Voqealar agar mustaqil deyiladi. Bog'liq va mustaqil tasodifiy hodisalar. Umumiy ehtimollik formulasi

Hodisalarning bog'liqligi tushuniladi ehtimolli mantiqiy, funktsional emas. Bu shuni anglatadiki, ulardan biri paydo bo'lganda bog'liq hodisalar boshqasining ko'rinishini aniq hukm qilish mumkin emas. Ehtimoliy bog'liqlik deganda, bog'liq hodisalardan birining paydo bo'lishi faqat ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirishini anglatadi. Agar ehtimollik o'zgarmasa, u holda hodisalar mustaqil hisoblanadi.

Ta'rif: Let - ixtiyoriy ehtimollik fazosi, - ba'zi tasodifiy hodisalar. Ular shunday deyishadi voqea LEKIN hodisaga bog'liq emas DA , agar u shartli ehtimollik shartsiz ehtimol bilan mos keladi:

Agar a , keyin biz voqea deb aytish LEKIN hodisaga bog'liq DA.

Mustaqillik tushunchasi nosimmetrik, ya'ni hodisa bo'lsa LEKIN hodisaga bog'liq emas DA, keyin voqea DA hodisaga bog'liq emas LEKIN. Haqiqatan ham, ruxsat bering . Keyin . Shuning uchun ular shunchaki voqealarni aytishadi LEKIN va DA mustaqil.

Hodisalar mustaqilligining quyidagi simmetrik ta'rifi ehtimollarni ko'paytirish qoidasidan kelib chiqadi.

Ta'rif: Ishlanmalar LEKIN va DA, bir xil ehtimollik fazosida aniqlanganlar deyiladi mustaqil, agar

Agar a , keyin voqealar LEKIN va DA chaqirdi qaram.

E'tibor bering, bu ta'rif qachon ham amal qiladi yoki .

Mustaqil hodisalarning xossalari.

1. Agar voqealar LEKIN va DA mustaqil bo‘lsa, quyidagi juft hodisalar ham mustaqil bo‘ladi:.

▲ Masalan, hodisalarning mustaqilligini isbotlaylik. Bir voqeani tasavvur qiling LEKIN sifatida: . Hodisalar bir-biriga mos kelmasligi sababli, keyin , va hodisalarning mustaqilligi tufayli LEKIN va DA buni tushunamiz. Demak, bu mustaqillikni anglatadi. ■

2. Agar voqea LEKIN voqealarga bog'liq emas IN 1 va IN 2, mos kelmaydigan () , o'sha voqea LEKIN miqdoriga bog'liq emas.

▲ Haqiqatan ham, ehtimollik va hodisaning mustaqilligi qo'shimchasi aksiomasidan foydalangan holda LEKIN voqealardan IN 1 va IN 2, bizda ... bor:

Mustaqillik va nomuvofiqlik tushunchalarining munosabati.

Mayli LEKIN va DA- nolga teng bo'lmagan ehtimolga ega bo'lgan har qanday hodisalar: , shuning uchun . Agar voqealar LEKIN va DA mos kelmaydigan () va shuning uchun tenglik hech qachon sodir bo'lmaydi. Shunday qilib, mos kelmaydigan hodisalar bog'liq.

Bir vaqtning o'zida ikkitadan ortiq hodisalar ko'rib chiqilsa, ularning juftlik mustaqilligi butun guruh hodisalari o'rtasidagi bog'liqlikni etarli darajada tavsiflamaydi. Bunda jamlanmada mustaqillik tushunchasi kiritiladi.

Ta'rif: Bir xil ehtimollik fazosida aniqlangan hodisalar deyiladi jamoaviy mustaqil, agar mavjud bo'lsa 2 £ m £ n va indekslarning har qanday birikmasi tenglikni saqlaydi:

Da m = 2 jami mustaqillik hodisalarning juft mustaqilligini bildiradi. Buning aksi haqiqat emas.

Misol. (Bernshteyn S.N.)

Tasodifiy tajriba oddiy tetraedrni (tetraedr) uloqtirishdan iborat. Yuqoridan pastga tushib ketgan yuz bor. Tetraedrning yuzlari quyidagicha bo'yalgan: 1-chi yuzi - oq, 2-chi yuzi - qora,
3 yuz - qizil, 4 yuz - barcha ranglarni o'z ichiga oladi.

Voqealarni ko'rib chiqing:

LEKIN= (Tishdan ketish oq rang}; B= (Qora chiqib ketish);

C= (Qizil tushish).

Keyin ;

Shuning uchun voqealar LEKIN, DA va FROM juftlik mustaqildir.

Biroq, .

Shuning uchun, voqealar LEKIN, DA va FROM birgalikda ular mustaqil emas.

Amalda, qoida tariqasida, hodisalarning mustaqilligi ta'rif bo'yicha tekshirish yo'li bilan o'rnatilmaydi, aksincha: hodisalar har qanday tashqi mulohazalardan mustaqil yoki holatlarni hisobga olgan holda hisoblanadi. tasodifiy tajriba, va hodisalarni keltirib chiqarish ehtimolini topish uchun mustaqillikdan foydalaning.

Teorema (mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish).

Agar bir xil ehtimollik maydonida aniqlangan hodisalar yig'indisida mustaqil bo'lsa, unda ularning hosilasi ehtimoli ehtimollar mahsulotiga teng bo'ladi:

▲ Teoremaning isboti yig’indidagi hodisalarning mustaqilligini aniqlashdan yoki umumiy ehtimolliklarni ko’paytirish teoremasidan kelib chiqadi, bunda bu holat hisobga olinadi.

1-misol (shartli ehtimollarni topishning tipik misoli, mustaqillik tushunchasi, ehtimollarni qo'shish teoremasi).

Elektr davri mustaqil ishlaydigan uchta elementdan iborat. Elementlarning har birining ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda ga teng.

1) Zanjirning uzilish ehtimolini toping.

2) Sxema ishdan chiqqanligi ma'lum.

Muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimoli qanday:

a) 1-element; b) 3-element?

Yechim. Voqealarni ko'rib chiqing = (Muvaffaqiyatsiz k th element) va hodisa LEKIN= (Sxema bajarilmadi). Keyin voqea LEKIN shaklida taqdim etiladi:

1) Hodisalar mos kelmaydigan va mos kelmasligi sababli, P3) ehtimollikning qo'shimchalilik aksiomasi qo'llanilmaydi va ehtimollikni topish uchun umumiy ehtimollik qo'shish teoremasidan foydalanish kerak, unga ko'ra.

Voqea ehtimoli bo'lsin DA hodisaning sodir bo'lishiga bog'liq emas LEKIN.

Ta'rif. Tadbir DA chaqirdi hodisadan mustaqil A agar voqea sodir bo'lsa LEKIN hodisaning ehtimolini o'zgartirmaydi DA, ya'ni. hodisaning shartli ehtimoli bo'lsa DA uning shartsiz ehtimoliga teng:

R A(DA) = R(DA). (2.12)

(2.12) ni (2.11) munosabatga almashtirib, olamiz

R(LEKIN)R(DA) = R(DA)R B(LEKIN).

R B(LEKIN) = R(LEKIN),

bular. hodisaning shartli ehtimoli LEKIN voqea deb faraz qilgan holda DA, uning shartsiz ehtimoliga teng. Boshqacha aytganda, voqea LEKIN hodisaga bog'liq emas B.

Lemma (voqealarning o'zaro mustaqilligi to'g'risida): agar voqea DA hodisaga bog'liq emas LEKIN, keyin voqea LEKIN hodisaga bog'liq emas DA; shuni anglatadiki hodisalarning o'zaro mustaqilligi mulki.

Mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi R(AB) = R(LEKIN) R A(DA) shaklga ega

R(AB) = R(LEKIN) R(DA), (2.13)

bular. ikkita mustaqil hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng.

Tenglik (2.13) mustaqil hodisalarning ta'rifi sifatida qabul qilinadi. Ikki hodisa mustaqil deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa.

Ta'rif. Ikki voqea chaqiriladi mustaqil, agar ularning kombinatsiyasi ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng bo'lsa; aks holda hodisalar deyiladi qaram.

Amaliyotda hodisaning mustaqilligi masala mazmuniga qarab xulosa qilinadi. Misol uchun, ikkita qurolning har biri bilan nishonga tegish ehtimoli boshqa qurol nishonga tegishiga bog'liq emas, shuning uchun "birinchi qurol nishonga tegdi" va "ikkinchi qurol nishonga tegdi" hodisalari mustaqildir.

Misol. Nishonga ikkita qurol bilan birgalikda tegish ehtimolini toping, agar birinchi qurol nishonga tegish ehtimoli bo'lsa (hodisa) LEKIN) 0,8 ga teng, ikkinchisi esa (hodisa DA) – 0,7.

Yechim. Ishlanmalar LEKIN va DA mustaqil, shuning uchun, ko'paytirish teoremasi bo'yicha, kerakli ehtimollik

R(AB) = R(LEKIN)R(DA) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Izoh 1. Agar voqealar LEKIN va DA mustaqil bo'lsa, hodisalar ham mustaqildir. LEKIN va , va DA, va . Haqiqatan ham,

Binobarin,

, yoki .

bular. ishlanmalar LEKIN va DA mustaqil.

Hodisalarning mustaqilligi va DA, va isbotlangan tasdiqning natijasidir.

Mustaqillik kontseptsiyasini ishda ham kengaytirish mumkin n voqealar.

Ta'rif. Bir nechta tadbirlar chaqiriladi juftlik mustaqil agar ularning har ikkisi mustaqil bo'lsa. Masalan, voqealar LEKIN, DA, FROM hodisalar mustaqil bo'lsa, juftlik mustaqil LEKIN va DA, LEKIN va FROM, DA va FROM.

Ko'paytirish teoremasini bir nechta hodisalarga umumlashtirish uchun biz yig'indidagi hodisalarning mustaqilligi tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif. Bir nechta tadbirlar chaqiriladi jamoaviy mustaqil(yoki oddiygina mustaqil), agar ularning har ikkisi mustaqil bo'lsa va har bir hodisa va boshqalarning barcha mumkin bo'lgan mahsulotlari mustaqil bo'lsa. Masalan, voqealar bo'lsa LEKIN 1 , A 2 , LEKIN 3 jami mustaqil, keyin hodisalar mustaqil LEKIN 1 va A 2 , LEKIN 1 va LEKIN 3 , A 2 va LEKIN 3 ; LEKIN 1 va A 2 LEKIN 3 , A 2 va LEKIN 1 LEKIN 3 , LEKIN 3 va LEKIN 1 A 2. Aytilganlardan kelib chiqadiki, agar hodisalar yig'indisida mustaqil bo'lsa, u holda ular orasidan biron bir voqea sodir bo'lishining shartli ehtimolligi, boshqalardan har qanday boshqa hodisalar sodir bo'lgan degan taxminga teng bo'ladi. uning shartsiz ehtimoli.

Biz shuni ta'kidlaymizki, agar bir nechta hodisalar juftlikda mustaqil bo'lsa, ularning jami mustaqilligi hali bundan kelib chiqmaydi. Shu ma’noda, yig’indidagi hodisalarning mustaqilligiga qo’yiladigan talab ularning juftlik mustaqilligi talabidan kuchliroqdir.

Keling, aytilganlarni misol bilan tushuntirib beraylik. Aytaylik, idishda 4 ta shar bor, ular rangli: biri qizil ( LEKIN), bitta - ko'k rangda ( DA), biri qora ( FROM) va bitta - bu uchta rangda ( ABC). Urundan olingan to'pning qizil bo'lish ehtimoli qanday?

To'rtta to'pdan ikkitasi qizil bo'lgani uchun R(LEKIN) = 2/4 = 1/2. Xuddi shunday bahslashib, biz topamiz R(DA) = 1/2, R(FROM) = 1/2. Keling, olingan to'pni ko'k deb hisoblaylik, ya'ni. voqea DA allaqachon sodir bo'lgan. Chizilgan to'pning qizil bo'lish ehtimoli o'zgaradimi, ya'ni. Hodisa ehtimoli o'zgaradimi? LEKIN? Ko'k rangdagi ikkita to'pdan bittasi ham qizil, shuning uchun hodisaning ehtimolligi LEKIN hali ham 1/2. Boshqacha aytganda, hodisaning shartli ehtimoli LEKIN, voqea sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan DA, uning shartsiz ehtimoliga teng. Shuning uchun voqealar LEKIN va DA mustaqil. Xuddi shunday, biz voqealar, deb xulosa LEKIN va FROM, DA va FROM mustaqil. Shunday qilib, voqealar LEKIN, DA va FROM juftlik mustaqildir.

Bu hodisalar jami mustaqilmi? Yo'q ekan. Haqiqatan ham, chiqarilgan to'p ikkita rangga ega bo'lsin, masalan, ko'k va qora. Bu to'pning ham qizil bo'lish ehtimoli qanday? Barcha uchta rangda faqat bitta to'p rangli, shuning uchun qo'lga olingan to'p ham qizil rangga ega. Shunday qilib, voqealar, deb faraz DA va FROM sodir bo'ldi, biz voqea degan xulosaga kelamiz LEKIN albatta keladi. Shuning uchun bu hodisa ishonchli va uning ehtimoli birga teng. Boshqacha aytganda, shartli ehtimollik R BC(LEKIN)= 1 ta hodisa LEKIN uning shartsiz ehtimoliga teng emas R(LEKIN) = 1/2. Shunday qilib, juftlik mustaqil hodisalar LEKIN, DA, FROM birgalikda mustaqil emaslar.

Endi biz ko'paytirish teoremasining xulosasini keltiramiz.

Natija. Agregatda mustaqil bo'lgan bir nechta hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng:

Isbot. Uchta voqeani ko'rib chiqing: LEKIN, DA va FROM. Voqealarning kombinatsiyasi LEKIN, DA va FROM hodisalarning kombinatsiyasiga teng AB va FROM, shunung uchun

R(ABC) = R(AB×C).

Voqealardan beri LEKIN, DA va FROM jami mustaqil bo'lsa, keyin mustaqil, xususan, hodisalardir AB va FROM, va yana LEKIN va DA. Ikki mustaqil hodisa uchun ko'paytirish teoremasi bo'yicha bizda:

R(AB×C) = R(AB)R(FROM) va R(AB) = R(LEKIN)R(DA).

Shunday qilib, nihoyat, biz olamiz

R(ABC) = R(LEKIN)R(DA)R(FROM).

O'zboshimchalik uchun n isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.

Izoh. Agar voqealar LEKIN 1 , LEKIN 2 , ...,A n yig'indida mustaqil bo'lsa, qarama-qarshi hodisalar ham yig'indida mustaqil bo'ladi.

Misol. Ikki tanga otishda gerb birga paydo boʻlish ehtimolini toping.

Yechim. Birinchi tanga gerbi paydo bo'lish ehtimoli (hodisa LEKIN)

R(LEKIN) = 1/2.

Ikkinchi tanga gerbi paydo bo'lish ehtimoli (hodisa DA)

R(DA) = 1/2.

Ishlanmalar LEKIN va DA mustaqil, shuning uchun ko'paytirish teoremasi bo'yicha kerakli ehtimollik tengdir

R(AB) = R(LEKIN)R(DA) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Misol. Har birida 10 donadan iborat 3 ta quti bor. Birinchi tortmada 8 ta, ikkinchi tortmada 7 ta va uchinchi tortmada 9 ta standart qismlar mavjud. Har bir qutidan tasodifiy bitta element olinadi. Olingan uch qismning hammasi ham standart bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. Birinchi qutidan standart qismni olish ehtimoli (hodisa LEKIN),

R(LEKIN) = 8/10 = 0,8.

Ikkinchi qutidan standart qismni olish ehtimoli (hodisa DA),

R(DA) = 7/10 = 0,7.

Uchinchi qutidan standart qismni olish ehtimoli (hodisa FROM),

R(FROM) = 9/10 = 0,9.

Voqealardan beri LEKIN, DA va FROM agregatda mustaqil bo'lsa, kerakli ehtimollik (ko'paytirish teoremasi bo'yicha) ga teng bo'ladi.

R(ABC) = R(LEKIN)R(DA)R(FROM) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Qo'shish va ko'paytirish teoremalarining birgalikda qo'llanilishiga misol keltiramiz.

Misol. Uchta mustaqil hodisaning har birining yuzaga kelish ehtimoli LEKIN 1 , LEKIN 2 , LEKIN 3 mos ravishda teng R 1 , R 2 , R 3. Ushbu hodisalardan faqat bittasining sodir bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. E'tibor bering, masalan, tashqi ko'rinish faqat birinchi voqea LEKIN 1 hodisaning ko'rinishiga teng (birinchi paydo bo'ldi, ikkinchi va uchinchi hodisalar ko'rinmadi). Belgilanish bilan tanishamiz:

B 1 - faqat hodisa paydo bo'ldi LEKIN 1, ya'ni. ;

B 2 - faqat hodisa paydo bo'ldi LEKIN 2, ya'ni. ;

B 3 - faqat hodisa paydo bo'ldi LEKIN 3, ya'ni. .

Shunday qilib, hodisalardan faqat bittasining sodir bo'lish ehtimolini topish LEKIN 1 , LEKIN 2 , LEKIN 3 , biz ehtimollikni qidiramiz P(B 1 + B 2 + DA 3) hodisalarning qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, birining ko'rinishi DA 1 , DA 2 , DA 3 .

Voqealardan beri DA 1 , DA 2 , DA 3 nomuvofiq bo'lsa, qo'shish teoremasi qo'llaniladi

P(B 1 + B 2 + DA 3) = R(DA 1) + R(DA 2) + R(DA 3). (*)

Hodisalarning har birining ehtimolini topish qoladi DA 1 , DA 2 , DA 3. Ishlanmalar LEKIN 1 , LEKIN 2 , LEKIN 3 mustaqil, shuning uchun hodisalar mustaqil, shuning uchun ko'paytirish teoremasi ularga tegishli

Xuddi shunday,

Ushbu ehtimollarni (*) ga almashtirib, biz hodisalardan faqat bittasining ro'y berish ehtimolini topamiz. LEKIN 1 , LEKIN 2 , LEKIN 3.

Ehtimollik ta'riflari

Klassik ta'rif

Ehtimollikning klassik "ta'rifi" tushunchadan kelib chiqadi teng imkoniyat o'rganilayotgan hodisalarning ob'ektiv xususiyati sifatida. Ekvivalentlik aniqlab bo'lmaydigan tushuncha bo'lib, o'rganilayotgan hodisalarning simmetriyasining umumiy mulohazalari asosida o'rnatiladi. Masalan, tanga otishda, tanganing taxmin qilingan simmetriyasi, materialning bir xilligi va otishning tasodifiyligi (noto'g'riligi) tufayli "dumlar" ni afzal ko'rishga hech qanday sabab yo'q deb taxmin qilinadi. "burgutlar" yoki aksincha, ya'ni bu tomonlarning yo'qolishi teng darajada ehtimoliy (equiprobable) deb hisoblanishi mumkin.

Klassik taʼrifda umumiy holatda teng ehtimollik tushunchasi bilan bir qatorda oʻrganilayotgan A hodisani maʼqullaydigan yoki yoqmaydigan elementar hodisa (natija) tushunchasi ham talab qilinadi.Gap, yuzaga kelishi ehtimolini istisno qiladigan natijalar haqida bormoqda. boshqa oqibatlarning yuzaga kelishi. Bular mos kelmaydigan elementar hodisalardir. Masalan, otish paytida zar Muayyan raqamni tashlab yuborish boshqa raqamlarni tushirishni istisno qiladi.

Ehtimollikning klassik ta'rifini quyidagicha shakllantirish mumkin:

Tasodifiy hodisa ehtimoli A sonning nisbati deyiladi n hodisani tashkil etuvchi mos kelmaydigan teng ehtimolli elementar hodisalar A , barcha mumkin bo'lgan elementar hodisalar soniga N :

Masalan, ikkita zar tashlandi deylik. Bir xil darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni (elementar hodisalar) 36 ta (har bir o'lim uchun 6 ta imkoniyat). 7 ball olish ehtimolini hisoblang. 7 ballni quyidagi usullarda olish mumkin: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Ya'ni, A hodisasini qo'llab-quvvatlaydigan 6 ta bir xil ehtimolli natijalar mavjud - 7 ball. Demak, ehtimollik 6/36=1/6 ga teng bo'ladi. Taqqoslash uchun, 12 ball yoki 2 ball olish ehtimoli atigi 1/36 - 6 baravar kam.

Geometrik ta'rif

Klassik ta'rif intuitiv va amaliyotdan olingan bo'lishiga qaramay, hech bo'lmaganda teng darajada mumkin bo'lgan natijalar soni cheksiz bo'lsa, uni bevosita qo'llash mumkin emas. Mumkin bo'lgan natijalarning cheksiz sonining yorqin misoli cheklangan geometrik mintaqa G, masalan, tekislikda, S maydoniga ega. Tasodifiy "tashlangan" "nuqta" bu mintaqaning istalgan nuqtasida teng ehtimollik bilan bo'lishi mumkin. Muammo nuqtaning s maydoni bo'lgan ba'zi bir subdomen g ga tushish ehtimolini aniqlashdir. Bunday holda, klassik ta'rifni umumlashtirib, biz pastki domenga tushish ehtimolining geometrik ta'rifiga kelishimiz mumkin:

Teng imkoniyatdan kelib chiqqan holda, bu ehtimollik g mintaqasining shakliga bog'liq emas, u faqat uning maydoniga bog'liq. Ushbu ta'rif tabiiy ravishda har qanday o'lchamdagi fazoga umumlashtirilishi mumkin, bu erda maydon o'rniga "hajm" tushunchasi ishlatiladi. Bundan tashqari, aynan shu ta'rif ehtimollikning zamonaviy aksiomatik ta'rifiga olib keladi. Hajm tushunchasi ba'zi bir mavhum to'plamning "o'lchovi" tushunchasiga umumlashtiriladi, unga talablar qo'yiladi, "hajm" geometrik talqinda ham mavjud - birinchi navbatda, bular noaniqlik va qo'shimchalardir.

Chastotani (statistik) aniqlash

Klassik ta'rif, murakkab muammolarni ko'rib chiqishda, engib bo'lmaydigan tabiatdagi qiyinchiliklarga duch keladi. Xususan, ba'zi hollarda teng darajada ehtimoliy holatlarni aniqlash mumkin bo'lmasligi mumkin. Ma'lumki, tanga bo'lsa ham, nazariy mulohazalar asosida baholab bo'lmaydigan "chekka" tushish ehtimoli aniq emas (faqat aytish mumkinki, bu mumkin emas va bu mulohaza juda amaliy). ). Shuning uchun ehtimollik nazariyasi shakllanishining boshida ehtimolning muqobil "chastota" ta'rifi taklif qilindi. Ya'ni, rasmiy ravishda, ehtimollik kuzatuvlarning bir xilligi (ya'ni barcha kuzatish shartlarining bir xilligi) va ularning bir-biridan mustaqilligini nazarda tutgan holda, A hodisasini kuzatish chastotasining chegarasi sifatida belgilanishi mumkin:

qayerda kuzatuvlar soni va hodisaning sodir bo'lish soni.

Ushbu ta'rif ko'proq noma'lum ehtimolni - ko'p sonli bir hil va mustaqil kuzatishlar yordamida baholash usulini ko'rsatsa ham, bu ta'rif ehtimollik tushunchasining mazmunini aks ettiradi. Ya'ni, agar biror hodisaga ma'lum bir ehtimollik uning ehtimolining ob'ektiv o'lchovi sifatida bog'langan bo'lsa, demak, bu qat'iy sharoitlarda va bir necha marta takrorlanganda, biz uning paydo bo'lish chastotasini (qanchalik yaqinroq bo'lsa, shuncha ko'p kuzatuvlar) olishimiz kerakligini anglatadi. Aslida, bu ehtimollik tushunchasining asl ma'nosi. U tabiat hodisalariga ob'ektiv qarashga asoslanadi. Quyida qonunlar deb ataladigan narsalar keltirilgan katta raqamlar, ular nazariy asosni ta'minlaydi (quyida keltirilgan zamonaviy aksiomatik yondashuv doirasida), shu jumladan ehtimollik chastotasini baholash uchun.

Aksiomatik ta'rif

Zamonaviy matematik yondashuvda ehtimollik bilan beriladi Kolmogorov aksiomatikasi. Ba'zilar deb taxmin qilinadi elementar hodisalar maydoni. Ushbu bo'shliqning kichik to'plamlari sifatida talqin qilinadi tasodifiy hodisalar. Ba'zi kichik to'plamlarning (hodisalar) birlashishi (yig'indisi) sodir bo'lgan voqea sifatida talqin qilinadi. kamida bitta bu voqealardan. Kichik to'plamlarning (hodisalarning) kesishishi (mahsuloti) sodir bo'lgan voqea sifatida talqin qilinadi. hammasi bu voqealar. Ajratilgan to'plamlar sifatida izohlanadi mos kelmaydigan hodisalar (ularning birgalikdagi hujumi mumkin emas). Shunga ko'ra, bo'sh to'plam anglatadi imkonsiz voqea.

Ehtimollik ( ehtimollik o'lchovi) deyiladi o'lchov(raqamli funktsiya) hodisalar to'plamida aniqlangan, quyidagi xususiyatlarga ega:

Agar elementar hodisalar fazosi X albatta, u holda ixtiyoriy ikkita mos kelmaydigan hodisa uchun belgilangan qo'shimchalilik sharti etarli bo'lib, har qanday hodisa uchun qo'shimchalar kelib chiqadi. final mos kelmaydigan hodisalar soni. Biroq, elementar hodisalarning cheksiz (hisoblanadigan yoki hisoblab bo'lmaydigan) fazosi bo'lsa, bu shart etarli emas. Deb atalmish hisoblanuvchi yoki sigma qo'shimchasi, ya'ni har qanday uchun qo'shimcha xususiyatning bajarilishi hisoblash mumkin bo'lganidan ortiq emas juftlik mos kelmaydigan hodisalar oilalari. Bu ehtimollik o'lchovining "uzluksizligini" ta'minlash uchun zarur.

Ehtimollik o'lchovi to'plamning barcha kichik to'plamlari uchun aniqlanmasligi mumkin. Bu ba'zilarida aniqlangan deb taxmin qilinadi sigma algebrasi kichik to'plamlar . Ushbu kichik to'plamlar deyiladi o'lchanadigan berilgan ehtimollik o'lchoviga ko'ra va ular tasodifiy hodisalardir. To'plam - ya'ni elementar hodisalar to'plami, uning kichik to'plamlarining sigma-algebrasi va ehtimollik o'lchovi deyiladi. ehtimollik maydoni.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar. Mumkin qiymatlari hech qanday intervalni to'liq to'ldirmaydigan sonli yoki cheksiz ketma-ketlikni tashkil etuvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga qo'shimcha ravishda, ko'pincha mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalni tashkil etadigan tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud. To'g'ri tashkil etilgan texnologik jarayonga ega bo'lgan qismning ma'lum bir o'lchamining nominaldan chetlanishi bunday tasodifiy o'zgaruvchiga misol bo'ladi. Bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni ehtimollik taqsimoti qonuni yordamida aniqlab bo'lmaydi p(x). Biroq, ular ehtimollik taqsimoti funksiyasi yordamida aniqlanishi mumkin F(x). Bu funksiya diskret tasodifiy o'zgaruvchidagi kabi aniqlangan:

Shunday qilib, bu erda ham funktsiya F(x) butun son o'qi bo'yicha aniqlangan va uning nuqtadagi qiymati X tasodifiy o'zgaruvchidan kichik qiymatni olish ehtimoliga teng X. Formula (19) va 1° va 2° xossalari har qanday tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi uchun amal qiladi. Isbotlash diskret kattalik holatiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi. Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi davomiy, agar buning uchun har qanday qiymatlarni qondiradigan manfiy bo'lmagan bo'lak-uzluksiz funksiya* mavjud bo'lsa x tenglik

Integralning maydon sifatidagi geometrik ma'nosiga asoslanib, biz tengsizliklarni bajarish ehtimoli asosli egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng deb aytishimiz mumkin. yuqorida egri chiziq bilan chegaralangan (6-rasm).

dan beri va formula (22) asosida

E'tibor bering, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimot funktsiyasi F(x) har qanday nuqtada uzluksiz X, bu yerda funksiya uzluksiz. Bu shundan kelib chiqadi F(x) bu nuqtalarda farqlanadi. (23) formulaga asoslanib, faraz qilinadi x 1 =x, , bizda ... bor

Funksiyaning uzluksizligi tufayli F(x) buni tushunamiz

Natijada

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining x ning har qanday yagona qiymatini olish ehtimoli nolga teng. Bundan kelib chiqadiki, har bir tengsizlikning bajarilishidan iborat hodisalar

Ular bir xil ehtimolga ega, ya'ni.

Darhaqiqat, masalan,

chunki Izoh. Bizga ma'lumki, agar biror hodisa imkonsiz bo'lsa, uning paydo bo'lish ehtimoli nolga teng. Imtihonning klassik ta'rifida test natijalarining soni cheklangan bo'lsa, teskari taklif ham sodir bo'ladi: agar hodisaning ehtimoli nolga teng bo'lsa, unda hodisa mumkin emas, chunki bu holda test natijalarining hech biri uni yoqtirmaydi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, uning mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir. Bu qiymat har qanday ma'lum qiymatni olish ehtimoli x 1 ko'rganimizdek, nolga teng. Biroq, bundan bu hodisa mumkin emas degan xulosa kelib chiqmaydi, chunki test natijasida tasodifiy o'zgaruvchi, xususan, qiymatni olishi mumkin. x 1 . Shuning uchun, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida, tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir qiymatni olish ehtimoli haqida emas, balki intervalga tushish ehtimoli haqida gapirish mantiqiy. Shunday qilib, masalan, rolik ishlab chiqarishda biz uning diametri nominal qiymatga teng bo'lish ehtimoli bilan qiziqmaymiz. Biz uchun rulonning diametri tolerantlikdan tashqariga chiqmasligi ehtimoli muhimdir. Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi quyidagicha berilgan:

Funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 7. Tasodifiy miqdorning tengsizliklarni qanoatlantiradigan qiymat olishi ehtimolligini aniqlang Berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping. ( Yechim)

Keyingi ikkita paragraf amaliyotda tez-tez uchrab turadigan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotiga bag'ishlangan - bir xil va normal taqsimotlar.

* Agar funksiya har qanday segmentda uzluksiz bo'lsa yoki birinchi turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega bo'lsa, u butun son o'qi bo'yicha bo'lakli uzluksiz deb ataladi. ** Chekli pastki chegara holatida olingan o‘zgaruvchan yuqori chegarali integralni differentsiallash qoidasi cheksiz pastki chegaraga ega bo‘lgan integrallar uchun amal qiladi. Haqiqatdan ham,

Integraldan boshlab

doimiy qiymatdir.

Bog'liq va mustaqil hodisalar. Shartli ehtimollik

Bog'liq va mustaqil hodisalarni farqlang. Ikki hodisa mustaqil deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa. Misol uchun, agar ustaxonada ishlab chiqarish sharoitlariga ko'ra bir-biriga bog'lanmagan ikkita avtomatik liniya ishlayotgan bo'lsa, unda bu liniyalarning to'xtash joylari mustaqil hodisalardir.

3-misol Tanga ikki marta aylantiriladi. Birinchi sinovda (hodisada) "gerb" ning paydo bo'lish ehtimoli ikkinchi sinovda (hodisa) "gerb" ning ko'rinishi yoki ko'rinmasligiga bog'liq emas. O'z navbatida, ikkinchi sinovda "gerb" ning paydo bo'lish ehtimoli birinchi sinov natijasiga bog'liq emas. Shunday qilib, hodisalar va mustaqil.

Bir nechta tadbirlar chaqiriladi jamoaviy mustaqil , agar ulardan birortasi boshqa biron bir hodisaga va boshqalarning har qanday kombinatsiyasiga bog'liq bo'lmasa.

Voqealar deyiladi qaram , agar ulardan biri ikkinchisining paydo bo'lish ehtimoliga ta'sir qilsa. Masalan, ikkita ishlab chiqarish korxonasi bitta texnologik sikl orqali bog'langan. Keyin ulardan birining ishlamay qolish ehtimoli boshqasining holatiga bog'liq. Boshqa hodisa sodir bo'lishini hisobga olgan holda hisoblangan bir hodisaning ehtimolligi deyiladi shartli ehtimollik hodisalar va bilan belgilanadi.

Hodisaning hodisadan mustaqillik sharti shaklda, bog'liqlik sharti esa shaklda yoziladi. Hodisaning shartli ehtimolini hisoblash misolini ko'rib chiqing.

4-misol Qutida 5 ta kesma bor: ikkitasi eskirgan va uchtasi yangi. Kesuvchi tishlarning ketma-ket ikkita ekstraktsiyasi amalga oshiriladi. Birinchi marta olib tashlangan to'sar qutiga qaytarilmasa, ikkinchi ekstraksiya paytida eskirgan to'sarning paydo bo'lishining shartli ehtimolini aniqlang.

Yechim. Birinchi holatda eskirgan to'sarning chiqarilishini va - yangisini olishni belgilaymiz. Keyin. Olib tashlangan to'sar qutiga qaytarilmaganligi sababli, eskirgan va yangi kesgichlar soni o'rtasidagi nisbat o'zgaradi. Shuning uchun, ikkinchi holatda eskirgan to'sarni olib tashlash ehtimoli avval qanday voqea sodir bo'lganiga bog'liq.

Keling, ikkinchi holatda eskirgan to'sarning chiqarilishini anglatuvchi hodisani belgilaylik. Ushbu hodisaning ehtimoli:

Shuning uchun hodisaning yuzaga kelish ehtimoli voqea sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq.

Ehtimollik zichligi- Evklid fazosida ehtimollik o'lchovini o'rnatish usullaridan biri. Agar ehtimollik o'lchovi tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash bo'lsa, bu haqda gapiriladi zichliktasodifiy o'zgaruvchi.

Ehtimollar zichligi bo'yicha ehtimollik o'lchovi bo'lsin, ya'ni ehtimollik fazosi aniqlangan, bu erda Borel s-algebrasini bildiradi. Lebeg o'lchovini on belgilaymiz.

Ta'rif 1. Har qanday Borel nol Lebeg o'lchovi ham nolga teng bo'lsa, ehtimollik mutlaqo uzluksiz (Lebesg o'lchoviga nisbatan) () deb ataladi:

Agar ehtimollik mutlaqo uzluksiz bo'lsa, Radon-Nikodim teoremasiga ko'ra, manfiy bo'lmagan Borel funktsiyasi mavjud

bu erda umumiy qisqartma ishlatiladi , integral esa Lebeg ma’nosida tushuniladi.

Ta'rif 2. Umuman olganda, ixtiyoriy o'lchanadigan fazo bo'lsin va bu bo'shliqda ikkita o'lchov bo'lsin va bo'lsin. Shaklda o'lchov nuqtai nazaridan o'lchovni ifodalashga imkon beradigan salbiy bo'lmagan bo'lsa

keyin bu funksiya chaqiriladi zichlikni o'lchash kabi , yoki Radon-Nikodim hosilasi o'lchovga nisbatan o'lchang va belgilang

Agar voqea sodir bo'lganda, hodisaning ehtimoli o'zgarmaydi, keyin voqealar va chaqirdi mustaqil.

Teorema:Ikki mustaqil hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli va (ishlaydi va ) bu hodisalarning ehtimollik ko‘paytmasiga teng.

Haqiqatan ham, beri ishlanmalar va mustaqil, keyin
. Bu holda, hodisalarning hosilasi ehtimoli formulasi va shaklni oladi.

Ishlanmalar
chaqirdi juftlik mustaqil agar ulardan ikkitasi mustaqil bo'lsa.

Ishlanmalar
chaqirdi jamoaviy mustaqil (yoki oddiygina mustaqil), agar ularning har ikkisi mustaqil bo'lsa va har bir hodisa va boshqalarning barcha mumkin bo'lgan mahsulotlari mustaqil bo'lsa.

Teorema:Agregatdagi mustaqil hodisalarning chekli sonining hosilasi ehtimoli
bu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng.

Keling, misollar yordamida bog'liq va mustaqil hodisalar uchun hodisa ehtimoli formulalarini qo'llashdagi farqni ko'rsatamiz.

1-misol. Birinchi otuvchi tomonidan nishonga tegish ehtimoli 0,85, ikkinchisi esa 0,8. Qurollar birma-bir o'q uzdilar. Hech bo'lmaganda bitta o'qning nishonga tegish ehtimoli qanday?

Yechish: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Otishmalar mustaqil bo‘lgani uchun, u holda

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

2-misol. Bir urnada 2 ta qizil va 4 ta qora shar mavjud. Undan ketma-ket 2 ta to'p olinadi. Ikkala to'pning ham qizil bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim: 1 ta holat. A hodisasi - birinchi o'yinda qizil to'pning ko'rinishi, ikkinchisida B hodisasi. C hodisasi - ikkita qizil sharning ko'rinishi.

P(C) \u003d P (A) * P (B / A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2 holat. Birinchi chizilgan to'p savatga qaytariladi.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Umumiy ehtimollik formulasi.

Tadbirga ruxsat bering faqat mos kelmaydigan hodisalardan birida sodir bo'lishi mumkin
, to'liq guruhni shakllantirish. Misol uchun, do'konga uchta korxonadan bir xil va turli miqdorda mahsulot keladi. Bu korxonalarda sifatsiz mahsulot ishlab chiqarish ehtimoli har xil. Mahsulotlardan biri tasodifiy tanlanadi. Ushbu mahsulot sifatsiz bo'lish ehtimolini aniqlash kerak (hodisa ). Bu yerda voqealar
tegishli korxona ishlab chiqarishidan mahsulot tanlashdir.

Bunday holda, hodisaning ehtimoli hodisalarning hosilalari yig‘indisi sifatida qaralishi mumkin
.

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolini qo'shish teoremasi orqali biz olamiz
. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasidan foydalanib, topamiz

Olingan formula deyiladi umumiy ehtimollik formulasi.

Bayes formulasi

Tadbirga ruxsat bering biri bilan bir vaqtda sodir bo'ladi mos kelmaydigan hodisalar
, kimning ehtimoli
(
) tajribadan oldin ma'lum ( a priori ehtimolliklar). Tajriba o'tkaziladi, buning natijasida voqea sodir bo'lganligi qayd etiladi , va ma'lumki, bu hodisa muayyan shartli ehtimollarga ega edi
(
). Hodisalarning ehtimolini topish talab qilinadi
agar voqea ma'lum bo'lsa sodir bo'ldi ( a posteriori ehtimolliklar).

Muammo shundaki, bor yangi ma'lumotlar(A hodisasi sodir bo'ldi), siz voqealar ehtimolini qayta baholashingiz kerak
.

Ikki hodisaning hosilasi ehtimoli haqidagi teorema asosida

Olingan formula deyiladi Bayes formulalari.

Kombinatorikaning asosiy tushunchalari.

Bir qator nazariy va amaliy masalalarni yechishda berilgan qoidalar bo'yicha cheklangan elementlar to'plamidan turli kombinatsiyalar yasash va barcha mumkin bo'lgan bunday birikmalar sonini hisoblash talab qilinadi. Bunday vazifalar deyiladi kombinatsion.

Masalalarni yechishda kombinatorika yig‘indi va ko‘paytma qoidalaridan foydalanadi.

Muammoning umumiy bayoni: ba'zi hodisalarning ehtimoli ma'lum, ammo bu hodisalar bilan bog'liq bo'lgan boshqa hodisalarning ehtimolini hisoblash kerak. Bu masalalarda ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish kabi ehtimollar ustida amallarni bajarish zarurati tug'iladi.

Misol uchun, ov paytida ikkita o'q uzilgan. Tadbir A- birinchi o'qdan o'rdakni urish, hodisa B- ikkinchi zarbadan zarba. Keyin voqealar yig'indisi A va B- birinchi yoki ikkinchi zarbadan yoki ikkita zarbadan zarba.

Boshqa turdagi vazifalar. Bir nechta hodisalar berilgan, masalan, tanga uch marta tashlanadi. Gerbning uch marta ham tushishi yoki kamida bir marta gerb tushishi ehtimolini topish talab qilinadi. Bu ko'paytirish muammosi.

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish

Ehtimollar qo'shilishi tasodifiy hodisalarning kombinatsiyasi yoki mantiqiy yig'indisi ehtimolini hisoblash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

Voqealar yig'indisi A va B tayinlash A + B yoki A ∪ B. Ikki hodisaning yig'indisi - bu hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lganda sodir bo'ladigan hodisa. Bu shuni anglatadiki A + B- kuzatish jarayonida hodisa sodir bo'lgan taqdirdagina sodir bo'ladigan hodisa A yoki hodisa B, yoki bir vaqtning o'zida A va B.

Agar voqealar A va B o'zaro mos kelmaydigan bo'lib, ularning ehtimollari berilgan bo'lsa, bu hodisalardan birining bir sinov natijasida sodir bo'lish ehtimoli ehtimollar qo'shilishi yordamida hisoblanadi.

Ehtimollarni qo'shish teoremasi. Bir-biriga mos kelmaydigan ikkita hodisadan birining sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Misol uchun, ov paytida ikkita o'q uzilgan. Tadbir LEKIN– birinchi o‘qdan o‘rdakni urish, hodisa DA– ikkinchi zarbadan zarba, hodisa ( LEKIN+ DA) - birinchi yoki ikkinchi zarbadan yoki ikkita zarbadan zarba. Shunday qilib, agar ikkita voqea LEKIN va DA bir-biriga mos kelmaydigan hodisalardir LEKIN+ DA- ushbu hodisalarning kamida bittasi yoki ikkita hodisaning sodir bo'lishi.

1-misol Bir qutida bir xil o'lchamdagi 30 ta shar bor: 10 ta qizil, 5 ta ko'k va 15 ta oq. Rangli (oq emas) to'pni qaramasdan olish ehtimolini hisoblang.

Yechim. Faraz qilaylik, voqea LEKIN- "qizil to'p olinadi", va voqea DA- "Ko'k to'p olindi." Keyin hodisa "rangli (oq emas) to'p olinadi". Hodisa ehtimolini toping LEKIN:

va voqealar DA:

Ishlanmalar LEKIN va DA- o'zaro mos kelmaydi, chunki bitta to'p olinsa, turli rangdagi to'plarni olib bo'lmaydi. Shuning uchun biz ehtimollar qo'shilishidan foydalanamiz:

Bir nechta mos kelmaydigan hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish teoremasi. Agar hodisalar hodisalarning to'liq to'plamini tashkil qilsa, ularning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng:

Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli yig'indisi ham 1 ga teng:

Qarama-qarshi hodisalar hodisalarning to'liq to'plamini tashkil qiladi va hodisalarning to'liq to'plamining ehtimoli 1 ga teng.

Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli odatda kichik harflar bilan belgilanadi. p va q. Ayniqsa,

qarama-qarshi hodisalar ehtimoli uchun quyidagi formulalar kelib chiqadi:

2-misol Chiziqdagi nishon 3 ta zonaga bo'lingan. Ma'lum bir otishmaning birinchi zonada nishonga otish ehtimoli 0,15, ikkinchi zonada - 0,23, uchinchi zonada - 0,17. Otuvchining nishonga tegish ehtimoli va otganning nishonga yetib borishi ehtimolini toping.

Yechish: Otuvchining nishonga tegish ehtimolini toping:

Otuvchining nishonni o'tkazib yuborish ehtimolini toping:

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz kerak bo'lgan qiyinroq vazifalar - "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalar" sahifasida .

O'zaro qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish

Ikki tasodifiy hodisa qo'shma hodisa deyiladi, agar bitta hodisaning sodir bo'lishi bir xil kuzatishda ikkinchi hodisaning ro'y berishiga to'sqinlik qilmasa. Masalan, zar otishda hodisa LEKIN 4 sonining yuzaga kelishi va hodisa deb hisoblanadi DA- juft sonni tushirish. 4 raqami juft son bo'lgani uchun ikkala hodisa mos keladi. Amalda, o'zaro qo'shma hodisalardan birining paydo bo'lish ehtimolini hisoblash uchun vazifalar mavjud.

Qo'shma hodisalar uchun ehtimollarni qo'shish teoremasi. Birgalikda sodir bo'lgan hodisalardan birining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'lib, undan ikkala hodisaning umumiy sodir bo'lish ehtimoli, ya'ni ehtimollar ko'paytmasi ayiriladi. Qo'shma hodisalarning ehtimoli formulasi quyidagicha:

Chunki voqealar LEKIN va DA mos keluvchi, hodisa LEKIN+ DA Agar uchta mumkin bo'lgan hodisalardan biri sodir bo'lsa sodir bo'ladi: yoki AB. Mos kelmaydigan hodisalarni qo'shish teoremasiga ko'ra, biz quyidagicha hisoblaymiz:

Tadbir LEKIN ikkita mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lsa sodir bo'ladi: yoki AB. Biroq, bir nechta mos kelmaydigan hodisalardan bitta hodisaning paydo bo'lish ehtimoli ushbu barcha hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Xuddi shunday:

(6) va (7) ifodalarni (5) ifodaga almashtirib, qo'shma hodisalar uchun ehtimollik formulasini olamiz:

Formuladan (8) foydalanilganda, hodisalarni hisobga olish kerak LEKIN va DA bo'lishi mumkin:

o'zaro mustaqil;
o'zaro bog'liq.

O'zaro mustaqil hodisalar uchun ehtimollik formulasi:

O'zaro bog'liq hodisalar uchun ehtimollik formulasi:

Agar voqealar LEKIN va DA nomuvofiq bo'lsa, ularning tasodifi mumkin emas va shuning uchun P(AB) = 0. Mos kelmaydigan hodisalarning to‘rtinchi ehtimollik formulasi quyidagicha:

3-misol Avtopoygada, birinchi mashinada haydashda, g'alaba qozonish ehtimoli, ikkinchi mashinada haydashda. Toping:

ikkala mashina ham g'alaba qozonish ehtimoli;
kamida bitta mashina g'alaba qozonish ehtimoli;

1) Birinchi mashinaning g'alaba qozonish ehtimoli ikkinchi mashinaning natijasiga bog'liq emas, shuning uchun voqealar LEKIN(birinchi mashina g'alaba qozonadi) va DA(ikkinchi avtomobil g'alaba qozonadi) - mustaqil voqealar. Ikkala mashinaning yutish ehtimolini toping:

2) Ikki mashinadan biri yutish ehtimolini toping:

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz kerak bo'lgan qiyinroq vazifalar - "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalar" sahifasida .

Ehtimollarni qo‘shish masalasini o‘zingiz hal qiling, so‘ngra yechimga qarang

4-misol Ikki tanga tashlandi. Tadbir A- birinchi tangadagi gerbning yo'qolishi. Tadbir B- ikkinchi tangadagi gerbning yo'qolishi. Hodisa ehtimolini toping C = A + B .

Ehtimollarni ko'paytirish

Hodisalarning mantiqiy mahsuloti ehtimolini hisoblashda ehtimollarni ko'paytirish qo'llaniladi.

Bunday holda tasodifiy hodisalar mustaqil bo'lishi kerak. Ikki hodisa o'zaro bog'liq deyiladi, agar bitta hodisaning sodir bo'lishi ikkinchi hodisaning yuzaga kelish ehtimoliga ta'sir qilmasa.

Mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Ikki mustaqil hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli LEKIN va DA ushbu hodisalarning ehtimolliklarining mahsulotiga teng va quyidagi formula bilan hisoblanadi:

5-misol Tanga ketma-ket uch marta tashlanadi. Gerbning uch marta ham tushishi ehtimolini toping.

Yechim. Gerbning tangani birinchi otishda, ikkinchi va uchinchi marta tushish ehtimoli. Gerbning uch marta tushishi ehtimolini toping:

Ehtimollarni ko‘paytirish masalalarini o‘zingiz hal qiling, so‘ngra yechimga qarang

6-misol To'qqizta yangi tennis to'pi bo'lgan quti bor. O'yin uchun uchta to'p olinadi, o'yindan keyin ular qaytariladi. To'plarni tanlashda ular o'ynalgan va o'ynalmagan to'plarni ajratmaydilar. Shundan keyin qanday ehtimollik bor uchta o'yin qutida o'ynalmagan to'plar bo'lmaydimi?

7-misol Kesilgan alifbo kartalarida rus alifbosining 32 ta harfi yozilgan. Beshta kartochka birin-ketin tasodifiy chiziladi va ular paydo bo'lgan tartibda stolga qo'yiladi. Harflarning “tugash” so‘zini hosil qilish ehtimolini toping.

8-misol To'liq kartalar to'plamidan (52 varaq) bir vaqtning o'zida to'rtta karta chiqariladi. Ushbu to'rtta kartaning hammasi bir xil kostyumda bo'lish ehtimolini toping.

9-misol 8-misoldagi kabi muammo, lekin har bir karta chizilganidan keyin pastki qismga qaytariladi.

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni qo'llashingiz kerak bo'lgan yanada murakkab vazifalar, shuningdek, bir nechta hodisalarning mahsulotini hisoblashingiz kerak - sahifada "Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalar" .

O'zaro mustaqil hodisalardan kamida bittasining ro'y berish ehtimolini 1 dan qarama-qarshi hodisalar ehtimoli ko'paytmasini ayirish, ya'ni formula bo'yicha hisoblash mumkin.