Uslovna verovatnoća. Uslovna vjerovatnoća i najjednostavnije osnovne formule. Teorema množenja vjerovatnoća događaja, od kojih se jedan odvija pod uslovom drugog

4. Uslovna verovatnoća. Teorema množenja vjerovatnoće.

U mnogim problemima potrebno je pronaći vjerovatnoću kombinovanja događaja ALI i AT ako su vjerovatnoće događaja poznate ALI i AT.

Razmotrite sljedeći primjer. Neka se bace dva novčića. Pronađite vjerovatnoću pojave dva grba. Imamo 4 jednako vjerovatna parno nekompatibilna ishoda koji čine kompletnu grupu:

Sad nam javite da je grb pao na prvi novčić. Kako će se nakon ovoga promijeniti vjerovatnoća da će se grb pojaviti na oba novčića? Pošto je grb pao na prvi novčić, sada se puna grupa sastoji od dva jednako vjerovatna nespojiva ishoda:

verovatnoća novog događaja ALI, pod pretpostavkom da se dogodio događaj B, označićemo P B (A).

Na ovaj način, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Teorema množenja. Verovatnoća kombinovanja događaja A i B jednaka je proizvodu verovatnoće jednog od njih sa uslovnom verovatnoćom drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se prvi događaj desio, tj.

Dokaz. Dokažimo valjanost relacije (4) na osnovu klasične definicije vjerovatnoće. Pustite moguće ishode E 1, E 2, ..., E N ovog iskustva čine kompletnu grupu podjednako verovatnih parno nekompatibilnih događaja, od kojih je događaj A uslugu M ishode, i neka od ovih M ishodi L ishodi idu u prilog događaju B. Očigledno, kombinacija događaja A i B uslugu L od N mogući rezultati ispitivanja. Ovo daje ; ;
Na ovaj način,
Zamjena mjesta A i B, slično dobijamo
Teorema množenja može se lako generalizirati na bilo koji konačan broj događaja. Tako, na primjer, u slučaju tri događaja A 1, A2, A 3 imamo *
Uglavnom

Iz relacije (6) proizilazi da je iz dvije jednakosti (8) jedna posljedica druge.

Neka, na primjer, događaj A- izgled grba prilikom jednog bacanja novčića i događaj B- izgled karte dijamantske boje kada se karta izvadi iz špila. Očigledno događaji A i B nezavisni.

Ako su događaji nezavisni A to B formula (4) će poprimiti jednostavniji oblik:

* Događaj A 1 A 2 A 3 može se predstaviti kao kombinacija dva događaja: događaja C=A 1 A 2 i događaje A 3.

Razmotrite događaje A i B povezano sa istim iskustvom. Neka se iz nekih izvora sazna da je događaj B dogodio, ali nije poznato koji od elementarnih ishoda čine događaj B, desilo se. Šta se u ovom slučaju može reći o vjerovatnoći događaja A?

Vjerovatnoća događaja A, izračunato pod pretpostavkom da je događaj B dogodilo, uobičajeno je da se naziva uslovna vjerovatnoća i označava P(A|B).

uslovna verovatnoća P(A|B) razvoj događaja A predmet događaja B u okviru klasične šeme, prirodno je da se verovatnoća definiše kao odnos NAB ishode koji favorizuju zajedničku realizaciju događaja A i B, na broj NB ishodi koji favorizuju događaj B, to je

Ako brojilac i nazivnik ovog izraza podijelimo ukupnim brojem N elementarne rezultate, dobijamo

Definicija. Uslovna vjerovatnoća događaja A predmet događaja B naziva se odnos verovatnoće preseka događaja A i B na vjerovatnoću nekog događaja B:

Istovremeno se pretpostavlja da P(B) ≠ 0.

Teorema. Uslovna verovatnoća P(A|B) ima sva svojstva bezuslovne vjerovatnoće P(A).

Značenje ove teoreme je da je uslovna verovatnoća bezuslovna verovatnoća data na novom prostoru Ω 1 elementarni ishodi koji se poklapaju sa događajem B.

Primjer. Iz urne u kojoj a=7 belci i b=3 crne kuglice, dvije kuglice se izvlače nasumično bez zamjene. Neka događaj A 1 je da je prva izvučena lopta bijela, i A2- druga lopta je bela. Hteo sam da nađem P(A 2 |A 1).

Metoda 1.. Po definiciji uslovne vjerovatnoće

Metoda 2.. Pređimo na novi prostor elementarnih ishoda Ω 1. Od događaja A 1 dogodilo, to znači da je u novom prostoru elementarnih ishoda ukupan broj jednako mogućih ishoda NΩ 1 =a+b-1=9, i događaj A2 favorizuje to N A 2 = a-1 = 6 ishodi. shodno tome,

Teorema [množenje vjerovatnoća]. Neka događaj A=A 1 A 2 …A n i P(A)>0. Tada je tačna jednakost:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Komentar. Iz svojstva komutativnosti raskrsnice može se pisati

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Primjer. Slova koja formiraju riječ "SLAVUJ" ispisana su na 7 kartica. Karte se miješaju i tri karte se nasumično vade iz njih i polažu s lijeva na desno. Pronađite vjerovatnoću da će se dobiti riječ "VOL" (događaj A).

Neka događaj A 1- slovo "B" je napisano na prvoj kartici, A2- slovo "O" je napisano na drugoj kartici, A2- na trećoj kartici - slovo "L". Onda događaj A- ukrštanje događaja A 1, A2, A 3. shodno tome,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; ako događaj A 1 dogodilo, onda se na preostalih 6 karata “O” pojavljuje dva puta, što znači P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Isto tako, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. shodno tome,

Definicija. Razvoj A i B, koji imaju vjerovatnoću različitu od nule, nazivaju se nezavisnim ako je uslovna vjerovatnoća A pod uslovom B poklapa se sa bezuslovnom verovatnoćom A ili ako je uslovna vjerovatnoća B pod uslovom A poklapa se sa bezuslovnom verovatnoćom B, to je

P(A|B) = P(A) ili P(B|A) = P(B),

inače događaji A i B naziva zavisnim.

Teorema. Razvoj A i B, koji imaju vjerovatnoću različitu od nule, nezavisni su ako i samo ako

P(AB) = P(A) P(B).

Dakle, možemo dati ekvivalentnu definiciju:

Definicija. Razvoj A i B nazivaju se nezavisnim ako P(AB) = P(A) P(B).

Primjer. Iz špila karata koji sadrži n=36 kartice, jedna karta se izvlači nasumično. Označiti sa A događaj koji odgovara činjenici da će ekstrahirana karta biti vrh, i B- događaj koji odgovara izgledu "dame". Odredite da li su događaji zavisni A i B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Dakle, događaji A i B nezavisni. Isto tako, .

Neka ALI i AT su dva događaja koja se razmatraju u ovom testu. U ovom slučaju, pojava jednog od događaja može uticati na mogućnost nastanka drugog. Na primjer, pojava događaja ALI može uticati na događaj AT ili obrnuto. Da bi se uzela u obzir ovakva zavisnost nekih događaja od drugih, uvodi se koncept uslovne verovatnoće.

Definicija. Ako je vjerovatnoća događaja AT se nalazi pod uslovom da je događaj ALI dogodilo, zatim rezultirajuća vjerovatnoća događaja AT pozvao uslovna verovatnoća razvoj događaja AT. Za označavanje takve uslovne vjerovatnoće koriste se sljedeći simboli: R ALI ( AT) ili R(AT / ALI).

Napomena 2. Za razliku od uslovne verovatnoće, „bezuslovna“ verovatnoća se takođe uzima u obzir kada bilo koji uslov za nastanak nekog događaja AT nedostaje.

Primjer. Urna sadrži 5 kuglica, od kojih su 3 crvene, a 2 plave. Zauzvrat, iz njega se izvlači jedna lopta sa povratkom i bez povratka. Odrediti uslovnu vjerovatnoću izvlačenja crvene kuglice po drugi put, pod uslovom da je prvi put: a) crvena kugla; b) plava lopta.

Neka događaj ALI izvlači crvenu loptu po prvi put i događaj AT– vađenje crvene lopte po drugi put. Očigledno je da R(ALI) = 3 / 5; zatim u slučaju kada se loptica izvađena prvi put vrati u urnu, R(AT)=3/5. U slučaju kada izvučena lopta nije vraćena, postoji vjerovatnoća izvlačenja crvene kuglice R(AT) zavisi od toga koja je lopta prvi put izvučena - crvena (događaj ALI) ili plava (događaj). Onda u prvom slučaju R ALI ( AT) = 2 / 4, au drugom ( AT) = 3 / 4.

Teorema množenja vjerovatnoća događaja, od kojih se jedan odvija pod uslovom drugog

Vjerovatnoća proizvoda dva događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih uslovnom vjerovatnoćom drugog, koji se nalazi pod pretpostavkom da se prvi događaj dogodio:

R(A ∙ B) = R(ALI) ∙ R ALI ( AT) . (1.7)

Dokaz. Zaista, neka n- ukupan broj jednako vjerovatnih i nekompatibilnih (elementarnih) ishoda testa. Pusti to n 1 - broj ishoda koji favorizuju događaj ALI, koji se javlja na početku, i m- broj ishoda u kojima se događaj dogodi AT pod pretpostavkom da je događaj ALI Došlo. Na ovaj način, m je broj ishoda koji favorizuju događaj AT. Onda dobijamo:

One. vjerovatnoća proizvoda više događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od ovih događaja sa uslovnim vjerovatnoćama ostalih, a uslovna vjerovatnoća svakog sljedećeg događaja izračunava se pod pretpostavkom da su se dogodili svi prethodni događaji.

Primjer. U timu od 10 sportista su 4 majstora sporta. Žrijebom se iz tima biraju 3 sportista. Kolika je vjerovatnoća da su svi odabrani sportisti majstori sporta?

Rješenje. Svodimo problem na model “urne”, tj. Pretpostavimo da se u urni koja sadrži 10 kuglica nalaze 4 crvene i 6 bijelih kuglica. Iz ove urne nasumično se izvlače 3 lopte (odabir S= 3). Neka događaj ALI sastoji se od vađenja 3 loptice. Problem se može riješiti na dva načina: klasičnom šemom i formulom (1.9).

Prva metoda zasnovana na kombinatoričkoj formuli:

Drugi metod (po formuli (1.9)). Iz urne se izvlače 3 lopte uzastopno bez zamjene. Neka ALI 1 - prva izvučena lopta je crvena, ALI 2 - druga izvučena lopta je crvena, ALI 3 - treća izvučena lopta je crvena. Neka i događaj ALI znači da su sve 3 izvučene loptice crvene. onda: ALI = ALI 1 ∙ (ALI 2 / ALI 1) ∙ ALI 3 / (ALI 1 ∙ ALI 2), tj.

Primjer. Neka iz seta karata a, a, r, b, o, t karte se izvlače jedna po jedna. Kolika je vjerovatnoća da dobijete riječ" Posao” kada ih uzastopno savijate u jednu liniju s lijeva na desno?

Neka AT- događaj na kojem se dobije deklarirana riječ. Tada po formuli (1.9) dobijamo:

R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Teorema množenja vjerovatnoće poprima svoj najjednostavniji oblik kada proizvod formiraju događaji neovisni jedan o drugom.

Definicija. Događaj AT pozvao nezavisni sa događaja ALI ako se njegova vjerovatnoća ne mijenja bez obzira na to da li se događaj dogodio ALI ili ne. Dva događaja nazivaju se nezavisnim (zavisnim) ako pojava jednog od njih ne mijenja (mijenja) vjerovatnoću pojave drugog. Dakle, za ne zavisni događaji p(B/A) = R(AT) ili = R(AT), i za zavisne događaje R(AT/A)

Događaj. Prostor elementarnih događaja. Određeni događaj, nemoguć događaj. Zajednički, ne-zajednički događaji. Ekvivalentni događaji. Kompletna grupa događaja. Operacije na događajima.

Događaj je fenomen za koji se može reći da jeste ide ili ne dešava se, u zavisnosti od prirode samog događaja.

Ispod elementarni događaji povezani sa određenim testom razumiju sve nerazložljive rezultate tog testa. Svaki događaj koji se može dogoditi kao rezultat ovog testa može se smatrati određenim skupom elementarnih događaja.

Prostor elementarnih događaja naziva se proizvoljan skup (konačan ili beskonačan). Njegovi elementi su tačke (elementarni događaji). Podskupovi prostora elementarnih događaja nazivaju se događaji.

određeni događaj poziva se događaj koji će se, kao rezultat ovog testa, definitivno dogoditi; (označeno sa E).

Nemoguć događaj događaj se naziva takav događaj koji je rezultat datog testa ne može se desiti; (označeno sa U). Na primjer, pojavljivanje jednog od šest poena tokom jednog bacanja kockice- pouzdan događaj, a pojava 8 poena je nemoguća.

Dva događaja se zovu joint(kompatibilno) u datom iskustvu, ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Dva događaja se zovu nekompatibilno(nekompatibilno) u datom ispitivanju ako se ne mogu pojaviti zajedno u istom ispitivanju. Za nekoliko događaja se kaže da su nekompatibilni ako su parovi nekompatibilni.

Početak forme

Kraj forme

Tema broj 2. Aksiomatska definicija vjerovatnoće. Klasična, statistička, geometrijska definicija vjerovatnoće događaja. Svojstva vjerovatnoće. Teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća. nezavisnih događaja. Uslovna verovatnoća. Vjerovatnoća da će se barem jedan od događaja dogoditi. Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula

Naziva se numerička mjera stepena objektivne mogućnosti da se neki događaj dogodi vjerovatnoća događaja. Ova definicija, koja kvalitativno odražava koncept vjerovatnoće događaja, nije matematička. Da bi to bilo tako, potrebno ga je kvalitativno definirati.

Prema klasična definicija vjerovatnoća događaja A jednaka je omjeru broja slučajeva koji su za njega povoljni i ukupnog broja slučajeva, odnosno:

Gdje je P(A) vjerovatnoća događaja A.

Broj slučajeva pogodnih za događaj A

Ukupan broj slučajeva.

Statistička definicija vjerovatnoće:

Statistička vjerovatnoća događaja A je relativna učestalost pojave ovog događaja u obavljenim testovima, odnosno:

Gdje je statistička vjerovatnoća događaja A.

Relativna učestalost (učestalost) događaja A.

Broj ispitivanja u kojima su se pojavili događaji A

Ukupan broj pokušaja.

Za razliku od "matematičke" vjerovatnoće, razmatrane u klasičnoj definiciji, statistička vjerovatnoća je karakteristika eksperimentalnog, eksperimentalnog.

Ako postoji udio slučajeva koji favorizuje događaj A, koji je određen direktno, bez ikakvih suđenja, odnosno udio onih suđenja stvarno izvedenih u kojima se pojavio događaj A.

Geometrijska definicija vjerovatnoće:

Geometrijska vjerovatnoća događaja A je omjer mjere površine koja favorizuje pojavu događaja A i mjere svih površina, odnosno:

U jednodimenzionalnom slučaju:

Potrebno je procijeniti vjerovatnoću pogađanja tačke na CD-u/

Ispada da ova vjerovatnoća ne zavisi od lokacije CD-a na segmentu AB, već zavisi samo od njegove dužine.

Vjerojatnost udarca u tačku ne ovisi o oblicima ili o lokaciji B na A, već ovisi samo o površini ovog segmenta.

Uslovna verovatnoća

Vjerovatnoća se zove uslovno , ako se izračunava pod određenim uslovima i označava:

Ovo je vjerovatnoća događaja A. Izračunava se pod uslovom da se događaj B već dogodio.

Primjer. Napravimo test, izvučemo dvije karte iz špila: Prva vjerovatnoća je bezuslovna.

Izračunavamo vjerovatnoću izvlačenja asa iz špila:

Izračunavamo pojavu 2-keca iz špila:

A*B - zajednička pojava događaja

– teorema množenja vjerovatnoće

Posljedica:

Teorema množenja za zajedničku pojavu događaja ima oblik:

Odnosno, svaka sledeća verovatnoća se izračunava uzimajući u obzir da su se svi prethodni uslovi već dogodili.

Nezavisnost događaja:

Dva događaja se nazivaju nezavisnim ako pojava jednog nije u suprotnosti sa pojavom drugog.

Na primjer, ako se asovi više puta izvlače iz špila, tada su nezavisni jedan od drugog. Opet, to jest, karta je pogledana i vraćena nazad u špil.

Zajednički i neudruženi događaji:

Joint 2 događaja se pozivaju ako pojava jednog od njih nije u suprotnosti sa pojavom drugog.

Teorema sabiranja vjerovatnoća zajedničkih događaja:

Vjerovatnoća nastanka jednog od dva zajednička događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez njihovog zajedničkog nastupa.

Za tri zajednička događaja:

Događaji se nazivaju nekonzistentnim ako se dva od njih ne mogu pojaviti istovremeno kao rezultat jednog testa slučajnog eksperimenta.

Teorema: Vjerovatnoća pojave jednog od dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja.

Vjerovatnoća zbira događaja:

Teorema o dodavanju vjerovatnoće:

Vjerovatnoća zbira konačnog broja nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja:

Korol 1:

Zbir vjerovatnoća događaja koji formiraju kompletnu grupu jednak je jedan:

Korol 2:

komentar: Treba naglasiti da je razmatrana teorema sabiranja primjenjiva samo za nekompatibilne događaje.

Verovatnoća suprotnih događaja:

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu. Jedan od dva suprotna događaja je označen sa ALI, drugi - kroz .

Primjer: Pogađanje i promašaj prilikom gađanja mete su suprotni događaji. Ako je A pogodak, onda promašaj.

Teorema: Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan:

Napomena 1: Ako je vjerovatnoća jednog od dva suprotna događaja označena sa p, onda je vjerovatnoća drugog događaja označena sa q Dakle, na osnovu prethodne teoreme:

Napomena 2: Kada se rješavaju problemi za pronalaženje vjerovatnoće događaja A, često je korisno prvo izračunati vjerovatnoću događaja, a zatim pronaći željenu vjerovatnoću koristeći formulu:

Vjerovatnoća da se dogodi barem jedan događaj:

Pretpostavimo da se kao rezultat jednog eksperimenta može pojaviti neki dio ili nikakav događaj.

Teorema: Vjerovatnoća pojave barem jednog događaja iz skupa nezavisnih događaja jednaka je razlici između jedinice i njihove vjerovatnoće da se događaji ne nastupe.

Formula ukupne vjerovatnoće vam omogućava da pronađete vjerovatnoću događaja A, što se može dogoditi samo sa svakim od n međusobno isključivi događaji koji čine kompletan sistem ako su njihove vjerovatnoće poznate, i uslovne vjerovatnoće razvoj događaja A u odnosu na svaki od događaja u sistemu jednaki su .

Događaji se nazivaju i hipotezama, međusobno se isključuju. Stoga u literaturi možete pronaći i njihovu oznaku ne slovom B, ali sa pismom H(hipoteza).

Za rješavanje zadataka s takvim uvjetima potrebno je uzeti u obzir 3, 4, 5, ili u opštem slučaju n mogućnost događaja A- uz svaki događaj.

Koristeći teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća, dobijamo zbir proizvoda vjerovatnoće svakog od događaja u sistemu po uslovna verovatnoća razvoj događaja A za svaki događaj u sistemu. Odnosno, vjerovatnoća događaja A može se izračunati po formuli

ili uopšte

,

koji se zove formula ukupne vjerovatnoće .

Formula ukupne vjerovatnoće: primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Tri su urne identičnog izgleda: u prvoj su 2 bijele kugle i 3 crne, u drugoj - 4 bijele i jedna crna, u trećoj - tri bijele kugle. Neko nasumično priđe jednoj od urni i izvadi jednu loptu iz nje. Iskorištavanje formula ukupne vjerovatnoće, naći vjerovatnoću da je lopta bijela.

Rješenje. Događaj A- izgled bele lopte. Izneli smo tri hipoteze:

Odabrana prva urna;

Izabrana je druga urna;

Treća urna je izabrana.

Uslovne vjerovatnoće događaja A za svaku od hipoteza:

, , .

Primjenjujemo formulu ukupne vjerovatnoće, kao rezultat - traženu vjerovatnoću:

.

Primjer 2 U prvom pogonu na svakih 100 sijalica proizvede se u proseku 90 standardnih, u drugom 95, u trećem 85, a proizvodi ovih fabrika učestvuju sa 50%, 30% i 20%. odnosno svih električnih sijalica koje se isporučuju u prodavnice u određenom području. Pronađite vjerovatnoću kupovine standardne sijalice.

Rješenje. Označimo vjerovatnoću nabavke standardne sijalice kao A, te događaji da je kupljena sijalica proizvedena u prvoj, drugoj i trećoj fabrici, redom, preko . Po uslovu su poznate vjerovatnoće ovih događaja: , , i uslovne vjerovatnoće događaja A u vezi sa svakim od njih: , , . Ovo su vjerovatnoće nabavke standardne sijalice, pod uslovom da se proizvodi u prvoj, drugoj, odnosno trećoj fabrici.

Događaj Aće se dogoditi ako se dogodi neki događaj ili K- sijalica je napravljena u prvoj fabrici i standardna je, odnosno event L- sijalica je napravljena u drugoj fabrici i standardna je, odnosno event M- sijalica je proizvedena u trećoj fabrici i standardna je. Druge mogućnosti za nastanak događaja A br. Dakle, događaj A je zbir događaja K, L i M koji su nekompatibilni. Primjenjujući teoremu sabiranja vjerovatnoće, predstavljamo vjerovatnoću događaja A as

i teoremom množenja vjerovatnoće dobijamo

to je, poseban slučaj formule ukupne vjerovatnoće.

Zamjenom vjerovatnoće u lijevu stranu formule, dobijamo vjerovatnoću događaja A :

Primjer 3 Avion slijeće na aerodrom. Ako vremenske prilike dozvoljavaju, pilot spušta avion, uz pomoć instrumenata, uz vizuelno posmatranje. U ovom slučaju, vjerovatnoća uspješnog slijetanja je . Ako je aerodrom prekriven niskim oblacima, tada pilot slijeće avion, orijentirajući se samo na instrumentima. U ovom slučaju, vjerovatnoća uspješnog slijetanja je ; . Uređaji koji omogućavaju slijepo slijetanje imaju pouzdanost (vjerovatnost rada bez greške) P. U prisustvu niske oblačnosti i neispravnih instrumenata za slijepo slijetanje, vjerovatnoća uspješnog slijetanja je ; . Statistike pokazuju da u k% slijetanja, aerodrom je prekriven niskim oblacima. Nađi puna vjerovatnoća događaja A- bezbedno sletanje aviona.

Rješenje. hipoteze:

Nema niske oblačnosti;

Niska je oblačnost.

Vjerovatnoće ovih hipoteza (događaja):

;

Uslovna verovatnoća.

Uslovna vjerovatnoća se ponovo nalazi po formuli za ukupnu vjerovatnoću sa hipotezama

Uređaji za slijepo slijetanje rade;

Instrumenti za slijepo sletanje su otkazali.

Vjerovatnoće ovih hipoteza su:

Prema formuli ukupne vjerovatnoće

Primjer 4 Uređaj može raditi u dva načina rada: normalan i nenormalan. Normalan način rada se opaža u 80% svih slučajeva rada uređaja, a abnormalni - u 20% slučajeva. Vjerovatnoća kvara uređaja u određenom vremenu t jednako 0,1; u abnormalnom 0,7. Nađi puna vjerovatnoća kvar uređaja na vrijeme t.

Rješenje. Ponovo označavamo vjerovatnoću kvara uređaja kao A. Dakle, što se tiče rada uređaja u svakom režimu (događaju), vjerovatnoće su poznate po uslovu: za normalan način rada je 80% (), za abnormalni način rada - 20% (). Vjerovatnoća događaja A(odnosno kvar uređaja) u zavisnosti od prvog događaja (normalni režim) je 0,1 (); ovisno o drugom događaju (nenormalan način rada) - 0,7 ( ). Ove vrijednosti zamjenjujemo u formulu ukupne vjerovatnoće (to jest, zbir proizvoda vjerovatnoće svakog od događaja u sistemu i uslovne vjerovatnoće događaja A u vezi sa svakim od događaja u sistemu) i imamo traženi rezultat.