Shartli ehtimollik. Shartli ehtimollik va eng oddiy asosiy formulalar. Biri ikkinchisining sharti ostida sodir bo'ladigan hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi

4. Shartli ehtimollik. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi.

Ko'pgina masalalarda hodisalarni birlashtirish ehtimolini topish kerak LEKIN va DA hodisalarning ehtimolliklari ma'lum bo'lsa LEKIN va DA.

Quyidagi misolni ko'rib chiqing. Ikki tanga tashlansin. Ikkita gerbning paydo bo'lish ehtimolini toping. Bizda to'liq guruhni tashkil etuvchi 4 ta teng ehtimolli juftlik mos kelmaydigan natijalar mavjud:

Endi bilamizki, gerb birinchi tangaga tushgan. Bundan keyin ikkala tangada gerb paydo bo'lish ehtimoli qanday o'zgaradi? Gerb birinchi tangaga tushganligi sababli, endi to'liq guruh ikkita bir xil ehtimoliy mos kelmaydigan natijalardan iborat:

yangi hodisa ehtimoli LEKIN, voqea sodir bo'lgan deb faraz qilish B, belgilaymiz P B (A).

Shunday qilib, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Ko'paytirish teoremasi. A va B hodisalarini birlashtirish ehtimoli birinchi voqea sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblangan ikkinchisining shartli ehtimolligi bilan ulardan birining ehtimoli ko'paytmasiga teng, ya'ni.

Isbot. Ehtimolning klassik ta'rifi asosida (4) munosabatning to'g'riligini isbotlaymiz. Mumkin bo'lgan natijalarga yo'l qo'ying E 1, E 2, ..., E N Bu tajriba teng ehtimolli juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini hosil qiladi, ulardan hodisa A yaxshilik M natijalar va ulardan ruxsat bering M natijalar L natijalar hodisaga yordam beradi B. Shubhasiz, hodisalarning kombinatsiyasi A va B yaxshilik L dan N mumkin bo'lgan test natijalari. Bu beradi; ;
Shunday qilib,
Joylarni almashtirish A va B, xuddi shunday olamiz
Ko'paytirish teoremasi har qanday chekli sonli hodisalar uchun osongina umumlashtirilishi mumkin. Shunday qilib, masalan, uchta hodisa holatida A 1, A2, A 3 bizda ... bor *
Umuman

(6) munosabatdan ikkita tenglikdan (8) biri ikkinchisining natijasi ekanligi kelib chiqadi.

Masalan, voqea bo'lsin A- tanganing bir marta otish paytidagi gerbning paydo bo'lishi va voqea B- karta palubadan chiqarilganda olmos kostyumining kartasi paydo bo'lishi. Ma'lum bo'lishicha, voqealar A va B mustaqil.

Agar voqealar mustaqil bo'lsa A uchun B(4) formula oddiyroq shaklga ega bo'ladi:

* Tadbir A 1 A 2 A 3 ikki hodisaning birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: hodisalar C=A 1 A 2 va voqealar A 3.

Voqealarni ko'rib chiqing A va B bir xil tajriba bilan bog'liq. Ayrim manbalardan ma'lum bo'lishicha, voqea sodir bo'lgan B sodir bo'lgan, ammo hodisani tashkil etuvchi elementar natijalardan qaysi biri ma'lum emas B, sodir bo'ldi. Bu holatda voqea ehtimoli haqida nima deyish mumkin A?

Hodisa ehtimoli A, hodisa deb faraz ostida hisoblangan B sodir bo'lsa, shartli ehtimolni chaqirish va belgilash odat tusiga kiradi P(A|B).

shartli ehtimollik P(A|B) ishlanmalar A hodisaga bog'liq B klassik sxema doirasida ehtimollikni nisbat sifatida belgilash tabiiydir NAB tadbirlarni birgalikda amalga oshirishga yordam beradigan natijalar A va B, raqamga NB natijalar hodisaga yordam beradi B, ya'ni

Agar bu ifodaning sonini va maxrajini umumiy songa ajratsak N elementar natijalarga erishamiz

Ta'rif. Hodisaning shartli ehtimolligi A hodisaga bog'liq B hodisalarning kesishish ehtimoli nisbati deyiladi A va B hodisa ehtimoliga B:

Shu bilan birga, taxmin qilinadi P(B) ≠ 0.

Teorema. Shartli ehtimollik P(A|B) shartsiz ehtimollikning barcha xossalariga ega P(A).

Bu teoremaning ma'nosi shundan iboratki, shartli ehtimollik yangi fazoda berilgan shartsiz ehtimollikdir. Ō 1 hodisa bilan mos keladigan elementar natijalar B.

Misol. Qaysi idishdan a=7 oq va b=3 qora to'plar, ikkita to'p almashtirmasdan tasodifiy chiziladi. Tadbirga ruxsat bering A 1 birinchi chizilgan to'p oq, deb hisoblanadi, va A2- ikkinchi to'p oq rangda. topmoqchi edi P(A 2 |A 1).

1-usul.. Shartli ehtimollik ta'rifi bo'yicha

2-usul.. Keling, elementar natijalarning yangi maydoniga o'taylik Ō 1. Tadbirdan beri A 1 sodir bo'ldi, bu elementar natijalarning yangi makonida teng darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini anglatadi NO 1 =a+b-1=9, va voqea A2 ma’qullaydi N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 natijalar. Binobarin,

Teorema [ehtimollarni ko'paytirish]. Tadbirga ruxsat bering A=A 1 A 2 …A n va P(A)>0. Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Izoh. Kesishmaning kommutativlik xususiyatidan yozish mumkin

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Misol. "NIGHTINGALE" so'zini tashkil etuvchi harflar 7 ta kartaga yozilgan. Kartalar aralashtiriladi va ulardan uchta karta tasodifiy ravishda chiqariladi va chapdan o'ngga joylashtiriladi. "VOL" so'zini olish ehtimolini toping (hodisa A).

Tadbirga ruxsat bering A 1- birinchi kartada "B" harfi yozilgan; A2- ikkinchi kartada "O" harfi yozilgan, A2- uchinchi kartada - "L" harfi. Keyin voqea A- hodisalarning kesishishi A 1, A2, A 3. Binobarin,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; voqea bo'lsa A 1 sodir bo'ldi, keyin qolgan 6 ta kartada "O" ikki marta uchraydi, ya'ni P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Xuddi shunday, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Binobarin,

Ta'rif. Ishlanmalar A va B, nolga teng bo'lmagan ehtimolga ega, agar shartli ehtimol bo'lsa, mustaqil deyiladi A shartiga ko'ra B shartsiz ehtimollik bilan mos keladi A yoki shartli ehtimollik bo'lsa B shartiga ko'ra A shartsiz ehtimollik bilan mos keladi B, ya'ni

P(A|B) = P(A) yoki P(B|A) = P(B),

aks holda voqealar A va B qaram deb ataladi.

Teorema. Ishlanmalar A va B nolga teng bo'lmagan ehtimolga ega bo'lganlar mustaqil bo'ladi, agar va faqat

P(AB) = P(A) P(B).

Shunday qilib, biz ekvivalent ta'rifni berishimiz mumkin:

Ta'rif. Ishlanmalar A va B agar mustaqil deyiladi P(AB) = P(A) P(B).

Misol. O'z ichiga olgan kartalar to'plamidan n=36 kartalar, bitta karta tasodifiy chiziladi. tomonidan belgilang A qazib olingan xarita bir cho'qqisi bo'ladi, deb aslida tegishli voqea, va B- "xonim" ning ko'rinishiga mos keladigan hodisa. Voqealarning bog'liqligini aniqlang A va B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Shuning uchun voqealar A va B mustaqil. Xuddi shunday, .

Mayli LEKIN va DA Ushbu testda ko'rib chiqilgan ikkita hodisa. Bunday holda, hodisalardan birining sodir bo'lishi boshqasining paydo bo'lish ehtimoliga ta'sir qilishi mumkin. Masalan, biror voqea sodir bo'lishi LEKIN hodisaga ta'sir qilishi mumkin DA yoki aksincha. Ayrim hodisalarning boshqalarga shunday bog'liqligini hisobga olish uchun shartli ehtimollik tushunchasi kiritiladi.

Ta'rif. Agar biror hodisa ehtimoli bo'lsa DA hodisa sharti ostida joylashgan LEKIN sodir bo'ldi, keyin hodisaning natija ehtimoli DA chaqirdi shartli ehtimollik ishlanmalar DA. Bunday shartli ehtimolni belgilash uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi: R LEKIN ( DA) yoki R(DA / LEKIN).

Izoh 2. Shartli ehtimoldan farqli o'laroq, "shartsiz" ehtimollik, qandaydir hodisaning yuzaga kelishi uchun har qanday shartlar mavjud bo'lganda ham hisobga olinadi. DA yo'qolgan.

Misol. Bir urnada 5 ta shar bor, ulardan 3 tasi qizil va 2 tasi ko'k. O'z navbatida, undan bitta to'p qaytib va ​​qaytarilmasdan chiqariladi. Qizil sharni ikkinchi marta chizishning shartli ehtimolini toping, agar birinchi marta olingan: a) qizil shar; b) ko'k shar.

Tadbirga ruxsat bering LEKIN qizil to'pni birinchi marta chizmoqda va voqea DA- qizil to'pni ikkinchi marta chiqarib olish. Bu aniq R(LEKIN) = 3/5; keyin birinchi marta chiqarilgan to'p urnaga qaytarilganda, R(DA)=3/5. Agar chizilgan to'p qaytarilmasa, qizil to'pni chizish ehtimoli R(DA) qaysi to'p birinchi marta chizilganiga bog'liq - qizil (hodisa LEKIN) yoki ko'k (hodisa). Keyin birinchi holatda R LEKIN ( DA) = 2/4, ikkinchisida ( DA) = 3 / 4.

Biri ikkinchisining sharti ostida sodir bo'ladigan hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi

Ikki hodisaning ko'paytmasi ehtimolligi birinchi voqea sodir bo'lgan degan faraz ostida topilgan ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ulardan birining ehtimoli ko'paytmasiga teng:

R(A ∙ B) = R(LEKIN) ∙ R LEKIN ( DA) . (1.7)

Isbot. Haqiqatan ham, ruxsat bering n- testning teng ehtimolli va mos kelmaydigan (elementar) natijalarining umumiy soni. Qo'yib yubor n 1 - hodisaga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan natijalar soni LEKIN, boshida sodir bo'lgan va m- voqea sodir bo'lgan natijalar soni DA voqea deb faraz qilsak LEKIN keldi. Shunday qilib, m hodisaga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan natijalar soni DA. Keyin olamiz:

Bular. bir nechta hodisalarning ko‘paytmasi ehtimoli shu hodisalardan birining yuzaga kelishi ehtimolini boshqalarning shartli ehtimollariga ko‘paytmasiga teng bo‘ladi va har bir keyingi hodisaning shartli ehtimoli oldingi barcha hodisalar sodir bo‘lgan degan faraz asosida hisoblanadi.

Misol. 10 nafar sportchidan iborat jamoada 4 nafar sport ustasi bor. Qur'a tashlash yo'li bilan jamoadan 3 nafar sportchi tanlab olinadi. Tanlangan barcha sportchilarning sport ustasi bo‘lish ehtimoli qanday?

Yechim. Keling, muammoni "urn" modeliga kamaytiraylik, ya'ni. Faraz qilaylik, 10 ta sharchadan iborat idishda 4 ta qizil va 6 ta oq shar bor. Ushbu urnadan tasodifiy 3 ta to'p olinadi (tanlov S= 3). Tadbirga ruxsat bering LEKIN 3 ta sharni ajratib olishdan iborat. Muammoni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin: klassik sxema bo'yicha va formula (1.9).

Kombinatorik formulaga asoslangan birinchi usul:

Ikkinchi usul ((1.9) formula bo'yicha). Urnadan ketma-ket 3 ta shar almashtirilmasdan tortiladi. Mayli LEKIN 1 - birinchi chizilgan to'p qizil, LEKIN 2 - ikkinchi chizilgan to'p qizil, LEKIN 3 - uchinchi chizilgan to'p qizil rangda. Tadbirga ham ruxsat bering LEKIN barcha 3 chizilgan to'p qizil ekanligini anglatadi. Keyin: LEKIN = LEKIN 1 ∙ (LEKIN 2 / LEKIN 1) ∙ LEKIN 3 / (LEKIN 1 ∙ LEKIN 2), ya'ni.

Misol. Kartalar to'plamidan ruxsat bering a, a, r, b, o, t kartalar birma-bir tortiladi. "So'zini olish ehtimoli qanday? Ish” ularni chapdan o'ngga ketma-ket bir qatorga katlaganda?

Mayli DA- e'lon qilingan so'z olingan voqea. Keyin (1.9) formula bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

R(DA) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi ko'paytma bir-biriga bog'liq bo'lmagan hodisalar orqali hosil bo'lganda eng oddiy shaklni oladi.

Ta'rif. Tadbir DA chaqirdi mustaqil tadbirdan LEKIN agar voqea sodir bo'lganligidan qat'iy nazar uning ehtimoli o'zgarmasa LEKIN yoki yo'q. Ikki hodisa mustaqil (bog'liq) deb ataladi, agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa (o'zgartirmasa). Shunday qilib, yo'q uchun bog'liq hodisalar p(B/A) = R(DA) yoki = R(DA) va bog'liq hodisalar uchun R(DA/A)

Tadbir. Elementar hodisalar fazosi. Muayyan hodisa, mumkin bo'lmagan voqea. Qo'shma, qo'shma tadbirlar. Ekvivalent hodisalar. To'liq tadbirlar guruhi. Voqealar bo'yicha operatsiyalar.

Tadbir deb aytish mumkin bo‘lgan hodisadir davom etayapdi yoki sodir bo'lmayapti, hodisaning o'ziga xos xususiyatiga qarab.

ostida elementar hodisalar Muayyan test bilan bog'liq bo'lganlar ushbu testning barcha ajratilmaydigan natijalarini tushunadilar. Ushbu test natijasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan har bir hodisani ma'lum bir elementar hodisalar to'plami deb hisoblash mumkin.

Elementar hodisalar fazosi ixtiyoriy to'plam deb ataladi (cheklangan yoki cheksiz). Uning elementlari nuqtalar (elementar hodisalar). Elementar hodisalar fazosining kichik to'plamlari hodisalar deyiladi.

ma'lum bir hodisa ushbu sinov natijasida, albatta, sodir bo'ladigan hodisa chaqiriladi; (E bilan belgilanadi).

Mumkin bo'lmagan voqea hodisa shunday hodisa deyiladiki, berilgan sinov natijasida bo'lishi mumkin emas; (U bilan belgilanadi). Masalan, bitta otish paytida oltita nuqtadan birining paydo bo'lishi zar- ishonchli hodisa va 8 ball paydo bo'lishi mumkin emas.

Ikki hodisa deyiladi qo'shma(mos keladi) berilgan tajribada, agar ulardan birining ko'rinishi ikkinchisining ko'rinishini istisno qilmasa.

Ikki hodisa deyiladi mos kelmaydigan(mos kelmaydigan) ma'lum bir sud muhokamasida, agar ular bitta sud jarayonida birga bo'lmasa. Bir nechta hodisalar, agar ular juftlik bilan mos kelmasa, mos kelmaydigan deb ataladi.

Shakl boshlanishi

Shaklning oxiri

Mavzu raqami 2. Ehtimollikning aksiomatik ta'rifi. Hodisa ehtimolining klassik, statistik, geometrik ta'rifi. Ehtimollik xususiyatlari. Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari. mustaqil hodisalar. Shartli ehtimollik. Voqealarning kamida bittasi sodir bo'lish ehtimoli. Umumiy ehtimollik formulasi. Bayes formulasi

Voqea sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati darajasining raqamli o'lchovi deyiladi hodisa ehtimoli. Hodisa ehtimoli tushunchasini sifat jihatidan aks ettiruvchi bu ta’rif matematik emas. Buni qilish uchun uni sifat jihatidan aniqlash kerak.

Ga ko'ra klassik ta'rif A hodisasining ehtimoli unga qulay bo'lgan holatlar sonining umumiy holatlar soniga nisbatiga teng, ya'ni:

Bu erda P(A) - A hodisaning ehtimoli.

A hodisasi uchun qulay holatlar soni

Ishlarning umumiy soni.

Ehtimollikning statistik ta'rifi:

A hodisasining statistik ehtimolligi - bu hodisaning o'tkazilgan sinovlarda yuzaga kelishining nisbiy chastotasi, ya'ni:

A hodisasining statistik ehtimolligi qayerda.

Hodisaning nisbiy chastotasi (chastotasi) A.

A hodisalari paydo bo'lgan sinovlar soni

Sinovlarning umumiy soni.

Klassik ta'rifda ko'rib chiqilgan "matematik" ehtimoldan farqli o'laroq, statistik ehtimollik eksperimental, eksperimental xususiyatdir.

To'g'ridan-to'g'ri, hech qanday sinovlarsiz aniqlangan A hodisasi uchun qulay bo'lgan holatlarning nisbati mavjud bo'lsa, ya'ni A hodisasi paydo bo'lgan haqiqatda o'tkazilgan sinovlarning ulushi.

Ehtimollikning geometrik ta'rifi:

A hodisasining geometrik ehtimolligi - bu A hodisasining yuzaga kelishiga yordam beradigan maydon o'lchovining barcha maydonlar o'lchoviga nisbati, ya'ni:

Bir o'lchovli holatda:

CD-dagi nuqtaga tegish ehtimolini taxmin qilish kerak.

Ma'lum bo'lishicha, bu ehtimol CD ning AB segmentida joylashishiga bog'liq emas, faqat uning uzunligiga bog'liq.

Nuqtani urish ehtimoli shakllarga yoki B ning A dagi joylashishiga bog'liq emas, faqat ushbu segmentning maydoniga bog'liq.

Shartli ehtimollik

Ehtimollik deyiladi shartli , agar u ma'lum shartlar ostida hisoblansa va quyidagicha belgilansa:

Bu A hodisasining ehtimolligi. Bu B hodisasi allaqachon sodir bo'lgan holda hisoblanadi.

Misol. Biz sinov o'tkazamiz, biz pastki qismdan ikkita kartani chiqaramiz: Birinchi ehtimollik shartsiz.

Biz kemadan eys chizish ehtimolini hisoblaymiz:

Biz kemadan 2-ace paydo bo'lishini hisoblaymiz:

A*B - hodisalarning birgalikda sodir bo'lishi

– ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

Natija:

Hodisalarning birgalikda yuzaga kelishi uchun ko'paytirish teoremasi quyidagi shaklga ega:

Ya'ni, har bir keyingi ehtimollik oldingi barcha shartlar allaqachon sodir bo'lganligini hisobga olgan holda hisoblanadi.

Tadbirning mustaqilligi:

Ikki hodisa mustaqil deyiladi, agar birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga zid bo'lmasa.

Misol uchun, agar eyslar kemadan qayta-qayta chizilgan bo'lsa, unda ular bir-biridan mustaqildir. Yana, ya'ni karta ko'rib chiqildi va yana kemaga qaytarildi.

Qo'shma va qo'shma tadbirlar:

qo'shma 2 ta hodisa, agar ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lishiga zid bo'lmasa, deyiladi.

Qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi:

Ikki qo'shma hodisadan birining sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning birgalikda sodir bo'lmagan holda yuzaga kelishi ehtimoli yig'indisiga teng.

Uchta qo'shma tadbir uchun:

Tasodifiy tajribaning bitta sinovi natijasida ikkitasi bir vaqtning o'zida paydo bo'lmasa, hodisalar nomuvofiq deb ataladi.

Teorema: Ikki mos kelmaydigan hodisalardan birining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng.

Hodisalar yig'indisining ehtimoli:

Ehtimollar qo‘shish teoremasi:

Cheklangan sonli mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Xulosa 1:

To'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimoli yig'indisi bittaga teng:

Natija 2:

Izoh: Shuni ta'kidlash kerakki, ko'rib chiqilgan qo'shish teoremasi faqat mos kelmaydigan hodisalar uchun qo'llaniladi.

Qarama-qarshi hodisalar ehtimoli:

Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi. Ikki qarama-qarshi hodisadan biri bilan belgilanadi LEKIN, ikkinchisi - orqali.

Misol: Nishonga o'q otishda urish va yo'qotish qarama-qarshi hodisalardir. Agar A zarba bo'lsa, unda o'tkazib yuborilgan.

Teorema: Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli yig'indisi bittaga teng:

Eslatma 1: Ikki qarama-qarshi hodisadan birining ehtimoli p bilan belgilansa, ikkinchi hodisaning ehtimoli q bilan belgilanadi Shunday qilib, oldingi teorema tufayli:

Eslatma 2: A hodisasining ehtimolini topishga oid masalalarni yechishda, avvalo hodisaning ehtimolini hisoblash, so'ngra quyidagi formula yordamida kerakli ehtimollikni topish ko'pincha foydalidir:

Kamida bitta voqea sodir bo'lish ehtimoli:

Tajriba natijasida biror hodisa yoki qisman paydo bo'lishi mumkin, deb faraz qilaylik.

Teorema: Mustaqil hodisalar to'plamidan kamida bitta hodisaning sodir bo'lish ehtimoli ularning birligi va hodisalarning sodir bo'lmasligi o'rtasidagi farqga teng.

Umumiy ehtimollik formulasi hodisaning ehtimolini topish imkonini beradi A, bu faqat har birida sodir bo'lishi mumkin n Agar ularning ehtimolliklari ma'lum bo'lsa, to'liq tizimni tashkil etuvchi o'zaro istisno hodisalar va shartli ehtimollar ishlanmalar A sistemaning har bir hodisasiga nisbatan ga teng.

Hodisalar gipoteza deb ham ataladi, ular bir-birini istisno qiladilar. Shuning uchun, adabiyotda siz ularning belgilanishini harf bilan emas, balki topishingiz mumkin B, lekin xat bilan H(gipoteza).

Bunday shartlar bilan muammolarni hal qilish uchun 3, 4, 5 yoki umumiy holatda ko'rib chiqish kerak n hodisa ehtimoli A- har bir voqea bilan.

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalaridan foydalanib, biz tizimning har bir hodisasining ehtimollik mahsuloti yig'indisini olamiz. shartli ehtimollik ishlanmalar A tizimdagi har bir hodisa uchun. Ya'ni, voqea ehtimoli A formula bo'yicha hisoblash mumkin

yoki umuman

,

qaysi deyiladi umumiy ehtimollik formulasi .

Umumiy ehtimollik formulasi: masalani yechish misollari

1-misol Bir xil ko'rinishdagi uchta urna bor: birinchisida 2 ta oq va 3 ta qora shar, ikkinchisida - 4 ta oq va bitta qora, uchinchisida - uchta oq shar. Kimdir tasodifan urnalardan biriga yaqinlashadi va undan bitta to'pni oladi. Foyda olish umumiy ehtimollik formulasi, to'pning oq bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. Tadbir A- oq to'pning ko'rinishi. Biz uchta farazni ilgari surdik:

Birinchi urna tanlangan;

Ikkinchi urna tanlanadi;

Uchinchi urna tanlandi.

Shartli hodisa ehtimoli A har bir gipoteza uchun:

, , .

Biz umumiy ehtimollik formulasini qo'llaymiz, natijada - kerakli ehtimollik:

.

2-misol Birinchi zavodda har 100 ta lampochkadan o'rtacha 90 ta standart lampochka ishlab chiqariladi, ikkinchisida - 95 ta, uchinchisida - 85 tasi va ushbu zavodlarning mahsulotlari 50%, 30% va 20%, mos ravishda, ma'lum bir hududning do'konlariga etkazib beriladigan barcha elektr lampalaridan. Standart lampochkani sotib olish ehtimolini toping.

Yechim. Standart lampochkani olish ehtimolini quyidagicha belgilaymiz A, va sotib olingan lampochkaning mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi zavodlarda ishlab chiqarilgan hodisalari. Shartga ko'ra, bu hodisalarning ehtimolliklari ma'lum: , , va hodisaning shartli ehtimolliklari A ularning har biri haqida: , , . Bular mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi zavodlarda ishlab chiqarilgan bo'lsa, standart lampochkani sotib olish ehtimoli.

Tadbir A hodisa sodir bo'lsa yoki sodir bo'ladi K- lampochka birinchi zavodda ishlab chiqariladi va standart yoki hodisadir L- lampochka ikkinchi zavodda ishlab chiqariladi va standart yoki hodisadir M- lampochka uchinchi zavodda ishlab chiqariladi va standart hisoblanadi. Voqea sodir bo'lishining boshqa imkoniyatlari A yo'q. Shuning uchun, voqea A hodisalar yig'indisidir K, L va M mos kelmaydiganlar. Ehtimollarni qo'shish teoremasini qo'llagan holda, biz hodisaning ehtimolligini ifodalaymiz A sifatida

va ehtimollarni ko'paytirish teoremasi orqali biz olamiz

ya'ni, umumiy ehtimollik formulasining alohida holati.

Ehtimollarni formulaning chap tomoniga qo'yib, biz hodisaning ehtimolini olamiz A :

3-misol Samolyot aeroportga qo'nmoqda. Agar ob-havo imkon bersa, uchuvchi samolyotni asboblardan tashqari, vizual kuzatish yordamida ham qo'ndiradi. Bunday holda, muvaffaqiyatli qo'nish ehtimoli . Agar aerodrom bulutli bulutli bo'lsa, uchuvchi samolyotni faqat asboblarga yo'naltirgan holda qo'nadi. Bunday holda, muvaffaqiyatli qo'nish ehtimoli; . Ko'r-ko'rona qo'nishni ta'minlaydigan qurilmalar ishonchlilikka ega (nosozliksiz ishlash ehtimoli) P. Past bulutlilik va muvaffaqiyatsiz qo'nish asboblari mavjud bo'lganda, muvaffaqiyatli qo'nish ehtimoli; . Statistik ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, yilda k qo'nish%, aerodrom past bulutlar bilan qoplangan. Toping hodisaning to'liq ehtimoli A- samolyotning xavfsiz qo'nishi.

Yechim. Gipotezalar:

Past bulutli qoplama yo'q;

Past bulutlilik mavjud.

Ushbu gipotezalarning (hodisalar) ehtimoli:

;

Shartli ehtimollik.

Shartli ehtimollik yana gipotezalar bilan umumiy ehtimollik formulasi bilan topiladi

Ko'r-ko'rona qo'nish moslamalari ishlaydi;

Ko'r-ko'rona qo'nish asboblari muvaffaqiyatsiz tugadi.

Ushbu gipotezalarning ehtimolliklari:

Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra

4-misol Qurilma ikki rejimda ishlashi mumkin: normal va g'ayritabiiy. Oddiy rejim qurilmaning barcha ish holatlarining 80% da, g'ayritabiiy - 20% hollarda kuzatiladi. Muayyan vaqt ichida qurilmaning ishdan chiqishi ehtimoli t 0,1 ga teng; anormal holatda 0,7. Toping to'liq ehtimollik qurilmaning o'z vaqtida ishdan chiqishi t.

Yechim. Qurilmaning ishdan chiqishi ehtimolini yana bir bor belgilaymiz A. Shunday qilib, qurilmaning har bir rejimda (hodisalar) ishlashiga kelsak, ehtimolliklar shart bo'yicha ma'lum: normal rejim uchun bu 80% (), g'ayritabiiy rejim uchun - 20% (). Hodisa ehtimoli A(ya'ni qurilmaning ishdan chiqishi) birinchi hodisaga qarab (normal rejim) 0,1 (); ikkinchi hodisaga qarab (g'ayritabiiy rejim) - 0,7 ( ). Biz ushbu qiymatlarni umumiy ehtimollik formulasiga almashtiramiz (ya'ni, tizimning har bir hodisasi ehtimoli va hodisaning shartli ehtimolligi mahsuloti yig'indisi. A tizimning har bir hodisasi haqida) va biz kerakli natijaga egamiz.