Teorija iger. Teorija iger: uvod Ustvarjalci matematične teorije iger so

Predložitev vašega dobrega dela v bazo znanja je preprosta. Uporabite spodnji obrazec

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki bazo znanja uporabljajo pri študiju in delu, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno dne http://www.allbest.ru/

MINISTRSTVO ZA KMETIJSTVO RUSKE FEDERACIJE

FSBEI HPE "DRŽAVNA AGRARNA UNIVERZA VORONEZH PO IMENU CESARJA PETRA I"

ODDELEK ZA STATISTIKO IN ANALIZO GOSPODARSKE DEJAVNOSTI KMETIJSKIH INDUSTRIJSKIH PODJETIJ

Na temo: "Matematična teorija iger"

Izpolnil: študent BF-2-8

Popova Lilia

Preverila: Zhurkina Tatyana

Aleksandrovna

Voronež 2014

Uvod

1. poglavje: Predstavitev iger

1.1 Obširna oblika

1.2 Normalna oblika

1.3 Značilnosti iger

Poglavje 2. Uporaba teorije iger

2.1 Opis in modeliranje

2.2 Normativna analiza (identifikacija najboljšega rezultata)

Poglavje 3. Vrste iger

3.1 Sodelovanje in nekooperativnost

3.2 Simetrično in asimetrično

3.3 Vzporedni in zaporedni

3.4 Igre z neskončnim številom korakov

3.5 Diskretne in kontinuirane igre

Seznam uporabljene literature

Uvod

Theomigre riya-- matematična metoda za preučevanje optimalnih strategij v igrah. Igra je proces, v katerem sodelujeta dve ali več strani, ki se borita za uresničitev svojih interesov. Vsaka stran ima svoj cilj in uporablja določeno strategijo, ki lahko vodi do zmage ali poraza – odvisno od vedenja drugih igralcev. Teorija iger pomaga izbrati najboljše strategije ob upoštevanju idej o drugih udeležencih, njihovih virih in možnih dejanjih.

Optimalne rešitve ali strategije v matematičnem modeliranju so bile predlagane že v 18. stoletju. Problemi proizvodnje in oblikovanja cen v pogojih oligopola, ki so kasneje postali učbeniški primeri teorije iger, so bili obravnavani v 19. stoletju. A. Cournot in J. Bertrand. V začetku 20. stol. E. Lasker, E. Zermelo, E. Borel so predstavili idejo matematične teorije navzkrižja interesov.

Matematična teorija iger izvira iz neoklasične ekonomije. Matematični vidiki in aplikacije teorije so bili prvič opisani v klasični knjigi Johna von Neumanna in Oscarja Morgensterna iz leta 1944, Teorija iger in ekonomsko vedenje. To področje matematike je našlo določen odraz v javni kulturi. Leta 1998 je ameriška pisateljica in novinarka Sylvia Nasar izdala knjigo o usodi Johna Nasha, Nobelovega nagrajenca za ekonomijo in znanstvenika s področja teorije iger; leta 2001 pa je bil po knjigi posnet film "Čudoviti um". Nekatere ameriške televizijske oddaje, kot so Friend or Foe, Alias ​​​​ali NUMB3RS, se občasno sklicujejo na teorijo v svojih epizodah.

1. poglavje: Predstavitev iger

Igre so strogo definirani matematični objekti. Igro sestavljajo igralci, nabor strategij za vsakega igralca in navedba dobitkov oz. plačila, igralci za vsako kombinacijo strategij. Večino sodelovalnih iger opisuje značilna funkcija, medtem ko se pri drugih tipih pogosteje uporablja običajna ali ekstenzivna oblika. Značilnosti igre kot matematičnega modela situacije:

1. prisotnost več udeležencev;

2. negotovost v vedenju udeležencev, povezana s prisotnostjo več možnosti za vsakega od njih;

3. razlika (neskladje) interesov udeležencev;

4. medsebojna povezanost vedenja udeležencev, saj je rezultat, ki ga doseže vsak izmed njih, odvisen od vedenja vseh udeležencev;

5. prisotnost pravil obnašanja, ki so znana vsem udeležencem.

1.1 Obsežna oblika

Igre v obsežni ali razširjeni obliki so predstavljene v obliki usmerjenega drevesa, kjer vsako vozlišče ustreza situaciji, ko igralec izbere svojo strategijo. Vsakemu igralcu je dodeljena celotna raven oglišč. Plačila so zapisana na dnu drevesa, pod vsakim listna konica.

Obsežna oblika je zelo vizualna in je še posebej uporabna za predstavitev iger z več kot dvema igralcema in iger z zaporednimi potezami. Če udeleženci naredijo istočasne poteze, so ustrezna oglišča povezana s pikčasto črto ali obrobljena s polno črto.

1.2 Normalna oblika

Igra je opisana v običajni ali strateški obliki plačilna matrika. Vsaka stran (natančneje, dimenzija) matrike je igralec, vrstice določajo strategije prvega igralca, stolpci pa strategije drugega. Na presečišču obeh strategij lahko vidite dobitke, ki jih bodo prejeli igralci. V primeru na desni, če igralec 1 izbere prvo strategijo, drugi igralec pa drugo strategijo, potem na presečišču vidimo (?1, ?1), kar pomeni, da kot rezultat poteze oba igralca izgubil eno točko.

Igralci so izbrali strategije z največjim rezultatom zase, vendar so izgubili zaradi nepoznavanja poteze drugega igralca. Običajno so igre predstavljene v običajni obliki, v kateri se izvajajo poteze istočasno ali pa se vsaj domneva, da se vsi igralci ne zavedajo, kaj počnejo drugi udeleženci.

1.3 Značilna funkcija

Pri sodelovalnih igrah s prenosljivo uporabnostjo, to je možnostjo prenosa sredstev z enega igralca na drugega, ni mogoče uporabiti koncepta posamezna plačila. Namesto tega se uporablja tako imenovana značilna funkcija, ki določa izplačilo vsake koalicije igralcev. Predpostavimo, da je dobiček prazne koalicije enak nič.

Osnovo za ta pristop je mogoče najti v knjigi von Neumanna in Morgensterna. Ob preučevanju običajne oblike koalicijskih iger so sklepali, da če igra z dvema stranema tvori koalicijo C, potem v koaliciji nasprotujejo N \ C. Je kot igra za dva igralca. Ker pa je možnosti za možne koalicije veliko (in sicer 2 N, Kje N-- število igralcev), nato dobitek za C nekaj jih bo značilna količina, odvisno od sestave koalicije. Formalno je igra v tej obliki (imenovana tudi igra TU) predstavljena s parom (N, v), Kje N-- nabor vseh igralcev in v : 2 N > R je značilna funkcija.

Ta oblika predstavitve se lahko uporablja za vse igre, vključno s tistimi brez prenosljive uporabnosti. Zdaj obstajajo načini za pretvorbo katere koli igre iz normalne oblike v značilno obliko, vendar obratna transformacija ni mogoča v vseh primerih.

igra obsežen kooperativni sekvenčni

Poglavje 2. Uporaba teorije iger

Teorija iger kot eden izmed pristopov v uporabni matematiki se uporablja za preučevanje obnašanja ljudi in živali v različnih situacijah. Sprva se je teorija iger začela razvijati v okviru ekonomske znanosti, ki je omogočila razumevanje in razlago vedenja gospodarskih subjektov v različnih situacijah. Pozneje se je obseg teorije iger razširil na druge družbene vede; Teorija iger se trenutno uporablja za razlago človeškega vedenja v politologiji, sociologiji in psihologiji. Analizo teorije iger je prvič uporabil za opis vedenja živali Ronald Fisher v tridesetih letih 20. stoletja (čeprav je celo Charles Darwin uporabil ideje teorije iger brez formalne utemeljitve). Izraz "teorija iger" se ne pojavlja v delu Ronalda Fisherja. Kljub temu je bilo delo v bistvu izvedeno v skladu s teoretično analizo iger. Razvoj ekonomije je uporabil John Maynard Smith v svoji knjigi Evolucija in teorija iger. Teorija iger se ne uporablja samo za napovedovanje in razlago vedenja; Teorijo iger so poskušali uporabiti za razvoj teorij etičnega ali standardnega vedenja. Ekonomisti in filozofi so uporabili teorijo iger za boljše razumevanje dobrega vedenja. Na splošno je prve teoretične argumente, ki pojasnjujejo pravilno vedenje, izrazil Platon.

2.1 Opis in modeliranje

Teorija iger je bila prvotno uporabljena za opisovanje in modeliranje vedenja človeških populacij. Nekateri raziskovalci verjamejo, da lahko z določitvijo ravnovesja ustreznih iger napovejo obnašanje človeških populacij v situacijah resničnega spopada. Ta pristop k teoriji iger je bil nedavno kritiziran iz več razlogov. Prvič, predpostavke, uporabljene pri modeliranju, so v resničnem življenju pogosto kršene. Raziskovalci lahko domnevajo, da igralci izberejo vedenje, ki maksimira njihovo skupno korist (model ekonomskega človeka), vendar v praksi človeško vedenje pogosto ne ustreza tej predpostavki. Obstaja veliko razlag za ta pojav - iracionalnost, simulacija razprave in celo različni motivi igralcev (vključno z altruizmom). Avtorji modelov teorije iger temu nasprotujejo z besedami, da so njihove predpostavke podobne podobnim predpostavkam v fiziki. Torej, tudi če njihove predpostavke niso vedno izpolnjene, lahko teorijo iger uporabimo kot razumen idealen model, podoben enakim modelom v fiziki. Teorija iger pa je prejela nov val kritik, ko so poskusi razkrili, da ljudje v praksi ne sledijo ravnotežnim strategijam. Na primer, v igrah "Centipede" in "Dictator" udeleženci pogosto ne uporabljajo strateškega profila, ki predstavlja Nashevo ravnotežje. Razprave o pomenu takšnih poskusov se nadaljujejo. Drugo stališče je, da Nashevo ravnovesje ni napoved pričakovanega vedenja, ampak samo pojasnjuje, zakaj populacije, ki so že v Nashevem ravnovesju, ostanejo v tem stanju. Vendar ostaja odprto vprašanje, kako te populacije dosežejo Nashevo ravnovesje. Nekateri raziskovalci so se za odgovor na to vprašanje obrnili na evolucijsko teorijo iger. Modeli evolucijske teorije iger predpostavljajo omejeno racionalnost ali iracionalnost igralcev. Kljub imenu se evolucijska teorija iger ne ukvarja le in ne toliko z vprašanji naravne selekcije bioloških vrst. Ta veja teorije iger preučuje modele biološke in kulturne evolucije ter modele učnega procesa.

2.2 Regulativna analiza

Po drugi strani pa mnogi raziskovalci na teorijo iger ne gledajo kot na orodje za napovedovanje vedenja, temveč kot na orodje za analizo situacij, da bi prepoznali najboljše vedenje za racionalnega igralca. Ker Nashevo ravnovesje vključuje strategije, ki so najboljši odziv na vedenje drugega igralca, se zdi uporaba koncepta Nashevega ravnotežja za izbiro vedenja povsem razumna. Vendar je bila ta uporaba teoretičnih modelov iger tudi kritizirana. Prvič, v nekaterih primerih je za igralca dobičkonosno izbrati strategijo, ki ni del ravnotežja, če pričakuje, da tudi drugi igralci ne bodo sledili ravnotežnim strategijam. Drugič, znana igra "Prisoner's Dilemma" nam omogoča, da damo še en protiprimer. V Zapornikovi dilemi zasledovanje lastnega interesa povzroči, da se oba igralca znajdeta v slabšem položaju, kot če bi žrtvovala svoj interes.

Poglavje 3. Vrste iger

3.1 Kooperativni in nekooperativni

Igra se imenuje kooperativna, oz koalicija, če se lahko igralci združijo v skupine, prevzamejo nekatere obveznosti do drugih igralcev in uskladijo njihova dejanja. To se razlikuje od iger brez sodelovanja, v katerih mora vsak igrati zase. Zabavne igre so redko kooperativne, vendar takšni mehanizmi v vsakdanjem življenju niso neobičajni.

Pogosto se domneva, da je tisto, kar dela sodelovalne igre drugačne, sposobnost igralcev, da komunicirajo med seboj. Na splošno to ni res. Obstajajo igre, kjer je komunikacija dovoljena, vendar igralci zasledujejo osebne cilje in obratno.

Od obeh vrst iger nekooperativne opisujejo situacije zelo podrobno in dajejo natančnejše rezultate. Zadruge upoštevajo proces igre kot celoto. Poskusi združitve obeh pristopov so dali precejšnje rezultate. Tako imenovani program Nash je že našel rešitve za nekatere kooperativne igre kot ravnotežne situacije nekooperativnih iger.

Hibridne igre vključujejo elemente kooperativnih in nekooperativnih iger. Na primer, igralci lahko oblikujejo skupine, vendar bo igra potekala v slogu brez sodelovanja. To pomeni, da bo vsak igralec zasledoval interese svoje skupine, hkrati pa poskušal doseči osebno korist

3.2 Simetrično in asimetrično

Igra bo simetrična, če so ustrezne strategije igralcev enake, to pomeni, da imajo enaka plačila. Z drugimi besedami, če lahko igralci zamenjajo mesta in se njihovi dobitki za iste poteze ne bodo spremenili. Veliko preučevanih iger za dva igralca je simetričnih. To so zlasti: "Prisoner's Dilemma", "Deer Hunt", "Hawks and Doves", "Asymmetrical games" lahko navedemo "Ultimatum" ali "Dictator".

3.3 Vzporedno in zaporedno

V vzporednih igrah se igralci premikajo hkrati ali pa se vsaj ne zavedajo izbire drugih, dokler Vse se ne bodo premaknili. Pri zaporedni, oz dinamično V igrah lahko udeleženci izvajajo poteze v vnaprej določenem ali naključnem vrstnem redu, hkrati pa prejmejo nekaj informacij o prejšnjih dejanjih drugih. Te informacije so morda celo ne čisto popolno, na primer, lahko igralec ugotovi, da je njegov nasprotnik iz desetih svojih strategij zagotovo ni izbral petič, ne da bi izvedeli kaj o drugih.

O razlikah v predstavitvi vzporednih in zaporednih iger smo govorili zgoraj. Prve so običajno predstavljene v običajni, druge pa v ekstenzivni obliki.

3.4 Igre z neskončnim številom korakov

Igre v resničnem svetu ali igre, ki se preučujejo v ekonomiji, ponavadi trajajo dokončnoštevilo potez. Matematika ni tako omejena in še posebej teorija množic se ukvarja z igrami, ki se lahko nadaljujejo v nedogled. Poleg tega zmagovalec in njegov dobitek nista določena do konca vseh potez.

Naloga, ki se običajno postavlja v tem primeru, ni najti optimalno rešitev, ampak najti vsaj zmagovalna strategija. Z uporabo aksioma izbire je mogoče dokazati, da včasih, tudi za igre s popolnimi informacijami in dvema izidoma - "zmaga" ali "izguba" - nobeden od igralcev nima takšne strategije. Obstoj zmagovalnih strategij za nekatere posebej zasnovane igre igra pomembno vlogo v deskriptivni teoriji množic.

3.5 Diskretno in kontinuirano

Večino preučenih iger diskretna: imajo končno število igralcev, potez, dogodkov, izidov itd. Vendar pa je te komponente mogoče razširiti na veliko realnih števil. Igre, ki vključujejo takšne elemente, se pogosto imenujejo diferencialne igre. Povezani so z nekakšno materialno lestvico (običajno časovno lestvico), čeprav so lahko dogodki, ki se dogajajo v njih, diskretne narave. Diferencialne igre so obravnavane tudi v optimizacijski teoriji in najdejo svojo uporabo v tehniki, tehnologiji in fiziki.

Seznam uporabljene literature

· Petrosjan L. A. Zenkevič N.A., Semina E.A. Teorija iger: Učbenik. priročnik za un-com. - M.: Višje. šola, Knjižna hiša "Univerza", 1998. -- Str. 304

· Mazalov V.V. Matematična teorija iger in aplikacije. - Sankt Peterburg - Moskva - Krasnodar: Lan, 2010. - 446 str.

Objavljeno na Allbest.ru

Podobni dokumenti

Zgodovina razvoja teorije iger kot matematične metode za preučevanje optimalnih strategij v igrah. Predstavitev iger: obsežna in običajna oblika. Razvrstitev in vrste matematičnih iger, njihove značilnosti. Splošni koncept in glavni cilji metaigre.

povzetek, dodan 29.12.2010


Koncept in smeri raziskovanja naključnih spremenljivk v matematiki, njihova klasifikacija in vrste: diskretne in zvezne. Njihove glavne numerične značilnosti, posebnosti in lastnosti. Zakoni porazdelitve naključnih spremenljivk, njihova vsebina in vloga.

predstavitev, dodana 19.07.2015


Grafična interpretacija množic in operacij na njih. Matematična logika, Boolov algebra. Popolna konjunktivna normalna oblika. Ekvivalentne formule in njihov dokaz. Popolnost sistema logičnih funkcij. Predikatna logika, teorija grafov.

predavanje, dodano 01.12.2009


Osnovne metode formaliziranega opisa in analize naključnih pojavov, obdelava in analiza rezultatov fizikalnih in numeričnih eksperimentov v teoriji verjetnosti. Osnovni pojmi in aksiomi teorije verjetnosti. Osnovni koncepti matematične statistike.

potek predavanj, dodan 08.04.2011


Pravila za izvajanje in izpolnjevanje testov za dopisni oddelek. Naloge in primeri reševanja nalog iz matematične statistike in teorije verjetnosti. Tabele referenčnih podatkov porazdelitev, gostota standardne normalne porazdelitve.

priročnik za usposabljanje, dodan 29.11.2009


Teorija verjetnosti je veda o prepričanju, da množični naključni dogodki temeljijo na determinističnih vzorcih. Matematični dokazi teorije. Aksiomatika teorije verjetnosti: definicije, prostorska verjetnost, pogojna verjetnost.

predavanje, dodano 4.2.2008


Teorija verjetnosti kot matematična veda, ki proučuje vzorce v množično homogenih primerih, pojavih in procesih, subjektu, osnovnih pojmih in elementarnih dogodkih. Ugotavljanje verjetnosti dogodka. Analiza glavnih izrekov teorije verjetnosti.

goljufija, dodana 24.12.2010


Statistična, aksiomatska in klasična definicija verjetnosti. Diskretne naključne spremenljivke. Laplaceov in Poissonov mejni izrek. Funkcija porazdelitve verjetnosti za multivariatne naključne spremenljivke. Bayesova formula. Točkovna ocena variance.

goljufija, dodana 4. 5. 2015


Verjetnost in njena splošna definicija. Verjetnostni izrek seštevanja in množenja. Diskretne naključne spremenljivke in njihove numerične značilnosti. Zakon velikih števil. Statistična porazdelitev vzorca. Elementi korelacijske in regresijske analize.

potek predavanj, dodan 13.06.2015


Bistvo distribucijskega zakona in njegova praktična uporaba pri reševanju statističnih problemov. Določanje variance naključne spremenljivke, matematičnega pričakovanja in standardnega odklona. Značilnosti enosmerne analize variance.

1. Osnovni pojmi teorije iger in njihova razvrstitev.................................. 4

1.1. Predmet in naloge teorije iger............................................. ......................................................... 4

1.2. Terminologija in klasifikacija iger................................................. ....... ................................... 7

1.3. Primeri iger..................................................... .... .............................................. .......... .......... 12

Testi ................................................. ......................................................... ........................................ 15

2. Igre Matrix............................................. ...... ............................................ ............ ... 16

2.1. Opis matrične igre................................................. ......................................................... 16

Teorija iger je matematična teorija konfliktnih situacij.

Namen teorije iger - razvoj priporočil za razumno vedenje udeležencev v konfliktu (določitev optimalnih strategij vedenja igralcev).

Igra se od pravega konflikta razlikuje po tem, da se igra po določenih pravilih. Ta pravila določajo zaporedje potez, količino informacij, ki jih ima vsaka stran o vedenju druge strani, in izid igre glede na trenutno situacijo. Pravila določajo tudi konec igre, ko je določeno zaporedje potez že izvedeno in nobena več potez ni dovoljena.

Teorija iger ima, tako kot vsak matematični model, svoje omejitve. Eden od njih je predpostavka o popolni (»idealni«) racionalnosti nasprotnikov. V resničnem konfliktu je pogosto optimalna strategija ugibati, kako je sovražnik »neumen«, in to neumnost uporabiti sebi v prid.

Druga pomanjkljivost teorije iger je, da mora vsak igralec poznati vse možne akcije (strategije) nasprotnika, ne ve se le, katero od njih bo uporabil v dani igri. V resničnem spopadu običajno ni tako: seznam vseh možnih sovražnikovih strategij je natančno neznan in najboljša rešitev v konfliktni situaciji bo pogosto preseči meje sovražniku znanih strategij, tj. »omamite« z nečim povsem novim, nepredvidenim.

Teorija iger ne vključuje elementov tveganja, ki neizogibno spremljajo razumne odločitve v resničnih konfliktih. Določa najbolj previdno, "pozavarovalno" vedenje strani v konfliktu.

Poleg tega se v teoriji iger najdejo optimalne strategije na podlagi enega kazalnika (merila). V praktičnih situacijah je pogosto treba upoštevati ne eno, ampak več številčnih meril. Strategija, ki je optimalna za en indikator, morda ni optimalna za druge.

Če se zavedamo teh omejitev in se torej ne držimo slepo priporočil, ki jih dajejo teorije iger, je še vedno mogoče razviti povsem sprejemljivo strategijo za številne resnične konfliktne situacije.

Trenutno potekajo znanstvene raziskave, katerih cilj je razširiti področja uporabe teorije iger.

1.2. Terminologija in klasifikacija iger

V teoriji iger se predpostavlja, da je igra sestavljena iz premika , ki jih izvajajo igralci hkrati ali zaporedno.

Obstajajo poteze osebno in naključno . Premik se imenuje osebno , če jo igralec zavestno izbere iz nabora možnih možnosti dejanj in jo izvede (na primer katera koli poteza v šahovski igri). Premik se imenuje naključno , če njegove izbire ne opravi igralec, temveč nek naključni izbirni mehanizem (na primer na podlagi rezultatov metanja kovanca).

Imenuje se niz potez, ki jih igralci naredijo od začetka do konca igre stranka .

Eden od osnovnih konceptov teorije iger je koncept strategije. Strategija Igralec je niz pravil, ki določajo izbiro akcije za vsako osebno potezo, odvisno od situacije, ki se pojavi med igro. Pri enostavnih igrah (z eno potezo), ko lahko igralec naredi samo eno potezo v vsaki igri, pojma strategije in možnega poteka dejanj sovpadata. V tem primeru nabor igralčevih strategij zajema vsa njegova možna dejanja in vse možne za igralca i akcija je njegova strategija. V zapletenih (večkratnih) igrah se pojma "možnost možnih dejanj" in "strategija" lahko razlikujeta.

Igralčeva strategija se imenuje optimalna, če igralcu zagotavlja največjo možno povprečno zmago ali najmanjšo možno povprečno izgubo, ko se igra večkrat ponovi, ne glede na to, katere strategije uporablja nasprotnik. Lahko se uporabijo tudi drugi kriteriji optimalnosti.

Možno je, da strategija, ki zagotavlja največji dobiček, nima druge pomembne predstavitve optimalnosti, kot je stabilnost (ravnovesje) rešitve. Rešitev igre je stabilna (ravnotežna), če strategije, ki ustrezajo tej rešitvi, tvorijo situacijo, za katero nihče od igralcev ne želi spremeniti.

Naj ponovimo, da je naloga teorije iger iskanje optimalnih strategij.

Razvrstitev iger je prikazana na sl. 1.1.

1.Odvisno o vrstah potez Igre delimo na strateške in igralne. Igre na srečo igre so sestavljene le iz naključnih potez - teorija iger se z njimi ne ukvarja. Če poleg naključnih potez obstajajo osebne poteze ali so vse poteze osebne, se takšne igre imenujejo strateški .

2. Odvisno od števila udeležencev Igre delimo na parne in večkratne. V parni sobi število udeležencev v igri je dva, v množini - več kot dva.

3. Udeleženci v večkratni igri lahko tvorijo koalicije, tako stalne kot začasne. Po značaju odnosov med igralci delimo igre na nekooperativne, koalicijske in kooperativne.

Nekoalicijski To so igre, v katerih igralci nimajo pravice do sklepanja dogovorov ali sklepanja koalicij, cilj vsakega igralca pa je doseči čim večji posamični dobitek.

Igre, pri katerih so dejanja igralcev usmerjena v čim večji dobitek skupin (koalicij) brez njihove kasnejše razdelitve med igralce, se imenujejo koalicija .

https://pandia.ru/text/78/553/images/image002_69.gif" width="509" height="75">

https://pandia.ru/text/78/553/images/image006_35.gif" width="509" height="108">

riž. 1.1. Razvrstitev iger

Izid zadruga Igra je delitev koalicijskih dobitkov, ki ne nastanejo kot posledica določenih dejanj igralcev, temveč kot rezultat njihovih vnaprej določenih dogovorov.

V skladu s tem se v kooperativnih igrah ne primerjajo situacije po preferencah, kot je to v primeru nekooperativnih iger, ampak delitve; in ta primerjava ni omejena na upoštevanje posameznih dobitkov, ampak je bolj zapletena.

4. Po številu strategij za vsakega igralca so igre razdeljene na končne (število strategij za vsakega igralca je končno) in neskončno (nabor strategij za vsakega igralca je neskončen).

5. Po količini informacij , na voljo igralcem glede preteklih potez, igre delimo na igre z popolne informacije (vse informacije o prejšnjih selitvah so na voljo) in nepopolne informacije . Primeri iger s popolnimi informacijami so šah, dama itd.

6. Po vrsti opisa igre delimo na položajne igre (oz. igre v razširjeni obliki) in igre v običajni obliki. Pozicijski igre so določene v obliki igralnega drevesa. Toda morebitna pozicijska igra se lahko zmanjša v normalno obliko , pri kateri vsak igralec naredi le eno samostojno potezo. V položajnem V igrah se poteze izvedejo v ločenih trenutkih. obstajajo diferencial igre, v katerih se poteze izvajajo neprekinjeno. Te igre preučujejo problem zasledovanja nadzorovanega predmeta z drugim nadzorovanim objektom, pri čemer upoštevajo dinamiko njihovega obnašanja, ki je opisano z diferencialnimi enačbami.

Obstajajo tudi odsevni igre, ki obravnavajo situacije ob upoštevanju miselne reprodukcije možnega poteka dejanj in obnašanja sovražnika.

7. Če ima vsaka možna igra neke igre nič dobitkov f i, https://pandia.ru/text/78/553/images/image009_21.gif" width="60 height=45" height="45">), potem govorijo o igri ničelna vsota . Drugače se igre imenujejo igre z vsoto, ki ni nič .

Očitno je igra parov z ničelno vsoto antagonistično , saj je dobiček enega igralca enak izgubi drugega, zato so cilji teh igralcev neposredno nasprotni.

Imenuje se igra parov s končno ničelno vsoto matrika igra. Takšno igro opisuje izplačilna matrika, v kateri so navedeni dobitki prvega igralca. Številka vrstice matrike ustreza številki uporabljene strategije prvega igralca, stolpec - številki uporabljene strategije drugega igralca; na presečišču vrstice in stolpca je ustrezen dobiček prvega igralca (izguba drugega igralca).

Imenuje se igra s končno vsoto, ki ni nič bimatrika igra. Takšno igro opisujeta dve izplačilni matriki, vsaka za ustreznega igralca.

1.3. Primeri iger

Igra 1. Test

Naj bo igralec 1 študent, ki se pripravlja na test, igralec 2 pa učitelj, ki opravlja test. Predpostavili bomo, da ima študent dve strategiji: A1 - dobro se pripraviti na test; A2 - ni pripravljen. Učitelj ima tudi dve strategiji: B1 - daj test; B2 - ne daj kredita. Osnova za ocenjevanje vrednosti izplačil igralcev lahko na primer temelji na naslednjih premislekih, ki se odražajo v matrikah izplačil

Ta igra je v skladu z zgornjo klasifikacijo strateška, parna, nekooperativna, končna, opisana v normalni obliki, z vsoto, ki ni enaka nič. Na kratko lahko to igro imenujemo bimatrix.

Izziv je določiti optimalne strategije za učenca in učitelja.

Igra 2. Morra

Igra "morra" je igra poljubnega števila oseb, pri kateri vsi igralci hkrati pokažejo ("vržejo ven") določeno število prstov. Vsaki situaciji so dodeljeni dobitki, ki jih igralci v tej situaciji prejmejo od »banke«. Na primer, vsak igralec zmaga toliko prstov, kot jih je pokazal, če so vsi drugi igralci pokazali drugačno število; v vseh drugih primerih ne pridobi nič. V skladu z zgornjo klasifikacijo je ta igra strateška; v splošnem primeru multipla (v tem primeru je igra lahko nekooperativna, koalicijska in kooperativna) končna.

V posebnem primeru, ko je igra v parih, bo to matrična igra (matrična igra je vedno antagonistična).

Dva igralca naj "vržeta" en, dva ali tri prste hkrati. Če je znesek sod, zmaga prvi igralec, če je znesek liho, zmaga drugi igralec. Dobitki so enaki vsoti "vrženih prstov". Tako ima v tem primeru vsak igralec tri strategije, matrika zmag prvega igralca (izgub drugega igralca) pa ima obliko:

kjer A i– strategija prvega igralca, ki je sestavljena iz "izmetavanja" i prsti;

IN j– strategija drugega igralca, ki je sestavljena iz "izmetavanja" j prsti.

Kaj mora narediti vsak igralec, da zagotovi največji dobitek?

Igra 3. Boj za trge

Neko podjetje A, ki ima na voljo 5 konvencionalnih denarnih enot, poskuša obdržati dva enakovredna prodajna trga. Njegov konkurent (podjetje B), ki ima znesek, enak 4 konvencionalnim denarnim enotam, poskuša izriniti podjetje A z enega od trgov. Vsak od konkurentov lahko nameni celo število enot svojih sredstev za zaščito in osvajanje ustreznega trga. Menijo, da če podjetje A nameni manj sredstev za zaščito vsaj enega od trgov kot podjetje B, potem izgubi, v vseh drugih primerih pa zmaga. Naj bo dobiček podjetja A enak 1 in izguba (-1), potem se igra zmanjša na matrično igro, za katero ima matrika zmag podjetja A (izgub podjetja B) obliko:

Tukaj A i– strategija podjetja A, ki je sestavljena iz ločitve i običajne denarne enote za zaščito prvega trga; IN j– strategija podjetja B, ki je sestavljena iz ločevanja j običajnih denarnih enot za osvojitev prvega trga.

Če bi podjetja lahko dodelila poljubno količino razpoložljivih sredstev za zaščito ali osvajanje trgov, bi bila igra neskončna.

TESTI

(V – drži, N – ne drži)

1. Vsaka konfliktna situacija je antagonistična.

2. Vsaka antagonistična situacija je konflikt.

4. Slabost teorije iger je predpostavka, da so nasprotniki popolnoma inteligentni.

5. Teorija iger predpostavlja, da niso znane vse možne strategije nasprotnikov.

6. Teorija iger vključuje elemente tveganja, ki neizogibno spremljajo razumne odločitve v resničnih konfliktih.

7. V teoriji iger se iskanje optimalne strategije izvaja po številnih kriterijih.

8. Strateške igre so sestavljene samo iz osebnih potez.

9. V igri dvojic je število strategij za vsakega udeleženca dve.

10. Igre, pri katerih so dejanja igralcev usmerjena k maksimiranju dobitkov koalicij brez njihove naknadne razdelitve med igralce, se imenujejo koalicijske igre.

11. Izid kooperativne igre je delitev koalicijskega dobička, ki ne nastane kot posledica določenih dejanj igralcev, ampak kot rezultat njihovih vnaprej določenih dogovorov.

12. Glede na vrsto opisa iger jih delimo na igre s popolnimi informacijami in igre z nepopolnimi informacijami.

13. Končna večkratna igra z ničelno vsoto se imenuje matrična igra.

14. Igra parov s končno ničelno vsoto se imenuje bimatrična igra.

(Odgovori: 1-N; 2-B; 3-B; 4-B; 5-N; 6-N; 7-N; 8-N; 9-N; 10-B; 11-B; 12-N 13-N; 14-N.)

2. MATRIČNE IGRE

2.1. Opis matrične igre

Najbolj razvita teorija iger je igra parov s končno ničelno vsoto (antagonistična igra dveh oseb ali dveh koalicij), imenovana matrična igra.

Razmislite o tej igri G, v katerem sodelujeta dva igralca A in IN z antagonističnimi interesi: dobiček enega igralca je enak izgubi drugega. Od izplačila igralca A enaka igralčevemu dobitku IN z nasprotnim predznakom pa nas lahko zanimajo le dobitki A igralec A. Seveda, igralec Aželi maksimirati A, in predvajalnik IN- minimizirati A. Za prostato se miselno identificirajmo z enim od igralcev (naj bo to igralec A), potem bomo poklicali igralca IN- "sovražnik" (seveda nekaj resničnih prednosti za A iz tega ne sledi).

Ne izgubite ga. Naročite se in prejmite povezavo do članka na vaš e-poštni naslov.

Teorija iger je matematična metoda za preučevanje optimalnih strategij v igrah. Izraz "igra" je treba razumeti kot interakcijo dveh ali več strani, ki si prizadevajo uresničiti svoje interese. Vsaka stran ima tudi svojo strategijo, ki lahko vodi do zmage ali poraza, kar je odvisno od obnašanja igralcev. Zahvaljujoč teoriji iger je mogoče najti najučinkovitejšo strategijo ob upoštevanju idej o drugih igralcih in njihovem potencialu.

Teorija iger je posebna veja operacijskega raziskovanja. Največkrat se metode teorije iger uporabljajo v ekonomiji, včasih pa tudi v drugih družboslovnih vedah, na primer v politologiji, sociologiji, etiki in nekaterih drugih. Od 70. let 20. stoletja so ga začeli uporabljati tudi biologi za preučevanje vedenja živali in teorije evolucije. Poleg tega je danes teorija iger zelo pomembna na področju kibernetike in. Zato vam želimo povedati o tem.

Zgodovina teorije iger

Najbolj optimalne strategije na področju matematičnega modeliranja so znanstveniki predlagali že v 18. stoletju. V 19. stoletju so probleme oblikovanja cen in proizvodnje na trgu z malo konkurence, ki so kasneje postali klasični primeri teorije iger, obravnavali znanstveniki, kot sta Joseph Bertrand in Antoine Cournot. In na začetku 20. stoletja sta izjemna matematika Emil Borel in Ernst Zermelo predstavila idejo o matematični teoriji navzkrižja interesov.

Izvor matematične teorije iger je treba iskati v neoklasični ekonomiji. Sprva so bili temelji in vidiki te teorije orisani v delu Oscarja Morgensterna in Johna von Neumanna, "Teorija iger in ekonomskega vedenja" leta 1944.

Predstavljeno matematično področje se je odrazilo tudi v družbeni kulturi. Na primer, leta 1998 je Sylvia Nasar (ameriška novinarka in pisateljica) izdala knjigo, posvečeno Johnu Nashu, dobitniku Nobelove nagrade za ekonomijo in teoretiku iger. Leta 2001 je bil na podlagi tega dela posnet film "Čudoviti um". In številne ameriške televizijske oddaje, kot so "NUMB3RS", "Alias" in "Friend or Foe", se v svojih oddajah občasno sklicujejo tudi na teorijo iger.

Posebej pa je treba omeniti Johna Nasha.

Leta 1949 je napisal disertacijo o teoriji iger, 45 let pozneje pa je prejel Nobelovo nagrado za ekonomijo. V najzgodnejših konceptih teorije iger so bile analizirane igre antagonističnega tipa, v katerih so igralci, ki zmagujejo na račun poražencev. Toda John Nash je razvil analitične metode, po katerih vsi igralci izgubijo ali zmagajo.

Situacije, ki jih je razvil Nash, so kasneje poimenovali »Nasheva ravnovesja«. Razlikujeta se po tem, da vse strani igre uporabljajo najbolj optimalne strategije, kar ustvarja stabilno ravnotežje. Ohranjanje ravnotežja je zelo koristno za igralce, saj lahko sicer ena sprememba negativno vpliva na njihov položaj.

Zahvaljujoč delu Johna Nasha je teorija iger dobila močan zagon v svojem razvoju. Poleg tega so bila resno spremenjena matematična orodja ekonomskega modeliranja. Johnu Nashu je uspelo dokazati, da klasični pogled na vprašanje tekmovanja, kjer vsak igra samo zase, ni optimalen in so najučinkovitejše strategije tiste, pri katerih igralci sami sebe naredijo boljši tako, da na začetku izboljšajo druge.

Kljub temu, da je teorija iger sprva vključevala v svoje vidno polje ekonomske modele, je bila vse do 50. let prejšnjega stoletja le formalna teorija, omejena z okviri matematike. Od druge polovice 20. stoletja pa so ga poskušali uporabiti v ekonomiji, antropologiji, tehnologiji, kibernetiki in biologiji. Med drugo svetovno vojno in po njenem koncu je s teorijo iger začela razmišljati tudi vojska, ki je v njej videla resen aparat za razvoj strateških odločitev.

V 60-70-ih je zanimanje za to teorijo zbledelo, kljub dejstvu, da je dala dobre matematične rezultate. Toda od 80. let se je začela aktivna uporaba teorije iger v praksi, predvsem v upravljanju in ekonomiji. V zadnjih nekaj desetletjih je njegova aktualnost močno narasla in brez nje si je nekaterih sodobnih gospodarskih trendov povsem nemogoče predstavljati.

Prav tako ne bi bilo odveč reči, da je pomemben prispevek k razvoju teorije iger leta 2005 dalo delo Nobelovega nagrajenca za ekonomijo Thomasa Schellinga »Strategija konflikta«. V svojem delu je Schelling preučil številne strategije, ki jih uporabljajo udeleženci v konfliktnih interakcijah. Te strategije so sovpadale s taktikami obvladovanja konfliktov in analitičnimi načeli, ki se uporabljajo v, ter taktikami, ki se uporabljajo za obvladovanje konfliktov v organizacijah.

V psihološki znanosti in številnih drugih disciplinah ima pojem "igra" nekoliko drugačen pomen kot v matematiki. Kulturna interpretacija pojma igra je bila predstavljena v knjigi Homo Ludens avtorja Johana Huizinge, kjer avtor govori o uporabi iger v etiki, kulturi in pravičnosti ter poudarja, da je sama igra bistveno boljša od igre. ljudje v starosti, saj so tudi živali nagnjene k igri.

Tudi koncept "igre" lahko najdemo v konceptu Erica Byrnea, znanega iz knjige "". Tu pa govorimo o izključno psiholoških igrah, katerih osnova je transakcijska analiza.

Uporaba teorije iger

Če govorimo o matematični teoriji iger, je trenutno v fazi aktivnega razvoja. Toda matematična podlaga je sama po sebi zelo draga, zato se uporablja predvsem, če cilji opravičujejo sredstva, in sicer: v politiki, ekonomiji monopolov in porazdelitvi tržne moči itd. Sicer pa se teorija iger uporablja pri preučevanju vedenja ljudi in živali v ogromno situacijah.

Kot že omenjeno, se je teorija iger najprej razvila znotraj meja ekonomske znanosti, kar je omogočilo ugotavljanje in interpretacijo obnašanja gospodarskih subjektov v različnih situacijah. Kasneje pa se je področje njene uporabe močno razširilo in začelo vključevati številne družbene vede, zaradi česar danes teorija iger pojasnjuje človeško vedenje v psihologiji, sociologiji in politologiji.

Strokovnjaki uporabljajo teorijo iger ne le za razlago in napovedovanje človeškega vedenja – narejenih je bilo veliko poskusov uporabe te teorije za razvoj primerjalnega vedenja. Poleg tega so ga filozofi in ekonomisti že dolgo uporabljali, da bi čim bolje razumeli dobro oziroma vredno vedenje.

Tako lahko sklepamo, da je teorija iger postala resnična prelomnica v razvoju številnih znanosti, danes pa je sestavni del procesa preučevanja različnih vidikov človeškega vedenja.

NAMESTO ZAKLJUČKA: Kot ste opazili, je teorija iger precej tesno povezana s konfliktologijo - znanostjo, ki preučuje človeško vedenje v procesu konfliktne interakcije. In po našem mnenju je to področje eno najpomembnejših ne le med tistimi, na katerih je treba uporabiti teorijo iger, ampak tudi med tistimi, ki bi jih moral preučevati človek sam, saj so konflikti, karkoli že rečemo, del našega življenja. .

Če želite razumeti, kakšne vedenjske strategije sploh obstajajo, vam predlagamo, da se udeležite našega tečaja samospoznavanja, ki vam bo v celoti zagotovil te informacije. Toda poleg tega boste z opravljenim tečajem lahko opravili celovito oceno svoje osebnosti na splošno. To pomeni, da boste vedeli, kako se obnašati v primeru konflikta, kakšne so vaše osebne prednosti in slabosti, življenjske vrednote in prioritete, predispozicije za delo in ustvarjalnost in še veliko več. Na splošno je to zelo uporabno in potrebno orodje za vsakogar, ki si prizadeva za razvoj.

Naš tečaj je v teku - začnite samospoznavati in se izboljševati.

Želimo vam uspeh in sposobnost, da ste zmagovalec v kateri koli igri!

Teorija iger je veda, ki proučuje principe odločanja v situacijah, v katerih več akterjev sodeluje med seboj. Odločitve, ki jih sprejme ena oseba, vplivajo na odločitve drugih in na izid interakcije kot celote. Takšne interakcije imenujemo strateške.

Beseda "igra" ne sme biti zavajajoča. Ta koncept se v teoriji iger razlaga širše kot v vsakdanjem življenju. Situacijo strateške interakcije lahko opišemo v obliki modela, ki se imenuje igra. Tako se v teoriji iger za partijo ne bo štela le šahovska partija, temveč tudi glasovanje v Varnostnem svetu ZN ter barantanje med prodajalcem in kupcem na trgu.

Strateške interakcije se pojavljajo na skoraj vseh področjih našega življenja. Primer iz ekonomije: več podjetij, ki tekmujejo na trgu, mora pri odločanju upoštevati dejanja konkurentov. Če govorimo o politiki, potem kandidati, ki tekmujejo na volitvah, pri objavi svojega volilnega programa seveda upoštevajo stališča drugih kandidatov do tega vprašanja. In če preučujemo interakcijo ljudi v družbi, potem lahko s pomočjo teorije iger izvemo veliko zanimivih stvari o nagnjenosti ljudi k sodelovanju.

Predstavniki družbenih ved pogosto uporabljajo teorijo iger kot orodje, ki jim omogoča reševanje problemov, ki jih zanimajo. Če poenostavimo, lahko teoretično modeliranje iger razdelimo na dve stopnji.

Najprej morate na podlagi resnične življenjske situacije zgraditi formalni model. Praviloma mora model odražati tri glavne značilnosti življenjske situacije: kdo sodeluje drug z drugim (takšni agenti v teoriji iger se imenujejo igralci), kakšne odločitve lahko sprejemajo igralci in kakšna plačila prejmejo zaradi tega. interakcija. Formalni model se imenuje igra.

Ko enkrat zgradimo igro, jo je treba nekako rešiti. Na tej stopnji se popolnoma abstrahiramo od realnosti in preučujemo izključno formalni model. Kako deluje modelna rešitev? Ujeti moramo koncept obnašanja igralcev v igri, torej načela odločitev, ki jih sprejemajo. Ko ta koncept popravimo, ga lahko poskusimo uporabiti za rešitev igre, torej za predstavitev izida, s katerim se bo igra končala.

Različne razrede iger je mogoče rešiti z uporabo različnih konceptov teorije iger. Eden najlepših teoretičnih rezultatov teorije iger dokazuje, da je mogoče rešitev zagotovo najti v nekem zelo širokem razredu modelov. Sklicujem se na rezultat Johna Nasha iz leta 1950: v kateri koli igri končne normalne oblike lahko vedno najdemo vsaj eno mešano strateško ravnovesje. Kronološko je bil to prvi univerzalni teoretični koncept iger, ki omogoča zagotavljanje rešitve v zelo širokem razredu modelov.

Za razliko od predstavnikov družbenih ved matematike iger bolj zanimajo notranje lastnosti iger in koncepti za njihovo reševanje. Zahvaljujoč takšnim teoretičnim rezultatom smo lahko prepričani, da bomo z izgradnjo in reševanjem enega ali drugega modela teorije iger na koncu dobili rešitev s potrebnimi lastnostmi.

Seveda John Nash ni edini avtor teorije iger. Teorija iger se je kot samostojna veda začela razvijati nekoliko prej, v začetku dvajsetega stoletja. Prvi poskusi formalnega definiranja iger, strategij igralcev in konceptov reševanja iger segajo k Emilu Borelu in Johnu von Neumannu. Vendar pa je bil Nash tisti, ki je uvedel koncept ravnotežja, ki omogoča zagotavljanje rešitve v končnih igrah. V čast avtorju izreka o obstoju ravnotežja v mešanih strategijah v končnih igrah so to ravnovesje začeli imenovati Nashevo ravnovesje.

Leta 1994 podeljena prva Nobelova nagrada za rezultate na področju teorije iger (John Nash, Reinhard Selten in John Harsanyi) je pravzaprav vzpostavila status teorije iger kot samostojnega znanstvenega področja s svojimi problemi in metodami za njihovo reševanje. Več Nobelovih nagrad, ki so sledile, je bilo podeljenih tako za temeljne rezultate teorije iger kot za uporabo teorije iger na enem ali drugem vidiku našega življenja. Na vodilnih svetovnih univerzah, tako v programih ekonomije kot političnih ved, je teorija iger vključena v standardni nabor predmetov. Pogosto ga preučujejo tako psihologi kot matematiki.

Danes, če pogledate dele velikih konferenc in članke v vodilnih znanstvenih revijah o teoriji iger, je število člankov, ki uporabljajo aparat teorije iger za reševanje uporabnih problemov, veliko večje od števila temeljnih rezultatov teorije iger. Trenutno stanje discipline lahko opišemo takole: v teoriji iger se je oblikovalo dokaj močno jedro, plast znanja, ki raziskovalcem s sorodnih področij omogoča pridobivanje dobrih in zanimivih rezultatov.

Kljub temu pa se v sami teoriji iger odpirajo vedno nove zanimive smeri raziskovanja. Tako so se zaradi razvoja računalniških tehnologij pojavili novi teoretični koncepti iger, ki upoštevajo zmožnosti in omejitve računalnikov. Zahvaljujoč njim je postalo mogoče rešiti nove težave. Rezultat leta 2015 o ravnotežju v različici pokra Bowlinga, Bircha, Johanssona in Tummelina je izjemen primer uporabe sodobnih teorij in tehnologije.

Matematična teorija iger, ki je nastala v štiridesetih letih 20. stoletja, se najpogosteje uporablja v ekonomiji. Toda kako lahko uporabimo koncept iger za modeliranje vedenja ljudi v družbi? Zakaj študirajo ekonomisti, v katerem kotu nogometaši pogosteje streljajo enajstmetrovke in kako zmagati v igri "Kamen, papir, škarje", je v predavanju razložil višji predavatelj na Oddelku za mikroekonomsko analizo HSE Danil Fedorovykh.

John Nash in blondinka v baru

Igra je vsaka situacija, v kateri dobiček agenta ni odvisen samo od njegovih dejanj, ampak tudi od vedenja drugih udeležencev. Če doma igrate pasjanso, z vidika ekonomista in teorije iger to ni igra. Pomeni obvezno prisotnost navzkrižja interesov.

V filmu A Beautiful Mind o Johnu Nashu, Nobelovem nagrajencu za ekonomijo, je prizor z blondinko v baru. Prikazuje idejo, za katero je znanstvenik prejel nagrado - to je ideja Nashovega ravnotežja, ki jo je sam imenoval dinamika nadzora.

Strategija je opis igralčevih dejanj v vseh možnih situacijah.

Rezultat je kombinacija izbranih strategij.

S teoretičnega vidika so torej igralci v tej situaciji le moški, torej tisti, ki odločajo. Njihove preference so preproste: blondinka je boljša kot rjavolaska, rjavolaska pa boljša kot nič. Delujete lahko na dva načina: pojdite k blondinki ali k "vaši" rjavolaski. Igra je sestavljena iz ene poteze, odločitve se sprejemajo sočasno (to pomeni, da ne morete videti, kam so šli drugi, in se nato premaknete sami). Če katero koli dekle zavrne moškega, se igra konča: nemogoče se je vrniti k njej ali izbrati drugega.

Kakšen je verjeten izid te situacije v igri? Se pravi, kakšna je njegova stabilna konfiguracija, iz katere bodo vsi razumeli, da so naredili najboljšo izbiro? Prvič, kot pravilno poudarja Nash, če bodo vsi šli k blondinki, se to ne bo dobro končalo. Zato znanstvenik nadalje predlaga, da morajo vsi iti k rjavolaskam. Ampak potem, če se ve, da bodo vsi hodili k rjavolaskam, naj gre k blondinkam, ker je boljša.

To je pravo ravnotežje – razplet, v katerem gredo ene blondinke, ostale pa rjavolaske. To se morda zdi nepravično. Toda v razmerah ravnovesja nihče ne more obžalovati svoje izbire: tisti, ki gredo k rjavolaskam, razumejo, da od blondinke tako ali tako ne bodo dobili ničesar. Tako je Nashevo ravnovesje konfiguracija, v kateri nihče ne želi spremeniti strategije, ki so jo izbrali vsi. To pomeni, da ob koncu igre vsak udeleženec razume, da tudi če bi vedel, kako gre drugim, bi storil enako. Drugače bi temu rekli izid, kjer se vsak udeleženec optimalno odziva na dejanja drugih.

"Kamen, papir, škarje"

Za ravnovesje poglejmo druge igre. Na primer, Kamen, papir, škarje nima Nashevega ravnovesja: v vseh možnih izidih ni možnosti, pri kateri bi bila oba udeleženca zadovoljna s svojo izbiro. Vendar pa obstajata svetovno prvenstvo in svetovno društvo Rock Paper Scissors Society, ki zbira statistiko iger. Očitno lahko izboljšate svoje možnosti za zmago, če veste nekaj o splošnem vedenju ljudi v tej igri.

Čista strategija v igri je tista, pri kateri oseba vedno igra na enak način in izbira enake poteze.

Po podatkih World RPS Society je kamen najpogosteje izbrana poteza (37,8%). 32,6 % jih uporablja papir, 29,6 % pa škarje. Zdaj veste, da morate izbrati papir. Če pa igraš z nekom, ki to tudi zna, ti papirja ni več treba izbirati, saj se enako pričakuje od tebe. Znan je primer: leta 2005 sta se dve dražbeni hiši Sotheby's in Christie's odločili, kdo bo dobil zelo veliko parcelo - zbirko Picassa in Van Gogha z začetno ceno 20 milijonov dolarjev. Lastnik je predlagal, da igrajo Rock, Paper, Scissors, predstavniki hiš pa so mu po elektronski pošti poslali svoje možnosti. Pri Sotheby's so, kot so pozneje povedali, papir izbrali brez premisleka. Zmagal pri Christie's. Pri odločitvi so se obrnili na strokovnjaka - 11-letno hčerko enega od vodilnih menedžerjev. Povedala je: »Kamen se zdi najmočnejši, zato se večina ljudi odloči zanj. A če se ne igramo s čisto neumnim začetnikom, ne bo odvrgel kamna, pričakoval bo, da bomo to storili, in sam bo odvrgel papir. Bomo pa razmišljali korak naprej in odvrgli škarje.”

Tako lahko razmišljate vnaprej, vendar vas to ne bo nujno pripeljalo do zmage, saj se morda ne zavedate sposobnosti svojega nasprotnika. Zato je včasih namesto čistih strategij pravilneje izbrati mešane, torej sprejemati odločitve naključno. Tako je v "Kamen, papir, škarje" ravnotežje, ki ga prej nismo našli, ravno v mešanih strategijah: izbiranje vsake od treh možnosti poteze z enotretjinsko verjetnostjo. Če boste kamen izbrali pogosteje, bo vaš nasprotnik prilagodil svojo izbiro. Če to veste, boste prilagodili svoje in ravnovesje ne bo doseženo. Toda nihče od vas ne bo začel spreminjati vedenja, če vsi enostavno izberejo kamen, škarje ali papir z enako verjetnostjo. To je zato, ker je pri mešanih strategijah nemogoče predvideti vašo naslednjo potezo na podlagi prejšnjih dejanj.

Mešana strategija in šport

Obstaja veliko resnejših primerov mešanih strategij. Na primer, kje servirati v tenisu ali izvajati/izvajati enajstmetrovko v nogometu. Če ne veste ničesar o svojem nasprotniku ali samo ves čas igrate proti drugim, je najboljša strategija, da stvari počnete bolj ali manj naključno. Profesor London School of Economics Ignacio Palacios-Huerta je leta 2003 v American Economic Review objavil članek, katerega bistvo je bilo najti Nashevo ravnotežje v mešanih strategijah. Palacios-Huerta je za predmet svoje raziskave izbral nogomet in si zato ogledal več kot 1400 enajstmetrovk. Seveda je v športu vse urejeno bolj zvito kot v "Kamen, papir, škarje": upošteva športnikovo močno nogo, udarjanje različnih kotov pri udarcu s polno močjo in podobno. Nashevo ravnotežje je tukaj sestavljeno iz izračunavanja možnosti, to je na primer določanja kotov vrat, v katere streljati, da bi z večjo verjetnostjo zmagal, ob poznavanju svojih slabosti in prednosti. Statistika za vsakega nogometaša in ravnovesje, ki ga najdemo v mešanih strategijah, je pokazalo, da nogometaši delujejo približno tako, kot napovedujejo ekonomisti. Skoraj ni vredno reči, da so ljudje, ki izvajajo enajstmetrovke, prebrali učbenike o teoriji iger in naredili precej zapleteno matematiko. Najverjetneje obstajajo različni načini, kako se naučiti optimalno obnašati: lahko ste sijajen nogometaš in čutite, kaj storiti, ali pa ste ekonomist in iščete ravnotežje v mešanih strategijah.

Leta 2008 je profesor Ignacio Palacios-Huerta srečal Abrahama Granta, trenerja Chelseaja, ki je takrat igral finale lige prvakov v Moskvi. Znanstvenik je trenerju napisal sporočilo s priporočili za izvajanje enajstmetrovk, ki se nanašajo na vedenje nasprotnega vratarja Edwina van der Sarja iz Manchester Uniteda. Na primer, po statistiki je skoraj vedno ubranil strele na povprečni ravni in se pogosteje vrgel v naravno smer za izvajanje enajstmetrovk. Kot smo ugotovili zgoraj, je še vedno pravilneje naključno razvrstiti svoje vedenje glede na znanje o nasprotniku. Ko je bil rezultat enajstmetrovk že 6:5, bi moral zadeti strelec Chelseaja Nicolas Anelka. Ko je pred strelom pokazal na desni kot, se je zdelo, da je van der Sar vprašal Anelko, ali bo streljal tja.

Bistvo je, da so bili vsi prejšnji streli Chelseaja usmerjeni v desni kot strelca. Ne vemo natančno, zakaj, morda zaradi nasveta ekonomista, udariti v smeri, ki je zanje nenaravna, saj je van der Sar po statistiki manj pripravljen na to. Večina igralcev Chelseaja je bila desničarjev: ko so zadeli nenaravni desni kot, so zadeli vsi razen Terryja. Očitno je bila strategija, da tam strelja Anelka. Vendar se je zdelo, da van der Sar to razume. Odrezal se je odlično: pokazal je v levi kot in rekel: "A boš tam streljal?", kar je Anelka verjetno zgrozilo, saj so ga uganili. V zadnjem trenutku se je odločil za drugačno ravnanje in zadel v svojo naravno smer, kar je potreboval van der Sar, ki je ta udarec sprejel in poskrbel za zmago Manchestra. Ta situacija uči naključne izbire, saj je sicer lahko vaša odločitev preračunljiva in boste izgubili.

"Zapornikova dilema"

Verjetno najbolj znana igra, s katero se začnejo univerzitetni tečaji teorije iger, je Prisoner's Dilemma. Po legendi so dva osumljenca za hudo kaznivo dejanje ujeli in zaprli v ločeni celici. Obstajajo dokazi, da so hranili orožje, in to jim omogoča, da so za kratek čas zaprti. Vendar pa ni dokazov, da so zagrešili ta grozen zločin. Preiskovalec vsakemu posamezniku pove o pogojih igre. Če bosta storilca priznala, bosta šla oba v zapor za tri leta. Če eden prizna, sostorilec pa molči, bo tisti, ki je priznal, takoj izpuščen, drugi pa v zapor za pet let. Če pa nasprotno prvi ne prizna in ga drugi izda, gre prvi v zapor za pet let, drugi pa takoj izpuščen. Če nihče ne bo priznal, bosta oba leto dni v zaporu zaradi posedovanja orožja.

Nashevo ravnotežje je tukaj v prvi kombinaciji, ko oba osumljenca ne molčita in gresta oba v zapor za tri leta. Vsi razmišljajo takole: »če bom govoril, bom šel v zapor za tri leta, če bom molčal, bom šel v zapor za pet let. Če bo drugi molčal, je bolje, da to povem tudi jaz: bolje ne iti v zapor kot iti eno leto v zapor.« To je prevladujoča strategija: govorjenje je koristno, ne glede na to, kaj počne drugi. Je pa pri tem težava – obstaja boljša možnost, saj je biti tri leta v zaporu slabše kot biti eno leto (če zgodbo obravnavate le z vidika udeležencev in ne upoštevate moralna vprašanja). Vendar je nemogoče sedeti eno leto, ker, kot smo razumeli zgoraj, je za oba kriminalca nedonosno molčati.

Paretovo izboljšanje

Znana je metafora o nevidni roki trga, ki pripada Adamu Smithu. Rekel je, da če bo mesar poskušal zaslužiti denar zase, bo bolje za vse: naredil bo okusno meso, ki ga bo pek kupil z denarjem od prodaje žemljic, ki jih bo moral narediti tudi on. okusno, tako da se prodajajo. Toda izkazalo se je, da ta nevidna roka ne deluje vedno in obstaja veliko situacij, ko vsak deluje zase in se vsi počutijo slabo.

Zato včasih ekonomisti in teoretiki iger ne razmišljajo o optimalnem vedenju vsakega igralca, torej ne o Nashevem ravnovesju, ampak o izidu, v katerem bo celotna družba na boljšem (v Dilemi družbo sestavljata dva kriminalca) . S tega vidika je izid učinkovit, če v njem ni izboljšanja po Paretu, to pomeni, da je nemogoče narediti nekoga boljšega, ne da bi bili drugi slabši. Če ljudje preprosto izmenjujejo blago in storitve, je to izboljšava po Paretu: to počnejo prostovoljno in malo verjetno je, da bi se kdo zaradi tega počutil slabo. Toda včasih, če pustite ljudem, da medsebojno delujejo in sploh ne posredujete, to, kar bodo iznašli, ne bo optimalno po Paretu. To se zgodi v Zapornikovi dilemi. V njem, če vsem dovolimo, da delujejo tako, kot je njim v korist, se izkaže, da se zaradi tega vsi počutijo slabo. Za vse bi bilo bolje, če bi vsak zase deloval manj kot optimalno, torej molčal.

Tragedija premoženja

Zapornikova dilema je zgodba o igračah. To ni situacija, v kateri bi pričakovali, da se boste znašli, vendar so podobni učinki povsod okoli nas. Razmislite o dilemi s številnimi igralci, ki jo včasih imenujemo tragedija skupnega premoženja. Na primer, na cestah so zastoji in se odločam, kako bom šel v službo: z avtom ali avtobusom. Ostali naredijo enako. Če grem z avtom in se vsi odločijo za isto, bo zastoj, a bomo udobno prispeli. Če grem z avtobusom, bo še vedno zastoj, a bo vožnja neudobna in ne posebno hitrejša, zato bo ta razplet še slabši. Če se v povprečju vsi peljejo z avtobusom, potem bom, če bom jaz enako, prišel tja kar hitro brez zastoja. Če pa grem v takih razmerah z avtom, bom tudi prišel hitro, a tudi udobno. Torej prisotnost prometnega zastoja ni odvisna od mojih dejanj. Nashevo ravnotežje je tukaj v situaciji, ko se vsi odločijo voziti. Ne glede na to, kaj počnejo drugi, je bolje, da izberem avto, ker ni znano, ali bo prometni zastoj ali ne, v vsakem primeru pa bom tja prišel udobno. To je prevladujoča strategija, tako da se na koncu vsi vozijo z avtomobili in imamo, kar imamo. Naloga države je, da bo potovanje z avtobusom vsaj za nekatere najboljša možnost, zato se pojavljajo plačljivi vhodi v center, parkirišča ipd.

Druga klasična zgodba je volilčeva racionalna ignoranca. Predstavljajte si, da izida volitev ne veste vnaprej. Preučujete lahko programe vseh kandidatov, poslušate debate in nato glasujete za najboljšega. Druga strategija je, da pridejo na volišče in glasujejo naključno ali za tistega, ki je bil največkrat prikazan na televiziji. Kakšno je optimalno vedenje, če moj glas nikoli ne odloči o zmagovalcu (in v državi s 140 milijoni ljudi en glas ne bo nikoli odločil o ničemer)? Seveda si želim, da bi imela država dobrega predsednika, a vem, da nihče več ne bo skrbno preučeval programov kandidatov. Zato je prevladujoča vedenjska strategija ne izgubljati časa s tem.

Ko te pokličejo na čistilni dan, ne bo odvisno od nikogar posebej, ali bo dvorišče čisto ali ne: če grem sam ven, ne bom mogel vsega pospraviti, ali če pridejo vsi ven. , potem ne bom šel ven, ker bodo vsi to storili brez mene. Drug primer je prevoz blaga na Kitajskem, o katerem sem izvedel v čudoviti knjigi Stephena Landsburga Ekonomist na kavču. Pred 100-150 leti je bil na Kitajskem običajen način prevoza blaga: vse je bilo zloženo v veliko karoserijo, ki jo je vleklo sedem ljudi. Stranke so plačale, če je bilo blago dostavljeno pravočasno. Predstavljajte si, da ste eden izmed teh šestih. Lahko potiskate in vlečete, kolikor lahko, in če to počnejo vsi, bo tovor prišel pravočasno. Če ena oseba tega ne stori, bodo tudi vsi prišli pravočasno. Vsak si misli: "Če vsi drugi vlečejo pravilno, zakaj bi to počel jaz, in če vsi drugi ne vlečejo tako močno, kot lahko, potem ne bom mogel ničesar spremeniti." Posledično je bilo s časom dostave vse zelo slabo in nakladalci so sami našli izhod: začeli so najemati sedmega in mu plačati denar, da bi lene ljudi bičal z bičem. Že sama prisotnost takega človeka je prisilila vse, da so se trudili po svojih močeh, saj bi sicer vsi prišli v slabo ravnotežje, iz katerega se nihče ne bi mogel donosno rešiti.

Enak primer lahko opazimo v naravi. Drevo, ki raste na vrtu, se razlikuje od tistega, ki raste v gozdu, po svoji krošnji. V prvem primeru obdaja celotno deblo, v drugem pa se nahaja le na vrhu. V gozdu je to Nashevo ravnotežje. Če bi se vsa drevesa strinjala in rasla enako, bi enakomerno porazdelila število fotonov in vsem bi bilo bolje. Toda nikomur posamezniku se to ne splača. Zato želi vsako drevo rasti nekoliko višje od tistih okoli njega.

Naprava za zavezo

V mnogih situacijah lahko eden od udeležencev v igri potrebuje orodje, ki bo druge prepričalo, da ne blefira. Imenuje se zavezujoča naprava. Na primer, zakon v nekaterih državah prepoveduje plačilo odkupnine ugrabiteljem, da bi zmanjšali motivacijo kriminalcev. Vendar ta zakonodaja pogosto ne deluje. Če je vaš sorodnik ujet in imate možnost, da ga rešite z izogibanjem zakonu, boste to storili. Predstavljajmo si situacijo, ko je zakon mogoče zaobiti, a so svojci revni in nimajo s čim plačati odkupnine. Zločinec ima v tej situaciji dve možnosti: žrtev izpustiti ali ubiti. Ne mara ubijati, a ne mara več zapora. Izpuščena žrtev pa lahko bodisi priča, tako da je ugrabitelj kaznovan, bodisi molči. Najboljši izid za kriminalca je, da žrtev izpusti, če je ne izda. Žrtev želi biti izpuščena in pričati.

Ravnovesje je v tem, da terorist ne želi biti ujet, kar pomeni, da žrtev umre. A to ni Paretovo ravnotežje, saj obstaja možnost, da so vsi na boljšem – žrtev na svobodi molči. Toda za to se je treba prepričati, ali je zanjo koristno molčati. Nekje sem prebral možnost, da bi lahko prosila terorista, da organizira erotično fotografiranje. Če bo zločinec zaprt, bodo njegovi sostorilci objavili fotografije na internetu. Zdaj, če ugrabitelj ostane na prostosti, je to slabo, ampak fotografije v javni domeni so še slabše, tako da je ravnotežje. Za žrtev je to način, da ostane živa.

Drugi primeri iger:

Model Bertrand

Ker že govorimo o ekonomiji, poglejmo ekonomski primer. V modelu Bertrand dve trgovini prodajata isti izdelek in ga kupujeta od proizvajalca po enaki ceni. Če so cene v trgovinah enake, je njihov dobiček približno enak, saj potem kupci naključno izbirajo trgovino. Edino Nashevo ravnovesje tukaj je prodaja izdelka po nabavni vrednosti. Toda trgovine hočejo zaslužiti. Torej, če nekdo postavi ceno na 10 rubljev, jo bo drugi znižal za peni in s tem podvojil svoj prihodek, saj bodo vsi kupci šli k njemu. Zato je za udeležence na trgu koristno znižati cene in s tem porazdeliti dobiček med seboj.

Vožnja po ozki cesti

Oglejmo si primere izbire med dvema možnima ravnovesjema. Predstavljajte si, da se Petja in Maša vozita ena proti drugi po ozki cesti. Cesta je tako ozka, da se morata oba umakniti ob rob ceste. Če se odločijo zaviti na levo ali desno, se preprosto odmaknejo. Če eden zavije desno, drugi pa levo ali obratno, se zgodi nesreča. Kako izbrati, kam se preseliti? Za pomoč pri iskanju ravnotežja v takih igrah so na primer prometna pravila. V Rusiji morajo vsi zaviti desno.

V igri Chicken, ko se dve osebi vozita z veliko hitrostjo drug proti drugemu, obstajata tudi dve ravnovesji. Če se oba umakneta ob cesti, pride do situacije, imenovane Chicken out; če se oba ne umakneta, umreta v strašni nesreči. Če vem, da gre moj nasprotnik naravnost, je zame koristno, da se premaknem, da preživim. Če vem, da bo moj nasprotnik odšel, se mi splača iti naravnost, da lahko kasneje dobim 100 dolarjev. Težko je napovedati, kaj se bo dejansko zgodilo, vendar ima vsak igralec svojo metodo zmagovanja. Predstavljajte si, da sem popravil volan, tako da ga ni mogoče vrteti, in to pokazal svojemu nasprotniku. Ker vem, da nimam izbire, bo nasprotnik odskočil.

Učinek QWERTY

Včasih se je lahko zelo težko premakniti iz enega ravnovesja v drugega, tudi če to pomeni korist za vse. Postavitev QWERTY je bila zasnovana za upočasnitev hitrosti tipkanja. Kajti če bi vsi tipkali prehitro, bi se glave pisalnih strojev, ki bi udarile ob papir, prijele druga ob drugo. Zato je Christopher Scholes postavil črke, ki so bile pogosto ena ob drugi, na čim večji razdalji. Če greste v nastavitve tipkovnice na vašem računalniku, lahko tam izberete postavitev Dvorak in tipkate veliko hitreje, saj zdaj z analognimi pisalnimi stroji ni težav. Dvorak je pričakoval, da bo svet prešel na njegovo tipkovnico, vendar še vedno živimo s QWERTY. Seveda, če bi prešli na postavitev Dvorak, bi nam bile prihodnje generacije hvaležne. Vsi bi se potrudili in se znova učili, rezultat pa bi bil ravnotežje, v katerem vsi hitro tipkajo. Zdaj smo tudi v ravnovesju – v slabem smislu. Toda za nikogar ni koristno biti edini, ki se prekvalificira, ker bo neprijetno delati na katerem koli drugem računalniku razen osebnem.