Uvjetna vjerojatnost. Uvjetna vjerojatnost i najjednostavnije osnovne formule. Teorem množenja vjerojatnosti događaja od kojih se jedan odvija pod uvjetom drugog

4. Uvjetna vjerojatnost. Teorem množenja vjerojatnosti.

U mnogim problemima potrebno je pronaći vjerojatnost kombiniranja događaja ALI i NA ako su poznate vjerojatnosti događaja ALI i NA.

Razmotrite sljedeći primjer. Neka se bace dva novčića. Odredite vjerojatnost pojave dvaju grbova. Imamo 4 jednako vjerojatna u paru nekompatibilna ishoda koji tvore potpunu skupinu:

Sad nam javi da je na prvi novčić pao grb. Kako će se nakon toga promijeniti vjerojatnost da će se grb pojaviti na oba novčića? Budući da je grb pao na prvi novčić, sada se puna grupa sastoji od dva jednako vjerojatna nekompatibilna ishoda:

vjerojatnost novog događaja ALI, pod pretpostavkom da se događaj dogodio B, označit ćemo P B (A).

Na ovaj način, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Teorem množenja. Vjerojatnost kombinacije događaja A i B jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, izračunatom pod pretpostavkom da se dogodio prvi događaj, tj.

Dokaz. Dokažimo valjanost relacije (4) na temelju klasične definicije vjerojatnosti. Neka mogući ishodi E 1, E 2, ..., E N ovog iskustva tvore cjelovitu skupinu jednako vjerojatnih u paru nekompatibilnih događaja, od kojih događaj A milost M ishodi, i neka od ovih M ishodi L ishodi idu u prilog događaju B. Očito, kombinacija događaja A i B milost L iz N moguće rezultate ispitivanja. Ovo daje ; ;
Na ovaj način,
Zamjena mjesta A i B, slično dobivamo
Teorem množenja može se lako generalizirati na bilo koji konačan broj događaja. Tako npr. u slučaju tri događaja A 1, A2, A 3 imamo *
Općenito

Iz relacije (6) proizlazi da je iz dviju jednakosti (8) jedna posljedica druge.

Neka, na primjer, događaj A- izgled grba prilikom jednog bacanja novčića i događaj B- izgled karte karo boje kada se karta ukloni iz špila. Očito događaji A i B nezavisna.

Ako su događaji neovisni A do B formula (4) će imati jednostavniji oblik:

* Događaj A 1 A 2 A 3 može se prikazati kao kombinacija dvaju događaja: događaja C=A 1 A 2 i događanja A 3.

Razmotrite događaje A i B povezana s istim iskustvom. Neka se iz nekih izvora sazna da je događaj B dogodio, ali nije poznato koji od elementarnih ishoda koji čine događaj B, dogodilo se. Što se u ovom slučaju može reći o vjerojatnosti događaja A?

Vjerojatnost događaja A, izračunato pod pretpostavkom da je događaj B dogodilo, uobičajeno je nazvati uvjetnu vjerojatnost i označiti P(A|B).

uvjetna vjerojatnost P(A|B) razvoja događaja A ovisno o događaju B u okviru klasične sheme vjerojatnost je prirodno definirati kao omjer NAB ishode koji pogoduju zajedničkoj provedbi događaja A i B, na broj NB ishodi koji idu u prilog događaju B, to je

Ako brojnik i nazivnik ovog izraza podijelimo s ukupnim brojem N elementarne ishode, dobivamo

Definicija. Uvjetna vjerojatnost događaja A ovisno o događaju B naziva se omjer vjerojatnosti presjeka događaja A i B na vjerojatnost događaja B:

Pritom se pretpostavlja da P(B) ≠ 0.

Teorema. Uvjetna vjerojatnost P(A|B) ima sva svojstva bezuvjetne vjerojatnosti GODIŠNJE).

Značenje ovog teorema je da je uvjetna vjerojatnost bezuvjetna vjerojatnost dana na novom prostoru Ω 1 elementarni ishodi koji se podudaraju s događajem B.

Primjer. Iz urne u kojoj se a=7 bijelci i b=3 crne kuglice, nasumično se izvlače dvije kuglice bez zamjene. Neka događaj A 1 je da je prva izvučena kuglica bijela, i A2- druga kuglica je bijela. Htio pronaći P(A 2 |A 1).

Metoda 1.. Po definiciji uvjetne vjerojatnosti

Metoda 2.. Prijeđimo na novi prostor elementarnih ishoda Ω 1. Od događaja A 1 dogodilo, to znači da je u novom prostoru elementarnih ishoda ukupan broj jednako mogućih ishoda NΩ 1 =a+b-1=9, i događaj A2 favorizira to N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 ishodi. Posljedično,

Teorem [množenje vjerojatnosti]. Neka događaj A=A 1 A 2 …A n i P(A)>0. Tada vrijedi jednakost:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Komentar. Iz svojstva komutativnosti presjeka može se pisati

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

Primjer. Na 7 kartica ispisana su slova koja tvore riječ "SLAVUJ". Karte se miješaju i tri karte se nasumično uklanjaju s njih i polažu s lijeva na desno. Nađite vjerojatnost da će se dobiti riječ "VOL" (događaj A).

Neka događaj A 1- na prvoj kartici je napisano slovo "B", A2- na drugoj kartici je napisano slovo "O", A2- na trećoj kartici - slovo "L". Zatim događaj A- sjecište događaja A 1, A2, A 3. Posljedično,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; ako događaj A 1 dogodilo, tada se na preostalih 6 karata "O" pojavljuje dva puta, što znači P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Također, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Posljedično,

Definicija. Razvoj događaja A i B, koji imaju vjerojatnost različitu od nule, nazivaju se neovisnima ako je uvjetna vjerojatnost A pod uvjetom B poklapa s bezuvjetnom vjerojatnošću A ili ako je uvjetna vjerojatnost B pod uvjetom A poklapa s bezuvjetnom vjerojatnošću B, to je

P(A|B) = P(A) ili P(B|A) = P(B),

inače događaji A i B naziva zavisnim.

Teorema. Razvoj događaja A i B, koji imaju vjerojatnost različitu od nule, nezavisni su ako i samo ako

P(AB) = P(A) P(B).

Dakle, možemo dati ekvivalentnu definiciju:

Definicija. Razvoj događaja A i B nazivaju se nezavisnim ako P(AB) = P(A) P(B).

Primjer. Iz špila karata koji sadrži n=36 karata, jedna karta se nasumično izvlači. Označimo sa A događaj koji odgovara činjenici da će izvađena karta biti vrh, i B- događaj koji odgovara izgledu "dame". Odredite jesu li događaji ovisni A i B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Prema tome, događaji A i B nezavisna. Također, .

Neka ALI i NA su dva događaja razmatrana u ovom testu. U tom slučaju, pojava jednog od događaja može utjecati na mogućnost pojave drugog. Na primjer, pojava događaja ALI može utjecati na događaj NA ili obrnuto. Kako bi se uzela u obzir takva ovisnost jednih događaja o drugima, uvodi se koncept uvjetne vjerojatnosti.

Definicija. Ako je vjerojatnost događaja NA nalazi se pod uvjetom da događaj ALI dogodilo, zatim rezultirajuća vjerojatnost događaja NA nazvao uvjetna vjerojatnost razvoja događaja NA. Za označavanje takve uvjetne vjerojatnosti koriste se sljedeći simboli: R ALI ( NA) ili R(AT / ALI).

Napomena 2. Za razliku od uvjetne vjerojatnosti, smatra se i "bezuvjetna" vjerojatnost, kada bilo koji uvjeti za pojavu nekog događaja NA nedostaje.

Primjer. Urna sadrži 5 kuglica, od kojih su 3 crvene i 2 plave. Redom se iz nje izvlači jedna kuglica s vraćanjem i bez vraćanja. Odredite uvjetnu vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice po drugi put, pod uvjetom da je prvi put izvučena: a) crvena kuglica; b) plavu kuglicu.

Neka događaj ALI po prvi put izvlači crvenu kuglicu, a događaj NA– izvlačenje crvene kuglice po drugi put. Očito je da R(ALI) = 3/5; zatim u slučaju kada se lopta izvađena prvi put vraća u urnu, R(NA)=3/5. U slučaju kada se izvučena kuglica ne vrati, vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice R(NA) ovisi o tome koja je kuglica prvi put izvučena - crvena (događaj ALI) ili plavo (događaj). Zatim u prvom slučaju R ALI ( NA) = 2 / 4, au drugom ( NA) = 3 / 4.

Teorem množenja vjerojatnosti događaja od kojih se jedan odvija pod uvjetom drugog

Vjerojatnost umnoška dva događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od njih s uvjetnom vjerojatnošću drugog, dobivenom pod pretpostavkom da se prvi događaj dogodio:

R(A ∙ B) = R(ALI) ∙ R ALI ( NA) . (1.7)

Dokaz. Doista, neka n- ukupan broj jednako vjerojatnih i nekompatibilnih (elementarnih) ishoda testa. Pusti to n 1 - broj ishoda koji pogoduju događaju ALI, koji se javlja na početku, i m- broj ishoda u kojima se događaj događa NA pod pretpostavkom da je događaj ALI je došao. Na ovaj način, m je broj ishoda koji pogoduju događaju NA. Zatim dobivamo:

Oni. vjerojatnost umnoška nekoliko događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti jednog od tih događaja s uvjetnim vjerojatnostima ostalih, a uvjetna vjerojatnost svakog sljedećeg događaja izračunava se pod pretpostavkom da su se svi prethodni događaji dogodili.

Primjer. U timu od 10 sportaša nalaze se 4 majstora sporta. Ždrijebom se iz ekipe biraju 3 sportaša. Kolika je vjerojatnost da su svi odabrani sportaši majstori sporta?

Riješenje. Svedimo problem na model “urne”, tj. Pretpostavimo da se u urni koja sadrži 10 kuglica nalaze 4 crvene kuglice i 6 bijelih. Iz ove urne nasumično se izvlače 3 kuglice (odabir S= 3). Neka događaj ALI sastoji se u vađenju 3 kuglice. Problem se može riješiti na dva načina: klasičnom shemom i formulom (1.9).

Prva metoda temelji se na formuli kombinatorike:

Druga metoda (po formuli (1.9)). 3 kuglice se uzastopno izvlače iz urne bez zamjene. Neka ALI 1 - prva izvučena kuglica je crvena, ALI 2 - druga izvučena kuglica je crvena, ALI 3 - treća izvučena kuglica je crvena. Neka i događaj ALI znači da su sve 3 izvučene kuglice crvene. Zatim: ALI = ALI 1 ∙ (ALI 2 / ALI 1) ∙ ALI 3 / (ALI 1 ∙ ALI 2), tj.

Primjer. Neka iz seta karata a, a, r, b, o, t karte se izvlače jedna po jedna. Koja je vjerojatnost da dobijete riječ " Raditi” kada ih uzastopno savijate u jedan red s lijeva na desno?

Neka NA- događaj na kojem se dobiva deklarirana riječ. Tada formulom (1.9) dobivamo:

R(NA) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Teorem množenja vjerojatnosti poprima svoj najjednostavniji oblik kada umnožak čine događaji neovisni jedni o drugima.

Definicija. Događaj NA nazvao nezavisna od događaja ALI ako se njegova vjerojatnost ne mijenja bez obzira na to je li se događaj dogodio ALI ili ne. Dva događaja nazivaju se neovisnima (ovisnima) ako pojava jednog od njih ne mijenja (mijenja) vjerojatnost pojavljivanja drugog. Dakle, za ne ovisni događaji p(B/A) = R(NA) ili = R(NA), i za ovisne događaje R(NA/A)

Događaj. Prostor elementarnih događaja. Određen događaj, nemoguć događaj. Zajednički, ne zajednički događaji. Ekvivalentni događaji. Kompletna grupa događaja. Operacije nad događajima.

Događaj je pojava za koju se može reći da je ići na ili ne događa se, ovisno o prirodi samog događaja.

Pod, ispod elementarni događaji povezan s određenim testom razumjeti sve nerazdvojive rezultate tog testa. Svaki događaj koji se može dogoditi kao rezultat ovog testa može se smatrati određenim skupom elementarnih događaja.

Prostor elementarnih događaja naziva se proizvoljan skup (konačan ili beskonačan). Njegovi elementi su točke (elementarni događaji). Podskupovi prostora elementarnih događaja nazivaju se događaji.

određeni događaj naziva se događaj koji će se, kao rezultat ovog testa, sigurno dogoditi; (označeno s E).

Nemoguć događaj događajem se naziva takav događaj koji kao rezultat zadanog testa ne može se dogoditi; (označeno s U). Na primjer, pojava jedne od šest točaka tijekom jednog bacanja kocke- pouzdan događaj, a pojavljivanje 8 bodova je nemoguće.

Dva događaja se zovu spojnica(kompatibilni) u danom iskustvu, ako pojava jednoga od njih ne isključuje pojavu drugoga.

Dva događaja se zovu nekompatibilan(nekompatibilne) u određenom ispitivanju ako se ne mogu pojaviti zajedno u istom ispitivanju. Za nekoliko događaja kaže se da su nekompatibilni ako su u paru nekompatibilni.

Početak obrasca

Kraj forme

Tema broj 2. Aksiomatska definicija vjerojatnosti. Klasična, statistička, geometrijska definicija vjerojatnosti događaja. Svojstva vjerojatnosti. Teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti. nezavisni događaji. Uvjetna vjerojatnost. Vjerojatnost da će se barem jedan od događaja dogoditi. Formula ukupne vjerojatnosti. Bayesova formula

Brojčana mjera stupnja objektivne mogućnosti da se neki događaj dogodi naziva se vjerojatnost događaja. Ova definicija, koja kvalitativno odražava koncept vjerojatnosti događaja, nije matematička. Da bi to bilo potrebno ga je kvalitativno definirati.

Prema klasična definicija vjerojatnost događaja A jednaka je omjeru broja pogodnih slučajeva prema ukupnom broju slučajeva, odnosno:

Gdje je P(A) vjerojatnost događaja A.

Broj slučajeva pogodnih za događaj A

Ukupan broj slučajeva.

Statistička definicija vjerojatnosti:

Statistička vjerojatnost događaja A je relativna učestalost pojavljivanja tog događaja u provedenim testovima, to jest:

Gdje je statistička vjerojatnost događaja A.

Relativna učestalost (učestalost) događaja A.

Broj pokusa u kojima se pojavio događaj A

Ukupan broj pokušaja.

Za razliku od "matematičke" vjerojatnosti, razmatrane u klasičnoj definiciji, statistička vjerojatnost je karakteristika eksperimentalnog, eksperimentalnog.

Ako postoji udio slučajeva koji favoriziraju događaj A, koji se utvrđuje izravno, bez ikakvih ispitivanja, odnosno udio onih stvarno izvedenih ispitivanja u kojima se pojavio događaj A.

Geometrijska definicija vjerojatnosti:

Geometrijska vjerojatnost događaja A je omjer mjere površine koja pogoduje pojavi događaja A i mjere svih površina, to jest:

U jednodimenzionalnom slučaju:

Potrebno je procijeniti vjerojatnost pogađanja točke na CD-u/

Ispada da ta vjerojatnost ne ovisi o položaju CD na segmentu AB, već ovisi samo o njegovoj duljini.

Vjerojatnost pogađanja točke ne ovisi o oblicima ili o položaju B na A, već ovisi samo o području ovog segmenta.

Uvjetna vjerojatnost

Vjerojatnost se zove uvjetno , ako se izračunava pod određenim uvjetima i označava:

To je vjerojatnost događaja A. Izračunava se pod uvjetom da se događaj B već dogodio.

Primjer. Napravimo test, izvadimo dvije karte iz špila: Prva vjerojatnost je bezuvjetna.

Izračunavamo vjerojatnost izvlačenja asa iz špila:

Izračunavamo pojavu 2 asa iz špila:

A*B - zajednička pojava događaja

– teorem množenja vjerojatnosti

Posljedica:

Teorem množenja za zajedničko zbivanje događaja ima oblik:

Odnosno, svaka sljedeća vjerojatnost izračunava se uzimajući u obzir da su se svi prethodni uvjeti već dogodili.

Neovisnost događaja:

Dva događaja se nazivaju neovisnima ako pojava jednog nije u suprotnosti s pojavom drugog.

Na primjer, ako se asovi više puta izvlače iz špila, tada su neovisni jedan o drugome. Opet, odnosno karta je pogledana i vraćena natrag u špil.

Zajednički i nezajednički događaji:

spojnica 2 događaja se pozivaju ako pojava jednog od njih nije u suprotnosti s pojavom drugog.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti zajedničkih događaja:

Vjerojatnost nastanka jednog od dva zajednička događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez njihovog zajedničkog događanja.

Za tri zajednička događaja:

Događaji se nazivaju nekonzistentnima ako se dva od njih ne mogu pojaviti istovremeno kao rezultat jednog testa slučajnog eksperimenta.

Teorema: Vjerojatnost pojave jednog od dva nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.

Vjerojatnost zbroja događaja:

Teorem zbrajanja vjerojatnosti:

Vjerojatnost zbroja konačnog broja nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:

Korolar 1:

Zbroj vjerojatnosti događaja koji tvore potpunu grupu jednak je jedan:

Posljedica 2:

Komentar: Treba naglasiti da je razmatrani adicijski teorem primjenjiv samo za nekompatibilne događaje.

Vjerojatnost suprotnih događaja:

Suprotan nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine potpunu skupinu. Jedan od dva suprotna događaja je označen sa ALI, drugi - kroz .

Primjer: Pogodak i promašaj pri gađanju mete suprotni su događaji. Ako je A pogodak, onda je promašaj.

Teorema: Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja jednak je jedan:

Napomena 1: Ako je vjerojatnost jednog od dva suprotna događaja označena s p, tada je vjerojatnost drugog događaja označena s q Dakle, na temelju prethodnog teorema:

Napomena 2: Prilikom rješavanja problema za pronalaženje vjerojatnosti događaja A, često je korisno prvo izračunati vjerojatnost događaja, a zatim pronaći željenu vjerojatnost pomoću formule:

Vjerojatnost da se dogodi barem jedan događaj:

Pretpostavimo da se kao rezultat eksperimenta može pojaviti jedan, dio ili nikakav događaj.

Teorema: Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog događaja iz skupa neovisnih događaja jednaka je razlici između jedinice i njihove vjerojatnosti nepojavljivanja događaja.

Formula ukupne vjerojatnosti omogućuje vam da pronađete vjerojatnost događaja A, koji se može pojaviti samo sa svakim od n međusobno isključivi događaji koji tvore potpuni sustav ako su njihove vjerojatnosti poznate, i uvjetne vjerojatnosti razvoja događaja A s obzirom na svaki od događaja sustava jednaki su .

Događaji se također nazivaju hipotezama, oni se međusobno isključuju. Stoga u literaturi možete pronaći i njihovu oznaku ne slovom B, ali sa pismom H(hipoteza).

Za rješavanje problema s takvim uvjetima potrebno je razmotriti 3, 4, 5 ili općenito n mogućnost događaja A- uz svaki događaj.

Koristeći teoreme zbrajanja i množenja vjerojatnosti, dobivamo zbroj umnožaka vjerojatnosti svakog od događaja sustava prema uvjetna vjerojatnost razvoja događaja A za svaki događaj u sustavu. Odnosno, vjerojatnost događaja A može se izračunati po formuli

ili općenito

,

koji se zove formula ukupne vjerojatnosti .

Formula potpune vjerojatnosti: primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Postoje tri urne identičnog izgleda: u prvoj su 2 bijele kugle i 3 crne, u drugoj - 4 bijele i jedna crna, u trećoj - tri bijele kugle. Netko nasumično priđe jednoj od urni i iz nje izvadi jednu kuglu. Iskorištavati formula ukupne vjerojatnosti, pronađite vjerojatnost da je lopta bijela.

Riješenje. Događaj A- izgled bijele lopte. Postavili smo tri hipoteze:

Odabrana prva urna;

Odabere se druga urna;

Odabrana je treća urna.

Uvjetne vjerojatnosti događaja A za svaku od hipoteza:

, , .

Primjenjujemo formulu ukupne vjerojatnosti, kao rezultat - traženu vjerojatnost:

.

Primjer 2 U prvoj tvornici od svakih 100 žarulja u prosjeku se proizvodi 90 standardnih žarulja, u drugoj 95, u trećoj 85, a proizvodi ovih tvornica čine 50%, 30% i 20%, odnosno svih električnih žarulja isporučenih trgovinama u određenom području. Nađite vjerojatnost kupnje standardne žarulje.

Riješenje. Označimo vjerojatnost nabave standardne žarulje kao A, te događaja da je kupljena žarulja proizvedena u prvoj, drugoj odnosno trećoj tvornici do . Po uvjetu su poznate vjerojatnosti ovih događaja: , , i uvjetne vjerojatnosti događaja A u vezi sa svakim od njih: , , . Ovo su vjerojatnosti nabave standardne žarulje, pod uvjetom da je proizvedena u prvoj, drugoj i trećoj tvornici.

Događaj A dogodit će se ako se dogodi događaj ili K- žarulja se radi u prvoj tvornici i standardna je ili event L- žarulja je napravljena u drugoj tvornici i standardna je ili event M- žarulja je proizvedena u trećoj tvornici i standardna je. Druge mogućnosti za nastanak događaja A Ne. Stoga se događaj A je zbroj događaja K, L i M koji su nekompatibilni. Primjenom teorema zbrajanja vjerojatnosti predstavljamo vjerojatnost događaja A kao

a teoremom množenja vjerojatnosti dobivamo

to je, poseban slučaj formule ukupne vjerojatnosti.

Zamjenom vjerojatnosti u lijevu stranu formule dobivamo vjerojatnost događaja A :

Primjer 3 Zrakoplov slijeće u zračnu luku. Ako vremenski uvjeti dopuštaju, pilot spušta avion koristeći se, osim instrumentima, i vizualnim promatranjem. U ovom slučaju, vjerojatnost uspješnog slijetanja je . Ako je uzletište oblačno s niskim oblacima, tada pilot spušta avion, orijentirajući se samo na instrumente. U ovom slučaju, vjerojatnost uspješnog slijetanja je ; . Uređaji koji omogućuju slijepo slijetanje imaju pouzdanost (vjerojatnost rada bez greške) P. U prisustvu niske naoblake i neispravnih instrumenata za slijepo slijetanje, vjerojatnost uspješnog slijetanja je ; . Statistika pokazuje da je u k% slijetanja, uzletište je prekriveno niskim oblacima. Pronaći puna vjerojatnost događaja A- sigurno slijetanje zrakoplova.

Riješenje. Hipoteze:

Niske naoblake nema;

Niska je naoblaka.

Vjerojatnosti ovih hipoteza (događaja):

;

Uvjetna vjerojatnost.

Uvjetna vjerojatnost se opet nalazi formulom za ukupnu vjerojatnost s hipotezama

Uređaji za slijepo slijetanje rade;

Instrumenti za slijepo slijetanje nisu uspjeli.

Vjerojatnosti ovih hipoteza su:

Prema formuli ukupne vjerojatnosti

Primjer 4 Uređaj može raditi u dva načina: normalno i nenormalno. Normalni način rada promatra se u 80% svih slučajeva rada uređaja, a nenormalan - u 20% slučajeva. Vjerojatnost kvara uređaja u određenom vremenu t jednako 0,1; u abnormalnom 0,7. Pronaći puna vjerojatnost kvar uređaja na vrijeme t.

Riješenje. Ponovno označavamo vjerojatnost kvara uređaja kao A. Dakle, što se tiče rada uređaja u svakom načinu rada (događaja), vjerojatnosti su poznate prema uvjetu: za normalni način rada je 80% (), za nenormalni način rada - 20% (). Vjerojatnost događaja A(odnosno kvar uređaja) ovisno o prvom događaju (normalni način rada) iznosi 0,1 (); ovisno o drugom događaju (abnormalni način) - 0,7 ( ). Zamjenjujemo ove vrijednosti u formulu ukupne vjerojatnosti (to jest, zbroj umnožaka vjerojatnosti svakog događaja u sustavu i uvjetne vjerojatnosti događaja A glede svakog od događaja sustava) i imamo traženi rezultat.