Zdarzenia nazywane są niezależnymi if. Zdarzenia losowe zależne i niezależne. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Zależność zdarzeń rozumiana jest w: probabilistyczny sens, a nie funkcjonalnie. Oznacza to, że pojawienie się jednego ze zdarzeń zależnych nie może jednoznacznie ocenić pojawienia się drugiego. Zależność probabilistyczna oznacza, że ​​wystąpienie jednego ze zdarzeń zależnych zmienia jedynie prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Jeśli prawdopodobieństwo się nie zmienia, zdarzenia są uważane za niezależne.

Definicja: Let - dowolna przestrzeń prawdopodobieństwa, - niektóre zdarzenia losowe. Mówią, że wydarzenie ALE nie zależy od wydarzenia W , Jeśli to warunkowe prawdopodobieństwo pokrywa się z bezwarunkowym prawdopodobieństwem:

.

Jeśli , wtedy mówimy, że wydarzenie ALE zależne od zdarzenia W.

Pojęcie niezależności jest symetryczne, to znaczy, jeśli zdarzenie ALE nie zależy od wydarzenia W, to wydarzenie W nie zależy od wydarzenia ALE. Rzeczywiście, niech . Następnie . Dlatego po prostu mówią, że wydarzenia ALE oraz W niezależny.

Poniższa symetryczna definicja niezależności zdarzeń wynika z zasady mnożenia prawdopodobieństw.

Definicja: Rozwój ALE oraz W, zdefiniowane na tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa nazywamy niezależny, jeśli

Jeśli , to wydarzenia ALE oraz W nazywa zależny.

Zauważ, że ta definicja jest również ważna, gdy lub .

Właściwości zdarzeń niezależnych.

1. Jeśli wydarzenia ALE oraz W są niezależne, to niezależne są również następujące pary zdarzeń: .

▲ Udowodnijmy na przykład niezależność wydarzeń . Wyobraź sobie wydarzenie ALE jak: . Skoro wydarzenia są nie do pogodzenia, to i ze względu na niezależność wydarzeń ALE oraz W otrzymujemy to. Stąd, co oznacza niezależność. ■

2. Jeśli wydarzenie ALE nie zależy od wydarzeń W 1 oraz W 2, które są niezgodne () , to wydarzenie ALE nie zależy od kwoty.

▲ Rzeczywiście, posługując się aksjomatem addytywności prawdopodobieństwa i niezależności zdarzenia ALE z wydarzeń W 1 oraz W 2, mamy:

Związek między pojęciami niezależności i niezgodności.

Wynajmować ALE oraz W- wszelkie zdarzenia, które mają niezerowe prawdopodobieństwo: , więc . Jeśli wydarzenia ALE oraz W są niespójne (), a zatem równość nigdy nie może mieć miejsca. W ten sposób, niezgodne zdarzenia są zależne.

Gdy więcej niż dwa wydarzenia są rozważane jednocześnie, ich niezależność parami nie charakteryzuje wystarczająco związku między wydarzeniami całej grupy. W tym przypadku wprowadza się pojęcie niezależności zbiorczej.

Definicja: Zdarzenia zdefiniowane w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa są nazywane zbiorowo niezależni, jeśli w ogóle 2 mln £ n a dowolna kombinacja indeksów zachowuje równość:

Na m = 2 niezależność w sumie oznacza parzystą niezależność wydarzeń. Odwrotność nie jest prawdą.


Przykład. (Bernstein S.N.)

Eksperyment losowy polega na podrzuceniu czworościanu foremnego (czworościanu). Jest twarz, która wypadła z góry na dół. Twarze czworościanu są ubarwione następująco: 1 twarz - biała, 2 twarz - czarna,
3 twarze - czerwone, 4 twarze - zawiera wszystkie kolory.

Rozważ wydarzenia:

ALE= (Wycofanie biały kolor}; B= (Czarny odpada);

C= (Czerwone odejście).

Następnie ;

Dlatego wydarzenia ALE, W oraz Z są parami niezależne.

Jednakże, .

Dlatego wydarzenia ALE, W oraz Z zbiorowo nie są niezależne.

W praktyce, co do zasady, niezależności zdarzeń nie ustala się poprzez sprawdzenie jej z definicji, ale odwrotnie: zdarzenia uważa się za niezależne od jakichkolwiek czynników zewnętrznych lub uwzględniając okoliczności losowy eksperyment i wykorzystać niezależność do znalezienia prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń.

Twierdzenie (mnożenia prawdopodobieństw dla zdarzeń niezależnych).

Jeżeli zdarzenia zdefiniowane na tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa są niezależne w agregacie, to prawdopodobieństwo ich iloczynu jest równe iloczynowi prawdopodobieństw:

▲ Dowód twierdzenia wynika z definicji niezależności zdarzeń w agregacie lub z ogólnego twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa, biorąc pod uwagę fakt, że w tym przypadku

Przykład 1 (typowy przykład znajdowania prawdopodobieństw warunkowych, pojęcie niezależności, twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa).

Obwód elektryczny składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo uszkodzenia każdego z elementów jest odpowiednio równe .

1) Znajdź prawdopodobieństwo awarii obwodu.

2) Wiadomo, że obwód uległ awarii.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że się nie powiedzie:

a) I element; b) trzeci element?

Rozwiązanie. Rozważ zdarzenia = (Niepowodzenie k element) i zdarzenie ALE= (Schemat nie powiódł się). Potem wydarzenie ALE jest przedstawiony w postaci:

.

1) Ponieważ zdarzenia i nie są niezgodne, aksjomat addytywności prawdopodobieństwa Р3) nie ma zastosowania i aby znaleźć prawdopodobieństwo należy skorzystać z ogólnego twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwa, zgodnie z którym

Niech prawdopodobieństwo zdarzenia W nie zależy od wystąpienia zdarzenia ALE.

Definicja. Wydarzenie W nazywa niezależne od zdarzenia A jeśli wystąpienie zdarzenia ALE nie zmienia prawdopodobieństwa zdarzenia W, tj. jeśli warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia W jest równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu:

R A(W) = R(W). (2.12)

Podstawiając (2.12) do relacji (2.11), otrzymujemy

R(ALE)R(W) = R(W)R B(ALE).

R B(ALE) = R(ALE),

tych. warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia ALE zakładając, że zdarzenie miało miejsce W, jest równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu. Innymi słowy, wydarzenie ALE nie zależy od wydarzenia B.

Lemat (o wzajemnej niezależności wydarzeń): jeśli wydarzenie W nie zależy od wydarzenia ALE, to wydarzenie ALE nie zależy od wydarzenia W; to znaczy, że własność niezależności wydarzeń wzajemnie.

Dla niezależnych zdarzeń twierdzenie o mnożeniu R(AB) = R(ALE) R A(W) ma formę

R(AB) = R(ALE) R(W), (2.13)

tych. prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Równość (2.13) jest definicją niezależnych zdarzeń. O dwóch zdarzeniach mówi się, że są niezależne, jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Definicja. Nazywane są dwa wydarzenia niezależny, jeżeli prawdopodobieństwo ich połączenia jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń; w przeciwnym razie wydarzenia są nazywane zależny.

W praktyce niezależność zdarzeń jest rozstrzygana zgodnie ze znaczeniem problemu. Na przykład prawdopodobieństwo trafienia celu każdym z dwóch dział nie zależy od tego, czy drugie działo trafiło w cel, więc zdarzenia „pierwsze działo trafiło w cel” i „drugie działo trafiło w cel” są niezależne.

Przykład. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia w cel jednocześnie dwoma pistoletami, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel pierwszym pistoletem (zdarzenie ALE) jest równe 0,8, a drugie (zdarzenie W) – 0,7.

Rozwiązanie. Rozwój ALE oraz W niezależne, zatem przez twierdzenie o mnożeniu, pożądane prawdopodobieństwo

R(AB) = R(ALE)R(W) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Komentarz 1. Jeśli wydarzenia ALE oraz W są niezależne, to zdarzenia są również niezależne. ALE i i W, oraz . Naprawdę,

W konsekwencji,

, lub .

, lub .

tych. rozwój ALE oraz W niezależny.

Niezależność wydarzeń i W i jest konsekwencją udowodnionego twierdzenia.

Pojęcie niezależności można rozszerzyć na sprawę n wydarzenia.

Definicja. Kilka wydarzeń nazywa się para niezależnych jeśli co dwa z nich są niezależne. Na przykład wydarzenia ALE, W, Z parami niezależne, jeśli zdarzenia są niezależne ALE oraz W, ALE oraz Z, W oraz Z.

W celu uogólnienia twierdzenia o mnożeniu na kilka zdarzeń wprowadzamy pojęcie niezależności zdarzeń w agregacie.

Definicja. Kilka wydarzeń nazywa się zbiorowo niezależni(lub po prostu niezależne), jeśli każde z nich jest niezależne, a każde zdarzenie i wszystkie możliwe produkty pozostałych są niezależne. Na przykład, jeśli wydarzenia ALE 1 , A 2 , ALE 3 są niezależne w agregacie, to zdarzenia są niezależne ALE 1 i A 2 , ALE 1 i ALE 3 , A 2 i ALE 3 ; ALE 1 i A 2 ALE 3 , A 2 i ALE 1 ALE 3 , ALE 3 i ALE 1 A 2. Z tego, co zostało powiedziane wynika, że ​​jeżeli zdarzenia są w sumie niezależne, to prawdopodobieństwo warunkowe wystąpienia dowolnego zdarzenia spośród nich, obliczone przy założeniu, że zaszły jakiekolwiek inne zdarzenia spośród innych, jest równe jego bezwarunkowe prawdopodobieństwo.



Podkreślamy, że jeśli kilka zdarzeń jest niezależnych parami, to ich łączna niezależność jeszcze z tego nie wynika. W tym sensie wymóg niezależności zdarzeń łącznie jest silniejszy niż wymóg ich niezależności w parach.

Wyjaśnijmy to, co zostało powiedziane na przykładzie. Załóżmy, że w urnie są 4 kule, kolorowe: jedna jest czerwona ( ALE), jeden - w kolorze niebieskim ( W), jeden - czarny ( Z) i jeden - we wszystkich tych trzech kolorach ( ABC). Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula wyciągnięta z urny będzie czerwona?

Ponieważ dwie z czterech piłek są czerwone, więc R(ALE) = 2/4 = 1/2. Argumentując podobnie, znajdujemy R(W) = 1/2, R(Z) = 1/2. Załóżmy teraz, że wzięta piłka jest niebieska, tj. wydarzenie W już się stało. Czy zmieni się prawdopodobieństwo, że wylosowana piłka będzie czerwona, tj. Czy zmieni się prawdopodobieństwo zdarzenia? ALE? Z dwóch niebieskich piłek jedna jest również czerwona, więc prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi ALE nadal wynosi 1/2. Innymi słowy, warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia ALE, obliczone przy założeniu, że zdarzenie miało miejsce W, jest równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu. Dlatego wydarzenia ALE oraz W niezależny. Podobnie dochodzimy do wniosku, że wydarzenia ALE oraz Z, W oraz Z niezależny. Więc wydarzenia ALE, W oraz Z są parami niezależne.

Czy te zdarzenia są w sumie niezależne? Okazuje się, że nie. Rzeczywiście, niech wydobyta kulka ma dwa kolory, na przykład niebieski i czarny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta piłka jest również czerwona? Tylko jedna piłka jest kolorowa we wszystkich trzech kolorach, więc przechwycona piłka jest również czerwona. Zakładając zatem, że wydarzenia… W oraz Z nastąpiło, stwierdzamy, że zdarzenie ALE na pewno przyjdzie. Dlatego to zdarzenie jest wiarygodne, a jego prawdopodobieństwo jest równe jedności. Innymi słowy, prawdopodobieństwo warunkowe R BC(ALE)= 1 wydarzenia ALE nie jest równa jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu R(ALE) = 1/2. Tak więc w parach niezależne wydarzenia ALE, W, Z nie są zbiorowo niezależne.

Przedstawiamy teraz wniosek z twierdzenia o mnożeniu.

Konsekwencja. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia kilku zdarzeń, które są w sumie niezależne od siebie, jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Dowód. Rozważ trzy wydarzenia: ALE, W oraz Z. Połączenie wydarzeń ALE, W oraz Z równoznaczne z kombinacją wydarzeń AB oraz Z, dlatego

R(ABC) = R(AB×C).

Od czasu wydarzeń ALE, W oraz Z są niezależne w całości, to niezależne są w szczególności zdarzenia AB oraz Z, jak również ALE oraz W. Z twierdzenia o mnożeniu dla dwóch niezależnych zdarzeń mamy:

R(AB×C) = R(AB)R(Z) oraz R(AB) = R(ALE)R(W).

Więc w końcu otrzymujemy

R(ABC) = R(ALE)R(W)R(Z).

Za arbitralne n dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.

Komentarz. Jeśli wydarzenia ALE 1 , ALE 2 , ...,Jakiś są niezależne w agregacie, to zdarzenia przeciwne są również niezależne w agregacie.

Przykład. Znajdź prawdopodobieństwo, że herby pojawią się razem podczas jednego rzutu dwiema monetami.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo pojawienia się herbu pierwszej monety (zdarzenie ALE)

R(ALE) = 1/2.

Prawdopodobieństwo pojawienia się herbu drugiej monety (zdarzenie W)

R(W) = 1/2.

Rozwój ALE oraz W niezależne, więc pożądane prawdopodobieństwo przez twierdzenie o mnożeniu jest równe

R(AB) = R(ALE)R(W) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Przykład. Są 3 pudełka zawierające 10 części. Pierwsza szuflada zawiera 8, druga szuflada 7 i trzecia szuflada 9 części standardowych. Z każdego pudełka losowany jest jeden przedmiot. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wyjęte części są standardowe.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie pobrana z pierwszego pudełka (zdarzenie ALE),

R(ALE) = 8/10 = 0,8.

Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie pobrana z drugiego pudełka (zdarzenie W),

R(W) = 7/10 = 0,7.

Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie pobrana z trzeciego pudełka (zdarzenie Z),

R(Z) = 9/10 = 0,9.

Od czasu wydarzeń ALE, W oraz Z niezależne w agregacie, to pożądane prawdopodobieństwo (zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu) jest równe

R(ABC) = R(ALE)R(W)R(Z) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Podajmy przykład łącznego zastosowania twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu.

Przykład. Prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z trzech niezależnych zdarzeń ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 odpowiednio równe R 1 , R 2 , R 3 . Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego z tych zdarzeń.

Rozwiązanie. Zwróć uwagę, że na przykład wygląd tylko pierwsze wydarzenie ALE 1 odpowiada pojawieniu się zdarzenia (pierwsze się pojawiło, a drugie i trzecie nie pojawiły się). Wprowadźmy notację:

B 1 - pojawiło się tylko wydarzenie ALE 1, tj. ;

B 2 – pojawiło się tylko wydarzenie ALE 2 , tj. ;

B 3 – pojawiło się tylko wydarzenie ALE 3 , tj. .

Tak więc, aby znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego ze zdarzeń ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 , poszukamy prawdopodobieństwa P(B 1 + B 2 + W 3) pojawienie się jednego, bez względu na to, które z wydarzeń W 1 , W 2 , W 3 .

Od czasu wydarzeń W 1 , W 2 , W 3 są niespójne, zastosowanie ma twierdzenie o dodawaniu

P(B 1 + B 2 + W 3) = R(W 1) + R(W 2) + R(W 3). (*)

Pozostaje znaleźć prawdopodobieństwa każdego z wydarzeń W 1 , W 2 , W 3 . Rozwój ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 są niezależne, zatem zdarzenia są niezależne, więc dotyczy ich twierdzenie o mnożeniu

Podobnie,

Podstawiając te prawdopodobieństwa do (*), znajdujemy pożądane prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego ze zdarzeń ALE 1 , ALE 2 , ALE 3.

Definicje prawdopodobieństwa

Klasyczna definicja

Klasyczna „definicja” prawdopodobieństwa pochodzi z pojęcia równość szans jako obiektywna właściwość badanych zjawisk. Równoważność jest pojęciem niedefiniowalnym i jest ustalana na podstawie ogólnych rozważań na temat symetrii badanych zjawisk. Na przykład podczas rzucania monetą zakłada się, że ze względu na domniemaną symetrię monety, jednorodność materiału i losowość (bezstronność) rzutu, nie ma powodu, aby preferować „ogon” nad „orły” lub odwrotnie, czyli utratę tych boków można uznać za równie prawdopodobną (równoprawdopodobną).

Wraz z pojęciem równoważności prawdopodobieństwa w przypadku ogólnym, klasyczna definicja wymaga również pojęcia zdarzenia elementarnego (wyniku), które sprzyja lub nie sprzyja badanemu zdarzeniu A. Mówimy o wynikach, których wystąpienie wyklucza możliwość wystąpienia innych wyników. Są to niekompatybilne zdarzenia elementarne. Na przykład podczas rzucania kostka do gry Upuszczenie określonej liczby wyklucza upuszczenie innych numerów.

Klasyczną definicję prawdopodobieństwa można sformułować w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A zwany stosunkiem liczby n niezgodne równie prawdopodobne zdarzenia elementarne, które składają się na zdarzenie A , do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych N :

Załóżmy na przykład, że rzuca się dwiema kośćmi. Całkowita liczba jednakowo możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) to oczywiście 36 (6 możliwości na każdej kości). Oszacuj prawdopodobieństwo zdobycia 7 punktów. Zdobycie 7 punktów jest możliwe w następujący sposób: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Oznacza to, że jest tylko 6 równie prawdopodobnych wyników, które faworyzują wydarzenie A – uzyskanie 7 punktów. Dlatego prawdopodobieństwo będzie równe 6/36=1/6. Dla porównania prawdopodobieństwo zdobycia 12 punktów lub 2 punktów jest tylko 1/36 - 6 razy mniejsze.

Definicja geometryczna

Pomimo tego, że klasyczna definicja jest intuicyjna i wywodzi się z praktyki, przynajmniej nie można jej bezpośrednio zastosować, jeśli liczba równie możliwych wyników jest nieskończona. Żywym przykładem nieskończonej liczby możliwych wyników jest ograniczony obszar geometryczny G, na przykład na płaszczyźnie o obszarze S. Losowo „rzucony” „punkt” z równym prawdopodobieństwem może znajdować się w dowolnym punkcie tego obszaru. Problem polega na ustaleniu prawdopodobieństwa wpadnięcia punktu do jakiejś subdomeny g o obszarze s. W tym przypadku, uogólniając definicję klasyczną, możemy dojść do geometrycznej definicji prawdopodobieństwa wpadnięcia do subdomeny :

Wobec równej możliwości prawdopodobieństwo to nie zależy od kształtu obszaru g, zależy tylko od jego powierzchni. Tę definicję można oczywiście uogólnić na przestrzeń o dowolnym wymiarze, gdzie zamiast powierzchni stosuje się pojęcie „objętości”. Co więcej, to właśnie ta definicja prowadzi do nowoczesnej aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa. Pojęcie objętości uogólnia się na pojęcie „miary” jakiegoś abstrakcyjnego zbioru, któremu narzucane są wymagania, które „objętość” ma również w interpretacji geometrycznej – są to przede wszystkim nieujemność i addytywność.

Wyznaczanie częstotliwości (statystyczne)

Klasyczna definicja, rozważając złożone problemy, napotyka trudności o charakterze nie do pokonania. W szczególności w niektórych przypadkach może nie być możliwe zidentyfikowanie równie prawdopodobnych przypadków. Nawet w przypadku monety, jak wiadomo, istnieje wyraźnie mało prawdopodobna możliwość wypadnięcia „krawędzi”, której nie da się oszacować z rozważań teoretycznych (można tylko powiedzieć, że jest to mało prawdopodobne, a rozważanie to jest raczej praktyczne). ). Dlatego u zarania powstania teorii prawdopodobieństwa zaproponowano alternatywną „częstotliwościową” definicję prawdopodobieństwa. Mianowicie formalnie prawdopodobieństwo można zdefiniować jako granicę częstości obserwacji zdarzenia A, zakładając jednorodność obserwacji (czyli identyczność wszystkich warunków obserwacji) i ich niezależność od siebie:

gdzie jest liczbą obserwacji, a liczbą wystąpień zdarzenia .

Pomimo tego, że definicja ta wskazuje raczej na sposób szacowania nieznanego prawdopodobieństwa - za pomocą dużej liczby jednorodnych i niezależnych obserwacji - to jednak definicja ta odzwierciedla treść pojęcia prawdopodobieństwa. Mianowicie, jeśli danemu zdarzeniu przypisuje się pewne prawdopodobieństwo, jako obiektywną miarę jego możliwości, to oznacza to, że przy ustalonych warunkach i wielokrotnych powtórzeniach powinniśmy otrzymać zbliżoną częstotliwość jego występowania (im bliżej, tym więcej obserwacji). Właściwie to jest pierwotne znaczenie pojęcia prawdopodobieństwa. Opiera się na obiektywistycznym spojrzeniu na zjawiska naturalne. Poniżej znajdują się tak zwane prawa duże liczby, które stanowią podstawę teoretyczną (w ramach przedstawionego poniżej nowoczesnego podejścia aksjomatycznego), w tym do szacowania częstości prawdopodobieństwa.

Definicja aksjomatyczna

We współczesnym podejściu matematycznym prawdopodobieństwo jest podane przez Aksjomatyka Kołmogorowa. Zakłada się, że niektóre przestrzeń wydarzeń elementarnych. Podzbiory tej przestrzeni są interpretowane jako zdarzenia losowe. Suma (suma) niektórych podzbiorów (zdarzeń) interpretowana jest jako zdarzenie polegające na zdarzeniu przynajmniej jeden z tych wydarzeń. Przecięcie (iloczyn) podzbiorów (zdarzeń) interpretowane jest jako zdarzenie polegające na zdarzeniu wszystko te wydarzenia. Zbiory rozłączne są interpretowane jako niekompatybilny wydarzenia (ich wspólna ofensywa jest niemożliwa). W związku z tym pusty zestaw oznacza niemożliwy wydarzenie.

Prawdopodobieństwo ( miara prawdopodobieństwa) jest nazywany mierzyć(funkcja liczbowa) zdefiniowana na zbiorze zdarzeń, posiadająca następujące właściwości:

Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych X z pewnością, wystarczy określony warunek addytywności dla dowolnych dwóch niezgodnych zdarzeń, z którego addytywność będzie wynikać dla dowolnego finał liczba niezgodnych zdarzeń. Jednak w przypadku nieskończonej (policzalnej lub niepoliczalnej) przestrzeni zdarzeń elementarnych warunek ten nie wystarcza. Tak zwany addytywność policzalna lub sigma, czyli spełnienie własności addytywności dla dowolnego nie więcej niż policzalne rodziny parami niezgodnych zdarzeń. Jest to konieczne, aby zapewnić „ciągłość” miary prawdopodobieństwa.

Miara prawdopodobieństwa nie może być zdefiniowana dla wszystkich podzbiorów zbioru. Zakłada się, że jest to określone na niektórych algebra sigma podzbiory . Te podzbiory nazywają się wymierny zgodnie z daną miarą prawdopodobieństwa i są to zdarzenia losowe. Zbiór, czyli zbiór zdarzeń elementarnych, sigma-algebrę jego podzbiorów oraz miara prawdopodobieństwa, nazywa się przestrzeń prawdopodobieństwa.

Ciągłe zmienne losowe. Oprócz dyskretnych zmiennych losowych, których możliwe wartości tworzą skończony lub nieskończony ciąg liczb, które nie wypełniają całkowicie żadnego przedziału, często występują zmienne losowe, których możliwe wartości tworzą pewien przedział. Przykładem takiej zmiennej losowej jest odchylenie od wartości nominalnej określonej wielkości części przy prawidłowo ustalonym procesie technologicznym. Tego rodzaju zmiennych losowych nie można określić za pomocą prawa rozkładu prawdopodobieństwa p(x). Można je jednak określić za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa F(x). Funkcja ta jest zdefiniowana dokładnie tak samo jak w przypadku dyskretnej zmiennej losowej:

Tak więc tutaj też funkcja F(x) zdefiniowana na osi liczb całkowitych, a jej wartość w punkcie X jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż X. Wzór (19) i właściwości 1° i 2° obowiązują dla funkcji dystrybucji dowolnej zmiennej losowej. Dowód przeprowadza się podobnie jak w przypadku ilości dyskretnej. Zmienna losowa nazywa się ciągły, jeśli dla niego istnieje nieujemna funkcja odcinkowo-ciągła* spełniająca dowolne wartości x równość

Opierając się na geometrycznym znaczeniu całki jako powierzchni, możemy powiedzieć, że prawdopodobieństwo spełnienia nierówności jest równe powierzchni trapezu krzywoliniowego o podstawie ograniczone powyżej krzywą (ryc. 6).

Od i na podstawie wzoru (22)

Zauważ, że dla ciągłej zmiennej losowej funkcja rozkładu F(x) ciągły w dowolnym momencie X, gdzie funkcja jest ciągła. Wynika to z faktu, że F(x) jest różniczkowalny w tych punktach. Na podstawie wzoru (23), zakładając x 1 =x, , mamy

Ze względu na ciągłość funkcji F(x) rozumiemy to

w konsekwencji

W ten sposób, prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa może przyjąć dowolną pojedynczą wartość x wynosi zero. Wynika z tego, że zdarzenia polegające na wypełnieniu się każdej z nierówności

Mają takie samo prawdopodobieństwo, tj.

Rzeczywiście, na przykład

dlatego Komentarz. Jak wiemy, jeśli zdarzenie jest niemożliwe, to prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi zero. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa, gdy liczba wyników testu jest skończona, zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest zerowe, to zdarzenie jest niemożliwe, ponieważ w tym przypadku żaden z wyników testu nie sprzyja temu. W przypadku zmiennej losowej ciągłej liczba jej możliwych wartości jest nieskończona. Prawdopodobieństwo, że ta wartość przyjmie jakąkolwiek konkretną wartość x 1 jak widzieliśmy, jest równy zero. Nie wynika jednak z tego, że zdarzenie to jest niemożliwe, gdyż w wyniku testu zmienna losowa może w szczególności przyjąć wartość x 1 . Dlatego w przypadku zmiennej losowej ciągłej sensowne jest mówienie o prawdopodobieństwie, że zmienna losowa wpadnie do przedziału, a nie o prawdopodobieństwie, że przyjmie określoną wartość. Na przykład przy produkcji walca nie interesuje nas prawdopodobieństwo, że jego średnica będzie równa wartości nominalnej. Dla nas ważne jest prawdopodobieństwo, że średnica rolki nie wyjdzie poza tolerancję. Przykład. Gęstość rozkładu ciągłej zmiennej losowej jest podawana w następujący sposób:

Wykres funkcji pokazano na ryc. 7. Wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość spełniającą nierówności Znajdź dystrybuantę danej zmiennej losowej. ( Rozwiązanie)

Kolejne dwa akapity poświęcone są często spotykanym w praktyce rozkładom ciągłych zmiennych losowych - rozkładom jednostajnym i normalnym.

* Funkcja jest nazywana odcinkowo ciągłą na całej osi numerycznej, jeśli jest albo ciągła na dowolnym odcinku, albo ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. ** Reguła różniczkowania całki ze zmienną górną granicą, wyprowadzona w przypadku skończonej dolnej granicy, obowiązuje dla całek z nieskończoną dolną granicą. Rzeczywiście,

Ponieważ całka

jest wartością stałą.

Zdarzenia zależne i niezależne. Warunkowe prawdopodobieństwo

Rozróżnij zdarzenia zależne i niezależne. O dwóch zdarzeniach mówi się, że są niezależne, jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli w warsztacie pracują dwie automatyczne linie, które nie są ze sobą połączone zgodnie z warunkami produkcyjnymi, to zatrzymania tych linii są zdarzeniami niezależnymi.

Przykład 3 Moneta jest rzucana dwukrotnie. Prawdopodobieństwo pojawienia się „herbu” w pierwszym teście (zdarzenie ) nie zależy od pojawienia się lub nie pojawienia się „herbu” w drugim teście (zdarzenie ). Z kolei prawdopodobieństwo pojawienia się „herbu” w drugim teście nie zależy od wyniku pierwszego testu. Tak więc wydarzenia i niezależne.

Kilka wydarzeń nazywa się zbiorowo niezależni , jeśli którykolwiek z nich nie zależy od żadnego innego zdarzenia i dowolnej kombinacji pozostałych.

Wydarzenia nazywają się zależny , jeśli jeden z nich wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Np. dwa zakłady produkcyjne połączone są jednym cyklem technologicznym. Wtedy prawdopodobieństwo niepowodzenia jednego z nich zależy od stanu drugiego. Prawdopodobieństwo jednego zdarzenia, obliczone przy założeniu zajścia innego zdarzenia, nazywamy warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia i jest oznaczony przez .

Warunek niezależności zdarzenia od zdarzenia jest zapisany w formie, a warunek jego zależności - w formie. Rozważ przykład obliczenia warunkowego prawdopodobieństwa zdarzenia.

Przykład 4 W pudełku znajduje się 5 siekaczy: dwa zużyte i trzy nowe. Dokonuje się dwóch kolejnych ekstrakcji siekaczy. Określ warunkowe prawdopodobieństwo pojawienia się zużytego frezu podczas drugiego wydobycia, pod warunkiem, że frez usunięty po raz pierwszy nie zostanie zwrócony do pudełka.

Rozwiązanie. Oznaczmy wydobycie zużytego frezu w pierwszym przypadku oraz - wyciągnięcie nowego. Następnie . Ponieważ usunięty frez nie wraca do pudełka, zmienia się stosunek liczby frezów zużytych i nowych. Dlatego prawdopodobieństwo usunięcia zużytego frezu w drugim przypadku zależy od tego, jakie zdarzenie miało miejsce wcześniej.

Wyznaczmy zdarzenie polegające na wydobyciu zużytego noża w drugim przypadku. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia to:

Dlatego prawdopodobieństwo zdarzenia zależy od tego, czy zdarzenie miało miejsce, czy nie.

Gęstości prawdopodobieństwa- jeden ze sposobów wyznaczania miary prawdopodobieństwa w przestrzeni euklidesowej. W przypadku, gdy miarą prawdopodobieństwa jest rozkład zmiennej losowej, mówi się o gęstośćzmienna losowa.

Gęstość prawdopodobieństwa Niech będzie miarą prawdopodobieństwa na, czyli zdefiniowana zostanie przestrzeń prawdopodobieństwa, gdzie oznacza Borelowska σ-algebrę. Oznaczmy miarę Lebesgue'a na.

Definicja 1. Prawdopodobieństwo nazywa się absolutnie ciągłym (w odniesieniu do miary Lebesgue'a) (), jeśli dowolny zbiór borelowski o wartości zerowej miary Lebesgue'a również ma prawdopodobieństwo zerowe:

Jeżeli prawdopodobieństwo jest absolutnie ciągłe, to zgodnie z twierdzeniem Radona-Nikodyma istnieje nieujemna funkcja borelowska taka, że

,

gdzie używany jest wspólny skrót , a całka jest rozumiana w sensie Lebesgue'a.

Definicja 2. Mówiąc bardziej ogólnie, niech będzie dowolną mierzalną przestrzenią i niech i będzie dwoma miarami na tej przestrzeni. Jeżeli występuje nieujemna , co pozwala na wyrażenie miary w kategoriach miary w postaci

wtedy ta funkcja nazywa się zmierzyć gęstość jak , lub pochodna Radona-Nikodima miara w stosunku do miary i oznacza

Jeżeli w momencie wystąpienia zdarzenia prawdopodobieństwo zdarzenia nie zmienia się, to wydarzenia oraz nazywa niezależny.

Twierdzenie:Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń oraz (Pracuje oraz ) jest równy iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Rzeczywiście, ponieważ rozwój oraz niezależny, więc
. W tym przypadku wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń oraz przyjmuje formę.

Rozwój
nazywa para niezależnych jeśli jakiekolwiek dwa z nich są niezależne.

Rozwój
nazywa zbiorowo niezależni (lub po prostu niezależni), jeśli każde z nich jest niezależne, a każde zdarzenie i wszystkie możliwe produkty pozostałych są niezależne.

Twierdzenie:Prawdopodobieństwo iloczynu skończonej liczby niezależnych zdarzeń w agregacie
jest równy iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Zilustrujmy na przykładach różnicę w stosowaniu formuł prawdopodobieństwa zdarzeń dla zdarzeń zależnych i niezależnych

Przykład 1. Prawdopodobieństwo trafienia w cel przez pierwszego strzelca wynosi 0,85, drugiego 0,8. Pistolety oddawały jeden strzał na raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden pocisk trafi w cel?

Rozwiązanie: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Skoro strzały są niezależne, to

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Przykład 2. W urnie znajdują się 2 czerwone i 4 czarne kule. Wyciąga się z niego 2 kulki z rzędu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule są czerwone.

Rozwiązanie: 1 przypadek. Zdarzenie A - pojawienie się czerwonej kuli przy pierwszym usunięciu, zdarzenie B - przy drugim. Wydarzenie C to pojawienie się dwóch czerwonych kul.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

Drugi przypadek. Pierwsza wylosowana piłka wraca do kosza.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo.

Niech wydarzenie może się zdarzyć tylko w jednym z niekompatybilnych zdarzeń
, tworząc kompletną grupę. Na przykład sklep otrzymuje te same produkty z trzech przedsiębiorstw i w różnych ilościach. Różne jest prawdopodobieństwo wytworzenia produktów niskiej jakości w tych przedsiębiorstwach. Jeden z produktów jest wybierany losowo. Wymagane jest określenie prawdopodobieństwa, że ​​ten produkt jest złej jakości (zdarzenie ). Wydarzenia tutaj
- to jest wybór produktu z produktów odpowiedniego przedsiębiorstwa.

W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia można uznać za sumę iloczynów zdarzeń
.

Z twierdzenia o dodawaniu dla prawdopodobieństw zdarzeń niekompatybilnych otrzymujemy
. Korzystając z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa, znajdujemy

.

Powstała formuła nazywa się wzór na całkowite prawdopodobieństwo.

Formuła Bayesa

Niech wydarzenie dzieje się w tym samym czasie co jeden z zdarzenia niezgodne
, których prawdopodobieństwa
(
) są znane przed doświadczeniem ( prawdopodobieństwa a priori). Przeprowadzany jest eksperyment, w wyniku którego rejestrowane jest wystąpienie zdarzenia , a wiadomo, że to zdarzenie miało pewne warunkowe prawdopodobieństwa
(
). Wymagane jest znalezienie prawdopodobieństw zdarzeń
jeśli wydarzenie jest znane stało się ( prawdopodobieństwa a posteriori).

Problem polega na tym, że mając Nowa informacja(zdarzyło się zdarzenie A), należy ponownie oszacować prawdopodobieństwa zdarzeń
.

Na podstawie twierdzenia o prawdopodobieństwie iloczynu dwóch zdarzeń

.

Powstała formuła nazywa się Wzory Bayesa.

Podstawowe pojęcia kombinatoryki.

Rozwiązując szereg problemów teoretycznych i praktycznych, należy ze skończonego zbioru elementów wykonać różne kombinacje według zadanych reguł i policzyć wszystkie możliwe takie kombinacje. Takie zadania nazywają się kombinatoryczny.

Przy rozwiązywaniu problemów kombinatoryka posługuje się regułami sumy i iloczynu.

Ogólne sformułowanie problemu: prawdopodobieństwa niektórych zdarzeń są znane, ale prawdopodobieństwa innych zdarzeń, które są związane z tymi zdarzeniami, należy obliczyć. W tych problemach istnieje potrzeba takich operacji na prawdopodobieństwach jak dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw.

Na przykład podczas polowania oddano dwa strzały. Wydarzenie A- trafienie kaczki od pierwszego strzału, event B- trafienie z drugiego strzału. Następnie suma wydarzeń A oraz B- trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów.

Zadania innego typu. Podano kilka wydarzeń, na przykład trzykrotne rzucenie monetą. Wymagane jest ustalenie prawdopodobieństwa, że ​​albo wszystkie trzykrotne wypadnie herbu, albo że herb wypadnie przynajmniej raz. To jest problem mnożenia.

Dodawanie prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń

Dodawanie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy konieczne jest obliczenie prawdopodobieństwa kombinacji lub logicznej sumy zdarzeń losowych.

Suma zdarzeń A oraz B wyznaczyć A + B lub A ∪ B. Suma dwóch zdarzeń to zdarzenie, które występuje wtedy i tylko wtedy, gdy wystąpi co najmniej jedno ze zdarzeń. To znaczy, że A + B- zdarzenie, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenie ma miejsce podczas obserwacji A lub wydarzenie B lub w tym samym czasie A oraz B.

Jeśli wydarzenia A oraz B są wzajemnie niespójne i podano ich prawdopodobieństwa, to prawdopodobieństwo, że jedno z tych zdarzeń wystąpi w wyniku jednej próby oblicza się, dodając prawdopodobieństwa.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wzajemnie niekompatybilnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład podczas polowania oddano dwa strzały. Wydarzenie ALE– trafienie kaczki od pierwszego strzału, event W– trafienie z drugiego strzału, zdarzenie ( ALE+ W) - trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów. Więc jeśli dwa wydarzenia ALE oraz W są zdarzeniami nie do pogodzenia, to ALE+ W- wystąpienie co najmniej jednego z tych zdarzeń lub dwóch zdarzeń.

Przykład 1 Pudełko zawiera 30 kulek tego samego rozmiaru: 10 czerwonych, 5 niebieskich i 15 białych. Oblicz prawdopodobieństwo, że kolorowa (nie biała) piłka zostanie złapana bez patrzenia.

Rozwiązanie. Załóżmy, że wydarzenie ALE– „czerwona piłka zabrana” i wydarzenie W- "Niebieska piłka jest zajęta." Następnie wydarzeniem jest „zdjęcie kolorowej (nie białej) piłki”. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia ALE:

i wydarzenia W:

Rozwój ALE oraz W- wzajemnie niekompatybilne, ponieważ jeśli weźmie się jedną piłkę, nie można wziąć kulek o różnych kolorach. Dlatego używamy dodawania prawdopodobieństw:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw dla kilku niezgodnych zdarzeń. Jeżeli zdarzenia składają się na cały zbiór zdarzeń, to suma ich prawdopodobieństw jest równa 1:

Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń jest również równa 1:

Zdarzenia przeciwne tworzą kompletny zestaw zdarzeń, a prawdopodobieństwo wystąpienia pełnego zestawu zdarzeń wynosi 1.

Prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń są zwykle oznaczane małymi literami. p oraz q. W szczególności,

z którego wynikają następujące wzory na prawdopodobieństwo przeciwnych zdarzeń:

Przykład 2 Cel w desce rozdzielczej jest podzielony na 3 strefy. Prawdopodobieństwo, że dany strzelec strzeli do tarczy w pierwszej strefie wynosi 0,15, w drugiej 0,23, w trzeciej 0,17. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel i prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel.

Rozwiązanie: Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel:

Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel:

Trudniejsze zadania, w których należy zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie "Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw" .

Dodawanie prawdopodobieństw wzajemnie wspólnych zdarzeń

Uważa się, że dwa zdarzenia losowe są połączone, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wyklucza wystąpienia drugiego zdarzenia w tej samej obserwacji. Na przykład podczas rzucania kostką zdarzenie ALE uważa się za wystąpienie liczby 4, a zdarzenie W- upuszczenie liczby parzystej. Ponieważ liczba 4 jest liczbą parzystą, oba zdarzenia są kompatybilne. W praktyce istnieją zadania polegające na obliczeniu prawdopodobieństw wystąpienia jednego z wzajemnie wspólnych zdarzeń.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw dla wspólnych zdarzeń. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego ze wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, od której odejmuje się prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia obu zdarzeń, czyli iloczyn prawdopodobieństw. Wzór na prawdopodobieństwa wspólnych zdarzeń jest następujący:

Ponieważ wydarzenia ALE oraz W kompatybilny, wydarzenie ALE+ W występuje, gdy wystąpi jedno z trzech możliwych zdarzeń: lub AB. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu niezgodnych zdarzeń obliczamy w następujący sposób:

Wydarzenie ALE występuje, gdy wystąpi jedno z dwóch niekompatybilnych zdarzeń: lub AB. Jednak prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia z kilku niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw wszystkich tych zdarzeń:

Podobnie:

Podstawiając wyrażenia (6) i (7) do wyrażenia (5), otrzymujemy wzór prawdopodobieństwa dla wspólnych zdarzeń:

Stosując wzór (8) należy wziąć pod uwagę, że zdarzenia ALE oraz W może być:

  • wzajemnie niezależne;
  • wzajemnie zależne.

Wzór prawdopodobieństwa dla zdarzeń wzajemnie niezależnych:

Wzór prawdopodobieństwa dla zdarzeń wzajemnie zależnych:

Jeśli wydarzenia ALE oraz W są niespójne, to ich zbieg okoliczności jest przypadkiem niemożliwym, a zatem P(AB) = 0. Czwarty wzór prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezgodnych jest następujący:

Przykład 3 W wyścigach samochodowych, jadąc pierwszym samochodem, prawdopodobieństwo wygranej, jadąc drugim samochodem. Odnaleźć:

  • prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają;
  • prawdopodobieństwo wygrania przynajmniej jednego samochodu;

1) Prawdopodobieństwo wygranej pierwszego samochodu nie zależy od wyniku drugiego samochodu, więc wydarzenia ALE(pierwszy samochód wygrywa) i W(drugi samochód wygrywa) - imprezy niezależne. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają:

2) Znajdź prawdopodobieństwo wygrania jednego z dwóch samochodów:

Trudniejsze zadania, w których należy zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie "Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw" .

Sam rozwiąż problem dodawania prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4 Wyrzucane są dwie monety. Wydarzenie A- utrata herbu na pierwszej monecie. Wydarzenie B- utrata herbu na drugiej monecie. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia C = A + B .

Mnożenie prawdopodobieństwa

Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy ma zostać obliczone prawdopodobieństwo logicznego iloczynu zdarzeń.

W takim przypadku zdarzenia losowe muszą być niezależne. Mówi się, że dwa zdarzenia są od siebie niezależne, jeżeli wystąpienie jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych. Prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń ALE oraz W jest równy iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń i jest obliczany według wzoru:

Przykład 5 Moneta jest rzucana trzy razy z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie wszystkie trzy razy.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że herb spadnie przy pierwszym rzucie monetą, drugim i trzecim. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie wszystkie trzy razy:

Sam rozwiąż problemy w celu pomnożenia prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 6 Jest pudełko z dziewięcioma nowymi piłkami tenisowymi. Do gry pobierane są trzy piłki, a po meczu odkładane. Przy wyborze piłek nie rozróżniają piłek zagranych i nie zagranych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzy gry czy w pudełku nie będzie żadnych nie zagranych piłek?

Przykład 7 32 litery alfabetu rosyjskiego są zapisane na kartach z wyciętym alfabetem. Pięć kart dobiera się losowo, jedna po drugiej i umieszcza na stole w kolejności, w jakiej się pojawiają. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery utworzą słowo „koniec”.

Przykład 8 Z pełnej talii kart (52 arkusze) wyjmuje się jednocześnie cztery karty. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie cztery z tych kart są tego samego koloru.

Przykład 9 Ten sam problem jak w przykładzie 8, ale każda karta po wylosowaniu wraca do talii.

Bardziej złożone zadania, w których należy zastosować zarówno dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw, jak i obliczanie iloczynu kilku zdarzeń - na stronie "Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw" .

Prawdopodobieństwo wystąpienia przynajmniej jednego z wzajemnie niezależnych zdarzeń można obliczyć odejmując iloczyn prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych od 1, czyli według wzoru.

Podobne posty