалтай Х(таамаглал).

Ийм нөхцөлтэй холбоотой асуудлыг шийдэхийн тулд 3, 4, 5, эсвэл ерөнхий тохиолдолд авч үзэх шаардлагатай nүйл явдлын боломж А- үйл явдал бүрт.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремуудыг ашиглан бид системийн үйл явдал тус бүрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэрийг олж авна. нөхцөлт магадлал хөгжил Асистем дэх үйл явдал бүрийн хувьд. Энэ нь үйл явдлын магадлал юм Атомъёогоор тооцоолж болно

эсвэл ерөнхийдөө

,

гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо .

Нийт магадлалын томъёо: асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1Гурван ижил төстэй савнууд байдаг: эхнийх нь 2 цагаан, 3 хар, хоёр дахь нь - 4 цагаан, нэг хар, гурав дахь нь - гурван цагаан бөмбөг байна. Хэн нэгэн санамсаргүй байдлаар савны нэг рүү ойртож, нэг бөмбөгийг гаргаж авдаг. Давуу талыг ашиглаж байна нийт магадлалын томъёо, бөмбөг цагаан байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Үйл явдал А- цагаан бөмбөгний дүр төрх. Бид гурван таамаг дэвшүүлэв.

Эхний савыг сонгосон;

Хоёр дахь савыг сонгосон;

Гурав дахь савыг сонгосон.

Нөхцөлт үйл явдлын магадлал Атаамаглал бүрийн хувьд:

, , .

Бид нийт магадлалын томъёог ашигладаг бөгөөд үүний үр дүнд шаардлагатай магадлал:

.

Жишээ 2Нэгдүгээр үйлдвэрт 100 гэрлийн чийдэнгээс дунджаар 90 стандартын чийдэн, хоёрдугаарт 95, гуравдугаарт 85 ширхэг үйлдвэрлэдэг бөгөөд эдгээр үйлдвэрүүдийн бүтээгдэхүүн 50, 30, 20 хувийг эзэлдэг. тодорхой бүс дэх дэлгүүрүүдэд нийлүүлсэн бүх цахилгаан чийдэнгийн . Стандарт гэрлийн чийдэнг худалдан авах магадлалыг ол.

Шийдэл. Стандарт гэрлийн чийдэнг олж авах магадлалыг дараах байдлаар тэмдэглэе А, худалдан авсан гэрлийн чийдэнг 1, 2, 3-р үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн үйл явдал, . Нөхцөлөөр эдгээр үйл явдлын магадлалыг мэддэг: , , болон үйл явдлын нөхцөлт магадлал Атус бүрийн талаар: , , . Эдгээр нь нэг, хоёр, гуравдугаар үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн стандарт гэрлийн чийдэнг олж авах магадлал юм.

Үйл явдал Аүйл явдал тохиолдвол тохиолдох болно эсвэл К- чийдэнг анхны үйлдвэрт хийсэн бөгөөд стандарт, эсвэл үйл явдал юм Л- чийдэнг хоёр дахь үйлдвэрт хийсэн бөгөөд стандарт, эсвэл үйл явдал юм М- чийдэнг 3-р үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн бөгөөд стандарт юм. Үйл явдал тохиолдох бусад боломжууд Аүгүй. Тиймээс үйл явдал Аүйл явдлын нийлбэр юм К, Лболон МЭнэ нь таарахгүй байна. Магадлалын нэмэх теоремыг ашигласнаар бид үйл явдлын магадлалыг илэрхийлнэ Азэрэг

мөн магадлалын үржүүлэх теоремоор бид олж авна

тэр бол, нийт магадлалын томьёоны онцгой тохиолдол.

Томъёоны зүүн талд магадлалыг орлуулснаар бид үйл явдлын магадлалыг олж авна А :

Жишээ 3Онгоц нисэх онгоцны буудалд газардаж байна. Хэрэв цаг агаар зөвшөөрвөл нисгэгч багаж хэрэгслээс гадна харааны ажиглалт ашиглан онгоцыг газардуулна. Энэ тохиолдолд амжилттай буух магадлал нь . Хэрэв нисэх онгоцны буудал намуухан үүлтэй бүрхэг байвал нисгэгч зөвхөн багаж хэрэгсэл дээр чиглүүлж онгоцоо газардуулдаг. Энэ тохиолдолд амжилттай буух магадлал нь ; . Сохор буултыг хангадаг төхөөрөмжүүд нь найдвартай (алдаагүй ажиллах магадлал) П. Бага үүлтэй, сохор буух хэрэгсэл амжилтгүй болсон тохиолдолд амжилттай буух магадлал ; . Үүнийг статистик харуулж байна кбуух%, нисэх онгоцны буудал намуухан үүлээр бүрхэгдсэн байдаг. Хай үйл явдлын бүрэн магадлал А- онгоцны аюулгүй газардах.

Шийдэл. Таамаглал:

Бага үүл бүрхэвч байхгүй;

Бага үүлтэй.

Эдгээр таамаглалуудын (үйл явдлын) магадлал:

;

Нөхцөлт магадлал.

Нөхцөлт магадлалыг таамаглал бүхий нийт магадлалын томъёогоор дахин олно

Сохор буух төхөөрөмж ажилладаг;

Сохор буух хэрэгсэл амжилтгүй болсон.

Эдгээр таамаглалуудын магадлал нь:

Нийт магадлалын томъёоны дагуу

Жишээ 4Төхөөрөмж нь хэвийн ба хэвийн бус гэсэн хоёр горимд ажиллах боломжтой. Төхөөрөмжийн үйл ажиллагааны бүх тохиолдлын 80% -д хэвийн горим, 20% -д хэвийн бус горим ажиглагддаг. Тодорхой хугацаанд төхөөрөмжийн эвдрэл гарах магадлал т 0.1-тэй тэнцүү; хэвийн бус 0.7. Хай бүрэн магадлалтөхөөрөмжийн эвдрэл, цаг тухайд нь т.

Шийдэл. Төхөөрөмжийн эвдрэлийн магадлалыг бид дахин тэмдэглэв А. Тиймээс, төхөөрөмжийн горим (үйл явдал) тус бүр дэх үйл ажиллагааны хувьд магадлалыг нөхцлөөр нь мэддэг: хэвийн горимд 80% (), хэвийн бус горимд - 20% (). Үйл явдлын магадлал А(өөрөөр хэлбэл төхөөрөмжийн эвдрэл) эхний үйл явдлаас хамааран (хэвийн горим) 0.1 (); хоёр дахь үйл явдлаас хамааран (хэвийн бус горим) - 0.7 ( ). Бид эдгээр утгыг нийт магадлалын томъёонд (өөрөөр хэлбэл системийн үйл явдал тус бүрийн магадлал ба үйл явдлын нөхцөлт магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр) орлуулна. Асистемийн үйл явдал тус бүрийн талаар) ба бид шаардлагатай үр дүнд хүрсэн.