Ngjarjet quhen të pavarura nëse. Ngjarje të rastësishme të varura dhe të pavarura. Formula e probabilitetit total

Varësia e ngjarjeve kuptohet në probabilistike kuptim, jo funksionalisht. Kjo do të thotë se me paraqitjen e njërit prej ngjarje të varuraështë e pamundur të gjykosh pa mëdyshje pamjen e tjetrit. Varësia probabiliste do të thotë që ndodhja e njërës prej ngjarjeve të varura ndryshon vetëm probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Nëse probabiliteti nuk ndryshon, atëherë ngjarjet konsiderohen të pavarura.

Përkufizimi: Le - hapësirë probabiliteti arbitrar, - disa ngjarje të rastësishme. Ata thonë se ngjarje POR nuk varet nga ngjarja AT , nëse ajo probabiliteti i kushtëzuar përkon me probabilitetin e pakushtëzuar:

Nese nje , atëherë themi se ngjarja POR ngjarja e varur AT.

Koncepti i pavarësisë është simetrik, domethënë një ngjarje POR nuk varet nga ngjarja AT, pastaj ngjarja AT nuk varet nga ngjarja POR. Në të vërtetë, le . Pastaj . Prandaj, ata thjesht thonë se ngjarjet POR dhe AT të pavarur.

Përkufizimi i mëposhtëm simetrik i pavarësisë së ngjarjeve rrjedh nga rregulli i shumëzimit të probabiliteteve.

Përkufizimi: Zhvillimet POR dhe AT, të përcaktuara në të njëjtën hapësirë probabiliteti quhen të pavarur, nëse

Nese nje , pastaj ngjarjet POR dhe AT thirrur i varur.

Vini re se ky përkufizim është gjithashtu i vlefshëm kur ose .

Vetitë e ngjarjeve të pavarura.

1. Nëse ngjarjet POR dhe AT janë të pavarura, atëherë janë të pavarura edhe dyshet e mëposhtme të ngjarjeve: .

▲ Le të provojmë, për shembull, pavarësinë e ngjarjeve. Imagjinoni një ngjarje POR si: . Meqenëse ngjarjet janë të papajtueshme, atëherë , dhe për shkak të pavarësisë së ngjarjeve POR dhe AT ne e marrim atë. Prandaj, që do të thotë pavarësi. ■

2. Nëse ngjarja POR nuk varet nga ngjarjet NË 1 dhe NË 2, të cilat janë të papajtueshme () , atë ngjarje POR nuk varet nga shuma.

▲ Në të vërtetë, duke përdorur aksiomën e aditivitetit të probabilitetit dhe pavarësisë së ngjarjes POR nga ngjarjet NË 1 dhe NË 2, ne kemi:

Marrëdhënia midis koncepteve të pavarësisë dhe papajtueshmërisë.

Le POR dhe AT- çdo ngjarje që ka një probabilitet jo zero: , pra . Nëse ngjarjet POR dhe AT janë të paqëndrueshme (), dhe për këtë arsye barazia nuk mund të ndodhë kurrë. Në këtë mënyrë, ngjarjet e papajtueshme janë të varura.

Kur më shumë se dy ngjarje konsiderohen njëkohësisht, pavarësia e tyre në çift nuk karakterizon mjaftueshëm lidhjen midis ngjarjeve të të gjithë grupit. Në këtë rast, futet koncepti i pavarësisë në agregat.

Përkufizimi: Ngjarjet e përcaktuara në të njëjtën hapësirë probabiliteti quhen kolektivisht të pavarur, nëse për ndonjë 2 £ milion £n dhe çdo kombinim indeksesh mban barazinë:

Në m = 2 Pavarësia në total nënkupton pavarësinë në çift të ngjarjeve. E kundërta nuk është e vërtetë.

Shembull. (Bernstein S.N.)

Një eksperiment i rastësishëm konsiston në hedhjen e një tetraedri të rregullt (tetrahedron). Ka një fytyrë që ka rënë nga lart poshtë. Fytyrat e tetrahedronit janë të ngjyrosura si më poshtë: fytyra e parë - e bardhë, fytyra e dytë - e zezë,
3 fytyrë - e kuqe, 4 fytyrë - përmban të gjitha ngjyrat.

Merrni parasysh ngjarjet:

POR= (Bënia e shkollës ngjyrë të bardhë}; B= (Dalje e zezë);

C= (Braktisja e kuqe).

Pastaj ;

Prandaj, ngjarjet POR, AT dhe NGA janë të pavarura në çift.

Megjithatë, .

Prandaj, ngjarjet POR, AT dhe NGA kolektivisht nuk janë të pavarur.

Në praktikë, si rregull, pavarësia e ngjarjeve nuk përcaktohet, duke e kontrolluar atë me përkufizim, por anasjelltas: ngjarjet konsiderohen të pavarura nga çdo konsideratë e jashtme ose duke marrë parasysh rrethanat. eksperiment i rastësishëm, dhe përdorni pavarësinë për të gjetur probabilitetet e prodhimit të ngjarjeve.

Teorema (shumëzimi i probabiliteteve për ngjarje të pavarura).

Nëse ngjarjet e përcaktuara në të njëjtën hapësirë probabiliteti janë të pavarura në total, atëherë probabiliteti i produktit të tyre është i barabartë me produktin e probabiliteteve:

▲ Vërtetimi i teoremës rrjedh nga përcaktimi i pavarësisë së ngjarjeve në agregat ose nga teorema e përgjithshme e shumëzimit të probabilitetit, duke marrë parasysh faktin se në këtë rast

Shembulli 1 (shembull tipik për gjetjen e probabiliteteve të kushtëzuara, koncepti i pavarësisë, teorema e mbledhjes së probabilitetit).

Qarku elektrik përbëhet nga tre elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabilitetet e dështimit të secilit prej elementeve janë përkatësisht të barabarta me .

1) Gjeni probabilitetin e dështimit të qarkut.

2) Dihet se qarku ka dështuar.

Sa është probabiliteti që të dështojë:

a) Elementi i parë; b) Elementi i tretë?

Zgjidhje. Konsideroni ngjarjet = (Dështoi k elementi) dhe ngjarja POR= (Skema dështoi). Pastaj ngjarja POR paraqitet në formën:

1) Meqenëse ngjarjet dhe nuk janë të papajtueshme, atëherë aksioma e aditivitetit të probabilitetit P3) nuk është e zbatueshme dhe për të gjetur probabilitetin duhet përdorur teorema e përgjithshme e mbledhjes së probabilitetit, sipas së cilës

Lëreni probabilitetin e një ngjarjeje AT nuk varet nga ndodhja e ngjarjes POR.

Përkufizimi. Ngjarje AT thirrur pavarësisht nga ngjarja A nëse ndodhja e ngjarjes POR nuk ndryshon probabilitetin e një ngjarjeje AT, d.m.th. nëse probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes ATështë e barabartë me probabilitetin e tij të pakushtëzuar:

R A(AT) = R(AT). (2.12)

Duke zëvendësuar (2.12) në relacionin (2.11), marrim

R(POR)R(AT) = R(AT)R B(POR).

R B(POR) = R(POR),

ato. probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje POR duke supozuar se ka ndodhur një ngjarje AT, është e barabartë me probabilitetin e tij të pakushtëzuar. Me fjalë të tjera, ngjarja POR nuk varet nga ngjarja B.

Lemë (mbi pavarësinë e ndërsjellë të ngjarjeve): nëse ngjarje AT nuk varet nga ngjarja POR, pastaj ngjarja POR nuk varet nga ngjarja AT; do të thotë se pronë e pavarësisë së ngjarjeve reciproke.

Për ngjarje të pavarura, teorema e shumëzimit R(AB) = R(POR) R A(AT) ka formën

R(AB) = R(POR) R(AT), (2.13)

ato. probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Barazia (2.13) merret si përkufizim i ngjarjeve të pavarura. Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e shfaqjes së tjetrës.

Përkufizimi. Quhen dy ngjarje të pavarur, nëse probabiliteti i kombinimit të tyre është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve; ndryshe quhen ngjarjet i varur.

Në praktikë, pavarësia e ngjarjeve konkludohet sipas kuptimit të problemit. Për shembull, mundësitë për të goditur një objektiv me secilën nga dy armët nuk varen nga fakti nëse arma tjetër goditi objektivin, kështu që ngjarjet "arma e parë goditi objektivin" dhe "arma e dytë goditi objektivin" janë të pavarura.

Shembull. Gjeni probabilitetin për të goditur objektivin së bashku me dy armë nëse probabiliteti për të goditur objektivin nga arma e parë (ngjarje POR) është e barabartë me 0.8, dhe e dyta (ngjarja AT) – 0,7.

Zgjidhje. Zhvillimet POR dhe AT e pavarur, pra, nga teorema e shumëzimit, probabiliteti i dëshiruar

R(AB) = R(POR)R(AT) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Koment 1. Nëse ngjarjet POR dhe AT janë të pavarura, atëherë edhe ngjarjet janë të pavarura. POR dhe , dhe AT, dhe . Vërtet,

Rrjedhimisht,

, ose .

ato. zhvillimet POR dhe AT të pavarur.

Pavarësia e ngjarjeve dhe AT, dhe është pasojë e pohimit të provuar.

Koncepti i pavarësisë mund të shtrihet në rastin n ngjarjet.

Përkufizimi. Quhen disa ngjarje dyshe të pavarura nëse çdo dy prej tyre janë të pavarura. Për shembull, ngjarjet POR, AT, NGA dyshe të pavarura nëse ngjarjet janë të pavarura POR dhe AT, POR dhe NGA, AT dhe NGA.

Për të përgjithësuar teoremën e shumëzimit në disa ngjarje, ne prezantojmë konceptin e pavarësisë së ngjarjeve në agregat.

Përkufizimi. Quhen disa ngjarje kolektivisht të pavarur(ose thjesht të pavarur) nëse çdo dy prej tyre janë të pavarura dhe çdo ngjarje dhe të gjitha produktet e mundshme të të tjerave janë të pavarura. Për shembull, nëse ngjarjet POR 1 , A 2 , POR 3 janë të pavarura në total, atëherë ngjarjet janë të pavarura POR 1 dhe A 2 , POR 1 dhe POR 3 , A 2 dhe POR 3 ; POR 1 dhe A 2 POR 3 , A 2 dhe POR 1 POR 3 , POR 3 dhe POR 1 A 2. Nga sa u tha, rezulton se nëse ngjarjet janë të pavarura në total, atëherë probabiliteti i kushtëzuar i ndodhjes së ndonjë ngjarjeje prej tyre, i llogaritur me supozimin se ndonjë ngjarje tjetër nga të tjerat ka ndodhur, është e barabartë me probabiliteti i pakushtëzuar.

Theksojmë se nëse disa ngjarje janë të pavarura në çifte, atëherë pavarësia e tyre në total nuk rrjedh ende nga kjo. Në këtë kuptim, kërkesa për pavarësinë e ngjarjeve në agregat është më e fortë se kërkesa për pavarësinë e tyre në çift.

Le të shpjegojmë atë që është thënë me një shembull. Supozoni se ka 4 topa në urnë, me ngjyrë: njëri është i kuq ( POR), një - në blu ( AT), një - e zezë ( NGA) dhe një - në të gjitha këto tre ngjyra ( ABC). Sa është probabiliteti që një top i nxjerrë nga urna të jetë i kuq?

Meqenëse dy nga katër topat janë të kuq, atëherë R(POR) = 2/4 = 1/2. Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë R(AT) = 1/2, R(NGA) = 1/2. Le të supozojmë se topi i marrë është blu, d.m.th. ngjarje AT tashmë ka ndodhur. A do të ndryshojë probabiliteti që topi i tërhequr të jetë i kuq, d.m.th. A do të ndryshojë probabiliteti i një ngjarjeje? POR? Nga dy topat që janë blu, një top është gjithashtu i kuq, kështu që probabiliteti i ngjarjes është PORështë ende 1/2. Me fjalë të tjera, probabiliteti i kushtëzuar i një ngjarjeje POR, llogaritur nën supozimin se një ngjarje ka ndodhur AT, është e barabartë me probabilitetin e tij të pakushtëzuar. Prandaj, ngjarjet POR dhe AT të pavarur. Në mënyrë të ngjashme, ne konkludojmë se ngjarjet POR dhe NGA, AT dhe NGA të pavarur. Pra ngjarjet POR, AT dhe NGA janë të pavarura në çift.

A janë këto ngjarje të pavarura në total? Rezulton se jo. Në të vërtetë, lëreni që topi i nxjerrë të ketë dy ngjyra, për shembull, blu dhe e zezë. Sa është probabiliteti që edhe ky top të jetë i kuq? Vetëm një top është i ngjyrosur në të tre ngjyrat, kështu që topi i kapur është gjithashtu i kuq. Kështu, duke supozuar se ngjarjet AT dhe NGA ka ndodhur, konkludojmë se ngjarja POR me siguri do të vijë. Prandaj, kjo ngjarje është e besueshme dhe probabiliteti i saj është i barabartë me një. Me fjalë të tjera, probabiliteti i kushtëzuar R BC(POR)= 1 ngjarje POR nuk është e barabartë me probabilitetin e saj të pakushtëzuar R(POR) = 1/2. Pra, ngjarje të pavarura në çift POR, AT, NGA nuk janë kolektivisht të pavarur.

Tani paraqesim një përfundim të teoremës së shumëzimit.

Pasoja. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të disa ngjarjeve që janë të pavarura në total është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Dëshmi. Konsideroni tre ngjarje: POR, AT dhe NGA. Kombinimi i ngjarjeve POR, AT dhe NGA baraz me një kombinim ngjarjesh AB dhe NGA, kjo është arsyeja pse

R(ABC) = R(AB×C).

Që nga ngjarjet POR, AT dhe NGA janë të pavarura në total, pastaj të pavarura, në veçanti, janë ngjarjet AB dhe NGA, si dhe POR dhe AT. Nga teorema e shumëzimit për dy ngjarje të pavarura, kemi:

R(AB×C) = R(AB)R(NGA) dhe R(AB) = R(POR)R(AT).

Pra, më në fund arrijmë

R(ABC) = R(POR)R(AT)R(NGA).

Për një arbitrar n vërtetimi kryhet me metodën e induksionit matematik.

Koment. Nëse ngjarjet POR 1 , POR 2 , ...,Një n janë të pavarura në agregat, atëherë ngjarjet e kundërta janë gjithashtu të pavarura në agregat.

Shembull. Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet së bashku në një hedhje të dy monedhave.

Zgjidhje. Probabiliteti i shfaqjes së stemës së monedhës së parë (ngjarje POR)

R(POR) = 1/2.

Probabiliteti i shfaqjes së stemës së monedhës së dytë (ngjarje AT)

R(AT) = 1/2.

Zhvillimet POR dhe AT e pavarur, pra probabiliteti i dëshiruar nga teorema e shumëzimit është i barabartë me

R(AB) = R(POR)R(AT) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Shembull. Ka 3 kuti që përmbajnë 10 pjesë. Sirtari i parë përmban 8, sirtari i dytë 7 dhe sirtari i tretë 9 pjesë standarde. Një artikull nxirret në mënyrë të rastësishme nga çdo kuti. Gjeni probabilitetin që të tre pjesët e nxjerra janë standarde.

Zgjidhje. Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e parë (ngjarja POR),

R(POR) = 8/10 = 0,8.

Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e dytë (ngjarja AT),

R(AT) = 7/10 = 0,7.

Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e tretë (ngjarja NGA),

R(NGA) = 9/10 = 0,9.

Që nga ngjarjet POR, AT dhe NGA e pavarur në agregat, atëherë probabiliteti i dëshiruar (nga teorema e shumëzimit) është i barabartë me

R(ABC) = R(POR)R(AT)R(NGA) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Le të japim një shembull të zbatimit të përbashkët të teoremave të mbledhjes dhe shumëzimit.

Shembull. Probabilitetet e shfaqjes së secilës prej tre ngjarjeve të pavarura POR 1 , POR 2 , POR 3 përkatësisht të barabartë R 1 , R 2 , R 3 . Gjeni probabilitetin e ndodhjes së vetëm një prej këtyre ngjarjeve.

Zgjidhje. Vini re se, për shembull, pamja vetëm ngjarja e parë POR 1 është e barabartë me paraqitjen e një ngjarjeje (e para u shfaq dhe ngjarja e dytë dhe e tretë nuk u shfaqën). Le të prezantojmë shënimin:

B 1 - u shfaq vetëm ngjarja POR 1, d.m.th. ;

B 2 - u shfaq vetëm ngjarja POR 2, d.m.th. ;

B 3 - u shfaq vetëm ngjarja POR 3, d.m.th. .

Kështu, për të gjetur probabilitetin e ndodhjes së vetëm një prej ngjarjeve POR 1 , POR 2 , POR 3, ne do të kërkojmë probabilitetin P(B 1 + B 2 + AT 3) shfaqja e njërës, pavarësisht se cila nga ngjarjet AT 1 , AT 2 , AT 3 .

Që nga ngjarjet AT 1 , AT 2 , AT 3 janë jokonsistente, atëherë zbatohet teorema e mbledhjes

P(B 1 + B 2 + AT 3) = R(AT 1) + R(AT 2) + R(AT 3). (*)

Mbetet për të gjetur probabilitetet e secilës prej ngjarjeve AT 1 , AT 2 , AT 3 . Zhvillimet POR 1 , POR 2 , POR 3 janë të pavarura, pra, ngjarjet janë të pavarura, kështu që teorema e shumëzimit zbatohet për to

Po kështu,

Duke i zëvendësuar këto probabilitete në (*), gjejmë probabilitetin e dëshiruar të ndodhjes së vetëm një prej ngjarjeve POR 1 , POR 2 , POR 3.

Përkufizimet e probabilitetit

Përkufizimi klasik

"Përkufizimi" klasik i probabilitetit vjen nga nocioni mundesi te barabarta si veti objektive e dukurive që studiohen. Ekuivalenca është një koncept i papërcaktueshëm dhe përcaktohet nga konsideratat e përgjithshme të simetrisë së dukurive në studim. Për shembull, kur hedhim një monedhë, supozohet se, për shkak të simetrisë së supozuar të monedhës, homogjenitetit të materialit dhe rastësisë (jo paragjykimeve) të hedhjes, nuk ka arsye për të preferuar "bishtin" mbi "Shqiponjat" ose anasjelltas, domethënë humbja e këtyre anëve mund të konsiderohet po aq e mundshme (equiprobable) .

Krahas konceptit të ekuiprobabilitetit në rastin e përgjithshëm, përkufizimi klasik kërkon edhe konceptin e një ngjarje (rezultati) elementare që favorizon ose nuk favorizon ngjarjen në studim A. Fjala është për rezultate, shfaqja e të cilave përjashton mundësinë. e shfaqjes së rezultateve të tjera. Këto janë ngjarje elementare të papajtueshme. Për shembull, kur hedh zare Heqja e një numri të caktuar përjashton rënien e numrave të tjerë.

Përkufizimi klasik i probabilitetit mund të formulohet si më poshtë:

Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme A quhet raporti i numrit n ngjarje elementare të papajtueshme po aq të mundshme që përbëjnë ngjarjen A , në numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme elementare N :

Për shembull, supozoni se janë hedhur dy zare. Numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme (ngjarje elementare) është padyshim 36 (6 mundësi për çdo die). Vlerësoni probabilitetin për të marrë 7 pikë. Marrja e 7 pikëve është e mundur në mënyrat e mëposhtme: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Kjo do të thotë, ka vetëm 6 rezultate po aq të mundshme që favorizojnë ngjarjen A - marrjen e 7 pikëve. Prandaj, probabiliteti do të jetë i barabartë me 6/36=1/6. Për krahasim, probabiliteti për të marrë 12 pikë ose 2 pikë është vetëm 1/36 - 6 herë më pak.

Përkufizimi gjeometrik

Përkundër faktit se përkufizimi klasik është intuitiv dhe rrjedh nga praktika, të paktën ai nuk mund të zbatohet drejtpërdrejt nëse numri i rezultateve po aq të mundshme është i pafund. Një shembull i mrekullueshëm i një numri të pafund rezultatesh të mundshme është një rajon gjeometrik i kufizuar G, për shembull, në një plan, me një sipërfaqe S. Një "pikë" e "hedhur" rastësisht me probabilitet të barabartë mund të jetë në çdo pikë në këtë rajon. Problemi është të përcaktohet probabiliteti që një pikë të bjerë në një nënfushë g me sipërfaqe s. Në këtë rast, duke përgjithësuar përkufizimin klasik, mund të arrijmë në një përkufizim gjeometrik të probabilitetit të rënies në nëndomain:

Duke pasur parasysh mundësinë e barabartë, ky probabilitet nuk varet nga forma e rajonit g, por varet vetëm nga zona e tij. Ky përkufizim mund të përgjithësohet natyrshëm në një hapësirë të çdo dimensioni, ku koncepti i "vëllimit" përdoret në vend të zonës. Për më tepër, është ky përkufizim që çon në përkufizimin modern aksiomatik të probabilitetit. Koncepti i vëllimit përgjithësohet në konceptin e një "mase" të një grupi abstrakt, të cilit i imponohen kërkesat, të cilat i ka edhe "vëllimi" në interpretimin gjeometrik - para së gjithash, këto janë jonegativiteti dhe aditiviteti.

Përcaktimi i frekuencës (statistikore).

Përkufizimi klasik, kur shqyrton probleme komplekse, has në vështirësi të një natyre të pakapërcyeshme. Në veçanti, në disa raste mund të mos jetë e mundur të identifikohen rastet po aq të mundshme. Edhe në rastin e një monedhe, siç dihet, ekziston një mundësi qartësisht jo po aq e mundshme që të bjerë një "buzë", e cila nuk mund të vlerësohet nga konsideratat teorike (mund të thuhet vetëm se nuk ka gjasa, dhe kjo konsideratë është më tepër praktike). Prandaj, në agimin e formimit të teorisë së probabilitetit, u propozua një përkufizim alternativ i "frekuencës" së probabilitetit. Gjegjësisht, formalisht, probabiliteti mund të përkufizohet si kufiri i frekuencës së vëzhgimeve të ngjarjes A, duke supozuar homogjenitetin e vëzhgimeve (d.m.th., ngjashmërinë e të gjitha kushteve të vëzhgimit) dhe pavarësinë e tyre nga njëra-tjetra:

ku është numri i vëzhgimeve dhe është numri i dukurive të ngjarjes.

Përkundër faktit se ky përkufizim më tepër tregon një mënyrë për të vlerësuar një probabilitet të panjohur - me anë të një numri të madh vëzhgimesh homogjene dhe të pavarura - megjithatë, ky përkufizim pasqyron përmbajtjen e konceptit të probabilitetit. Domethënë, nëse një probabiliteti i caktuar i atribuohet një ngjarjeje, si masë objektive e mundësisë së saj, atëherë kjo do të thotë se në kushte fikse dhe përsëritje të shumta, duhet të marrim një frekuencë të ndodhjes së saj afër (sa më afër, aq më shumë vëzhgime). Në fakt, ky është kuptimi origjinal i konceptit të probabilitetit. Ai bazohet në një pikëpamje objektiviste të fenomeneve natyrore. Më poshtë janë të ashtuquajturat ligje numra të mëdhenj, të cilat ofrojnë një bazë teorike (brenda kuadrit të qasjes moderne aksiomatike të paraqitur më poshtë), duke përfshirë për vlerësimin e frekuencës së probabilitetit.

Përkufizim aksiomatik

Në qasjen moderne matematikore, probabiliteti jepet nga Aksiomatika e Kolmogorovit. Supozohet se disa hapësira e ngjarjeve elementare. Nëngrupet e kësaj hapësire interpretohen si ngjarje të rastësishme. Bashkimi (shuma) e disa nënbashkësive (ngjarjeve) interpretohet si një ngjarje që konsiston në ndodhjen të paktën një nga këto ngjarje. Kryqëzimi (produkti) i nëngrupeve (ngjarjeve) interpretohet si një ngjarje që konsiston në ndodhjen të gjitha këto ngjarje. Kompletet e shkëputura interpretohen si të papajtueshme ngjarjet (ofensiva e tyre e përbashkët është e pamundur). Prandaj, grupi bosh do të thotë e pamundur ngjarje.

probabiliteti ( masë probabiliteti) quhet masë(funksioni numerik) i përcaktuar në grupin e ngjarjeve, që ka vetitë e mëposhtme:

Nëse hapësira e ngjarjeve elementare X sigurisht, atëherë kushti i specifikuar i aditivitetit për dy ngjarje arbitrare të papajtueshme është i mjaftueshëm, nga i cili do të pasojë aditiviteti për çdo përfundimtar numri i ngjarjeve të papajtueshme. Megjithatë, në rastin e një hapësire të pafundme (të numërueshme ose të panumërueshme) të ngjarjeve elementare, ky kusht nuk mjafton. I ashtuquajturi aditiviteti i numërueshëm ose sigma, pra plotësimi i vetive të aditivitetit për ndonjë jo më shumë se i numërueshëm familjet e ngjarjeve të papajtueshme në çift. Kjo është e nevojshme për të siguruar "vazhdimësinë" e masës së probabilitetit.

Masa e probabilitetit mund të mos përcaktohet për të gjitha nëngrupet e grupit. Supozohet se është përcaktuar në disa algjebër sigma nënbashkësi . Këto nënbashkësi quhen të matshme sipas një mase të dhënë probabiliteti, dhe ato janë ngjarje të rastësishme. Bashkësia - domethënë bashkësia e ngjarjeve elementare, sigma-algjebra e nëngrupeve të saj dhe masa e probabilitetit - quhet hapësirë probabiliteti.

Variabla të rastësishme të vazhdueshme. Përveç variablave diskrete të rastësishme, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një sekuencë të fundme ose të pafundme numrash që nuk plotësojnë plotësisht asnjë interval, shpesh ka variabla të rastësishëm, vlerat e mundshme të të cilave formojnë një interval të caktuar. Një shembull i një ndryshoreje të tillë të rastësishme është devijimi nga vlera nominale e një madhësie të caktuar të një pjese me një proces teknologjik të vendosur siç duhet. Ky lloj variablash të rastësishëm nuk mund të specifikohet duke përdorur ligjin e shpërndarjes së probabilitetit p(x). Megjithatë, ato mund të specifikohen duke përdorur funksionin e shpërndarjes së probabilitetit F(x). Ky funksion përcaktohet saktësisht në të njëjtën mënyrë si në rastin e një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

Kështu, edhe këtu funksioni F(x) të përcaktuara në boshtin e plotë të numrit dhe vlerën e tij në pikë Xështë e barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë më të vogël se X. Formula (19) dhe vetitë 1° dhe 2° janë të vlefshme për funksionin e shpërndarjes së çdo ndryshoreje të rastësishme. Prova kryhet në mënyrë të ngjashme me rastin e një sasie diskrete. Ndryshorja e rastësishme quhet të vazhdueshme, nëse për të ekziston një funksion jo-negativ pjesë-pjesë-vazhdues* që kënaq për çdo vlerë x barazisë

Bazuar në kuptimin gjeometrik të integralit si zonë, mund të themi se probabiliteti i plotësimit të pabarazive është i barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor me bazë. të kufizuara sipër nga një kurbë (Fig. 6).

Që nga , dhe bazuar në formulën (22)

Vini re se për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, funksioni i shpërndarjes F(x) të vazhdueshme në çdo moment X, ku funksioni është i vazhdueshëm. Kjo rrjedh nga fakti se F(x)është i diferencueshëm në këto pika. Bazuar në formulën (23), duke supozuar x 1 =x, , ne kemi

Për shkak të vazhdimësisë së funksionit F(x) ne e marrim atë

Rrjedhimisht

Në këtë mënyrë, probabiliteti që një variabël e rastësishme e vazhdueshme mund të marrë një vlerë të vetme prej x është zero. Nga kjo rezulton se ngjarjet që konsistojnë në përmbushjen e secilës prej pabarazive

Ata kanë të njëjtën probabilitet, d.m.th.

Në të vërtetë, për shembull,

sepse Koment. Siç e dimë, nëse një ngjarje është e pamundur, atëherë probabiliteti i ndodhjes së saj është zero. Në përkufizimin klasik të probabilitetit, kur numri i rezultateve të testit është i fundëm, ndodh edhe propozimi i kundërt: nëse probabiliteti i një ngjarjeje është zero, atëherë ngjarja është e pamundur, pasi në këtë rast asnjë nga rezultatet e testit nuk e favorizon atë. Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, numri i vlerave të tij të mundshme është i pafund. Probabiliteti që kjo vlerë të marrë ndonjë vlerë të veçantë x 1 siç e pamë, është e barabartë me zero. Megjithatë, nga kjo nuk rezulton se kjo ngjarje është e pamundur, pasi si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme, në veçanti, mund të marrë vlerën x 1 . Prandaj, në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, ka kuptim të flasim për probabilitetin që ndryshorja e rastësishme të bjerë në interval, dhe jo për probabilitetin që ajo të marrë një vlerë të caktuar. Kështu, për shembull, në prodhimin e një rul, ne nuk jemi të interesuar në probabilitetin që diametri i tij të jetë i barabartë me vlerën nominale. Për ne, probabiliteti që diametri i rulit të mos dalë jashtë tolerancës është i rëndësishëm. Shembull. Dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme jepet si më poshtë:

Grafiku i funksionit është paraqitur në Fig. 7. Përcaktoni probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që plotëson pabarazitë Gjeni funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të dhënë. ( Zgjidhje)

Dy paragrafët e ardhshëm i kushtohen shpërndarjeve të variablave të rastësishme të vazhdueshme që hasen shpesh në praktikë - shpërndarje uniforme dhe normale.

* Një funksion quhet i vazhdueshëm pjesë-pjesë në të gjithë boshtin numerik nëse ai është ose i vazhdueshëm në ndonjë segment ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerje të llojit të parë. ** Rregulli për diferencimin e një integrali me një kufi të sipërm të ndryshueshëm, i nxjerrë në rastin e një kufiri të poshtëm të fundëm, mbetet i vlefshëm për integralet me një kufi të poshtëm të pafund. Me të vërtetë,

Që nga integrali

është një vlerë konstante.

Ngjarjet e varura dhe të pavarura. Probabiliteti i kushtëzuar

Dalloni ngjarjet e varura dhe ato të pavarura. Dy ngjarje quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin e shfaqjes së tjetrës. Për shembull, nëse në një punishte funksionojnë dy linja automatike, të cilat nuk janë të ndërlidhura sipas kushteve të prodhimit, atëherë ndalesat e këtyre linjave janë ngjarje të pavarura.

Shembulli 3 Monedha rrokulliset dy herë. Probabiliteti i shfaqjes së "stemës" në provën e parë (ngjarje) nuk varet nga shfaqja ose mosparaqitja e "stemës" në provën e dytë (ngjarje). Nga ana tjetër, probabiliteti i shfaqjes së "stemës" në provën e dytë nuk varet nga rezultati i testit të parë. Kështu, ngjarjet dhe të pavarura.

Quhen disa ngjarje kolektivisht të pavarur , nëse ndonjëra prej tyre nuk varet nga ndonjë ngjarje tjetër dhe nga ndonjë kombinim i të tjerave.

Ngjarjet quhen i varur , nëse njëri prej tyre ndikon në probabilitetin e shfaqjes së tjetrit. Për shembull, dy fabrika prodhuese janë të lidhura me një cikël të vetëm teknologjik. Atëherë probabiliteti i dështimit të njërit prej tyre varet nga gjendja e tjetrit. Probabiliteti i një ngjarjeje, i llogaritur duke supozuar ndodhjen e një ngjarjeje tjetër, quhet probabiliteti i kushtëzuar ngjarjet dhe shënohet me .

Kushti i pavarësisë së një ngjarjeje nga një ngjarje shkruhet në formën, dhe gjendja e varësisë së saj - në formë. Shqyrtoni një shembull të llogaritjes së probabilitetit të kushtëzuar të një ngjarjeje.

Shembulli 4 Ka 5 prerëse në kuti: dy të konsumuara dhe tre të reja. Bëhen dy ekstraktime të njëpasnjëshme të incizivëve. Përcaktoni probabilitetin e kushtëzuar të shfaqjes së një prerës të konsumuar gjatë nxjerrjes së dytë, me kusht që prerësi i hequr për herë të parë të mos kthehet në kuti.

Zgjidhje. Le të tregojmë nxjerrjen e një prestari të konsumuar në rastin e parë, dhe - nxjerrjen e një të reje. Pastaj . Meqenëse prerësi i hequr nuk kthehet në kuti, raporti midis numrit të prerësve të konsumuar dhe atyre të rinj ndryshon. Prandaj, probabiliteti i heqjes së një prerës të konsumuar në rastin e dytë varet nga ajo ngjarje që ka ndodhur më parë.

Le të përcaktojmë ngjarjen që nënkupton nxjerrjen e prerësit të konsumuar në rastin e dytë. Probabilitetet për këtë ngjarje janë:

Prandaj, probabiliteti i një ngjarjeje varet nëse ngjarja ka ndodhur apo jo.

Dendësia e probabilitetit- një nga mënyrat për të vendosur një masë probabiliteti në hapësirën Euklidiane. Në rastin kur masa e probabilitetit është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme, flitet për dendësiandryshore e rastësishme.

Dendësia e probabilitetit Le të jetë një masë probabiliteti në, domethënë, përcaktohet një hapësirë probabiliteti, ku tregon σ-algjebër Borel on. Le të tregojmë masën Lebesgue në.

Përkufizimi 1. Probabiliteti quhet absolutisht i vazhdueshëm (në lidhje me masën e Lebesgue) () nëse ndonjë grup Borel i masës zero të Lebesgue ka gjithashtu probabilitet zero:

Nëse probabiliteti është absolutisht i vazhdueshëm, atëherë sipas teoremës Radon-Nikodym, ekziston një funksion Borel jo negativ i tillë që

ku përdoret shkurtesa e zakonshme , dhe integrali kuptohet në kuptimin e Lebesgue.

Përkufizimi 2. Në përgjithësi, le të jetë një hapësirë arbitrare e matshme, dhe le të jetë dy masa në këtë hapësirë. Nëse ka një jonegativ, i cili lejon shprehjen e masës në terma të masës në formë

atëherë thirret ky funksion masë dendësinë si , ose derivat i Radon-Nikodim masë në lidhje me masë , dhe tregoj

Nëse, në ndodhjen e një ngjarjeje, probabiliteti i një ngjarjeje nuk ndryshon, pastaj ngjarjet dhe thirrur të pavarur.

Teorema:Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të pavarura dhe (punon dhe ) është e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Në të vërtetë, që nga zhvillimet dhe e pavarur, atëherë
. Në këtë rast, formula për probabilitetin e një produkti të ngjarjeve dhe merr formën.

Zhvillimet
thirrur dyshe të pavarura nëse dy prej tyre janë të pavarur.

Zhvillimet
thirrur kolektivisht i pavarur (ose thjesht i pavarur), nëse çdo dy prej tyre janë të pavarura dhe secila ngjarje dhe të gjitha produktet e mundshme të të tjerave janë të pavarura.

Teorema:Probabiliteti i prodhimit të një numri të kufizuar ngjarjesh të pavarura në agregat
është e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Le të ilustrojmë ndryshimin në aplikimin e formulave të probabilitetit të ngjarjeve për ngjarje të varura dhe të pavarura duke përdorur shembuj

Shembulli 1. Probabiliteti për të goditur objektivin nga gjuajtësi i parë është 0.85, i dyti është 0.8. Armët qëlluan një nga një. Sa është probabiliteti që të paktën një predhë të godasë objektivin?

Zgjidhja: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Meqenëse të shtënat janë të pavarura, atëherë

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97

Shembulli 2. Një urnë përmban 2 topa të kuq dhe 4 të zinj. Prej saj hiqen 2 topa me radhë. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të kuq.

Zgjidhja: 1 rast. Ngjarja A - shfaqja e një topi të kuq në heqjen e parë, ngjarja B - në të dytën. Ngjarja C është shfaqja e dy topave të kuq.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

Rasti i 2-të. Topi i parë i tërhequr kthehet në kosh.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Formula e probabilitetit total.

Lëreni ngjarjen mund të ndodhë vetëm me një nga ngjarjet e papajtueshme
, duke formuar një grup të plotë. Për shembull, dyqani merr të njëjtat produkte nga tre ndërmarrje dhe në sasi të ndryshme. Probabiliteti i prodhimit të produkteve me cilësi të ulët në këto ndërmarrje është i ndryshëm. Një nga produktet zgjidhet rastësisht. Kërkohet të përcaktohet probabiliteti që ky produkt të jetë i cilësisë së dobët (ngjarje ). Ngjarjet këtu
- kjo është zgjedhja e një produkti nga produktet e ndërmarrjes përkatëse.

Në këtë rast, probabiliteti i ngjarjes mund të konsiderohet si shuma e produkteve të ngjarjeve
.

Nga teorema e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të papajtueshme, marrim
. Duke përdorur teoremën e shumëzimit të probabilitetit, gjejmë

Formula që rezulton quhet formula e probabilitetit total.

Formula e Bayes

Lëreni ngjarjen ndodh në të njëjtën kohë me një nga ngjarje të papajtueshme
, probabilitetet e të cilit
(
) janë të njohura para përvojës ( probabilitete a priori). Kryhet një eksperiment, si rezultat i të cilit regjistrohet ndodhja e një ngjarjeje , dhe dihet se kjo ngjarje kishte disa gjasa të kushtëzuara
(
). Kërkohet gjetja e probabiliteteve të ngjarjeve
nëse dihet ngjarja ndodhi ( probabilitete a posteriori).

Problemi është se, duke pasur informacione të reja(ngjarja A ka ndodhur), ju duhet të rivlerësoni gjasat e ngjarjeve
.

Bazuar në teoremën mbi probabilitetin e prodhimit të dy ngjarjeve

Formula që rezulton quhet Formulat e Bayes.

Konceptet themelore të kombinatorikës.

Kur zgjidhen një sërë problemesh teorike dhe praktike, kërkohet të bëhen kombinime të ndryshme nga një grup i kufizuar elementesh sipas rregullave të dhëna dhe të llogaritet numri i të gjitha kombinimeve të tilla të mundshme. Detyra të tilla quhen kombinator.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, kombinatorika përdor rregullat e shumës dhe produktit.

Deklarata e përgjithshme e problemit: probabilitetet e disa ngjarjeve janë të njohura, por probabilitetet e ngjarjeve të tjera që lidhen me këto ngjarje duhet të llogariten. Në këto probleme ka nevojë për veprime të tilla mbi probabilitetet si mbledhja dhe shumëzimi i probabiliteteve.

Për shembull, gjatë gjuetisë u qëlluan dy të shtëna. Ngjarje A- goditja e rosës nga gjuajtja e parë, ngjarje B- goditi nga gjuajtja e dytë. Pastaj shuma e ngjarjeve A dhe B- goditi nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna.

Detyra të një lloji tjetër. Janë dhënë disa ngjarje, për shembull, një monedhë hidhet tre herë. Kërkohet të gjendet probabiliteti që ose të tri herë të bjerë stema, ose që stema të bjerë të paktën një herë. Ky është një problem shumëzimi.

Shtimi i probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme

Shtimi i probabilitetit përdoret kur është e nevojshme të llogaritet probabiliteti i një kombinimi ose një shumë logjike ngjarjesh të rastësishme.

Shuma e ngjarjeve A dhe B caktoj A + B ose A ∪ B. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga ngjarjet. Do të thotë se A + B- një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse një ngjarje ndodh gjatë vëzhgimit A ose ngjarje B, ose në të njëjtën kohë A dhe B.

Nëse ngjarjet A dhe B janë reciprokisht të papajtueshme dhe janë dhënë probabilitetet e tyre, probabiliteti që një nga këto ngjarje të ndodhë si rezultat i një prove llogaritet duke përdorur shtimin e probabiliteteve.

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve. Probabiliteti që do të ndodhë një nga dy ngjarjet reciprokisht të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Për shembull, gjatë gjuetisë u qëlluan dy të shtëna. Ngjarje POR– goditja e rosës nga gjuajtja e parë, ngjarje AT– goditja nga gjuajtja e dytë, ngjarje ( POR+ AT) - goditi nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna. Pra, nëse dy ngjarje POR dhe AT janë ngjarje të papajtueshme, pra POR+ AT- shfaqja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve ose dy ngjarjeve.

Shembulli 1 Një kuti përmban 30 topa të së njëjtës madhësi: 10 të kuqe, 5 blu dhe 15 të bardha. Llogaritni probabilitetin që një top me ngjyrë (jo i bardhë) të merret pa parë.

Zgjidhje. Le të supozojmë se ngjarja POR– “merret topi i kuq”, dhe ngjarja AT- "Topi blu është marrë." Pastaj ngjarja është “merret një top me ngjyrë (jo i bardhë)”. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje POR:

dhe ngjarjet AT:

Zhvillimet POR dhe AT- të papajtueshme reciprokisht, pasi nëse merret një top, atëherë nuk mund të merren topa me ngjyra të ndryshme. Prandaj, ne përdorim shtimin e probabiliteteve:

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve për disa ngjarje të papajtueshme. Nëse ngjarjet përbëjnë grupin e plotë të ngjarjeve, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1:

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është gjithashtu e barabartë me 1:

Ngjarjet e kundërta formojnë një grup të plotë ngjarjesh, dhe probabiliteti i një grupi të plotë ngjarjesh është 1.

Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta zakonisht shënohen me shkronja të vogla. fq dhe q. Veçanërisht,

nga e cila rrjedhin formulat e mëposhtme për probabilitetin e ngjarjeve të kundërta:

Shembulli 2 Objektivi në dash është i ndarë në 3 zona. Probabiliteti që një gjuajtës i caktuar të gjuajë në një objektiv në zonën e parë është 0.15, në zonën e dytë - 0.23, në zonën e tretë - 0.17. Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin dhe probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin.

Zgjidhja: Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin:

Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin:

Detyra më të vështira në të cilat duhet të aplikoni mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve - në faqen "Detyra të ndryshme për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve" .

Shtimi i probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta reciproke

Dy ngjarje të rastësishme quhen të përbashkëta nëse ndodhja e një ngjarjeje nuk përjashton ndodhjen e një ngjarjeje të dytë në të njëjtin vëzhgim. Për shembull, kur hedh një zare, ngjarja POR konsiderohet të jetë ndodhja e numrit 4, dhe ngjarja AT- duke hedhur një numër çift. Meqenëse numri 4 është numër çift, të dy ngjarjet janë të pajtueshme. Në praktikë, ekzistojnë detyra për llogaritjen e probabiliteteve të shfaqjes së një prej ngjarjeve të përbashkëta reciproke.

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve për ngjarje të përbashkëta. Probabiliteti që të ndodhë një nga ngjarjet e përbashkëta është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, nga e cila zbritet probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të të dyja ngjarjeve, domethënë produkti i probabiliteteve. Formula për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta është si më poshtë:

Sepse ngjarjet POR dhe AT i pajtueshëm, ngjarje POR+ AT ndodh nëse ndodh një nga tre ngjarjet e mundshme: ose AB. Sipas teoremës së mbledhjes së ngjarjeve të papajtueshme, ne llogarisim si më poshtë:

Ngjarje POR ndodh nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: ose AB. Sidoqoftë, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të të gjitha këtyre ngjarjeve:

Në mënyrë të ngjashme:

Duke zëvendësuar shprehjet (6) dhe (7) në shprehjen (5), marrim formulën e probabilitetit për ngjarjet e përbashkëta:

Gjatë përdorimit të formulës (8), duhet pasur parasysh se ngjarjet POR dhe AT mund te jete:

të pavarur reciprokisht;
të varur reciprokisht.

Formula e probabilitetit për ngjarje të pavarura reciprokisht:

Formula e probabilitetit për ngjarjet e varura reciprokisht:

Nëse ngjarjet POR dhe AT janë të paqëndrueshme, atëherë rastësia e tyre është një rast i pamundur dhe, kështu, P(AB) = 0. Formula e katërt e probabilitetit për ngjarjet e papajtueshme është si më poshtë:

Shembulli 3 Në garat me automobila, kur vozitni në makinën e parë, probabiliteti për të fituar, kur vozitni në makinën e dytë. Gjej:

probabiliteti që të dyja makinat të fitojnë;
probabiliteti që të paktën një makinë të fitojë;

1) Probabiliteti që makina e parë të fitojë nuk varet nga rezultati i makinës së dytë, kështu që ngjarjet POR(makina e parë fiton) dhe AT(makina e dytë fiton) - ngjarje të pavarura. Gjeni probabilitetin që të dyja makinat të fitojnë:

2) Gjeni probabilitetin që një nga dy makinat të fitojë:

Detyra më të vështira në të cilat duhet të aplikoni mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve - në faqen "Detyra të ndryshme për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve" .

Zgjidheni vetë problemin e mbledhjes së probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 4 Hidhen dy monedha. Ngjarje A- humbja e stemës në monedhën e parë. Ngjarje B- humbja e stemës në monedhën e dytë. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje C = A + B .

Shumëzimi i probabilitetit

Shumëzimi i probabiliteteve përdoret kur duhet të llogaritet probabiliteti i një produkti logjik të ngjarjeve.

Në këtë rast, ngjarjet e rastësishme duhet të jenë të pavarura. Dy ngjarje quhen reciprokisht të pavarura nëse ndodhja e njërës ngjarje nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes së dytë.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura. Probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ngjarjeve të pavarura POR dhe ATështë e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve dhe llogaritet me formulën:

Shembulli 5 Monedha hidhet tri herë radhazi. Gjeni probabilitetin që stema të bjerë të tria herë.

Zgjidhje. Probabiliteti që stema të bjerë në hedhjen e parë të monedhës, herën e dytë dhe herën e tretë. Gjeni probabilitetin që stema të bjerë të tre herë:

Zgjidhini vetë problemet për shumëzimin e probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 6 Ka një kuti me nëntë topa të rinj tenisi. Merren tre topa për lojë, pas lojës ato kthehen. Kur zgjedhin topa, ata nuk bëjnë dallimin midis topave të luajtur dhe atyre të paluajtur. Sa është probabiliteti që pas tre ndeshje nuk do të ketë topa të paluajtur në kuti?

Shembulli 7 32 shkronja të alfabetit rus janë shkruar në kartat e prera të alfabetit. Pesë letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme, njëra pas tjetrës dhe vendosen në tavolinë sipas renditjes në të cilën shfaqen. Gjeni probabilitetin që shkronjat të formojnë fjalën "fund".

Shembulli 8 Nga një kuvertë e plotë letrash (52 fletë), nxirren katër letra menjëherë. Gjeni probabilitetin që të katër këto letra të jenë të të njëjtit kostum.

Shembulli 9 I njëjti problem si në shembullin 8, por çdo kartë kthehet në kuvertë pasi të jetë tërhequr.

Detyra më komplekse, në të cilat duhet të aplikoni mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, si dhe llogaritjen e produktit të disa ngjarjeve, në faqen "Detyra të ndryshme për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".

Probabiliteti që do të ndodhë të paktën një nga ngjarjet reciprokisht të pavarura mund të llogaritet duke zbritur produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta nga 1, domethënë me formulën.