Dwa niezależne wydarzenia. Zdarzenia zależne i niezależne. Warunkowe prawdopodobieństwo. Wykład omawia podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa i statystyki stosowane w ekonometrii

W zadaniach USE w matematyce są też bardziej złożone zadania probabilistyczne (niż rozważaliśmy w części 1), w których musisz zastosować zasadę dodawania, mnożenia prawdopodobieństw oraz rozróżniać zdarzenia połączone i niekompatybilne.

A więc teoria.

Wydarzenia wspólne i niewspólne

Zdarzenia uważa się za niezgodne, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie pozostałych. Oznacza to, że może wystąpić tylko jedno konkretne zdarzenie lub inne.

Na przykład, rzucając kostką, możesz odróżnić zdarzenia takie jak parzysta liczba punktów i nieparzysta liczba punktów. Te wydarzenia są niezgodne.

Zdarzenia nazywane są wspólnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia drugiego.

Na przykład, rzucając kostką, możesz rozróżnić zdarzenia, takie jak wystąpienie nieparzystej liczby punktów i stratę liczby punktów, która jest wielokrotnością trzech. Gdy wypadnie trzy, oba zdarzenia są realizowane.

Suma zdarzeń

Suma (lub suma) kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na wystąpieniu przynajmniej jednego z tych zdarzeń.

W którym suma dwóch rozłącznych zdarzeń to suma prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład prawdopodobieństwo uzyskania 5 lub 6 na kostka do gry na jeden rzut, ponieważ oba zdarzenia (rzut 5, rzut 6) są niezgodne, a prawdopodobieństwo wystąpienia jednego lub drugiego zdarzenia oblicza się w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo suma dwóch wspólnych wydarzeń równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez uwzględnienia ich wspólnego wystąpienia:

Na przykład w centrum handlowym dwa identyczne automaty sprzedają kawę. Prawdopodobieństwo, że w ekspresie zabraknie kawy do końca dnia wynosi 0,3. Prawdopodobieństwo, że w obu maszynach zabraknie kawy wynosi 0,12. Ustalmy prawdopodobieństwo, że do końca dnia kawa skończy się w co najmniej jednym z automatów (czyli albo w jednym, albo w drugim, albo w obu naraz).

Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia „kawa skończy się w pierwszym ekspresie” oraz prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia „kawa skończy się w drugim ekspresie” przy warunku wynosi 0,3. Wydarzenia są oparte na współpracy.

Prawdopodobieństwo wspólnej realizacji dwóch pierwszych zdarzeń wynosi w zależności od warunku 0,12.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że do końca dnia skończy się kawa w co najmniej jednym z automatów wynosi

Zdarzenia zależne i niezależne

Dwa zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. W przeciwnym razie zdarzenia A i B nazywane są zależnymi.

Na przykład, rzucając dwiema kostkami jednocześnie, upuść na jedną z nich, powiedzmy 1, a na drugą 5, - niezależne wydarzenia.

Iloczyn prawdopodobieństw

Iloczyn (lub przecięcie) kilku zdarzeń to zdarzenie polegające na wspólnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń.

Jeśli są dwa niezależne wydarzenia A i B z prawdopodobieństwami odpowiednio P(A) i P(B), to prawdopodobieństwo realizacji zdarzeń A i B jest jednocześnie równe iloczynowi prawdopodobieństw:

Na przykład interesuje nas przegrana szóstki na kostce dwa razy z rzędu. Oba zdarzenia są niezależne i prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z nich z osobna wynosi . Prawdopodobieństwo wystąpienia obu tych zdarzeń zostanie obliczone przy użyciu powyższego wzoru: .

Zobacz wybór zadań do opracowania tematu.

Wydarzenia A, B, C... są nazywane zależny od siebie, jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z nich różni się w zależności od wystąpienia lub niewystąpienia innych zdarzeń. Wydarzenia nazywają się niezależny jeżeli prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich nie zależą od wystąpienia lub niewystąpienia pozostałych.

Warunkowe prawdopodobieństwo(RA(B)-warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia B względem A) to prawdopodobieństwo zdarzenia B, obliczone przy założeniu, że zdarzenie A już zaszło. przykład prawdopodobieństwa warunkowego Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B, pod warunkiem, że zdarzenie A już zaszło, z definicji jest równe RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Mnożenie prawdopodobieństw zdarzeń zależnych: prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z nich przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego, obliczone przy założeniu, że pierwsze zdarzenie już zaszło:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Przykład. Kolektor posiada 3 stożkowe i 7 eliptycznych rolek. Kolekcjoner wziął jeden walec, a potem drugi. Znajdź prawdopodobieństwo, że pierwsza z pobranych rolek jest stożkowa, a druga eliptyczna.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że pierwszy walec będzie stożkowy (zdarzenie A), P(A) = 3/10. Prawdopodobieństwo, że drugi walec będzie eliptyczny (zdarzenie B), obliczone przy założeniu, że pierwszy walec jest stożkowy, czyli warunkowy prawdopodobieństwo RA (B) = 7 / 9.
Zgodnie ze wzorem mnożenia pożądane prawdopodobieństwo P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3/10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Pamiętaj, że zachowując notację, łatwo znaleźć: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Warunek niezależności wydarzeń. Mnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. Przykłady.

Zdarzenie B jest niezależne od zdarzenia A, jeżeli

P(B/A) = P(B) tj. Prawdopodobieństwo zdarzenia B nie zależy od tego, czy zdarzenie A miało miejsce.

W tym przypadku zdarzenie A nie jest zależne od zdarzenia B, czyli własność niezależności zdarzeń jest wzajemna.

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw:

P(AB) = P(A)P(B) .

Przykład 1: Urządzenie pracujące w czasie t składa się z trzech węzłów, z których każdy niezależnie od pozostałych może w czasie t ulec awarii (nie działać). Awaria co najmniej jednego węzła prowadzi do awarii całego urządzenia. W czasie t niezawodność (prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy) pierwszego węzła wynosi p 1 = 0,8; drugi p 2 = 0,9 trzeci p 3 = 0,7. Znajdź niezawodność urządzenia jako całości.

Rozwiązanie. Oznaczając:

A - bezawaryjna praca urządzeń,

A 1 - bezawaryjna praca pierwszego węzła,

A 2 - bezawaryjna praca drugiego węzła,

A 3 - bezawaryjna praca trzeciego węzła,

skąd przez twierdzenie o mnożeniu dla zdarzeń niezależnych

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Przykład 2. Znajdź prawdopodobieństwo, że cyfra pojawi się razem w jednym rzucie dwiema monetami.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo pojawienia się cyfry pierwszej monety (zdarzenie A) Р(А) = 1/2; prawdopodobieństwo pojawienia się cyfry drugiej monety (zdarzenie B) wynosi P(B) = 1/2.

Zdarzenia A i B są niezależne, więc znajdujemy pożądane prawdopodobieństwo

według wzoru:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Spójność i niespójność wydarzeń. Dodanie prawdopodobieństw dwóch wspólnych zdarzeń. Przykłady.

Te dwa wydarzenia nazywają się wspólny jeżeli wystąpienie jednego z nich nie wpływa lub nie wyklucza wystąpienia drugiego. Wspólne wydarzenia mogą być realizowane jednocześnie, np. pojawienie się dowolnej liczby na tej samej kostce

w żaden sposób nie wpływa na wygląd liczb na innej kości. Wydarzenia są niespójne, jeśli w jednym zjawisku lub w jednym teście nie mogą być realizowane jednocześnie, a pojawienie się jednego z nich wyklucza pojawienie się drugiego (uderzenie w cel i chybienie są nie do pogodzenia).

Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch wspólnych zdarzeń A lub B jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich wspólnego wystąpienia:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Przykład. Prawdopodobieństwo trafienia celu pierwszego zawodnika wynosi 0,85, a drugiego 0,8. Sportowcy samodzielnie

oddał jeden strzał. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden sportowiec trafi w cel?

Rozwiązanie. Wprowadźmy zapis: zdarzenia A – „trafienie pierwszego sportowca”, B – „uderzenie drugiego sportowca”, C – „uderzenie przynajmniej jednego sportowca”. Oczywiście A + B = C, a zdarzenia A i B są kompatybilne. Zgodnie z formułą otrzymujemy:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

ponieważ A i B są niezależnymi zdarzeniami. Podstawiając te wartości P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 do wzoru na P(C), znajdujemy pożądane prawdopodobieństwo

P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń

Naprzeciwko nazwij dwa niezgodne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę. Jeśli jedno z dwóch przeciwstawnych zdarzeń jest oznaczone przez ALE, drugi jest zwykle oznaczony . Zdarzenie przeciwne polega na niewystąpieniu zdarzenia ALE.

Twierdzenie. Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń jest równa jeden:

P(A)+P()= 1.

Przykład 4 Pudełko zawiera 11 części, z których 8 jest standardowych. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 3 losowo wyodrębnionych części jest co najmniej jedna wadliwa.

Rozwiązanie. Problem można rozwiązać na dwa sposoby.

1 sposób. Zdarzenia „jest co najmniej jedna wadliwa część wśród wydobytych części” i „nie ma ani jednej wadliwej części wśród wydobytych części” są przeciwne. Oznaczmy pierwsze zdarzenie jako ALE, a drugi przez :

P(A) =1 - P( ) .

Znajdźmy R(). Całkowita liczba sposobów wyodrębnienia 3 części z 11 części jest równa liczbie kombinacji
. Liczba standardowych części to 8 ; z tej liczby części
sposoby na wyodrębnienie 3 standardowych części. Dlatego prawdopodobieństwo, że wśród wyodrębnionych 3 części nie ma części niestandardowych, jest równe:

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń, pożądane prawdopodobieństwo jest równe: P(A)=1 - P()=

2 sposób. Wydarzenie ALE- "wśród wydobytych części jest co najmniej jeden wadliwy" - można zrealizować jako pojawienie się:

lub wydarzenia W- "usunięto 1 wadliwą i 2 nieuszkodzoną część",

lub wydarzenia Z- „usunięto 2 wadliwe i 1 niewadliwe części”,

lub wydarzenia D - „Usunięto 3 wadliwe części”.

Następnie A= B+ C+ D. Od czasu wydarzeń B, C oraz D niezgodne, możemy zastosować twierdzenie o dodawaniu dla prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń:

4. Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Produkt dwóch wydarzeńALE orazW zadzwoń na wydarzenie C=AB, polegająca na wspólnym występowaniu (połączeniu) tych wydarzeń.

Produkt kilku wydarzeń nazwać zdarzenie polegające na wspólnym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń. Na przykład wydarzenie ABC jest połączeniem wydarzeń A, B oraz Z.

Nazywane są dwa wydarzenia niezależny jeżeli prawdopodobieństwo jednego z nich nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia drugiego.

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P(AB)=P(A) P(B).

Konsekwencja. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia kilku zdarzeń, które są w sumie niezależne od siebie, jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń :

ROCZNIE 1 ALE 2 ... ALE n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...ROCZNIE n ).

Przykład 5 Znajdź prawdopodobieństwo, że herby pojawią się razem podczas jednego rzutu dwiema monetami.

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia: ALE - wygląd herbu na pierwszej monecie, W - wygląd herbu na drugiej monecie, Z- wygląd herbu na dwóch monetach C=AB.

Prawdopodobieństwo pojawienia się herbu pierwszej monety :

P(A) =.

Prawdopodobieństwo pojawienia się herbu drugiej monety :

P(B) =.

Od czasu wydarzeń ALE oraz W niezależne, to pożądane prawdopodobieństwo zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu jest równe:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Przykład 6 Są 3 pudełka zawierające 10 części. Pierwsza szuflada zawiera 8, druga szuflada 7 i trzecia szuflada 9 części standardowych. Z każdego pudełka losowany jest jeden przedmiot. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wyjęte części są standardowe.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie pobrana z pierwszego pudełka (zdarzenie ALE):

P(A) =

Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie pobrana z drugiego pudełka (zdarzenie W):

Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie pobrana z trzeciego pudełka (zdarzenie Z):

P(C)=

Od czasu wydarzeń A, B oraz Z niezależne w agregacie, to pożądane prawdopodobieństwo (zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu) jest równe:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Przykład 7 Prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z dwóch niezależnych zdarzeń ALE 1 oraz ALE 2 odpowiednio równe R 1 oraz R 2. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego z tych zdarzeń.

Rozwiązanie. Wprowadźmy notację zdarzeń:

W 1 – pojawiło się tylko wydarzenie ALE 1 ; W 2 – pojawiło się tylko wydarzenie ALE 2 .

Wystąpienie zdarzenia W 1 jest równoznaczne z wystąpieniem zdarzenia ALE 1 2 (pierwsze zdarzenie pojawiło się, a drugie się nie pojawiło), tj. W 1 = A 1 2 .

Wystąpienie zdarzenia W 2 jest równoznaczne z wystąpieniem zdarzenia 1 ALE 2 (pierwsze zdarzenie się nie pojawiło, a drugie się pojawiło), tj. W 1 = 1 ALE 2 .

Tak więc, aby znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego ze zdarzeń ALE 1 lub ALE 2 , wystarczy znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia jednego, bez względu na to, które ze zdarzeń W 1 oraz W 2 . Rozwój W 1 oraz W 2 są niezgodne, dlatego obowiązuje twierdzenie o dodawaniu niezgodnych zdarzeń:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.
Zdarzenia zależne i niezależne

Tytuł wygląda przerażająco, ale w rzeczywistości jest bardzo prosty. W tej lekcji zapoznamy się z twierdzeniami dodawania i mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń, a także przeanalizujemy typowe zadania, które wraz z zadanie dla klasycznej definicji prawdopodobieństwa na pewno się spotkasz lub, co bardziej prawdopodobne, spotkałeś się już na swojej drodze. Aby skutecznie przestudiować materiały tego artykułu, musisz znać i rozumieć podstawowe terminy teoria prawdopodobieństwa i potrafić wykonywać proste operacje arytmetyczne. Jak widać, wymagane jest bardzo niewiele, a zatem gruby plus w aktywach jest prawie gwarantowany. Ale z drugiej strony ponownie ostrzegam przed powierzchownym podejściem do praktycznych przykładów - jest też wystarczająco dużo subtelności. Powodzenia:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń: prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch niekompatybilny wydarzenia lub (nieważne co), jest równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Podobny fakt dotyczy również większej liczby niezgodnych zdarzeń, na przykład trzech niezgodnych zdarzeń i :

Twierdzenie o śnie =) Jednak taki sen również podlega dowodowi, który można znaleźć np. w: podręcznik do nauki W.E. Gmurman.

Zapoznajmy się z nowymi, niespotykanymi dotąd koncepcjami:

Zdarzenia zależne i niezależne

Zacznijmy od niezależnych wydarzeń. Wydarzenia są niezależny jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia ktokolwiek z nich nie zależy od pojawienia się/niewystąpienia innych zdarzeń rozpatrywanego zbioru (we wszystkich możliwych kombinacjach). ... Ale co jest do zmielenia popularnych zwrotów:

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych: prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia niezależnych zdarzeń i jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Wróćmy do najprostszego przykładu pierwszej lekcji, w której rzucane są dwie monety i następujące zdarzenia:

- na pierwszą monetę spadną głowy;
- Głowy na drugiej monecie.

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia (orzełki pojawią się na pierwszej monecie) oraz Orzeł pojawi się na drugiej monecie - pamiętaj jak czytać produkt wydarzeń!) . Prawdopodobieństwo trafienia orłem na jedną monetę nie zależy od wyniku rzutu inną monetą, dlatego zdarzenia i są niezależne.

Podobnie:
jest prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyląduje orłem oraz na drugim ogonie;
jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej monecie pojawią się orły oraz na drugim ogonie;
jest prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyląduje na reszkach oraz na 2. orle.

Zauważ, że wydarzenia się tworzą pełna grupa a suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden: .

Twierdzenie o mnożeniu oczywiście rozciąga się na większą liczbę niezależnych zdarzeń, więc np. jeśli zdarzenia są niezależne, to prawdopodobieństwo ich wspólnego wystąpienia wynosi: . Poćwiczmy na konkretnych przykładach:

Zadanie 3

Każde z trzech pudełek zawiera 10 części. W pierwszym pudełku znajduje się 8 standardowych części, w drugim 7, w trzecim 9. Z każdego pudełka losowo wyjmuje się jedną część. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie części są standardowe.

Rozwiązanie: prawdopodobieństwo wyodrębnienia standardowej lub niestandardowej części z dowolnego pudełka nie zależy od tego, które części zostaną wyodrębnione z innych pudeł, więc problem dotyczy niezależnych zdarzeń. Rozważ następujące niezależne wydarzenia:

– wyjęcie standardowej części z pierwszego pudełka;
– z drugiego pudełka wyjęto część standardową;
– Część standardowa została usunięta z 3. szuflady.

Zgodnie z klasyczną definicją:
są odpowiednie prawdopodobieństwa.

Wydarzenie, które nas interesuje (Standardowa część zostanie pobrana z 1. szuflady) oraz od 2 standardu oraz od III normy) jest wyrażona przez produkt.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

to prawdopodobieństwo, że z trzech pudełek zostanie wyodrębniona jedna standardowa część.

Odpowiadać: 0,504

Po ożywczych ćwiczeniach z pudełkami czekają na nas nie mniej ciekawe urny:

Zadanie 4

Trzy urny zawierają 6 białych i 4 czarne kule. Z każdej urny losowana jest jedna kula. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie trzy bile będą białe; b) wszystkie trzy kule będą tego samego koloru.

Na podstawie otrzymanych informacji zgadnij, jak poradzić sobie z pozycją „być” ;-) Przybliżone przykładowe rozwiązanie jest zaprojektowane w stylu akademickim ze szczegółowym opisem wszystkich wydarzeń.

Zdarzenia zależne. Wydarzenie nazywa się zależny jeśli jego prawdopodobieństwo zależy z jednego lub więcej wydarzeń, które już się wydarzyły. Na przykłady nie musisz daleko iść - po prostu idź do najbliższego sklepu:

- Jutro o godzinie 19.00 będzie w sprzedaży świeże pieczywo.

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy od wielu innych zdarzeń: czy jutro zostanie dostarczony świeży chleb, czy zostanie wyprzedany przed godziną 19:00, czy nie itp. W zależności od różnych okoliczności zdarzenie to może być zarówno wiarygodne, jak i niemożliwe. Więc wydarzenie jest zależny.

Chleb… i, jak żądali Rzymianie, cyrki:

- na egzaminie student dostanie prosty bilet.

Jeśli nie pójdziesz pierwszy, to wydarzenie będzie zależne, ponieważ jego prawdopodobieństwo będzie zależeć od tego, jakie bilety koledzy z klasy już wylosowali.

Jak ustalić zależność/niezależność wydarzeń?

Czasami jest to bezpośrednio określone w stanie problemu, ale najczęściej trzeba przeprowadzić niezależną analizę. Nie ma tu jednoznacznej wytycznej, a fakt zależności czy niezależności zdarzeń wynika z naturalnego logicznego rozumowania.

Aby nie wrzucać wszystkiego do jednego stosu, zadania dla zdarzeń zależnych Podkreślę następną lekcję, ale na razie rozważymy najczęstszą grupę twierdzeń w praktyce:

Problemy z twierdzeniami o dodawaniu dla niespójnych prawdopodobieństw
i pomnożenie prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń

Ten tandem, według mojej subiektywnej oceny, sprawdza się w około 80% zadań na rozważany temat. Hit hitów i prawdziwy klasyk teorii prawdopodobieństwa:

Zadanie 5

Dwóch strzelców oddało po jednym strzale do tarczy. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszego strzelca wynosi 0,8, drugiego 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) tylko jeden strzelec trafi w tarczę;
b) co najmniej jeden ze strzelców trafi w tarczę.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia/chybienia jednego strzelca jest oczywiście niezależne od wyników drugiego strzelca.

Rozważ wydarzenia:
– pierwszy strzelec trafi w tarczę;
– Drugi strzelec trafi w cel.

Według warunku: .

Znajdźmy prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń - że odpowiednie strzałki nie trafią:

a) Rozważ zdarzenie: - tylko jeden strzelec trafia w tarczę. To wydarzenie składa się z dwóch niekompatybilnych wyników:

Pierwszy strzelec uderzy oraz 2. pudło
lub
Pierwszy nie trafi oraz Drugi trafi.

Na języku algebry zdarzeń fakt ten można zapisać jako:

Najpierw posługujemy się twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych, następnie - twierdzeniu o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

to prawdopodobieństwo, że będzie tylko jedno trafienie.

b) Rozważ zdarzenie: - co najmniej jeden ze strzelców trafi w tarczę.

Przede wszystkim ZASTANÓWMY SIĘ – co oznacza warunek „CO najmniej jeden”? W tym przypadku oznacza to, że pierwszy strzelec trafi (drugi chybi) lub 2. (1. pudło) lub obie strzałki na raz - w sumie 3 niezgodne wyniki.

Metoda pierwsza: biorąc pod uwagę przygotowane prawdopodobieństwo poprzedniej pozycji, wygodnie jest przedstawić zdarzenie jako sumę następujących rozłącznych zdarzeń:

jeden dostanie (zdarzenie składające się kolejno z 2 niezgodnych wyników) lub
Jeśli trafią obie strzałki, oznaczamy to wydarzenie literą .

W ten sposób:

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
jest prawdopodobieństwo trafienia pierwszego strzelca oraz Drugi strzelec trafi.

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:
to prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w cel.

Metoda druga: rozważ przeciwne zdarzenie: – obaj strzelcy spudłują.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

W rezultacie:

Specjalna uwaga zwróć uwagę na drugą metodę - w ogólnym przypadku jest bardziej racjonalna.

Ponadto istnieje alternatywny, trzeci sposób rozwiązania, oparty na twierdzeniu o sumowaniu wspólnych zdarzeń, które przemilczano powyżej.

! Jeśli czytasz materiał po raz pierwszy, to aby uniknąć nieporozumień, lepiej pominąć następny akapit.

Metoda trzecia : zdarzenia są połączone, co oznacza, że ​​ich suma wyraża zdarzenie „co najmniej jeden strzelec trafia w tarczę” (patrz rys. algebra zdarzeń). Za pomocą twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń oraz twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Sprawdźmy: wydarzenia i (odpowiednio 0, 1 i 2 trafienia) tworzą kompletną grupę, więc suma ich prawdopodobieństw musi być równa jeden:
, który miał zostać zweryfikowany.

Odpowiadać:

Przy dokładnym przestudiowaniu teorii prawdopodobieństwa natkniesz się na dziesiątki zadań o treści militarystycznej, a po których, co typowe, nie będziesz chciał do nikogo strzelać - zadania są niemal darem. Dlaczego nie uczynić szablonu jeszcze prostszym? Skróćmy wpis:

Rozwiązanie: zgodnie z warunkiem: , to prawdopodobieństwo trafienia odpowiedniego strzelca. Wtedy ich prawdopodobieństwa chybienia to:

a) Zgodnie z twierdzeniami dodawania prawdopodobieństw niezgodnych i mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
to prawdopodobieństwo, że tylko jeden strzelec trafi w cel.

b) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
to prawdopodobieństwo, że obaj strzelcy spudłują.

Wtedy: jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden ze strzelców trafi w cel.

Odpowiadać:

W praktyce możesz użyć dowolnej opcji projektowej. Oczywiście znacznie częściej idą krótszą drogą, ale nie należy zapominać o pierwszej metodzie – choć jest dłuższa, to jest bardziej sensowna – jest w niej jaśniejsza, co, dlaczego i dlaczego sumuje się i mnoży. W niektórych przypadkach odpowiedni jest styl hybrydowy, gdy wygodnie jest wskazać tylko niektóre wydarzenia wielkimi literami.

Podobne zadania dla samodzielnego rozwiązania:

Zadanie 6

Zainstalowane są dwa niezależnie działające czujniki alarmu pożarowego. Prawdopodobieństwo zadziałania czujnika podczas pożaru wynosi odpowiednio 0,5 i 0,7 dla pierwszego i drugiego czujnika. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ogniu:

a) oba czujniki ulegną awarii;
b) oba czujniki będą działać.
c) Używanie twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę, znajdź prawdopodobieństwo, że podczas pożaru zadziała tylko jeden czujnik. Sprawdź wynik przez bezpośrednie obliczenie tego prawdopodobieństwa (za pomocą twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu).

Tutaj niezależność działania urządzeń jest bezpośrednio określona w warunku, co, nawiasem mówiąc, jest ważnym wyjaśnieniem. Przykładowe rozwiązanie jest zaprojektowane w stylu akademickim.

Co jeśli w podobnym zadaniu podane są te same prawdopodobieństwa, na przykład 0,9 i 0,9? Musisz zdecydować dokładnie tak samo! (co w rzeczywistości zostało już zademonstrowane w przykładzie z dwiema monetami)

Zadanie 7

Prawdopodobieństwo trafienia w cel przez pierwszego strzelca jednym strzałem wynosi 0,8. Prawdopodobieństwo, że cel nie zostanie trafiony po oddaniu jednego strzału przez pierwszego i drugiego strzelca wynosi 0,08. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel przez drugiego strzelca jednym strzałem?

A to jest mała łamigłówka, która jest w krótki sposób oprawiona w ramkę. Warunek można przeformułować bardziej zwięźle, ale nie będę przerabiał oryginału – w praktyce muszę zagłębiać się w bardziej ozdobne fabrykacje.

Poznaj go - to on wyciął dla Ciebie niezmierzoną ilość szczegółów =):

Zadanie 8

Pracownik obsługuje trzy maszyny. Prawdopodobieństwo, że podczas zmiany pierwsza maszyna będzie wymagała regulacji wynosi 0,3, druga - 0,75, trzecia - 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas zmiany:

a) wszystkie maszyny będą wymagały regulacji;
b) tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji;
c) co najmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Rozwiązanie: ponieważ warunek nie mówi nic o pojedynczym procesie technologicznym, to działanie każdej maszyny należy traktować jako niezależne od działania innych maszyn.

Analogicznie do zadania nr 5 można tu uwzględnić zdarzenia polegające na tym, że odpowiednie maszyny będą wymagały regulacji podczas zmiany, spisać prawdopodobieństwa, znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych itp. Ale z trzema przedmiotami tak naprawdę nie chcę tak rysować zadania - okaże się to długie i żmudne. Dlatego zauważalnie bardziej opłaca się zastosować tutaj styl „szybki”:

Według warunku: - prawdopodobieństwo, że podczas zmiany odpowiednie maszyny będą wymagały strojenia. Wtedy prawdopodobieństwa, że ​​nie będą wymagały uwagi, to:

Jeden z czytelników znalazł tutaj fajną literówkę, nawet tego nie poprawię =)

a) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
jest prawdopodobieństwo, że podczas zmiany wszystkie trzy maszyny będą wymagały regulacji.

b) Zdarzenie „Podczas zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagało regulacji” składa się z trzech niekompatybilnych wyników:

1) pierwsza maszyna wymagać będzie Uwaga oraz Druga maszyna nie będzie wymagać oraz Trzecia maszyna nie będzie wymagać
lub:
2) pierwsza maszyna nie będzie wymagać Uwaga oraz Druga maszyna wymagać będzie oraz Trzecia maszyna nie będzie wymagać
lub:
3) pierwsza maszyna nie będzie wymagać Uwaga oraz Druga maszyna nie będzie wymagać oraz Trzecia maszyna wymagać będzie.

Zgodnie z twierdzeniami dodawania prawdopodobieństw niezgodnych i mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

- prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Myślę, że do tej pory powinno być dla ciebie jasne, skąd wzięło się wyrażenie

c) Oblicz prawdopodobieństwo, że maszyny nie będą wymagały regulacji, a następnie prawdopodobieństwo odwrotnego zdarzenia:
– fakt, że przynajmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Odpowiadać:

Pozycję "ve" można również rozwiązać poprzez sumę, gdzie jest prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko dwie maszyny będą wymagały korekty. To zdarzenie z kolei zawiera 3 niezgodne wyniki, które są podpisywane przez analogię z elementem „być”. Spróbuj sam znaleźć prawdopodobieństwo, aby sprawdzić cały problem za pomocą równości.

Zadanie 9

Trzy działa wystrzeliły salwę do celu. Prawdopodobieństwo trafienia jednym strzałem tylko z pierwszego pistoletu wynosi 0,7, z drugiego - 0,6, z trzeciego - 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że: 1) co najmniej jeden pocisk trafi w cel; 2) tylko dwa pociski trafią w cel; 3) cel zostanie trafiony co najmniej dwa razy.

Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I znowu o zbiegach okoliczności: w przypadku, gdy pod warunkiem pokrywają się dwie lub nawet wszystkie wartości prawdopodobieństw początkowych (na przykład 0,7; 0,7 i 0,7), należy postępować zgodnie z dokładnie tym samym algorytmem rozwiązania.

Na zakończenie artykułu przeanalizujemy kolejną wspólną zagadkę:

Zadanie 10

Strzelec trafia w cel z takim samym prawdopodobieństwem przy każdym strzale. Jakie jest to prawdopodobieństwo, jeśli prawdopodobieństwo przynajmniej jednego trafienia w trzech strzałach wynosi 0,973.

Rozwiązanie: oznacz przez - prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem.
i przez - prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

Zapiszmy wydarzenia:
- przy 3 strzałach strzelec co najmniej raz trafi w tarczę;
- strzelec spudłuje 3 razy.

Zgodnie z warunkiem, to prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

Natomiast zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

W ten sposób:

- prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

W rezultacie:
to prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału.

Odpowiadać: 0,7

Prosty i elegancki.

W rozważanym problemie można postawić dodatkowe pytania o prawdopodobieństwo tylko jednego trafienia, tylko dwóch trafień i prawdopodobieństwa trzech trafień w cel. Schemat rozwiązania będzie dokładnie taki sam jak w dwóch poprzednich przykładach:

Jednak zasadnicza różnica merytoryczna polega na tym, że istnieją: powtarzane niezależne testy, które są wykonywane sekwencyjnie, niezależnie od siebie i z takim samym prawdopodobieństwem wyników.

Ogólne sformułowanie problemu: prawdopodobieństwa niektórych zdarzeń są znane, ale prawdopodobieństwa innych zdarzeń, które są związane z tymi zdarzeniami, należy obliczyć. W tych problemach istnieje potrzeba takich operacji na prawdopodobieństwach jak dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw.

Na przykład podczas polowania oddano dwa strzały. Wydarzenie A- trafienie kaczki od pierwszego strzału, event B- trafienie z drugiego strzału. Następnie suma wydarzeń A oraz B- trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów.

Zadania innego typu. Podano kilka wydarzeń, na przykład trzykrotne rzucenie monetą. Wymagane jest ustalenie prawdopodobieństwa, że ​​albo wszystkie trzykrotne wypadnie herbu, albo że herb wypadnie co najmniej raz. To jest problem mnożenia.

Dodawanie prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń

Dodawanie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy konieczne jest obliczenie prawdopodobieństwa kombinacji lub logicznej sumy zdarzeń losowych.

Suma zdarzeń A oraz B wyznaczyć A + B lub A ∪ B. Suma dwóch zdarzeń to zdarzenie, które występuje wtedy i tylko wtedy, gdy wystąpi co najmniej jedno ze zdarzeń. To znaczy, że A + B- zdarzenie, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenie ma miejsce podczas obserwacji A lub wydarzenie B lub w tym samym czasie A oraz B.

Jeśli wydarzenia A oraz B są wzajemnie niespójne i podano ich prawdopodobieństwa, to prawdopodobieństwo, że jedno z tych zdarzeń wystąpi w wyniku jednej próby, oblicza się przez dodanie prawdopodobieństw.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wzajemnie niekompatybilnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład podczas polowania oddano dwa strzały. Wydarzenie ALE– trafienie kaczki od pierwszego strzału, event W– trafienie z drugiego strzału, zdarzenie ( ALE+ W) - trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów. Więc jeśli dwa wydarzenia ALE oraz W są zdarzeniami nie do pogodzenia, to ALE+ W- wystąpienie co najmniej jednego z tych zdarzeń lub dwóch zdarzeń.

Przykład 1 Pudełko zawiera 30 kulek tego samego rozmiaru: 10 czerwonych, 5 niebieskich i 15 białych. Oblicz prawdopodobieństwo, że kolorowa (nie biała) piłka zostanie złapana bez patrzenia.

Rozwiązanie. Załóżmy, że wydarzenie ALE– „czerwona piłka zabrana” i wydarzenie W- "Niebieska piłka jest zajęta." Następnie wydarzeniem jest „zdjęcie kolorowej (nie białej) piłki”. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia ALE:

i wydarzenia W:

Rozwój ALE oraz W- wzajemnie niekompatybilne, ponieważ jeśli weźmie się jedną piłkę, nie można wziąć kulek o różnych kolorach. Dlatego używamy dodawania prawdopodobieństw:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw dla kilku niezgodnych zdarzeń. Jeżeli zdarzenia składają się na cały zbiór zdarzeń, to suma ich prawdopodobieństw jest równa 1:

Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń jest również równa 1:

Zdarzenia przeciwne tworzą kompletny zestaw zdarzeń, a prawdopodobieństwo wystąpienia pełnego zestawu zdarzeń wynosi 1.

Prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń są zwykle oznaczane małymi literami. p oraz q. W szczególności,

z którego wynikają następujące wzory na prawdopodobieństwo przeciwnych zdarzeń:

Przykład 2 Cel w desce rozdzielczej jest podzielony na 3 strefy. Prawdopodobieństwo, że dany strzelec strzeli do tarczy w pierwszej strefie wynosi 0,15, w drugiej 0,23, w trzeciej 0,17. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel i prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel.

Rozwiązanie: Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel:

Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel:

Trudniejsze zadania, w których należy zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie "Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw" .

Dodawanie prawdopodobieństw wzajemnie wspólnych zdarzeń

Uważa się, że dwa zdarzenia losowe są połączone, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wyklucza wystąpienia drugiego zdarzenia w tej samej obserwacji. Na przykład podczas rzucania kostką zdarzenie ALE uważa się za wystąpienie liczby 4, a zdarzenie W- upuszczenie liczby parzystej. Ponieważ liczba 4 jest liczbą parzystą, oba zdarzenia są kompatybilne. W praktyce istnieją zadania polegające na obliczeniu prawdopodobieństw wystąpienia jednego z wzajemnie wspólnych zdarzeń.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw dla wspólnych zdarzeń. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego ze wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, od której odejmuje się prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia obu zdarzeń, czyli iloczyn prawdopodobieństw. Wzór na prawdopodobieństwa wspólnych zdarzeń jest następujący:

Ponieważ wydarzenia ALE oraz W kompatybilny, wydarzenie ALE+ W występuje, gdy wystąpi jedno z trzech możliwych zdarzeń: lub AB. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu niezgodnych zdarzeń obliczamy w następujący sposób:

Wydarzenie ALE występuje, gdy wystąpi jedno z dwóch niekompatybilnych zdarzeń: lub AB. Jednak prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia z kilku niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw wszystkich tych zdarzeń:

Podobnie:

Podstawiając wyrażenia (6) i (7) do wyrażenia (5), otrzymujemy wzór prawdopodobieństwa dla wspólnych zdarzeń:

Stosując wzór (8) należy wziąć pod uwagę, że zdarzenia ALE oraz W może być:

• wzajemnie niezależne;
• wzajemnie zależne.

Wzór prawdopodobieństwa dla zdarzeń wzajemnie niezależnych:

Wzór prawdopodobieństwa dla zdarzeń wzajemnie zależnych:

Jeśli wydarzenia ALE oraz W są niespójne, to ich zbieg okoliczności jest przypadkiem niemożliwym, a zatem P(AB) = 0. Czwarty wzór prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezgodnych jest następujący:

Przykład 3 W wyścigach samochodowych, jadąc pierwszym samochodem, prawdopodobieństwo wygranej, jadąc drugim samochodem. Odnaleźć:

• prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają;
• prawdopodobieństwo wygrania przynajmniej jednego samochodu;

1) Prawdopodobieństwo wygranej pierwszego samochodu nie zależy od wyniku drugiego samochodu, więc wydarzenia ALE(pierwszy samochód wygrywa) i W(drugi samochód wygrywa) - imprezy niezależne. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają:

2) Znajdź prawdopodobieństwo wygrania jednego z dwóch samochodów:

Trudniejsze zadania, w których należy zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie "Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw" .

Sam rozwiąż problem dodawania prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4 Wyrzucane są dwie monety. Wydarzenie A- utrata herbu na pierwszej monecie. Wydarzenie B- utrata herbu na drugiej monecie. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia C = A + B .

Mnożenie prawdopodobieństwa

Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy ma zostać obliczone prawdopodobieństwo logicznego iloczynu zdarzeń.

W takim przypadku zdarzenia losowe muszą być niezależne. Mówi się, że dwa zdarzenia są od siebie niezależne, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych. Prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń ALE oraz W jest równy iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń i jest obliczany według wzoru:

Przykład 5 Moneta jest rzucana trzy razy z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie wszystkie trzy razy.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że herb spadnie przy pierwszym rzucie monetą, drugim i trzecim. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie wszystkie trzy razy:

Sam rozwiąż problemy w celu pomnożenia prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 6 Jest pudełko z dziewięcioma nowymi piłkami tenisowymi. Do gry pobierane są trzy piłki, a po meczu odkładane. Przy wyborze piłek nie rozróżniają piłek zagranych i nie zagranych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzy gry czy w pudełku nie będzie żadnych nie zagranych piłek?

Przykład 7 32 litery alfabetu rosyjskiego są zapisane na kartach z wyciętym alfabetem. Pięć kart dobiera się losowo, jedna po drugiej i umieszcza na stole w kolejności, w jakiej się pojawiają. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery utworzą słowo „koniec”.

Przykład 8 Z pełnej talii kart (52 arkusze) wyjmuje się jednocześnie cztery karty. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie cztery z tych kart są tego samego koloru.

Przykład 9 Ten sam problem jak w przykładzie 8, ale każda karta po wylosowaniu wraca do talii.

Bardziej złożone zadania, w których należy zastosować zarówno dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw, jak i obliczanie iloczynu kilku zdarzeń - na stronie "Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw" .

Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z wzajemnie niezależnych zdarzeń można obliczyć odejmując iloczyn prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych od 1, czyli według wzoru.