Dogodki se imenujejo neodvisni, če. Odvisni in neodvisni naključni dogodki. Formula skupne verjetnosti

Odvisnost dogodkov razumemo v verjetnostni smislu, ne funkcionalno. To pomeni, da ob pojavu enega od odvisni dogodki nemogoče je nedvoumno oceniti videz drugega. Verjetnostna odvisnost pomeni, da pojav enega od odvisnih dogodkov le spremeni verjetnost nastopa drugega. Če se verjetnost ne spremeni, se dogodki štejejo za neodvisne.

Opredelitev: Pustimo - poljuben verjetnostni prostor, - nekaj naključnih dogodkov. To pravijo dogodek AMPAK ni odvisno od dogodka AT , če je pogojna verjetnost sovpada z brezpogojno verjetnostjo:

Če , potem pravimo, da dogodek AMPAK odvisno od dogodka AT.

Koncept neodvisnosti je simetričen, to je, če dogodek AMPAK ni odvisno od dogodka AT, potem dogodek AT ni odvisno od dogodka AMPAK. Res, naj . Potem . Zato preprosto povedo, da dogodki AMPAK in AT neodvisen.

Naslednja simetrična definicija neodvisnosti dogodkov izhaja iz pravila množenja verjetnosti.

Opredelitev: Razvoj AMPAK in AT, definirani na istem verjetnostnem prostoru neodvisen, če

Če , nato dogodki AMPAK in AT klical odvisen.

Upoštevajte, da je ta definicija veljavna tudi, kadar oz .

Lastnosti neodvisnih dogodkov.

1. Če dogodki AMPAK in AT so neodvisni, potem so neodvisni tudi naslednji pari dogodkov: .

▲ Dokažimo na primer neodvisnost dogodkov. Predstavljajte si dogodek AMPAK kot: . Ker so dogodki nezdružljivi, torej , in zaradi neodvisnosti dogodkov AMPAK in AT to razumemo. Torej, kar pomeni neodvisnost. ■

2. Če dogodek AMPAK ni odvisno od dogodkov V 1 in V 2, ki sta nezdružljiva () , ta dogodek AMPAK ni odvisno od zneska.

▲ Dejansko z uporabo aksioma aditivnosti verjetnosti in neodvisnosti dogodka AMPAK od dogodkov V 1 in V 2, imamo:

Razmerje med pojmoma neodvisnost in nezdružljivost.

Pustiti AMPAK in AT- vsi dogodki, ki imajo različno verjetnost: , torej . Če dogodki AMPAK in AT so nekonsistentne (), zato do enakosti nikoli ne more priti. V to smer, nezdružljivi dogodki so odvisni.

Kadar se obravnava več kot dva dogodka hkrati, njuna parna neodvisnost ne označuje dovolj povezave med dogodki celotne skupine. V tem primeru je uveden koncept neodvisnosti v agregatu.

Opredelitev: kličejo se dogodki, definirani v istem verjetnostnem prostoru kolektivno neodvisni, če sploh 2 £m £n in vsaka kombinacija indeksov velja enako:

pri m = 2 neodvisnost v agregatu pomeni parno neodvisnost dogodkov. Obratno ne drži.

Primer. (Bernstein S.N.)

Naključni poskus je sestavljen iz metanja pravilnega tetraedra (tetraedra). Obstaja obraz, ki je padel. Strani tetraedra so obarvane na naslednji način: 1. stran - bela, 2. stran - črna,
3 obraz - rdeča, 4 obraz - vsebuje vse barve.

Razmislite o dogodkih:

AMPAK= (Osip bele barve}; B= (Črni izpad);

C= (rdeči izpad).

Potem ;

Zato dogodki AMPAK, AT in OD so parno neodvisni.

vendar .

Zato dogodki AMPAK, AT in OD skupaj niso samostojni.

V praksi se neodvisnost dogodkov praviloma ne ugotavlja s preverjanjem po definiciji, ampak obratno: dogodki se štejejo za neodvisne od kakršnih koli zunanjih dejavnikov ali ob upoštevanju okoliščin. naključni poskus in uporabite neodvisnost za iskanje verjetnosti nastanka dogodkov.

Izrek (pomnožitve verjetnosti za neodvisne dogodke).

Če so dogodki, definirani na istem verjetnostnem prostoru, neodvisni v agregatu, potem je verjetnost njihovega produkta enaka produktu verjetnosti:

▲ Dokaz izreka izhaja iz definicije neodvisnosti dogodkov v agregatu oziroma iz splošnega izreka o množenju verjetnosti, ob upoštevanju dejstva, da v tem primeru

Primer 1 (tipičen primer za iskanje pogojnih verjetnosti, koncept neodvisnosti, verjetnostni adicijski izrek).

Električno vezje sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnosti odpovedi vsakega od elementov so enake .

1) Poiščite verjetnost okvare vezja.

2) Znano je, da je vezje odpovedalo.

Kakšna je verjetnost, da ne uspe:

a) 1. element; b) 3. element?

Rešitev. Upoštevaj dogodke = (Neuspešno k element) in dogodek AMPAK= (shema ni uspela). Potem dogodek AMPAK je predstavljen v obliki:

1) Ker dogodki in niso nezdružljivi, potem aksiom aditivnosti verjetnosti P3) ni uporaben in za iskanje verjetnosti je treba uporabiti splošni verjetnostni adicijski izrek, po katerem

Naj verjetnost dogodka AT ni odvisno od nastanka dogodka AMPAK.

Opredelitev. Dogodek AT klical neodvisno od dogodka Ače nastop dogodka AMPAK ne spremeni verjetnosti dogodka AT, tj. če je pogojna verjetnost dogodka AT je enaka njegovi brezpogojni verjetnosti:

R A(AT) = R(AT). (2.12)

Če nadomestimo (2.12) v relacijo (2.11), dobimo

R(AMPAK)R(AT) = R(AT)R B(AMPAK).

R B(AMPAK) = R(AMPAK),

tiste. pogojna verjetnost dogodka AMPAK ob predpostavki, da se je zgodil dogodek AT, je enaka njegovi brezpogojni verjetnosti. Z drugimi besedami, dogodek AMPAK ni odvisno od dogodka B.

Lema (o medsebojni neodvisnosti dogodkov): če dogodek AT ni odvisno od dogodka AMPAK, potem dogodek AMPAK ni odvisno od dogodka AT; to pomeni, da lastnost neodvisnosti dogodkov med seboj.

Za neodvisne dogodke izrek množenja R(AB) = R(AMPAK) R A(AT) ima obliko

R(AB) = R(AMPAK) R(AT), (2.13)

tiste. verjetnost skupnega nastopa dveh neodvisnih dogodkov je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov.

Enakost (2.13) je vzeta kot definicija neodvisnih dogodkov. Za dva dogodka pravimo, da sta neodvisna, če nastop enega od njiju ne spremeni verjetnosti nastopa drugega.

Opredelitev. Imenujeta se dva dogodka neodvisen, če je verjetnost njihove kombinacije enaka produktu verjetnosti teh dogodkov; sicer se dogodki imenujejo odvisen.

V praksi se neodvisnost dogodkov sklepa glede na pomen problema. Na primer, verjetnosti zadetka tarče z vsako od dveh pušk niso odvisne od tega, ali je druga pištola zadela tarčo, zato sta dogodka »prva puška zadela tarčo« in »druga puška zadela tarčo« neodvisna.

Primer. Poiščite verjetnost, da tarčo zadenete skupaj z dvema puškama, če je verjetnost, da tarčo zadenete s prvo puško (dogodek AMPAK) je enak 0,8, drugi pa (dogodek AT) – 0,7.

Rešitev. Razvoj dogodkov AMPAK in AT neodvisna, torej po izreku množenja želena verjetnost

R(AB) = R(AMPAK)R(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Komentiraj 1. Če dogodki AMPAK in AT so neodvisni, potem so tudi dogodki neodvisni. AMPAK in , in AT, in . res,

Posledično

, ali .

, oz .

tiste. razvoj dogodkov AMPAK in AT neodvisen.

Neodvisnost dogodkov in AT, in je posledica dokazane trditve.

Koncept neodvisnosti lahko razširimo na primer n dogodkov.

Opredelitev. Poklicanih je več dogodkov v paru neodvisniče sta vsaka dva neodvisna. Na primer dogodki AMPAK, AT, OD parno neodvisni, če so dogodki neodvisni AMPAK in AT, AMPAK in OD, AT in OD.

Da bi izrek množenja posplošili na več dogodkov, uvedemo koncept neodvisnosti dogodkov v agregatu.

Opredelitev. Poklicanih je več dogodkov kolektivno neodvisni(ali preprosto neodvisen), če sta vsaka dva od njih neodvisna in so vsi dogodki in vsi možni izdelki drugih neodvisni. Na primer, če dogodki AMPAK 1 , A 2 , AMPAK 3 so neodvisni v seštevku, potem so dogodki neodvisni AMPAK 1 in A 2 , AMPAK 1 in AMPAK 3 , A 2 in AMPAK 3 ; AMPAK 1 in A 2 AMPAK 3 , A 2 in AMPAK 1 AMPAK 3 , AMPAK 3 in AMPAK 1 A 2. Iz povedanega sledi, da če so dogodki v skupku neodvisni, potem je pogojna verjetnost nastopa katerega koli dogodka iz njih, izračunana ob predpostavki, da so se zgodili še kateri drugi dogodki izmed ostalih, enaka njegovi brezpogojna verjetnost.

Poudarjamo, da če je več dogodkov neodvisnih v parih, potem njihova neodvisnost v seštevku še ne izhaja iz tega. V tem smislu je zahteva po neodvisnosti dogodkov v agregatu močnejša od zahteve po njihovi parni neodvisnosti.

Povedano pojasnimo s primerom. Recimo, da so v žari 4 kroglice, obarvane: ena je rdeča ( AMPAK), ena - v modri barvi ( AT), ena je črna ( OD) in eno - v vseh teh treh barvah ( ABC). Kakšna je verjetnost, da je krogla, izvlečena iz žare, rdeča?

Ker sta dve od štirih žog rdeči, torej R(AMPAK) = 2/4 = 1/2. Trdimo podobno, ugotovimo R(AT) = 1/2, R(OD) = 1/2. Predpostavimo zdaj, da je vzeta žoga modra, tj. dogodek AT se je že zgodilo. Ali se bo spremenila verjetnost, da je izvlečena kroglica rdeča, tj. Se bo verjetnost dogodka spremenila? AMPAK? Od dveh kroglic, ki sta modri, je ena tudi rdeča, zato je verjetnost dogodka AMPAK je še vedno 1/2. Z drugimi besedami, pogojna verjetnost dogodka AMPAK, izračunano ob predpostavki, da se je dogodek zgodil AT, je enaka njegovi brezpogojni verjetnosti. Zato dogodki AMPAK in AT neodvisen. Podobno sklepamo, da dogodki AMPAK in OD, AT in OD neodvisen. Torej dogodki AMPAK, AT in OD so parno neodvisni.

Ali so ti dogodki skupaj neodvisni? Izkazalo se je, da ne. Dejansko naj ima izvlečena krogla dve barvi, na primer modro in črno. Kolikšna je verjetnost, da je tudi ta krogla rdeča? Samo ena žoga je obarvana v vse tri barve, zato je tudi ujeta žoga rdeča. Tako ob predpostavki, da dogodki AT in OD prišlo, sklepamo, da dogodek AMPAK bo zagotovo prišel. Zato je ta dogodek zanesljiv in njegova verjetnost enaka ena. Z drugimi besedami, pogojna verjetnost R BC(AMPAK)= 1 dogodek AMPAK ni enaka njegovi brezpogojni verjetnosti R(AMPAK) = 1/2. Torej, po paru neodvisni dogodki AMPAK, AT, OD niso kolektivno neodvisni.

Zdaj predstavljamo posledico izreka o množenju.

Posledica. Verjetnost skupnega nastopa več dogodkov, ki so v agregatu neodvisni, je enaka produktu verjetnosti teh dogodkov:

Dokaz. Razmislite o treh dogodkih: AMPAK, AT in OD. Kombinacija dogodkov AMPAK, AT in OD enako kombinaciji dogodkov AB in OD, zato

R(ABC) = R(AB × C).

Od dogodkov AMPAK, AT in OD neodvisni v celoti, potem so neodvisni zlasti dogodki AB in OD, tako dobro, kot AMPAK in AT. Po izreku množenja za dva neodvisna dogodka imamo:

R(AB × C) = R(AB)R(OD) in R(AB) = R(AMPAK)R(AT).

Torej, končno smo dobili

R(ABC) = R(AMPAK)R(AT)R(OD).

Za poljubno n dokaz se izvaja z metodo matematične indukcije.

Komentiraj.Če dogodki AMPAK 1 , AMPAK 2 , ...,A n neodvisni v agregatu, potem so tudi nasprotni dogodki neodvisni v agregatu.

Primer. Poiščite verjetnost, da se grba pojavita skupaj v enem metu dveh kovancev.

Rešitev. Verjetnost pojava grba prvega kovanca (dogodek AMPAK)

R(AMPAK) = 1/2.

Verjetnost pojava grba drugega kovanca (dogodek AT)

R(AT) = 1/2.

Razvoj dogodkov AMPAK in AT neodvisen, zato je želena verjetnost po izreku množenja enaka

R(AB) = R(AMPAK)R(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Primer. Na voljo so 3 škatle po 10 kosov. Prvi predal vsebuje 8, drugi predal 7 in tretji predal 9 standardnih delov. Iz vsake škatle je naključno izžreban en predmet. Poiščite verjetnost, da so vsi trije vzeti deli standardni.

Rešitev. Verjetnost, da je standardni del vzet iz prvega polja (dogodek AMPAK),

R(AMPAK) = 8/10 = 0,8.

Verjetnost, da je standardni del vzet iz drugega polja (dogodek AT),

R(AT) = 7/10 = 0,7.

Verjetnost, da je standardni del vzet iz tretje škatle (dogodek OD),

R(OD) = 9/10 = 0,9.

Od dogodkov AMPAK, AT in OD neodvisen v agregatu, potem je želena verjetnost (po izreku množenja) enaka

R(ABC) = R(AMPAK)R(AT)R(OD) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Navedimo primer skupne uporabe izrekov o seštevanju in množenju.

Primer. Verjetnosti pojava vsakega od treh neodvisnih dogodkov AMPAK 1 , AMPAK 2 , AMPAK 3 enako R 1 , R 2 , R 3. Poiščite verjetnost, da se zgodi le eden od teh dogodkov.

Rešitev. Upoštevajte, da je na primer videz samo prvi dogodek AMPAK 1 je enakovreden pojavu dogodka (prvi dogodek se je pojavil, drugi in tretji dogodek pa se nista pojavila). Naj uvedemo zapis:

B 1 – pojavil se je edini dogodek AMPAK 1, tj. ;

B 2 – pojavil se je edini dogodek AMPAK 2, tj. ;

B 3 – pojavil se je edini dogodek AMPAK 3, tj. .

Tako najti verjetnost pojava samo enega od dogodkov AMPAK 1 , AMPAK 2 , AMPAK 3 , bomo iskali verjetnost p(B 1 + B 2 + AT 3) videz enega, ne glede na to, kateri od dogodkov AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Od dogodkov AT 1 , AT 2 , AT 3 niso skladni, potem velja adicijski izrek

p(B 1 + B 2 + AT 3) = R(AT 1) + R(AT 2) + R(AT 3). (*)

Ostaja še ugotoviti verjetnosti vsakega od dogodkov AT 1 , AT 2 , AT 3. Razvoj dogodkov AMPAK 1 , AMPAK 2 , AMPAK 3 so neodvisni, torej so dogodki neodvisni, zato zanje velja izrek množenja

prav tako

Če te verjetnosti zamenjamo v (*), dobimo želeno verjetnost pojava samo enega od dogodkov AMPAK 1 , AMPAK 2 , AMPAK 3.

Definicije verjetnosti

Klasična definicija

Klasična "definicija" verjetnosti izhaja iz pojma enake priložnosti kot objektivna lastnost preučevanih pojavov. Ekvivalenca je nedoločljiv pojem in je vzpostavljena iz splošnih premislekov o simetriji preučevanih pojavov. Na primer, pri metanju kovanca se domneva, da zaradi domnevne simetrije kovanca, homogenosti materiala in naključnosti (nepristranskosti) metanja ni razloga, da bi dali prednost "repom" kot "orli" ali obratno, to pomeni, da je izguba teh strani lahko enako verjetna (equiprobable) .

Klasična definicija poleg koncepta enakoverjetnosti v splošnem primeru zahteva tudi koncept elementarnega dogodka (izida), ki je v prid ali ne v prid proučevanemu dogodku A. Govorimo o izidih, katerih nastop izključuje možnost pojava drugih izidov. To so nezdružljivi elementarni dogodki. Na primer pri metanju kocke Izpuščanje določene številke izključuje izpuščanje drugih števil.

Klasično definicijo verjetnosti je mogoče formulirati na naslednji način:

Verjetnost naključnega dogodka A se imenuje razmerje n nezdružljivi enako verjetni elementarni dogodki, ki sestavljajo dogodek A , na število vseh možnih elementarnih dogodkov N :

Denimo, da sta vrženi dve kocki. Skupno število enako možnih izidov (elementarnih dogodkov) je očitno 36 (6 možnosti na vsaki kocki). Ocenite verjetnost, da dobite 7 točk. Pridobivanje 7 točk je možno na naslednje načine: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. To pomeni, da obstaja samo 6 enako verjetnih izidov, ki dajejo prednost dogodku A - pridobitev 7 točk. Zato bo verjetnost enaka 6/36=1/6. Za primerjavo, verjetnost, da dobite 12 točk ali 2 točki, je le 1/36 – 6-krat manj.

Geometrijska definicija

Kljub temu, da je klasična definicija intuitivna in izhaja iz prakse, je vsaj ni mogoče neposredno uporabiti, če je število enako možnih rezultatov neskončno. Živahen primer neskončnega števila možnih rezultatov je omejeno geometrijsko območje G, na primer na ravnini, s površino S. Naključno "vržena" "točka" je lahko na kateri koli točki tega območja z enako verjetnostjo. Težava je določiti verjetnost, da točka pade v neko poddomeno g s površino s. V tem primeru lahko s posploševanjem klasične definicije pridemo do geometrijske definicije verjetnosti padca v poddomeno:

Glede na enako možnost ta verjetnost ni odvisna od oblike območja g, temveč le od njegove površine. To definicijo lahko seveda posplošimo na prostor katere koli dimenzije, kjer se namesto površine uporablja koncept "volumen". Poleg tega je ta definicija tista, ki vodi do sodobne aksiomatske definicije verjetnosti. Koncept volumna se posploši na koncept "mere" neke abstraktne množice, ki ji nalagajo zahteve, ki jih ima "volumen" tudi v geometrijski interpretaciji - najprej sta to nenegativnost in aditivnost.

Določanje frekvence (statistično).

Klasična definicija se pri obravnavanju kompleksnih problemov srečuje s težavami nepremostljive narave. Zlasti v nekaterih primerih morda ne bo mogoče identificirati enako verjetnih primerov. Tudi pri kovancu, kot je znano, obstaja očitno ne enako verjetna možnost izpada »roba«, ki je ni mogoče oceniti iz teoretičnih premislekov (lahko rečemo le, da je malo verjetna in je ta razmislek bolj praktičen ). Zato je bila ob zori oblikovanja teorije verjetnosti predlagana alternativna "frekvenčna" definicija verjetnosti. Formalno namreč lahko verjetnost opredelimo kot mejo pogostosti opazovanj dogodka A, ob predpostavki homogenosti opazovanj (torej enakosti vseh pogojev opazovanja) in njihove medsebojne neodvisnosti:

kjer je število opazovanj in je število pojavitev dogodka.

Kljub dejstvu, da ta definicija bolj kaže na način ocenjevanja neznane verjetnosti - s pomočjo velikega števila homogenih in neodvisnih opazovanj - vseeno ta definicija odraža vsebino koncepta verjetnosti. Namreč, če dogodku pripišemo določeno verjetnost, kot objektivno merilo njegove možnosti, potem to pomeni, da bi ob določenih pogojih in večkratnem ponavljanju morali dobiti pogostost njegovega pojavljanja blizu (bližje, več opazovanj). Pravzaprav je to prvotni pomen koncepta verjetnosti. Temelji na objektivističnem pogledu na naravne pojave. Spodaj so tako imenovani zakoni velike številke, ki predstavljajo teoretično osnovo (v okviru sodobnega aksiomatskega pristopa, predstavljenega v nadaljevanju), tudi za frekvenčno oceno verjetnosti.

Aksiomatska definicija

V sodobnem matematičnem pristopu je verjetnost podana z Kolmogorova aksiomatika. Predvideva se, da nekateri prostor elementarnega dogajanja. Podmnožice tega prostora se razlagajo kot naključni dogodki. Združitev (vsota) nekaterih podmnožic (dogodkov) se razlaga kot dogodek, ki je sestavljen iz pojava vsaj en od teh dogodkov. Presek (produkt) podmnožic (dogodkov) se razlaga kot dogodek, ki je sestavljen iz pojava vse teh dogodkov. Disjunktne množice se razlagajo kot nezdružljivo dogodkov (njihova skupna ofenziva je nemogoča). V skladu s tem prazna množica pomeni nemogoče dogodek.

Verjetnost ( verjetnostna mera) je poklican ukrep(numerična funkcija), definirana na množici dogodkov, ki ima naslednje lastnosti:

Če je prostor elementarnih dogodkov X seveda, potem zadostuje podani pogoj aditivnosti za poljubna dva nekompatibilna dogodka, iz katerega bo sledila aditivnost za kateri koli dokončnoštevilo nezdružljivih dogodkov. Vendar v primeru neskončnega (štetega ali neštetega) prostora elementarnih dogodkov ta pogoj ni zadosten. Tako imenovani števna ali sigma aditivnost, to je izpolnitev lastnosti aditivnosti za katero koli nič več kot prešteti družine parno nezdružljivih dogodkov. To je potrebno za zagotovitev "kontinuitete" verjetnostne mere.

Verjetnostna mera morda ni definirana za vse podmnožice množice. Predvideva se, da je opredeljena na nekaterih sigma algebra podmnožice . Te podmnožice se imenujejo merljivo glede na dano verjetnostno mero in so naključni dogodki. Množica - to je množica elementarnih dogodkov, sigma-algebra njenih podmnožic in verjetnostna mera - se imenuje verjetnostni prostor.

Zvezne naključne spremenljivke. Poleg diskretnih naključnih spremenljivk, katerih možne vrednosti tvorijo končno ali neskončno zaporedje števil, ki v celoti ne zapolnijo nobenega intervala, pogosto obstajajo naključne spremenljivke, katerih možne vrednosti tvorijo določen interval. Primer takšne naključne spremenljivke je odstopanje od nominalne določene velikosti dela s pravilno vzpostavljenim tehnološkim procesom. Te vrste naključnih spremenljivk ni mogoče določiti z uporabo zakona porazdelitve verjetnosti p(x). Vendar jih je mogoče določiti s funkcijo porazdelitve verjetnosti F(x). Ta funkcija je definirana na povsem enak način kot v primeru diskretne naključne spremenljivke:

Tako je tudi tukaj funkcija F(x) definirana na celi številski osi, njena vrednost pa na točki X je enaka verjetnosti, da bo naključna spremenljivka prevzela vrednost manjšo od X. Formula (19) ter lastnosti 1° in 2° veljajo za porazdelitveno funkcijo poljubne naključne spremenljivke. Dokaz izvedemo podobno kot v primeru diskretne količine. Naključna spremenljivka se imenuje neprekinjeno, če zanjo obstaja nenegativna delno zvezna funkcija*, ki za poljubne vrednosti izpolnjuje x enakost

Na podlagi geometrijskega pomena integrala kot ploščine lahko rečemo, da je verjetnost izpolnitve neenakosti enaka ploščini krivokotnega trapeza z osnovo zgoraj omejena s krivuljo (slika 6).

Ker in na podlagi formule (22)

Upoštevajte, da je za zvezno naključno spremenljivko porazdelitvena funkcija F(x) neprekinjeno na kateri koli točki X, kjer je funkcija zvezna. To izhaja iz dejstva, da F(x) se na teh točkah razlikuje. Na podlagi formule (23) ob predpostavki x 1 =x, , imamo

Zaradi kontinuitete funkcije F(x) to razumemo

Posledično

V to smer, verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka lahko prevzame katero koli posamezno vrednost x, je nič. Iz tega sledi, da so dogodki, sestavljeni iz izpolnitve vsake od neenakosti

Imajo enako verjetnost, tj.

Dejansko npr.

Ker Komentiraj. Kot vemo, če je dogodek nemogoč, potem je verjetnost njegovega pojava enaka nič. V klasični definiciji verjetnosti, ko je število izidov testa končno, velja tudi obratna trditev: če je verjetnost dogodka enaka nič, potem je dogodek nemogoč, saj mu v tem primeru noben izid testa ne daje prednosti. V primeru zvezne naključne spremenljivke je število njenih možnih vrednosti neskončno. Verjetnost, da bo ta vrednost prevzela katero koli posebno vrednost x 1 kot smo videli, je enako nič. Vendar iz tega ne sledi, da je ta dogodek nemogoč, saj lahko kot rezultat testa naključna spremenljivka prevzame predvsem vrednost x 1 . Zato je v primeru zvezne naključne spremenljivke smiselno govoriti o verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v interval, in ne o verjetnosti, da bo prevzela določeno vrednost. Tako nas na primer pri izdelavi valja ne zanima verjetnost, da bo njegov premer enak nominalni vrednosti. Za nas je pomembna verjetnost, da premer valja ne gre iz tolerance. Primer. Gostota porazdelitve zvezne naključne spremenljivke je podana kot sledi:

Graf funkcije je prikazan na sl. 7. Določite verjetnost, da bo naključna spremenljivka zavzela vrednost, ki zadostuje neenačbam Poiščite porazdelitveno funkcijo dane naključne spremenljivke. ( Rešitev)

Naslednja dva odstavka sta posvečena porazdelitvam zveznih naključnih spremenljivk, ki jih v praksi pogosto srečamo – enakomerni in normalni porazdelitvi.

* Funkcija se imenuje delno zvezna na celotni numerični osi, če je zvezna na katerem koli segmentu ali ima končno število diskontinuitetnih točk prve vrste. ** Pravilo za razlikovanje integrala s spremenljivo zgornjo mejo, izpeljano v primeru končne spodnje meje, ostaja v veljavi za integrale z neskončno spodnjo mejo. Vsekakor,

Ker je integral

je konstantna vrednost.

Odvisni in neodvisni dogodki. Pogojna verjetnost

Razlikovati med odvisnimi in neodvisnimi dogodki. Za dva dogodka pravimo, da sta neodvisna, če nastop enega od njiju ne spremeni verjetnosti nastopa drugega. Na primer, če v delavnici obratujeta dve avtomatski liniji, ki nista med seboj povezani glede na proizvodne pogoje, potem so zaustavitve teh linij neodvisni dogodki.

Primer 3 Kovanec se obrne dvakrat. Verjetnost pojava "grba" v prvem testu (dogodek ) ni odvisna od pojava ali nepojavitve "grba" v drugem testu (dogodek ). Po drugi strani pa verjetnost pojava "grba" v drugem testu ni odvisna od rezultata prvega testa. Tako, dogodki in neodvisni.

Pokliče se več dogodkov kolektivno neodvisni , če noben od njih ni odvisen od katerega koli drugega dogodka in od katere koli kombinacije drugih.

Dogodki se imenujejo odvisen , če eden od njih vpliva na verjetnost pojava drugega. Dva proizvodna obrata sta na primer povezana z enim tehnološkim ciklom. Potem je verjetnost okvare enega od njih odvisna od stanja drugega. Verjetnost enega dogodka, izračunana ob predpostavki pojava drugega dogodka, se imenuje pogojna verjetnost dogodkov in je označena z .

Pogoj neodvisnosti dogodka od dogodka je zapisan v obliki , pogoj njegove odvisnosti pa v obliki . Razmislite o primeru izračuna pogojne verjetnosti dogodka.

Primer 4 V škatli je 5 sekalcev: dva obrabljena in trije novi. Izvedemo dve zaporedni ekstrakciji sekalcev. Določite pogojno verjetnost pojava obrabljenega rezila pri drugem izvleku, pod pogojem, da se prvič odstranjeni rezalnik ne vrne v škatlo.

Rešitev. Označimo ekstrakcijo obrabljenega rezalnika v prvem primeru in - ekstrakcijo novega. Potem. Ker odstranjenega rezalnika ne vrnemo v škatlo, se spremeni razmerje med številom obrabljenih in novih rezil. Zato je verjetnost odstranitve obrabljenega rezalnika v drugem primeru odvisna od tega, kateri dogodek se je zgodil prej.

Označimo dogodek, ki pomeni izvlečenje obrabljenega rezila v drugem primeru. Verjetnosti za ta dogodek so:

Zato je verjetnost dogodka odvisna od tega, ali se je dogodek zgodil ali ne.

Gostota verjetnosti- eden od načinov za določitev verjetnostne mere na evklidskem prostoru. V primeru, ko je verjetnostna mera porazdelitev naključne spremenljivke, govorimo o gostotanaključna spremenljivka.

Gostota verjetnosti Naj je verjetnostna mera na, kar pomeni, da je definiran verjetnostni prostor, kjer označuje Borelovo σ-algebro na. Označimo Lebesguevo mero na.

Definicija 1. Verjetnost se imenuje absolutno zvezna (glede na Lebesgueovo mero) (), če ima katera koli Borelova množica ničelne Lebesgueove mere tudi verjetnost nič:

Če je verjetnost absolutno zvezna, potem v skladu z Radon-Nikodymovim izrekom obstaja nenegativna Borelova funkcija,

kjer se uporablja običajna okrajšava , integral pa razumemo v smislu Lebesguea.

Definicija 2. Bolj splošno, naj bo poljuben merljiv prostor in naj bosta dve meri na tem prostoru. Če obstaja nenegativno , kar omogoča izražanje mere v smislu mere v obliki

potem se ta funkcija pokliče izmerite gostoto kot , oz derivat Radon-Nikodima mera glede na mera , in označujemo

Če ob nastopu dogodka verjetnost dogodka ne spremeni, potem dogodki in klical neodvisen.

Izrek:Verjetnost skupnega nastopa dveh neodvisnih dogodkov in (deluje in ) je enak produktu verjetnosti teh dogodkov.

Dejansko, saj razvoj dogodkov in neodvisen, torej
. V tem primeru je formula za verjetnost produkta dogodkov in prevzame obliko.

Razvoj dogodkov
klical v paru neodvisniče sta katera koli dva neodvisna.

Razvoj dogodkov
klical kolektivno neodvisen (ali preprosto neodvisen), če sta vsaka dva od njih neodvisna in so vsak dogodek in vsi možni izdelki drugih neodvisni.

Izrek:Verjetnost produkta končnega števila neodvisnih dogodkov v agregatu
je enak produktu verjetnosti teh dogodkov.

Na primerih ponazorimo razliko v uporabi formul verjetnosti dogodka za odvisne in neodvisne dogodke

Primer 1. Verjetnost, da prvi strelec zadene tarčo, je 0,85, drugi 0,8. Puške so sprožile en strel naenkrat. Kakšna je verjetnost, da vsaj en izstrelek zadene tarčo?

Rešitev: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Ker sta posnetka neodvisna, potem

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Primer 2. Žara vsebuje 2 rdeči in 4 črne krogle. Iz njega se zaporedoma vzameta 2 žogi. Kolikšna je verjetnost, da sta obe krogli rdeči.

Rešitev: 1 primer. Dogodek A je pojav rdeče krogle pri prvem žrebanju, dogodek B pri drugem. Dogodek C je pojav dveh rdečih kroglic.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2 primer. Prva izvlečena žoga se vrne v koš.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Formula skupne verjetnosti.

Naj dogodek se lahko zgodi samo enemu od nezdružljivih dogodkov
, ki tvori popolno skupino. Na primer, trgovina prejme iste izdelke od treh podjetij in v različnih količinah. Verjetnost proizvodnje izdelkov nizke kakovosti v teh podjetjih je drugačna. Eden izmed izdelkov je naključno izbran. Ugotoviti je treba verjetnost, da je ta izdelek slabe kakovosti (dogodek ). Dogodki tukaj
je izbira izdelka iz proizvodnje ustreznega podjetja.

V tem primeru verjetnost dogodka lahko obravnavamo kot vsoto produktov dogodkov
.

Z adicijskim izrekom za verjetnosti nekompatibilnih dogodkov dobimo
. Z uporabo izreka verjetnostnega množenja najdemo

Nastala formula se imenuje formula skupne verjetnosti.

Bayesova formula

Naj dogodek zgodi hkrati z enim od nezdružljivi dogodki
, katerih verjetnosti
(
) znani pred izkušnjami ( apriorne verjetnosti). Izvede se poskus, na podlagi katerega se zabeleži pojav dogodka , in znano je, da je imel ta dogodek določene pogojne verjetnosti
(
). Potrebno je najti verjetnosti dogodkov
če je dogodek znan zgodilo ( a posteriori verjetnosti).

Težava je v tem, da imajo nove informacije(zgodil se je dogodek A), morate ponovno oceniti verjetnosti dogodkov
.

Temelji na izreku o verjetnosti produkta dveh dogodkov

Nastala formula se imenuje Bayesove formule.

Osnovni pojmi kombinatorike.

Pri reševanju številnih teoretičnih in praktičnih problemov je treba iz končne množice elementov sestaviti različne kombinacije po danih pravilih in prešteti število vseh možnih takih kombinacij. Takšne naloge imenujemo kombinatorika.

Pri reševanju nalog kombinatorika uporablja pravila vsote in zmnožka.

Splošna postavitev problema: verjetnosti nekaterih dogodkov so znane, vendar je treba izračunati verjetnosti drugih dogodkov, ki so povezani s temi dogodki. Pri teh problemih obstaja potreba po takšnih operacijah z verjetnostmi, kot sta seštevanje in množenje verjetnosti.

Med lovom sta bila na primer odjeknila dva strela. Dogodek A- zadetek race iz prvega strela, dogodek B- zadetek iz drugega strela. Nato vsota dogodkov A in B- zadetek iz prvega ali drugega strela ali iz dveh strelov.

Naloge drugačnega tipa. Podanih je več dogodkov, na primer trikrat vržen kovanec. Ugotoviti je treba verjetnost, da bodo izpadli vsi trije grbi ali da bo grb izpadel vsaj enkrat. To je problem množenja.

Seštevanje verjetnosti nezdružljivih dogodkov

Verjetnostni seštevek se uporablja, ko je treba izračunati verjetnost kombinacije ali logične vsote naključnih dogodkov.

Seštevek dogodkov A in B določiti A + B oz A ∪ B. Vsota dveh dogodkov je dogodek, ki se zgodi, če in samo če se zgodi vsaj eden od dogodkov. To pomeni, da A + B- dogodek, ki se zgodi, če in samo, če se dogodek zgodi med opazovanjem A ali dogodek B, ali hkrati A in B.

Če dogodki A in B so medsebojno neskladni in so podane njihove verjetnosti, nato pa se z seštevanjem verjetnosti izračuna verjetnost, da se bo eden od teh dogodkov zgodil kot rezultat enega poskusa.

Izrek seštevanja verjetnosti. Verjetnost, da se zgodi eden od dveh medsebojno nezdružljivih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov:

Med lovom sta bila na primer odjeknila dva strela. Dogodek AMPAK– zadetek race iz prvega strela, dogodek AT– zadetek iz drugega strela, dogodek ( AMPAK+ AT) - zadetek iz prvega ali drugega strela ali iz dveh strelov. Če sta torej dva dogodka AMPAK in AT sta torej nezdružljiva dogodka AMPAK+ AT- nastop vsaj enega od teh dogodkov ali dveh dogodkov.

Primer 1 V škatli je 30 kroglic enake velikosti: 10 rdečih, 5 modrih in 15 belih. Izračunajte verjetnost, da barvno (ne belo) žogico vzamete brez pogleda.

Rešitev. Predpostavimo, da dogodek AMPAK– »rdeča žoga je prevzeta« in dogodek AT- "Modra žoga je zasedena." Nato je dogodek "vzeta barvna (ne bela) žoga". Poiščite verjetnost dogodka AMPAK:

in dogodki AT:

Razvoj dogodkov AMPAK in AT- medsebojno nezdružljivo, saj če je vzeta ena žoga, potem žoge različnih barv ne morejo vzeti. Zato uporabljamo seštevanje verjetnosti:

Izrek seštevanja verjetnosti za več nekompatibilnih dogodkov.Če dogodki sestavljajo celotno množico dogodkov, potem je vsota njihovih verjetnosti enaka 1:

Tudi vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov je enaka 1:

Nasprotni dogodki tvorijo popoln niz dogodkov, verjetnost popolnega niza dogodkov pa je 1.

Verjetnosti nasprotnih dogodkov so običajno označene z malimi črkami. str in q. Še posebej,

iz katerega sledijo naslednje formule za verjetnost nasprotnih dogodkov:

Primer 2 Tarča v zaletu je razdeljena na 3 cone. Verjetnost, da bo določen strelec streljal na tarčo v prvi coni je 0,15, v drugi coni - 0,23, v tretji coni - 0,17. Poiščite verjetnost, da strelec zadene tarčo, in verjetnost, da strelec zgreši tarčo.

Rešitev: Poiščite verjetnost, da bo strelec zadel tarčo:

Poiščite verjetnost, da strelec zgreši tarčo:

Težje naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti - na strani "Različne naloge za seštevanje in množenje verjetnosti" .

Seštevanje verjetnosti medsebojno skupnih dogodkov

Za dva naključna dogodka pravimo, da sta združena, če pojav enega dogodka ne izključuje pojava drugega dogodka v istem opazovanju. Denimo pri metanju kocke dogodek AMPAK velja za pojav števila 4, dogodek pa AT- spuščanje sodega števila. Ker je število 4 sodo število, sta dogodka združljiva. V praksi se pojavljajo naloge za izračun verjetnosti nastopa enega od medsebojno skupnih dogodkov.

Izrek seštevanja verjetnosti za skupne dogodke. Verjetnost, da se bo zgodil eden od skupnih dogodkov, je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov, od katere se odšteje verjetnost skupnega nastopa obeh dogodkov, to je zmnožek verjetnosti. Formula za verjetnost skupnih dogodkov je naslednja:

Ker dogodki AMPAK in AT kompatibilen, dogodek AMPAK+ AT se zgodi, če se zgodi eden od treh možnih dogodkov: oz AB. Po izreku seštevanja nekompatibilnih dogodkov izračunamo takole:

Dogodek AMPAK se zgodi, če se zgodi eden od dveh nezdružljivih dogodkov: oz AB. Vendar pa je verjetnost pojava enega dogodka iz več nezdružljivih dogodkov enaka vsoti verjetnosti vseh teh dogodkov:

Podobno:

Z zamenjavo izrazov (6) in (7) v izraz (5) dobimo verjetnostno formulo skupnih dogodkov:

Pri uporabi formule (8) je treba upoštevati, da dogodki AMPAK in AT je lahko:

medsebojno neodvisni;
medsebojno odvisni.

Verjetnostna formula za med seboj neodvisne dogodke:

Verjetnostna formula za medsebojno odvisne dogodke:

Če dogodki AMPAK in AT so nedosledni, potem je njihovo sovpadanje nemogoč primer in tako p(AB) = 0. Četrta verjetnostna formula za nezdružljive dogodke je naslednja:

Primer 3 Pri avtomobilskih dirkah je pri vožnji v prvem avtomobilu verjetnost zmage pri vožnji v drugem avtomobilu. Najti:

verjetnost, da bosta zmagala oba avtomobila;
verjetnost, da bo zmagal vsaj en avto;

1) Verjetnost, da bo zmagal prvi avto, ni odvisna od rezultata drugega avtomobila, zato dogodki AMPAK(zmaga prvi avto) in AT(zmaga drugi avto) - neodvisni dogodki. Poiščite verjetnost, da oba avtomobila zmagata:

2) Poiščite verjetnost, da bo zmagal eden od obeh avtomobilov:

Težje naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti - na strani "Različne naloge za seštevanje in množenje verjetnosti" .

Sami rešite problem seštevanja verjetnosti in si nato oglejte rešitev

Primer 4 Vržena sta dva kovanca. Dogodek A- izguba grba na prvem kovancu. Dogodek B- izguba grba na drugem kovancu. Poiščite verjetnost dogodka C = A + B .

Množenje verjetnosti

Množenje verjetnosti se uporablja, ko je treba izračunati verjetnost logičnega produkta dogodkov.

V tem primeru morajo biti naključni dogodki neodvisni. Za dva dogodka pravimo, da sta med seboj neodvisna, če pojav enega dogodka ne vpliva na verjetnost nastopa drugega dogodka.

Teorem o množenju verjetnosti za neodvisne dogodke. Verjetnost hkratnega pojava dveh neodvisnih dogodkov AMPAK in AT je enak produktu verjetnosti teh dogodkov in se izračuna po formuli:

Primer 5 Kovanec se vrže trikrat zapored. Poiščite verjetnost, da bo grb izpadel vse trikrat.

Rešitev. Verjetnost, da bo grb padel ob prvem metu kovanca, drugič in tretjič. Poiščite verjetnost, da bo grb izpadel vse trikrat:

Sami rešite naloge verjetnostnega množenja in si nato oglejte rešitev

Primer 6 Tam je škatla z devetimi novimi teniškimi žogicami. Za igro se vzamejo tri žoge, po igri se vrnejo nazaj. Pri izbiri žog ne ločijo med odigranimi in neodigranimi žogami. Kolikšna je verjetnost, da po tri igre ali v polju ne bo neodigranih žog?

Primer 7 Na izrezanih abecednih karticah je napisanih 32 črk ruske abecede. Pet kart se naključno izvleče ena za drugo in jih položi na mizo v vrstnem redu, v katerem se pojavljajo. Poiščite verjetnost, da bodo črke tvorile besedo "end".

Primer 8 Iz polnega kompleta kart (52 listov) se naenkrat vzamejo štiri karte. Poiščite verjetnost, da so vse te štiri karte iste barve.

Primer 9 Ista težava kot v primeru 8, vendar se vsaka karta po izvleku vrne v komplet.

Bolj zapletene naloge, pri katerih morate uporabiti tako seštevanje kot množenje verjetnosti, kot tudi izračunati zmnožek več dogodkov - na strani "Različne naloge za seštevanje in množenje verjetnosti" .

Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od medsebojno neodvisnih dogodkov, lahko izračunamo tako, da od 1 odštejemo zmnožek verjetnosti nasprotnih dogodkov, to je po formuli.