Dy ngjarje të pavarura. Ngjarjet e varura dhe të pavarura. Probabiliteti i kushtëzuar. Leksioni vë në dukje konceptet bazë të teorisë së probabilitetit dhe statistikave të përdorura në ekonometri

Në detyrat USE në matematikë, ka edhe detyra më komplekse të probabilitetit (seç kemi konsideruar në Pjesën 1), ku duhet të zbatoni rregullin e mbledhjes, shumëzimit të probabiliteteve dhe të dalloni ngjarjet e përbashkëta dhe të papajtueshme.

Pra, teori.

Ngjarje të përbashkëta dhe jo të përbashkëta

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e të tjerave. Kjo është, vetëm një ngjarje e veçantë mund të ndodhë, ose një tjetër.

Për shembull, duke hedhur një peshore, ju mund të dalloni midis ngjarjeve të tilla si një numër çift pikësh dhe një numër tek pikash. Këto ngjarje janë të papajtueshme.

Ngjarjet quhen të përbashkëta nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e përjashton ndodhjen e tjetrës.

Për shembull, kur hidhni një kësulë, mund të dalloni midis ngjarjeve të tilla si shfaqja e një numri tek pikat dhe humbja e një numri pikësh që është shumëfish i tre. Kur rrokulliset tre, të dyja ngjarjet realizohen.

Shuma e ngjarjeve

Shuma (ose bashkimi) i disa ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në ndodhjen e të paktën një prej këtyre ngjarjeve.

Ku shuma e dy ngjarjeve të shkëputura është shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Për shembull, probabiliteti për të marrë 5 ose 6 zare në një listë, do të jetë sepse të dyja ngjarjet (rrotullimi 5, rrotullimi 6) janë të papajtueshëm dhe probabiliteti që njëra ose tjetra ngjarje të ndodhë llogaritet si më poshtë:

Probabiliteti shuma e dy ngjarjeve të përbashkëta është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa marrë parasysh ndodhjen e tyre të përbashkët:

Për shembull, në një qendër tregtare, dy makina identike shitëse shesin kafe. Probabiliteti që aparatit t'i mbarojë kafeja deri në fund të ditës është 0.3. Probabiliteti që të dy makinave të mbarojnë kafe është 0.12. Le të gjejmë probabilitetin që deri në fund të ditës kafeja të përfundojë në të paktën njërën nga makinat (d.m.th., ose në njërën, ose në tjetrën, ose në të dyja njëherësh).

Probabiliteti i ngjarjes së parë "kafeja do të përfundojë në makinën e parë" si dhe probabiliteti i ngjarjes së dytë "kafeja do të përfundojë në makinën e dytë" sipas kushtit është e barabartë me 0.3. Ngjarjet janë bashkëpunuese.

Probabiliteti i realizimit të përbashkët të dy ngjarjeve të para është i barabartë me 0.12 sipas kushtit.

Kjo do të thotë se probabiliteti që deri në fund të ditës kafeja të mbarojë në të paktën një nga makinat është

Ngjarjet e varura dhe të pavarura

Dy ngjarje të rastësishme A dhe B quhen të pavarura nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndryshon probabilitetin që të ndodhë tjetra. Përndryshe, ngjarjet A dhe B quhen të varura.

Për shembull, kur hidhni dy zare në të njëjtën kohë, rënia në njërin prej tyre, le të themi 1, dhe në të dytin 5, - ngjarje të pavarura.

Produkt i probabiliteteve

Një produkt (ose kryqëzim) i disa ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në shfaqjen e përbashkët të të gjitha këtyre ngjarjeve.

Nëse janë dy ngjarje të pavarura A dhe B me probabilitete përkatësisht P(A) dhe P(B), atëherë probabiliteti i realizimit të ngjarjeve A dhe B është njëkohësisht i barabartë me produktin e probabiliteteve:

Për shembull, ne jemi të interesuar për humbjen e një gjashtë në një zare dy herë radhazi. Të dyja ngjarjet janë të pavarura dhe probabiliteti që secila prej tyre të ndodhë veçmas është . Probabiliteti që të dyja këto ngjarje të ndodhin do të llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme: .

Shikoni një përzgjedhje detyrash për të përpunuar temën.

Ngjarjet A, B, C... quhen i varur nga njëra-tjetra nëse probabiliteti i ndodhjes së të paktën njërës prej tyre ndryshon në varësi të ndodhjes ose mosndodhjes së ngjarjeve të tjera. Ngjarjet quhen të pavarur nëse gjasat e ndodhjes së secilës prej tyre nuk varen nga ndodhja ose mosndodhja e të tjerave.

Probabiliteti i kushtëzuar(RA (B)-probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes B në lidhje me A) është probabiliteti i ngjarjes B, i llogaritur me supozimin se ngjarja A ka ndodhur tashmë. shembull i probabilitetit të kushtëzuar Probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes B, me kusht që ngjarja A të ketë ndodhur tashmë, sipas përkufizimit, është e barabartë me RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Shumëzimi i probabiliteteve të ngjarjeve të varura: probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre me probabilitetin e kushtëzuar të tjetrës, e llogaritur nën supozimin se ngjarja e parë ka ndodhur tashmë:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Shembull. Kolektori ka 3 rula konik dhe 7 eliptikë. Koleksionisti mori një rul, dhe më pas të dytin. Gjeni probabilitetin që i pari nga rrotullat e marra të jetë konik dhe i dyti të jetë eliptik.

Zgjidhja: Probabiliteti që rulja e parë të jetë konike (ngjarja A), P (A) = 3 / 10. Probabiliteti që rulja e dytë të jetë eliptike (ngjarja B), e llogaritur nën supozimin se ruli i parë është konik, d.m.th. i kushtëzuar probabiliteti RA (B) = 7/9.
Sipas formulës së shumëzimit, probabiliteti i dëshiruar P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Vini re se, duke mbajtur shënimin, ne mund të gjejë lehtësisht: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Kushti i pavarësisë së ngjarjeve. Shumëzimi i probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura. Shembuj.

Ngjarja B është e pavarur nga ngjarja A nëse

P(B/A) = P(B) d.m.th. Probabiliteti i ngjarjes B nuk varet nga fakti nëse ngjarja A ka ndodhur apo jo.

Në këtë rast, ngjarja A nuk varet nga ngjarja B, domethënë vetia e pavarësisë së ngjarjeve është e ndërsjellë.

Probabiliteti i produktit të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre:

P(AB) = P(A)P(B) .

Shembulli 1: Një pajisje që funksionon gjatë kohës t përbëhet nga tre nyje, secila prej të cilave, pavarësisht nga të tjerat, mund të dështojë (të jetë jashtë funksionit) gjatë kohës t. Dështimi i të paktën një nyje çon në dështimin e pajisjes në tërësi. Gjatë kohës t, besueshmëria (probabiliteti i funksionimit pa dështim) i nyjës së parë është i barabartë me p 1 = 0.8; e dyta p 2 = 0,9 e treta p 3 = 0,7. Gjeni besueshmërinë e pajisjes në tërësi.

Zgjidhje. Duke treguar:

A - funksionimi pa probleme i pajisjeve,

Një funksionim 1 - pa dështim i nyjës së parë,

Një 2 - funksionim pa probleme i nyjës së dytë,

Një 3 - funksionim pa probleme i nyjës së tretë,

prej nga me teoremën e shumëzimit për ngjarje të pavarura

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Shembulli 2. Gjeni probabilitetin që një shifër të shfaqet së bashku në një hedhje të dy monedhave.

Zgjidhje. Probabiliteti i paraqitjes së shifrës së monedhës së parë (ngjarja A) Р(А) = 1/2; probabiliteti i shfaqjes së shifrës së monedhës së dytë (ngjarja B) është P(B) = 1/2.

Ngjarjet A dhe B janë të pavarura, ndaj gjejmë probabilitetin e dëshiruar

sipas formulës:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Konsistenca dhe mospërputhja e ngjarjeve. Shtimi i probabiliteteve të dy ngjarjeve të përbashkëta. Shembuj.

Të dy ngjarjet quhen të përbashkët nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk ndikon apo e përjashton ndodhjen e tjetrës. Ngjarjet e përbashkëta mund të realizohen njëkohësisht, siç është shfaqja e çdo numri në të njëjtin zare

në asnjë mënyrë nuk ndikon në shfaqjen e numrave në një kockë tjetër. Ngjarjet janë të paqëndrueshme, nëse në një fenomen ose në një provë nuk mund të realizohen njëkohësisht dhe shfaqja e njërës prej tyre përjashton paraqitjen e tjetrës (goditja e objektivit dhe humbja janë të papajtueshme).

Probabiliteti i ndodhjes së të paktën njërës nga dy ngjarjet e përbashkëta A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa probabilitetin e shfaqjes së tyre të përbashkët:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Shembull. Probabiliteti për të goditur objektivin për atletin e parë është 0.85, dhe për të dytin - 0.8. Atletët në mënyrë të pavarur

qëlloi një të shtënë. Gjeni probabilitetin që të paktën një atlet të godasë objektivin?

Zgjidhje. Le të prezantojmë shënimin: ngjarjet A - "goditja e atletit të parë", B - "goditja e atletit të dytë", C - "goditja e të paktën një prej atletëve". Natyrisht, A + B = C, dhe ngjarjet A dhe B janë të pajtueshme. Në përputhje me formulën, marrim:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

sepse A dhe B janë ngjarje të pavarura. Duke zëvendësuar këto vlera P(A) = 0.85, P(B) = 0.8 në formulën për P(C), gjejmë probabilitetin e dëshiruar

P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta

E kundërt emërtoni dy ngjarje të papajtueshme që formojnë një grup të plotë. Nëse një nga dy ngjarjet e kundërta shënohet me POR, tjetra zakonisht shënohet . Ngjarja e kundërt konsiston në mosngjarjen e ngjarjes POR.

Teorema. Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është e barabartë me një:

P(A)+P()= 1.

Shembulli 4 Kutia përmban 11 pjesë, 8 prej të cilave janë standarde. Gjeni probabilitetin që midis 3 pjesëve të nxjerra rastësisht të ketë të paktën një të dëmtuar.

Zgjidhje. Problemi mund të zgjidhet në dy mënyra.

1 mënyrë. Ngjarjet "ka të paktën një pjesë me defekt midis pjesëve të nxjerra" dhe "nuk ka asnjë pjesë të vetme me defekt midis pjesëve të nxjerra" janë të kundërta. Le të shënojmë ngjarjen e parë si POR, dhe e dyta përmes :

P(A) =1 - P( ) .

Le të gjejmë R(). Numri i përgjithshëm i mënyrave në të cilat mund të nxirren 3 pjesë nga 11 pjesë është i barabartë me numrin e kombinimeve
. Numri i pjesëve standarde është 8 ; nga ky numër pjesësh
mënyra për të nxjerrë 3 pjesë standarde. Prandaj, probabiliteti që të mos ketë pjesë jo standarde midis 3 pjesëve të nxjerra është e barabartë me:

Sipas teoremës së mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me: P(A)=1 - P()=

2 mënyra. Ngjarje POR- "Ndër pjesët e nxjerra ka të paktën një defekt" - mund të realizohet si pamja e:

apo ngjarje AT- "u hoq 1 pjesë me defekt dhe 2 pa defekt",

apo ngjarje NGA- "hequr 2 pjesë me defekt dhe 1 pa defekt",

apo ngjarje D - "Të hequra 3 pjesë me defekt".

Pastaj A= B+ C+ D. Që nga ngjarjet B, C dhe D të papajtueshme, atëherë mund të zbatojmë teoremën e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të papajtueshme:

4. Teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Produkt i dy ngjarjevePOR dheAT thirrni ngjarjen C=AB, që konsiston në paraqitjen (kombinimin) e përbashkët të këtyre ngjarjeve.

Produkt i disa ngjarjeve emërtoni ngjarjen që konsiston në shfaqjen e përbashkët të të gjitha këtyre ngjarjeve. Për shembull, ngjarje ABCështë ndërthurja e ngjarjeve A, B dhe NGA.

Quhen dy ngjarje të pavarur nëse probabiliteti i njërës prej tyre nuk varet nga ndodhja ose mosndodhja e tjetrës.

Teorema. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

P(AB)=P(A) P(B).

Pasoja. Probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të disa ngjarjeve që janë të pavarura në total është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve :

P(A 1 POR 2 ... POR n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

Shembulli 5 Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet së bashku në një hedhje të dy monedhave.

Zgjidhje. Le të shënojmë ngjarjet: POR - shfaqja e stemës në monedhën e parë, AT - pamja e stemës në monedhën e dytë, NGA- pamja e stemës në dy monedha C=AB.

Probabiliteti i shfaqjes së stemës së monedhës së parë :

P(A) =.

Probabiliteti i shfaqjes së stemës së monedhës së dytë :

P(B) =.

Që nga ngjarjet POR dhe AT e pavarur, atëherë probabiliteti i dëshiruar sipas teoremës së shumëzimit është i barabartë me:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Shembulli 6 Ka 3 kuti që përmbajnë 10 pjesë. Sirtari i parë përmban 8, sirtari i dytë 7 dhe sirtari i tretë 9 pjesë standarde. Një artikull nxirret në mënyrë të rastësishme nga çdo kuti. Gjeni probabilitetin që të tre pjesët e nxjerra janë standarde.

Zgjidhje. Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e parë (ngjarja POR):

P(A) =

Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e dytë (ngjarja AT):

Probabiliteti që një pjesë standarde të merret nga kutia e tretë (ngjarja NGA):

P(C)=

Që nga ngjarjet A, B dhe NGA e pavarur në agregat, atëherë probabiliteti i dëshiruar (sipas teoremës së shumëzimit) është i barabartë me:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Shembulli 7 Probabilitetet e shfaqjes së secilës prej dy ngjarjeve të pavarura POR 1 dhe POR 2 përkatësisht të barabartë R 1 dhe R 2. Gjeni probabilitetin e ndodhjes së vetëm një prej këtyre ngjarjeve.

Zgjidhje. Le të prezantojmë shënimin e ngjarjeve:

AT 1 – u shfaq vetëm ngjarja POR 1 ; AT 2 – u shfaq vetëm ngjarja POR 2 .

Ndodhja e ngjarjes AT 1 është e barabartë me ndodhjen e një ngjarjeje POR 1 2 (ngjarja e parë u shfaq dhe e dyta nuk u shfaq), d.m.th. AT 1 = A 1 2 .

Ndodhja e ngjarjes AT 2 është e barabartë me ndodhjen e një ngjarjeje 1 POR 2 (nuk u shfaq ngjarja e parë dhe u shfaq e dyta), d.m.th. AT 1 = 1 POR 2 .

Kështu, për të gjetur probabilitetin e ndodhjes së vetëm një prej ngjarjeve POR 1 ose POR 2 , mjafton të gjesh probabilitetin e ndodhjes së njërës, pavarësisht se cila prej ngjarjeve AT 1 dhe AT 2 . Zhvillimet AT 1 dhe AT 2 janë jokonsistente, prandaj është e zbatueshme teorema e mbledhjes së ngjarjeve të papajtueshme:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve.
Ngjarjet e varura dhe të pavarura

Titulli duket i frikshëm, por në fakt është shumë i thjeshtë. Në këtë mësim do të njihemi me teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve, si dhe do të analizojmë detyrat tipike që, së bashku me detyrë për përkufizimin klasik të probabilitetit patjetër do të takoheni ose, më shumë gjasa, do të jeni takuar tashmë në rrugën tuaj. Për të studiuar në mënyrë efektive materialet e këtij artikulli, duhet të dini dhe kuptoni termat bazë teoria e probabilitetit dhe të jetë në gjendje të kryejë veprime të thjeshta aritmetike. Siç mund ta shihni, kërkohet shumë pak, dhe për këtë arsye një plus i yndyrshëm në aktiv është pothuajse i garantuar. Por nga ana tjetër, unë përsëri paralajmëroj kundër një qëndrimi sipërfaqësor ndaj shembujve praktikë - ka edhe mjaft hollësi. Paç fat:

Teorema e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të papajtueshme: probabiliteti i shfaqjes së njërës prej të dyjave të papajtueshme ngjarjet ose (pa marrë parasysh çfarë), është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Një fakt i ngjashëm është gjithashtu i vërtetë për një numër më të madh ngjarjesh të papajtueshme, për shembull, për tre ngjarje të papajtueshme dhe:

Teorema e ëndrrave =) Sidoqoftë, një ëndërr e tillë i nënshtrohet gjithashtu provës, e cila mund të gjendet, për shembull, në udhëzues studimi V.E. Gmurman.

Le të njihemi me koncepte të reja, të paparë deri tani:

Ngjarjet e varura dhe të pavarura

Le të fillojmë me ngjarje të pavarura. Ngjarjet janë të pavarur nëse probabiliteti i ndodhjes ndonjë prej tyre nuk varet nga shfaqja/mosparaqitja e ngjarjeve të tjera të grupit të konsideruar (në të gjitha kombinimet e mundshme). ... Por çfarë ka për të bluar frazat e zakonshme:

Teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura: probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të ngjarjeve të pavarura dhe është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Le të kthehemi te shembulli më i thjeshtë i mësimit të parë, në të cilin hidhen dy monedha dhe ngjarjet e mëposhtme:

- kokat do të bien në monedhën e parë;
- Kokat në monedhën e dytë.

Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes (kokat do të shfaqen në monedhën e parë dhe Shqiponja do të shfaqet në monedhën e dytë - mbani mend si të lexoni produkt i ngjarjeve!) . Probabiliteti për të marrë kokat në një monedhë nuk varet nga rezultati i hedhjes së një monedhe tjetër, prandaj, ngjarjet dhe janë të pavarura.

Në mënyrë të ngjashme:
është probabiliteti që monedha e parë të bjerë koka dhe në bishtin e dytë;
është probabiliteti që kokat të shfaqen në monedhën e parë dhe në bishtin e dytë;
është probabiliteti që monedha e parë të bjerë në bisht dhe në shqiponjën e dytë.

Vini re se ngjarjet formohen grupi i plotë dhe shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një: .

Teorema e shumëzimit padyshim shtrihet në një numër më të madh ngjarjesh të pavarura, kështu që, për shembull, nëse ngjarjet janë të pavarura, atëherë probabiliteti i shfaqjes së përbashkët të tyre është: . Le të praktikojmë me shembuj specifik:

Detyra 3

Secila nga tre kutitë përmban 10 pjesë. Në kutinë e parë ka 8 pjesë standarde, në të dytën - 7, në të tretën - 9. Një pjesë hiqet rastësisht nga secila kuti. Gjeni probabilitetin që të gjitha pjesët të jenë standarde.

Zgjidhje: probabiliteti i nxjerrjes së një pjese standarde ose jo standarde nga çdo kuti nuk varet nga ajo se cilat pjesë do të nxirren nga kutitë e tjera, kështu që problemi ka të bëjë me ngjarje të pavarura. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme të pavarura:

- një pjesë standarde hiqet nga kutia e parë;
- një pjesë standarde hiqet nga kutia e dytë;
– Një pjesë standarde është hequr nga sirtari i tretë.

Sipas përkufizimit klasik:
janë probabilitetet përkatëse.

Ngjarja për të cilën jemi të interesuar (Pjesa standarde do të merret nga sirtari i parë dhe nga standardi i dytë dhe nga standardi i tretë) shprehet me produktin.

Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

është probabiliteti që një pjesë standarde të nxirret nga tre kuti.

Përgjigju: 0,504

Pas ushtrimeve gjallëruese me kuti, urna jo më pak interesante na presin:

Detyra 4

Tre urna përmbajnë 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj. Një top nxirret rastësisht nga çdo urnë. Gjeni probabilitetin që: a) të tre topat të jenë të bardhë; b) të tre topat do të kenë të njëjtën ngjyrë.

Bazuar në informacionin e marrë, mendoni se si të merreni me artikullin "be" ;-) Një zgjidhje e përafërt mostër është projektuar në një stil akademik me një përshkrim të hollësishëm të të gjitha ngjarjeve.

Ngjarjet e varura. Ngjarja quhet i varur nëse probabiliteti i tij varet nga një ose më shumë ngjarje që kanë ndodhur tashmë. Ju nuk keni pse të shkoni larg për shembuj - thjesht shkoni në dyqanin më të afërt:

- Nesër në orën 19.00 del në shitje buka e freskët.

Probabiliteti i kësaj ngjarje varet nga shumë ngjarje të tjera: nëse buka e freskët do të dorëzohet nesër, nëse do të shitet para orës 19:00 apo jo, etj. Në varësi të rrethanave të ndryshme, kjo ngjarje mund të jetë e besueshme dhe e pamundur. Pra ngjarja është i varur.

Bukë ... dhe, siç kërkuan romakët, cirk:

- në provim, studenti do të marrë një biletë të thjeshtë.

Nëse nuk shkoni së pari, atëherë ngjarja do të varet, pasi probabiliteti i saj do të varet nga cilat bileta kanë tërhequr tashmë shokët e klasës.

Si të përcaktohet varësia/pavarësia e ngjarjeve?

Ndonjëherë kjo thuhet drejtpërdrejt në gjendjen e problemit, por më shpesh ju duhet të bëni një analizë të pavarur. Këtu nuk ka asnjë udhëzim të qartë dhe fakti i varësisë ose pavarësisë së ngjarjeve rrjedh nga arsyetimi logjik natyror.

Për të mos hedhur gjithçka në një grumbull, detyra për ngjarje të varura Do të theksoj mësimin tjetër, por tani për tani do të shqyrtojmë grupin më të zakonshëm të teoremave në praktikë:

Probleme mbi teoremat e mbledhjes për probabilitete jokonsistente
dhe duke shumëzuar probabilitetet e ngjarjeve të pavarura

Ky tandem, sipas vlerësimit tim subjektiv, funksionon në rreth 80% të detyrave për temën në shqyrtim. Një hit i hiteve dhe një klasik i vërtetë i teorisë së probabilitetit:

Detyra 5

Dy gjuajtës qëlluan nga një të shtënë në objektiv. Probabiliteti i goditjes për gjuajtësin e parë është 0.8, për të dytin - 0.6. Gjeni probabilitetin që:

a) vetëm një gjuajtës do të godasë objektivin;
b) të paktën njëri nga gjuajtësit do të godasë objektivin.

Zgjidhje: Probabiliteti i goditjes/humbjes së një gjuajtësi është padyshim i pavarur nga performanca e gjuajtësit tjetër.

Merrni parasysh ngjarjet:
– gjuajtësi i parë do të godasë objektivin;
– Gjuajtësi i dytë do të godasë objektivin.

Sipas kushtit:.

Le të gjejmë probabilitetet e ngjarjeve të kundërta - që shigjetat përkatëse të humbasin:

a) Merrni parasysh ngjarjen: - vetëm një gjuajtës godet objektivin. Kjo ngjarje përbëhet nga dy rezultate të papajtueshme:

Qitësi i parë do të godasë dhe Mungesa e 2-të
ose
1 do të mungojë dhe 2 do të godasë.

Në gjuhë algjebrat e ngjarjeve ky fakt mund të shkruhet si:

Së pari, ne përdorim teoremën e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme, pastaj - teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

është probabiliteti që do të ketë vetëm një goditje.

b) Merrni parasysh ngjarjen: - të paktën njëri nga gjuajtësit do të godasë objektivin.

Para së gjithash, LE TË MENDOJMË - çfarë do të thotë kushti "TË PAKON NJË"? Në këtë rast, kjo do të thotë që ose gjuajtësi i parë do të godasë (i 2-ti do të humbasë) ose E dyta (mungesa e parë) ose të dyja shigjetat njëherësh - gjithsej 3 rezultate të papajtueshme.

Metoda e parë: duke pasur parasysh probabilitetin e përgatitur të artikullit të mëparshëm, është e përshtatshme që ngjarja të përfaqësohet si shuma e ngjarjeve të ndryshme të mëposhtme:

një do të marrë (një ngjarje që përbëhet nga 2 rezultate të papajtueshme) ose
Nëse godasin të dyja shigjetat, ne e shënojmë këtë ngjarje me shkronjën .

Në këtë mënyrë:

Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:
është probabiliteti që gjuajtësi i parë të godasë dhe Gjuajtësi i dytë do të godasë.

Sipas teoremës së mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme:
është probabiliteti i të paktën një goditjeje në objektiv.

Metoda dy: merrni parasysh ngjarjen e kundërt: – të dy gjuajtësit do të humbasin.

Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

Si rezultat:

Vëmendje e veçantë kushtojini vëmendje metodës së dytë - në rastin e përgjithshëm është më racionale.

Përveç kësaj, ekziston një mënyrë alternative, e tretë e zgjidhjes, e bazuar në teoremën e përmbledhjes së ngjarjeve të përbashkëta, e cila heshti më lart.

! Nëse po e lexoni materialin për herë të parë, atëherë për të shmangur konfuzionin, është më mirë të kaloni paragrafin tjetër.

Metoda e tretë : ngjarjet janë të përbashkëta, që do të thotë se shuma e tyre shpreh ngjarjen "të paktën një gjuajtës godet objektivin" (shih Fig. algjebër e ngjarjeve). Nga teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta dhe teorema e shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

Le të kontrollojmë: ngjarjet dhe (0, 1 dhe 2 goditje respektivisht) formojnë një grup të plotë, kështu që shuma e probabiliteteve të tyre duhet të jetë e barabartë me një:
, e cila duhej të verifikohej.

Përgjigju:

Me një studim të plotë të teorisë së probabilitetit, do të hasni në dhjetëra detyra të një përmbajtjeje militariste dhe, që është tipike, pas kësaj nuk do të dëshironi të qëlloni askënd - detyrat janë pothuajse dhuratë. Pse të mos e bëni shabllonin edhe më të thjeshtë? Le ta shkurtojmë hyrjen:

Zgjidhje: sipas kushtit: , është probabiliteti i goditjes së gjuajtësve përkatës. Atëherë probabilitetet e tyre për të humbur janë:

a) Sipas teoremave të mbledhjes së probabiliteteve të papajtueshmërisë dhe shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:
është probabiliteti që vetëm një gjuajtës të godasë objektivin.

b) Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:
është probabiliteti që të dy gjuajtësit të humbasin.

Atëherë: është probabiliteti që të paktën njëri nga gjuajtësit të godasë objektivin.

Përgjigju:

Në praktikë, ju mund të përdorni çdo opsion dizajni. Sigurisht, shumë më shpesh ata shkojnë në rrugën e shkurtër, por nuk duhet harruar metodën e parë - megjithëse është më e gjatë, është më kuptimplotë - është më e qartë në të, çfarë, pse dhe pse mblidhet dhe shumëzohet. Në disa raste, një stil hibrid është i përshtatshëm, kur është e përshtatshme të tregohen vetëm disa ngjarje me shkronja të mëdha.

Detyra të ngjashme për zgjidhje të pavarur:

Detyra 6

Dy sensorë që funksionojnë në mënyrë të pavarur janë instaluar për alarmin e zjarrit. Probabiliteti që sensori të funksionojë gjatë një zjarri janë 0.5 dhe 0.7 për sensorin e parë dhe të dytë, respektivisht. Gjeni probabilitetin që në zjarr:

a) të dy sensorët do të dështojnë;
b) të dy sensorët do të funksionojnë.
c) duke përdorur Teorema e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve që formojnë një grup të plotë, gjeni probabilitetin që vetëm një sensor të funksionojë gjatë një zjarri. Kontrolloni rezultatin duke llogaritur drejtpërdrejt këtë probabilitet (duke përdorur teorema të mbledhjes dhe shumëzimit).

Këtu, pavarësia e funksionimit të pajisjeve shprehet drejtpërdrejt në gjendje, e cila, nga rruga, është një sqarim i rëndësishëm. Zgjidhja e mostrës është projektuar në një stil akademik.

Po nëse, në një problem të ngjashëm, jepen të njëjtat probabilitete, për shembull, 0.9 dhe 0.9? Ju duhet të vendosni saktësisht të njëjtën gjë! (që, në fakt, tashmë është demonstruar në shembullin me dy monedha)

Detyra 7

Probabiliteti për të goditur objektivin nga gjuajtësi i parë me një goditje është 0.8. Probabiliteti që objektivi të mos goditet pasi gjuajtësit e parë dhe të dytë të gjuajnë një të shtënë është 0.08. Sa është probabiliteti për të goditur objektivin nga gjuajtësi i dytë me një të shtënë?

Dhe kjo është një enigmë e vogël, e cila është përshtatur në një mënyrë të shkurtër. Kushti mund të riformulohet në mënyrë më koncize, por unë nuk do ta ribërë origjinalin - në praktikë, më duhet të thellohem në trillime më të zbukuruara.

Njihuni me të - ai është ai që preu një sasi të pamatshme detajesh për ju =):

Detyra 8

Një punëtor punon me tre makina. Probabiliteti që gjatë ndërrimit makina e parë të kërkojë rregullim është 0.3, e dyta - 0.75, e treta - 0.4. Gjeni probabilitetin që gjatë ndërrimit:

a) të gjitha makinat do të kërkojnë rregullim;
b) vetëm një makinë do të kërkojë rregullim;
c) të paktën një makinë do të kërkojë rregullim.

Zgjidhje: meqenëse kushti nuk thotë asgjë për një proces të vetëm teknologjik, atëherë funksionimi i secilës makinë duhet të konsiderohet i pavarur nga funksionimi i makinerive të tjera.

Në analogji me detyrën nr. 5, këtu mund të merrni parasysh ngjarje që konsistojnë në faktin se makinat përkatëse do të kërkojnë rregullim gjatë ndërrimit, shkruani probabilitetet, gjeni probabilitetet e ngjarjeve të kundërta, etj. Por me tre objekte, nuk dua ta përpiloj detyrën kështu - do të dalë e gjatë dhe e lodhshme. Prandaj, është dukshëm më fitimprurëse të përdoret stili "i shpejtë" këtu:

Sipas kushtit: - probabiliteti që gjatë ndërrimit makinat përkatëse të kërkojnë akordim. Atëherë gjasat që ata nuk do të kërkojnë vëmendje janë:

Një nga lexuesit gjeti një gabim shtypi të bukur këtu, as nuk do ta korrigjoj =)

a) Sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:
është probabiliteti që gjatë ndërrimit të tre makinat të kërkojnë rregullim.

b) Ngjarja "Gjatë ndërrimit, vetëm një makinë do të kërkojë rregullim" përbëhet nga tre rezultate të papajtueshme:

1) Makina e parë do të kërkojë vëmendje dhe Makina e dytë nuk do të kërkojë dhe Makina e tretë nuk do të kërkojë
ose:
2) Makina e parë nuk do të kërkojë vëmendje dhe Makina e dytë do të kërkojë dhe Makina e tretë nuk do të kërkojë
ose:
3) Makina e parë nuk do të kërkojë vëmendje dhe Makina e dytë nuk do të kërkojë dhe Makina e tretë do të kërkojë.

Sipas teoremave të mbledhjes së probabiliteteve të papajtueshmërisë dhe shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

- probabiliteti që gjatë ndërrimit vetëm një makinë të kërkojë rregullim.

Mendoj se deri tani duhet ta keni të qartë se nga erdhi shprehja

c) Llogaritni probabilitetin që makinat të mos kërkojnë rregullim, dhe më pas probabilitetin e ngjarjes së kundërt:
– Fakti që të paktën një makinë do të kërkojë rregullim.

Përgjigju:

Pika "ve" mund të zgjidhet edhe përmes shumës , ku është probabiliteti që gjatë ndërrimit vetëm dy makina të kërkojnë rregullim. Kjo ngjarje, nga ana tjetër, përfshin 3 rezultate të papajtueshme, të cilat nënshkruhen në analogji me artikullin "be". Mundohuni të gjeni vetë probabilitetin për të kontrolluar të gjithë problemin me ndihmën e barazisë.

Detyra 9

Tre armë qëlluan me breshëri në objektiv. Probabiliteti për të goditur me një goditje vetëm nga arma e parë është 0.7, nga e dyta - 0.6, nga e treta - 0.8. Gjeni probabilitetin që: 1) të paktën një predhë të godasë objektivin; 2) vetëm dy predha do të godasin objektivin; 3) objektivi do të goditet të paktën dy herë.

Zgjidhja dhe përgjigjja në fund të orës së mësimit.

Dhe përsëri për rastësitë: në rast se, sipas kushtit, dy ose edhe të gjitha vlerat e probabiliteteve fillestare përkojnë (për shembull, 0.7; 0.7 dhe 0.7), atëherë duhet të ndiqet saktësisht i njëjti algoritëm zgjidhjeje.

Në përfundim të artikullit, ne do të analizojmë një tjetër enigmë të zakonshme:

Detyra 10

Qitësi godet objektivin me të njëjtën probabilitet me çdo gjuajtje. Sa është kjo probabilitet nëse probabiliteti i të paktën një goditjeje në tre goditje është 0,973.

Zgjidhje: tregojnë me - probabilitetin e goditjes së objektivit me çdo goditje.
dhe përmes - probabiliteti i një humbje me çdo goditje.

Le të shkruajmë ngjarjet:
- me 3 të shtëna, gjuajtësi do të godasë objektivin të paktën një herë;
- gjuajtësi do të humbasë 3 herë.

Sipas kushtit, atëherë probabiliteti i ngjarjes së kundërt:

Nga ana tjetër, sipas teoremës së shumëzimit të probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura:

Në këtë mënyrë:

- probabiliteti i një gabimi me çdo goditje.

Si rezultat:
është probabiliteti për të goditur çdo goditje.

Përgjigju: 0,7

E thjeshte dhe elegante.

Në problemin e konsideruar, mund të ngrihen pyetje shtesë për mundësinë e vetëm një goditjeje, vetëm dy goditjeve dhe probabilitetin e tre goditjeve në objektiv. Skema e zgjidhjes do të jetë saktësisht e njëjtë si në dy shembujt e mëparshëm:

Sidoqoftë, ndryshimi thelbësor thelbësor është se ka teste të përsëritura të pavarura, të cilat kryhen në mënyrë sekuenciale, të pavarur nga njëra-tjetra dhe me të njëjtën probabilitet rezultatesh.

Deklarata e përgjithshme e problemit: probabilitetet e disa ngjarjeve janë të njohura, por probabilitetet e ngjarjeve të tjera që lidhen me këto ngjarje duhet të llogariten. Në këto probleme ka nevojë për veprime të tilla mbi probabilitetet si mbledhja dhe shumëzimi i probabiliteteve.

Për shembull, gjatë gjuetisë u qëlluan dy të shtëna. Ngjarje A- goditja e rosës nga gjuajtja e parë, ngjarje B- goditi nga gjuajtja e dytë. Pastaj shuma e ngjarjeve A dhe B- goditi nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna.

Detyra të një lloji tjetër. Janë dhënë disa ngjarje, për shembull, një monedhë hidhet tre herë. Kërkohet të gjendet probabiliteti që ose të tri herë të bjerë stema, ose që stema të bjerë të paktën një herë. Ky është një problem shumëzimi.

Shtimi i probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme

Shtimi i probabilitetit përdoret kur është e nevojshme të llogaritet probabiliteti i një kombinimi ose një shumë logjike ngjarjesh të rastësishme.

Shuma e ngjarjeve A dhe B caktoj A + B ose A ∪ B. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga ngjarjet. Do të thotë se A + B- një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse një ngjarje ndodh gjatë vëzhgimit A ose ngjarje B, ose në të njëjtën kohë A dhe B.

Nëse ngjarjet A dhe B janë reciprokisht jokonsistente dhe jepen probabilitetet e tyre, atëherë probabiliteti që një nga këto ngjarje të ndodhë si rezultat i një prove llogaritet duke përdorur shtimin e probabiliteteve.

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve. Probabiliteti që do të ndodhë një nga dy ngjarjet reciprokisht të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:

Për shembull, gjatë gjuetisë u qëlluan dy të shtëna. Ngjarje POR– goditja e rosës nga gjuajtja e parë, ngjarje AT– goditje nga gjuajtja e dytë, ngjarje ( POR+ AT) - goditi nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna. Pra, nëse dy ngjarje POR dhe AT janë ngjarje të papajtueshme, pra POR+ AT- shfaqja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve ose dy ngjarjeve.

Shembulli 1 Një kuti përmban 30 topa të së njëjtës madhësi: 10 të kuqe, 5 blu dhe 15 të bardha. Llogaritni probabilitetin që një top me ngjyrë (jo i bardhë) të merret pa parë.

Zgjidhje. Le të supozojmë se ngjarja POR– “merret topi i kuq”, dhe ngjarja AT- "Topi blu është marrë." Pastaj ngjarja është “merret një top me ngjyrë (jo i bardhë)”. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje POR:

dhe ngjarjet AT:

Zhvillimet POR dhe AT- të papajtueshme reciprokisht, pasi nëse merret një top, atëherë nuk mund të merren topa me ngjyra të ndryshme. Prandaj, ne përdorim shtimin e probabiliteteve:

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve për disa ngjarje të papajtueshme. Nëse ngjarjet përbëjnë grupin e plotë të ngjarjeve, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1:

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është gjithashtu e barabartë me 1:

Ngjarjet e kundërta formojnë një grup të plotë ngjarjesh, dhe probabiliteti i një grupi të plotë ngjarjesh është 1.

Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta zakonisht shënohen me shkronja të vogla. fq dhe q. Veçanërisht,

nga e cila rrjedhin formulat e mëposhtme për probabilitetin e ngjarjeve të kundërta:

Shembulli 2 Objektivi në dash është i ndarë në 3 zona. Probabiliteti që një gjuajtës i caktuar të gjuajë në një objektiv në zonën e parë është 0.15, në zonën e dytë - 0.23, në zonën e tretë - 0.17. Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin dhe probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin.

Zgjidhja: Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin:

Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin:

Detyra më të vështira në të cilat duhet të aplikoni mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve - në faqen "Detyra të ndryshme për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve" .

Shtimi i probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta reciproke

Dy ngjarje të rastësishme quhen të përbashkëta nëse ndodhja e një ngjarjeje nuk përjashton ndodhjen e një ngjarjeje të dytë në të njëjtin vëzhgim. Për shembull, kur hedh një zare, ngjarja POR konsiderohet të jetë ndodhja e numrit 4, dhe ngjarja AT- duke hedhur një numër çift. Meqenëse numri 4 është numër çift, të dy ngjarjet janë të pajtueshme. Në praktikë, ekzistojnë detyra për llogaritjen e probabiliteteve të shfaqjes së një prej ngjarjeve të përbashkëta reciproke.

Teorema e mbledhjes së probabiliteteve për ngjarje të përbashkëta. Probabiliteti që të ndodhë një nga ngjarjet e përbashkëta është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, nga e cila zbritet probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të të dyja ngjarjeve, domethënë produkti i probabiliteteve. Formula për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta është si më poshtë:

Sepse ngjarjet POR dhe AT i përputhshëm, ngjarje POR+ AT ndodh nëse ndodh një nga tre ngjarjet e mundshme: ose AB. Sipas teoremës së mbledhjes së ngjarjeve të papajtueshme, ne llogarisim si më poshtë:

Ngjarje POR ndodh nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: ose AB. Sidoqoftë, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të të gjitha këtyre ngjarjeve:

Në mënyrë të ngjashme:

Duke zëvendësuar shprehjet (6) dhe (7) në shprehjen (5), marrim formulën e probabilitetit për ngjarjet e përbashkëta:

Gjatë përdorimit të formulës (8), duhet pasur parasysh se ngjarjet POR dhe AT mund te jete:

• të pavarur reciprokisht;
• të varur reciprokisht.

Formula e probabilitetit për ngjarje të pavarura reciprokisht:

Formula e probabilitetit për ngjarjet e varura reciprokisht:

Nëse ngjarjet POR dhe AT janë të paqëndrueshme, atëherë rastësia e tyre është një rast i pamundur dhe, kështu, P(AB) = 0. Formula e katërt e probabilitetit për ngjarjet e papajtueshme është si më poshtë:

Shembulli 3 Në garat me automobila, kur vozitni në makinën e parë, probabiliteti për të fituar, kur vozitni në makinën e dytë. Gjej:

• probabiliteti që të dyja makinat të fitojnë;
• probabiliteti që të paktën një makinë të fitojë;

1) Probabiliteti që makina e parë të fitojë nuk varet nga rezultati i makinës së dytë, kështu që ngjarjet POR(makina e parë fiton) dhe AT(makina e dytë fiton) - ngjarje të pavarura. Gjeni probabilitetin që të dyja makinat të fitojnë:

2) Gjeni probabilitetin që një nga dy makinat të fitojë:

Detyra më të vështira në të cilat duhet të aplikoni mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve - në faqen "Detyra të ndryshme për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve" .

Zgjidheni vetë problemin e mbledhjes së probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 4 Hidhen dy monedha. Ngjarje A- humbja e stemës në monedhën e parë. Ngjarje B- humbja e stemës në monedhën e dytë. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje C = A + B .

Shumëzimi i probabilitetit

Shumëzimi i probabiliteteve përdoret kur duhet të llogaritet probabiliteti i një produkti logjik të ngjarjeve.

Në këtë rast, ngjarjet e rastësishme duhet të jenë të pavarura. Dy ngjarje quhen reciprokisht të pavarura nëse ndodhja e njërës ngjarje nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes së dytë.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura. Probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ngjarjeve të pavarura POR dhe ATështë e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve dhe llogaritet me formulën:

Shembulli 5 Monedha hidhet tri herë radhazi. Gjeni probabilitetin që stema të bjerë të tria herë.

Zgjidhje. Probabiliteti që stema të bjerë në hedhjen e parë të monedhës, herën e dytë dhe herën e tretë. Gjeni probabilitetin që stema të bjerë të tre herë:

Zgjidhini vetë problemet për shumëzimin e probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 6 Ka një kuti me nëntë topa të rinj tenisi. Merren tre topa për lojë, pas lojës ato kthehen. Kur zgjedhin topa, ata nuk bëjnë dallimin midis topave të luajtur dhe atyre të paluajtur. Sa është probabiliteti që pas tre ndeshje nuk do të ketë topa të paluajtur në kuti?

Shembulli 7 32 shkronja të alfabetit rus janë shkruar në kartat e prera të alfabetit. Pesë letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme, njëra pas tjetrës dhe vendosen në tavolinë sipas renditjes në të cilën shfaqen. Gjeni probabilitetin që shkronjat të formojnë fjalën "fund".

Shembulli 8 Nga një kuvertë e plotë letrash (52 fletë), nxirren katër letra menjëherë. Gjeni probabilitetin që të katër këto letra të jenë të të njëjtit kostum.

Shembulli 9 I njëjti problem si në shembullin 8, por çdo kartë kthehet në kuvertë pasi të jetë tërhequr.

Detyra më komplekse, në të cilat duhet të aplikoni mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, si dhe llogaritni produktin e disa ngjarjeve - në faqen "Detyra të ndryshme për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve" .

Probabiliteti që të paktën një nga ngjarjet reciprokisht të pavarura të ndodhë mund të llogaritet duke zbritur produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta nga 1, domethënë me formulën.