Dva samostojna dogodka. Odvisni in neodvisni dogodki. Pogojna verjetnost. Predavajo osnovne koncepte teorije verjetnosti in statistike, ki se uporabljajo v ekonometriji

V nalogah USE pri matematiki so tudi bolj zapletene verjetnostne naloge (kot smo jih obravnavali v 1. delu), kjer morate uporabiti pravilo seštevanja, množenja verjetnosti ter razlikovati med skupnimi in nezdružljivimi dogodki.

Torej, teorija.

Skupni in neskupni dogodki

Za dogodke pravimo, da so nezdružljivi, če pojav enega od njih izključuje pojav drugih. To pomeni, da se lahko zgodi samo en določen dogodek ali drug.

Na primer, z metanjem kocke lahko razlikujete med dogodki, kot je sodo in liho število točk. Ti dogodki so nezdružljivi.

Dogodki se imenujejo skupni, če pojav enega od njih ne izključuje pojava drugega.

Na primer, pri metanju kocke lahko razlikujete med dogodki, kot je pojav lihega števila točk in izguba števila točk, ki je večkratnik treh. Ko se vrže tri, sta oba dogodka realizirana.

Seštevek dogodkov

Vsota (ali zveza) več dogodkov je dogodek, ki sestoji iz pojava vsaj enega od teh dogodkov.

pri čemer vsoto dveh disjunktnih dogodkov je vsota verjetnosti teh dogodkov:

Na primer, verjetnost, da dobite 5 ali 6 kocke pri enem metu, bo zato, ker sta oba dogodka (met 5, met 6) nezdružljiva in se verjetnost, da se zgodi eden ali drugi dogodek, izračuna na naslednji način:

Verjetnost vsota dveh skupnih dogodkov je enak vsoti verjetnosti teh dogodkov brez upoštevanja njihovega skupnega pojava:

Na primer, v nakupovalnem središču dva enaka avtomata prodajata kavo. Verjetnost, da bo avtomatu do konca dneva zmanjkalo kave, je 0,3. Verjetnost, da bo v obeh avtomatih zmanjkalo kave, je 0,12. Poiščimo verjetnost, da bo do konca dneva kava potekla v vsaj enem od aparatov (torej bodisi v enem, bodisi v drugem ali v obeh hkrati).

Verjetnost prvega dogodka "kava se bo končala v prvem avtomatu" in tudi verjetnost drugega dogodka "kava bo končala v drugem avtomatu" po pogoju je enaka 0,3. Dogodki so sodelovalni.

Verjetnost skupne realizacije prvih dveh dogodkov je po pogoju enaka 0,12.

To pomeni, da je verjetnost, da bo do konca dneva zmanjkalo kave v vsaj enem od aparatov

Odvisni in neodvisni dogodki

Dva naključna dogodka A in B imenujemo neodvisna, če pojav enega od njiju ne spremeni verjetnosti, da se bo drugi zgodil. V nasprotnem primeru dogodka A in B imenujemo odvisna.

Na primer, ko vržete dve kocki hkrati, pade na eno od njih, recimo 1, na drugo pa 5, - samostojni dogodki.

Produkt verjetnosti

Produkt (ali presečišče) več dogodkov je dogodek, sestavljen iz skupnega pojavljanja vseh teh dogodkov.

Če sta dva samostojni dogodki A in B z verjetnostma P(A) oziroma P(B), potem je verjetnost uresničitve dogodkov A in B hkrati enaka produktu verjetnosti:

Zanima nas na primer izguba šestice na kocki dvakrat zapored. Oba dogodka sta neodvisna in verjetnost, da se zgodi vsak posebej, je . Verjetnost, da se bosta zgodila oba dogodka, bo izračunana z zgornjo formulo: .

Oglejte si izbor nalog za obravnavo teme.

Dogodki A, B, C... se imenujejo odvisen drug od drugega, če se verjetnost nastopa vsaj enega od njih spreminja glede na nastop ali nepojav drugih dogodkov. Dogodki se imenujejo neodvisenče verjetnosti pojava vsakega od njih niso odvisne od pojava ali nepojavljanja drugih.

Pogojna verjetnost(RA (B)-pogojna verjetnost dogodka B glede na A) je verjetnost dogodka B, izračunana ob predpostavki, da se je dogodek A že zgodil. primer pogojne verjetnosti Pogojna verjetnost dogodka B, pod pogojem, da se je dogodek A že zgodil, je po definiciji enaka RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Množenje verjetnosti odvisnih dogodkov: verjetnost skupnega nastopa dveh dogodkov je enaka zmnožku verjetnosti enega od njiju s pogojno verjetnostjo drugega, izračunano ob predpostavki, da se je prvi dogodek že zgodil:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Primer. Zbiralnik ima 3 stožčaste in 7 eliptičnih valjev. Zbiralec je vzel en valj, nato pa drugega. Poiščite verjetnost, da je prvi od vzetih valjev stožčast, drugi pa elipsast.

rešitev: Verjetnost, da bo prvi valj stožčast (dogodek A), P (A) = 3 / 10. Verjetnost, da bo drugi valj elipsast (dogodek B), izračunana ob predpostavki, da je prvi valj stožčast, tj. verjetnost RA (B) = 7/9.
V skladu s formulo množenja je želena verjetnost P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Upoštevajte, da ob ohranjanju zapisa zlahka najde: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Pogoj neodvisnosti dogodkov. Množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov. Primeri.

Dogodek B je neodvisen od dogodka A, če

P(B/A) = P(B) tj. Verjetnost dogodka B ni odvisna od tega, ali se je dogodek A zgodil ali ne.

V tem primeru dogodek A ni odvisen od dogodka B, to pomeni, da je lastnost neodvisnosti dogodkov medsebojna.

Verjetnost zmnožka dveh neodvisnih dogodkov je enaka zmnožku njunih verjetnosti:

P(AB) = P(A)P(B).

Primer 1: Naprava, ki deluje v času t, je sestavljena iz treh vozlišč, od katerih lahko vsako neodvisno od drugega v času t odpove (je v okvari). Okvara vsaj enega vozlišča vodi do okvare celotne naprave. V času t je zanesljivost (verjetnost brezhibnega delovanja) prvega vozlišča enaka p 1 = 0,8; drugi p 2 = 0,9 tretji p 3 = 0,7. Poiščite zanesljivost naprave kot celote.

rešitev. Označuje:

A - nemoteno delovanje naprav,

A 1 - delovanje prvega vozlišča brez napak,

A 2 - brezhibno delovanje drugega vozlišča,

A 3 - brezhibno delovanje tretjega vozlišča,

od tod po izreku množenja za neodvisne dogodke

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Primer 2. Poiščite verjetnost, da se številka pojavi skupaj pri enem metu dveh kovancev.

rešitev. Verjetnost pojava števke prvega kovanca (dogodek A) Р(А) = 1/2; verjetnost pojava števke drugega kovanca (dogodek B) je P(B) = 1/2.

Dogodka A in B sta neodvisna, zato poiščemo želeno verjetnost

po formuli:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Konsistentnost in nedoslednost dogodkov. Seštevanje verjetnosti dveh skupnih dogodkov. Primeri.

Dogodka se imenujeta sklepče pojav enega od njih ne vpliva ali izključuje nastopa drugega. Skupne dogodke je mogoče realizirati hkrati, na primer pojav poljubnega števila na isti kocki

nikakor ne vpliva na videz številk na drugi kosti. Dogodki so nedosledni, če jih v enem pojavu ali v enem testu ni mogoče uresničiti hkrati in pojav enega od njih izključuje pojav drugega (zadeti tarčo in zgrešiti sta nezdružljiva).

Verjetnost nastopa vsaj enega od obeh skupnih dogodkov A ali B je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov brez verjetnosti njihovega skupnega nastopa:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Primer. Verjetnost zadetka tarče za prvega športnika je 0,85, za drugega pa 0,8. Športniki samostojno

izstrelil en strel. Poiščite verjetnost, da vsaj en športnik zadene tarčo?

rešitev. Uvedemo zapis: dogodki A - "zadetek prvega tekmovalca", B - "zadetek drugega tekmovalca", C - "zadetek vsaj enega od tekmovalcev". Očitno je A + B = C in dogodka A in B sta združljiva. V skladu s formulo dobimo:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

ker sta A in B neodvisna dogodka. Če nadomestimo te vrednosti P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 v formulo za P(C), najdemo želeno verjetnost

P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Izrek seštevanja verjetnosti nasprotnih dogodkov

Nasproti poimenuj dva nezdružljiva dogodka, ki tvorita popolno skupino. Če enega od dveh nasprotnih dogodkov označimo z AMPAK, drugi je običajno označen . Nasprotni dogodek je sestavljen iz nenastopa dogodka AMPAK.

Izrek. Vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka ena:

P(A)+P()= 1.

Primer 4Škatla vsebuje 11 delov, od tega 8 standardnih. Poiščite verjetnost, da je med 3 naključno izvlečenimi deli vsaj en okvarjen.

rešitev. Problem je mogoče rešiti na dva načina.

1 način. Dogodka »med izvlečenimi deli je vsaj en pokvarjen del« in »med izvlečenimi deli ni niti enega pokvarjenega dela« sta nasprotna. Označimo prvi dogodek kot AMPAK, in drugi skozi :

P(A) =1 - P( ) .

Najdimo R(). Skupno število načinov, na katere je mogoče izluščiti 3 dele iz 11 delov, je enako številu kombinacij
. Število standardnih delov je 8 ; iz tega števila delov
načini ekstrakcije 3 standardnih delov. Zato je verjetnost, da med ekstrahiranimi 3 deli ni nestandardnih delov, enaka:

Po izreku seštevanja verjetnosti nasprotnih dogodkov je želena verjetnost enaka: P(A)=1 - P()=

2 način. Dogodek AMPAK- "med izvlečenimi deli je vsaj en okvarjen" - se lahko uresniči kot videz:

ali dogodki AT- "odstranjen 1 okvarjen in 2 nepokvarjena dela",

ali dogodki OD- "odstranjena 2 okvarjena in 1 nepokvarjen del",

ali dogodki D - "odstranjeni 3 okvarjeni deli".

Potem A= B+ C+ D. Od dogodkov B, C in D nezdružljivi, potem lahko uporabimo adicijski izrek za verjetnosti nezdružljivih dogodkov:

4. Izrek o množenju verjetnosti neodvisnih dogodkov

Produkt dveh dogodkovAMPAK inAT pokličite dogodek C=AB, ki sestoji iz skupnega pojava (kombinacije) teh dogodkov.

Produkt več dogodkov poimenujte dogodek, ki je sestavljen iz skupnega pojava vseh teh dogodkov. Na primer dogodek ABC je kombinacija dogodkov A, B in OD.

Imenujeta se dva dogodka neodvisenče verjetnost enega od njih ni odvisna od pojava ali nepojavitve drugega.

Izrek. Verjetnost skupnega nastopa dveh neodvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov:

P(AB)=P(A) P(B).

Posledica. Verjetnost skupnega nastopa več dogodkov, ki so v agregatu neodvisni, je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov. :

P(A 1 AMPAK 2 ... AMPAK n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

Primer 5 Poiščite verjetnost, da se grba pojavita skupaj v enem metu dveh kovancev.

rešitev. Označimo dogodke: AMPAK - videz grba na prvem kovancu, V - videz grba na drugem kovancu, OD- videz grba na dveh kovancih C=AB.

Verjetnost pojava grba prvega kovanca :

P(A) =.

Verjetnost pojava grba drugega kovanca :

P(B) =.

Od dogodkov AMPAK in AT neodvisen, potem je želena verjetnost po izreku množenja enaka:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Primer 6 V 3 škatlah je 10 delov. Prvi predal vsebuje 8, drugi predal 7 in tretji predal 9 standardnih delov. Iz vsake škatle se naključno izžreba en predmet. Poiščite verjetnost, da so vsi trije vzeti deli standardni.

rešitev. Verjetnost, da je standardni del vzet iz prvega polja (dogodek AMPAK):

P(A) =

Verjetnost, da je standardni del vzet iz drugega polja (dogodek AT):

Verjetnost, da je standardni del vzet iz tretje škatle (dogodek OD):

P(C)=

Od dogodkov A, B in OD neodvisen v agregatu, potem je želena verjetnost (po izreku množenja) enaka:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Primer 7 Verjetnosti pojava vsakega od dveh neodvisnih dogodkov AMPAK 1 in AMPAK 2 oz. enaka R 1 in R 2. Poiščite verjetnost, da se zgodi le eden od teh dogodkov.

rešitev. Uvedemo zapis dogodkov:

AT 1 – pojavil se je edini dogodek AMPAK 1 ; AT 2 – pojavil se je edini dogodek AMPAK 2 .

Pojav dogodka AT 1 je enakovredna pojavu dogodka AMPAK 1 2 (prvi dogodek se je pojavil, drugi pa ne), tj. AT 1 = A 1 2 .

Pojav dogodka AT 2 je enakovredna pojavu dogodka 1 AMPAK 2 (prvi dogodek se ni pojavil in pojavil se je drugi), tj. AT 1 = 1 AMPAK 2 .

Tako najti verjetnost pojava samo enega od dogodkov AMPAK 1 oz AMPAK 2 , zadostuje ugotoviti verjetnost pojava enega, ne glede na to, kateri od dogodkov AT 1 in AT 2 . Razvoj dogodkov AT 1 in AT 2 so nekonsistentni, zato velja izrek seštevanja nekompatibilnih dogodkov:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Izreki seštevanja in množenja verjetnosti.
Odvisni in neodvisni dogodki

Naslov je videti strašljiv, a je v resnici zelo preprost. V tej lekciji se bomo seznanili s teoremi seštevanja in množenja verjetnosti dogodkov ter analizirali tipične naloge, ki poleg naloga za klasično definicijo verjetnosti boste zagotovo srečali ali, bolj verjetno, že srečali na vaši poti. Za učinkovito preučevanje gradiva tega članka morate poznati in razumeti osnovne izraze teorija verjetnosti in biti sposoben izvajati preproste aritmetične operacije. Kot lahko vidite, je potrebno zelo malo, zato je debel plus v sredstvu skoraj zagotovljen. Po drugi strani pa spet opozarjam na površen odnos do praktičnih primerov - dovolj je tudi tankosti. Vso srečo:

Adicijski izrek za verjetnosti nekompatibilnih dogodkov: verjetnost pojava enega od obeh nezdružljivo dogodkov oz (ne glede na vse), je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

Podobno dejstvo velja tudi za večje število nekompatibilnih dogodkov, na primer za tri nekompatibilne dogodke in :

Sanjski izrek =) Vendar pa so takšne sanje predmet tudi dokaza, ki ga lahko najdete na primer v študijski vodnik V.E. Gmurman.

Spoznajmo nove, do sedaj nevidene koncepte:

Odvisni in neodvisni dogodki

Začnimo z neodvisnimi dogodki. Dogodki so neodvisen če je verjetnost pojava katerikoli od njih ni odvisno od pojavljanja/ne pojavljanja drugih dogodkov obravnavanega sklopa (v vseh možnih kombinacijah). ... Ampak kaj je tam za mletje običajnih fraz:

Izrek množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov: verjetnost skupnega nastopa neodvisnih dogodkov in je enak produktu verjetnosti teh dogodkov:

Vrnimo se k najpreprostejšemu primeru 1. lekcije, v kateri se vržeta dva kovanca in naslednji dogodki:

- glave bodo padle na 1. kovanec;
- Glave na 2. kovancu.

Poiščimo verjetnost dogodka (glave se bodo pojavile na 1. kovancu in Orel se bo pojavil na 2. kovancu - spomnite se, kako brati produkt dogodkov!) . Verjetnost, da dobite glave na enem kovancu, ni odvisna od rezultata metanja drugega kovanca, zato so dogodki in neodvisni.

Podobno:
je verjetnost, da bo 1. kovanec pristal na glave in na 2. repu;
je verjetnost, da se glave pojavijo na 1. kovancu in na 2. repu;
je verjetnost, da bo 1. kovanec pristal na repu in na 2. orel.

Upoštevajte, da se dogodki oblikujejo polna skupina in vsota njihovih verjetnosti je enaka ena: .

Izrek o množenju se očitno razširi na večje število neodvisnih dogodkov, tako da je na primer, če so dogodki neodvisni, potem verjetnost njihovega skupnega pojava: . Vadimo s konkretnimi primeri:

Naloga 3

Vsaka od treh škatel vsebuje 10 delov. V prvi škatli je 8 standardnih delov, v drugi - 7, v tretji - 9. En del je naključno odstranjen iz vsake škatle. Poiščite verjetnost, da so vsi deli standardni.

rešitev: verjetnost ekstrahiranja standardnega ali nestandardnega dela iz katere koli škatle ni odvisna od tega, kateri deli bodo ekstrahirani iz drugih škatel, zato je problem neodvisnih dogodkov. Razmislite o naslednjih neodvisnih dogodkih:

– standardni del je odstranjen iz 1. škatle;
– standardni del je odstranjen iz 2. škatle;
– Standardni del je bil odstranjen iz 3. predala.

Po klasični definiciji:
so ustrezne verjetnosti.

Dogodek, ki nas zanima (Standardni del bo vzet iz 1. predala in iz 2. standarda in od 3. standarda) je izražena s produktom.

Po izreku množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

je verjetnost, da bo en standardni del izvlečen iz treh škatel.

Odgovori: 0,504

Po poživljajočih vajah s škatlami nas čakajo nič manj zanimive žare:

Naloga 4

Tri žare vsebujejo 6 belih in 4 črne kroglice. Iz vsake žare se naključno izžreba ena kroglica. Poiščite verjetnost, da: a) bodo vse tri kroglice bele; b) vse tri kroglice bodo enake barve.

Na podlagi prejetih informacij uganite, kako ravnati s točko "biti" ;-) Približna vzorčna rešitev je zasnovana v akademskem slogu s podrobnim opisom vseh dogodkov.

Odvisni dogodki. Dogodek se imenuje odvisen če je njegova verjetnost odvisno iz enega ali več dogodkov, ki so se že zgodili. Za primere vam ni treba daleč - pojdite v najbližjo trgovino:

- Jutri ob 19.00 bo svež kruh v prodaji.

Verjetnost tega dogodka je odvisna od mnogih drugih dogodkov: ali bo jutri dostavljen svež kruh, ali bo razprodan pred 19. uro ali ne itd. Odvisno od različnih okoliščin je lahko ta dogodek zanesljiv ali nemogoč. Torej dogodek je odvisen.

Kruh ... in, kot so zahtevali Rimljani, cirkusi:

- na izpitu prejme študent enostavno vstopnico.

Če ne greste prvi, potem bo dogodek odvisen, saj bo njegova verjetnost odvisna od tega, katere vstopnice so sošolci že izžrebali.

Kako ugotoviti odvisnost/neodvisnost dogodkov?

Včasih je to neposredno navedeno v pogoju problema, najpogosteje pa morate opraviti neodvisno analizo. Tu ni enoznačnega vodila in dejstvo odvisnosti oziroma neodvisnosti dogodkov izhaja iz naravnega logičnega sklepanja.

Da ne vržemo vsega na en kup, naloge za odvisne dogodke Izpostavil bom naslednjo lekcijo, za zdaj pa bomo razmislili o najpogostejši skupini izrekov v praksi:

Težave o adicijskih izrekih za nekonsistentne verjetnosti
in množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov

Ta tandem po moji subjektivni oceni deluje v približno 80% nalog na obravnavano temo. Uspešnica uspešnic in prava klasika teorije verjetnosti:

Naloga 5

Dva strelca sta streljala vsak po en strel v tarčo. Verjetnost zadetka za prvega strelca je 0,8, za drugega - 0,6. Poiščite verjetnost, da:

a) samo en strelec bo zadel tarčo;
b) vsaj eden od strelcev bo zadel tarčo.

rešitev: Verjetnost zadetka/zgrešenega zadetka enega strelca je očitno neodvisna od uspešnosti drugega strelca.

Razmislite o dogodkih:
– 1. strelec bo zadel tarčo;
– 2. strelec bo zadel tarčo.

Po pogoju:.

Poiščimo verjetnosti nasprotnih dogodkov – da bodo ustrezne puščice zgrešile:

a) Razmislite o dogodku: - samo en strelec zadene tarčo. Ta dogodek je sestavljen iz dveh nezdružljivih rezultatov:

Prvi strelec bo zadel in 2. zgreši
oz
1. bo pogrešal in 2. bo udaril.

Na jeziku dogodkovne algebre to dejstvo lahko zapišemo kot:

Najprej uporabimo izrek seštevanja verjetnosti nezdružljivih dogodkov, nato pa izrek množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

je verjetnost, da bo zadetek samo en.

b) Upoštevajte dogodek: - vsaj eden od strelcev bo zadel tarčo.

Najprej RAZMISLIMO - kaj pomeni pogoj "VSAJ EDEN"? V tem primeru to pomeni, da bo prvi strelec zadel (2. bo zgrešil) oz 2. (1. zgreši) oz obe puščici hkrati - skupaj 3 nezdružljivi izidi.

Prva metoda: glede na pripravljeno verjetnost prejšnje postavke je priročno predstaviti dogodek kot vsoto naslednjih disjunktnih dogodkov:

eden bo dobil (dogodek, sestavljen iz dveh nezdružljivih izidov) oz
Če sta obe puščici zadeti, ta dogodek označimo s črko .

V to smer:

Po izreku množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:
je verjetnost, da bo prvi strelec zadel in 2. strelec bo zadel.

Po izreku seštevanja verjetnosti nezdružljivih dogodkov:
je verjetnost vsaj enega zadetka na tarči.

Druga metoda: upoštevajte nasprotni dogodek: – oba strelca bosta zgrešila.

Po izreku množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

Kot rezultat:

Posebna pozornost bodite pozorni na drugo metodo - v splošnem primeru je bolj racionalna.

Poleg tega obstaja alternativni, tretji način reševanja, ki temelji na zgoraj zamolčanem izreku seštevanja skupnih dogodkov.

! Če gradivo berete prvič, je bolje, da preskočite naslednji odstavek, da se izognete zmedi.

Tretja metoda : dogodki so skupni, kar pomeni, da njihov seštevek izraža dogodek »vsaj en strelec zadene tarčo« (glej sl. algebra dogodkov). Avtor: izrek seštevanja verjetnosti skupnih dogodkov in izrek množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

Preverimo: dogodki in (0, 1 oziroma 2 zadetka) tvorijo popolno skupino, zato mora biti vsota njihovih verjetnosti enaka ena:
, kar je bilo treba preveriti.

Odgovori:

Ob temeljitem preučevanju teorije verjetnosti boste naleteli na desetine nalog militaristične vsebine in, kar je značilno, po tem ne boste želeli nikogar ustreliti – naloge so skoraj darilo. Zakaj ne bi predloge še poenostavili? Skrajšajmo zapis:

rešitev: glede na pogoj: , je verjetnost zadetka ustreznih strelcev. Potem so njihove verjetnosti zgrešitve:

a) Po izrekih seštevanja verjetnosti nezdružljivih in množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:
je verjetnost, da bo samo en strelec zadel tarčo.

b) Po izreku množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:
je verjetnost, da bosta oba strelca zgrešila.

Potem: je verjetnost, da bo vsaj eden od strelcev zadel tarčo.

Odgovori:

V praksi lahko uporabite katero koli možnost oblikovanja. Seveda veliko pogosteje gredo po krajši poti, vendar ne gre pozabiti na 1. metodo - čeprav je daljša, je bolj smiselna - v njej je bolj jasno, kaj, zakaj in zakaj sešteva in množi. V nekaterih primerih je primeren hibridni slog, ko je priročno navesti samo nekatere dogodke z velikimi črkami.

Podobne naloge za samostojno rešitev:

Naloga 6

Za javljanje požara sta nameščena dva neodvisno delujoča senzorja. Verjetnost delovanja senzorja med požarom je 0,5 za prvi in 0,7 za drugi senzor. Poiščite verjetnost, da v požaru:

a) oba senzorja ne bosta uspela;
b) oba senzorja bosta delovala.
c) Uporaba adicijski izrek za verjetnosti dogodkov, ki tvorijo popolno skupino, poiščite verjetnost, da bo med požarom deloval samo en senzor. Preverite rezultat z neposrednim izračunom te verjetnosti (z uporabo izrekov seštevanja in množenja).

Tukaj je neodvisnost delovanja naprav neposredno navedena v pogoju, kar je, mimogrede, pomembno pojasnilo. Vzorčna rešitev je zasnovana v akademskem slogu.

Kaj pa, če sta v podobnem problemu podani enaki verjetnosti, na primer 0,9 in 0,9? Popolnoma enako se morate odločiti! (kar je bilo pravzaprav že dokazano na primeru z dvema kovancema)

Naloga 7

Verjetnost, da prvi strelec z enim strelom zadene tarčo, je 0,8. Verjetnost, da tarča ni zadeta po enem strelu prvega in drugega strelca, je 0,08. Kakšna je verjetnost, da bo drugi strelec z enim strelom zadel tarčo?

In to je majhna uganka, ki je uokvirjena na kratek način. Pogoj je mogoče preoblikovati bolj jedrnato, vendar originala ne bom predelal - v praksi se moram poglobiti v bolj okrašene izmišljotine.

Spoznajte ga - on je tisti, ki vam je izrezal neizmerno količino detajlov =):

Naloga 8

Delavec upravlja s tremi stroji. Verjetnost, da bo med premikom prvi stroj zahteval prilagoditev, je 0,3, drugi - 0,75, tretji - 0,4. Poiščite verjetnost, da bo med izmeno:

a) vse stroje bo treba prilagoditi;
b) samo en stroj bo zahteval prilagoditev;
c) vsaj en stroj bo treba prilagoditi.

rešitev: ker pogoj ne pove ničesar o posameznem tehnološkem procesu, je treba delovanje vsakega stroja obravnavati neodvisno od delovanja drugih strojev.

Po analogiji z nalogo št. 5 lahko tukaj upoštevate dogodke, ki so sestavljeni iz dejstva, da bodo ustrezni stroji zahtevali prilagoditev med izmeno, zapišite verjetnosti, poiščite verjetnosti nasprotnih dogodkov itd. Toda s tremi predmeti si res ne želim tako sestaviti naloge - izkazalo se bo dolgo in dolgočasno. Zato je tukaj opazno bolj donosno uporabiti "hitri" slog:

Po pogoju: - verjetnost, da bodo med izmeno zahtevali nastavitev ustreznih strojev. Potem so verjetnosti, da ne bodo potrebovali pozornosti:

Eden od bralcev je tukaj našel kul tipkarsko napako, ne bom je niti popravljal =)

a) Po izreku množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:
je verjetnost, da bodo med izmeno vsi trije stroji zahtevali nastavitev.

b) Dogodek "Med izmeno bo treba prilagoditi samo en stroj" je sestavljen iz treh nezdružljivih rezultatov:

1) 1. stroj bo zahteval pozornost in 2. stroj ne bo zahteval in 3. stroj ne bo zahteval
oz:
2) 1. stroj ne bo zahteval pozornost in 2. stroj bo zahteval in 3. stroj ne bo zahteval
oz:
3) 1. stroj ne bo zahteval pozornost in 2. stroj ne bo zahteval in 3. stroj bo zahteval.

Po izrekih seštevanja verjetnosti nezdružljivih in množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

- verjetnost, da bo med izmeno zahteval prilagoditev samo en stroj.

Mislim, da bi vam zdaj moralo biti jasno, od kod izvira izraz

c) Izračunajte verjetnost, da stroji ne bodo potrebovali prilagajanja, nato pa še verjetnost nasprotnega dogodka:
– dejstvo, da bo treba prilagoditi vsaj en stroj.

Odgovori:

Postavko "ve" lahko rešimo tudi preko vsote , kjer je verjetnost, da bosta med izmeno zahtevala prilagoditev le dva stroja. Ta dogodek pa vključuje 3 nezdružljive rezultate, ki so podpisani po analogiji s postavko "be". Poskusite sami poiskati verjetnost, da preverite celoten problem s pomočjo enakosti.

Naloga 9

Trije topovi so streljali na tarčo. Verjetnost zadetka z enim strelom samo iz prve pištole je 0,7, iz druge - 0,6, iz tretje - 0,8. Poiščite verjetnost, da: 1) vsaj en izstrelek zadene tarčo; 2) samo dva izstrelka bosta zadela tarčo; 3) tarča bo zadeta vsaj dvakrat.

Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In spet o naključjih: v primeru, da po pogoju sovpadata dve ali celo vse vrednosti začetnih verjetnosti (na primer 0,7; 0,7 in 0,7), potem je treba slediti popolnoma enakemu algoritmu rešitve.

V zaključku članka bomo analizirali še eno pogosto uganko:

Naloga 10

Strelec z vsakim strelom zadene tarčo z enako verjetnostjo. Kolikšna je ta verjetnost, če je verjetnost vsaj enega zadetka v treh strelih 0,973.

rešitev: označimo z - verjetnost zadetka tarče z vsakim strelom.
in skozi - verjetnost napake pri vsakem strelu.

Zapišimo dogodke:
- pri 3 strelih bo strelec vsaj enkrat zadel tarčo;
- strelec bo zgrešil 3-krat.

Glede na pogoj je verjetnost nasprotnega dogodka:

Po drugi strani pa po teoremu množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

V to smer:

- verjetnost zgrešenega strela pri vsakem strelu.

Kot rezultat:
je verjetnost zadetka vsakega strela.

Odgovori: 0,7

Enostavno in elegantno.

V obravnavanem problemu se lahko zastavijo dodatna vprašanja o verjetnosti le enega zadetka, samo dveh zadetkov in verjetnosti treh zadetkov na tarči. Shema rešitve bo popolnoma enaka kot v prejšnjih dveh primerih:

Vendar je temeljna vsebinska razlika v tem, da obstajajo ponovljeni neodvisni testi, ki se izvajajo zaporedno, neodvisno drug od drugega in z enako verjetnostjo izidov.

Splošna postavitev problema: verjetnosti nekaterih dogodkov so znane, vendar je treba izračunati verjetnosti drugih dogodkov, ki so povezani s temi dogodki. Pri teh problemih obstaja potreba po takšnih operacijah z verjetnostmi, kot sta seštevanje in množenje verjetnosti.

Med lovom sta bila na primer odjeknila dva strela. Dogodek A- zadetek race iz prvega strela, dogodek B- zadetek iz drugega strela. Nato vsota dogodkov A in B- zadetek iz prvega ali drugega strela ali iz dveh strelov.

Naloge drugačnega tipa. Podanih je več dogodkov, na primer trikrat vržen kovanec. Ugotoviti je treba verjetnost, da bodo izpadli vsi trije grbi ali da bo grb izpadel vsaj enkrat. To je problem množenja.

Seštevanje verjetnosti nezdružljivih dogodkov

Verjetnostni seštevek se uporablja, ko je treba izračunati verjetnost kombinacije ali logične vsote naključnih dogodkov.

Seštevek dogodkov A in B določiti A + B oz A ∪ B. Vsota dveh dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če in samo če se zgodi vsaj eden od dogodkov. To pomeni, da A + B- dogodek, ki se zgodi, če in samo, če se dogodek zgodi med opazovanjem A ali dogodek B, ali hkrati A in B.

Če dogodki A in B so medsebojno neskladni in so podane njihove verjetnosti, nato pa se z seštevanjem verjetnosti izračuna verjetnost, da se bo eden od teh dogodkov zgodil kot rezultat enega poskusa.

Izrek seštevanja verjetnosti. Verjetnost, da se bo zgodil eden od dveh medsebojno nezdružljivih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

Med lovom sta bila na primer odjeknila dva strela. Dogodek AMPAK– zadetek race iz prvega strela, dogodek AT– zadetek iz drugega strela, dogodek ( AMPAK+ AT) - zadetek iz prvega ali drugega strela ali iz dveh strelov. Če torej dva dogodka AMPAK in AT sta torej nezdružljiva dogodka AMPAK+ AT- nastop vsaj enega od teh dogodkov ali dveh dogodkov.

Primer 1 V škatli je 30 kroglic enake velikosti: 10 rdečih, 5 modrih in 15 belih. Izračunajte verjetnost, da barvno (ne belo) žogico vzamete brez pogleda.

rešitev. Predpostavimo, da dogodek AMPAK– »rdeča žoga je prevzeta« in dogodek AT- "Modra žoga je zasedena." Nato je dogodek "vzeta barvna (ne bela) žoga". Poiščite verjetnost dogodka AMPAK:

in dogodki AT:

Razvoj dogodkov AMPAK in AT- medsebojno nezdružljivo, saj če je vzeta ena žoga, potem žoge različnih barv ne morejo vzeti. Zato uporabljamo seštevanje verjetnosti:

Izrek seštevanja verjetnosti za več nekompatibilnih dogodkov.Če dogodki sestavljajo celotno množico dogodkov, potem je vsota njihovih verjetnosti enaka 1:

Tudi vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka 1:

Nasprotni dogodki tvorijo popoln niz dogodkov, verjetnost popolnega niza dogodkov pa je 1.

Verjetnosti nasprotnih dogodkov so običajno označene z malimi črkami. str in q. Še posebej,

iz katerega sledijo naslednje formule za verjetnost nasprotnih dogodkov:

Primer 2 Tarča v zaletu je razdeljena na 3 cone. Verjetnost, da bo določen strelec streljal na tarčo v prvi coni je 0,15, v drugi coni - 0,23, v tretji coni - 0,17. Poiščite verjetnost, da strelec zadene tarčo, in verjetnost, da strelec zgreši tarčo.

Rešitev: Poiščite verjetnost, da bo strelec zadel tarčo:

Poiščite verjetnost, da strelec zgreši tarčo:

Težje naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti - na strani "Različne naloge za seštevanje in množenje verjetnosti" .

Seštevanje verjetnosti medsebojno skupnih dogodkov

Za dva naključna dogodka pravimo, da sta združena, če pojav enega dogodka ne izključuje pojava drugega dogodka v istem opazovanju. Denimo pri metanju kocke dogodek AMPAK velja za pojav števila 4, dogodek pa AT- spuščanje sodega števila. Ker je število 4 sodo število, sta dogodka združljiva. V praksi se pojavljajo naloge za izračun verjetnosti nastopa enega od medsebojno skupnih dogodkov.

Izrek seštevanja verjetnosti za skupne dogodke. Verjetnost, da se bo zgodil eden od skupnih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov, od katere se odšteje verjetnost skupnega nastopa obeh dogodkov, to je produkt verjetnosti. Formula za verjetnost skupnih dogodkov je naslednja:

Ker dogodki AMPAK in AT kompatibilen, dogodek AMPAK+ AT se zgodi, če se zgodi eden od treh možnih dogodkov: oz AB. Po izreku seštevanja nekompatibilnih dogodkov izračunamo takole:

Dogodek AMPAK se zgodi, če se zgodi eden od dveh nezdružljivih dogodkov: oz AB. Vendar pa je verjetnost pojava enega dogodka iz več nezdružljivih dogodkov enaka vsoti verjetnosti vseh teh dogodkov:

Podobno:

Z zamenjavo izrazov (6) in (7) v izraz (5) dobimo verjetnostno formulo skupnih dogodkov:

Pri uporabi formule (8) je treba upoštevati, da dogodki AMPAK in AT je lahko:

medsebojno neodvisni;
medsebojno odvisni.

Verjetnostna formula za med seboj neodvisne dogodke:

Verjetnostna formula za medsebojno odvisne dogodke:

Če dogodki AMPAK in AT so nedosledni, potem je njihovo sovpadanje nemogoč primer in tako p(AB) = 0. Četrta verjetnostna formula za nezdružljive dogodke je naslednja:

Primer 3 Pri avtomobilskih dirkah je pri vožnji v prvem avtomobilu verjetnost zmage pri vožnji v drugem avtomobilu. Najti:

verjetnost, da bosta zmagala oba avtomobila;
verjetnost, da bo zmagal vsaj en avto;

1) Verjetnost, da bo prvi avto zmagal, ni odvisna od rezultata drugega avtomobila, zato dogodki AMPAK(zmaga prvi avto) in AT(zmaga drugi avto) - neodvisni dogodki. Poiščite verjetnost, da oba avtomobila zmagata:

2) Poiščite verjetnost, da bo zmagal eden od obeh avtomobilov:

Težje naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti - na strani "Različne naloge za seštevanje in množenje verjetnosti" .

Sami rešite problem seštevanja verjetnosti in nato poglejte rešitev

Primer 4 Vržena sta dva kovanca. Dogodek A- izguba grba na prvem kovancu. Dogodek B- izguba grba na drugem kovancu. Poiščite verjetnost dogodka C = A + B .

Množenje verjetnosti

Množenje verjetnosti se uporablja, ko je treba izračunati verjetnost logičnega produkta dogodkov.

V tem primeru morajo biti naključni dogodki neodvisni. Za dva dogodka pravimo, da sta med seboj neodvisna, če nastop enega dogodka ne vpliva na verjetnost nastopa drugega dogodka.

Teorem o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke. Verjetnost hkratnega pojava dveh neodvisnih dogodkov AMPAK in AT je enak produktu verjetnosti teh dogodkov in se izračuna po formuli:

Primer 5 Kovanec se vrže trikrat zapored. Poiščite verjetnost, da bo grb izpadel vse trikrat.

rešitev. Verjetnost, da bo grb padel ob prvem metu kovanca, drugič in tretjič. Poiščite verjetnost, da bo grb izpadel vse trikrat:

Sami rešite naloge za množenje verjetnosti in nato poglejte rešitev

Primer 6 Tam je škatla z devetimi novimi teniškimi žogicami. Za igro se vzamejo tri žoge, po igri se vrnejo nazaj. Pri izbiri žog ne ločijo med odigranimi in neodigranimi žogami. Kolikšna je verjetnost, da po tri igre ali v polju ne bo neodigranih žog?

Primer 7 Na izrezanih abecednih karticah je napisanih 32 črk ruske abecede. Pet kart se naključno izvleče ena za drugo in jih položi na mizo v vrstnem redu, v katerem se pojavljajo. Poiščite verjetnost, da bodo črke tvorile besedo "end".

Primer 8 Iz polnega kompleta kart (52 listov) se naenkrat vzamejo štiri karte. Poiščite verjetnost, da so vse te štiri karte iste barve.

Primer 9 Ista težava kot v primeru 8, vendar se vsaka karta po izvleku vrne v komplet.

Bolj zapletene naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti, kot tudi izračunati zmnožek več dogodkov - na strani "Različne naloge za seštevanje in množenje verjetnosti" .

Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od medsebojno neodvisnih dogodkov, lahko izračunamo tako, da od 1 odštejemo zmnožek verjetnosti nasprotnih dogodkov, to je po formuli.