Udalosti sa nazývajú nezávislé ak. Závislé a nezávislé náhodné udalosti. Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Závislosť udalostí sa chápe v pravdepodobnostný zmysel, nie funkčne. To znamená, že pri objavení sa jedného z závislé udalosti nemožno jednoznačne posúdiť vzhľad iného. Pravdepodobná závislosť znamená, že výskyt jednej zo závislých udalostí mení iba pravdepodobnosť výskytu druhej. Ak sa pravdepodobnosť nezmení, udalosti sa považujú za nezávislé.

Definícia: Nech - ľubovoľný pravdepodobnostný priestor, - nejaké náhodné udalosti. To hovoria udalosť ALE nezávisí od udalosti AT , Ak si to podmienená pravdepodobnosť sa zhoduje s bezpodmienečnou pravdepodobnosťou:

Ak , potom hovoríme, že udalosť ALE závislé od udalosti AT.

Pojem nezávislosti je symetrický, teda ak ide o udalosť ALE nezávisí od udalosti AT, potom udalosť AT nezávisí od udalosti ALE. Skutočne, nech . Potom . Preto jednoducho hovoria, že udalosti ALE a AT nezávislý.

Nasledujúca symetrická definícia nezávislosti udalostí vyplýva z pravidla násobenia pravdepodobností.

Definícia: Vývoj ALE a AT, definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore sa nazývajú nezávislý, ak

Ak , potom udalosti ALE a AT volal závislý.

Upozorňujeme, že táto definícia platí aj vtedy, keď alebo .

Vlastnosti nezávislých udalostí.

1. Ak udalosti ALE a AT sú nezávislé, potom sú nezávislé aj tieto dvojice udalostí: .

▲ Dokážme napríklad nezávislosť udalostí . Predstavte si udalosť ALE ako: . Keďže udalosti sú nezlučiteľné, potom , a kvôli nezávislosti udalostí ALE a AT dostaneme to. Preto, čo znamená nezávislosť. ■

2. Ak udalosť ALE nezávisí od udalostí V 1 a V 2, ktoré sú nekompatibilné () , tej udalosti ALE nezávisí od sumy.

▲ V skutočnosti pomocou axiómy aditivity pravdepodobnosti a nezávislosti udalosti ALE z udalostí V 1 a V 2, máme:

Vzťah medzi pojmami nezávislosť a nezlučiteľnosť.

Nechaj ALE a AT- všetky udalosti, ktoré majú nenulovú pravdepodobnosť: , tzv . Ak udalosti ALE a AT sú nekonzistentné (), a preto k rovnosti nikdy nemôže dôjsť. Touto cestou, nekompatibilné udalosti sú závislé.

Keď sa súčasne zvažujú viac ako dve udalosti, ich párová nezávislosť dostatočne necharakterizuje spojenie medzi udalosťami celej skupiny. V tomto prípade sa zavádza pojem nezávislosti v súhrne.

Definícia: Vyvolajú sa udalosti definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore kolektívne nezávislý, ak pre nejaké 2 £m £n a akákoľvek kombinácia indexov má rovnosť:

O m = 2 nezávislosť v súhrne znamená párovú nezávislosť udalostí. Opak nie je pravdou.

Príklad. (Bernstein S.N.)

Náhodný pokus spočíva v hádzaní pravidelného štvorstenu (štvorstenu). Existuje tvár, ktorá vypadla zhora nadol. Plochy štvorstenu sú sfarbené nasledovne: 1. strana - biela, 2. strana - čierna,
3 tvár - červená, 4 tvár - obsahuje všetky farby.

Zvážte udalosti:

ALE= (Vypadnutie biela farba}; B= (Vypadnutie čiernej farby);

C= (Červený výpadok).

Potom ;

Preto tie udalosti ALE, AT a OD sú párovo nezávislé.

však .

Preto udalosti ALE, AT a OD kolektívne nie sú nezávislé.

V praxi sa spravidla nezávislosť udalostí nestanovuje kontrolou podľa definície, ale naopak: udalosti sa považujú za nezávislé od akýchkoľvek vonkajších faktorov alebo s prihliadnutím na okolnosti. náhodný experiment a využiť nezávislosť na nájdenie pravdepodobnosti vzniku udalostí.

Veta (násobenie pravdepodobností pre nezávislé udalosti).

Ak sú udalosti definované v rovnakom pravdepodobnostnom priestore súhrnne nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčinu rovná súčinu pravdepodobností:

▲ Dôkaz vety vyplýva z definície nezávislosti udalostí v súhrne alebo zo všeobecnej vety o násobení pravdepodobnosti, berúc do úvahy skutočnosť, že v tomto prípade

Príklad 1 (typický príklad na hľadanie podmienených pravdepodobností, pojem nezávislosti, veta na sčítanie pravdepodobnosti).

Elektrický obvod pozostáva z troch nezávisle fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosť zlyhania každého z prvkov je rovná .

1) Nájdite pravdepodobnosť zlyhania obvodu.

2) Je známe, že obvod zlyhal.

Aká je pravdepodobnosť, že zlyhá:

a) 1. prvok; b) 3. prvok?

Riešenie. Zvážte udalosti = (Neúspešné k prvok) a udalosť ALE= (Schéma zlyhala). Potom udalosť ALE uvádza sa vo forme:

1) Keďže udalosti a udalosti nie sú nezlučiteľné, potom axióma aditivity pravdepodobnosti Р3) nie je použiteľná a na nájdenie pravdepodobnosti je potrebné použiť všeobecnú vetu o sčítaní pravdepodobnosti, podľa ktorej

Nech je pravdepodobnosť udalosti AT nezávisí od výskytu udalosti ALE.

Definícia. Udalosť AT volal nezávisle od udalosti A ak výskyt udalosti ALE nemení pravdepodobnosť udalosti AT, t.j. ak je podmienená pravdepodobnosť udalosti AT sa rovná jeho nepodmienenej pravdepodobnosti:

R A(AT) = R(AT). (2.12)

Dosadením (2.12) do vzťahu (2.11) dostaneme

R(ALE)R(AT) = R(AT)R B(ALE).

R B(ALE) = R(ALE),

tie. podmienená pravdepodobnosť udalosti ALE za predpokladu, že došlo k udalosti AT, sa rovná jeho nepodmienenej pravdepodobnosti. Inými slovami, udalosť ALE nezávisí od udalosti B.

Lemma (o vzájomnej nezávislosti udalostí): ak udalosť AT nezávisí od udalosti ALE, potom udalosť ALE nezávisí od udalosti AT; znamená to, že vlastnosť nezávislosti udalostí navzájom.

Pre nezávislé udalosti, veta o násobení R(AB) = R(ALE) R A(AT) má tvar

R(AB) = R(ALE) R(AT), (2.13)

tie. pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí.

Rovnosť (2.13) sa berie ako definícia nezávislých udalostí. Dve udalosti sa považujú za nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Definícia. Nazývajú sa dve udalosti nezávislý, ak sa pravdepodobnosť ich kombinácie rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí; inak sa nazývajú udalosti závislý.

V praxi sa nezávislosť udalostí uzatvára podľa významu problému. Napríklad pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa každou z dvoch zbraní nezávisí od toho, či druhá zbraň zasiahla cieľ, takže udalosti „prvá zbraň zasiahla cieľ“ a „druhá zbraň zasiahla cieľ“ sú nezávislé.

Príklad. Nájdite pravdepodobnosť spoločného zasiahnutia cieľa dvoma zbraňami, ak pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvou zbraňou (udalosť ALE) sa rovná 0,8 a druhá (udalosť AT) – 0,7.

Riešenie. Vývoj ALE a AT nezávislá teda podľa vety o násobení požadovaná pravdepodobnosť

R(AB) = R(ALE)R(AT) = 0,7 x 0,8 = 0,56.

Komentujte 1. Ak udalosti ALE a AT sú nezávislé, potom sú nezávislé aj udalosti. ALE a , a AT a . naozaj,

v dôsledku toho

, alebo .

tie. vývoj ALE a AT nezávislý.

Nezávislosť udalostí a AT, a je dôsledkom preukázaného tvrdenia.

Pojem nezávislosti možno rozšíriť na prípad n diania.

Definícia. Je tzv párovo nezávislé ak sú každé dva nezávislé. Napríklad udalosti ALE, AT, OD párovo nezávislé, ak sú udalosti nezávislé ALE a AT, ALE a OD, AT a OD.

Aby sme zovšeobecnili multiplikačnú vetu na niekoľko udalostí, zavedieme koncept nezávislosti udalostí v súhrne.

Definícia. Je tzv kolektívne nezávislý(alebo jednoducho nezávislé), ak sú každé dva nezávislé a každá udalosť a všetky možné produkty ostatných sú nezávislé. Napríklad, ak udalosti ALE 1 , A 2 , ALE 3 sú v súhrne nezávislé, potom sú udalosti nezávislé ALE 1 a A 2 , ALE 1 a ALE 3 , A 2 a ALE 3 ; ALE 1 a A 2 ALE 3 , A 2 a ALE 1 ALE 3 , ALE 3 a ALE 1 A 2. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že ak sú udalosti v súhrne nezávislé, potom podmienená pravdepodobnosť výskytu akejkoľvek udalosti z nich, vypočítaná za predpokladu, že nastali akékoľvek iné udalosti spomedzi ostatných, sa rovná jeho bezpodmienečná pravdepodobnosť.

Zdôrazňujeme, že ak je niekoľko udalostí v pároch nezávislých, potom z toho ešte nevyplýva ich nezávislosť v súhrne. V tomto zmysle je požiadavka na nezávislosť udalostí v súhrne silnejšia ako požiadavka na ich párovú nezávislosť.

Vysvetlime si to, čo bolo povedané, na príklade. Predpokladajme, že v urne sú 4 loptičky, farebné: jedna je červená ( ALE), jeden - v modrej ( AT), jedna - čierna ( OD) a jeden - vo všetkých týchto troch farbách ( ABC). Aká je pravdepodobnosť, že lopta vytiahnutá z urny je červená?

Keďže dve zo štyroch loptičiek sú červené R(ALE) = 2/4 = 1/2. Argumentujúc podobne, zisťujeme R(AT) = 1/2, R(OD) = 1/2. Predpokladajme teraz, že odobratá loptička je modrá, t.j. udalosť AT už sa stalo. Zmení sa pravdepodobnosť, že vytiahnutá guľa je červená, t.j. Zmení sa pravdepodobnosť udalosti? ALE? Z dvoch loptičiek, ktoré sú modré, je jedna gulička tiež červená, takže pravdepodobnosť udalosti je ALE je stále 1/2. Inými slovami, podmienená pravdepodobnosť udalosti ALE vypočítané za predpokladu, že nastala udalosť AT, sa rovná jeho nepodmienenej pravdepodobnosti. Preto tie udalosti ALE a AT nezávislý. Podobne dospejeme k záveru, že udalosti ALE a OD, AT a OD nezávislý. Takže udalosti ALE, AT a OD sú párovo nezávislé.

Sú tieto udalosti v súhrne nezávislé? Ukazuje sa, že nie. V skutočnosti nech má extrahovaná guľa dve farby, napríklad modrú a čiernu. Aká je pravdepodobnosť, že táto guľa je tiež červená? Len jedna guľa je zafarbená všetkými tromi farbami, takže zachytená guľa je tiež červená. Teda za predpokladu, že udalosti AT a OD došlo k záveru, že udalosť ALE určite príde. Preto je táto udalosť spoľahlivá a jej pravdepodobnosť sa rovná jednej. Inými slovami, podmienená pravdepodobnosť R BC(ALE)= 1 udalosť ALE sa nerovná jeho bezpodmienečnej pravdepodobnosti R(ALE) = 1/2. Takže párovo nezávislé udalosti ALE, AT, OD nie sú kolektívne nezávislé.

Teraz uvádzame dôsledok vety o násobení.

Dôsledok. Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých udalostí, ktoré sú v súhrne nezávislé, sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Dôkaz. Zvážte tri udalosti: ALE, AT a OD. Kombinácia udalostí ALE, AT a OD rovnajúcu sa kombinácii udalostí AB a OD, preto

R(ABC) = R(AB×C).

Od udalostí ALE, AT a OD sú nezávislé v súhrne, potom sú nezávislé najmä udalosti AB a OD, ako aj ALE a AT. Podľa vety o násobení pre dve nezávislé udalosti máme:

R(AB×C) = R(AB)R(OD) a R(AB) = R(ALE)R(AT).

Tak sa konečne dostávame

R(ABC) = R(ALE)R(AT)R(OD).

Pre svojvoľné n dôkaz sa vykonáva metódou matematickej indukcie.

Komentujte. Ak udalosti ALE 1 , ALE 2 , ...,A n sú v súhrne nezávislé, potom sú v súhrne nezávislé aj opačné udalosti.

Príklad. Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví spolu v jednom hode dvoma mincami.

Riešenie. Pravdepodobnosť výskytu erbu prvej mince (udal ALE)

R(ALE) = 1/2.

Pravdepodobnosť výskytu erbu druhej mince (udal AT)

R(AT) = 1/2.

Vývoj ALE a AT nezávislá, takže požadovaná pravdepodobnosť podľa vety o násobení sa rovná

R(AB) = R(ALE)R(AT) = 1/2 x 1/2 = 1/4.

Príklad. K dispozícii sú 3 krabice po 10 dielov. Prvá zásuvka obsahuje 8, druhá zásuvka 7 a tretia zásuvka 9 štandardných dielov. Z každého boxu sa náhodne vyžrebuje jedna položka. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky tri vybraté časti sú štandardné.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že sa štandardná časť odoberie z prvého poľa (udalosť ALE),

R(ALE) = 8/10 = 0,8.

Pravdepodobnosť, že sa štandardná časť odoberie z druhého poľa (udalosť AT),

R(AT) = 7/10 = 0,7.

Pravdepodobnosť, že sa štandardná časť odoberie z tretieho políčka (udalosť OD),

R(OD) = 9/10 = 0,9.

Od udalostí ALE, AT a OD nezávislé v súhrne, potom sa požadovaná pravdepodobnosť (podľa multiplikačnej vety) rovná

R(ABC) = R(ALE)R(AT)R(OD) = 0,8 x 0,7 x 0,9 = 0,504.

Uveďme príklad spoločnej aplikácie vety o sčítaní a násobení.

Príklad. Pravdepodobnosť výskytu každej z troch nezávislých udalostí ALE 1 , ALE 2 , ALE 3, respektíve rovnaké R 1 , R 2 , R 3. Nájdite pravdepodobnosť výskytu iba jednej z týchto udalostí.

Riešenie. Všimnite si, že napríklad vzhľad iba prvá udalosť ALE 1 je ekvivalentné objaveniu sa udalosti (prvá sa objavila a druhá a tretia udalosť sa neobjavili). Predstavme si notáciu:

B 1 - objavila sa iba udalosť ALE 1, t.j. ;

B 2 – objavila sa iba udalosť ALE 2, t.j. ;

B 3 – objavila sa iba udalosť ALE 3, t.j. .

Teda nájsť pravdepodobnosť výskytu len jednej z udalostí ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 budeme hľadať pravdepodobnosť P(B 1 + B 2 + AT 3) vzhľad jedného, bez ohľadu na to, ktorá z udalostí AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Od udalostí AT 1 , AT 2 , AT 3 sú nekonzistentné, potom platí veta o sčítaní

P(B 1 + B 2 + AT 3) = R(AT 1) + R(AT 2) + R(AT 3). (*)

Zostáva nájsť pravdepodobnosti každej z udalostí AT 1 , AT 2 , AT 3. Vývoj ALE 1 , ALE 2 , ALE 3 sú nezávislé, preto sú udalosti nezávislé, platí pre ne teda veta o násobení

podobne,

Dosadením týchto pravdepodobností do (*) nájdeme požadovanú pravdepodobnosť výskytu iba jednej z udalostí ALE 1 , ALE 2 , ALE 3.

Definície pravdepodobnosti

Klasická definícia

Klasická „definícia“ pravdepodobnosti pochádza z pojmu rovnaké možnosti ako objektívna vlastnosť skúmaných javov. Ekvivalencia je nedefinovateľný pojem a je založená na všeobecných úvahách o symetrii skúmaných javov. Napríklad pri hode mincou sa predpokladá, že vzhľadom na údajnú symetriu mince, homogenitu materiálu a náhodnosť (nezaujatosť) hodu nie je dôvod uprednostňovať „chvosty“ pred „orly“ alebo naopak, to znamená, že stratu týchto strán možno považovať za rovnako pravdepodobnú (ekvipravdepodobnú).

Spolu s pojmom ekvipravdepodobnosti vo všeobecnom prípade klasická definícia vyžaduje aj pojem elementárneho deja (výsledku), ktorý zvýhodňuje alebo neuprednostňuje skúmaný dej A. Hovoríme o výstupoch, ktorých výskyt vylučuje možnosť o výskyte iných výsledkov. Toto sú nezlučiteľné elementárne udalosti. Napríklad pri hádzaní kocky Vypustenie konkrétneho čísla vylučuje vypustenie iných čísel.

Klasická definícia pravdepodobnosti môže byť formulovaná takto:

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti A nazývaný pomer čísla n nezlučiteľné rovnako pravdepodobné elementárne udalosti, ktoré tvoria dej A , k počtu všetkých možných elementárnych udalostí N :

Predpokladajme napríklad, že sú hodené dve kocky. Celkový počet rovnako možných výsledkov (elementárnych udalostí) je samozrejme 36 (6 možností na každej kocke). Odhadnite pravdepodobnosť získania 7 bodov. Získať 7 bodov je možné týmito spôsobmi: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. To znamená, že existuje len 6 rovnako pravdepodobných výsledkov, ktoré uprednostňujú udalosť A – získanie 7 bodov. Pravdepodobnosť sa teda bude rovnať 6/36=1/6. Pre porovnanie, pravdepodobnosť získania 12 bodov alebo 2 bodov je len 1/36 – 6 krát menšia.

Geometrická definícia

Napriek tomu, že klasická definícia je intuitívna a odvodená z praxe, prinajmenšom ju nemožno priamo aplikovať, ak je počet rovnako možných výsledkov nekonečný. Živým príkladom nekonečného počtu možných výsledkov je obmedzená geometrická oblasť G, napríklad na rovine s plochou S. Náhodne „hodený“ „bod“ s rovnakou pravdepodobnosťou môže byť v ktoromkoľvek bode v tejto oblasti. Problémom je určiť pravdepodobnosť, že bod spadne do nejakej subdomény g s oblasťou s. V tomto prípade zovšeobecnením klasickej definície môžeme dospieť ku geometrickej definícii pravdepodobnosti pádu do subdomény:

Vzhľadom na rovnakú možnosť táto pravdepodobnosť nezávisí od tvaru oblasti g, závisí len od jej plochy. Túto definíciu možno prirodzene zovšeobecniť na priestor akejkoľvek dimenzie, kde sa namiesto plochy používa pojem „objem“. Navyše práve táto definícia vedie k modernej axiomatickej definícii pravdepodobnosti. Pojem objem je zovšeobecnený na pojem „miera“ nejakej abstraktnej množiny, na ktorú sú kladené požiadavky, ktoré má „objem“ aj v geometrickej interpretácii – v prvom rade sú to nezápornosť a aditívnosť.

Stanovenie frekvencie (štatistické).

Klasická definícia pri zvažovaní zložitých problémov naráža na ťažkosti neprekonateľného charakteru. Najmä v niektorých prípadoch nemusí byť možné identifikovať rovnako pravdepodobné prípady. Aj v prípade mince, ako je známe, existuje zjavne nie rovnako pravdepodobná možnosť vypadnutia „hrany“, čo sa z teoretických úvah nedá odhadnúť (možno len povedať, že je to málo pravdepodobné a táto úvaha je skôr praktická ). Preto na úsvite vzniku teórie pravdepodobnosti bola navrhnutá alternatívna „frekvenčná“ definícia pravdepodobnosti. Totiž formálne možno pravdepodobnosť definovať ako hranicu frekvencie pozorovaní udalosti A za predpokladu homogenity pozorovaní (teda zhodnosti všetkých podmienok pozorovania) a ich vzájomnej nezávislosti:

kde je počet pozorovaní a počet výskytov udalosti .

Napriek tomu, že táto definícia skôr naznačuje spôsob odhadu neznámej pravdepodobnosti - pomocou veľkého množstva homogénnych a nezávislých pozorovaní - táto definícia odráža obsah pojmu pravdepodobnosti. Totiž, ak je nejakej udalosti prisúdená určitá pravdepodobnosť, ako objektívna miera jej možnosti, tak to znamená, že za pevných podmienok a viacnásobných opakovaní by sme sa mali frekvenciu jej výskytu priblížiť (čím bližšie, tým viac pozorovaní). V skutočnosti je to pôvodný význam pojmu pravdepodobnosti. Vychádza z objektivistického pohľadu na prírodné javy. Nižšie sú uvedené zákony tzv veľké čísla, ktoré poskytujú teoretický základ (v rámci moderného axiomatického prístupu uvedeného nižšie), vrátane frekvenčného odhadu pravdepodobnosti.

Axiomatická definícia

V modernom matematickom prístupe je pravdepodobnosť daná Kolmogorovova axiomatika. Predpokladá sa, že niektoré priestor elementárnych udalostí. Podmnožiny tohto priestoru sú interpretované ako náhodné udalosti. Spojenie (súčet) niektorých podmnožín (udalostí) sa interpretuje ako udalosť spočívajúca vo výskyte aspoň jeden z týchto udalostí. Priesečník (súčin) podmnožín (udalostí) sa interpretuje ako udalosť spočívajúca vo výskyte všetky tieto udalosti. Disjunktné množiny sa interpretujú ako nezlučiteľné udalosti (ich spoločná ofenzíva je nemožná). V súlade s tým znamená prázdna množina nemožné udalosť.

Pravdepodobnosť ( miera pravdepodobnosti) sa nazýva opatrenie(numerická funkcia) definovaná na množine udalostí, ktorá má tieto vlastnosti:

Ak priestor elementárnych udalostí X určite potom postačuje špecifikovaná podmienka aditivity pre ľubovoľné dve nezlučiteľné udalosti, z ktorých bude vyplývať aditivita pre ľubovoľné finálny, konečný počet nekompatibilných udalostí. V prípade nekonečného (spočítateľného alebo nespočítateľného) priestoru elementárnych udalostí však táto podmienka nestačí. Takzvaný počítateľná alebo sigma aditivita, teda splnenie aditívnej vlastnosti pre ľubovoľnú nie viac ako spočítateľné rodiny párovo nekompatibilných udalostí. Je to potrebné na zabezpečenie „kontinuity“ pravdepodobnostnej miery.

Miera pravdepodobnosti nemusí byť definovaná pre všetky podmnožiny množiny. Predpokladá sa, že je definovaný na niektorých sigma algebra podmnožiny . Tieto podmnožiny sa nazývajú merateľné podľa danej miery pravdepodobnosti a sú to náhodné udalosti. Množina – teda množina elementárnych udalostí, sigma-algebra jej podmnožín a miera pravdepodobnosti – sa nazýva pravdepodobnostný priestor.

Spojité náhodné premenné. Okrem diskrétnych náhodných premenných, ktorých možné hodnoty tvoria konečnú alebo nekonečnú postupnosť čísel, ktoré úplne nevypĺňajú žiadny interval, často existujú náhodné premenné, ktorých možné hodnoty tvoria určitý interval. Príkladom takejto náhodnej veličiny je odchýlka od nominálnej hodnoty určitej veľkosti súčiastky so správne stanoveným technologickým postupom. Tento druh náhodných premenných nemožno špecifikovať pomocou zákona o rozdelení pravdepodobnosti p(x). Môžu sa však špecifikovať pomocou funkcie rozdelenia pravdepodobnosti F(x). Táto funkcia je definovaná presne rovnakým spôsobom ako v prípade diskrétnej náhodnej premennej:

Teda aj tu funkcia F(x) definovaná na celej číselnej osi a jej hodnota v bode X sa rovná pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobudne hodnotu menšiu ako X. Vzorec (19) a vlastnosti 1° a 2° platia pre distribučnú funkciu ľubovoľnej náhodnej premennej. Dôkaz sa vykonáva podobne ako v prípade diskrétnej veličiny. Náhodná premenná sa nazýva nepretržitý, ak pre ňu existuje nezáporná po častiach-spojitá funkcia*, ktorá vyhovuje ľubovoľným hodnotám X rovnosť

Na základe geometrického významu integrálu ako plochy môžeme povedať, že pravdepodobnosť splnenia nerovností sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka so základňou zhora ohraničený krivkou (obr. 6).

Od a na základe vzorca (22)

Všimnite si, že pre spojitú náhodnú premennú je distribučná funkcia F(x) nepretržité v akomkoľvek bode X, kde funkcia je spojitá. Vyplýva to zo skutočnosti, že F(x) je v týchto bodoch diferencovateľná. Na základe vzorca (23), za predpokladu X 1 =x, , máme

Z dôvodu kontinuity funkcie F(x) dostaneme to

V dôsledku toho

Touto cestou, pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná môže nadobudnúť akúkoľvek jednotlivú hodnotu x je nulová. Z toho vyplýva, že udalosti spočívajúce v naplnení každej z nerovností

Majú rovnakú pravdepodobnosť, t.j.

Skutočne napr.

pretože Komentujte. Ako vieme, ak je udalosť nemožná, pravdepodobnosť jej výskytu je nulová. V klasickej definícii pravdepodobnosti, keď je počet výsledkov testu konečný, platí aj opačná propozícia: ak je pravdepodobnosť udalosti nulová, potom je udalosť nemožná, pretože v tomto prípade ju žiadny z výsledkov testu nepodporuje. V prípade spojitej náhodnej premennej je počet jej možných hodnôt nekonečný. Pravdepodobnosť, že táto hodnota nadobudne nejakú konkrétnu hodnotu X 1 ako sme videli, sa rovná nule. Z toho však nevyplýva, že táto udalosť je nemožná, pretože náhodná premenná môže v dôsledku testu nadobudnúť najmä hodnotu X 1 . Preto v prípade spojitej náhodnej premennej má zmysel hovoriť o pravdepodobnosti, že náhodná premenná spadne do intervalu, a nie o pravdepodobnosti, že nadobudne určitú hodnotu. Takže napríklad pri výrobe valčeka nás nezaujíma pravdepodobnosť, že jeho priemer sa bude rovnať nominálnej hodnote. Pre nás je dôležitá pravdepodobnosť, že priemer valčeka nepôjde mimo toleranciu. Príklad. Hustota distribúcie spojitej náhodnej premennej je daná takto:

Graf funkcie je znázornený na obr. 7. Určte pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnotu, ktorá vyhovuje nerovnostiam Nájdite distribučnú funkciu danej náhodnej premennej. ( Riešenie)

Nasledujúce dva odseky sú venované rozdeleniam spojitých náhodných veličín, s ktorými sa v praxi často stretávame – rovnomerným a normálnym rozdeleniam.

* Funkcia sa nazýva po častiach spojitá na celej číselnej osi, ak je spojitá na ľubovoľnom segmente alebo má konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu. ** Pravidlo pre derivovanie integrálu s premennou hornou hranicou, odvodené v prípade konečnej dolnej hranice, zostáva platné pre integrály s nekonečnou spodnou hranicou. Naozaj,

Od integrálu

je konštantná hodnota.

Závislé a nezávislé udalosti. Podmienená pravdepodobnosť

Rozlišujte medzi závislými a nezávislými udalosťami. Dve udalosti sa považujú za nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej. Napríklad, ak v dielni fungujú dve automatické linky, ktoré nie sú prepojené podľa výrobných podmienok, potom sú zastávky týchto liniek samostatnými udalosťami.

Príklad 3 Minca sa hodí dvakrát. Pravdepodobnosť výskytu „erbu“ v prvom teste (udalosť ) nezávisí od vzhľadu alebo nezobrazenia sa „erbu“ v druhom teste (udalosť ). Pravdepodobnosť výskytu „erbu“ v druhom teste zase nezávisí od výsledku prvého testu. Teda udalosti a nezávislé.

Je tzv kolektívne nezávislý , ak niektorý z nich nezávisí od žiadnej inej udalosti a od akejkoľvek kombinácie ostatných.

Udalosti sú tzv závislý , ak jeden z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhého. Napríklad dva výrobné závody sú spojené jedným technologickým cyklom. Potom pravdepodobnosť zlyhania jedného z nich závisí od stavu druhého. Pravdepodobnosť jednej udalosti vypočítaná za predpokladu výskytu inej udalosti sa nazýva podmienená pravdepodobnosť udalosti a je označený .

Podmienka nezávislosti deja od deja sa zapisuje vo forme a podmienka jeho závislosti vo forme. Zvážte príklad výpočtu podmienenej pravdepodobnosti udalosti.

Príklad 4 V krabici je 5 rezákov: dva opotrebované a tri nové. Vykonajú sa dve po sebe nasledujúce extrakcie rezákov. Určte podmienenú pravdepodobnosť výskytu opotrebovaného rezača počas druhej extrakcie za predpokladu, že rezač odstránený prvýkrát sa nevráti do krabice.

Riešenie. Označme vytiahnutie opotrebovanej frézy v prvom prípade a - vytiahnutie novej. Potom . Keďže vybratá fréza sa nevracia späť do krabice, mení sa pomer medzi počtom opotrebovaných a nových fréz. Preto pravdepodobnosť odstránenia opotrebovanej frézy v druhom prípade závisí od toho, aká udalosť sa odohrala predtým.

Označme udalosť, ktorá v druhom prípade znamená vytiahnutie opotrebovanej frézy. Pravdepodobnosti tejto udalosti sú:

Pravdepodobnosť udalosti teda závisí od toho, či udalosť nastala alebo nie.

Hustota pravdepodobnosti- jeden zo spôsobov nastavenia miery pravdepodobnosti na euklidovskom priestore. V prípade, že mierou pravdepodobnosti je rozdelenie náhodnej premennej, hovorí sa o hustotanáhodná premenná.

Hustota pravdepodobnosti Nech je miera pravdepodobnosti na, to znamená, že je definovaný pravdepodobnostný priestor, kde označuje Borelovu σ-algebru na. Označme Lebesgueovu mieru na.

Definícia 1. Pravdepodobnosť sa nazýva absolútne spojitá (vzhľadom na Lebesgueovu mieru) (), ak má akákoľvek Borelova množina nulovej Lebesgueovej miery aj pravdepodobnosť nula:

Ak je pravdepodobnosť absolútne spojitá, potom podľa Radonovej-Nikodymovej vety existuje nezáporná Borelova funkcia taká, že

kde sa používa zaužívaná skratka , a integrál sa chápe v zmysle Lebesgue.

Definícia 2. Všeobecnejšie, nech je ľubovoľný merateľný priestor a nech a buďme dve miery na tomto priestore. Ak je tam nezáporný , ktorý umožňuje vyjadrenie miery v zmysle miery vo formulári

potom sa volá táto funkcia merať hustotu ako , alebo derivát Radon-Nikodim merať vzhľadom na mieru , a označovať

Ak pri výskyte udalosti pravdepodobnosť udalosti nezmení, potom udalosti a volal nezávislý.

Veta:Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch nezávislých udalostí a (Tvorba a ) sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí.

Naozaj, odkedy vývoj a teda nezávislá
. V tomto prípade vzorec pre pravdepodobnosť súčinu udalostí a má formu.

Vývoj
volal párovo nezávislé ak sú ktorékoľvek dve z nich nezávislé.

Vývoj
volal kolektívne nezávislý (alebo jednoducho nezávislý), ak sú každé dve z nich nezávislé a každá udalosť a všetky možné produkty ostatných sú nezávislé.

Veta:Pravdepodobnosť súčinu konečného počtu nezávislých udalostí v súhrne
sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí.

Ilustrujme si na príkladoch rozdiel v aplikácii vzorcov pravdepodobnosti udalostí pre závislé a nezávislé udalosti

Príklad 1. Pravdepodobnosť zasiahnutia terča prvým strelcom je 0,85, druhým 0,8. Zbrane strieľali jeden výstrel za druhým. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jeden projektil zasiahne cieľ?

Riešenie: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Keďže zábery sú nezávislé, potom

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Príklad 2. Urna obsahuje 2 červené a 4 čierne gule. Vyberú sa z nej 2 loptičky za sebou. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú červené.

Riešenie: 1 prípad. Udalosť A - výskyt červenej gule pri prvom odstránení, udalosť B - pri druhom. Udalosť C je vzhľad dvoch červených guličiek.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2. prípad. Prvá vyžrebovaná lopta sa vráti do koša.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Vzorec úplnej pravdepodobnosti.

Nechajte udalosť sa môže stať iba pri jednej z nekompatibilných udalostí
, tvoriaci ucelenú skupinu. Napríklad obchod dostáva rovnaké produkty od troch podnikov a v rôznych množstvách. Pravdepodobnosť výroby nekvalitných výrobkov v týchto podnikoch je rôzna. Jeden z produktov je vybraný náhodne. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že tento výrobok má nízku kvalitu (príp ). Udalosti tu
- ide o výber produktu z produktov príslušného podniku.

V tomto prípade pravdepodobnosť udalosti možno považovať za súčet súčinov udalostí
.

Sčítacím teorémom pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí získame
. Pomocou vety o násobení pravdepodobnosti nájdeme

Výsledný vzorec sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti.

Bayesov vzorec

Nechajte udalosť sa deje v rovnakom čase ako jeden z nezlučiteľné udalosti
, ktorých pravdepodobnosti
(
) sú známe pred skúsenosťami ( apriórne pravdepodobnosti). Uskutoční sa experiment, v dôsledku ktorého sa zaregistruje výskyt udalosti a je známe, že táto udalosť mala určité podmienené pravdepodobnosti
(
). Je potrebné nájsť pravdepodobnosti udalostí
ak je udalosť známa Stalo ( a posteriori pravdepodobnosti).

Problém je v tom, že mať nové informácie(udalosť A sa stala), musíte prehodnotiť pravdepodobnosti udalostí
.

Na základe vety o pravdepodobnosti súčinu dvoch udalostí

Výsledný vzorec sa nazýva Bayesove vzorce.

Základné pojmy kombinatoriky.

Pri riešení množstva teoretických a praktických úloh je potrebné zostaviť z konečnej množiny prvkov rôzne kombinácie podľa daných pravidiel a spočítať počet všetkých možných takýchto kombinácií. Takéto úlohy sú tzv kombinatorický.

Pri riešení úloh používa kombinatorika pravidlá súčtu a súčinu.

Všeobecné vyjadrenie problému: pravdepodobnosti niektorých udalostí sú známe, ale je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené. Pri týchto problémoch sú potrebné také operácie s pravdepodobnosťami, ako je sčítanie a násobenie pravdepodobností.

Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť A- zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event B- zásah z druhej strely. Potom súčet udalostí A a B- zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov.

Úlohy iného typu. Uvádza sa niekoľko udalostí, napríklad trikrát sa hodí minca. Je potrebné zistiť pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri razy, alebo že erb vypadne aspoň raz. Toto je problém násobenia.

Sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí

Sčítanie pravdepodobnosti sa používa, keď je potrebné vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.

Súčet udalostí A a B určiť A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak sa udalosť vyskytne počas pozorovania A alebo udalosť B, alebo súčasne A a B.

Ak udalosti A a B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.

Veta o sčítaní pravdepodobností. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť ALE– zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event AT– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( ALE+ AT) - zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti ALE a AT sú teda nezlučiteľné udalosti ALE+ AT- výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.

Príklad 1 Krabička obsahuje 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zoberiete bez toho, aby ste sa pozreli.

Riešenie. Predpokladajme, že udalosť ALE– „berie sa červená guľa“ a udalosť AT- "Modrá guľa je prijatá." Potom je udalosťou „berie sa farebná (nie biela) loptička“. Nájdite pravdepodobnosť udalosti ALE:

a udalosti AT:

Vývoj ALE a AT- vzájomne nezlučiteľné, pretože ak sa berie jedna loptička, nemožno brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:

Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nezlučiteľných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:

Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:

Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.

Pravdepodobnosti opačných udalostí sa zvyčajne označujú malými písmenami. p a q. najmä

z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:

Príklad 2 Cieľ v pomlčke je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec bude strieľať na terč v prvom pásme, je 0,15, v druhom pásme - 0,23, v treťom pásme - 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.

Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:

Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minul cieľ:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Sčítanie pravdepodobností vzájomne spoločných udalostí

Dve náhodné udalosti sa považujú za spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou, event ALE sa považuje výskyt čísla 4 a event AT- vypustenie párneho čísla. Keďže číslo 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi existujú úlohy na výpočet pravdepodobnosti výskytu niektorej zo vzájomne spoločných udalostí.

Veta o sčítaní pravdepodobností pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčin pravdepodobností. Vzorec pre pravdepodobnosti spoločných udalostí je nasledujúci:

Pretože udalosti ALE a AT kompatibilný, event ALE+ AT nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nezlučiteľných udalostí vypočítame takto:

Udalosť ALE nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:

Podobne:

Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:

Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že udalosti ALE a AT môže byť:

vzájomne nezávislé;
vzájomne závislé.

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:

Ak udalosti ALE a AT sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je nasledujúci:

Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď jazdíte v prvom aute, pravdepodobnosť výhry, keď jazdíte v druhom aute. Nájsť:

pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;

1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí ALE(prvé auto vyhráva) a AT(vyhráva druhé auto) - nezávislé udalosti. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:

2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Vyriešte problém sčítania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 4 Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .

Násobenie pravdepodobnosti

Násobenie pravdepodobností sa používa, keď sa má vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.

V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.

Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí ALE a AT sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:

Príklad 5 Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že erb padne pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát:

Sami vyriešte problémy násobenia pravdepodobností a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 6 Je tu krabica s deviatimi novými tenisovými loptičkami. Na hru sa odoberú tri loptičky, po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt nerozlišujú odohrané a neodohrané lopty. Aká je pravdepodobnosť, že po tri hry nebudú v boxe žiadne neodohrané lopty?

Príklad 7 Na rozrezaných kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet, jedna po druhej, a položí sa na stôl v poradí, v akom sa objavia. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.

Príklad 8 Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty sú rovnakej farby.

Príklad 9 Rovnaký problém ako v príklade 8, ale každá karta sa po vytiahnutí vráti do balíčka.

Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať odčítaním súčinu pravdepodobností opačných udalostí od 1, teda podľa vzorca.