Podmienená pravdepodobnosť. Podmienená pravdepodobnosť a najjednoduchšie základné vzorce. Veta o násobení pravdepodobností udalostí, z ktorých jedna sa odohráva pod podmienkou druhej

4. Podmienená pravdepodobnosť. Veta o násobení pravdepodobnosti.

V mnohých problémoch je potrebné nájsť pravdepodobnosť kombinácie udalostí ALE a AT ak sú známe pravdepodobnosti udalostí ALE a AT.

Zvážte nasledujúci príklad. Nechajte hodiť dve mince. Nájdite pravdepodobnosť výskytu dvoch erbov. Máme 4 rovnako pravdepodobné párovo nekompatibilné výsledky, ktoré tvoria kompletnú skupinu:

Teraz nám dajte vedieť, že erb padol na prvú mincu. Ako sa potom zmení pravdepodobnosť, že sa erb objaví na oboch minciach? Keďže erb padol na prvú mincu, teraz celá skupina pozostáva z dvoch rovnako pravdepodobných nezlučiteľných výsledkov:

pravdepodobnosť novej udalosti ALE, za predpokladu, že došlo k udalosti B, budeme označovať P B (A).

Touto cestou, P(A) = 1/4; P B (A) \u003d 1/2

Veta o násobení. Pravdepodobnosť spojenia udalostí A a B sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že nastala prvá udalosť, t.j.

Dôkaz. Dokážme platnosť vzťahu (4) na základe klasickej definície pravdepodobnosti. Nechajte možné výsledky E 1, E 2, ..., E N tohto zážitku tvoria ucelenú skupinu rovnako pravdepodobných párovo nekompatibilných udalostí, z ktorých event A priazeň M výsledky, a nechať z nich M výsledky L výsledky podporujú podujatie B. Je zrejmé, že kombinácia udalostí A a B priazeň L od N možné výsledky testov. Toto dáva; ;
Touto cestou,
Výmena miest A a B, podobne dostaneme
Veta o násobení sa dá ľahko zovšeobecniť na ľubovoľný konečný počet udalostí. Teda napríklad v prípade troch podujatí A 1, A2, A 3 máme *
Všeobecne

Zo vzťahu (6) vyplýva, že z dvoch rovníc (8) je jedna dôsledkom druhej.

Nech je napr A- vzhľad erbu pri jedinom hode mincou a udalosť B- vzhľad karty diamantovej farby, keď je karta odstránená z balíčka. Očividne udalosti A a B nezávislý.

Ak sú udalosti nezávislé A do B vzorec (4) bude mať jednoduchšiu formu:

* Udalosť A 1 A 2 A 3 možno znázorniť ako kombináciu dvoch udalostí: udalosti C=A1A2 a udalosti A 3.

Zvážte udalosti A a B spojené s rovnakou skúsenosťou. Nech je z niektorých zdrojov známe, že udalosť B došlo, ale nie je známe, ktorý z elementárnych výsledkov tvoriacich udalosť B, Stalo. Čo možno v tomto prípade povedať o pravdepodobnosti udalosti A?

Pravdepodobnosť udalosti A, vypočítané za predpokladu, že udalosť B sa stalo, je zvykom nazývať podmienenú pravdepodobnosť a označovať P(A|B).

podmienená pravdepodobnosť P(A|B) vývoj A predmetom udalosti B v rámci klasickej schémy je prirodzené definovať pravdepodobnosť ako pomer NAB výsledky, ktoré podporujú spoločnú realizáciu udalostí A a B, na číslo Pozn výsledky podporujúce podujatie B, teda

Ak vydelíme čitateľa a menovateľa tohto výrazu celkovým číslom N dostaneme základné výsledky

Definícia. Podmienená pravdepodobnosť udalosti A predmetom udalosti B sa nazýva pomer pravdepodobnosti priesečníka udalostí A a B na pravdepodobnosť udalosti B:

Zároveň sa predpokladá, že P(B) ≠ 0.

Veta. Podmienená pravdepodobnosť P(A|B) má všetky vlastnosti bezpodmienečnej pravdepodobnosti P(A).

Význam tejto vety je, že podmienená pravdepodobnosť je nepodmienená pravdepodobnosť daná na novom priestore Ω 1 elementárne výsledky, ktoré sa zhodujú s udalosťou B.

Príklad. Z urny, v ktorej a=7 biely piesok b = 3čierne loptičky, náhodne sa vyžrebujú dve loptičky bez výmeny. Nechajte udalosť A 1 je, že prvá vytiahnutá guľa je biela a A2- druhá guľa je biela. Chcel nájsť P(A 2 |A 1).

Metóda 1.. Podľa definície podmienenej pravdepodobnosti

Metóda 2.. Prejdime do nového priestoru elementárnych výsledkov Ω 1. Od udalosti A 1 sa stalo, to znamená, že v novom priestore elementárnych výsledkov je celkový počet rovnako možných výsledkov NQi=a+b-1=9 a udalosť A2 uprednostňuje to N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 výsledky. v dôsledku toho

Veta [násobenie pravdepodobností]. Nechajte udalosť A=A 1 A 2 …A n a P(A)>0. Potom platí rovnosť:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Komentujte. Z vlastnosti komutativity priesečníka sa dá písať

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Príklad. Na 7 kartičkách sú napísané písmená tvoriace slovo „SLÁVIK“. Karty sa zamiešajú a náhodne sa z nich vyberú tri karty a rozložia sa zľava doprava. Nájdite pravdepodobnosť, že sa získa slovo „VOL“ (udalosť A).

Nechajte udalosť A 1- písmeno "B" je napísané na prvej karte, A2- na druhej karte je napísané písmeno "O", A2- na tretej karte - písmeno "L". Potom udalosť A- priesečník udalostí A 1, A2, A 3. v dôsledku toho

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1) = 1/7; ak udalosť A 1 sa stalo, potom na zostávajúcich 6 kartách sa „O“ vyskytuje dvakrát, čo znamená P(A2 |A1)=2/6=1/3. podobne, P(A3 |A1)=2/6=1/3. v dôsledku toho

Definícia. Vývoj A a B, ktoré majú nenulovú pravdepodobnosť, sa nazývajú nezávislé, ak podmienená pravdepodobnosť A za podmienky B sa zhoduje s bezpodmienečnou pravdepodobnosťou A alebo ak je podmienená pravdepodobnosť B za podmienky A sa zhoduje s bezpodmienečnou pravdepodobnosťou B, teda

P(A|B) = P(A) alebo P(B|A) = P(B),

inak udalosti A a B nazývaný závislý.

Veta. Vývoj A a B, ktoré majú nenulovú pravdepodobnosť, sú nezávislé vtedy a len vtedy

P(AB) = P(A) P(B).

Môžeme teda poskytnúť ekvivalentnú definíciu:

Definícia. Vývoj A a B sa nazývajú nezávislé ak P(AB) = P(A) P(B).

Príklad. Z balíčka kariet obsahujúcich n=36 karty, náhodne sa vytiahne jedna karta. Označiť podľa A udalosť zodpovedajúca skutočnosti, že vyťažená mapa bude vrcholom, a B- udalosť zodpovedajúca vzhľadu "dámy". Zistite, či sú udalosti závislé A a B.

P(A) = 9/36 = 1/4, P(B) = 4/36 = 19, P(AB) = 1/36, . Preto tie udalosti A a B nezávislý. podobne, .

Nechaj ALE a AT sú dve udalosti posudzované v tomto teste. V tomto prípade môže výskyt jednej z udalostí ovplyvniť možnosť výskytu ďalšej. Napríklad výskyt udalosti ALE môže ovplyvniť udalosť AT alebo naopak. Na zohľadnenie takejto závislosti niektorých udalostí od iných sa zavádza pojem podmienenej pravdepodobnosti.

Definícia. Ak pravdepodobnosť udalosti AT sa nachádza pod podmienkou, že event ALE sa stala, potom výsledná pravdepodobnosť udalosti AT volal podmienená pravdepodobnosť vývoj AT. Na označenie takejto podmienenej pravdepodobnosti sa používajú nasledujúce symboly: R ALE ( AT) alebo R(AT / ALE).

Poznámka 2. Na rozdiel od podmienenej pravdepodobnosti sa uvažuje aj o „nepodmienenej“ pravdepodobnosti, keď akékoľvek podmienky pre vznik nejakej udalosti AT chýba.

Príklad. Urna obsahuje 5 loptičiek, z toho 3 červené a 2 modré. Postupne sa z nej ťahá jedna loptička s návratom a bez návratu. Nájdite podmienenú pravdepodobnosť vytiahnutia červenej gule druhýkrát za predpokladu, že prvý raz je: a) červená guľa; b) modrá guľa.

Nechajte udalosť ALE kreslí červenú guľu prvýkrát a udalosť AT– vytiahnutie červenej gule po druhýkrát. To je zrejmé R(ALE) = 3/5; potom v prípade, keď sa po prvýkrát vytiahnutá lopta vráti do urny, R(AT) = 3/5. V prípade, že vyžrebovaná loptička nie je vrátená, pravdepodobnosť ťahania červenej gule R(AT) závisí od toho, ktorá loptička bola vyžrebovaná prvýkrát - červená (udal ALE) alebo modrá (udalosť). Potom v prvom prípade R ALE ( AT) = 2/4 a v druhom ( AT) = 3 / 4.

Veta o násobení pravdepodobností udalostí, z ktorých jedna sa odohráva pod podmienkou druhej

Pravdepodobnosť súčinu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, zistenej za predpokladu, že nastala prvá udalosť:

R(A ∙ B) = R(ALE) ∙ R ALE ( AT) . (1.7)

Dôkaz. Skutočne, nech n- celkový počet rovnako pravdepodobných a nezlučiteľných (elementárnych) výsledkov testu. Nechaj to tak n 1 - počet výsledkov, ktoré uprednostňujú udalosť ALE, ktorý sa vyskytuje na začiatku, a m- počet výsledkov, v ktorých sa udalosť vyskytne AT za predpokladu, že udalosť ALE Prišiel. Touto cestou, m je počet výsledkov, ktoré uprednostňujú udalosť AT. Potom dostaneme:

Tie. pravdepodobnosť súčinu niekoľkých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z týchto udalostí podmienenými pravdepodobnosťami ostatných a podmienená pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa počíta za predpokladu, že nastali všetky predchádzajúce udalosti.

Príklad. V tíme 10 športovcov sú 4 majstri športu. Žrebovaním sa z tímu vyberú 3 športovci. Aká je pravdepodobnosť, že všetci vybraní športovci sú majstrami športu?

Riešenie. Zredukujme problém na „urnový“ model, t.j. Predpokladajme, že v urne s 10 loptičkami sú 4 červené loptičky a 6 bielych. Z tejto urny sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky (výber S= 3). Nechajte udalosť ALE spočíva v extrakcii 3 guľôčok. Úlohu možno riešiť dvoma spôsobmi: klasickou schémou a vzorcom (1.9).

Prvá metóda založená na kombinatorike:

Druhá metóda (podľa vzorca (1.9)). Z urny sa vytiahnu 3 loptičky za sebou bez výmeny. Nechaj ALE 1 - prvá vytiahnutá guľa je červená, ALE 2 - druhá vytiahnutá guľa je červená, ALE 3 - tretia vytiahnutá guľa je červená. Nech aj udalosť ALE znamená, že všetky 3 vytiahnuté loptičky sú červené. potom: ALE = ALE 1 ∙ (ALE 2 / ALE 1) ∙ ALE 3 / (ALE 1 ∙ ALE 2), t.j.

Príklad. Nechajte zo sady kariet a, a, r, b, o, t karty sa ťahajú po jednej. Aká je pravdepodobnosť, že dostane slovo " Práca” pri ich postupnom skladaní do jedného riadku zľava doprava?

Nechaj AT- udalosť, pri ktorej sa získa deklarované slovo. Potom pomocou vzorca (1.9) dostaneme:

R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Veta o násobení pravdepodobnosti nadobúda svoju najjednoduchšiu formu, keď je súčin tvorený udalosťami nezávislými na sebe.

Definícia. Udalosť AT volal nezávislý z udalosti ALE ak sa jeho pravdepodobnosť nemení bez ohľadu na to, či udalosť nastala ALE alebo nie. Dve udalosti sa nazývajú nezávislé (závislé), ak výskyt jednej z nich nemení (mení) pravdepodobnosť výskytu druhej. Teda za nie závislé udalosti p(B/A) = R(AT) alebo = R(AT) a pre závislé udalosti R(AT/A)

Udalosť. Priestor elementárnych udalostí. Istá udalosť, nemožná udalosť. Spoločné, nie spoločné akcie. Ekvivalentné udalosti. Kompletná skupina podujatí. Operácie na udalostiach.

Udalosť je fenomén, o ktorom sa dá povedať, že je deje alebo nedeje sa v závislosti od charakteru samotnej udalosti.

Pod elementárne udalosti spojené s konkrétnym testom pochopiť všetky nerozložiteľné výsledky tohto testu. Každú udalosť, ktorá môže nastať v dôsledku tohto testu, možno považovať za určitý súbor elementárnych udalostí.

Priestor elementárnych udalostí sa nazýva ľubovoľná množina (konečná alebo nekonečná). Jeho prvkami sú body (elementárne udalosti). Podmnožiny priestoru elementárnych udalostí sa nazývajú udalosti.

určitú udalosť volá sa udalosť, ktorá v dôsledku tohto testu určite nastane; (označené E).

Nemožná udalosť udalosť sa nazýva taká udalosť, ktorá je výsledkom daného testu nemôže sa stať; (označené U). Napríklad výskyt jedného zo šiestich bodov počas jedného hodu kocky- spoľahlivá udalosť a nie je možné dosiahnuť 8 bodov.

Dve udalosti sa nazývajú kĺb(kompatibilný) v danom zážitku, ak výskyt jedného z nich nevylučuje výskyt druhého.

Dve udalosti sa nazývajú nezlučiteľné(nezlučiteľné) v danej skúške, ak sa nemôžu vyskytnúť spolu v tej istej skúške. O niekoľkých udalostiach sa hovorí, že sú nekompatibilné, ak sú párovo nekompatibilné.

Začiatok formulára

Koniec formulára

Téma číslo 2. Axiomatická definícia pravdepodobnosti. Klasická, štatistická, geometrická definícia pravdepodobnosti udalosti. Pravdepodobnostné vlastnosti. Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností. nezávislé udalosti. Podmienená pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna z udalostí. Vzorec úplnej pravdepodobnosti. Bayesov vzorec

Číselná miera miery objektívnej možnosti výskytu udalosti sa nazýva pravdepodobnosť udalosti. Táto definícia, ktorá kvalitatívne odráža pojem pravdepodobnosti udalosti, nie je matematická. Aby to tak bolo, je potrebné ho kvalitatívne definovať.

Podľa klasická definícia pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu pre ňu priaznivých prípadov k celkovému počtu prípadov, to znamená:

Kde P(A) je pravdepodobnosť udalosti A.

Počet prípadov priaznivých pre udalosť A

Celkový počet prípadov.

Štatistická definícia pravdepodobnosti:

Štatistická pravdepodobnosť udalosti A je relatívna frekvencia výskytu tejto udalosti v vykonaných testoch, to znamená:

Kde je štatistická pravdepodobnosť udalosti A.

Relatívna frekvencia (frekvencia) udalosti A.

Počet pokusov, v ktorých sa objavili udalosti A

Celkový počet pokusov.

Na rozdiel od „matematickej“ pravdepodobnosti, uvažovanej v klasickej definícii, štatistická pravdepodobnosť je charakteristikou experimentálnej, experimentálnej.

Ak existuje podiel prípadov, ktoré uprednostňujú udalosť A, ktorý je určený priamo, bez akýchkoľvek pokusov, to znamená podiel skutočne vykonaných pokusov, v ktorých sa udalosť A objavila.

Geometrická definícia pravdepodobnosti:

Geometrická pravdepodobnosť udalosti A je pomer miery oblasti podporujúcej výskyt udalosti A k miere všetkých oblastí, to znamená:

V jednorozmernom prípade:

Je potrebné odhadnúť pravdepodobnosť zasiahnutia bodu na CD/

Ukazuje sa, že táto pravdepodobnosť nezávisí od umiestnenia CD na segmente AB, ale závisí len od jeho dĺžky.

Pravdepodobnosť zasiahnutia bodu nezávisí od tvarov alebo od umiestnenia B na A, ale závisí iba od oblasti tohto segmentu.

Podmienená pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť sa nazýva podmienené , ak sa počíta za určitých podmienok a označuje sa:

Toto je pravdepodobnosť udalosti A. Vypočítava sa za podmienky, že udalosť B už nastala.

Príklad. Urobíme test, vyberieme z balíčka dve karty: Prvá pravdepodobnosť je bezpodmienečná.

Vypočítame pravdepodobnosť vytiahnutia esa z balíčka:

Vypočítame výskyt 2-es z balíčka:

A*B - spoločný výskyt udalostí

– veta o násobení pravdepodobnosti

Dôsledok:

Násobiaca veta pre spoločný výskyt udalostí má tvar:

To znamená, že každá nasledujúca pravdepodobnosť sa vypočíta s prihliadnutím na to, že všetky predchádzajúce podmienky už nastali.

Nezávislosť udalosti:

Dve udalosti sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej nie je v rozpore s výskytom druhej.

Napríklad, ak sa esá vyťahujú opakovane z balíčka, potom sú navzájom nezávislé. To znamená, že sa karta pozrela a vrátila späť do balíčka.

Spoločné a nespoločné podujatia:

kĺb 2 udalosti sa volajú, ak výskyt jednej z nich nie je v rozpore s výskytom druhej.

Veta o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí:

Pravdepodobnosť výskytu jednej z dvoch spoločných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez ich spoločného výskytu.

Na tri spoločné podujatia:

Udalosti sa nazývajú nekonzistentné, ak sa žiadne dve z nich nemôžu objaviť súčasne ako výsledok jediného testu náhodného experimentu.

Veta: Pravdepodobnosť výskytu jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Pravdepodobnosť súčtu udalostí:

Pravdepodobná veta sčítania:

Pravdepodobnosť súčtu konečného počtu nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Dôsledok 1:

Súčet pravdepodobností udalostí tvoriacich úplnú skupinu sa rovná jednej:

Dôsledok 2:

komentár: Malo by sa zdôrazniť, že uvažovaná adičná veta je použiteľná len pre nezlučiteľné udalosti.

Pravdepodobnosť opačných udalostí:

Naproti nazývajú sa dve jedinečné možné udalosti, ktoré tvoria kompletnú skupinu. Jedna z dvoch opačných udalostí je označená ALE, druhý - cez .

Príklad: Zasiahnutie a zmiznutie pri streľbe na cieľ sú opačné udalosti. Ak je A hit, potom chyba.

Veta: Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa rovná jednej:

Poznámka 1: Ak pravdepodobnosť jednej z dvoch opačných udalostí označíme p, potom pravdepodobnosť druhej udalosti označíme q Teda na základe predchádzajúcej vety:

Poznámka 2: Pri riešení úloh na nájdenie pravdepodobnosti udalosti A je často výhodné najskôr vypočítať pravdepodobnosť udalosti a potom nájsť požadovanú pravdepodobnosť pomocou vzorca:

Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej udalosti:

Predpokladajme, že ako výsledok experimentu sa môže objaviť nejaká časť alebo žiadna udalosť.

Veta: Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej udalosti z množiny nezávislých udalostí sa rovná rozdielu medzi jednotou a ich pravdepodobnosťou, že sa udalosti nevyskytnú.

Vzorec celkovej pravdepodobnosti vám umožňuje nájsť pravdepodobnosť udalosti A, ktorý sa môže vyskytnúť len pri každom z n vzájomne sa vylučujúce udalosti, ktoré tvoria ucelený systém, ak sú známe ich pravdepodobnosti, a podmienené pravdepodobnosti vývoj A vzhľadom na každú z udalostí systému sa rovnajú .

Udalosti sa nazývajú aj hypotézy, navzájom sa vylučujú. Preto v literatúre nájdete aj ich označenie nie podľa písmen B, ale s listom H(hypotéza).

Na vyriešenie problémov s takýmito podmienkami je potrebné zvážiť 3, 4, 5 alebo vo všeobecnom prípade n možnosť udalosti A- s každou udalosťou.

Pomocou viet o sčítaní a násobení pravdepodobností získame súčet súčinov pravdepodobnosti každej z udalostí systému podľa podmienená pravdepodobnosť vývoj A pre každú udalosť v systéme. Teda pravdepodobnosť udalosti A možno vypočítať podľa vzorca

alebo všeobecne

,

ktorá sa volá vzorec celkovej pravdepodobnosti .

Vzorec celkovej pravdepodobnosti: príklady riešenia problému

Príklad 1 Sú tri identicky vyzerajúce urny: v prvej sú 2 biele gule a 3 čierne, v druhej 4 biele a jedna čierna, v tretej tri biele gule. Niekto náhodne pristúpi k jednej z urien a vyberie z nej jednu loptičku. Využiť vzorec celkovej pravdepodobnosti, nájdite pravdepodobnosť, že lopta je biela.

Riešenie. Udalosť A- vzhľad bielej gule. Predkladáme tri hypotézy:

Prvá urna vybraná;

Vyberie sa druhá urna;

Tretia urna bola vybraná.

Podmienené pravdepodobnosti udalostí A pre každú z hypotéz:

, , .

V dôsledku toho použijeme vzorec celkovej pravdepodobnosti - požadovaná pravdepodobnosť:

.

Príklad 2 V prvom závode sa z každých 100 žiaroviek vyrobí v priemere 90 štandardných žiaroviek, v druhom - 95, v treťom - 85 a výrobky týchto závodov tvoria 50%, 30% a 20%, respektíve všetkých elektrických žiaroviek dodávaných do obchodov v určitej oblasti. Zistite pravdepodobnosť nákupu štandardnej žiarovky.

Riešenie. Označme pravdepodobnosť získania štandardnej žiarovky ako A a udalosti, že zakúpená žiarovka bola vyrobená v prvej, druhej a tretej továrni, resp. Podľa podmienky sú známe pravdepodobnosti týchto udalostí: , , a podmienené pravdepodobnosti udalosti A o každom z nich: , , . Toto sú pravdepodobnosti získania štandardnej žiarovky za predpokladu, že je vyrobená v prvom, druhom a treťom závode.

Udalosť A nastane, ak dôjde k udalosti resp K- žiarovka je vyrobená v prvej továrni a je štandardná, alebo event L- žiarovka je vyrobená v druhom závode a je štandardná, alebo event M- žiarovka je vyrobená v tretej továrni a je štandardná. Ďalšie možnosti vzniku udalosti Ač. Preto udalosť A je súhrn udalostí K, L a M ktoré sú nezlučiteľné. Aplikovaním vety o sčítaní pravdepodobnosti reprezentujeme pravdepodobnosť udalosti A ako

a vetou o násobení pravdepodobnosti dostaneme

teda špeciálny prípad vzorca celkovej pravdepodobnosti.

Dosadením pravdepodobností do ľavej strany vzorca získame pravdepodobnosť udalosti A :

Príklad 3 Lietadlo pristáva na letisku. Ak to počasie dovolí, pilot s lietadlom pristane, pričom okrem prístrojov využíva aj vizuálne pozorovanie. V tomto prípade je pravdepodobnosť úspešného pristátia . Ak je letisko zatiahnuté nízkou oblačnosťou, tak pilot pristáva s lietadlom, pričom sa orientuje len podľa prístrojov. V tomto prípade je pravdepodobnosť úspešného pristátia ; . Zariadenia, ktoré poskytujú slepé pristátie, majú spoľahlivosť (pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky) P. V prípade nízkej oblačnosti a zlyhaných slepých pristávacích prístrojov je pravdepodobnosť úspešného pristátia . . Štatistiky ukazujú, že v k% pristátí je letisko pokryté nízkou oblačnosťou. Nájsť úplná pravdepodobnosť udalosti A- bezpečné pristátie lietadla.

Riešenie. hypotézy:

Nie je tam nízka oblačnosť;

Je nízka oblačnosť.

Pravdepodobnosť týchto hypotéz (udalostí):

;

Podmienená pravdepodobnosť.

Podmienená pravdepodobnosť sa opäť zistí vzorcom pre celkovú pravdepodobnosť s hypotézami

Slepé pristávacie zariadenia fungujú;

Slepé pristávacie prístroje zlyhali.

Pravdepodobnosti týchto hypotéz sú:

Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti

Príklad 4 Zariadenie môže pracovať v dvoch režimoch: normálny a abnormálny. Normálny režim sa pozoruje v 80% všetkých prípadov prevádzky zariadenia a abnormálny - v 20% prípadov. Pravdepodobnosť zlyhania zariadenia v určitom čase t rovná 0,1; v abnormálnych 0,7. Nájsť plná pravdepodobnosť porucha zariadenia v čase t.

Riešenie. Pravdepodobnosť zlyhania zariadenia opäť označujeme ako A. Takže pokiaľ ide o prevádzku zariadenia v každom režime (udalosti), pravdepodobnosti sú známe podľa podmienky: pre normálny režim je to 80% (), pre abnormálny režim - 20% (). Pravdepodobnosť udalosti A(to znamená zlyhanie zariadenia) v závislosti od prvej udalosti (normálny režim) je 0,1 (); v závislosti od druhej udalosti (abnormálny režim) - 0,7 ( ). Tieto hodnoty dosadíme do vzorca celkovej pravdepodobnosti (t. j. súčtu súčinov pravdepodobnosti každej udalosti systému a podmienenej pravdepodobnosti udalosti A ohľadom každej udalosti systému) a máme požadovaný výsledok.