Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike dyfishohet. Probleme në teorinë e probabilitetit. Metoda e kombinimit të numërimit

Formulimi i detyrës: Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që kokat (bishtat) të mos bien as një herë (do të bien saktësisht / të paktën 1, 2 herë).

Detyra përfshihet në USE në matematikë të nivelit bazë për klasën 11 në numrin 10 (Përkufizimi klasik i probabilitetit).

Le të shohim se si zgjidhen probleme të tilla me shembuj.

Shembull i detyrës 1:

Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që kokat të mos dalin kurrë.

OO OSE RO RR

Janë gjithsej 4 kombinime të tilla, neve na interesojnë vetëm ato në të cilat nuk ka asnjë shqiponjë. Ekziston vetëm një kombinim i tillë (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Përgjigje: 0.25

Shembull i detyrës 2:

Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që të dalë në krye saktësisht dy herë.

Merrni parasysh të gjitha kombinimet e mundshme që mund të bien nëse monedha hidhet dy herë. Për lehtësi, ne do të shënojmë shqiponjën me shkronjën O, dhe bishtat me shkronjën P:

OO OSE RO RR

Janë gjithsej 4 kombinime të tilla.Ne jemi të interesuar vetëm për ato kombinime në të cilat kokat shfaqen saktësisht 2 herë. Ekziston vetëm një kombinim i tillë (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Përgjigje: 0.25

Shembull i detyrës 3:

Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që të dalë në krye saktësisht një herë.

Merrni parasysh të gjitha kombinimet e mundshme që mund të bien nëse monedha hidhet dy herë. Për lehtësi, ne do të shënojmë shqiponjën me shkronjën O, dhe bishtat me shkronjën P:

OO OSE RO RR

Gjithsej janë 4 kombinime të tilla.Ne jemi të interesuar vetëm për ato prej tyre në të cilat kokat kanë rënë saktësisht 1 herë. Ekzistojnë vetëm dy kombinime të tilla (OP dhe RO).

Përgjigje: 0.5

Shembull i detyrës 4:

Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që kokat të dalin të paktën një herë.

Merrni parasysh të gjitha kombinimet e mundshme që mund të bien nëse monedha hidhet dy herë. Për lehtësi, ne do të shënojmë shqiponjën me shkronjën O, dhe bishtat me shkronjën P:

OO OSE RO RR

Janë gjithsej 4 kombinime të tilla.Na interesojnë vetëm ato kombinime në të cilat kokat bien të paktën një herë. Ekzistojnë vetëm tre kombinime të tilla (OO, OR dhe RO).

P = 3 / 4 = 0,75

Në një eksperiment të rastësishëm, hidhet një monedhë simetrike...

Si parathënie.
Të gjithë e dinë se një monedhë ka dy anë - kokat dhe bishtat.
Numizmatistët besojnë se monedha ka tre anët - ana e përparme, e pasme dhe buzë.
Dhe midis tyre, dhe ndër të tjera, pak njerëz e dinë se çfarë është një monedhë simetrike. Por ata e dinë për këtë (mirë, ose duhet ta dinë :), ata që përgatiten për të marrë provimin.

Në përgjithësi, ky artikull do të fokusohet në monedhë e pazakontë, e cila nuk ka asnjë lidhje me numizmatikën, por, në të njëjtën kohë, është monedha më e njohur në mesin e nxënësve të shkollës.

Kështu që.
Monedhë simetrike- kjo është një monedhë imagjinare matematikisht ideale pa madhësi, peshë, diametër, etj. Si rezultat, një monedhë e tillë gjithashtu nuk ka buzë, domethënë ka vërtet vetëm dy anë. Vetia kryesore e një monedhe simetrike është se në kushte të tilla probabiliteti i rënies së kokës ose bishtit është saktësisht i njëjtë. Dhe ata dolën me një monedhë simetrike për eksperimentet e mendimit.
Problemi më popullor me një monedhë simetrike tingëllon kështu - "Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë (tre herë, katër herë, etj.). Kërkohet të përcaktohet probabiliteti që njëra nga anët të bjerë jashtë. një numër të caktuar herë.

Zgjidhja e problemës me një monedhë simetrike

Është e qartë se si rezultat i hedhjes, monedha do të bjerë ose koka ose bisht. Sa herë - varet nga sa gjuajtje duhet të bëni. Probabiliteti për të marrë kokat ose bishtat llogaritet duke pjesëtuar numrin e rezultateve që plotësojnë kushtin me numrin total të rezultateve të mundshme.

Një gjuajtje

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Ose kokat ose bishtat do të dalin lart. ato. kemi dy rezultate të mundshme, njëra prej të cilave na kënaq - 1/2=50%

Dyhedhje

Për dy gjuajtje mund të bien:
dy shqiponja
dy bishta
kokat, pastaj bishtat
bishtat, pastaj kokat
ato. vetëm katër opsione janë të mundshme. Problemet me më shumë se një gjuajtje janë më të lehta për t'u zgjidhur duke bërë një tabelë opsionesh të mundshme. Për thjeshtësi, le t'i shënojmë kokat si "0" dhe bishtat si "1". Pastaj tabela e rezultateve të mundshme do të duket si kjo:
00
01
10
11
Nëse, për shembull, duhet të gjeni probabilitetin që kokat të bien një herë, thjesht duhet të numëroni numrin e opsioneve të përshtatshme në tabelë - d.m.th. ato vija ku shqiponja shfaqet një herë. Ka dy linja të tilla. Pra, probabiliteti për të marrë një kokë në dy hedhje të një monedhe simetrike është 2/4=50%
Probabiliteti për të marrë kokat dy herë në dy hedhje është 1/4=25%

Tre trëndafila

Ne bëjmë një tabelë opsionesh:
000
001
010
011
100
101
110
111
Ata që janë të njohur me llogaritjen binare e kuptojnë se në çfarë kemi arritur. :) Po, ata janë numra binarë nga "0" në "7". Në këtë mënyrë është më e lehtë të mos ngatërrohesh me opsionet.
Le të zgjidhim problemin nga paragrafi i mëparshëm - llogarisim probabilitetin që shqiponja të bjerë një herë. Ka tre rreshta ku "0" shfaqet një herë. Pra, probabiliteti për të marrë një kokë në tre hedhje të një monedhe simetrike është 3/8=37.5%
Probabiliteti që koka në tre gjuajtje të bjerë dy herë është 3/8=37.5%, d.m.th. absolutisht e njëjta gjë.
Probabiliteti që koka në tre gjuajtje të bjerë tre herë është 1/8 = 12.5%.

Katër gjuajtje

Ne bëjmë një tabelë opsionesh:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Probabiliteti që kokat del një herë. Ka vetëm tre rreshta ku "0" ndodh një herë, ashtu si në rastin e tre gjuajtjeve. Por, tashmë ka gjashtëmbëdhjetë opsione. Pra, probabiliteti për të marrë një kokë në katër hedhje të një monedhe simetrike është 3/16=18,75%
Probabiliteti që shqiponja të bjerë dy herë në tre gjuajtje është 6/8=75%.
Probabiliteti që kokat të dalin tre herë në tre hedhje është 4/8=50%.

Pra, me një rritje të numrit të gjuajtjeve, parimi i zgjidhjes së problemit nuk ndryshon fare - vetëm, në një progresion të përshtatshëm, numri i opsioneve rritet.

Në teorinë e probabilitetit ekziston një grup problemesh, për zgjidhjen e të cilave mjafton të njohësh përkufizimin klasik të probabilitetit dhe të vizualizosh situatën e propozuar. Këto probleme janë shumica e problemeve të hedhjes së monedhave dhe problemeve të hedhjes së zareve. Kujtoni përkufizimin klasik të probabilitetit.

Probabiliteti i ngjarjes A (mundësia objektive që një ngjarje të ndodhë në terma numerikë) është e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme: P(A)=m/n, ku:

• m është numri i rezultateve elementare të testit që favorizojnë ndodhjen e ngjarjes A;
• n është numri total i të gjitha rezultateve të mundshme të testit elementar.

Është i përshtatshëm për të përcaktuar numrin e rezultateve të mundshme të testit elementar dhe numrin e rezultateve të favorshme në problemet në shqyrtim duke numëruar të gjitha opsionet e mundshme (kombinimet) dhe llogaritjen e drejtpërdrejtë.

Nga tabela shohim se numri i rezultateve të mundshme elementare është n=4. Rezultatet e favorshme të ngjarjes A = (shqiponja bie 1 herë) korrespondojnë me opsionin nr.2 dhe nr.3 të eksperimentit, ka dy opsione të tilla m=2.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=2/4=0,5

Detyra 2 . Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që kokat nuk do të dalin kurrë.

Zgjidhje . Meqenëse monedha hidhet dy herë, atëherë, si në problemin 1, numri i rezultateve të mundshme elementare është n=4. Rezultatet e favorshme të ngjarjes A = (shqiponja nuk do të bjerë as një herë) korrespondojnë me variantin nr. 4 të eksperimentit (shih tabelën në detyrën 1). Ekziston vetëm një opsion i tillë, pra m=1.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=1/4=0,25

Detyra 3 . Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet tre herë. Gjeni probabilitetin që të dalë në krye saktësisht 2 herë.

Zgjidhje . Opsionet e mundshme tre hedhje monedhash (të gjitha kombinimet e mundshme të kokës dhe bishtit) janë paraqitur në formën e një tabele:

Nga tabela shohim se numri i rezultateve të mundshme elementare është n=8. Rezultatet e favorshme të ngjarjes A = (koka 2 herë) korrespondojnë me opsionet nr. 5, 6 dhe 7 të eksperimentit. Janë tre opsione të tilla, pra m=3.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=3/8=0,375

Detyra 4 . Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet katër herë. Gjeni probabilitetin që të dalë në krye saktësisht 3 herë.

Zgjidhje . Variantet e mundshme të katër hedhjeve të monedhave (të gjitha kombinimet e mundshme të kokës dhe bishtit) janë paraqitur në formën e një tabele:

Nga tabela shohim se numri i rezultateve të mundshme elementare është n=16. Rezultatet e favorshme të ngjarjes A = (shqiponja bie 3 herë) korrespondojnë me opsionet nr. 12, 13, 14 dhe 15 të eksperimentit, që do të thotë m=4.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=4/16=0,25

Përcaktimi i probabilitetit në problemet me zare

Detyra 5 . Përcaktoni probabilitetin që më shumë se 3 pikë do të bien kur hidhet një za (prerë e saktë).

Zgjidhje . Kur hedh një zare (një zar i zakonshëm), cilado nga gjashtë fytyrat e saj mund të bjerë, d.m.th. të ndodhë ndonjë nga ngjarjet elementare - humbje nga 1 deri në 6 pikë (pikë). Pra, numri i rezultateve të mundshme elementare është n=6.
Ngjarja A = (më shumë se 3 pikë ranë jashtë) do të thotë se 4, 5 ose 6 pikë (pika) ranë jashtë. Pra numri i rezultateve të favorshme m=3.
Probabiliteti i ngjarjes Р(А)=m/n=3/6=0.5

Detyra 6 . Përcaktoni probabilitetin që kur hidhet një za, një numër pikësh të mos kalojë 4. Rrumbullakosni rezultatin në të mijtën më të afërt.

Zgjidhje . Gjatë hedhjes së një zari, çdo nga gjashtë fytyrat e tij mund të bjerë jashtë, d.m.th. të ndodhë ndonjë nga ngjarjet elementare - humbje nga 1 deri në 6 pikë (pikë). Pra, numri i rezultateve të mundshme elementare është n=6.
Ngjarja A = (jo më shumë se 4 pikë ra jashtë) do të thotë se 4, 3, 2 ose 1 pikë (pikë) ranë jashtë. Pra numri i rezultateve të favorshme m=4.
Probabiliteti i ngjarjes Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Detyra 7 . Një bietë hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që të dy numrat të jenë më të vegjël se 4.

Zgjidhje . Sepse zare(zari) hidhet dy herë, atëherë do të argumentojmë si vijon: nëse një pikë i bie të parës, atëherë në të dytën mund të bien 1, 2, 3, 4, 5, 6. Marrim çifte (1; 1) , (1; 2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) dhe kështu me radhë me secilën fytyrë. Ne i paraqesim të gjitha rastet në formën e një tabele me 6 rreshta dhe 6 kolona:

Do të llogariten rezultatet e favorshme të ngjarjes A = (të dyja herët që ka rënë një numër më i vogël se 4) (ato janë theksuar me shkronja të zeza) dhe do të marrim m=9.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=9/36=0,25

Detyra 8 . Një bietë hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që më i madhi nga dy numrat e tërhequr të jetë 5. Rrumbullakosni përgjigjen tuaj në të mijtën më të afërt.

Zgjidhje . Të gjitha rezultatet e mundshme të dy hedhjeve të një zari janë paraqitur në tabelë:

Nga tabela shohim se numri i rezultateve të mundshme elementare është n=6*6=36.
Rezultatet e favorshme të ngjarjes A = (më i madhi nga dy numrat e tërhequr është 5) (ato janë të theksuara me shkronja të zeza) llogariten dhe marrim m=8.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Detyra 9 . Një bietë hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që një numër më i vogël se 4 të rrotullohet të paktën një herë.

Zgjidhje . Të gjitha rezultatet e mundshme të dy hedhjeve të një zari janë paraqitur në tabelë:

Nga tabela shohim se numri i rezultateve të mundshme elementare është n=6*6=36.
Shprehja "të paktën një herë një numër më i vogël se 4 ra jashtë" do të thotë "një numër më i vogël se 4 ra një ose dy herë", pastaj numri i rezultateve të favorshme të ngjarjes A = (të paktën një herë një numër më i vogël se 4 ra jashtë ) (janë me shkronja të zeza) m=27.
Gjeni probabilitetin e ngjarjes Р(А)=m/n=27/36=0,75

Në detyrat e teorisë së probabilitetit, të cilat janë paraqitur në Provimin e Bashkuar të Shtetit me numrin nr.4, përveç kësaj, ka edhe detyra për hedhjen e një monedhe dhe për hedhjen e një zari. Sot do t'i analizojmë ato.

Problemet e Hedhjes së Monedhave

Detyra 1. Një monedhë simetrike hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që të vijë deri në bisht saktësisht një herë.

Në probleme të tilla, është e përshtatshme të shkruani të gjitha rezultatet e mundshme, duke i shkruar ato duke përdorur shkronjat P (bishtat) dhe O (kokat). Kështu, rezultati i OR do të thotë që gjuajtja e parë doli nga koka, dhe e dyta doli në bisht. Në problemin në shqyrtim, 4 rezultate janë të mundshme: PP, RO, OR, OO. Favorizoni ngjarjen "bishtat dalin saktësisht një herë" 2 rezultate: RO dhe OR. Probabiliteti i kërkuar është.

Përgjigje: 0.5.

Detyra 2. Një monedhë simetrike hidhet tre herë, Gjeni probabilitetin që kokat të dalin saktësisht dy herë.

Në total, 8 rezultate janë të mundshme: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Favorizoni ngjarjen "koka saktësisht dy herë" 3 rezultate: ROO, ORO, OOR. Probabiliteti i kërkuar është.

Përgjigje: 0.375.

Detyra 3. Para fillimit ndeshje futbolli Arbitri hedh një monedhë për të përcaktuar se cila skuadër do të fillojë lojën me topin. Skuadra Emerald luan tre ndeshje me ekipe të ndryshme. Gjeni probabilitetin që në këto lojëra "Emerald" të fitojë shortin saktësisht një herë.

Kjo detyrë është e ngjashme me atë të mëparshme. Lëreni çdo herë që humbja e bishtave të nënkuptojë fitimin e shortit nga "Emerald" (një supozim i tillë nuk ndikon në llogaritjen e probabiliteteve). Atëherë janë të mundshme 8 rezultate: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Ka 3 rezultate që favorizojnë ngjarjen "bishtat dalin saktësisht një herë": POO, ORO, OOP. Probabiliteti i kërkuar është.

Përgjigje: 0.375.

Detyra 4. Një monedhë simetrike hidhet tre herë. Gjeni probabilitetin që rezultati i ROO do të vijë (hera e parë që vjen deri në bisht, e dyta dhe e treta - kokat).

Ashtu si në detyrat e mëparshme, këtu ka 8 rezultate: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Probabiliteti i rezultatit të ROO është i barabartë me .

Përgjigje: 0.125.

Probleme me hedhjen e zarave

Detyra 5. Zari hidhet dy herë. Sa rezultate elementare të përvojës favorizojnë ngjarjen "shuma e pikëve është 8"?

Detyra 6. Dy zare hidhen në të njëjtën kohë. Gjeni probabilitetin që totali të jetë 4. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtën më të afërt.

Në përgjithësi, nëse hidhen zare (zare), atëherë ka rezultate po aq të mundshme. I njëjti numër rezultatesh fitohet nëse e njëjta bie hidhet një herë radhazi.

Rezultatet e mëposhtme favorizojnë ngjarjen “4 në total”: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Numri i tyre është 3. Probabiliteti i dëshiruar është .

Për të llogaritur vlerën e përafërt të një fraksioni, është e përshtatshme të përdoret ndarja me një qoshe. Kështu, është afërsisht e barabartë me 0,083 ..., e rrumbullakosur në të qindtat, kemi 0,08.

Përgjigje: 0.08

Detyra 7. Tre zare hidhen në të njëjtën kohë. Gjeni probabilitetin për të marrë 5 pikë në total. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtën më të afërt.

Ne do ta konsiderojmë rezultatin si një treshe numrash: pikët që ranë në zarin e parë, të dytë dhe të tretë. Në total ka rezultate po aq të mundshme. Rezultatet e mëposhtme favorizojnë ngjarjen "5 në total": 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Numri i tyre është 6. Probabiliteti i dëshiruar është . Për të llogaritur vlerën e përafërt të një fraksioni, është e përshtatshme të përdoret ndarja me një qoshe. Përafërsisht marrim 0,027 ..., të rrumbullakosura në të qindtat, kemi 0,03. Burimi “Përgatitja për provim. Matematika. Teoria e probabilitetit”. Redaktuar nga F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov