Ikki mustaqil hodisa. Bog'liq va mustaqil hodisalar. Shartli ehtimollik. Ma'ruzada ekonometriyada qo'llaniladigan ehtimollar nazariyasi va statistikaning asosiy tushunchalari keltirilgan
Matematika bo'yicha USE topshiriqlarida, shuningdek, murakkabroq ehtimollik vazifalari (biz 1-qismda ko'rib chiqqanimizdan) mavjud bo'lib, unda siz qo'shish, ehtimollarni ko'paytirish qoidasini qo'llashingiz, qo'shma va mos kelmaydigan hodisalarni farqlashingiz kerak.
Demak, nazariya.
Qo'shma va qo'shma tadbirlar
Hodisalar bir-biriga mos kelmaydigan hodisa deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi boshqalarining sodir bo'lishini istisno qilsa. Ya'ni, faqat bitta yoki boshqa voqea sodir bo'lishi mumkin.
Misol uchun, o'limni tashlash orqali siz juft sonli va toq sonli nuqtalar kabi hodisalarni farqlashingiz mumkin. Bu hodisalar mos kelmaydi.
Agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa, hodisalar qo'shma deyiladi.
Misol uchun, o'limni otishda siz toq sonli nuqtalarning paydo bo'lishi va uchga karrali bo'lgan bir nechta nuqtalarning yo'qolishi kabi hodisalarni farqlashingiz mumkin. Uchtasi aylantirilganda, ikkala hodisa ham amalga oshadi.
Voqealar yig'indisi
Bir nechta hodisalarning yig'indisi (yoki birlashishi) bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisadir.
Qayerda ikkita ajratilgan hodisaning yig'indisi bu hodisalarning ehtimoli yig'indisi:
Masalan, 5 yoki 6 ni olish ehtimoli zar har ikkala hodisa (5-rolik, 6-rolik) mos kelmasligi va u yoki bu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli quyidagicha hisoblanadi:
Ehtimollik ikkita qo'shma hodisaning yig'indisi ushbu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishini hisobga olmagan holda ularning ehtimoli yig'indisiga teng:
Misol uchun, savdo markazida ikkita bir xil savdo avtomatlari qahva sotadi. Mashinada kun oxirigacha qahva tugashi ehtimoli 0,3 ga teng. Ikkala mashinada ham kofe tugashi ehtimoli 0,12 ga teng. Keling, kun oxirigacha qahva kamida bitta mashinada (ya'ni, birida yoki boshqasida yoki ikkalasida bir vaqtning o'zida) tugashi ehtimolini topaylik.
Birinchi hodisaning ehtimoli "kofe birinchi mashinada tugaydi", shuningdek ikkinchi hodisa "kofe ikkinchi mashinada tugaydi" sharti bo'yicha 0,3 ga teng. Tadbirlar hamkorlikda.
Birinchi ikkita hodisani birgalikda amalga oshirish ehtimoli shartga ko'ra 0,12 ga teng.
Bu shuni anglatadiki, kun oxirigacha kamida bitta mashinada qahva tugashi ehtimoli bor.
Bog'liq va mustaqil hodisalar
Ikki tasodifiy A va B hodisalar, agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, mustaqil deyiladi. Aks holda, A va B hodisalar bog'liq deb ataladi.
Misol uchun, bir vaqtning o'zida ikkita zarni uloqtirganda, ulardan biriga tushish 1, ikkinchisida esa 5, - mustaqil hodisalar.
Ehtimollar mahsuloti
Bir nechta hodisalarning mahsuli (yoki kesishishi) bu barcha hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat hodisadir.
Agar ikkita bo'lsa mustaqil hodisalar P(A) va P(B) ehtimolliklari mos ravishda A va B bo'lsa, u holda A va B hodisalarining ro'yobga chiqish ehtimoli bir vaqtning o'zida ehtimollar mahsulotiga teng bo'ladi:
Misol uchun, biz ketma-ket ikki marta zarda oltitani yo'qotishdan manfaatdormiz. Ikkala hodisa ham mustaqil va ularning har birining alohida sodir bo'lish ehtimoli. Bu ikkala hodisaning yuzaga kelish ehtimoli yuqoridagi formula yordamida hisoblab chiqiladi: .
Mavzuni ishlab chiqish uchun topshiriqlar tanloviga qarang.
A, B, C... hodisalar deyiladi qaram bir-biridan, agar ulardan kamida bittasining yuzaga kelish ehtimoli boshqa hodisalarning yuzaga kelishi yoki sodir bo'lmasligiga qarab o'zgarib tursa. Voqealar deyiladi mustaqil agar ularning har birining paydo bo'lish ehtimoli boshqalarning paydo bo'lishi yoki bo'lmasligiga bog'liq bo'lmasa.
Shartli ehtimollik(RA (B)-B hodisasining A ga nisbatan shartli ehtimoli) A hodisasi allaqachon sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan B hodisaning ehtimolligi. shartli ehtimollik misoli, agar A hodisasi allaqachon sodir bo'lgan bo'lsa, B hodisasining shartli ehtimoli, ta'rifi bo'yicha RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0) ga teng.
Bog'liq hodisalarning ehtimolini ko'paytirish: Ikki hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli, birinchi voqea allaqachon sodir bo'lgan degan taxmin bilan hisoblangan ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ulardan birining ehtimoli ko'paytmasiga teng:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)
Misol. Kollektorda 3 ta konussimon va 7 ta elliptik rolik mavjud. Kollektor bitta rulonni, keyin esa ikkinchisini oldi. Olingan roliklarning birinchisi konussimon, ikkinchisi esa elliptik bo'lish ehtimolini toping.
Qaror: Birinchi g'altakning konussimon bo'lishi ehtimoli (A hodisasi), P (A) = 3 / 10. Ikkinchi g'altakning elliptik bo'lishi ehtimoli (B hodisasi), birinchi rolik konusning, ya'ni shartli bo'lganligi taxmini bilan hisoblanadi. ehtimollik RA (B) = 7/9.
Ko'paytirish formulasiga ko'ra, kerakli ehtimollik P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3/10) * (7/9) \u003d 7/30. Shuni yodda tutingki, yozuvni saqlab, biz osongina topish mumkin: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30
Hodisalarning mustaqilligi sharti. Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish. Misollar.
B hodisasi A hodisasiga bog'liq emas, agar
P (B / A) = P (B) ya'ni. B hodisaning ehtimoli A hodisasi sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq emas.
Bunda A hodisasi B hodisaga bog’liq emas, ya’ni hodisalarning mustaqillik xossasi o’zaro bo’ladi.
Ikki mustaqil hodisaning ko'paytmasi ehtimoli ularning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng:
P(AB) = P(A)P(B) .
1-misol: T vaqt davomida ishlaydigan qurilma uchta tugundan iborat bo'lib, ularning har biri boshqalardan mustaqil ravishda t vaqtida ishlamay qolishi (ishlamay qolishi) mumkin. Kamida bitta tugunning ishlamay qolishi butun qurilmaning ishdan chiqishiga olib keladi. T vaqt ichida birinchi tugunning ishonchliligi (noto'g'ri ishlash ehtimoli) p 1 = 0,8 ga teng; ikkinchi p 2 = 0,9 uchinchi p 3 = 0,7. Bir butun sifatida qurilmaning ishonchliligini toping.
Qaror. Belgilash:
A - qurilmalarning muammosiz ishlashi,
1 - birinchi tugunning ishlamay qolishi,
2 - ikkinchi tugunning muammosiz ishlashi,
3 - uchinchi tugunning muammosiz ishlashi,
mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi bilan
P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504
2-misol. Ikki tanga otishda raqam birga paydo boʻlish ehtimolini toping.
Qaror. Birinchi tanga raqamining paydo bo'lish ehtimoli (A hodisasi) R(A) = 1/2; ikkinchi tanga (B hodisasi) raqamining paydo bo'lish ehtimoli P (B) = 1/2.
A va B hodisalar mustaqil, shuning uchun biz kerakli ehtimollikni topamiz
formula bo'yicha:
P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4
Voqealarning izchilligi va nomuvofiqligi. Ikki qo'shma hodisaning ehtimolini qo'shish. Misollar.
Ikki hodisa deyiladi qo'shma agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga ta'sir qilmasa yoki uni istisno qilmasa. Qo'shma hodisalar bir vaqtning o'zida amalga oshirilishi mumkin, masalan, bitta zarda har qanday raqam paydo bo'lishi
hech qanday tarzda boshqa suyakdagi raqamlarning ko'rinishiga ta'sir qilmaydi. Voqealar bir-biriga mos kelmaydi, agar bitta hodisada yoki bitta sinovda ular bir vaqtning o'zida amalga oshirilmasa va ulardan birining ko'rinishi ikkinchisining ko'rinishini istisno qilsa (nishonga urish va etishmayotganlik mos kelmaydi).
Ikki qo'shma hodisaning kamida bittasining A yoki B sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimolisiz ehtimoli yig'indisiga teng:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).
Misol. Birinchi sportchi uchun nishonga tegish ehtimoli 0,85, ikkinchisi uchun esa 0,8 ni tashkil qiladi. Mustaqil ravishda sportchilar
bitta o'q uzdi. Eng kamida bitta sportchi nishonga tegish ehtimolini toping?
Qaror. Belgilanishni kiritamiz: hodisalar A - "birinchi sportchining zarbasi", B - "ikkinchi sportchining zarbasi", C - "hech bo'lmaganda sportchining zarbasi". Shubhasiz, A + B = C va A va B hodisalari mos keladi. Formulaga muvofiq biz quyidagilarni olamiz:
P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)
P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),
chunki A va B mustaqil hodisalardir. Ushbu qiymatlarni P (A) = 0,85, P (B) = 0,8 ni P (C) formulasiga qo'yib, biz kerakli ehtimollikni topamiz.
P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97
P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.
3. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi
Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita mos kelmaydigan hodisani nomlang. Qarama-qarshi ikkita hodisadan biri bilan belgilansa VA, ikkinchisi odatda belgilanadi .
Qarama-qarshi hodisa 
hodisaning sodir bo'lmasligidan iborat VA.
Teorema. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli yig'indisi bittaga teng:
P(A)+P(
)=
1.
4-misol Qutida 11 qism mavjud, ulardan 8 tasi standart. Tasodifiy ajratilgan 3 ta qismdan kamida bittasi nuqsonli bo'lish ehtimolini toping.
Qaror. Muammoni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin.
1 yo'l. “Olib olingan qismlar orasida kamida bitta nuqsonli qism bor” va “Olingan qismlar orasida bitta nuqsonli qism yo‘q” hodisalari qarama-qarshidir. Birinchi hodisani deb belgilaymiz VA, va ikkinchisi orqali 
:
P(A) =1 - P( 
)
.
Keling, topamiz R(
).
11 qismdan 3 qismni olish mumkin bo'lgan usullarning umumiy soni kombinatsiyalar soniga teng 
. Standart qismlar soni 8 ta ;
bu qismlar sonidan 
3 ta standart qismni chiqarish usullari. Shunday qilib, olingan 3 qism orasida nostandart qismlarning yo'qligi ehtimoli quyidagilarga teng: 
Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasiga ko'ra, kerakli ehtimollik quyidagilarga teng: P(A)=1 - P(
)=
2 yo'l. Tadbir VA- "Olingan qismlar orasida kamida bitta nuqson bor" - quyidagi ko'rinish sifatida amalga oshirilishi mumkin:
yoki voqealar DA- "1 ta nuqsonli va 2 ta nuqsonsiz qismlar olib tashlandi",
yoki voqealar Bilan- "2 ta nuqsonli va 1 ta nuqsonli qismlar olib tashlandi",
yoki voqealar D - "3 ta nuqsonli qism olib tashlandi".
Keyin A= B+ C+ D. Voqealardan beri B, C va D mos kelmaydigan bo'lsa, biz mos kelmaydigan hodisalar ehtimoli uchun qo'shish teoremasini qo'llashimiz mumkin:
4. Mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko`paytirish teoremasi
Ikki hodisaning mahsuliVA vaDA hodisaga qo'ng'iroq qiling C=AB, bu hodisalarning birgalikda ko'rinishi (birikmasi) dan iborat.
Bir nechta tadbirlarning mahsulidir barcha bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat hodisani nomlang. Masalan, voqea ABC hodisalarning birikmasidir A, B va Bilan.
Ikki voqea chaqiriladi mustaqil agar ulardan birining ehtimoli ikkinchisining paydo bo'lishi yoki bo'lmasligiga bog'liq bo'lmasa.
Teorema. Ikki mustaqil hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng:
P(AB)=P(A) P(B).
Natija. Agregatda mustaqil bo'lgan bir nechta hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng. :
P(A 1 VA 2 ... VA n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).
5-misol Ikki tanga otishda gerb birga paydo boʻlish ehtimolini toping.
Qaror. Keling, voqealarni belgilaylik: VA - birinchi tangada gerbning ko'rinishi, DA - ikkinchi tangada gerbning ko'rinishi, Bilan- ikkita tangada gerbning ko'rinishi C=AB.
Birinchi tanganing gerbi paydo bo'lish ehtimoli :
P(A) =.
Ikkinchi tanganing gerbi paydo bo'lish ehtimoli :
P(B) =.
Voqealardan beri VA va DA mustaqil bo'lsa, ko'paytirish teoremasiga ko'ra kerakli ehtimollik tengdir:
P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.
6-misol 10 qismdan iborat 3 ta quti mavjud. Birinchi tortmada 8 ta, ikkinchi tortmada 7 ta va uchinchi tortmada 9 ta standart qismlar mavjud. Har bir qutidan tasodifiy bitta element olinadi. Olingan uch qismning hammasi ham standart bo'lish ehtimolini toping.
Qaror. Birinchi qutidan standart qismni olish ehtimoli (hodisa VA):
P(A) = 
Ikkinchi qutidan standart qismni olish ehtimoli (hodisa DA):
Uchinchi qutidan standart qismni olish ehtimoli (hodisa Bilan):
P(C)= 
Voqealardan beri A, B va Bilan agregatda mustaqil bo'lsa, kerakli ehtimollik (ko'paytirish teoremasiga ko'ra) teng bo'ladi:
P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.
7-misol Ikki mustaqil hodisaning har birining yuzaga kelish ehtimoli VA 1 va VA 2 mos ravishda teng R 1 va R 2. Ushbu hodisalardan faqat bittasining sodir bo'lish ehtimolini toping.
Qaror. Keling, hodisalarning yozuvlarini kiritamiz:
DA 1 – faqat hodisa paydo bo'ldi VA 1 ; DA 2 – faqat hodisa paydo bo'ldi VA 2 .
Voqea sodir bo'lishi DA 1
hodisaning yuzaga kelishiga tengdir VA 1
2
(birinchi hodisa paydo bo'ldi va ikkinchisi ko'rinmadi), ya'ni. DA 1
= A 1
2
.
Voqea sodir bo'lishi DA 2
hodisaning yuzaga kelishiga tengdir 
1
VA 2
(birinchi hodisa paydo bo'lmadi va ikkinchisi paydo bo'ldi), ya'ni. DA 1
=
1
VA 2
.
Shunday qilib, hodisalardan faqat bittasining sodir bo'lish ehtimolini topish VA 1 yoki VA 2 , hodisalarning qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, birining paydo bo'lish ehtimolini topish kifoya DA 1 va DA 2 . Ishlanmalar DA 1 va DA 2 mos kelmaydigan hodisalar, shuning uchun mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish teoremasi qo'llaniladi:
P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .
Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari.
Bog'liq va mustaqil hodisalar
Sarlavha qo'rqinchli ko'rinadi, lekin aslida bu juda oddiy. Ushbu darsda biz hodisa ehtimollarini qo'shish va ko'paytirish teoremalari bilan tanishamiz, shuningdek, odatiy vazifalarni tahlil qilamiz. ehtimollikning klassik ta'rifi uchun vazifa albatta uchrashadi yoki, ehtimol, yo'lda uchrashgan. Ushbu maqolaning materiallarini samarali o'rganish uchun siz asosiy atamalarni bilishingiz va tushunishingiz kerak ehtimollik nazariyasi va oddiy arifmetik amallarni bajara olish. Ko'rib turganingizdek, juda oz narsa talab qilinadi va shuning uchun aktivdagi yog 'plyus deyarli kafolatlanadi. Ammo boshqa tomondan, amaliy misollarga yuzaki munosabatda bo'lishdan yana ogohlantiraman - bu erda nozikliklar ham etarli. Omad:
Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolliklarini qo'shish teoremasi: ikkitadan birining paydo bo'lish ehtimoli mos kelmaydigan voqealar yoki (nima bo'lganda ham), bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:
Shunga o'xshash fakt ko'proq mos kelmaydigan hodisalar uchun ham amal qiladi, masalan, uchta mos kelmaydigan hodisalar va:
Tush teoremasi =) Biroq, bunday tush, masalan, topish mumkin bo'lgan isbotga ham bo'ysunadi o'quv qo'llanma V.E. Gmurman.
Keling, yangi, shu paytgacha ko'rilmagan tushunchalar bilan tanishaylik:
Bog'liq va mustaqil hodisalar
Keling, mustaqil tadbirlardan boshlaylik. Voqealar mustaqil yuzaga kelish ehtimoli bo'lsa ularning har biri bog'liq emas ko'rib chiqilayotgan to'plamning boshqa hodisalarining paydo bo'lishidan / ko'rinmasligidan (barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarda). ... Ammo umumiy iboralarni maydalash uchun nima bor:
Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi: mustaqil hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli va bu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng:
Keling, 1-darsning eng oddiy misoliga qaytaylik, unda ikkita tanga tashlangan va quyidagi voqealar:
- boshlar 1-tanga tushadi;
- 2-tangada boshlar.
Keling, hodisaning ehtimolini topamiz (boshlar 1-tangada paydo bo'ladi va 2-tangada burgut paydo bo'ladi - qanday o'qishni eslang voqealar mahsulidir!)
. Bir tangada boshni olish ehtimoli boshqa tanga tashlash natijasiga bog'liq emas, shuning uchun voqealar va mustaqildir. 
Xuddi shunday: 
1-tanganing boshlarini tushirish ehtimoli va 2-dumida; 
1-tangada boshlarning paydo bo'lish ehtimoli va 2-dumida; 
1-tanganing dumlarga tushishi ehtimoli va 2-burgutda.
E'tibor bering, voqealar shakllanadi to'liq guruh va ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng: .
Ko'paytirish teoremasi aniqki, ko'proq mustaqil hodisalarga taalluqlidir, shuning uchun, masalan, agar hodisalar mustaqil bo'lsa, ularning birgalikda yuzaga kelish ehtimoli: . Keling, aniq misollar bilan mashq qilaylik:
Vazifa 3
Uchta qutining har biri 10 qismdan iborat. Birinchi qutida 8 ta standart qism, ikkinchisida - 7, uchinchisida - 9. Har bir qutidan bir qism tasodifiy chiqariladi. Barcha qismlarning standart bo'lish ehtimolini toping.
Qaror: har qanday qutidan standart yoki nostandart qismni olish ehtimoli boshqa qutilardan qaysi qismlar chiqarilishiga bog'liq emas, shuning uchun muammo mustaqil hodisalar haqida. Quyidagi mustaqil hodisalarni ko'rib chiqing:
– standart qism 1-qutidan chiqariladi;
– standart qism 2-qutidan chiqariladi;
– Standart qism uchinchi tortmasidan olib tashlandi.
Klassik ta'rifga ko'ra:
mos keladigan ehtimollardir.
Bizni qiziqtirgan voqea (Standart qism 1-chi tortmadan olinadi va 2-standartdan boshlab va 3-standartdan) mahsulot bilan ifodalanadi.
Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
uchta qutidan bitta standart qismni olish ehtimoli.
Javob: 0,504
Qutilar bilan tetiklantiruvchi mashqlardan so'ng bizni bundan kam qiziqarli urnalar kutmoqda:
Vazifa 4
Uchta urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Har bir urnadan tasodifiy bitta to'p olinadi. Quyidagi ehtimollikni toping: a) uchta shar ham oq bo'ladi; b) uchta to'p ham bir xil rangda bo'ladi.
Qabul qilingan ma'lumotlarga asoslanib, "bo'lish" elementi bilan qanday munosabatda bo'lishni taxmin qiling ;-) Taxminiy namunaviy yechim barcha hodisalarning batafsil tavsifi bilan akademik uslubda ishlab chiqilgan.
Bog'liq hodisalar. Tadbir deyiladi qaram agar uning ehtimoli bog'liq allaqachon sodir bo'lgan bir yoki bir nechta voqealardan. Misollar uchun uzoqqa borish shart emas - eng yaqin do'konga boring:
- Ertaga soat 19.00 da yangi non sotiladi.
Ushbu hodisaning ehtimoli boshqa ko'plab voqealarga bog'liq: ertaga yangi non yetkazib beriladimi, soat 19:00 dan oldin sotiladimi yoki yo'qmi va hokazo. Turli holatlarga qarab, bu hodisa ishonchli va imkonsiz bo'lishi mumkin. Shunday qilib, voqea qaram.
Non ... va rimliklar talab qilganidek, sirklar:
- imtihonda talaba oddiy chipta oladi.
Agar siz birinchi bo'lib bormasangiz, unda voqea bog'liq bo'ladi, chunki uning ehtimoli sinfdoshlar qaysi chiptalarni olganiga bog'liq bo'ladi.
Voqealarning bog'liqligi/mustaqilligini qanday aniqlash mumkin?
Ba'zan bu muammoning holatida to'g'ridan-to'g'ri aytiladi, lekin ko'pincha siz mustaqil tahlil qilishingiz kerak. Bu erda aniq ko'rsatma yo'q va hodisalarning bog'liqligi yoki mustaqilligi tabiiy mantiqiy fikrlashdan kelib chiqadi.
Hamma narsani bitta uyumga tashlamaslik uchun, bog'liq hodisalar uchun vazifalar Men keyingi darsni ta'kidlayman, ammo hozircha biz amaliyotda eng keng tarqalgan teoremalar to'plamini ko'rib chiqamiz:
Mos kelmaydigan ehtimollar uchun qo'shish teoremalariga oid masalalar
va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish
Ushbu tandem, mening subyektiv baholashimga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan mavzu bo'yicha vazifalarning taxminan 80 foizida ishlaydi. Xitlar va ehtimollik nazariyasining haqiqiy klassikasi:
Vazifa 5
Ikki otuvchi nishonga bittadan o‘q uzdi. Birinchi otishma uchun urish ehtimoli 0,8, ikkinchisi uchun - 0,6. Buning ehtimolini toping:
a) faqat bitta otuvchi nishonga tegadi;
b) otishmalardan kamida bittasi nishonga tegadi.
Qaror: Bir otishmachining urish/o'tkazib yuborish ehtimoli, shubhasiz, boshqa otishmaning ishlashiga bog'liq emas.
Voqealarni ko'rib chiqing:
– 1-o‘qchi nishonga tegadi;
- Ikkinchi o'qchi nishonga tegadi.
Shart bo'yicha: .
Keling, qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini topamiz - mos keladigan o'qlar o'tkazib yuboradi: 
a) Hodisani ko'rib chiqing: - faqat bitta otishma nishonga tegadi. Ushbu hodisa ikkita mos kelmaydigan natijadan iborat:
1-to'pchi uradi va 2-o'tkazib yuborish
yoki
1-chi o'tkazib yuboradi va 2-chi uradi.
Tilda hodisalar algebralari bu faktni quyidagicha yozish mumkin: 
Birinchidan, mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasidan foydalanamiz, so'ngra - mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi:
faqat bitta zarba bo'lish ehtimoli.
b) Hodisani ko'rib chiqing: - otishmalardan kamida bittasi nishonga tegadi.
Avvalo, O'YLANAYLIK - "KAMDA BIR" sharti nimani anglatadi? Bu holda, bu birinchi otishmani urishini anglatadi (2-chi o'tkazib yuboradi) yoki 2-chi (1-o'tkazib yuborilgan) yoki bir vaqtning o'zida ikkala o'q - jami 3 ta mos kelmaydigan natija.
Birinchi usul: oldingi bandning tayyorlangan ehtimolini hisobga olgan holda, hodisani quyidagi ajratilgan hodisalarning yig'indisi sifatida ko'rsatish qulay:
biri oladi (2 ta mos kelmaydigan natijadan iborat hodisa) yoki
Agar ikkala o'q ham tegsa, biz bu hodisani harf bilan belgilaymiz.
Shunday qilib:
Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
1-o‘qchining urish ehtimoli va 2-o'qchi uradi.
Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasiga ko'ra:
- nishonga kamida bitta zarba berish ehtimoli.
Ikkinchi usul: qarama-qarshi hodisani ko'rib chiqing: - ikkala otuvchi ham o'tkazib yuboradi.
Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
Natijada:
Maxsus e'tibor ikkinchi usulga e'tibor bering - umumiy holatda u yanada oqilona.
Bundan tashqari, yuqorida jim bo'lgan qo'shma hodisalarni yig'ish teoremasiga asoslangan muqobil, uchinchi hal qilish usuli mavjud.
! Agar siz materialni birinchi marta o'qiyotgan bo'lsangiz, chalkashmaslik uchun keyingi xatboshini o'tkazib yuborgan ma'qul.
Uchinchi usul
: hodisalar qo'shma, ya'ni ularning yig'indisi "hech bo'lmaganda bitta otishma nishonga tegadi" hodisasini ifodalaydi (1-rasmga qarang). hodisalar algebrasi). tomonidan qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi va mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi:
Keling, tekshiramiz: voqealar va (mos ravishda 0, 1 va 2 ta urish) to'liq guruhni tashkil qiladi, shuning uchun ularning ehtimolliklari yig'indisi bittaga teng bo'lishi kerak:
, bu tekshirilishi kerak edi.
Javob: 
Ehtimollar nazariyasini chuqur o'rganish bilan siz militaristik mazmundagi o'nlab vazifalarga duch kelasiz va bu odatiy hol, shundan keyin siz hech kimni otishni xohlamaysiz - vazifalar deyarli sovg'adir. Nima uchun shablonni yanada soddalashtirmaysiz? Keling, kirishni qisqartiraylik:
Qaror: shartga ko'ra: , mos keladigan otuvchilarni urish ehtimoli. Keyin ularning o'tkazib yuborish ehtimoli: 
a) Mos kelmaydigan ehtimolliklarni qo'shish va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremalariga ko'ra:
faqat bitta otuvchining nishonga tegishi ehtimoli.
b) Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
ikkala otishmaning ham o'tkazib yuborish ehtimoli.
Keyin: otishmachilardan kamida bittasi nishonga tegish ehtimoli.
Javob: 
Amalda siz har qanday dizayn variantidan foydalanishingiz mumkin. Albatta, ular ko'pincha qisqa yo'ldan borishadi, lekin birinchi usulni unutmaslik kerak - u uzoqroq bo'lsa-da, u yanada mazmunli - unda aniqroq, nima, nima uchun va nima uchun qo'shadi va ko'paytiradi. Ba'zi hollarda, faqat ba'zi hodisalarni katta harflar bilan ko'rsatish qulay bo'lsa, gibrid uslub mos keladi.
Mustaqil hal qilish uchun o'xshash vazifalar:
Vazifa 6
Yong'in signalizatsiyasi uchun ikkita mustaqil ishlaydigan sensorlar o'rnatilgan. Yong'in paytida sensorning ishlash ehtimoli birinchi va ikkinchi sensorlar uchun mos ravishda 0,5 va 0,7 ni tashkil qiladi. Yong'in sodir bo'lish ehtimolini toping:
a) ikkala sensor ham ishlamay qoladi;
b) ikkala sensor ham ishlaydi.
c) foydalanish to'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimolliklari uchun qo'shish teoremasi, yong'in paytida faqat bitta datchikning ishlash ehtimolini toping. Ushbu ehtimollikni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali natijani tekshiring (qo‘shish va ko‘paytirish teoremalaridan foydalanish).
Bu erda qurilmalarning ishlashining mustaqilligi to'g'ridan-to'g'ri vaziyatda ifodalanadi, bu, aytmoqchi, muhim tushuntirishdir. Namunaviy yechim akademik uslubda yaratilgan.
Agar shunga o'xshash masalada bir xil ehtimollar, masalan, 0,9 va 0,9 berilgan bo'lsa-chi? Siz aynan shunday qaror qabul qilishingiz kerak! (aslida bu misolda ikkita tanga bilan ko'rsatilgan)
Vazifa 7
Birinchi otuvchining nishonga bir marta zarba berish ehtimoli 0,8 ga teng. Birinchi va ikkinchi otishmachilar bir marta otishgandan keyin nishonga tegmaslik ehtimoli 0,08 ga teng. Ikkinchi otuvchining bir o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli qanday?
Va bu qisqacha ramkaga solingan kichik jumboq. Shartni yanada ixchamroq tarzda qayta ishlab chiqish mumkin, lekin men asl nusxasini qayta tiklamayman - amalda men ko'proq bezakli uydirmalarni o'rganishim kerak.
U bilan tanishing - u siz uchun juda ko'p tafsilotlarni kesib tashlagan =):
Vazifa 8
Bir ishchi uchta mashinani boshqaradi. Shift paytida birinchi mashinani sozlashni talab qilish ehtimoli 0,3, ikkinchisi - 0,75, uchinchisi - 0,4. Shishish paytida yuzaga keladigan ehtimollikni toping:
a) barcha mashinalar sozlashni talab qiladi;
b) faqat bitta mashina sozlashni talab qiladi;
c) kamida bitta mashina sozlashni talab qiladi.
Qaror: shart bitta texnologik jarayon haqida hech narsa aytmaganligi sababli, har bir mashinaning ishlashi boshqa mashinalarning ishlashidan mustaqil ravishda ko'rib chiqilishi kerak.
5-topshiriqga o'xshab, bu erda siz mos keladigan mashinalar smenada sozlashni talab qiladigan hodisalarni hisobga olishingiz mumkin, ehtimolliklarni yozing, qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini toping va hokazo. Ammo uchta ob'ekt bilan men bunday vazifani tuzishni xohlamayman - bu uzoq va zerikarli bo'lib chiqadi. Shuning uchun, bu erda "tezkor" uslubdan foydalanish sezilarli darajada foydalidir:
Shart bo'yicha: - smenada mos keladigan mashinalar sozlashni talab qilish ehtimoli. Keyin e'tibor talab etmaslik ehtimoli quyidagilar: 
O'quvchilardan biri bu erda ajoyib xato topdi, men uni tuzatmayman =)
a) Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
smenada barcha uchta mashinani sozlashni talab qilish ehtimoli.
b) "Smenada faqat bitta mashina sozlashni talab qiladi" hodisasi uchta mos kelmaydigan natijadan iborat:
1) 1-mashina talab qiladi diqqat va 2-mashina talab qilmaydi va 3-mashina talab qilmaydi
yoki:
2) 1-mashina talab qilmaydi diqqat va 2-mashina talab qiladi va 3-mashina talab qilmaydi
yoki:
3) 1-mashina talab qilmaydi diqqat va 2-mashina talab qilmaydi va 3-mashina talab qiladi.
Mos kelmaydigan ehtimolliklarni qo'shish va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremalariga ko'ra:
- smenada faqat bitta mashina sozlashni talab qilish ehtimoli.
O'ylaymanki, hozircha bu ibora qayerdan kelgani aniq bo'lishi kerak
c) Mashinalarning sozlashni talab qilmaslik ehtimolini, keyin esa teskari hodisaning ehtimolini hisoblang:
- kamida bitta mashina sozlashni talab qiladi.
Javob:
"Ve" bandini yig'indi orqali ham hal qilish mumkin, bu erda smenada faqat ikkita mashina sozlashni talab qilish ehtimoli. Bu hodisa, o'z navbatida, "bo'l" bandiga o'xshashlik bilan imzolangan 3 ta mos kelmaydigan natijani o'z ichiga oladi. Tenglik yordamida butun muammoni tekshirish ehtimolini o'zingiz topishga harakat qiling.
Vazifa 9
Nishonga uchta qurol o'q uzdi. Birinchi quroldan faqat bitta o'q bilan urish ehtimoli 0,7, ikkinchidan - 0,6, uchinchidan - 0,8. Quyidagi ehtimollikni toping: 1) kamida bitta snaryad nishonga tegishi; 2) nishonga faqat ikkita snaryad tegadi; 3) nishonga kamida ikki marta zarba beriladi.
Dars oxirida yechim va javob.
Va yana tasodiflar haqida: agar shart bo'yicha dastlabki ehtimolliklarning ikkita yoki hatto barcha qiymatlari mos keladigan bo'lsa (masalan, 0,7; 0,7 va 0,7), u holda aynan bir xil yechim algoritmiga amal qilish kerak.
Maqolani yakunlashda biz yana bir keng tarqalgan jumboqni tahlil qilamiz:
Vazifa 10
Otuvchi har bir o'q bilan nishonga bir xil ehtimollik bilan tegadi. Agar uchta zarbada kamida bitta zarba berish ehtimoli 0,973 ga teng bo'lsa, bu ehtimollik nima?
Qaror: bilan belgilang - har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli.
va orqali - har bir zarba bilan o'tkazib yuborish ehtimoli.
Keling, voqealarni yozamiz:
- 3 ta o'q bilan o'q otuvchi kamida bir marta nishonga tegadi;
- otuvchi 3 marta o'tkazib yuboradi.
Shartga ko'ra, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli:
Boshqa tomondan, mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra: 
Shunday qilib: 
- har bir zarbada o'tkazib yuborish ehtimoli.
Natijada:
har bir zarbani urish ehtimoli.
Javob: 0,7
Oddiy va oqlangan.
Ko'rib chiqilayotgan masalada faqat bitta zarba, faqat ikkita zarba va nishonga uchta zarba berish ehtimoli haqida qo'shimcha savollar qo'yilishi mumkin. Yechim sxemasi avvalgi ikkita misoldagi kabi bo'ladi: 
Biroq, asosiy mazmunli farq shundaki, ular mavjud takroriy mustaqil testlar, ular ketma-ket, bir-biridan mustaqil ravishda va bir xil natijalar ehtimoli bilan amalga oshiriladi.
Muammoning umumiy bayoni: ba'zi hodisalarning ehtimoli ma'lum, ammo bu hodisalar bilan bog'liq bo'lgan boshqa hodisalarning ehtimolini hisoblash kerak. Bu masalalarda ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish kabi ehtimollar ustida amallarni bajarish zarurati tug'iladi.
Misol uchun, ov paytida ikkita o'q uzildi. Tadbir A- birinchi o'qdan o'rdakni urish, hodisa B- ikkinchi zarbadan zarba. Keyin voqealar yig'indisi A va B- birinchi yoki ikkinchi zarbadan yoki ikkita zarbadan zarba.
Boshqa turdagi vazifalar. Bir nechta hodisalar berilgan, masalan, tanga uch marta tashlanadi. Gerbning uch marta ham tushishi yoki kamida bir marta gerb tushishi ehtimolini topish talab qilinadi. Bu ko'paytirish muammosi.
Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish
Ehtimollar qo'shilishi tasodifiy hodisalarning kombinatsiyasi yoki mantiqiy yig'indisi ehtimolini hisoblash zarur bo'lganda qo'llaniladi.
Voqealar yig'indisi A va B tayinlash A + B yoki A ∪ B. Ikki hodisaning yig'indisi - bu hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lganda sodir bo'ladigan hodisa. Bu shuni anglatadiki A + B- kuzatish vaqtida biror hodisa yuz bergan taqdirdagina yuzaga keladigan hodisa A yoki hodisa B, yoki bir vaqtning o'zida A va B.
Agar voqealar A va B o'zaro mos kelmaydigan bo'lib, ularning ehtimolliklari berilgan bo'lsa, u holda bu hodisalardan birining bir sinov natijasida ro'y berish ehtimoli ehtimollar qo'shilishi yordamida hisoblanadi.
Ehtimollarni qo'shish teoremasi. Bir-biriga mos kelmaydigan ikkita hodisadan birining sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:
Misol uchun, ov paytida ikkita o'q uzilgan. Tadbir VA– birinchi o‘qdan o‘rdakni urish, hodisa DA– ikkinchi zarbadan zarba, hodisa ( VA+ DA) - birinchi yoki ikkinchi zarbadan yoki ikkita zarbadan zarba. Shunday qilib, agar ikkita voqea VA va DA bir-biriga mos kelmaydigan hodisalardir VA+ DA- ushbu hodisalarning kamida bittasi yoki ikkita hodisaning sodir bo'lishi.
1-misol Bir qutida bir xil o'lchamdagi 30 ta shar bor: 10 ta qizil, 5 ta ko'k va 15 ta oq. Rangli (oq emas) to'pni qaramasdan olish ehtimolini hisoblang.
Qaror. Faraz qilaylik, voqea VA- "qizil to'p olinadi", va voqea DA- "Ko'k to'p olindi." Keyin hodisa "rangli (oq emas) to'p olinadi". Hodisa ehtimolini toping VA:
va voqealar DA:
Ishlanmalar VA va DA- o'zaro mos kelmaydi, chunki bitta to'p olinsa, turli rangdagi to'plarni olib bo'lmaydi. Shuning uchun biz ehtimollar qo'shilishidan foydalanamiz:
Bir nechta mos kelmaydigan hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish teoremasi. Agar hodisalar hodisalarning to'liq to'plamini tashkil qilsa, ularning ehtimollik yig'indisi 1 ga teng:
Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli yig'indisi ham 1 ga teng:
Qarama-qarshi hodisalar hodisalarning to'liq to'plamini tashkil qiladi va hodisalarning to'liq to'plamining ehtimoli 1 ga teng.
Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli odatda kichik harflar bilan belgilanadi. p va q. Jumladan,
qarama-qarshi hodisalar ehtimoli uchun quyidagi formulalar kelib chiqadi:
2-misol Chiziqdagi nishon 3 ta zonaga bo'lingan. Ma'lum bir otishmaning birinchi zonada nishonga otish ehtimoli 0,15, ikkinchi zonada - 0,23, uchinchi zonada - 0,17. Otuvchining nishonga tegish ehtimolini va otganning nishonni o‘tkazib yuborish ehtimolini toping.
Yechish: Otuvchining nishonga tegish ehtimolini toping:
Otuvchining nishonni o'tkazib yuborish ehtimolini toping:
Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz kerak bo'lgan qiyinroq vazifalar - "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalar" sahifasida .
O'zaro qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish
Ikki tasodifiy hodisa qo'shma hodisa deyiladi, agar bitta hodisaning sodir bo'lishi bir xil kuzatishda ikkinchi hodisaning ro'y berishiga to'sqinlik qilmasa. Masalan, zar otishda hodisa VA 4 sonining yuzaga kelishi va hodisa deb hisoblanadi DA- juft sonni tushirish. 4 raqami juft son bo'lgani uchun ikkala hodisa mos keladi. Amalda, o'zaro qo'shma hodisalardan birining paydo bo'lish ehtimolini hisoblash uchun vazifalar mavjud.
Qo'shma hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish teoremasi. Birgalikda sodir bo'lgan hodisalardan birining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'lib, undan ikkala hodisaning umumiy sodir bo'lish ehtimoli, ya'ni ehtimollar ko'paytmasi ayiriladi. Qo'shma hodisalarning ehtimoli formulasi quyidagicha:
Chunki voqealar VA va DA mos keluvchi, hodisa VA+ DA Agar uchta mumkin bo'lgan hodisalardan biri sodir bo'lsa sodir bo'ladi: yoki AB. Mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish teoremasiga ko'ra, biz quyidagicha hisoblaymiz:
Tadbir VA ikkita mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lsa sodir bo'ladi: yoki AB. Biroq, bir nechta mos kelmaydigan hodisalardan bitta hodisaning paydo bo'lish ehtimoli ushbu barcha hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:
Xuddi shunday:
(6) va (7) ifodalarni (5) ifodaga almashtirib, qo'shma hodisalar uchun ehtimollik formulasini olamiz:
Formuladan (8) foydalanilganda, hodisalarni hisobga olish kerak VA va DA bo'lishi mumkin:
- o'zaro mustaqil;
- o'zaro bog'liq.
O'zaro mustaqil hodisalar uchun ehtimollik formulasi:
O'zaro bog'liq hodisalar uchun ehtimollik formulasi:
Agar voqealar VA va DA nomuvofiq bo'lsa, ularning tasodifi mumkin emas va shuning uchun P(AB) = 0. Mos kelmaydigan hodisalarning to‘rtinchi ehtimollik formulasi quyidagicha:
3-misol Avtopoygada, birinchi mashinada haydashda, g'alaba qozonish ehtimoli, ikkinchi mashinada haydashda. Toping:
- ikkala mashina ham g'alaba qozonish ehtimoli;
- kamida bitta mashina g'alaba qozonish ehtimoli;
1) Birinchi mashinaning g'alaba qozonish ehtimoli ikkinchi mashinaning natijasiga bog'liq emas, shuning uchun voqealar VA(birinchi mashina g'alaba qozonadi) va DA(ikkinchi avtomobil g'alaba qozonadi) - mustaqil hodisalar. Ikkala mashinaning yutish ehtimolini toping:
2) Ikki mashinadan biri yutish ehtimolini toping:
Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz kerak bo'lgan qiyinroq vazifalar - "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalar" sahifasida .
Ehtimollarni qo'shish masalasini o'zingiz hal qiling va keyin yechimga qarang
4-misol Ikki tanga tashlanadi. Tadbir A- birinchi tangadagi gerbning yo'qolishi. Tadbir B- ikkinchi tangadagi gerbning yo'qolishi. Hodisa ehtimolini toping C = A + B .
Ehtimollarni ko'paytirish
Hodisalarning mantiqiy mahsuloti ehtimolini hisoblashda ehtimollarni ko'paytirish qo'llaniladi.
Bunday holda tasodifiy hodisalar mustaqil bo'lishi kerak. Ikki hodisa o'zaro bog'liq deyiladi, agar bitta hodisaning sodir bo'lishi ikkinchi hodisaning yuzaga kelish ehtimoliga ta'sir qilmasa.
Mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Ikki mustaqil hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli VA va DA ushbu hodisalarning ehtimolliklarining mahsulotiga teng va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
5-misol Tanga ketma-ket uch marta tashlanadi. Gerbning uch marta ham tushishi ehtimolini toping.
Qaror. Gerbning tangani birinchi otishda, ikkinchi va uchinchi marta tushishi ehtimoli. Gerbning uch marta tushishi ehtimolini toping:
Ehtimollarni ko'paytirish bo'yicha muammolarni o'zingiz hal qiling va keyin yechimga qarang
6-misol To'qqizta yangi tennis to'pi bo'lgan quti bor. O'yin uchun uchta to'p olinadi, o'yindan keyin ular qaytariladi. To'plarni tanlashda ular o'ynagan va o'ynalmagan to'plarni ajratmaydilar. Shundan keyin qanday ehtimollik bor uchta o'yin qutida o'ynalmagan to'plar bo'lmaydimi?
7-misol Kesilgan alifbo kartalarida rus alifbosining 32 ta harfi yozilgan. Beshta karta tasodifiy, birin-ketin tortiladi va ular paydo bo'lish tartibida stolga qo'yiladi. Harflarning “tugash” so‘zini hosil qilish ehtimolini toping.
8-misol To'liq kartalar to'plamidan (52 varaq) bir vaqtning o'zida to'rtta karta chiqariladi. Ushbu to'rtta kartaning hammasi bir xil kostyumda bo'lish ehtimolini toping.
9-misol 8-misoldagi kabi bir xil muammo, lekin har bir karta chizilganidan keyin kemaga qaytariladi.
Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz kerak bo'lgan yanada murakkab vazifalar, shuningdek, bir nechta hodisalarning mahsulotini hisoblashingiz kerak - sahifada "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalar" .
O'zaro mustaqil hodisalardan kamida bittasining ro'y berish ehtimolini 1 dan qarama-qarshi hodisalar ehtimoli ko'paytmasini ayirish, ya'ni formula bo'yicha hisoblash mumkin.
