Dve nezávislé udalosti. Závislé a nezávislé udalosti. Podmienená pravdepodobnosť. Prednáška uvádza základné pojmy teórie pravdepodobnosti a štatistiky používané v ekonometrii
V úlohách USE v matematike sú aj zložitejšie pravdepodobnostné úlohy (ako sme uvažovali v 1. časti), kde musíte aplikovať pravidlo sčítania, násobenia pravdepodobností a rozlišovať spoločné a nezlučiteľné udalosti.
Takže teória.
Spoločné a nesúrodé akcie
Udalosti sa považujú za nezlučiteľné, ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt ostatných. To znamená, že môže nastať iba jedna konkrétna udalosť alebo iná.
Napríklad hodom kockou môžete rozlišovať medzi udalosťami, ako je párny počet bodov a nepárny počet bodov. Tieto udalosti sú nezlučiteľné.
Udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej z nich nevylučuje výskyt druhej.
Napríklad pri hádzaní kockou môžete rozlišovať medzi udalosťami, ako je výskyt nepárneho počtu bodov a strata počtu bodov, ktorý je násobkom troch. Keď padne trojka, realizujú sa obe udalosti.
Súčet udalostí
Súčet (alebo spojenie) viacerých udalostí je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z týchto udalostí.
V čom súčet dvoch nesúvislých udalostí je súčet pravdepodobností týchto udalostí:
Napríklad pravdepodobnosť, že dostanete 5 alebo 6 kocky pri jednom hode bude, pretože obe udalosti (5. hod, hod. 6.) sú nekompatibilné a pravdepodobnosť výskytu jednej alebo druhej udalosti sa vypočíta takto:
Pravdepodobnosť súčet dvoch spoločných podujatí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez zohľadnenia ich spoločného výskytu:
Napríklad v nákupnom centre predávajú kávu dva rovnaké automaty. Pravdepodobnosť, že sa v kávovare minie káva do konca dňa, je 0,3. Pravdepodobnosť, že obom strojom dôjde káva, je 0,12. Nájdite pravdepodobnosť, že do konca dňa káva skončí aspoň v jednom z automatov (teda buď v jednom, alebo v druhom, alebo v oboch naraz).
Pravdepodobnosť prvej udalosti „káva skončí v prvom automate“ ako aj pravdepodobnosť druhej udalosti „káva skončí v druhom automate“ podľa podmienky je rovná 0,3. Udalosti sú založené na spolupráci.
Pravdepodobnosť spoločnej realizácie prvých dvoch udalostí sa rovná 0,12 podľa podmienky.
To znamená, že pravdepodobnosť, že sa káva do konca dňa minie aspoň v jednom z automatov, je
Závislé a nezávislé udalosti
Dve náhodné udalosti A a B sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej. Inak sa udalosti A a B nazývajú závislé.
Napríklad pri hádzaní dvoch kociek súčasne padne na jednu z nich, povedzme 1, a na druhú 5, - nezávislé udalosti.
Súčin pravdepodobností
Produkt (alebo prienik) viacerých udalostí je udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte všetkých týchto udalostí.
Ak sú dve nezávislé udalosti A a B s pravdepodobnosťami P(A) a P(B), potom sa pravdepodobnosť uskutočnenia udalostí A a B súčasne rovná súčinu pravdepodobností:
Nás napríklad zaujíma prehra šestky na kocke dvakrát po sebe. Obe udalosti sú nezávislé a pravdepodobnosť, že každá z nich nastane samostatne, je . Pravdepodobnosť, že nastanú obe tieto udalosti, sa vypočíta pomocou vyššie uvedeného vzorca: .
Pozrite si výber úloh na vypracovanie témy.
Udalosti A, B, C... sa nazývajú závislý od seba navzájom, ak sa pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z nich mení v závislosti od výskytu alebo nenastávania iných udalostí. Udalosti sú tzv nezávislý ak pravdepodobnosti výskytu každého z nich nezávisia od výskytu alebo nevýskytu ostatných.
Podmienená pravdepodobnosť(RA (B)-podmienená pravdepodobnosť udalosti B vo vzťahu k A) je pravdepodobnosť udalosti B, vypočítaná za predpokladu, že udalosť A už nastala. príklad podmienenej pravdepodobnosti Podmienená pravdepodobnosť udalosti B, za predpokladu, že udalosť A už podľa definície nastala, sa rovná RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A) > 0).
Vynásobením pravdepodobnosti závislých udalostí: pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)
Príklad. Zberač má 3 kužeľové a 7 eliptických valcov. Zberač vzal jeden valec a potom druhý. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý z valčekov je kužeľový a druhý eliptický.
rozhodnutie: Pravdepodobnosť, že prvý valec bude kužeľový (udalosť A), P (A) = 3 / 10. Pravdepodobnosť, že druhý valec bude eliptický (udalosť B), vypočítaná za predpokladu, že prvý valec je kužeľový, t.j. pravdepodobnosť RA (B) = 7/9.
Podľa vzorca násobenia požadovaná pravdepodobnosť P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Upozorňujeme, že pri zachovaní notácie môžete ľahko nájsť: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
Podmienka nezávislosti udalostí. Násobenie pravdepodobností nezávislých udalostí. Príklady.
Udalosť B je nezávislá od udalosti A, ak
P(B/A) = P(B) t.j. Pravdepodobnosť udalosti B nezávisí od toho, či udalosť A nastala alebo nie.
V tomto prípade udalosť A nezávisí od udalosti B, to znamená, že vlastnosť nezávislosti udalostí je vzájomná.
Pravdepodobnosť súčinu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu ich pravdepodobností:
P(AB) = P(A)P(B).
Príklad 1: Zariadenie pracujúce počas času t pozostáva z troch uzlov, z ktorých každý nezávisle od ostatných môže počas času t zlyhať (byť mimo prevádzky). Porucha aspoň jedného uzla vedie k poruche zariadenia ako celku. Počas času t je spoľahlivosť (pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky) prvého uzla rovná p 1 = 0,8; druhý p 2 = 0,9 tretí p 3 = 0,7. Nájdite spoľahlivosť zariadenia ako celku.
rozhodnutie. Označuje:
A - bezproblémová prevádzka zariadení,
A 1 - bezporuchová prevádzka prvého uzla,
A 2 - bezproblémová prevádzka druhého uzla,
A 3 - bezproblémová prevádzka tretieho uzla,
odkiaľ pomocou násobiacej vety pre nezávislé deje
P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
Príklad 2. Nájdite pravdepodobnosť, že sa číslica objaví spolu v jednom hode dvoch mincí.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť výskytu číslice prvej mince (udalosť A) Р(А) = 1/2; pravdepodobnosť výskytu číslice druhej mince (udalosť B) je P(B) = 1/2.
Udalosti A a B sú nezávislé, takže nájdeme požadovanú pravdepodobnosť
podľa vzorca:
P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4
Súlad a nesúlad udalostí. Sčítanie pravdepodobností dvoch spoločných udalostí. Príklady.
Dve udalosti sa nazývajú kĺb ak výskyt jedného z nich neovplyvňuje alebo nevylučuje výskyt druhého. Spoločné udalosti môžu byť realizované súčasne, ako napríklad objavenie sa ľubovoľného čísla na tej istej kocke
žiadnym spôsobom neovplyvňuje vzhľad čísel na inej kosti. Udalosti sú nekonzistentné, ak sa v jednom jave alebo v jednom teste nedajú realizovať súčasne a výskyt jedného z nich vylučuje výskyt druhého (zasiahnutie cieľa a nezvestnosť sú nezlučiteľné).
Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z dvoch spoločných udalostí A alebo B sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).
Príklad. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pre prvého športovca je 0,85 a pre druhého - 0,8. Športovci nezávisle
vystrelil jeden výstrel. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jeden športovec zasiahne cieľ?
rozhodnutie. Uveďme si zápis: udalosti A - "zásah prvého športovca", B - "zásah druhého športovca", C - "zásah aspoň jedného zo športovcov". Je zrejmé, že A + B = C a udalosti A a B sú kompatibilné. Podľa vzorca dostaneme:
P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)
P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),
pretože A a B sú nezávislé udalosti. Dosadením týchto hodnôt P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 do vzorca pre P(C) nájdeme požadovanú pravdepodobnosť
P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97
P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.
3. Veta o sčítaní pravdepodobností opačných udalostí
Naproti pomenujte dve nekompatibilné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu. Ak je jedna z dvoch opačných udalostí označená ako A, druhý sa zvyčajne označuje .
Opačná udalosť 
spočíva v nenastávaní udalosti A.
Veta. Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa rovná jednej:
P(A)+P(
)=
1.
Príklad 4 Krabička obsahuje 11 dielov, z toho 8 štandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi 3 náhodne extrahovanými časťami je aspoň jedna chybná.
rozhodnutie. Problém možno vyriešiť dvoma spôsobmi.
1 spôsob. Udalosti „medzi extrahovanými dielmi je aspoň jeden chybný diel“ a „medzi vyťaženými dielmi nie je jediný chybný diel“ sú opačné. Prvú udalosť označme ako A, a druhý priechod 
:
P(A) =1 - P( 
)
.
Poďme nájsť R(
).
Celkový počet spôsobov, ktorými možno extrahovať 3 časti z 11 častí, sa rovná počtu kombinácií 
. Počet štandardných dielov je 8 ;
z tohto počtu dielov 
spôsoby extrahovania 3 štandardných častí. Preto pravdepodobnosť, že medzi extrahovanými 3 časťami nie sú žiadne neštandardné časti, sa rovná: 
Podľa vety o sčítaní pravdepodobností opačných udalostí sa požadovaná pravdepodobnosť rovná: P(A)=1 – P(
)=
2 spôsobom. Udalosť A- "medzi extrahovanými časťami je aspoň jedna chybná" - možno realizovať ako vzhľad:
alebo udalosti AT- "odstránená 1 chybná a 2 nepoškodená časť",
alebo udalosti s- "odstránené 2 chybné a 1 nezávadné diely",
alebo udalosti D - "3 chybné diely odstránené".
Potom A= B+ C+ D. Od udalostí B, C a D nekompatibilné, potom môžeme použiť vetu o sčítaní pre pravdepodobnosti nekompatibilných udalostí:
4. Veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí
Produkt dvoch udalostíA aAT zavolajte na udalosť C=AB, spočívajúce v spoločnom výskyte (kombinácii) týchto udalostí.
Produkt viacerých udalostí pomenovať udalosť spočívajúcu v spoločnom výskyte všetkých týchto udalostí. Napríklad udalosť ABC je kombinácia udalostí A, B a s.
Nazývajú sa dve udalosti nezávislý ak pravdepodobnosť jedného z nich nezávisí od výskytu alebo nevyskytovania sa druhého.
Veta. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:
P(AB)=P(A) P(B).
Dôsledok. Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých udalostí, ktoré sú v súhrne nezávislé, sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí :
P(A 1 A 2 ... A n ) = P(A 1 ) P (A 2 )...P(A n ).
Príklad 5 Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví spolu v jednom hode dvoma mincami.
rozhodnutie. Označme udalosti: A - vzhľad erbu na prvej minci, AT - vzhľad erbu na druhej minci, s- vzhľad erbu na dvoch minciach C=AB.
Pravdepodobnosť vzhľadu erbu prvej mince :
P(A) =.
Pravdepodobnosť vzhľadu erbu druhej mince :
P(B) =.
Od udalostí A a AT nezávislá, potom sa požadovaná pravdepodobnosť podľa vety o násobení rovná:
P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.
Príklad 6 K dispozícii sú 3 krabice po 10 dielov. Prvá zásuvka obsahuje 8, druhá zásuvka 7 a tretia zásuvka 9 štandardných dielov. Z každého boxu sa náhodne vyžrebuje jedna položka. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky tri vybraté časti sú štandardné.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že sa štandardná časť odoberie z prvého poľa (udalosť A):
P(A) = 
Pravdepodobnosť, že sa štandardná časť odoberie z druhého poľa (udalosť AT):
Pravdepodobnosť, že sa štandardná časť odoberie z tretieho políčka (udalosť s):
P(C)= 
Od udalostí A, B a s nezávislá v súhrne, potom sa požadovaná pravdepodobnosť (podľa vety o násobení) rovná:
P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.
Príklad 7 Pravdepodobnosť výskytu každej z dvoch nezávislých udalostí A 1 a A 2 respektíve rovnaké R 1 a R 2. Nájdite pravdepodobnosť výskytu iba jednej z týchto udalostí.
rozhodnutie. Zavedieme zápis udalostí:
AT 1 – objavila sa iba udalosť A 1 ; AT 2 – objavila sa iba udalosť A 2 .
Výskyt udalosti AT 1
je ekvivalentné výskytu udalosti A 1
2
(prvá udalosť sa objavila a druhá sa neobjavila), t.j. AT 1
= A 1
2
.
Výskyt udalosti AT 2
je ekvivalentné výskytu udalosti 
1
A 2
(prvá udalosť sa neobjavila a objavila sa druhá), t.j. AT 1
=
1
A 2
.
Teda nájsť pravdepodobnosť výskytu len jednej z udalostí A 1 alebo A 2 , stačí nájsť pravdepodobnosť výskytu jednej, bez ohľadu na to, ktorá z udalostí AT 1 a AT 2 . Vývoj AT 1 a AT 2 sú nekonzistentné, preto platí teorém o sčítaní nekompatibilných udalostí:
P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .
Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.
Závislé a nezávislé udalosti
Názov vyzerá strašidelne, no v skutočnosti je veľmi jednoduchý. V tejto lekcii sa zoznámime s teorémami sčítania a násobenia pravdepodobností udalostí, ako aj analyzujeme typické úlohy, ktoré spolu s úloha pre klasickú definíciu pravdepodobnosti určite stretnete alebo, čo je pravdepodobnejšie, ste sa už stretli na vašej ceste. Ak chcete efektívne študovať materiály tohto článku, musíte poznať a pochopiť základné pojmy teória pravdepodobnosti a vedieť vykonávať jednoduché aritmetické operácie. Ako vidíte, vyžaduje sa veľmi málo, a preto je tučné plus v majetku takmer zaručené. Ale na druhej strane opäť varujem pred povrchným postojom k praktickým príkladom – jemností je tiež dosť. Veľa štastia:
Sčítací teorém pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí: pravdepodobnosť výskytu jedného z týchto dvoch nezlučiteľné udalosti resp (nezáleží na tom čo), sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:
Podobná skutočnosť platí aj pre väčší počet nekompatibilných udalostí, napríklad pre tri nekompatibilné udalosti a :
Snová veta =) Takýto sen však podlieha aj dokazovaniu, ktoré možno nájsť napr študijná príručka V.E. Gmurman.
Zoznámime sa s novými, doteraz nevídanými pojmami:
Závislé a nezávislé udalosti
Začnime nezávislými udalosťami. Udalosti sú nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu hociktorý z nich nezávisí od objavenia sa/neobjavenia sa iných udalostí uvažovaného súboru (vo všetkých možných kombináciách). ... Ale načo vybrúsiť bežné frázy:
Veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí: pravdepodobnosť spoločného výskytu nezávislých udalostí a rovná sa súčinu pravdepodobností týchto udalostí:
Vráťme sa k najjednoduchšiemu príkladu z 1. lekcie, v ktorom sa hádžu dve mince a nasledujúce udalosti:
- hlavy padnú na 1. mincu;
- Hlavy na 2. minci.
Nájdite pravdepodobnosť udalosti (hlavy sa objavia na 1. minci a Eagle sa objaví na 2. minci - pamätajte, ako čítať produkt udalostí!)
. Pravdepodobnosť získania hláv na jednej minci nezávisí od výsledku hodenia inej mince, preto sú udalosti a sú nezávislé. 
Podobne: 
je pravdepodobnosť, že na 1. minci pristanú hlavy a na 2. chvoste; 
je pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objavia hlavy a na 2. chvoste; 
je pravdepodobnosť, že prvá minca dopadne na chvosty a na 2. orla.
Všimnite si, že udalosti sa tvoria celá skupina a súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej: .
Veta o násobení sa samozrejme vzťahuje na väčší počet nezávislých udalostí, takže napríklad ak sú udalosti nezávislé, pravdepodobnosť ich spoločného výskytu je: . Poďme si to precvičiť na konkrétnych príkladoch:
Úloha 3
Každá z troch krabičiek obsahuje 10 dielov. V prvej krabici je 8 štandardných častí, v druhej - 7, v tretej - 9. Z každej krabice sa náhodne odoberie jedna časť. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky časti sú štandardné.
rozhodnutie: pravdepodobnosť extrahovania štandardnej alebo neštandardnej časti z ľubovoľného boxu nezávisí od toho, ktoré diely budú extrahované z iných boxov, takže problém je v nezávislých udalostiach. Zvážte nasledujúce nezávislé udalosti:
– z 1. boxu sa odoberie štandardný diel;
– z 2. boxu sa odstráni štandardný diel;
– Z 3. zásuvky bol odstránený štandardný diel.
Podľa klasickej definície:
sú zodpovedajúce pravdepodobnosti.
Udalosť, ktorá nás zaujíma (Štandardná časť sa odoberie z 1. zásuvky a z 2. štandardu a od 3. štandardu) je vyjadrený produktom.
Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že jeden štandardný diel bude extrahovaný z troch boxov.
Odpoveď: 0,504
Po povzbudzujúcich cvičeniach s krabicami nás čakajú nemenej zaujímavé urny:
Úloha 4
Tri urny obsahujú 6 bielych a 4 čierne gule. Z každej urny sa náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) všetky tri loptičky budú biele; b) všetky tri loptičky budú rovnakej farby.
Na základe získaných informácií hádajte, ako naložiť s položkou „byť“ ;-) Je navrhnutý približný vzor riešenia v akademickom štýle s podrobným popisom všetkých udalostí.
Závislé udalosti. Podujatie sa volá závislý ak je jeho pravdepodobnosť závisí z jednej alebo viacerých udalostí, ktoré sa už stali. Pre príklady nemusíte chodiť ďaleko – stačí zájsť do najbližšieho obchodu:
- Zajtra o 19.00 bude v predaji čerstvý chlieb.
Pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od mnohých ďalších udalostí: či zajtra bude doručený čerstvý chlieb, či bude vypredaný do 19:00 alebo nie atď. V závislosti od rôznych okolností môže byť táto udalosť spoľahlivá aj nemožná. Takže udalosť je závislý.
Chlieb ... a ako to Rimania požadovali, cirkusy:
- na skúške získa študent jednoduchý lístok.
Ak nepôjdete úplne prvý, udalosť bude závisieť, pretože jej pravdepodobnosť bude závisieť od toho, ktoré lístky si už spolužiaci vylosovali.
Ako určiť závislosť/nezávislosť udalostí?
Niekedy je to priamo uvedené v stave problému, ale najčastejšie musíte vykonať nezávislú analýzu. Jednoznačný návod tu neexistuje a fakt závislosti či nezávislosti udalostí vyplýva z prirodzeného logického uvažovania.
Aby sa všetko nehádzalo na jednu kopu, úlohy pre závislé udalosti Zdôrazním nasledujúcu lekciu, ale zatiaľ zvážime najbežnejšiu skupinu teorémov v praxi:
Problémy sčítacích teorémov pre nekonzistentné pravdepodobnosti
a znásobením pravdepodobnosti nezávislých udalostí
Tento tandem podľa môjho subjektívneho hodnotenia funguje asi v 80% úloh na zvažovanú tému. Hit hitov a skutočná klasika teórie pravdepodobnosti:
Úloha 5
Dvaja strelci vystrelili po jednej rane na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu pre prvého strelca je 0,8, pre druhého - 0,6. Nájdite pravdepodobnosť, že:
a) terč zasiahne iba jeden strelec;
b) aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.
rozhodnutie: Pravdepodobnosť zásahu/minutia jedného strelca je zjavne nezávislá od výkonu druhého strelca.
Zvážte udalosti:
– 1. strelec zasiahne cieľ;
– 2. strelec zasiahne cieľ.
Podľa podmienok: .
Nájdite pravdepodobnosť opačných udalostí - že zodpovedajúce šípky nebudú chýbať: 
a) Zvážte udalosť: - terč zasiahne iba jeden strelec. Táto udalosť pozostáva z dvoch nezlučiteľných výsledkov:
Zasiahne 1. strelec a 2. chýba
alebo
1. bude chýbať a 2. zasiahne.
Na jazyku algebry udalostí táto skutočnosť sa dá zapísať takto: 
Najprv použijeme vetu o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí, potom - vetu o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že bude iba jeden zásah.
b) Zvážte udalosť: - aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.
V prvom rade SA ZAMYSLEME – čo znamená podmienka „Aspoň JEDEN“? V tomto prípade to znamená, že buď prvý strelec zasiahne (druhý bude netrafiť) alebo 2. (prvá chyba) alebo obe šípky naraz - spolu 3 nezlučiteľné výsledky.
Metóda jedna: vzhľadom na pripravenú pravdepodobnosť predchádzajúcej položky je vhodné znázorniť udalosť ako súčet nasledujúcich disjunktných udalostí:
jeden dostane (udalosť pozostávajúca postupne z 2 nezlučiteľných výsledkov) alebo
Ak zasiahnu obe šípky, túto udalosť označíme písmenom .
Takto:
Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že zasiahne 1. strelec a Zasiahne 2. strelec.
Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí:
je pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu do cieľa.
Metóda dva: zvážte opačnú udalosť: – obaja strelci budú chýbať.
Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
Ako výsledok:
Osobitná pozornosť venujte pozornosť druhej metóde - vo všeobecnom prípade je racionálnejšia.
Okrem toho existuje alternatívny, tretí spôsob riešenia, založený na teoréme o sčítaní spoločných udalostí, o ktorom sa vyššie mlčalo.
! Ak čítate materiál prvýkrát, je lepšie preskočiť nasledujúci odsek, aby ste sa vyhli nejasnostiam.
Metóda tri
: udalosti sú spoločné, čo znamená, že ich súčet vyjadruje udalosť „aspoň jeden strelec zasiahne cieľ“ (pozri obr. algebra udalostí). Autor: teorém o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí a veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
Pozrime sa: udalosti a (0, 1 a 2 prístupy v tomto poradí) tvoria úplnú skupinu, takže súčet ich pravdepodobností sa musí rovnať jednej:
, ktorá mala byť overená.
Odpoveď: 
Pri dôkladnom štúdiu teórie pravdepodobnosti narazíte na desiatky úloh militaristického obsahu, a čo je typické, po nich už nebudete chcieť nikoho zastreliť - úlohy sú takmer darčekové. Prečo neurobiť šablónu ešte jednoduchšou? Skrátime zápis:
rozhodnutie: podľa podmienky: , je pravdepodobnosť zasiahnutia príslušných strelcov. Potom ich pravdepodobnosti zmeškania sú: 
a) Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že len jeden strelec zasiahne cieľ.
b) Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že obaja strelci netrafia.
Potom: je pravdepodobnosť, že aspoň jeden zo strelcov zasiahne cieľ.
Odpoveď: 
V praxi môžete použiť akúkoľvek možnosť dizajnu. Samozrejme, oveľa častejšie idú krátkou cestou, ale netreba zabúdať na 1. spôsob – je síce dlhší, ale je zmysluplnejší – je v ňom prehľadnejší, čo, prečo a prečo sčítava a násobí. V niektorých prípadoch je vhodný hybridný štýl, keď je vhodné označiť len niektoré udalosti veľkými písmenami.
Podobné úlohy pre nezávislé riešenie:
Úloha 6
Pre požiarny poplach sú nainštalované dva nezávisle fungujúce senzory. Pravdepodobnosť, že senzor bude fungovať počas požiaru, je 0,5 a 0,7 pre prvý a druhý senzor. Nájdite pravdepodobnosť, že pri požiari:
a) oba snímače zlyhajú;
b) oba snímače budú fungovať.
c) pomocou sčítacia veta pre pravdepodobnosti udalostí tvoriacich ucelenú skupinu nájdite pravdepodobnosť, že počas požiaru bude fungovať iba jeden senzor. Výsledok skontrolujte priamym výpočtom tejto pravdepodobnosti (pomocou vety o sčítaní a násobení).
Tu je nezávislosť prevádzky zariadení priamo vyjadrená v stave, čo je mimochodom dôležité objasnenie. Vzorové riešenie je navrhnuté v akademickom štýle.
Čo ak sú v podobnom probléme uvedené rovnaké pravdepodobnosti, napríklad 0,9 a 0,9? Musíte sa rozhodnúť presne rovnako! (čo už bolo v skutočnosti demonštrované na príklade s dvoma mincami)
Úloha 7
Pravdepodobnosť zasiahnutia terča prvým strelcom jednou ranou je 0,8. Pravdepodobnosť, že terč nebude zasiahnutý po tom, čo prvý a druhý strelec vystrelí jeden výstrel, je 0,08. Aká je pravdepodobnosť, že druhý strelec zasiahne cieľ jednou ranou?
A toto je malý hlavolam, ktorý je zarámovaný krátkym spôsobom. Podmienka sa dá preformulovať stručnejšie, ale nebudem prerábať originál – v praxi sa musím hrabať v vyšperkovanejších výmysloch.
Zoznámte sa s ním - je to on, kto pre vás striehne nepremerané množstvo detailov =):
Úloha 8
Pracovník obsluhuje tri stroje. Pravdepodobnosť, že počas zmeny bude prvý stroj vyžadovať úpravu, je 0,3, druhý - 0,75, tretí - 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že počas zmeny:
a) všetky stroje budú vyžadovať nastavenie;
b) nastavenie bude vyžadovať iba jeden stroj;
c) aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.
rozhodnutie: keďže podmienka nehovorí nič o jedinom technologickom procese, potom treba prevádzku každého stroja považovať za nezávislú od prevádzky ostatných strojov.
Analogicky k úlohe č. 5 tu môžete brať do úvahy udalosti spočívajúce v tom, že príslušné stroje budú vyžadovať úpravu počas zmeny, zapísať pravdepodobnosti, nájsť pravdepodobnosti opačných udalostí atď. Ale s tromi objektmi sa mi naozaj nechce vypracovať takúto úlohu - bude to dlhé a únavné. Preto je tu výrazne výhodnejšie použiť „rýchly“ štýl:
Podľa podmienky: - pravdepodobnosť, že počas zmeny budú príslušné stroje vyžadovať ladenie. Potom pravdepodobnosti, že nebudú vyžadovať pozornosť, sú: 
Jeden z čitateľov tu našiel skvelý preklep, ani ho neopravím =)
a) Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú všetky tri stroje vyžadovať nastavenie.
b) Udalosť „Počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj“ pozostáva z troch nezlučiteľných výsledkov:
1) 1. stroj bude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
2) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj bude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
3) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj bude vyžadovať.
Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj.
Myslím, že už by vám malo byť jasné, odkiaľ ten výraz pochádza
c) Vypočítajte pravdepodobnosť, že stroje nebudú vyžadovať úpravu, a potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:
– skutočnosť, že aspoň jeden stroj bude vyžadovať úpravu.
Odpoveď:
Položku "ve" je možné riešiť aj cez súčet , kde je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú vyžadovať úpravu len dva stroje. Táto udalosť zase obsahuje 3 nekompatibilné výsledky, ktoré sú podpísané analogicky s položkou „byť“. Pokúste sa sami nájsť pravdepodobnosť, že skontrolujete celý problém pomocou rovnosti.
Úloha 9
Tri delá vystrelili salvu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu jednou ranou iba z prvej zbrane je 0,7, od druhej - 0,6, od tretej - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že: 1) aspoň jeden projektil zasiahne cieľ; 2) iba dva projektily zasiahnu cieľ; 3) cieľ bude zasiahnutý aspoň dvakrát.
Riešenie a odpoveď na konci hodiny.
A opäť o náhodách: v prípade, že sa podľa podmienky zhodujú dve alebo dokonca všetky hodnoty počiatočných pravdepodobností (napríklad 0,7; 0,7 a 0,7), potom by sa mal použiť presne rovnaký algoritmus riešenia.
Na záver článku budeme analyzovať ďalšiu spoločnú hádanku:
Úloha 10
Strelec pri každom výstrele zasiahne cieľ s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je táto pravdepodobnosť, ak pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu z troch výstrelov je 0,973.
rozhodnutie: označuje - pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele.
a cez - pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.
Zapíšme si udalosti:
- pri 3 výstreloch strelec zasiahne terč aspoň raz;
- strelec 3 krát minie.
Podľa podmienky potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:
Na druhej strane, podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí: 
Takto: 
- pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.
Ako výsledok:
je pravdepodobnosť zasiahnutia každého výstrelu.
Odpoveď: 0,7
Jednoduché a elegantné.
V uvažovanom probléme možno vzniesť ďalšie otázky o pravdepodobnosti iba jedného zásahu, iba dvoch zásahov a pravdepodobnosti troch zásahov do cieľa. Schéma riešenia bude úplne rovnaká ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch: 
Zásadný podstatný rozdiel je však v tom, že existujú opakované nezávislé testy, ktoré sa vykonávajú postupne, nezávisle od seba a s rovnakou pravdepodobnosťou výsledkov.
Všeobecné vyjadrenie problému: pravdepodobnosti niektorých udalostí sú známe, ale je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené. Pri týchto problémoch sú potrebné také operácie s pravdepodobnosťami, ako je sčítanie a násobenie pravdepodobností.
Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť A- zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event B- zásah z druhého výstrelu. Potom súčet udalostí A a B- zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov.
Úlohy iného typu. Uvádza sa niekoľko udalostí, napríklad trikrát sa hodí minca. Je potrebné zistiť pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri razy, alebo že erb vypadne aspoň raz. Toto je problém násobenia.
Sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí
Sčítanie pravdepodobnosti sa používa, keď je potrebné vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.
Súčet udalostí A a B určiť A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak sa udalosť vyskytne počas pozorovania A alebo udalosť B, alebo súčasne A a B.
Ak udalosti A a B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.
Veta o sčítaní pravdepodobností. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:
Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť A– zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event AT– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( A+ AT) - zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti A a AT sú teda nezlučiteľné udalosti A+ AT- výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.
Príklad 1 Krabička obsahuje 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zoberiete bez toho, aby ste sa pozreli.
rozhodnutie. Predpokladajme, že udalosť A– „berie sa červená guľa“ a udalosť AT- "Modrá guľa je prijatá." Potom je udalosťou „berie sa farebná (nie biela) loptička“. Nájdite pravdepodobnosť udalosti A:
a udalosti AT:
Vývoj A a AT- vzájomne nezlučiteľné, pretože ak sa berie jedna loptička, nemožno brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:
Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nezlučiteľných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:
Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:
Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.
Pravdepodobnosti opačných udalostí sa zvyčajne označujú malými písmenami. p a q. najmä
z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:
Príklad 2 Cieľ v pomlčke je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec bude strieľať na terč v prvom pásme, je 0,15, v druhom pásme - 0,23, v treťom pásme - 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.
Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:
Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minul cieľ:
Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .
Sčítanie pravdepodobností vzájomne spoločných udalostí
Dve náhodné udalosti sa považujú za spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou, event A sa považuje výskyt čísla 4 a event AT- vypustenie párneho čísla. Keďže číslo 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi existujú úlohy na výpočet pravdepodobnosti výskytu niektorej zo vzájomne spoločných udalostí.
Veta o sčítaní pravdepodobností pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčin pravdepodobností. Vzorec pre pravdepodobnosti spoločných udalostí je nasledujúci:
Pretože udalosti A a AT kompatibilný, event A+ AT nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nezlučiteľných udalostí vypočítame takto:
Udalosť A nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:
Podobne:
Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:
Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že udalosti A a AT možno:
- vzájomne nezávislé;
- vzájomne závislé.
Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:
Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:
Ak udalosti A a AT sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je nasledujúci:
Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď jazdíte v prvom aute, pravdepodobnosť výhry, keď jazdíte v druhom aute. Nájsť:
- pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
- pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;
1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí A(prvé auto vyhráva) a AT(vyhráva druhé auto) - nezávislé udalosti. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:
2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:
Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .
Vyriešte problém sčítania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 4 Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .
Násobenie pravdepodobnosti
Násobenie pravdepodobností sa používa, keď sa má vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.
V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.
Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí A a AT sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:
Príklad 5 Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát.
rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že erb padne pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát:
Sami vyriešte problémy násobenia pravdepodobností a potom sa pozrite na riešenie
Príklad 6 Je tu krabica s deviatimi novými tenisovými loptičkami. Na hru sa odoberú tri loptičky, po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt nerozlišujú odohrané a neodohrané lopty. Aká je pravdepodobnosť, že po tri hry nebudú v boxe žiadne neodohrané lopty?
Príklad 7 Na rozrezaných kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet, jedna po druhej, a položí sa na stôl v poradí, v akom sa objavia. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.
Príklad 8 Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty sú rovnakej farby.
Príklad 9 Rovnaký problém ako v príklade 8, ale každá karta sa po vytiahnutí vráti do balíčka.
Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .
Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať odčítaním súčinu pravdepodobností opačných udalostí od 1, teda podľa vzorca.
