Probabiliteti i kushtëzuar. Probabiliteti i kushtëzuar dhe formulat më të thjeshta bazë. Teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve, njëra prej të cilave ndodh nën kushtin e tjetrës

4. Probabiliteti i kushtëzuar. Teorema e shumëzimit të probabilitetit.

Në shumë probleme është e nevojshme të gjendet probabiliteti i kombinimit të ngjarjeve DHE dhe AT nëse dihen probabilitetet e ngjarjeve DHE dhe AT.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Le të hidhen dy monedha. Gjeni probabilitetin e paraqitjes së dy stemave. Ne kemi 4 rezultate të papajtueshme në çift, njësoj të mundshme, që formojnë një grup të plotë:

Tani na tregoni se stema ra në monedhën e parë. Si do të ndryshojë probabiliteti që të shfaqet stema në të dyja monedhat pas kësaj? Meqenëse stema ra në monedhën e parë, tani grupi i plotë përbëhet nga dy rezultate të papajtueshme po aq të mundshme:

probabiliteti i ngjarjes së re DHE, duke supozuar se një ngjarje ka ndodhur B, do të shënojmë P B (A).

Kështu, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Teorema e shumëzimit. Probabiliteti i kombinimit të ngjarjeve A dhe B është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre me probabilitetin e kushtëzuar të tjetrës, e llogaritur me supozimin se ngjarja e parë ka ndodhur, d.m.th.

Dëshmi. Le të vërtetojmë vlefshmërinë e relacionit (4) bazuar në përkufizimin klasik të probabilitetit. Lërini rezultatet e mundshme E 1, E 2, ..., E N nga kjo eksperiencë formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift po aq të mundshme, nga të cilat ngjarja A favor M rezultatet, dhe le nga këto M rezultatet L rezultatet favorizojnë ngjarjen B. Natyrisht, kombinimi i ngjarjeve A dhe B favor L nga N rezultatet e mundshme të testit. Kjo jep; ;
Kështu,
Ndërrimi i vendeve A dhe B, në mënyrë të ngjashme marrim
Teorema e shumëzimit mund të përgjithësohet lehtësisht në çdo numër të kufizuar ngjarjesh. Kështu, për shembull, në rastin e tre ngjarjeve A 1, A2, A 3 ne kemi *
Në përgjithësi

Nga relacioni (6) del se nga dy barazime (8) njëra është pasojë e tjetrës.

Le, për shembull, ngjarjen A- shfaqja e stemës gjatë një hedhjeje të vetme të një monedhe dhe ngjarja B- shfaqja e një karte të një kostumi diamanti kur një kartë hiqet nga kuverta. Natyrisht ngjarjet A dhe B të pavarur.

Nëse ngjarjet janë të pavarura A te B formula (4) do të marrë një formë më të thjeshtë:

* Ngjarja A 1 A 2 A 3 mund të paraqitet si një kombinim i dy ngjarjeve: ngjarjeve C=A 1 A 2 dhe ngjarjet A 3.

Merrni parasysh ngjarjet A dhe B lidhur me të njëjtën përvojë. Le të bëhet e ditur nga disa burime se ngjarja B ka ndodhur, por nuk dihet se cilat prej rezultateve elementare që përbëjnë ngjarjen B, ndodhi. Çfarë mund të thuhet në këtë rast për probabilitetin e një ngjarjeje A?

Probabiliteti i ngjarjes A, llogaritur nën supozimin se ngjarja B ka ndodhur, është zakon të quhet probabiliteti i kushtëzuar dhe të shënohet P(A|B).

probabiliteti i kushtëzuar P(A|B) zhvillimet A subjekt i ngjarjes B në kuadrin e skemës klasike, është e natyrshme që probabiliteti të përcaktohet si raport NAB rezultate që favorizojnë zbatimin e përbashkët të ngjarjeve A dhe B, në numrin NB rezultate që favorizojnë ngjarjen B, kjo eshte

Nëse numëruesin dhe emëruesin e kësaj shprehje e pjesëtojmë me numrin e përgjithshëm N rezultate elementare, marrim

Përkufizimi. Probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje A subjekt i ngjarjes B quhet raporti i probabilitetit të kryqëzimit të ngjarjeve A dhe B ndaj probabilitetit të një ngjarjeje B:

Në të njëjtën kohë, supozohet se P(B) ≠ 0.

Teorema. Probabiliteti i kushtëzuar P(A|B) ka të gjitha vetitë e probabilitetit të pakushtëzuar P(A).

Kuptimi i kësaj teoreme është se probabiliteti i kushtëzuar është probabiliteti i pakushtëzuar i dhënë në hapësirën e re Ω 1 rezultatet elementare që përkojnë me ngjarjen B.

Shembull. Nga urna në të cilën a=7 të bardhët dhe b=3 topa të zinj, dy topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme pa zëvendësim. Lëreni ngjarjen A 1është se topi i parë i tërhequr është i bardhë, dhe A2- topi i dytë është i bardhë. Donte të gjente P(A 2 |A 1).

Metoda 1.. Sipas përkufizimit të probabilitetit të kushtëzuar

Metoda 2.. Le të kalojmë në një hapësirë ​​të re të rezultateve elementare Ω 1. Që nga ngjarja A 1 ka ndodhur, kjo do të thotë se në hapësirën e re të rezultateve elementare, numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme NΩ 1 =a+b-1=9, dhe ngjarjen A2 e favorizon atë N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 rezultatet. Rrjedhimisht,

Teorema [shumëzimi i probabiliteteve]. Lëreni ngjarjen A=A 1 A 2 …A n dhe P(A)>0. Atëherë barazia është e vërtetë:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Komentoni. Nga vetia e komutativitetit të një kryqëzimi, mund të shkruhet

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Shembull. Shkronjat që formojnë fjalën "NIGHTINGALE" shkruhen në 7 letra. Kartat përzihen dhe tre letra hiqen rastësisht prej tyre dhe vendosen nga e majta në të djathtë. Gjeni probabilitetin që do të merret fjala "VOL" (ngjarja A).

Lëreni ngjarjen A 1- shkronja "B" është shkruar në kartën e parë, A2- shkronja "O" është shkruar në kartën e dytë, A2- në kartën e tretë - shkronja "L". Pastaj ngjarja A- kryqëzimi i ngjarjeve A 1, A2, A 3. Rrjedhimisht,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; nëse ngjarje A 1 ndodhi, atëherë në 6 letrat e mbetura "O" ndodh dy herë, që do të thotë P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Po kështu, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Rrjedhimisht,

Përkufizimi. Zhvillimet A dhe B, që kanë një probabilitet jo zero, quhen të pavarur nëse probabiliteti i kushtëzuar A duke pasur parasysh se B përkon me probabilitetin e pakushtëzuar A ose nëse probabiliteti i kushtëzuar B duke pasur parasysh se A përkon me probabilitetin e pakushtëzuar B, kjo eshte

P(A|B) = P(A) ose P(B|A) = P(B),

përndryshe ngjarjet A dhe B quhet i varur.

Teorema. Zhvillimet A dhe B, të cilat kanë një probabilitet jo zero, janë të pavarur nëse dhe vetëm nëse

P(AB) = P(A) P(B).

Kështu, ne mund të japim një përkufizim ekuivalent:

Përkufizimi. Zhvillimet A dhe B quhen të pavarur nëse P(AB) = P(A) P(B).

Shembull. Nga një kuvertë letrash që përmban n=36 letra, një kartë tërhiqet rastësisht. Shënoni me A një ngjarje që korrespondon me faktin se harta e nxjerrë do të jetë një kulm, dhe B- një ngjarje që korrespondon me pamjen e një "zonje". Përcaktoni nëse ngjarjet janë të varura A dhe B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Prandaj, ngjarjet A dhe B të pavarur. Po kështu, .

Le te jete DHE dhe AT janë dy ngjarjet e konsideruara në këtë test. Në këtë rast, ndodhja e njërës prej ngjarjeve mund të ndikojë në mundësinë e ndodhjes së një tjetri. Për shembull, ndodhja e një ngjarjeje DHE mund të ndikojë në ngjarje AT ose anasjelltas. Për të marrë parasysh një varësi të tillë të disa ngjarjeve nga të tjerat, prezantohet koncepti i probabilitetit të kushtëzuar.

Përkufizimi. Nëse probabiliteti i një ngjarjeje AT ndodhet me kusht që ngjarja DHE ka ndodhur, atëherë probabiliteti rezultues i ngjarjes AT thirrur probabiliteti i kushtëzuar zhvillimet AT. Simbolet e mëposhtme përdoren për të treguar një probabilitet të tillë të kushtëzuar: R DHE ( AT) ose R(AT / DHE).

Vërejtje 2. Në ndryshim nga probabiliteti i kushtëzuar, konsiderohet edhe probabiliteti "i pakushtëzuar", kur ka kushte për ndodhjen e ndonjë ngjarjeje. AT i zhdukur.

Shembull. Një urnë përmban 5 topa, 3 prej të cilëve janë të kuq dhe 2 janë blu. Nga ana tjetër, një top tërhiqet prej tij me një kthim dhe pa kthim. Gjeni probabilitetin e kushtëzuar që të vizatoni një top të kuq për herë të dytë, me kusht që hera e parë e marrë të jetë: a) një top i kuq; b) një top blu.

Lëreni ngjarjen DHE po vizaton topin e kuq për herë të parë, dhe ngjarja AT– nxjerrja e topit të kuq për herë të dytë. Është e qartë se R(DHE) = 3/5; atëherë në rastin kur topi i nxjerrë për herë të parë kthehet në urnë, R(AT)=3/5. Në rastin kur topi i tërhequr nuk kthehet, probabiliteti i tërheqjes së një topi të kuq R(AT) varet nga cili top është tërhequr për herë të parë - e kuqe (ngjarja DHE) ose blu (ngjarje). Pastaj në rastin e parë R DHE ( AT) = 2/4, dhe në të dytën ( AT) = 3 / 4.

Teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve, njëra prej të cilave ndodh nën kushtin e tjetrës

Probabiliteti i produktit të dy ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre nga probabiliteti i kushtëzuar i tjetrës, i gjetur nën supozimin se ngjarja e parë ka ndodhur:

R(A ∙ B) = R(DHE) ∙ R DHE ( AT) . (1.7)

Dëshmi. Në të vërtetë, le n- numri i përgjithshëm i rezultateve (elementare) po aq të mundshme dhe të papajtueshme të testit. Lëreni të shkojë n 1 - numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen DHE, e cila ndodh në fillim, dhe m- numri i rezultateve në të cilat ndodh ngjarja AT duke supozuar se ngjarja DHE ka ardhur. Kështu, mështë numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen AT. Pastaj marrim:

Ato. probabiliteti i produktit të disa ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej këtyre ngjarjeve nga probabilitetet e kushtëzuara të të tjerave, dhe probabiliteti i kushtëzuar i secilës ngjarje pasuese llogaritet me supozimin se të gjitha ngjarjet e mëparshme kanë ndodhur.

Shembull. Në një ekip prej 10 sportistësh janë 4 mjeshtra sporti. Me short zgjidhen nga ekipi 3 sportistë. Sa është probabiliteti që të gjithë sportistët e përzgjedhur të jenë mjeshtër sporti?

Vendimi. Le ta reduktojmë problemin në modelin “urn”, d.m.th. Le të supozojmë se ka 4 topa të kuq dhe 6 të bardhë në një urnë që përmban 10 topa. 3 topa janë nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga kjo urnë (përzgjedhja S= 3). Lëreni ngjarjen DHE konsiston në nxjerrjen e 3 topave. Problemi mund të zgjidhet në dy mënyra: me skemën klasike dhe me formulën (1.9).

Metoda e parë e bazuar në formulën e kombinatorikës:

Metoda e dytë (me formulën (1.9)). 3 topa tërhiqen radhazi nga urna pa zëvendësim. Le te jete DHE 1 - topi i parë i tërhequr është i kuq, DHE 2 - topi i dytë i tërhequr është i kuq, DHE 3 - topi i tretë i tërhequr është i kuq. Le edhe ngjarjen DHE do të thotë që të 3 topat e tërhequr janë të kuq. Pastaj: DHE = DHE 1 ∙ (DHE 2 / DHE 1) ∙ DHE 3 / (DHE 1 ∙ DHE 2), d.m.th.

Shembull. Lëreni nga grupi i kartave a, a, r, b, o, t letrat tërhiqen një nga një. Sa është probabiliteti për të marrë fjalën " Punë” kur i palosni në mënyrë sekuenciale në një rresht nga e majta në të djathtë?

Le te jete AT- ngjarja në të cilën fitohet fjala e deklaruar. Pastaj me formulën (1.9) marrim:

R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit merr formën e saj më të thjeshtë kur prodhimi formohet nga ngjarje të pavarura nga njëra-tjetra.

Përkufizimi. Ngjarje AT thirrur të pavarur nga ngjarja DHE nëse probabiliteti i tij nuk ndryshon pavarësisht nëse ka ndodhur ngjarja DHE ose jo. Dy ngjarje quhen të pavarura (të varura) nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e ndryshon (ndryshon) probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Kështu, për jo ngjarje të varura p(B/A) = R(AT) ose = R(AT), dhe për ngjarje të varura R(AT/A)

Ngjarje. Hapësira e ngjarjeve elementare. Ngjarje e sigurt, ngjarje e pamundur. Ngjarje të përbashkëta, jo të përbashkëta. Ngjarje ekuivalente. Grupi i plotë i ngjarjeve. Operacionet në ngjarje.

Ngjarjeështë një fenomen që mund të thuhet se është duke vazhduar ose nuk ndodh, në varësi të natyrës së vetë ngjarjes.

Nën ngjarje elementare lidhur me një test të veçantë kuptojnë të gjitha rezultatet e pazbërthyeshme të atij testi. Çdo ngjarje që mund të ndodhë si rezultat i këtij testi mund të konsiderohet si një grup i caktuar ngjarjesh elementare.

Hapësira e ngjarjeve elementare quhet bashkësi arbitrare (fundme ose e pafundme). Elementet e tij janë pikat (ngjarje elementare). Nëngrupet e hapësirës së ngjarjeve elementare quhen ngjarje.

një ngjarje të caktuar quhet një ngjarje e cila, si rezultat i këtij testi, do të ndodhë patjetër; (shënohet me E).

Ngjarje e pamundur një ngjarje quhet një ngjarje e tillë që, si rezultat i një testi të caktuar nuk mund të ndodhë; (shënohet U). Për shembull, shfaqja e një prej gjashtë pikave gjatë një gjuajtjeje zare- një ngjarje e besueshme, dhe shfaqja e 8 pikëve është e pamundur.

Të dy ngjarjet quhen të përbashkët(e pajtueshme) në një përvojë të caktuar, nëse pamja e njërës prej tyre nuk e përjashton pamjen e tjetrës.

Të dy ngjarjet quhen të papajtueshme(të papajtueshme) në një provë të caktuar nëse nuk mund të ndodhin së bashku në të njëjtin gjykim. Disa ngjarje thuhet se janë të papajtueshme nëse ato janë të papajtueshme në çift.

Fillimi i formularit

Fundi i formës

Tema numër 2. Përkufizimi aksiomatik i probabilitetit. Përkufizimi klasik, statistikor, gjeometrik i probabilitetit të një ngjarjeje. Karakteristikat e probabilitetit. Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve. ngjarje të pavarura. Probabiliteti i kushtëzuar. Probabiliteti që të paktën një nga ngjarjet të ndodhë. Formula e probabilitetit total. Formula e Bayes

Një masë numerike e shkallës së mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarje quhet probabiliteti i një ngjarjeje. Ky përkufizim, i cili pasqyron në mënyrë cilësore konceptin e probabilitetit të një ngjarjeje, nuk është matematikor. Për ta bërë atë të tillë, është e nevojshme ta përcaktojmë atë në mënyrë cilësore.

Sipas përkufizimi klasik probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rasteve të favorshme për të me numrin e përgjithshëm të rasteve, domethënë:

Ku P(A) është probabiliteti i ngjarjes A.

Numri i rasteve të favorshme për ngjarjen A

Numri i përgjithshëm i rasteve.

Përkufizimi statistikor i probabilitetit:

Probabiliteti statistikor i një ngjarje A është frekuenca relative e shfaqjes së kësaj ngjarje në testet e kryera, domethënë:

Ku është probabiliteti statistikor i ngjarjes A.

Frekuenca (frekuenca) relative e ngjarjes A.

Numri i sprovave në të cilat u shfaqën ngjarjet A

Numri i përgjithshëm i provave.

Ndryshe nga probabiliteti "matematikor", i konsideruar në përkufizimin klasik, probabiliteti statistikor është një karakteristikë e një eksperimenti, eksperimental.

Nëse ka një proporcion të rasteve që favorizojnë ngjarjen A, e cila përcaktohet drejtpërdrejt, pa asnjë provë, domethënë, përqindja e atyre gjykimeve të kryera në të vërtetë në të cilën ndodhi A.

Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit:

Probabiliteti gjeometrik i një ngjarje A është raporti i masës së zonës që favorizon ndodhjen e ngjarjes A me masën e të gjitha zonave, që është:

Në rastin njëdimensional:

Është e nevojshme të vlerësohet probabiliteti i goditjes së një pike në CD/

Rezulton se ky probabilitet nuk varet nga vendndodhja e CD-së në segmentin AB, por varet vetëm nga gjatësia e tij.

Probabiliteti për të goditur një pikë nuk varet nga format ose nga vendndodhja e B në A, por varet vetëm nga zona e këtij segmenti.

Probabiliteti i kushtëzuar

Probabiliteti quhet kushtëzuar , nëse llogaritet në kushte të caktuara dhe shënohet:

Kjo është probabiliteti i ngjarjes A. Ajo llogaritet me kushtin që ngjarja B të ketë ndodhur tashmë.

Shembull. Ne bëjmë një provë, nxjerrim dy letra nga kuverta: Probabiliteti i parë është i pakushtëzuar.

Ne llogarisim probabilitetin e tërheqjes së një asi nga kuverta:

Ne llogarisim shfaqjen e 2-ace nga kuverta:

A*B - dukuri e përbashkët e ngjarjeve

– teorema e shumëzimit të probabilitetit

Pasoja:

Teorema e shumëzimit për shfaqjen e përbashkët të ngjarjeve ka formën:

Kjo do të thotë, çdo probabilitet pasues llogaritet duke marrë parasysh që të gjitha kushtet e mëparshme tashmë kanë ndodhur.

Ngjarja e Pavarësisë:

Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës nuk bie në kundërshtim me ndodhjen e tjetrës.

Për shembull, nëse acet tërhiqen në mënyrë të përsëritur nga kuverta, atëherë ato janë të pavarura nga njëri-tjetri. Përsëri, domethënë, karta u pa dhe u kthye përsëri në kuvertë.

Ngjarje të përbashkëta dhe jo të përbashkëta:

të përbashkët 2 ngjarje quhen nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk bie në kundërshtim me ndodhjen e tjetrës.

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta:

Probabiliteti i ndodhjes së njërës prej dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa shfaqjen e tyre të përbashkët.

Për tre ngjarje të përbashkëta:

Ngjarjet quhen të paqëndrueshme nëse dy prej tyre nuk mund të shfaqen njëkohësisht si rezultat i një testi të vetëm të një eksperimenti të rastësishëm.

Teorema: Probabiliteti i ndodhjes së një prej dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Probabiliteti i shumës së ngjarjeve:

Teorema e shtimit të probabilitetit:

Probabiliteti i shumës së një numri të kufizuar ngjarjesh të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Përfundimi 1:

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve që formojnë një grup të plotë është e barabartë me një:

Pasoja 2:

Koment: Duhet theksuar se teorema e konsideruar e mbledhjes është e zbatueshme vetëm për ngjarje të papajtueshme.

Probabiliteti i ngjarjeve të kundërta:

E kundërt quhen dy ngjarje unike të mundshme që formojnë një grup të plotë. Një nga dy ngjarjet e kundërta shënohet me DHE, tjetra - përmes .

Shembull: Goditja dhe humbja kur gjuan në një objektiv janë ngjarje të kundërta. Nëse A është një goditje, atëherë një gabim.

Teorema: Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është e barabartë me një:

Shënim 1: Nëse probabiliteti i njërës prej dy ngjarjeve të kundërta shënohet me p, atëherë probabiliteti i ngjarjes tjetër shënohet me q Kështu, në bazë të teoremës së mëparshme:

Shënim 2: Kur zgjidhni probleme për të gjetur probabilitetin e një ngjarje A, shpesh është e dobishme që fillimisht të llogaritet probabiliteti i ngjarjes dhe më pas të gjendet probabiliteti i dëshiruar duke përdorur formulën:

Probabiliteti që të paktën një ngjarje të ndodhë:

Le të supozojmë se si rezultat i një eksperimenti, mund të shfaqet një pjesë ose asnjë ngjarje.

Teorema: Probabiliteti i ndodhjes së të paktën një ngjarje nga një grup ngjarjesh të pavarura është i barabartë me diferencën midis unitetit dhe probabilitetit të tyre për të mos ndodhur ngjarje.

Formula e probabilitetit total ju lejon të gjeni probabilitetin e një ngjarjeje A, e cila mund të ndodhë vetëm me secilën prej n ngjarje reciproke ekskluzive që formojnë një sistem të plotë nëse dihen probabilitetet e tyre, dhe probabilitete të kushtëzuara zhvillimet A në lidhje me secilën nga ngjarjet e sistemit janë të barabarta me .

Ngjarjet quhen edhe hipoteza, ato përjashtojnë njëra-tjetrën. Prandaj, në literaturë mund të gjeni edhe përcaktimin e tyre jo me shkronjë B, por me një letër H(hipotezë).

Për të zgjidhur problemet me kushte të tilla, është e nevojshme të merren parasysh 3, 4, 5 ose në rastin e përgjithshëm n mundësia e një ngjarjeje A- me çdo ngjarje.

Duke përdorur teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve, marrim shumën e produkteve të probabilitetit të secilës prej ngjarjeve të sistemit nga probabiliteti i kushtëzuar zhvillimet A për çdo ngjarje në sistem. Kjo është, probabiliteti i një ngjarjeje A mund të llogaritet me formulë

ose në përgjithësi

,

që quhet formula e probabilitetit total .

Formula e probabilitetit total: shembuj të zgjidhjes së problemit

Shembulli 1 Ka tre urna me pamje identike: në të parën ka 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj, në të dytën - 4 të bardha dhe një të zezë, në të tretën - tre topa të bardhë. Dikush i afrohet rastësisht njërës prej urnave dhe nxjerr një top prej saj. Duke përfituar formula e probabilitetit total, gjeni probabilitetin që topi të jetë i bardhë.

Vendimi. Ngjarje A- pamja e një topi të bardhë. Ne parashtrojmë tre hipoteza:

Urna e parë e zgjedhur;

Është zgjedhur urna e dytë;

Është zgjedhur urna e tretë.

Probabilitetet e ngjarjeve të kushtëzuara A për secilën nga hipotezat:

, , .

Ne aplikojmë formulën e probabilitetit total, si rezultat - probabilitetin e kërkuar:

.

Shembulli 2 Në fabrikën e parë, nga çdo 100 llamba, prodhohen mesatarisht 90 llamba standarde, në të dytën - 95, në të tretën - 85, dhe produktet e këtyre fabrikave zënë 50%, 30% dhe 20%. përkatësisht të të gjitha llambave elektrike të furnizuara në dyqane në një zonë të caktuar. Gjeni probabilitetin për të blerë një llambë standarde.

Vendimi. Le të shënojmë probabilitetin e blerjes së një llambë standarde si A, dhe ngjarjet që llamba e blerë është prodhuar në fabrikën e parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht, përmes . Sipas kushteve, probabilitetet e këtyre ngjarjeve njihen: , , dhe probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A në lidhje me secilën prej tyre: , , . Këto janë probabilitetet e blerjes së një llambë standarde, me kusht që ajo të prodhohet përkatësisht në fabrikat e para, të dyta dhe të treta.

Ngjarje A do të ndodhë nëse ndodh një ngjarje ose K- llamba është bërë në fabrikën e parë dhe është standarde, ose një ngjarje L- llamba është bërë në fabrikën e dytë dhe është standarde, ose një ngjarje M- llamba është prodhuar në fabrikën e tretë dhe është standarde. Mundësi të tjera për ndodhjen e ngjarjes A nr. Prandaj, ngjarja Aështë shuma e ngjarjeve K, L dhe M që janë të papajtueshme. Duke aplikuar teoremën e mbledhjes së probabilitetit, ne paraqesim probabilitetin e një ngjarjeje A si

dhe nga teorema e shumëzimit të probabilitetit marrim

kjo eshte, një rast i veçantë i formulës së probabilitetit total.

Duke zëvendësuar probabilitetet në anën e majtë të formulës, marrim probabilitetin e ngjarjes A :

Shembulli 3 Avioni është duke u ulur në aeroport. Nëse moti e lejon, piloti ul avionin, duke përdorur, përveç instrumenteve, edhe vëzhgimin vizual. Në këtë rast, probabiliteti për një ulje të suksesshme është. Nëse fusha ajrore është e mbuluar me re të ulëta, atëherë piloti ul avionin, duke u orientuar vetëm në instrumente. Në këtë rast, probabiliteti për një ulje të suksesshme është; . Pajisjet që ofrojnë ulje të verbër kanë besueshmëri (probabilitet për funksionim pa dështim) P. Në prani të reve të ulëta dhe instrumenteve të uljes së verbër të dështuar, probabiliteti për një ulje të suksesshme është; . Statistikat tregojnë se në k% e uljeve, fusha ajrore është e mbuluar me re të ulëta. Gjej probabiliteti i plotë i ngjarjes A- ulje e sigurt e avionit.

Vendimi. Hipotezat:

Nuk ka mbulesë të ulët reje;

Ka mbulesë të ulët reje.

Probabilitetet e këtyre hipotezave (ngjarjeve):

;

Probabiliteti i kushtëzuar.

Probabiliteti i kushtëzuar gjendet sërish nga formula për probabilitetin total me hipoteza

Punojnë pajisjet e uljes së verbër;

Instrumentet e uljes së verbër dështuan.

Probabilitetet e këtyre hipotezave janë:

Sipas formulës së probabilitetit total

Shembulli 4 Pajisja mund të funksionojë në dy mënyra: normale dhe jonormale. Mënyra normale vërehet në 80% të të gjitha rasteve të funksionimit të pajisjes, dhe jonormale - në 20% të rasteve. Mundësia e dështimit të pajisjes në një kohë të caktuar t e barabartë me 0.1; në anormale 0.7. Gjej probabilitet të plotë dështimi i pajisjes në kohë t.

Vendimi. Ne përsëri tregojmë probabilitetin e dështimit të pajisjes si A. Pra, në lidhje me funksionimin e pajisjes në çdo modalitet (ngjarje), probabilitetet njihen me kusht: për mënyrën normale është 80% (), për mënyrën jonormale - 20% (). Probabiliteti i ngjarjes A(d.m.th., dështimi i pajisjes) në varësi të ngjarjes së parë (modaliteti normal) është 0.1 (); në varësi të ngjarjes së dytë (modaliteti jonormal) - 0.7 ( ). Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën e probabilitetit total (d.m.th., shuma e produkteve të probabilitetit të secilës prej ngjarjeve të sistemit dhe probabilitetit të kushtëzuar të ngjarjes A në lidhje me secilën prej ngjarjeve të sistemit) dhe kemi rezultatin e kërkuar.