Pogojna verjetnost. Pogojna verjetnost in najenostavnejše osnovne formule. Izrek množenja verjetnosti dogodkov, od katerih se eden zgodi pod pogojem drugega

4. Pogojna verjetnost. Teorem o množenju verjetnosti.

V mnogih problemih je treba najti verjetnost združevanja dogodkov IN in ATče so znane verjetnosti dogodkov IN in AT.

Razmislite o naslednjem primeru. Naj se vržeta dva kovanca. Poiščite verjetnost pojava dveh grbov. Imamo 4 enako verjetne po parih nekompatibilne rezultate, ki tvorijo popolno skupino:

Zdaj pa povejmo, da je grb padel na prvi kovanec. Kako se bo po tem spremenila verjetnost, da bo grb prikazan na obeh kovancih? Ker je grb padel na prvi kovanec, zdaj celotno skupino sestavljata dva enako verjetna nezdružljiva izida:

verjetnost novega dogodka IN, ob predpostavki, da se je zgodil dogodek B, bomo označili P B (A).

torej P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Množilni izrek. Verjetnost združevanja dogodkov A in B je enaka zmnožku verjetnosti enega od njiju s pogojno verjetnostjo drugega, izračunano ob predpostavki, da se je zgodil prvi dogodek, tj.

Dokaz. Dokažimo veljavnost relacije (4) na podlagi klasične definicije verjetnosti. Naj možni rezultati E 1, E 2, ..., E N te izkušnje tvorijo popolno skupino enako verjetnih po parih nekompatibilnih dogodkov, od katerih dogodek A uslugo M rezultatov, in pustite iz teh M rezultati L rezultati dajejo prednost dogodku B. Očitno kombinacija dogodkov A in B uslugo L od n možni rezultati testa. To daje; ;
torej
Zamenjava mest A in B, podobno dobimo
Izrek množenja je mogoče zlahka posplošiti na poljubno končno število dogodkov. Tako na primer v primeru treh dogodkov A 1, A2, A 3 imamo *
Na splošno

Iz relacije (6) sledi, da je iz dveh enakosti (8) ena posledica druge.

Naj bo na primer dogodek A- videz grba pri posameznem metu kovanca in dogodek B- videz karte diamantne barve, ko se karta odstrani iz krova. Očitno dogodki A in B neodvisen.

Če so dogodki neodvisni A do B formula (4) bo dobila preprostejšo obliko:

* Dogodek A 1 A 2 A 3 lahko predstavimo kot kombinacijo dveh dogodkov: dogodkov C=A 1 A 2 in dogodki A 3.

Upoštevajte dogodke A in B povezana z isto izkušnjo. Naj iz nekaterih virov razvede, da dogodek B zgodil, vendar ni znano, kateri od osnovnih rezultatov, ki sestavljajo dogodek B, se je zgodilo. Kaj lahko rečemo v tem primeru o verjetnosti dogodka A?

Verjetnost dogodka A, izračunano ob predpostavki, da dogodek B zgodilo, običajno imenujemo pogojna verjetnost in označujemo P(A|B).

pogojna verjetnost P(A|B) razvoj dogodkov A glede na dogodek B v okviru klasične sheme je verjetnost naravno definirati kot razmerje NAB rezultate, ki podpirajo skupno izvedbo dogodkov A in B, na številko NB rezultati v korist dogodka B, to je

Če števec in imenovalec tega izraza delimo s skupnim številom n elementarne rezultate, dobimo

Opredelitev. Pogojna verjetnost dogodka A glede na dogodek B se imenuje razmerje verjetnosti preseka dogodkov A in B na verjetnost dogodka B:

Ob tem se domneva, da P(B) ≠ 0.

Izrek. Pogojna verjetnost P(A|B) ima vse lastnosti brezpogojne verjetnosti P(A).

Pomen tega izreka je, da je pogojna verjetnost brezpogojna verjetnost, podana na novem prostoru Ω 1 osnovni rezultati, ki sovpadajo z dogodkom B.

Primer. Iz žare, v kateri a=7 belci in b=3črne kroglice, naključno izžrebani dve žogici brez zamenjave. Naj dogodek A 1 je, da je prva izžrebana kroglica bela in A2- druga krogla je bela. Želel najti P(A 2 |A 1).

1. metoda.. Z definicijo pogojne verjetnosti

Metoda 2.. Pojdimo na nov prostor elementarnih rezultatov Ω 1. Od dogodka A 1 zgodilo, to pomeni, da je v novem prostoru elementarnih izidov skupno število enako možnih izidov NΩ 1 =a+b-1=9, in dogodek A2 daje prednost N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 rezultati. Posledično

Izrek [množenje verjetnosti]. Naj dogodek A=A 1 A 2 …A n in P(A)>0. Potem velja enakost:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Komentiraj. Iz lastnosti komutativnosti presečišča lahko pišemo

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Primer. Na 7 kartah so napisane črke, ki tvorijo besedo "SLAVČEK". Karte se premešajo in iz njih se naključno odstranijo tri karte, ki jih položijo od leve proti desni. Poiščite verjetnost, da bo beseda "VOL" pridobljena (dogodek A).

Naj dogodek A 1- na prvi kartici je napisana črka "B", A2- na drugi kartici je napisana črka "O", A2- na tretji kartici - črka "L". Potem dogodek A- presečišče dogodkov A 1, A2, A 3. Posledično

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; če dogodek A 1 zgodilo, potem se na preostalih 6 kartah dvakrat pojavi "O", kar pomeni P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. prav tako P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Posledično

Opredelitev. Razvoj dogodkov A in B, ki imajo neničelno verjetnost, se imenujejo neodvisni, če je pogojna verjetnost A glede na to B sovpada z brezpogojno verjetnostjo A ali če je pogojna verjetnost B glede na to A sovpada z brezpogojno verjetnostjo B, to je

P(A|B) = P(A) oz P(B|A) = P(B),

drugače dogodki A in B imenovani odvisni.

Izrek. Razvoj dogodkov A in B, ki imajo neničelno verjetnost, so neodvisni, če in samo če

P(AB) = P(A) P(B).

Tako lahko podamo enakovredno definicijo:

Opredelitev. Razvoj dogodkov A in B se imenujejo neodvisni, če P(AB) = P(A) P(B).

Primer. Iz kompleta kart, ki vsebuje n=36 kart, ena karta je naključno izžrebana. Označimo z A dogodek, ki ustreza dejstvu, da bo izvlečeni zemljevid vrh, in B- dogodek, ki ustreza videzu "dame". Ugotovite, ali so dogodki odvisni A in B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Zato dogodki A in B neodvisen. prav tako .

Naj bo IN in AT sta dva dogodka, obravnavana v tem testu. V tem primeru lahko pojav enega od dogodkov vpliva na možnost nastopa drugega. Na primer, pojav dogodka IN lahko vpliva na dogodek AT ali pa obratno. Da bi upoštevali takšno odvisnost nekaterih dogodkov od drugih, je uveden koncept pogojne verjetnosti.

Opredelitev.Če verjetnost dogodka AT se nahaja pod pogojem, da dogodek IN zgodilo, potem posledična verjetnost dogodka AT klical pogojna verjetnost razvoj dogodkov AT. Za označevanje takšne pogojne verjetnosti se uporabljajo naslednji simboli: R IN ( AT) oz R(AT / IN).

Opomba 2. V nasprotju s pogojno verjetnostjo se upošteva tudi »brezpogojna« verjetnost, ko so kakršni koli pogoji za pojav nekega dogodka AT manjka.

Primer. Žara vsebuje 5 kroglic, od katerih so 3 rdeče in 2 modri. Po drugi strani se iz nje izvleče ena krogla z vrnitvijo in brez vrnitve. Poiščite pogojno verjetnost, da boste drugič izvlekli rdečo kroglico, pod pogojem, da je bila prvič izvlečena: a) rdeča kroglica; b) modra krogla.

Naj dogodek IN prvič žreba rdečo kroglico, dogodek pa AT– drugič izvleče rdečo žogico. To je očitno R(IN) = 3/5; potem v primeru, ko se prvič izvlečena žogica vrne v žaro, R(AT)=3/5. V primeru, da izvlečena kroglica ni vrnjena, je verjetnost izvlečenja rdeče kroglice R(AT) odvisno od tega, katera kroglica je bila prvič izžrebana - rdeča (dogodek IN) ali modro (dogodek). Potem v prvem primeru R IN ( AT) = 2 / 4, v drugem pa ( AT) = 3 / 4.

Izrek množenja verjetnosti dogodkov, od katerih se eden zgodi pod pogojem drugega

Verjetnost zmnožka dveh dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega od njiju s pogojno verjetnostjo drugega, ugotovljeno ob predpostavki, da se je zgodil prvi dogodek:

R(A ∙ B) = R(IN) ∙ R IN ( AT) . (1.7)

Dokaz. Res, naj n- skupno število enako verjetnih in nezdružljivih (elementarnih) izidov testa. Naj gre n 1 - število izidov, ki dajejo prednost dogodku IN, ki se pojavi na začetku, in m- število izidov, v katerih se zgodi dogodek AT ob predpostavki, da dogodek IN je prišel. torej m je število izidov, ki dajejo prednost dogodku AT. Potem dobimo:

Tisti. verjetnost zmnožka več dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega od teh dogodkov s pogojnimi verjetnostmi ostalih, pogojna verjetnost vsakega naslednjega dogodka pa se izračuna ob predpostavki, da so se zgodili vsi predhodni dogodki.

Primer. V ekipi 10 športnikov so 4 mojstri športa. Z žrebom se iz ekipe izberejo 3 tekmovalci. Kakšna je verjetnost, da so vsi izbrani športniki mojstri športa?

Odločitev. Zmanjšajmo problem na model »žare«, tj. Predpostavimo, da so v žari, ki vsebuje 10 kroglic, 4 rdeče kroglice in 6 belih. Iz te žare so naključno izžrebane 3 kroglice (izbor S= 3). Naj dogodek IN sestoji iz izvlečenja 3 žogic. Problem je mogoče rešiti na dva načina: s klasično shemo in s formulo (1.9).

Prva metoda temelji na formuli kombinatorike:

Druga metoda (po formuli (1.9)). Iz žare se zaporedno izvlečejo 3 kroglice brez zamenjave. Naj bo IN 1 - prva izvlečena kroglica je rdeča, IN 2 - druga izvlečena kroglica je rdeča, IN 3 - tretja izvlečena kroglica je rdeče barve. Naj tudi dogodek IN pomeni, da so vse 3 izvlečene kroglice rdeče. Nato: IN = IN 1 ∙ (IN 2 / IN 1) ∙ IN 3 / (IN 1 ∙ IN 2), tj.

Primer. Naj iz kompleta kart a, a, r, b, o, t karte se vlečejo ena za drugo. Kakšna je verjetnost, da dobim besedo " delo” ko jih zaporedoma zložite v eno vrstico od leve proti desni?

Naj bo AT- dogodek, na katerem se pridobi prijavljena beseda. Nato s formulo (1.9) dobimo:

R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Izrek verjetnostnega množenja dobi svojo najpreprostejšo obliko, ko produkt tvorijo dogodki, neodvisni drug od drugega.

Opredelitev. Dogodek AT klical neodvisen od dogodka INče se njegova verjetnost ne spremeni ne glede na to, ali se je dogodek zgodil IN ali ne. Dva dogodka imenujemo neodvisna (odvisna), če nastop enega od njiju ne spremeni (spremeni) verjetnosti nastopa drugega. Tako za ne odvisni dogodki p(B/A) = R(AT) ali = R(AT), in za odvisne dogodke R(AT/A)

Dogodek. Prostor elementarnega dogajanja. Določen dogodek, nemogoč dogodek. Skupni, neskupni dogodki. Enakovredni dogodki. Celotna skupina dogodkov. Operacije na dogodkih.

Dogodek je pojav, za katerega lahko rečemo, da nadaljevati oz ne dogaja, odvisno od narave samega dogodka.

Spodaj elementarni dogodki povezane z določenim testom razumejo vse nerazgradljive rezultate tega testa. Vsak dogodek, ki se lahko zgodi kot rezultat tega preizkusa, je mogoče obravnavati kot določen niz elementarnih dogodkov.

Prostor elementarnega dogajanja imenujemo poljubna množica (končna ali neskončna). Njeni elementi so točke (elementarni dogodki). Podmnožice prostora elementarnih dogodkov imenujemo dogodki.

določen dogodek imenuje se dogodek, ki se bo zaradi tega preizkusa zagotovo zgodil; (označeno z E).

Nemogoč dogodek dogodek se imenuje takšen dogodek, ki kot rezultat danega testa ne more se zgoditi; (označeno z U). Na primer, pojav ene od šestih točk med enim metom kocke- zanesljiv dogodek in pojav 8 točk je nemogoč.

Dogodka se imenujeta sklep(kompatibilni) v dani izkušnji, če pojav enega od njiju ne izključuje nastopa drugega.

Dogodka se imenujeta nezdružljivo(nezdružljive) v danem preskušanju, če se ne morejo pojaviti skupaj v istem preskušanju. Za več dogodkov pravimo, da so nezdružljivi, če so v paru nezdružljivi.

Začetek obrazca

Konec obrazca

Tema številka 2. Aksiomatska definicija verjetnosti. Klasična, statistična, geometrijska definicija verjetnosti dogodka. Verjetnostne lastnosti. Izreki seštevanja in množenja verjetnosti. samostojni dogodki. Pogojna verjetnost. Verjetnost, da se bo zgodil vsaj eden od dogodkov. Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula

Imenuje se numerična mera stopnje objektivne možnosti, da se dogodek zgodi verjetnost dogodka. Ta definicija, ki kvalitativno odraža koncept verjetnosti dogodka, ni matematična. Da bo tako, ga je treba kvalitativno opredeliti.

Po navedbah klasična definicija verjetnost dogodka A je enaka razmerju števila zanj ugodnih primerov glede na skupno število primerov, to je:

Kjer je P(A) verjetnost dogodka A.

Število primerov, ki so ugodni za dogodek A

Skupno število primerov.

Statistična definicija verjetnosti:

Statistična verjetnost dogodka A je relativna pogostost pojavljanja tega dogodka v izvedenih testih, to je:

Kje je statistična verjetnost dogodka A.

Relativna pogostost (frekvenca) dogodka A.

Število poskusov, v katerih so se pojavili dogodki A

Skupno število poskusov.

Za razliko od "matematične" verjetnosti, obravnavane v klasični definiciji, je statistična verjetnost značilnost eksperimenta, eksperimenta.

Če obstaja delež primerov, ki dajejo prednost dogodku A, ki je določen neposredno, brez kakršnih koli poskusov, to je delež teh dejansko izvedenih poskusov, v katerih se je pojavil dogodek A.

Geometrijska definicija verjetnosti:

Geometrijska verjetnost dogodka A je razmerje med merami površine, ki daje prednost pojavu dogodka A, in merami vseh površin, to je:

V enodimenzionalnem primeru:

Treba je oceniti verjetnost zadetka točke na CD/

Izkazalo se je, da ta verjetnost ni odvisna od lokacije CD na segmentu AB, temveč le od njegove dolžine.

Verjetnost zadetka točke ni odvisna od oblik ali lokacije B na A, ampak je odvisna le od površine tega segmenta.

Pogojna verjetnost

Verjetnost se imenuje pogojno , če je izračunan pod določenimi pogoji in označen:

To je verjetnost dogodka A. Izračunana je pod pogojem, da se je dogodek B že zgodil.

Primer. Naredimo test, iz kompleta izvlečemo dve karti: Prva verjetnost je brezpogojna.

Izračunamo verjetnost, da potegnemo asa iz kompleta:

Izračunamo pojav 2-asa iz krova:

A*B - skupni pojav dogodkov

– izrek verjetnostnega množenja

Posledica:

Množilni izrek za skupno pojavljanje dogodkov ima obliko:

To pomeni, da se vsaka naslednja verjetnost izračuna ob upoštevanju, da so se vsi prejšnji pogoji že zgodili.

Neodvisnost dogodka:

Dva dogodka imenujemo neodvisna, če pojav enega ni v nasprotju z nastopom drugega.

Na primer, če so asi večkrat izvlečeni iz kompleta, potem so neodvisni drug od drugega. Spet je bila karta pogledana in vrnjena nazaj v špil.

Skupni in neskupni dogodki:

Sklep 2 dogodka se prikličeta, če pojav enega od njih ni v nasprotju z nastopom drugega.

Izrek seštevanja verjetnosti skupnih dogodkov:

Verjetnost nastopa enega od obeh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov brez njihovega skupnega nastopa.

Za tri skupne dogodke:

Dogodki se imenujejo nedosledni, če se nobena dva od njih ne moreta pojaviti hkrati kot rezultat enega samega testa naključnega eksperimenta.

Izrek: Verjetnost pojava enega od dveh nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov.

Verjetnost vsote dogodkov:

Teorem o dodajanju verjetnosti:

Verjetnost vsote končnega števila nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

Posledica 1:

Vsota verjetnosti dogodkov, ki tvorijo popolno skupino, je enaka ena:

Posledica 2:

komentar: Poudariti je treba, da je obravnavani adicijski izrek uporaben samo za nekompatibilne dogodke.

Verjetnost nasprotnih dogodkov:

Nasproti imenujemo dva edinstvena možna dogodka, ki tvorita popolno skupino. Eden od dveh nasprotnih dogodkov je označen z IN, drugi - skozi .

Primer: Zadetek in zgrešeni strel v tarčo sta nasprotna dogodka. Če je A zadetek, potem je zgrešen.

Izrek: Vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka ena:

Opomba 1:Če je verjetnost enega od dveh nasprotnih dogodkov označena s p, potem je verjetnost drugega dogodka označena s q. Torej, na podlagi prejšnjega izreka:

Opomba 2: Pri reševanju problemov iskanja verjetnosti dogodka A je pogosto koristno najprej izračunati verjetnost dogodka in nato poiskati želeno verjetnost z uporabo formule:

Verjetnost, da se zgodi vsaj en dogodek:

Predpostavimo, da se lahko kot rezultat poskusa pojavi en dogodek, del ali nič.

Izrek: Verjetnost pojava vsaj enega dogodka iz niza neodvisnih dogodkov je enaka razliki med enoto in njihovo verjetnostjo, da se dogodki ne zgodijo.

Formula skupne verjetnosti vam omogoča, da ugotovite verjetnost dogodka A, ki se lahko pojavi le pri vsakem od n medsebojno izključujoči dogodki, ki tvorijo popoln sistem, če so njihove verjetnosti znane, in pogojne verjetnosti razvoj dogodkov A glede na vsakega od dogodkov v sistemu so enaki .

Dogodke imenujemo tudi hipoteze, med seboj se izključujejo. Zato lahko v literaturi najdete tudi njihovo oznako ne po črki B, vendar s pismom H(hipoteza).

Za reševanje problemov s takimi pogoji je treba upoštevati 3, 4, 5 ali v splošnem primeru n možnost dogodka A- ob vsakem dogodku.

Z uporabo izrekov seštevanja in množenja verjetnosti dobimo vsoto zmnožkov verjetnosti vsakega od dogodkov v sistemu z pogojna verjetnost razvoj dogodkov A za vsak dogodek v sistemu. To je verjetnost dogodka A lahko izračunamo po formuli

ali na splošno

,

ki se imenuje formula skupne verjetnosti .

Formula popolne verjetnosti: primeri reševanja problemov

Primer 1 Obstajajo tri žare enakega videza: v prvi sta 2 beli krogli in 3 črne, v drugi - 4 bele in ena črna, v tretji - tri bele krogle. Nekdo se naključno približa eni od žar in iz nje vzame eno kroglico. Izkoristiti formula skupne verjetnosti, poiščite verjetnost, da je krogla bela.

Odločitev. Dogodek A- videz bele kroglice. Postavili smo tri hipoteze:

Prva izbrana žara;

Izbrana je druga žara;

Tretja žara je bila izbrana.

Pogojne verjetnosti dogodkov A za vsako od hipotez:

, , .

Uporabimo formulo skupne verjetnosti, kot rezultat - zahtevana verjetnost:

.

Primer 2 V prvem obratu se od vsakih 100 žarnic proizvede povprečno 90 standardnih žarnic, v drugem - 95, v tretjem - 85, izdelki teh tovarn pa predstavljajo 50%, 30% in 20%, oziroma vseh električnih žarnic, dobavljenih trgovinam na določenem območju. Poiščite verjetnost nakupa standardne žarnice.

Odločitev. Označimo verjetnost nakupa standardne žarnice kot A, ter dogodki, da je bila kupljena žarnica izdelana v prvi, drugi oziroma tretji tovarni do . Po pogoju so znane verjetnosti teh dogodkov: , , in pogojne verjetnosti dogodka A glede vsakega od njih: , , . To so verjetnosti nakupa standardne žarnice, če je izdelana v prvi, drugi oziroma tretji tovarni.

Dogodek A bo prišlo, če pride do dogodka oz K- žarnica je izdelana v prvi tovarni in je standardna, ali event L- žarnica je izdelana v drugi tovarni in je standardna ali event M- žarnica je izdelana v tretji tovarni in je standardna. Druge možnosti za nastanek dogodka Ašt. Zato dogodek A je vsota dogodkov K, L in M ki so nezdružljivi. Z uporabo izreka o dodajanju verjetnosti predstavljamo verjetnost dogodka A kot

in po izreku verjetnostnega množenja dobimo

to je, poseben primer formule popolne verjetnosti.

Če nadomestimo verjetnosti v levo stran formule, dobimo verjetnost dogodka A :

Primer 3 Letalo pristaja na letališču. Če vreme dopušča, pilot pristane z letalom, pri čemer poleg instrumentov uporablja tudi vizualno opazovanje. V tem primeru je verjetnost uspešnega pristanka . Če je letališče oblačno z nizko oblačnostjo, potem pilot pristane z letalom in se orientira samo po instrumentih. V tem primeru je verjetnost uspešnega pristanka ; . Naprave, ki omogočajo slepo pristajanje, imajo zanesljivost (verjetnost brezhibnega delovanja) p. Ob nizki oblačnosti in okvarjenih instrumentih za slepo pristajanje je verjetnost uspešnega pristanka ; . Statistika kaže, da v k% pristankov je letališče prekrito z nizko oblačnostjo. Najti popolna verjetnost dogodka A- varen pristanek letala.

Odločitev. Hipoteze:

Nizke oblačnosti ni;

Tam je nizka oblačnost.

Verjetnosti teh hipotez (dogodkov):

;

Pogojna verjetnost.

Pogojno verjetnost ponovno najdemo s formulo za celotno verjetnost s hipotezami

Naprave za slepo pristajanje delujejo;

Instrumenti za slepo pristajanje niso uspeli.

Verjetnosti teh hipotez so:

Po formuli popolne verjetnosti

Primer 4 Naprava lahko deluje v dveh načinih: normalnem in nenormalnem. Normalni način je opazen v 80% vseh primerov delovanja naprave in nenormalen - v 20% primerov. Verjetnost okvare naprave v določenem času t enako 0,1; v nenormalnem 0,7. Najti polna verjetnost pravočasna okvara naprave t.

Odločitev. Ponovno označujemo verjetnost okvare naprave kot A. Torej, kar zadeva delovanje naprave v vsakem načinu (dogodki), so verjetnosti znane po pogoju: za normalni način je 80% (), za nenormalni način - 20% (). Verjetnost dogodka A(to je okvara naprave), odvisno od prvega dogodka (normalni način) je 0,1 (); odvisno od drugega dogodka (nenormalni način) - 0,7 ( ). Te vrednosti nadomestimo v formulo skupne verjetnosti (to je vsota produktov verjetnosti vsakega od dogodkov v sistemu in pogojne verjetnosti dogodka A glede na vsak dogodek v sistemu) in imamo zahtevani rezultat.