ანტაგონისტური თამაშები უწყვეტი სტრატეგიებით. მატრიცის ანტაგონისტური თამაშების გადაჭრა ანტაგონისტური თამაშების გადაჭრა ონლაინ

ორპირიანი ნულოვანი ჯამის თამაში ეწოდება, რომელშიც თითოეულ მათგანს აქვს სტრატეგიების სასრული ნაკრები. მატრიცული თამაშის წესები განისაზღვრება ანაზღაურების მატრიცით, რომლის ელემენტებია პირველი მოთამაშის ანაზღაურება, რაც ასევე არის მეორე მოთამაშის ზარალი.

მატრიცის თამაში ანტაგონისტური თამაშია. პირველი მოთამაშე იღებს მაქსიმალურ გარანტირებულ (არ არის დამოკიდებული მეორე მოთამაშის ქცევაზე) ანაზღაურებას თამაშის ფასის ტოლფასი, ანალოგიურად, მეორე მოთამაშე აღწევს მინიმალურ გარანტირებულ წაგებას.

ქვეშ სტრატეგია გაგებულია, როგორც წესების (პრინციპების) ერთობლიობა, რომელიც განსაზღვრავს მოქმედებების ვარიანტს მოთამაშის თითოეული პირადი ნაბიჯისთვის, არსებული სიტუაციიდან გამომდინარე.

ახლა ყველაფერი წესრიგში და დეტალურად.

ანაზღაურების მატრიცა, სუფთა სტრატეგიები, თამაშის ფასი

AT მატრიცის თამაში მისი წესები განისაზღვრება ანაზღაურების მატრიცა .

განვიხილოთ თამაში, რომელშიც ორი მონაწილეა: პირველი და მეორე მოთამაშე. დაე, პირველ მოთამაშეს ჰქონდეს მსუფთა სტრატეგიები და მეორე მოთამაშის განკარგულებაში - ნსუფთა სტრატეგიები. ვინაიდან თამაში განიხილება, ბუნებრივია, რომ ამ თამაშში არის მოგება და წაგება.

AT გადახდის მატრიცა ელემენტები არის რიცხვები, რომლებიც გამოხატავენ მოთამაშეთა მოგებას და ზარალს. მოგება და წაგება შეიძლება გამოიხატოს ქულებით, ფულით ან სხვა ერთეულებით.

მოდით შევქმნათ ანაზღაურების მატრიცა:

თუ პირველი მოთამაშე აირჩევს მე-ე სუფთა სტრატეგია და მეორე მოთამაშე ჯ-ე სუფთა სტრატეგია, მაშინ პირველი მოთამაშის ანაზღაურება არის აიჯერთეულები და მეორე მოთამაშის დაკარგვაც აიჯერთეულები.

იმიტომ რომ აij + (- ა ij ) = 0, მაშინ აღწერილი თამაში არის ნულოვანი ჯამის მატრიცული თამაში.

მატრიცული თამაშის უმარტივესი მაგალითია მონეტის სროლა. თამაშის წესები ასეთია. პირველი და მეორე მოთამაშეები აგდებენ მონეტას და შედეგი არის თავები ან კუდები. თუ თავები და თავები ან კუდები ან კუდები ერთდროულად დაიძვრება, მაშინ პირველი მოთამაშე მოიგებს ერთ ერთეულს, ხოლო სხვა შემთხვევაში ის წააგებს ერთ ერთეულს (მეორე მოთამაშე მოიგებს ერთ ერთეულს). იგივე ორი სტრატეგია მეორე მოთამაშის განკარგულებაშია. შესაბამისი ანაზღაურების მატრიცა იქნება:

თამაშის თეორიის ამოცანაა დაადგინოს პირველი მოთამაშის სტრატეგიის არჩევანი, რომელიც უზრუნველყოფს მას მაქსიმალური საშუალო მოგების გარანტიას, ისევე როგორც მეორე მოთამაშის სტრატეგიის არჩევას, რომელიც უზრუნველყოფს მას მაქსიმალური საშუალო ზარალის გარანტიას.

როგორ არჩევენ სტრატეგიას მატრიცულ თამაშში?

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ანაზღაურების მატრიცას:

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პირველი მოთამაშის ანაზღაურებას, თუ ის იყენებს მეწმინდა სტრატეგია. თუ პირველი მოთამაშე იყენებს მე- სუფთა სტრატეგია, მაშინ ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ მეორე მოთამაშე გამოიყენებს ისეთ სუფთა სტრატეგიას, რის გამოც პირველი მოთამაშის ანაზღაურება მინიმალური იქნება. თავის მხრივ, პირველი მოთამაშე გამოიყენებს ისეთ სუფთა სტრატეგიას, რომელიც უზრუნველყოფს მას მაქსიმალურ ანაზღაურებას. ამ პირობებიდან გამომდინარე, პირველი მოთამაშის ანაზღაურება, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ, როგორც ვ1 , ეწოდება მაქსიმალური გამარჯვება ან დაბალი თამაშის ფასი .

ზე ამ მნიშვნელობებისთვის, პირველი მოთამაშე უნდა იმოქმედოს შემდეგნაირად. თითოეული სტრიქონიდან ჩაწერეთ მინიმალური ელემენტის მნიშვნელობა და აირჩიეთ მათგან მაქსიმუმი. ამრიგად, პირველი მოთამაშის ანაზღაურება იქნება მინიმუმის მაქსიმუმი. აქედან მომდინარეობს სახელი - maximin win. ამ ელემენტის ხაზის ნომერი იქნება პირველი მოთამაშის მიერ არჩეული სუფთა სტრატეგიის რაოდენობა.

ახლა განვსაზღვროთ მეორე მოთამაშის წაგება თუ ის იყენებს ჯ- სტრატეგია. ამ შემთხვევაში, პირველი მოთამაშე იყენებს საკუთარ სუფთა სტრატეგიას, რომელშიც მეორე მოთამაშის წაგება იქნება მაქსიმალური. მეორე მოთამაშემ უნდა აირჩიოს ისეთი სუფთა სტრატეგია, რომელშიც მისი დანაკარგი მინიმალური იქნება. მეორე მოთამაშის დაკარგვა, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ, როგორც ვ2 , ეწოდება მინიმალური დანაკარგი ან თამაშის ყველაზე მაღალი ფასი .

ზე თამაშის ფასზე პრობლემების გადაჭრა და სტრატეგიის განსაზღვრა მეორე მოთამაშისთვის ამ მნიშვნელობების დასადგენად, გააგრძელეთ შემდეგნაირად. თითოეული სვეტიდან ჩაწერეთ მაქსიმალური ელემენტის მნიშვნელობა და აირჩიეთ მათგან მინიმალური. ამრიგად, მეორე მოთამაშის წაგება იქნება მაქსიმუმის მინიმუმი. აქედან მოდის სახელწოდება - მინიმალური მომატება. ამ ელემენტის სვეტის ნომერი იქნება მეორე მოთამაშის მიერ არჩეული სუფთა სტრატეგიის რაოდენობა. თუ მეორე მოთამაშე იყენებს „მინიმქსს“, მაშინ, მიუხედავად პირველი მოთამაშის მიერ სტრატეგიის არჩევისა, ის მაქსიმუმ წააგებს. ვ2 ერთეულები.

მაგალითი 1

.

რიგების უმცირესი ელემენტებიდან ყველაზე დიდი არის 2, ეს არის თამაშის დაბალი ფასი, პირველი რიგი შეესაბამება მას, შესაბამისად, პირველი მოთამაშის მაქსიმალური სტრატეგია პირველია. სვეტების უდიდესი ელემენტებიდან ყველაზე პატარა არის 5, ეს არის თამაშის ზედა ფასი, მეორე სვეტი შეესაბამება მას, შესაბამისად, მეორე მოთამაშის მინიმალური სტრატეგია არის მეორე.

ახლა, როდესაც ჩვენ ვისწავლეთ თამაშის ქვედა და ზედა ფასის პოვნა, მაქსიმალური და მინიმალური სტრატეგიები, დროა ვისწავლოთ, როგორ გამოვყოთ ეს ცნებები ფორმალურად.

ასე რომ, პირველი მოთამაშის გარანტირებული ანაზღაურებაა:

პირველმა მოთამაშემ უნდა აირჩიოს სუფთა სტრატეგია, რომელიც უზრუნველყოფს მას მინიმალური ანაზღაურების მაქსიმუმს. ეს მოგება (მაქსიმინი) აღინიშნება შემდეგნაირად:

.

პირველი მოთამაშე იყენებს თავის სუფთა სტრატეგიას, რათა მეორე მოთამაშის წაგება იყოს მაქსიმალური. ეს დანაკარგი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მეორე მოთამაშემ უნდა აირჩიოს თავისი სუფთა სტრატეგია ისე, რომ მისი დანაკარგი იყოს მინიმალური. ეს დანაკარგი (მინიმუმი) აღინიშნება შემდეგნაირად:

.

კიდევ ერთი მაგალითი იმავე სერიიდან.

მაგალითი 2მოცემულია მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

.

განსაზღვრეთ პირველი მოთამაშის მაქსიმალური სტრატეგია, მეორე მოთამაშის მინიმალური სტრატეგია, თამაშის ქვედა და ზედა ფასი.

გამოსავალი. ანაზღაურების მატრიცის მარჯვნივ, ჩვენ ვწერთ მის რიგებში ყველაზე პატარა ელემენტებს და აღვნიშნავთ მათ მაქსიმუმს, ხოლო მატრიცის ქვემოდან - ყველაზე დიდ ელემენტებს სვეტებში და ვირჩევთ მათ მინიმუმს:

მწკრივების უმცირესი ელემენტებიდან ყველაზე დიდი არის 3, ეს არის თამაშის დაბალი ფასი, მეორე რიგი შეესაბამება მას, შესაბამისად, პირველი მოთამაშის მაქსიმალური სტრატეგია მეორეა. სვეტების უდიდესი ელემენტებიდან ყველაზე პატარა არის 5, ეს არის თამაშის ზედა ფასი, მას შეესაბამება პირველი სვეტი, შესაბამისად, მეორე მოთამაშის მინიმალური სტრატეგია პირველია.

უნაგირის წერტილი მატრიცულ თამაშებში

თუ თამაშის ზედა და ქვედა ფასი ერთნაირია, მაშინ მატრიცულ თამაშს ჩაითვლება უნაგირის წერტილი. პირიქითაც მართალია: თუ მატრიცულ თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ მატრიცის თამაშის ზედა და ქვედა ფასები ერთნაირია. შესაბამისი ელემენტი არის როგორც ყველაზე პატარა რიგში, ასევე ყველაზე დიდი სვეტში და უდრის თამაშის ფასს.

ამრიგად, თუ , მაშინ არის პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია და არის მეორე მოთამაშის ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია. ანუ, თამაშის თანაბარი ქვედა და ზედა ფასები მიიღწევა იმავე წყვილ სტრატეგიაზე.

Ამ შემთხვევაში მატრიცულ თამაშს აქვს გამოსავალი სუფთა სტრატეგიებში .

მაგალითი 3მოცემულია მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

.

გამოსავალი. ანაზღაურების მატრიცის მარჯვნივ, ჩვენ ვწერთ მის რიგებში ყველაზე პატარა ელემენტებს და აღვნიშნავთ მათ მაქსიმუმს, ხოლო მატრიცის ქვემოდან - ყველაზე დიდ ელემენტებს სვეტებში და ვირჩევთ მათ მინიმუმს:

თამაშის დაბალი ფასი იგივეა, რაც თამაშის ზედა ფასი. ამრიგად, თამაშის ფასი არის 5. ანუ . თამაშის ფასი უდრის უნაგირის წერტილის მნიშვნელობას. პირველი მოთამაშის მაქსიმალური სტრატეგია არის მეორე სუფთა სტრატეგია, ხოლო მეორე მოთამაშის მინიმალური სტრატეგია არის მესამე სუფთა სტრატეგია. ამ მატრიცულ თამაშს აქვს გამოსავალი სუფთა სტრატეგიებში.

თავად მოაგვარეთ მატრიცული თამაშის პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი

მაგალითი 4მოცემულია მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

.

იპოვნეთ თამაშის ქვედა და ზედა ფასი. აქვს თუ არა ამ მატრიცის თამაშს უნაგირის წერტილი?

მატრიცული თამაშები ოპტიმალური შერეული სტრატეგიით

უმეტეს შემთხვევაში, მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი, ამიტომ შესაბამის მატრიცულ თამაშს არ აქვს სუფთა სტრატეგიული გადაწყვეტილებები.

მაგრამ მას აქვს გამოსავალი ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიებში. მათ საპოვნელად უნდა ვივარაუდოთ, რომ თამაში საკმარისად მეორდება, რომ გამოცდილებიდან გამომდინარე, გამოიცნოს რომელი სტრატეგია არის სასურველი. აქედან გამომდინარე, გადაწყვეტილება ასოცირდება ალბათობის და საშუალო (მოლოდინის) კონცეფციასთან. საბოლოო გადაწყვეტაში არის როგორც უნაგირების წერტილის ანალოგი (ანუ თამაშის ქვედა და ზედა ფასების თანასწორობა), ასევე მათ შესაბამისი სტრატეგიების ანალოგი.

ასე რომ, იმისათვის, რომ პირველმა მოთამაშემ მიიღოს მაქსიმალური საშუალო მოგება და მეორე მოთამაშეს ჰქონდეს მინიმალური საშუალო დანაკარგი, სუფთა სტრატეგიები უნდა იქნას გამოყენებული გარკვეული ალბათობით.

თუ პირველი მოთამაშე იყენებს სუფთა სტრატეგიებს ალბათობით , შემდეგ ვექტორი ეწოდება პირველი მოთამაშის შერეულ სტრატეგიას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის სუფთა სტრატეგიების „ნარევი“. ამ ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

.

თუ მეორე მოთამაშე იყენებს სუფთა სტრატეგიებს ალბათობით , შემდეგ ვექტორი მეორე მოთამაშის შერეულ სტრატეგიას უწოდებენ. ამ ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

.

თუ პირველი მოთამაშე იყენებს შერეულ სტრატეგიას გვ, ხოლო მეორე მოთამაშე - შერეული სტრატეგია ქ, მაშინ აზრი აქვს მოსალოდნელი ღირებულება პირველი მოთამაშე იგებს (მეორე მოთამაშე აგებს). მის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მოთამაშის შერეული სტრატეგიის ვექტორი (რომელიც იქნება ერთი რიგის მატრიცა), ანაზღაურების მატრიცა და მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგიის ვექტორი (რომელიც იქნება ერთსვეტიანი მატრიცა):

.

მაგალითი 5მოცემულია მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

.

დაადგინეთ პირველი მოთამაშის მოგების მათემატიკური მოლოდინი (მეორე მოთამაშის წაგება), თუ პირველი მოთამაშის შერეული სტრატეგია არის , ხოლო მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგია არის .

გამოსავალი. პირველი მოთამაშის მოგების მათემატიკური მოლოდინის ფორმულის მიხედვით (მეორე მოთამაშის ზარალი), ის უდრის პირველი მოთამაშის შერეული სტრატეგიის ვექტორის, ანაზღაურების მატრიცის და მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგიის ვექტორის ნამრავლს:

პირველ მოთამაშეს უწოდებენ ისეთ შერეულ სტრატეგიას, რომელიც უზრუნველყოფს მას მაქსიმალურ საშუალო ანაზღაურებას, თუ თამაში განმეორდება საკმარისი რაოდენობით.

ოპტიმალური შერეული სტრატეგია მეორე მოთამაშეს ეძახიან ისეთ შერეულ სტრატეგიას, რომელიც უზრუნველყოფს მას მინიმალური საშუალო წაგებით, თუ თამაში განმეორდება საკმარისი რაოდენობით.

სუფთა სტრატეგიების შემთხვევაში მაქსიმინისა და მინიმქსის აღნიშვნების ანალოგიით, ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები აღინიშნება შემდეგნაირად (და უკავშირდება მათემატიკური მოლოდინს, ანუ პირველი მოთამაშის მოგებისა და მეორე მოთამაშის ზარალის საშუალოს):

,

.

ამ შემთხვევაში, ფუნქციისთვის ე არის უნაგირის წერტილი , რაც თანასწორობას ნიშნავს.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და უნაგირის წერტილი, ე.ი. მატრიცული თამაშის გადაჭრა შერეული სტრატეგიებით , თქვენ უნდა შეამციროთ მატრიცული თამაში ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემამდე, ანუ ოპტიმიზაციის პრობლემამდე და გადაჭრათ შესაბამისი ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა.

მატრიცული თამაშის დაყვანა ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემამდე

მატრიცული თამაშის შერეული სტრატეგიების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეადგინოთ სწორი ხაზი ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემადა მისი ორმაგი ამოცანა. ორმაგ პრობლემაში, გაძლიერებული მატრიცა, რომელიც ინახავს ცვლადების კოეფიციენტებს შეზღუდვის სისტემაში, მუდმივ წევრებს და ცვლადების კოეფიციენტებს მიზნის ფუნქციაში, ტრანსპონირებულია. ამ შემთხვევაში, ორიგინალური ამოცანის მიზნობრივი ფუნქციის მინიმუმი ასოცირდება მაქსიმუმთან ორმაგ პრობლემაში.

მიზნის ფუნქცია პირდაპირი ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანაში:

.

შეზღუდვების სისტემა ხაზოვანი პროგრამირების უშუალო პრობლემაში:

მიზნის ფუნქცია ორმაგ პრობლემაში:

.

შეზღუდვების სისტემა ორმაგ პრობლემაში:

მიუთითეთ პირდაპირი წრფივი პროგრამირების ამოცანის ოპტიმალური გეგმა

,

ხოლო ორმაგი ამოცანის ოპტიმალური გეგმა აღინიშნება

შესაბამისი ოპტიმალური დიზაინის ხაზოვანი ფორმები აღინიშნა და ,

და თქვენ უნდა იპოვოთ ისინი, როგორც ოპტიმალური გეგმების შესაბამისი კოორდინატების ჯამი.

წინა ნაწილის განმარტებებისა და ოპტიმალური გეგმების კოორდინატების შესაბამისად, მოქმედებს პირველი და მეორე მოთამაშის შემდეგი შერეული სტრატეგიები:

.

მათემატიკოსებმა ეს დაამტკიცეს თამაშის ფასი გამოიხატება ოპტიმალური გეგმების წრფივი ფორმებით შემდეგნაირად:

,

ანუ ეს არის ოპტიმალური გეგმების კოორდინატების ჯამების ორმხრივი.

ჩვენ, პრაქტიკოსებს, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეს ფორმულა მხოლოდ შერეული სტრატეგიების მატრიცული თამაშების გადასაჭრელად. მოსწონს ფორმულები ოპტიმალური შერეული სტრატეგიების მოსაძებნად შესაბამისად პირველი და მეორე მოთამაშე:

რომელშიც მეორე ფაქტორები არის ვექტორები. ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები ასევე არის ვექტორები, როგორც უკვე განვსაზღვრეთ წინა აბზაცში. მაშასადამე, რიცხვის (თამაშის ფასის) ვექტორზე (ოპტიმალური გეგმების კოორდინატებით) გამრავლებით ვექტორსაც ვიღებთ.

მაგალითი 6მოცემულია მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

.

იპოვნეთ თამაშის ფასი ვდა ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და .

გამოსავალი. ჩვენ ვადგენთ ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანას, რომელიც შეესაბამება ამ მატრიცის თამაშს:

ჩვენ ვიღებთ პირდაპირი პრობლემის გადაწყვეტას:

.

ოპტიმალური გეგმების წრფივ ფორმას ვპოულობთ ნაპოვნი კოორდინატების ჯამის სახით.

თქვენი კარგი სამუშაოს გაგზავნა ცოდნის ბაზაში მარტივია. გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული ფორმა

სტუდენტები, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობლები იქნებიან თქვენი.

შესავალი

1. თეორიული ნაწილი

1.3 თამაშის შეკვეთა 2v2

1.4 ალგებრული მეთოდი

1.5 გრაფიკული მეთოდი

1.6 თამაშები 2xn ან mx2

1.7 თამაშების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

2. პრაქტიკული ნაწილი

2.2 2xn და mx2 თამაშები

2.3 მატრიცული მეთოდი

2.4 ყავისფერი მეთოდი

შედეგების ანალიზი

შესავალი

ანტაგონისტური თამაში არის ნულოვანი ჯამის თამაში. ანტაგონისტური თამაში არის არათანამშრომლობითი თამაში, რომელშიც ორი მოთამაშე მონაწილეობს, რომელთა ანაზღაურებაც საპირისპიროა.

ფორმალურად, ანტაგონისტური თამაში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამმაგით , სადაც X და Y არის პირველი და მეორე მოთამაშის სტრატეგიების კომპლექტები, შესაბამისად, F არის პირველი მოთამაშის ანაზღაურებადი ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს სტრატეგიების თითოეულ წყვილს (x, y), სადაც არის სარგებლობის შესაბამისი რეალური რიცხვი. პირველი მოთამაშის რეალიზება ამ სიტუაციაში.

ვინაიდან მოთამაშეთა ინტერესები საპირისპიროა, ფუნქცია F ერთდროულად წარმოადგენს მეორე მოთამაშის დაკარგვას.

ისტორიულად, ანტაგონისტური თამაშები არის თამაშების თეორიის მათემატიკური მოდელების პირველი კლასი, რომლებიც გამოიყენებოდა აღსაწერად. აზარტული თამაშები. ითვლება, რომ კვლევის ამ საგნის წყალობით, თამაშის თეორიამ მიიღო სახელი. ამჟამად, ანტაგონისტური თამაშები განიხილება, როგორც არაკოოპერატიული თამაშების უფრო ფართო კლასის ნაწილი.

1. თეორიული ნაწილი

1.1 თამაშის ძირითადი განმარტებები და დებულებები

თამაშს ახასიათებს წესების სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს თამაშში მონაწილეთა რაოდენობას, მათ შესაძლო ქმედებებიდა მოგების განაწილება მათი ქცევისა და შედეგების მიხედვით. მოთამაშე ითვლება თამაშის ერთ მონაწილედ ან მონაწილეთა ჯგუფად, რომლებსაც აქვთ საერთო ინტერესები მათთვის, რომლებიც არ ემთხვევა სხვა ჯგუფების ინტერესებს. ამიტომ, ყველა მონაწილე არ ითვლება მოთამაშედ.

თამაშის წესები თუ პირობები განსაზღვრავს მოთამაშეთა შესაძლო ქცევებს, არჩევანს და მოძრაობებს თამაშის განვითარების ნებისმიერ ეტაპზე. მოთამაშისთვის არჩევანის გაკეთება ნიშნავს მის ქცევის ერთ-ერთ შესაძლებლობაზე გაჩერებას. შემდეგ მოთამაშე აკეთებს არჩევანს მოძრაობებით. ნაბიჯის გადადგმა ნიშნავს თამაშის გარკვეულ ეტაპზე არჩევანის მთლიანად ან ნაწილის ერთდროულად გაკეთებას, თამაშის წესებით გათვალისწინებული შესაძლებლობებიდან გამომდინარე. თითოეული მოთამაშე თამაშის გარკვეულ ეტაპზე აკეთებს სვლას გაკეთებული არჩევანის მიხედვით. მეორე მოთამაშე, იცის ან არ იცის პირველი მოთამაშის არჩევანის შესახებ, ასევე აკეთებს ნაბიჯს. თითოეული მოთამაშე ცდილობს გაითვალისწინოს ინფორმაცია თამაშის წარსული განვითარების შესახებ, თუ ასეთი შესაძლებლობა დაშვებულია თამაშის წესებით.

წესების ერთობლიობას, რომელიც ცალსახად ეუბნება მოთამაშეს, რა არჩევანი უნდა გააკეთოს თითოეულ სვლაზე, თამაშის შედეგად შექმნილი სიტუაციიდან გამომდინარე, ეწოდება მოთამაშის სტრატეგია. თამაშის თეორიაში სტრატეგია ნიშნავს მოთამაშის მოქმედების გარკვეულ სრულ გეგმას, რომელიც აჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოიქცეს ის თამაშის განვითარების ყველა შესაძლო შემთხვევაში. სტრატეგია ნიშნავს ყველა მითითების მთლიანობას ნებისმიერი მდგომარეობის შესახებ ინფორმაციის შესახებ, რომელიც ხელმისაწვდომია მოთამაშისთვის თამაშის განვითარების ნებისმიერ ეტაპზე. ეს უკვე აჩვენებს, რომ სტრატეგიები შეიძლება იყოს კარგი და ცუდი, წარმატებული და წარუმატებელი და ა.შ.

იქნება ნულოვანი ჯამის თამაში, როდესაც მის თითოეულ თამაშში ყველა მოთამაშის ანაზღაურების ჯამი არის ნული, ანუ ნულოვანი ჯამის თამაშში ყველა მოთამაშის ჯამური კაპიტალი არ იცვლება, მაგრამ გადანაწილდება მოთამაშეებს შორის. მიღებული შედეგების მიხედვით. ამრიგად, ბევრი ეკონომიკური და სამხედრო სიტუაცია შეიძლება განიხილებოდეს როგორც ნულოვანი ჯამის თამაშები.

კერძოდ, ორი მოთამაშის ნულოვანი ჯამის თამაშს ეწოდება ანტაგონისტური, რადგან მასში მოთამაშის მიზნები პირდაპირ საპირისპიროა: ერთი მოთამაშის მოგება ხდება მხოლოდ მეორის წაგების ხარჯზე.

1.1.1 მატრიცული თამაშების განმარტება, მაგალითები და ამონახსნები სუფთა სტრატეგიებში

ორმოთამაშიანი ნულოვანი ჯამის მატრიცის თამაში შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგ აბსტრაქტულ ორმოთამაშიან თამაშად.

პირველ მოთამაშეს აქვს m სტრატეგია i =1, 2,…, m, მეორეს აქვს n სტრატეგია j = 1, 2,…, n. სტრატეგიების თითოეულ წყვილს (i, j) ენიჭება რიცხვი a ij, რომელიც გამოხატავს პირველი მოთამაშის ანაზღაურება მეორე მოთამაშის გამო, თუ პირველი მოთამაშე იყენებს მას მე-ს სტრატეგიადა მეორე - მისი j-ე სტრატეგია.

თითოეული მოთამაშე აკეთებს ერთ ნაბიჯს: პირველი მოთამაშე ირჩევს თავის i-ე სტრატეგიას (i = 1, 2, ..., m), მეორე --შენი ჯ-ესტრატეგია (j = 1, 2,…, n), რის შემდეგაც პირველი მოთამაშე იღებს ij-ს მეორე მოთამაშის ხარჯზე (თუ ij< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

მოთამაშის თითოეული სტრატეგია i = 1, 2,…, t; j = 1, 2,…, n ხშირად სუფთა სტრატეგიას უწოდებენ.

ნულოვანი ჯამის მატრიცული თამაში ორი მოთამაშისგან მოიხსენიება უბრალოდ, როგორც მატრიცული თამაში. ცხადია, მატრიცის თამაში ეკუთვნის ანტაგონისტურ თამაშებს. მისი განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მატრიცული თამაშის განსასაზღვრად, საკმარისია პირველი მოთამაშის ანაზღაურების m რიგის A = (a ij) მატრიცის მითითება.

ანაზღაურების მატრიცის გათვალისწინებით

შემდეგ მატრიცული თამაშის თითოეული თამაშის შესრულება მატრიცით A მცირდება პირველი მოთამაშის არჩევანზე მე-ე ხაზი, ხოლო j-ე სვეტის მეორე მოთამაშის მიერ და პირველი მოთამაშე (მეორის ხარჯზე) იღებს ანაზღაურებას, რომელიც მდებარეობს A მატრიცაში i-ე რიგისა და j-ე სვეტის გადაკვეთაზე.

რეალური კონფლიქტური სიტუაციის მატრიცული თამაშის სახით ფორმალიზებისთვის აუცილებელია თითოეული მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების იდენტიფიცირება და გადანომრვა და ანაზღაურების მატრიცას შედგენა.

შემდეგი ნაბიჯი არის მოთამაშეთა ოპტიმალური სტრატეგიებისა და ანაზღაურების განსაზღვრა.

თამაშების შესწავლაში მთავარია მოთამაშეებისთვის ოპტიმალური სტრატეგიების კონცეფცია. ამ კონცეფციას ინტუიციურად აქვს შემდეგი მნიშვნელობა: მოთამაშის სტრატეგია ოპტიმალურია, თუ ამ სტრატეგიის გამოყენება უზრუნველყოფს მას ყველაზე დიდ გარანტირებულ ანაზღაურებას სხვა მოთამაშის ყველა შესაძლო სტრატეგიისთვის. ამ პოზიციებიდან გამომდინარე, პირველი მოთამაშე იკვლევს თავისი ანაზღაურების A მატრიცას ფორმულის მიხედვით (1.1) შემდეგნაირად: თითოეული ღირებულებისთვის i (i = 1, 2, ..., m), მინიმალური ანაზღაურების ღირებულება განისაზღვრება დამოკიდებულებით. მეორე მოთამაშის მიერ გამოყენებულ სტრატეგიებზე

(i = 1, 2,..., მ) (1.2)

ანუ, პირველი მოთამაშისთვის მინიმალური ანაზღაურება განისაზღვრება იმ პირობით, რომ ის გამოიყენებს თავის მე-1 წმინდა სტრატეგიას, მაშინ ამ მინიმალური ანაზღაურებიდან მოიძებნება ისეთი სტრატეგია i=i 0, რომლისთვისაც ეს მინიმალური ანაზღაურება იქნება მაქსიმალური, ე.ი.

განმარტება. (1.3) ფორმულით განსაზღვრულ რიცხვს b ეწოდება თამაშის ქვედა წმინდა ღირებულება და გვიჩვენებს, თუ რა მინიმალური ანაზღაურება შეუძლია პირველ მოთამაშეს თავის თავს გარანტირებული ჰქონდეს თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით მეორე მოთამაშის ყველა შესაძლო მოქმედებისთვის.

მეორე მოთამაშე თავისი ოპტიმალური ქცევით უნდა შეეცადოს, თუ ეს შესაძლებელია, მინიმუმამდე დაიყვანოს პირველი მოთამაშის ანაზღაურება მისი სტრატეგიების ხარჯზე. ამიტომ, მეორე მოთამაშისთვის ჩვენ ვპოულობთ

ანუ, პირველი მოთამაშის მაქსიმალური ანაზღაურება განისაზღვრება იმ პირობით, რომ მეორე მოთამაშე გამოიყენებს მის j-ე სუფთასტრატეგია, შემდეგ მეორე მოთამაშე იპოვის საკუთარ j = j 1 სტრატეგიას, რომლისთვისაც პირველი მოთამაშე იღებს მინიმალურ ანაზღაურებას, ე.ი.

განმარტება. (1.5) ფორმულით განსაზღვრულ β რიცხვს ეწოდება თამაშის წმინდა ზედა ღირებულება და გვიჩვენებს, თუ რა მაქსიმალური მოგების გარანტია შეუძლია პირველ მოთამაშეს საკუთარი სტრატეგიებიდან გამომდინარე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით, პირველ მოთამაშეს შეუძლია უზრუნველყოს მინიმუმ b-ის ანაზღაურება, ხოლო მეორე მოთამაშეს, თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენებით, შეუძლია თავიდან აიცილოს პირველ მოთამაშეს c-ზე მეტი მოგება.

განმარტება. თუ თამაშში A მატრიცით, თამაშის ქვედა და ზედა წმინდა ფასები ემთხვევა, ანუ b = c, მაშინ ამ თამაშს ნათქვამია, რომ აქვს უნაგირის წერტილი სუფთა სტრატეგიებში და თამაშის წმინდა ფასი:

n = b = c (1.6)

უნაგირის წერტილი არის პირველი და მეორე მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების () წყვილი, შესაბამისად, რომლითაც მიიღწევა თანასწორობა.

უნაგირის წერტილის ცნებას აქვს შემდეგი მნიშვნელობა: თუ ერთ-ერთი მოთამაშე იცავს უნაგირების წერტილის შესაბამის სტრატეგიას, მაშინ მეორე მოთამაშეს არ შეუძლია გააკეთოს უკეთესი, ვიდრე დაიცვას უნაგირების წერტილის შესაბამისი სტრატეგია. იმის გათვალისწინებით, რომ მოთამაშის საუკეთესო ქცევამ არ უნდა გამოიწვიოს მისი ანაზღაურების შემცირება, ხოლო ყველაზე ცუდმა ქცევამ შეიძლება გამოიწვიოს მისი ანაზღაურების შემცირება, ეს პირობები შეიძლება მათემატიკურად დაიწეროს შემდეგი მიმართებების სახით:

სადაც i, j არის პირველი და მეორე მოთამაშის ნებისმიერი სუფთა სტრატეგია, შესაბამისად; (i 0 , j 0) -- უნაგირის წერტილის ფორმირების სტრატეგიები. ქვემოთ ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ უნაგირის წერტილის განმარტება ექვივალენტურია პირობების (1.8).

ამრიგად, (1.8)-ზე დაყრდნობით, უნაგირების ელემენტი არის მინიმალური i 0 -ე მწკრივში და მაქსიმუმი j 0 -ე სვეტში A მატრიცაში. A მატრიცის უნაგირის წერტილის პოვნა მარტივია: მატრიცაში. A, თანმიმდევრულად თითოეულ რიგში, იპოვეთ მინიმალური ელემენტი და შეამოწმეთ არის თუ არა ეს ელემენტი მაქსიმალური მის სვეტში. თუ ის ასეთია, მაშინ ეს არის უნაგირის ელემენტი და მის შესაბამისი სტრატეგიების წყვილი ქმნის უნაგირის წერტილს. პირველი და მეორე მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების წყვილს (i 0, j 0), რომლებიც ქმნიან უნაგირის წერტილს და უნაგირის ელემენტს, ეწოდება თამაშის გამოსავალი.

სუფთა სტრატეგიებს i 0 და j 0, რომლებიც ქმნიან უნაგირის წერტილს, ეწოდება პირველი და მეორე მოთამაშის ოპტიმალურ სუფთა სტრატეგიებს, შესაბამისად.

თეორემა 1. მოდით f (x, y) იყოს x A და y B ორი ცვლადის რეალური ფუნქცია და არსებობს

შემდეგ b = c.

მტკიცებულება. მინიმალური და მაქსიმუმის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ

ვინაიდან x არის თვითნებური (1.11) მარცხენა მხარეს, მაშინ

უტოლობის მარჯვენა მხარეს (1.12), y არის თვითნებური, ასე რომ

ქ.ე.დ.

კერძოდ, მატრიცა () არის f (x, y) ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა, ანუ თუ დავსვამთ x = i, y = j, = f (x, y), მაშინ 1-ლი თეორემიდან მივიღებთ, რომ ქვედა წმინდა ფასი არ აღემატება თამაშის ზედა წმინდა ღირებულებას მატრიცულ თამაშში.

განმარტება. დავუშვათ f (x, y) ორი ცვლადის x A და y B რეალური ფუნქციაა. წერტილს (x 0, y 0) ეწოდება უნაგირის წერტილი f (x, y) ფუნქციისთვის, თუ მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

f (x, y 0) f (x 0, y 0) f (x 0, y) (1.14)

ნებისმიერი x A და y B-სთვის.

1.2 ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და მათი თვისებები

მატრიცული თამაშის შესწავლა იწყება წმინდა სტრატეგიებში მისი უნაგირობის წერტილის პოვნაში. თუ მატრიცულ თამაშს წმინდა სტრატეგიებში აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ ამ წერტილის პოვნა ამთავრებს თამაშის შესწავლას. თუ მატრიცულ თამაშში წმინდა სტრატეგიებში არ არის უნაგირების წერტილი, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ თამაშის ქვედა და ზედა სუფთა ფასები, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ პირველ მოთამაშეს არ უნდა ჰქონდეს თამაშის ზედა ფასზე მეტი ანაზღაურების იმედი და შეიძლება დარწმუნებული იყოს, რომ ანაზღაურებას მიიღებთ არანაკლებ თამაშის დაბალი ფასით. ასეთი რეკომენდაციები მატრიცულ თამაშში მოთამაშეების ქცევასთან დაკავშირებით წმინდა სტრატეგიებში ვერ დააკმაყოფილებს მკვლევარებსა და პრაქტიკოსებს. მატრიცული თამაშების გადაწყვეტის გაუმჯობესება უნდა ვეძებოთ სუფთა სტრატეგიების გამოყენების საიდუმლოების გამოყენებაში და წვეულების სახით თამაშების განმეორებითი გამეორების შესაძლებლობით. მაგალითად, ტარდება ჭადრაკის, ქვის, ფეხბურთის თამაშების სერია და ყოველ ჯერზე მოთამაშეები მიმართავენ თავიანთ სტრატეგიებს ისე, რომ ოპონენტებმა არ იცოდნენ მათი შინაარსი და გზაში საშუალოდ მიაღწიონ გარკვეულ ანაზღაურებას. თამაშების მთელი სერიის თამაში. ეს ანაზღაურება, საშუალოდ, აღემატება თამაშის დაბალ ფასს და ნაკლებია ვიდრე თამაშის ზედა ფასს. რაც უფრო დიდია ეს საშუალო მნიშვნელობა, მით უკეთესი სტრატეგიამოთამაშის მიერ გამოყენებული. აქედან გამომდინარე, გაჩნდა იდეა, რომ სუფთა სტრატეგიები გამოვიყენოთ შემთხვევით, გარკვეული ალბათობით. ეს სრულად უზრუნველყოფს მათი გამოყენების საიდუმლოებას. თითოეულ მოთამაშეს შეუძლია შეცვალოს თავისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენების ალბათობა ისე, რომ მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი საშუალო ანაზღაურება და მიიღოს ოპტიმალური სტრატეგიები ამ გზაზე. ამ იდეამ გამოიწვია შერეული სტრატეგიის კონცეფცია.

განმარტება. მოთამაშის შერეული სტრატეგია არის მისი სუფთა სტრატეგიების გამოყენების ალბათობების სრული ნაკრები.

ამრიგად, თუ პირველ მოთამაშეს აქვს m სუფთა სტრატეგიები 1, 2, … i, … m, მაშინ მისი შერეული სტრატეგია x არის რიცხვების სიმრავლე x = (x 1 , x 2 , ..., x i ,…, x t ) დამაკმაყოფილებელი. ურთიერთობები

x i 0 (i = 1, 2, ... , m), = 1. (1.15)

ანალოგიურად, მეორე მოთამაშისთვის, რომელსაც აქვს n სუფთა სტრატეგია, შერეული სტრატეგია y არის y = (y 1 ,…, y j , … y n) ურთიერთობების დამაკმაყოფილებელი რიცხვების ნაკრები.

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

ვინაიდან ყოველ ჯერზე, როდესაც მოთამაშე იყენებს ერთ სუფთა სტრატეგიას, გამორიცხავს მეორის გამოყენებას, სუფთა სტრატეგიები შეუთავსებელი მოვლენებია. გარდა ამისა, ისინი ერთადერთი შესაძლო მოვლენებია.

ცხადია, სუფთა სტრატეგია შერეული სტრატეგიის განსაკუთრებული შემთხვევაა. მართლაც, თუ შერეულ სტრატეგიაში რომელიმე მე-ე ბადესტრატეგია გამოიყენება ერთი ალბათობით, მაშინ ყველა სხვა სუფთა სტრატეგია არ გამოიყენება. და ეს მე-ე სუფთა სტრატეგია შერეული სტრატეგიის განსაკუთრებული შემთხვევაა. საიდუმლოების შესანარჩუნებლად, თითოეული მოთამაშე იყენებს საკუთარ სტრატეგიებს, მიუხედავად სხვა მოთამაშის არჩევანისა.

განმარტება. პირველი მოთამაშის საშუალო ანაზღაურება მატრიცულ თამაშში A მატრიცით გამოიხატება როგორც მისი ანაზღაურების მათემატიკური მოლოდინი.

E (A, x, y) = (1.20)

ცხადია, პირველი მოთამაშის საშუალო ანაზღაურება არის x და y ცვლადების ორი ნაკრების ფუნქცია. პირველი მოთამაშე მიზნად ისახავს მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი საშუალო ანაზღაურება E (A, x, y) შერეული სტრატეგიების x შეცვლით, ხოლო მეორე მოთამაშე ცდილობს გახადოს E (A, x, y) მინიმალური თავისი შერეული სტრატეგიებით, ე.ი. თამაშის გადასაჭრელად საჭიროა ისეთი x, y მოძებნა, რომლითაც მიღწეულია თამაშის ზედა ფასი.

1.3 შეუკვეთე 22 თამაში

22-ე რიგის მატრიცული თამაში მოცემულია შემდეგი ანაზღაურების მატრიცით პირველი მოთამაშისთვის:

ამ თამაშის გადაწყვეტა უნდა დაიწყოს სუფთა სტრატეგიებში უნაგირების წერტილის პოვნაში. ამ მიზნით, იპოვეთ მინიმალური ელემენტი პირველ რიგში და შეამოწმეთ არის თუ არა ის მაქსიმალური მის სვეტში. თუ ასეთი ელემენტი არ არის ნაპოვნი, მაშინ მეორე სტრიქონი მოწმდება იმავე გზით. თუ ასეთი ელემენტი გვხვდება მეორე სტრიქონში, მაშინ ეს არის უნაგირების ელემენტი.

უნაგირის ელემენტის აღმოჩენით, თუ არსებობს, მთავრდება მისი ამოხსნის პროცესი, რადგან ამ შემთხვევაში იპოვება თამაშის ფასი - უნაგირის ელემენტი და უნაგირის წერტილი, ანუ სუფთა სტრატეგიის წყვილი პირველი და მეორესთვის. მოთამაშეები, რომლებიც ქმნიან ოპტიმალურ სუფთა სტრატეგიებს. თუ წმინდა სტრატეგიებში არ არის უნაგირის წერტილი, მაშინ შერეულ სტრატეგიებში აუცილებელია უნაგირის წერტილის პოვნა, რომელიც აუცილებლად არსებობს მატრიცული თამაშების მთავარი თეორემის მიხედვით.

აღნიშნეთ x=(x 1 ,x 2), y=(y 1 ,y 2) შესაბამისად პირველი და მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგიები. შეგახსენებთ, რომ x 1 ნიშნავს პირველი მოთამაშის ალბათობას, რომ გამოიყენოს თავისი პირველი სტრატეგია, ხოლო x 2 \u003d 1 - x 1 არის მისი მეორე სტრატეგიის გამოყენების ალბათობა. ანალოგიურად მეორე მოთამაშისთვის: 1 - პირველი სტრატეგიის გამოყენების ალბათობა, y 2 = 1 - 1 - მეორე სტრატეგიის გამოყენების ალბათობა.

თეორემის დასკვნის მიხედვით, x და y შერეული სტრატეგიების ოპტიმალურობისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ არაუარყოფითი x 1 , x 2 , y 1 , y 2 შემდეგი მიმართებები იყოს:

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ თუ მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირების წერტილი წმინდა სტრატეგიებში, მაშინ ეს უტოლობა უნდა გადაიზარდოს თანასწორებად:

Ნამდვილად. დაე, თამაშს არ ჰქონდეს უნაგირის წერტილი სუფთა სტრატეგიებში, მაშინ შერეული სტრატეგიების ოპტიმალური მნიშვნელობები დააკმაყოფილებს უთანასწორობებს.

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

დავუშვათ, რომ ორივე უტოლობა (1.22) მკაცრია

მაშინ, თეორემის მიხედვით, y 1 = y 2 = 0, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობებს (1.25).

ასევე შეიძლება დადასტურდეს, რომ ორივე უტოლობა (1.23) არ შეიძლება იყოს მკაცრი უტოლობა.

დავუშვათ, რომ ერთ-ერთი უტოლობა (1.22) შეიძლება იყოს მკაცრი, მაგალითად, პირველი

ეს ნიშნავს, რომ თეორემის მიხედვით y 1 = 0, y 2 =1. ამიტომ, (1.23)-დან ვიღებთ

თუ ორივე უტოლობა (1.24) მკაცრია, მაშინ x1 = x2 = 0 თეორემით, რომელიც ეწინააღმდეგება (1.25). მაგრამ თუ არის 12 a 22, მაშინ უტოლობებიდან ერთი (1.27) მკაცრია, მეორე კი ტოლია. უფრო მეტიც, თანასწორობა შენარჩუნდება უფრო დიდი ელემენტისთვის 12-დან და 22-დან, ანუ ერთი უტოლობა (1.27) უნდა იყოს მკაცრი. მაგალითად 12< а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

ამრიგად, ნაჩვენებია, რომ თუ მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირების წერტილი სუფთა სტრატეგიებში, მაშინ უტოლობები (1.22) გადაიქცევა ტოლებად პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიებისთვის. მსგავსი არგუმენტები უტოლობების შესახებ (1.23) გამოიწვევს იმ ფაქტს, რომ ამ შემთხვევაში უტოლობები (1.23) უნდა იყოს ტოლობები.

ასე რომ, თუ 22-ე რიგის მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ მოთამაშეთა ოპტიმალური შერეული სტრატეგიები და თამაშის ფასი შეიძლება განისაზღვროს განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (1.24). ასევე დადგენილია, რომ თუ 2x2 მატრიცულ თამაშში ერთ-ერთ მოთამაშეს აქვს ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია, მაშინ მეორე მოთამაშეს ასევე აქვს ოპტიმალური სუფთა სტრატეგია.

მაშასადამე, თუ მატრიცულ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი სუფთა სტრატეგიებში, მაშინ მას უნდა ჰქონდეს ამონახსნი შერეულ სტრატეგიებში, რომლებიც განისაზღვრება განტოლებებიდან (1.24). სისტემური გადაწყვეტა (1.25)

1.4 ალგებრული მეთოდი

ალგებრული მეთოდით ამოცანების გადაჭრის ორი შემთხვევა არსებობს:

1. მატრიცას აქვს უნაგირის წერტილი;

2. მატრიცას არ აქვს უნაგირის წერტილი.

პირველ შემთხვევაში, გამოსავალი არის წყვილი სტრატეგიები, რომლებიც ქმნიან თამაშის უნაგირ წერტილს. განვიხილოთ მეორე შემთხვევა. აქ გადაწყვეტილებები უნდა ვეძებოთ შერეულ სტრატეგიებში:

იპოვნეთ სტრატეგიები და როდესაც პირველი მოთამაშე იყენებს თავის ოპტიმალურ სტრატეგიას, მეორე მოთამაშეს შეუძლია, მაგალითად, გამოიყენოს ორი ასეთი სუფთა სტრატეგია

ამავდროულად, საკუთრების ძალით, თუ ერთ-ერთი მოთამაშე იყენებს ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიას, ხოლო მეორე - ნებისმიერ სუფთას, რომელიც შედის მის ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიაში არანულოვანი ალბათობით, მაშინ ანაზღაურების მათემატიკური მოლოდინი ყოველთვის რჩება უცვლელი და უტოლდება თამაშის ფასს, ე.ი.

ანაზღაურება თითოეულ ამ შემთხვევაში უნდა იყოს V თამაშის ღირებულების ტოლი. ამ შემთხვევაში მოქმედებს შემდეგი ურთიერთობები:

მეორე მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიისთვის ასევე შეიძლება შედგეს (2.5), (2.6) მსგავსი განტოლებათა სისტემა:

ნორმალიზაციის მდგომარეობის გათვალისწინებით:

მოდით ამოხსნათ განტოლება (1.37) - (1.41) უცნობიებთან მიმართებაში და არა ერთდროულად, არამედ სამი ერთდროულად: ცალ-ცალკე (1.36), (1.38), (1.40) და (1.37), (1.39) , (1.41). გადაწყვეტის შედეგად ვიღებთ:

1.5 გრაფიკული მეთოდი

თამაშის 22-ის სავარაუდო გადაწყვეტა საკმაოდ მარტივად შეგიძლიათ მიიღოთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით. მისი არსი შემდეგია:

სურათი 1.1 - ერთეულის სიგრძის მონაკვეთის პოვნა

აირჩიეთ ერთეული სიგრძის მონაკვეთი აბსცისის ღერძზე. მის მარცხენა ბოლოზე გამოსახულია პირველი მოთამაშის პირველი სტრატეგია, ხოლო მეორის მარჯვენა ბოლო. ყველა შუალედური წერტილი შეესაბამება პირველი მოთამაშის შერეულ სტრატეგიებს, ხოლო სეგმენტის სიგრძე წერტილიდან მარჯვნივ უდრის პირველი სტრატეგიის გამოყენების ალბათობას, ხოლო სეგმენტის სიგრძე მარცხნივ არის გამოყენების ალბათობა. მეორე სტრატეგია პირველი მოთამაშის მიერ.

განხორციელებულია ორი ღერძი I-I და II-II. I-I-ზე ჩვენ გადავდებთ ანაზღაურებას, როდესაც პირველი მოთამაშე გამოიყენებს პირველ სტრატეგიას, II-II-ზე, როდესაც ის იყენებს მეორე სტრატეგიას. მაგალითად, მეორე მოთამაშემ გამოიყენა თავისი პირველი სტრატეგია, შემდეგ მნიშვნელობა უნდა იყოს გამოსახული I-I ღერძზე, ხოლო მნიშვნელობა II-II ღერძზე.

პირველი მოთამაშის ნებისმიერი შერეული სტრატეგიისთვის, მისი ანაზღაურება განისაზღვრება სეგმენტის ზომით. ხაზი I-I შეესაბამება მეორე მოთამაშის მიერ პირველი სტრატეგიის გამოყენებას, ჩვენ მას მეორე მოთამაშის პირველ სტრატეგიას დავარქმევთ. მეორე მოთამაშის მეორე სტრატეგია შეიძლება აშენდეს ანალოგიურად. შემდეგ, ზოგადად, თამაშის მატრიცის გრაფიკული ჩვენება მიიღებს შემდეგ ფორმას:

სურათი 1.2 - თამაშის ფასის პოვნა

თუმცა უნდა აღინიშნოს, რომ ეს კონსტრუქცია პირველი მოთამაშისთვის განხორციელდა. აქ სეგმენტის სიგრძე უდრის V თამაშის მნიშვნელობას.

1N2 ხაზს უწოდებენ ქვედა ანაზღაურების ხაზს. აქ ნათლად ჩანს, რომ N წერტილი შეესაბამება პირველი მოთამაშის გარანტირებული ანაზღაურების მაქსიმალურ მნიშვნელობას.

ზოგადად, მეორე მოთამაშის სტრატეგიაც ამ ფიგურიდან შეიძლება განისაზღვროს, მაგალითად ასეთი გზებით. I-I ღერძზე:

ან II-II ღერძზე

თუმცა, მეორე მოთამაშის სტრატეგიაც შეიძლება განისაზღვროს ისევე, როგორც ეს ხდება პირველი მოთამაშისთვის, ე.ი. შექმენით ასეთი სქემა.

სურათი 1.3 - მეორე მოთამაშის სტრატეგიის განსაზღვრა

აქ ხაზი 1N2 არის დანაკარგის ზედა ზღვარი. წერტილი N შეესაბამება მეორე მოთამაშის მინიმალურ შესაძლო დაკარგვას და ის განსაზღვრავს სტრატეგიას.

კოეფიციენტების სპეციფიკური მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, გრაფიკის მატრიცებს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ფორმა, მაგალითად, შემდეგნაირად:

სურათი 1.4 - განსაზღვრავს პირველი მოთამაშის ოპტიმალურ სტრატეგიას

ასეთ სიტუაციაში პირველი მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგია სუფთაა:

1.6 თამაშები 2n ან m2

2n რიგის თამაშებში პირველ მოთამაშეს აქვს 2 სუფთა სტრატეგია, ხოლო მეორე მოთამაშეს აქვს n სუფთა სტრატეგია, ე.ი. პირველი მოთამაშისთვის ანაზღაურების მატრიცა არის:

თუ ასეთ თამაშს აქვს უნაგირის წერტილი, მაშინ ადვილია მისი პოვნა და გამოსავლის მიღება.

დავუშვათ, თამაშს აქვს უნაგირის წერტილები. შემდეგ საჭიროა ისეთი შერეული სტრატეგიების და, შესაბამისად, პირველი და მეორე მოთამაშეების და v თამაშის ფასის პოვნა, რომლებიც აკმაყოფილებენ ურთიერთობებს:

ვინაიდან თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი, უტოლობა (1.54) იცვლება უტოლობებით.

სისტემების (1.56), (1.55), (1.53) ამოსახსნელად მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ გრაფიკული მეთოდი. ამ მიზნით, ჩვენ შემოგთავაზებთ უტოლობის მარცხენა მხარის აღნიშვნას (1.53)

მატრიცული თამაშის მათემატიკური მოდელი

ან (1.55-დან) დაყენებით და მარტივი გარდაქმნების შესრულებით, მივიღებთ

სად არის პირველი მოთამაშის საშუალო ანაზღაურება, იმ პირობით, რომ ის გამოიყენებს თავის შერეულ სტრატეგიას, ხოლო მეორე - თავის j-ე სუფთა სტრატეგიას.

გამოთქმის მიხედვით, თითოეული მნიშვნელობა j=1, 2, …, n შეესაბამება სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

მეორე მოთამაშის მიზანია მინიმუმამდე დაიყვანოს პირველი მოთამაშის ანაზღაურება მისი სტრატეგიების არჩევით. ამიტომ, ჩვენ ვიანგარიშებთ

სად არის შეზღუდვის ნაკრების ქვედა ზღვარი. 1.6 სურათზე ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სქელი ხაზით.

მასპინძლობს http://www.allbest.ru/

სურათი 1.6 - ფუნქციის გრაფიკი

პირველი მოთამაშის მიზანია მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი ანაზღაურება არჩევანის საშუალებით, ე.ი. გამოთვალეთ

ფიგურაში 1.6, წერტილი ნიშნავს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, რომელიც მიიღება. თამაშის ფასი, რადგან:

ამგვარად, გრაფიკულად არის განსაზღვრული პირველი მოთამაშის ოპტიმალური შერეული სტრატეგია და მეორე მოთამაშის სუფთა სტრატეგიების წყვილი, რომლებიც ქმნიან წერტილს გადაკვეთაზე.სურათი 1.6 გვიჩვენებს მეორე მოთამაშის მე-2 და მე-3 სტრატეგიებს. ასეთი სტრატეგიებისთვის უტოლობები (1.53) იქცევა თანასწორებად. სურათზე 1.6 ეს არის სტრატეგიები j=2, j=3.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

და ზუსტად განსაზღვრეთ და-ს მნიშვნელობები (გრაფიკულად ისინი განისაზღვრება დაახლოებით). შემდეგ ყველა მნიშვნელობის დაყენება იმ j-ზე, რომლისთვისაც ისინი არ ქმნიან წერტილს, ამოხსნით განტოლებათა სისტემის (1.56) 1.6-ზე ნაჩვენები მაგალითისთვის, ეს არის შემდეგი სისტემა:

და დანარჩენი ამ სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია დახრილობით, თუ ზოგიერთისთვის j=j 0, მეორე მოთამაშის სტრატეგიები ქმნიან წერტილს M 0 და მაშინ შეზღუდვების სიმრავლის ქვედა ზღვრის მაქსიმალური მნიშვნელობა წარმოდგენილია პარალელურად სეგმენტით. ღერძი ამ შემთხვევაში, პირველ მოთამაშეს აქვს უსასრულოდ ბევრი ოპტიმალური მნიშვნელობა და თამაშის ფასი. მეორე მოთამაშეს აქვს სუფთა ოპტიმალური სტრატეგია j=j 0 .

გრაფიკული მეთოდით ასევე იხსნება m2 შეკვეთის მატრიცული თამაშები. პირველი მოთამაშის ანაზღაურების მატრიცას ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა

პირველი და მეორე მოთამაშის შერეული სტრატეგიები, შესაბამისად, განისაზღვრება ისე, როგორც 2n რიგის თამაშების შემთხვევაში. დაე, მნიშვნელობა 0-დან 1-მდე გამოისახოს პირველი მოთამაშის ჰორიზონტალურ ღერძზე, საშუალო ანაზღაურების მნიშვნელობა) ვერტიკალურ ღერძზე იმ პირობებში, როდესაც პირველი მოთამაშე იყენებს თავის წმინდა i-ე სტრატეგიას (i=1, 2, ..., მ), მეორე - მისი შერეული სტრატეგია (y 1 , 1- y 1) =y. მაგალითად, როდესაც m=4 გრაფიკულად) შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 1.7.

სურათი 1.7 - ფუნქციის გრაფიკი)

პირველი მოთამაშე ცდილობს მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი საშუალო ანაზღაურება, ამიტომ ცდილობს იპოვოს

ფუნქცია ნაჩვენებია სქელი ხაზის სახით და წარმოადგენს შეზღუდვის ნაკრების ზედა ზღვარს. მეორე მოთამაშე ცდილობს მინიმუმამდე დაიყვანოს თავისი სტრატეგიის არჩევით, ე.ი. ღირებულება შეესაბამება

ფიგურაში მნიშვნელობა მითითებულია წერტილით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განსაზღვრულია პირველი მოთამაშის ისეთი ორი სტრატეგია და მეორე მოთამაშის ალბათობა, რომლებისთვისაც მიიღწევა თანასწორობა.

ფიგურიდან ვხედავთ, რომ თამაშის ფასი არის წერტილის ორდინატი, ალბათობა არის წერტილის აბსცისა. დანარჩენი სუფთა სტრატეგიებისთვის პირველი მოთამაშის ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიაში უნდა ().

ამრიგად, სისტემის ამოხსნით (1.69), ვიღებთ მეორე მოთამაშის ოპტიმალურ სტრატეგიას და თამაშის ღირებულებას. ჩვენ ვპოულობთ ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიას პირველი მოთამაშისთვის შემდეგი განტოლებების სისტემის ამოხსნით:

1.7 მატრიცული მეთოდი თამაშების ამოხსნისთვის

აღნიშვნები:

შეკვეთის მატრიცის ნებისმიერი კვადრატული ქვემატრიცა

მატრიცა (1);

მატრიცა გადატანილია;

B-ზე მიმაგრებული მატრიცა;

- (1) X-დან მიღებული მატრიცა იმ ელემენტების წაშლით, რომლებიც შეესაბამება მიღებისას წაშლილ სტრიქონებს;

- (1) მატრიცა, რომელიც მიღებულია ელემენტების წაშლით, რომლებიც შეესაბამება მიღებისას წაშლილ სტრიქონებს.

ალგორითმი:

1. აირჩიეთ რიგის მატრიცის () კვადრატული ქვემატრიცა და გამოთვალეთ

2. თუ ზოგიერთი ან, მაშინ გადააგდეთ ნაპოვნი მატრიცა და სცადეთ სხვა მატრიცა.

3. თუ (), (), ვიანგარიშებთ და ვაშენებთ X-ს და და-დან, შესაბამის ადგილებში ნულების დამატება.

შეამოწმეთ, დაკმაყოფილებულია თუ არა უტოლობები

თითოეულზე (1.75)

და უთანასწორობები

თითოეულზე (1.76)

თუ ერთ-ერთი თანაფარდობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ვცდილობთ მეორეს. თუ ყველა ურთიერთობა მოქმედებს, მაშინ X და სასურველი გადაწყვეტილებები.

1.8 თამაშის ფასის თანმიმდევრული დაახლოების მეთოდი

თამაშის სიტუაციების შესწავლისას ხშირად შეიძლება მოხდეს, რომ არ იყოს აუცილებელი თამაშის ზუსტი გადაწყვეტის მოპოვება, ან რაიმე მიზეზით, შეუძლებელია ან ძალიან რთულია თამაშის ღირებულებისა და ოპტიმალური შერეული სტრატეგიების ზუსტი ღირებულების პოვნა. შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მატრიცული თამაშის ამოხსნის სავარაუდო მეთოდები.

მოდით აღვწეროთ ერთ-ერთი ასეთი მეთოდი - თამაშის ფასის თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდი. მეთოდით გამოთვლილი ანაზღაურების რაოდენობა იზრდება დაახლოებით ანაზღაურების მატრიცის რიგებისა და სვეტების რაოდენობის პროპორციულად.

მეთოდის არსი ასეთია: გონებრივად თამაში მრავალჯერ ითამაშა, ე.ი. თანმიმდევრულად, თითოეულ თამაშში, მოთამაშე ირჩევს სტრატეგიას, რომელიც აძლევს მას ყველაზე დიდ საერთო (სულ) ანაზღაურებას.

ზოგიერთი თამაშის ასეთი განხორციელების შემდეგ, ის ითვლის პირველი მოთამაშის მოგების და მეორე მოთამაშის წაგების საშუალო მნიშვნელობას და მათი არითმეტიკული საშუალო აღებულია როგორც თამაშის ფასის მიახლოებითი მნიშვნელობა. მეთოდი შესაძლებელს ხდის ორივე მოთამაშის ოპტიმალური შერეული სტრატეგიის მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნას: აუცილებელია თითოეული სუფთა სტრატეგიის გამოყენების სიხშირის გამოთვლა და მისი მიახლოებითი მნიშვნელობა შესაბამისი მოთამაშის ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიაში.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ პროგრამული თამაშების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით, პირველი მოთამაშის საშუალო მოგება და მეორე მოთამაშის საშუალო ზარალი განუსაზღვრელი დროით უახლოვდება თამაშის ფასს და შერეული სტრატეგიების სავარაუდო მნიშვნელობებს. შემთხვევა, როდესაც თამაშის გადაწყვეტა უნიკალურია, მიდრეკილია თითოეული მოთამაშის ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიებზე. ზოგადად რომ ვთქვათ, მითითებულ მნიშვნელობებზე ზემოთ მნიშვნელობების ნამდვილ მნიშვნელობებთან დაახლოება ნელია. თუმცა, ეს პროცესი შეიძლება ადვილად იყოს მექანიზებული და ამით დაეხმაროს თამაშის გადაწყვეტის მიღებას საჭირო ხარისხით სიზუსტით, თუნდაც შედარებით დიდი რიგის ანაზღაურების მატრიცებით.

2. პრაქტიკული ნაწილი

წყვილი წყვეტს სად წავიდეს სასეირნოდ და გაატაროს დრო ორი ადამიანის სასარგებლოდ.

გოგონა გადაწყვეტს პარკში გაისეირნოს სუფთა ჰაერზე, საღამოს კინოს სანახავად უახლოეს კინოთეატრში.

ბიჭი ცენტრალურ სტადიონზე ადგილობრივი კლუბის ფეხბურთელების მატჩის ყურების შემდეგ სთავაზობს ტექნოპარკში წასვლას.

ამის შესაბამისად, თქვენ უნდა იპოვოთ რამდენ ხანში მიიღწევა ერთ-ერთი მოთამაშის მიზანი. ანაზღაურების მატრიცა ასე გამოიყურება:

ცხრილი 1. ანაზღაურების მატრიცა

1 2-დან, ამ თამაშში აშკარად არ არსებობს უნაგირების წერტილი სუფთა სტრატეგიებში. ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ფორმულებს და ვიღებთ:

მასპინძლობს http://www.allbest.ru/

2.2 თამაში 2xn და mx2

პრობლემა 1 (2xn)

მშრალი და ნოტიო კლიმატისთვის ორი მოსავალი მოჰყავთ.

ხოლო ბუნების მდგომარეობა შეიძლება ჩაითვალოს: მშრალი, სველი, ზომიერი.

მასპინძლობს http://www.allbest.ru/

M()-ის მაქსიმალური სიდიდე მიიღწევა M წერტილში, რომელიც წარმოიქმნება j=1, j"=2 შესაბამისი წრფეების გადაკვეთით. მაშასადამე, ვივარაუდებთ: ,

პრობლემა 2 (mx2)

ბიჭი და გოგონა განიხილავენ ვარიანტებს, სად წავიდეთ შაბათ-კვირას.

დასასვენებელი ადგილის არჩევანი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: პარკი, კინოთეატრი, რესტორანი.

მასპინძლობს http://www.allbest.ru/

M()-ის მაქსიმალური სიდიდე მიიღწევა E წერტილში, რომელიც წარმოიქმნება j=1, j"=2 შესაბამისი წრფეების გადაკვეთით. ამიტომ ვვარაუდობთ: ,

v მნიშვნელობის დასადგენად, თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლებები:

2.5 მატრიცული მეთოდი

ორი კონკურენტი რესტორანი (კვების ობიექტი) გთავაზობთ შემდეგი სერვისების კომპლექტს. პირველი რესტორანი მდებარეობს ცენტრში, მეორე კი ქალაქის გარეუბანში.

ცენტრალური რესტორანი მოიცავს შემდეგ სერვისებს:

1) უფრო ძვირი და უკეთესი მომხმარებლის მომსახურება;

2) კერძები ორიენტირებულია ფრანგულ სამზარეულოზე;

მეორე რესტორანი გთავაზობთ:

1) არა ძვირი და ხარისხიანი მომსახურება;

2) მენიუ აერთიანებს მსოფლიოს სხვადასხვა ცნობილ სამზარეულოს;

3) ასევე რეგულარული აქციები და ფასდაკლებები;

4) ახორციელებს მიწოდებას და იღებს შეკვეთებს სახლში მიტანისთვის.

დავალების შესაბამისად, ერთი დღის მოგება ორ რესტორანს შორის გადანაწილდება შემდეგნაირად:

ცხრილი 2. ანაზღაურების მატრიცა

ფორმის თამაშის ამოხსნა მატრიცული გზით:

არის ექვსი ქვემატრიცა და:

განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 =? 0,x2=? 0

ვინაიდან x 2 =< 0, то мы отбрасываем.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 =? 0,x2=? 0

თამაშის ფასი.

ეს თანაფარდობა ეწინააღმდეგება მოთხოვნას, ამიტომ არ არის შესაფერისი.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 = ? 0,

y 1 =< 0, y 2 = ? 0.

ვინაიდან y 1 =< 0, то мы отбрасываем и.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 \u003d, x 2 \u003d 0, რადგან x 2 \u003d 0, შემდეგ ჩვენ გადავაგდებთ და.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 = ? 0. ვინაიდან x 1 \u003d 0, მაშინ ჩვენ გადავაგდებთ და.

ახლა განვიხილოთ მატრიცა:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 =, შემდეგ ვაგრძელებთ შემდეგს:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = ან

თამაშის ფასი.

ახლა შემოწმებულია ძირითადი ურთიერთობები:

მასპინძლობს http://www.allbest.ru/

პასუხი: x 1 =, x 2 =, y 1 =, y 2 =, y 3 =0, y 4 =0,.

ყავისფერი მეთოდი

პროფკავშირი გარკვეული კომპანიის თანამშრომლების მოთხოვნით აწარმოებს მოლაპარაკებას მის ხელმძღვანელობასთან კომპანიის ხარჯზე ცხელი კერძების ორგანიზებაზე. პროფკავშირი, რომელიც წარმოადგენს მუშაკთა ინტერესებს, უზრუნველყოფს, რომ კვება იყოს მაქსიმალურად ხარისხიანი და, შესაბამისად, უფრო ძვირი. კომპანიის ხელმძღვანელობას კონფლიქტური ინტერესები აქვს. საბოლოოდ მხარეები შეთანხმდნენ შემდეგზე. პროფკავშირი (მოთამაშე 1) ირჩევს ერთ-ერთ სამ ფირმას (A 1 , A 2 , A 3), რომელიც ამარაგებს ცხელ კერძებს, ხოლო კომპანიის ხელმძღვანელობა (მოთამაშე 2) ირჩევს კერძების კომპლექტს სამი შესაძლო ვარიანტიდან (B 1, B 2, B 3). ხელშეკრულების გაფორმების შემდეგ პროფკავშირი აყალიბებს შემდეგ გადახდის მატრიცას, რომლის ელემენტები წარმოადგენს კერძების ნაკრების ღირებულებას:

დაე, თამაში მოცემულია შემდეგი ანაზღაურების მატრიცით:

დავუშვათ, რომ მეორე მოთამაშემ აირჩია თავისი მე-2 სტრატეგია, მაშინ პირველი მიიღებს:

2 თუ ის იყენებს პირველ სტრატეგიას,

3, თუ ის იყენებს მე-3 სტრატეგიას.

მიღებული მნიშვნელობები შეჯამებულია ცხრილში 1.

ცხრილი 3. მეორე მოთამაშის სტრატეგია

ცხრილი 3 გვიჩვენებს, რომ მეორე მოთამაშის მე-2 სტრატეგიით, პირველი მოთამაშე მიიღებს ყველაზე დიდ ანაზღაურებას 3 თავისი მე-2 ან მე-3 სტრატეგიის გამოყენებით. ვინაიდან პირველ მოთამაშეს სურს მიიღოს მაქსიმალური ანაზღაურება, ის პასუხობს მეორე მოთამაშის მე-2 სტრატეგიას თავისი მე-2 სტრატეგიით. პირველი მოთამაშის მე-2 სტრატეგიით მეორე წააგებს:

1 თუ ის გამოიყენებს თავის პირველ სტრატეგიას,

3 თუ ის იყენებს თავის მე-2 სტრატეგიას,

4 თუ ის იყენებს მე-3 სტრატეგიას.

ცხრილი 4. პირველი მოთამაშის სტრატეგია

ცხრილი 2 გვიჩვენებს, რომ პირველი მოთამაშის მე-2 სტრატეგიით, მეორე მოთამაშეს ექნება ყველაზე ნაკლები წაგება 1, თუ ის გამოიყენებს თავის 1-ლ სტრატეგიას. ვინაიდან მეორე მოთამაშეს სურს ნაკლები წაგება, მაშინ პირველი მოთამაშის მე-2 სტრატეგიის საპასუხოდ ის გამოიყენებს თავის პირველ სტრატეგიას. მიღებული შედეგები შეჯამებულია ცხრილში 5.

ცხრილი 5. პირველი და მეორე მოთამაშის სტრატეგიები, შესაბამისად

მაგიდაზე. მეორე სტრიქონში მეორე მოთამაშის სტრატეგიის სვეტში 5 არის ნომერი 1, რაც მიუთითებს, რომ მეორე თამაშში მეორე მოთამაშისთვის სასარგებლოა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია; სვეტში და არის პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი საშუალო ანაზღაურება 3, რომელიც მან მიიღო პირველ თამაშში; სვეტი w შეიცავს უმცირეს საშუალო დანაკარგს 1, რომელიც მიიღო მეორე მოთამაშის მიერ პირველ თამაშში; v სვეტი შეიცავს საშუალო არითმეტიკულ მნიშვნელობას v = (u + w) -- ეს არის თამაშის ფასის მიახლოებითი მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება ერთი თამაშის თამაშის შედეგად. თუ მეორე მოთამაშე გამოიყენებს თავის პირველ სტრატეგიას, მაშინ პირველი მოთამაშე მიიღებს 3, 1, 2, შესაბამისად, თავისი 1-ლი, მე-2, მე-3 სტრატეგიებით და პირველი მოთამაშის ჯამური ანაზღაურება ორივე თამაშისთვის იქნება:

2 + 3=5 მისი პირველი სტრატეგიით,

3 + 1=4 მისი მე-2 სტრატეგიით,

3 + 2=5 მისი მე-3 სტრატეგიით.

ეს ჯამური მოგება ფიქსირდება ცხრილის მეორე სტრიქონში. 3 და პირველი მოთამაშის სტრატეგიების შესაბამის სვეტებში: 1, 2, 3.

ყველა ჯამური ანაზღაურებიდან ყველაზე დიდი არის 5. ის მიიღება პირველი მოთამაშის 1-ლი და მე-3 სტრატეგიით, შემდეგ მას შეუძლია აირჩიოს რომელიმე მათგანი; ვთქვათ, ასეთ შემთხვევებში, როდესაც არის ორი (ან რამდენიმე) იდენტური ჯამური ანაზღაურება, არჩეულია სტრატეგია ყველაზე მცირე რაოდენობით (ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა ავიღოთ 1-ლი სტრატეგია).

პირველი მოთამაშის 1-ლი სტრატეგიით, მეორე მოთამაშე წააგებს შესაბამისად 3, 2, 3 თავის 1-ლ, მე-2, მე-3 სტრატეგიებთან და მეორე მოთამაშის საერთო წაგება ორივე თამაშში იქნება:

1 + 3=4 მისი პირველი სტრატეგიით,

3 + 2=5 მისი მე-2 სტრატეგიით,

4 + 3=7 მისი მე-3 სტრატეგიით.

ეს ჯამური დანაკარგები დაფიქსირებულია ცხრილის მეორე სტრიქონში. 5 და მეორე მოთამაშის 1-ლი, მე-2, მე-3 სტრატეგიების შესაბამის სვეტებში.

მეორე მოთამაშის ჯამური დანაკარგებიდან ყველაზე პატარა არის 4. ის მიიღება მისი 1-ლი სტრატეგიით, ამიტომ მესამე თამაშში მეორე მოთამაშემ უნდა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია. სვეტში ჩადეთ პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი ჯამური ანაზღაურება ორ თამაშში, გაყოფილი თამაშების რაოდენობაზე, ე.ი. w სვეტი შეიცავს მეორე მოთამაშის უმცირეს საერთო დანაკარგს ორ თამაშში, გაყოფილი თამაშების რაოდენობაზე, ე.ი. ამ მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული მოყვანილია სვეტში v, ანუ = ეს რიცხვი აღებულია, როგორც თამაშის ფასის მიახლოებითი მნიშვნელობა ორი "თამაშიანი" თამაშით.

ამრიგად, მიიღება შემდეგი ცხრილი 4, თამაშის ორი ნაკრებისთვის.

ცხრილი 6. მოთამაშეთა ჯამური მოგება და წაგება ორ თამაშში

მე-6 ცხრილის მესამე რიგში, მეორე მოთამაშის სტრატეგიის სვეტში არის ნომერი 1, რომელიც მიუთითებს, რომ მესამე თამაშში მეორე მოთამაშემ უნდა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია. ამ შემთხვევაში, პირველი მოთამაშე იგებს 3, 1, 2, შესაბამისად მისი 1, 2, 3 სტრატეგიების გამოყენებით და მისი ჯამური ანაზღაურება სამი თამაშისთვის იქნება:

3 + 5 = 8 მის პირველ სტრატეგიაზე,

1 +4 = 5 მისი მე-2 სტრატეგიით,

2 + 5 = 7 მისი მე-3 სტრატეგიისთვის.

პირველი მოთამაშის ეს ჯამური ანაზღაურება ჩაწერილია მე-6 ცხრილის მესამე რიგში და მისი 1, 2, 3 სტრატეგიების შესაბამისი სვეტები. ვინაიდან პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი ჯამური ანაზღაურება 8 მიიღება 1-ლი სტრატეგიით, ის შესაბამისად ირჩევს პირველს. .

პირველი მოთამაშის 1-ლი სტრატეგიით მეორე მოთამაშე წააგებს 3, 1, 2, შესაბამისად, 1, 2, 3 სტრატეგიებთან და მეორე მოთამაშის ჯამური წაგება ორივე თამაშში იქნება:

3 + 4=7 მისი პირველი სტრატეგიით,

2 + 5=7 მისი მე-2 სტრატეგიით,

3 + 7=10 მისი მე-3 სტრატეგიით.

ეს ჯამური დანაკარგები აღირიცხება ცხრილის მესამე სტრიქონში. 6 და მეორე მოთამაშის 1-ლი, მე-2, მე-3 სტრატეგიების შესაბამის სვეტებში. მისი მთლიანი დანაკარგებიდან 7 არის ყველაზე მცირე და მიიღება მისი 1-ლი და მე-2 სტრატეგიით, შემდეგ მეორე მოთამაშემ უნდა გამოიყენოს თავისი 1-ლი სტრატეგია.

მაგიდაზე. 6 სვეტში მესამე რიგში და პირველი მოთამაშის ყველაზე დიდი ჯამური მოგება სამ თამაშში, გაყოფილი თამაშის რაოდენობაზე, ე.ი. სვეტი w შეიცავს მეორე მოთამაშის უმცირეს საერთო დანაკარგს სამ თამაშში, გაყოფილი თამაშების რაოდენობაზე, ე.ი. V სვეტში ჩადეთ მათი საშუალო არითმეტიკული

ასე მივიღებთ ცხრილს. 7 სამი წვეულებისთვის.

ცხრილი 7. მოთამაშეთა ჯამური მოგება და წაგება სამ თამაშში

ცხრილი 8. დასკვნითი ცხრილი ოცი თამაშით

მაგიდიდან. 7 და 8, ჩანს, რომ 20 წაგებულ თამაშში პირველი მოთამაშისთვის 1, 2, 3 სტრატეგიები ხდება შესაბამისად 12, 3, 5-ჯერ, შესაბამისად, მათი შედარებითი სიხშირეები შესაბამისად ტოლია; სტრატეგიები 1, 2, 3 მეორე მოთამაშისთვის ხდება შესაბამისად 7, 11.2-ჯერ, შესაბამისად მათი ფარდობითი სიხშირეები შესაბამისად ტოლია; თამაშის ფასის სავარაუდო ღირებულება. ეს მიახლოება საკმარისად კარგია.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ თუ თამაშს აქვს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ თამაშის ღირებულების სავარაუდო მნიშვნელობები კვლავ მიუახლოვდება თამაშის ნამდვილ ღირებულებას განუსაზღვრელი ვადით და სტრატეგიების გარეგნობის შედარებით სიხშირეებს. მოთამაშეები აღარ მიუდგებიან მოთამაშეთა ნამდვილ ოპტიმალურ შერეულ სტრატეგიებს.

შედეგების ანალიზი

ამ საკურსო ნაშრომში ანტაგონისტური თამაშების გადაწყვეტის საპოვნელ მასალას სწავლობენ გრაფიკული, მატრიცული მეთოდით, თამაშის ფასის თანმიმდევრული მიახლოების მეთოდით. ნაპოვნია პირველი და მეორე მოთამაშის ოპტიმალური სტრატეგიები, ასევე თამაშის ღირებულება 2x2, 2xn და mx2 თამაშებში, ასევე თამაშებში მატრიცის მეთოდით და ბრაუნის მეთოდით.

წყვილის მაგალითზე მოდელირებული იქნა 2x2 თამაში, რომელიც ალგებრული და გრაფიკული მეთოდით იყო ამოხსნილი. ალგებრული მეთოდით თამაშის ამოხსნისას, გამოსავალი აჩვენებს, რომ მათი ოპტიმალური შერეული სტრატეგიების გამოყენებით, პირველი და მეორე მოთამაშე ერთად 4,6 საათს გაატარებენ. პრობლემის გრაფიკული გადაწყვეტა მცირე შეცდომით აღმოჩნდა და შეადგინა 4,5 საათი.

ასევე მოდელირებული იქნა ორი დავალება 2xn და mx2. 2xn პრობლემაში განიხილებოდა სასოფლო-სამეურნეო კულტურა და სტრატეგია გვიჩვენებს, რომ სჯობს მინდვრის გაშენება 50-ზე 50-ზე, ხოლო თამაშის ფასი იყო 3,75 მილიონი რუბლი. და mx2 პრობლემაში განიხილებოდა წყვილი, რომლის სტრატეგიამ აჩვენა, რომ პარკში და კინოში სიარული უფრო იაფია და ფასი და ღირებულება იქნება 4,3 რუბლი.

მატრიცული მეთოდისთვის მოდელირებული იქნა დავალება, რომელშიც განიხილებოდა ორი რესტორანი, პრობლემის გადაწყვეტამ აჩვენა, რომ მისი ოპტიმალური შერეული სტრატეგიის გამოყენებისას, პირველი რესტორნის მოგება იქნება 15,6 მილიონი რუბლი, ხოლო მისი ოპტიმალური შერეული სტრატეგიის გამოყენებისას. მეორე რესტორანში, ის არ დაუშვებს პირველს 15,6 მილიონ რუბლზე მეტი გამოიმუშაოს. გრაფიკული მეთოდით გამოსავალმა შეცდომა დაუშვა და თამაშის ფასი იყო 14,9 მილიონი რუბლი.

ბრაუნის მეთოდისთვის შედგენილია დავალება, რომელშიც განიხილება პროფკავშირი და კომპანიის მენეჯმენტი, მათი ამოცანაა მუშებისთვის საკვების მიწოდება. როდესაც ორივე მოთამაშე გამოიყენებს თავის ოპტიმალურ სტრატეგიებს, საკვები ერთ ადამიანზე იქნება 2,45 ათასი რუბლი.

გამოყენებული წყაროების სია

1) ვილისოვი V.Ya. სალექციო ჩანაწერები "თამაშის თეორია და სტატისტიკური გადაწყვეტილებები", - ფილიალი - "ვოსხოდი" MAI. 1979. 146 გვ.

2) კრუშევსკი ა.ვ. თამაშის თეორია, - კიევი: ვიშჩას სკოლა, 1977. - 216გვ.

3) Cherchmen U., Akof R., Arnof L., Introduction to Operations Research. - მ.: მეცნიერება. 1967. - 488გვ.

4) http://www.math-pr.com/exampl_gt2.htm

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1% 82%D0%B0%D0 %B3%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%81 %D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0

მასპინძლობს Allbest.ru-ზე

მსგავსი დოკუმენტები

გადაწყვეტილების მიღება, როგორც ადამიანის საქმიანობის განსაკუთრებული სახე. თამაშის მატრიცის რაციონალური წარმოდგენა. მატრიცული თამაშების მაგალითები სუფთა და შერეული სტრატეგიებით. ოპერაციების კვლევა: ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების კავშირი თამაშის თეორიულ მოდელთან.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 05/05/2010


არაერთხელ გამეორებული თამაშები, მათი გამორჩეული თვისებები და ეტაპები. პრაქტიკაში მათი გამოყენების შერეული სტრატეგიები, პირობები და შესაძლებლობები. 2 x 2 თამაშის ამოხსნის ანალიტიკური მეთოდი მართკუთხა თამაშების ძირითადი თეორემები. ალგებრული ამონახსნები.

პრეზენტაცია, დამატებულია 23/10/2013


ბიმატრიქსის თამაშების თეორიის ძირითადი განმარტებები. ბიმატრიქსის თამაშის მაგალითი "მოსწავლე-მასწავლებელი". შერეული სტრატეგიები ბიმატრიქს თამაშებში. მოძებნეთ "წონასწორობის სიტუაცია". 2x2 ბიმატრიქსის თამაშები და ფორმულები იმ შემთხვევისთვის, როდესაც თითოეულ მოთამაშეს აქვს ორი სტრატეგია.

რეზიუმე, დამატებულია 02/13/2011


მატრიცული და ანტაგონისტური თამაშების შესახებ ზოგადი ინფორმაციის შესწავლა. პოზიციური თამაშის კონცეფცია, ხე, საინფორმაციო ნაკრები. მაქსიმინის პრინციპისა და წონასწორობის პრინციპის გათვალისწინება. პარეტოს ოპტიმალურობა. პოზიციური არაანტაგონისტური თამაში, მისი თვისებები.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 17.10.2014


თამაშის თეორია მათემატიკის დარგია, რომლის საგანია კონფლიქტის დროს ოპტიმალური გადაწყვეტილების მიღების მათემატიკური მოდელების შესწავლა. ბრაუნ-რობინსონის განმეორებითი მეთოდი. მონოტონური განმეორებითი ალგორითმი მატრიცული თამაშების გადასაჭრელად.

დისერტაცია, დამატებულია 08/08/2007


ანაზღაურების მატრიცის შედგენა, თამაშის ქვედა და ზედა წმინდა ფასების მოძიება, მოთამაშეთა მაქსიმალური და მინიმალური სტრატეგიები. გადახდის მატრიცის გამარტივება. მატრიცული თამაშის გადაწყვეტა ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის შემცირებით და დანამატით „გამოსავალის ძიება“.

ტესტი, დამატებულია 11/10/2014


თამაშის თეორია არის კონფლიქტური სიტუაციების მათემატიკური თეორია. ორკაციანი ნულოვანი თამაშის მათემატიკური მოდელის შემუშავება, მისი განხორციელება პროგრამის კოდების სახით. პრობლემის გადაჭრის მეთოდი. შეყვანისა და გამომავალი მონაცემები. პროგრამა, მომხმარებლის სახელმძღვანელო.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 17.08.2013


ძირითადი ინფორმაცია სიმპლექსის მეთოდის შესახებ, მისი როლისა და მნიშვნელობის შეფასება ხაზოვან პროგრამირებაში. გეომეტრიული ინტერპრეტაცია და ალგებრული მნიშვნელობა. წრფივი ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმალურის პოვნა, განსაკუთრებული შემთხვევები. ამოცანის ამოხსნა მატრიცის სიმპლექსის მეთოდით.

ნაშრომი, დამატებულია 06/01/2015


გამოთვლითი სისტემების მათემატიკური მოდელების აგების ტექნიკა, რომელიც ასახავს მათი ფუნქციონირების სტრუქტურასა და პროცესებს. ფაილების წვდომის რაოდენობა საშუალო დავალების დროს. გარე მეხსიერების დისკებში ფაილების განთავსების შესაძლებლობის განსაზღვრა.

ლაბორატორიული სამუშაო, დამატებულია 21/06/2013


მათემატიკური მოდელის შემუშავება. თამაშის აღწერა tic-tac-toe. ლოგიკური თამაშის მოდელი ლოგიკური ალგებრაზე დაფუძნებული. ციფრული ელექტრონული მოწყობილობები და მათი მათემატიკური მოდელის შემუშავება. სათამაშო კონსოლი, თამაშის კონტროლერი, სათამაშო დაფის სტრიქონი.

თამაშის თეორია არის გადაწყვეტილების მიღების მათემატიკური მოდელების თეორია კონფლიქტის ან გაურკვევლობის პირობებში. ვარაუდობენ, რომ თამაშში მხარეთა ქმედებები ხასიათდება გარკვეული სტრატეგიებით - მოქმედების წესების ნაკრებით. თუ ერთი მხარის მოგება აუცილებლად იწვევს მეორე მხარის დაკარგვას, მაშინ ისინი საუბრობენ ანტაგონისტურ თამაშებზე. თუ სტრატეგიების ნაკრები შეზღუდულია, მაშინ თამაშს უწოდებენ მატრიცულ თამაშს და გამოსავლის მიღება შეიძლება ძალიან მარტივად. თამაშის თეორიის დახმარებით მიღებული გადაწყვეტილებები სასარგებლოა გეგმების შედგენაში კონკურენტების შესაძლო წინააღმდეგობის ან გარე გარემოში გაურკვევლობის პირობებში.

თუ ბიმატრიქსის თამაში ანტაგონისტურია, მაშინ მე-2 მოთამაშის ანაზღაურებადი მატრიცა მთლიანად განისაზღვრება მოთამაშის 1-ის ანაზღაურების მატრიცით (ამ ორი მატრიცის შესაბამისი ელემენტები განსხვავდება მხოლოდ ნიშნებით). მაშასადამე, ბიმატრიქსის ანტაგონისტური თამაში მთლიანად აღწერილია ერთი მატრიცით (მოთამაშის ანაზღაურებადი მატრიცა 1) და, შესაბამისად, მას უწოდებენ მატრიცულ თამაშს.

ეს თამაში ანტაგონისტურია. მასში j \u003d x2 - O, P და R (O, O] \u003d H (P, P) \u003d -I და R (O, P) \u003d R (P, O) \u003d 1, ან მატრიცის სახით o გვ

დაე, რაიმე კლასის თამაშები Г იყოს „სარკეულად დახურული“, ე.ი. მის თითოეულ თამაშთან ერთად შეიცავს სარკისებურ იზომორფულ თამაშს (რადგან ყველა თამაში, რომელიც მოცემულისთვის სარკისებური იზომორფულია, ერთმანეთის მიმართ იზომორფულია, ჩვენ, როგორც უკვე ითქვა, შეგვიძლია ვისაუბროთ ერთ სარკის იზომორფულ თამაშზე). ასეთი კლასია, მაგალითად, ყველა ანტაგონისტური თამაშის კლასი ან ყველა მატრიცული თამაშის კლასი.

თუ გავიხსენებთ მისაღები სიტუაციების განმარტებას ანტაგონისტურ თამაშში, მივიღებთ, რომ სიტუაცია (X, Y) მატრიცის თამაშის შერეულ გაფართოებაში მისაღებია მოთამაშისთვის 1, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე x G x უტოლობა

თამაშების სიმეტრიულებად გადაქცევის პროცესს სიმეტრიზაცია ეწოდება. ჩვენ აღვწერთ სიმეტრიიზაციის ერთ მეთოდს. სიმეტრიიზაციის სხვა, ფუნდამენტურად განსხვავებული ვერსია მოცემულია 26.7 ნაწილში. სიმეტრიიზაციის ორივე ეს ვარიანტი რეალურად გამოიყენება თვითნებური ანტაგონისტური თამაშებისთვის, მაგრამ ჩამოყალიბდება და დადასტურდება მხოლოდ მატრიცული თამაშებისთვის.

ამრიგად, ზოგადი ანტაგონისტური თამაშების თეორიის საწყისი ტერმინები და აღნიშვნები ემთხვევა მატრიცული თამაშების თეორიის შესაბამის ტერმინებსა და აღნიშვნებს.

სასრულ ანტაგონისტური (მატრიცული) თამაშებისთვის ამ ექსტრემების არსებობა ჩვენ მიერ მე-10 თავში დავამტკიცეთ. 1 და მთელი საქმე იყო მათი თანასწორობის დამყარება, ან თუნდაც მათი უთანასწორობის დაძლევის გზების პოვნა.

მატრიცული თამაშების განხილვა უკვე აჩვენებს, რომ არსებობს ანტაგონისტური თამაშები წონასწორული სიტუაციების გარეშე (და თუნდაც ელექტრონული წონასწორობის სიტუაციების გარეშე საკმარისად მცირე e > 0-ისთვის) მოთამაშეთა თავდაპირველად მოცემულ სტრატეგიებში.

მაგრამ ყოველი სასრული (მატრიცული) თამაში შეიძლება გაფართოვდეს უსასრულო თამაშზე, მაგალითად, თითოეულ მოთამაშეს ნებისმიერი რაოდენობის დომინირებული სტრატეგიის მიწოდებით (იხ. 22 ქ. 1). ცხადია, მოთამაშის სტრატეგიების ნაკრების ასეთი გაფართოება ნამდვილად არ ნიშნავს მისი შესაძლებლობების გაფართოებას და მისი რეალური ქცევა გაფართოებულ თამაშში არ უნდა განსხვავდებოდეს მისი ქცევისგან თავდაპირველ თამაშში. ამრიგად, ჩვენ დაუყოვნებლივ მივიღეთ უსასრულო ანტაგონისტური თამაშების მაგალითების საკმარისი რაოდენობა, რომლებსაც არ აქვთ უნაგირის წერტილები. ასევე არის ასეთი მაგალითები.

ამრიგად, უსასრულო ანტაგონისტურ თამაშში მაქსიმინის პრინციპის განსახორციელებლად, აუცილებელია, როგორც სასრული (მატრიცული) თამაშის შემთხვევაში, მოთამაშეთა სტრატეგიული შესაძლებლობების გარკვეული გაფართოება. 96-ისთვის

როგორც მატრიცული თამაშების შემთხვევაში (იხ. თავ. 1, 17), ზოგად ანტაგონისტურ თამაშებში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს შერეული სტრატეგიის სპექტრის კონცეფცია, რომელსაც აქ უფრო ზოგადი განმარტება უნდა მივცეთ.

და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ 1 მოთამაშის ყველა შერეული სტრატეგიის ნაკრები თვითნებურ ანტაგონისტურ თამაშში არის, როგორც მატრიცაში

ანტაგონისტური თამაშების გათვალისწინებაც კი აჩვენებს, რომ ასეთი თამაშების დიდ რაოდენობას, მათ შორის სასრულს, მატრიცულ თამაშებს აქვთ წონასწორული სიტუაციები არა თავდაპირველ, სუფთა სტრატეგიებში, არამედ მხოლოდ განზოგადებულ, შერეულ სტრატეგიებში. ამიტომ, ზოგადი, არაანტაგონისტური, არათანამშრომლობითი თამაშებისთვის, ბუნებრივია წონასწორული სიტუაციების ძიება ზუსტად შერეულ სტრატეგიებში.

ასე, მაგალითად (იხ. სურ. 3.1), ჩვენ უკვე აღვნიშნეთ, რომ „კონტრაქტორს“ თითქმის არასოდეს უწევს საქმე ქცევის გაურკვევლობასთან. მაგრამ თუ ავიღებთ "ადმინისტრატორის" ტიპის კონცეპტუალურ დონეს, მაშინ ყველაფერი პირიქითაა. როგორც წესი, გაურკვევლობის მთავარი ტიპი, რომელსაც ასეთი „ჩვენი გადაწყვეტილების მიმღები“ აწყდება, არის „კონფლიქტი“. ახლა შეგვიძლია განვმარტოთ, რომ ეს ჩვეულებრივ არა მკაცრი მეტოქეობაა. ნაკლებად ხშირად „ადმინისტრატორი“ იღებს გადაწყვეტილებებს „ბუნებრივი გაურკვევლობის“ პირობებში და უფრო იშვიათად აწყდება მკაცრ, ანტაგონისტურ კონფლიქტს. გარდა ამისა, „ადმინისტრატორის“ მიერ გადაწყვეტილების მიღებისას ინტერესთა შეჯახება ხდება, ასე ვთქვათ, „ერთხელ“, ანუ ჩვენს კლასიფიკაციაში ის ხშირად თამაშობს თამაშის მხოლოდ ერთ (ზოგჯერ ძალიან მცირე რაოდენობას). შედეგების შეფასების მასშტაბები უფრო ხშირად ხარისხობრივია, ვიდრე რაოდენობრივი. „ადმინისტრატორის“ სტრატეგიული დამოუკიდებლობა საკმაოდ შეზღუდულია. ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით, შეიძლება ითქვას, რომ ამ მასშტაბის პრობლემური სიტუაციები ყველაზე ხშირად უნდა გაანალიზდეს არათანამშრომლობითი არაანტაგონისტური ბი-მატრიცული თამაშების გამოყენებით, უფრო მეტიც, სუფთა სტრატეგიებში.

მატრიცული ანტაგონისტური თამაშების ამოხსნის პრინციპები

შედეგად, გონივრული იქნება იმის მოლოდინი, რომ ზემოთ აღწერილ თამაშში ოპონენტები დაიცავენ მათ მიერ არჩეულ სტრატეგიებს. მატრიცული ანტაგონისტური თამაში, რომლისთვისაც max min fiv = min max Aiy>

თუმცა, ყველა მატრიცის ანტაგონისტური თამაში არ არის საკმაოდ გარკვეული და ზოგადად

ამრიგად, ზოგად შემთხვევაში, განზომილების /uxl მატრიცული ანტაგონისტური თამაშის გადასაჭრელად, საჭიროა გადაწყვიტოთ ორმაგი ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანები, რის შედეგადაც მიიღება ოპტიმალური სტრატეგიების ნაკრები, / და თამაშის ღირებულება v.

როგორ განისაზღვრება ორი ადამიანის მატრიცული ანტაგონისტური თამაში?

როგორია მატრიცული ანტაგონისტური თამაშების გამარტივებისა და ამოხსნის მეთოდები

ორი ადამიანის თამაშის შემთხვევაში ბუნებრივია მათი ინტერესების პირდაპირ საპირისპიროდ მიჩნევა - თამაში ანტაგონისტურია. ამრიგად, ერთი მოთამაშის ანაზღაურება უდრის მეორის წაგებას (ორივე მოთამაშის ანაზღაურებათა ჯამი არის ნული, აქედან მოდის სახელი, ნულოვანი ჯამის თამაში). ჩვენ განვიხილავთ თამაშებს, რომლებშიც თითოეულ მოთამაშეს აქვს ალტერნატივების სასრული რაოდენობა. ანაზღაურებადი ფუნქცია ასეთი ნულოვანი ჯამის ორკაციანი თამაშისთვის შეიძლება მიცემული იყოს მატრიცის სახით (ანაზღაურების მატრიცის სახით).

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, საბოლოო ანტაგონისტურ თამაშს მატრიცა ეწოდება.

MATRIX GAMES - ანტაგონისტური თამაშების კლასი, რომელშიც ორი მოთამაშე მონაწილეობს და თითოეულ მოთამაშეს აქვს სტრატეგიების სასრული რაოდენობა. თუ ერთ მოთამაშეს აქვს m სტრატეგია, ხოლო მეორე მოთამაშეს აქვს n სტრატეგია, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ თამაშის მატრიცა txn განზომილებით. მ.ი. შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს უნაგირის წერტილი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში

განვიხილოთ სასრული ნულოვანი ჯამის თამაში. აღნიშნეთ მიერ ამოთამაშის ანაზღაურება ა, და მეშვეობით ბ- მოთამაშის მოგება ბ. იმიტომ რომ ა = –ბ, მაშინ ასეთი თამაშის გაანალიზებისას არ არის საჭირო ორივე ამ რიცხვის გათვალისწინება - საკმარისია გავითვალისწინოთ ერთ-ერთი მოთამაშის ანაზღაურება. დაე იყოს, მაგალითად, ა. შემდეგში, პრეზენტაციის მოხერხებულობისთვის, მხარე აპირობითად დავასახელებთ" ჩვენ"და მხარე ბ – "მტერი".

მოდით გვქონდეს მშესაძლო სტრატეგიები ა 1 , ა 2 , …, Ვარდა მტერი ნშესაძლო სტრატეგიები ბ 1 , ბ 2 , …, B n(ასეთ თამაშს ეწოდება თამაში m×n). დავუშვათ, რომ თითოეულმა მხარემ აირჩია გარკვეული სტრატეგია: ჩვენ ავირჩიეთ აი, მოწინააღმდეგე ბ ჯ. თუ თამაში შედგება მხოლოდ პირადი სვლებისგან, მაშინ სტრატეგიების არჩევანი აიდა ბ ჯცალსახად განსაზღვრავს თამაშის შედეგს - ჩვენს ანაზღაურებას (დადებითი თუ უარყოფითი). აღვნიშნოთ ეს მოგება როგორც აიჯ(გამარჯვების შემთხვევაში, როდესაც ვირჩევთ სტრატეგიას აიდა მტერი - სტრატეგიები ბ ჯ).

თუ თამაში, გარდა პირადი შემთხვევითი სვლებისა, შეიცავს ანაზღაურებას წყვილი სტრატეგიისთვის აი, ბ ჯარის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც დამოკიდებულია ყველა შემთხვევითი სვლის შედეგებზე. ამ შემთხვევაში მოსალოდნელი ანაზღაურების ბუნებრივი შეფასება არის შემთხვევითი გამარჯვების მათემატიკური მოლოდინი. მოხერხებულობისთვის ჩვენ აღვნიშნავთ აიჯროგორც თავად ანაზღაურება (თამაშში შემთხვევითი სვლების გარეშე), ასევე მისი მათემატიკური მოლოდინი (შემთხვევითი სვლებით თამაშში).

დავუშვათ, ჩვენ ვიცით ღირებულებები აიჯთითოეული წყვილი სტრატეგიისთვის. ეს მნიშვნელობები შეიძლება დაიწეროს როგორც მატრიცა, რომლის რიგები შეესაბამება ჩვენს სტრატეგიებს ( აი), და სვეტები აჩვენებს მოწინააღმდეგის სტრატეგიებს ( ბ ჯ):

ასეთ მატრიცას ე.წ თამაშის ანაზღაურებადი მატრიცაან უბრალოდ თამაშის მატრიცა.

გაითვალისწინეთ, რომ ანაზღაურების მატრიცის აგება თამაშებისთვის დიდი რაოდენობის სტრატეგიებით შეიძლება იყოს რთული ამოცანა. მაგალითად, ჭადრაკის თამაშისთვის, შესაძლო სტრატეგიების რაოდენობა იმდენად დიდია, რომ ანაზღაურების მატრიცის აგება პრაქტიკულად შეუძლებელია. თუმცა, პრინციპში, ნებისმიერი სასრული თამაში შეიძლება შემცირდეს მატრიცულ ფორმამდე.

განვიხილოთ მაგალითი 1 4×5 ანტაგონისტური თამაში. ჩვენ გვაქვს ოთხი სტრატეგია, მტერს აქვს ხუთი სტრატეგია. თამაშის მატრიცა ასეთია:

რა სტრატეგია უნდა გვქონდეს (ანუ მოთამაშე ა) გამოყენება? როგორი სტრატეგიაც არ უნდა ავირჩიოთ, გონივრული მოწინააღმდეგე უპასუხებს მას სტრატეგიით, რისთვისაც ჩვენი ანაზღაურება მინიმალური იქნება. მაგალითად, თუ ავირჩევთ სტრატეგიას ა 3 (10-იანი გამარჯვებით ცდუნება), მოწინააღმდეგე საპასუხოდ აირჩევს სტრატეგიას ბ 1 , და ჩვენი ანაზღაურება იქნება მხოლოდ 1. ცხადია, სიფრთხილის პრინციპიდან გამომდინარე (და ეს არის თამაშის თეორიის მთავარი პრინციპი), უნდა ავირჩიოთ სტრატეგია, რომელშიც ჩვენი მინიმალური მოგება მაქსიმალურია.

აღნიშნეთ მიერ ა იმინიმალური ანაზღაურებადი ღირებულება სტრატეგიისთვის აი:

და დაამატეთ სვეტი, რომელიც შეიცავს ამ მნიშვნელობებს თამაშის მატრიცას:

სტრატეგიის არჩევისას უნდა ავირჩიოთ ის, რისთვისაც ფასდება ა იმაქსიმუმ. ავღნიშნოთ ეს მაქსიმალური მნიშვნელობა α :

ღირებულება α დაურეკა დაბალი თამაშის ფასიან მაქსიმინი(მაქსიმალური მინიმალური მოგება). მოთამაშის სტრატეგია ამაქსიმინის შესაბამისი α , ეწოდება მაქსიმალური სტრატეგია.

ამ მაგალითში მაქსიმ α უდრის 3-ს (ცხრილის შესაბამისი უჯრა მონიშნულია ნაცრისფერში), ხოლო მაქსიმინის სტრატეგია არის აოთხი . ამ სტრატეგიის არჩევის შემდეგ შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ მტრის ნებისმიერი ქცევისთვის ჩვენ მოვიგებთ არანაკლებ 3-ს (და შესაძლოა მეტსაც მტრის „არაგონივრული“ ქცევით). საკუთარ თავს, ვიცავთ ყველაზე ფრთხილ („გადაზღვევის“) სტრატეგიას.

ახლა ჩვენ განვახორციელებთ მტრის მსგავს მსჯელობას ბ ბ ა ბ 2 - ჩვენ ვუპასუხებთ მას ა .

აღნიშნეთ მიერ βj ა ბ) სტრატეგიისთვის აი:

βj β :

7. რა არის უმაღლესი ღირებულების თამაში ახლა ჩვენ განვახორციელებთ მსგავს მსჯელობას მოწინააღმდეგისთვის ბ. მას აინტერესებს ჩვენი მოგება მინიმუმამდე დაიყვანოს, ანუ ნაკლები მოგვცეს, მაგრამ ჩვენი ქცევის იმედი უნდა ჰქონდეს, რაც მისთვის ყველაზე ცუდია. მაგალითად, თუ ის აირჩევს სტრატეგიას ბ 1 , მაშინ ჩვენ მას სტრატეგიით ვუპასუხებთ ა 3 და ის მოგვცემს 10. თუ აირჩევს ბ 2 - ჩვენ ვუპასუხებთ მას ა 2 და ის მისცემს 8-ს და ასე შემდეგ. ცხადია, ფრთხილმა მოწინააღმდეგემ უნდა აირჩიოს სტრატეგია, რომელშიც ჩვენი მაქსიმალური მოგება იქნება მინიმალური.

აღნიშნეთ მიერ βjმაქსიმალური მნიშვნელობები ანაზღაურების მატრიცის სვეტებში (მოთამაშის მაქსიმალური ანაზღაურება ა, ან, რაც იგივეა, მოთამაშის მაქსიმალური ზარალი ბ) სტრატეგიისთვის აი:

და დაამატეთ მწკრივი, რომელიც შეიცავს ამ მნიშვნელობებს თამაშის მატრიცას:

სტრატეგიის არჩევისას, მტერი უპირატესობას ანიჭებს იმას, რისთვისაც ღირს βjმინიმალური. ავღნიშნოთ β :

ღირებულება β დაურეკა თამაშის ყველაზე მაღალი ფასიან მინიმაქსი(მინიმალური მაქსიმალური მოგება). მოწინააღმდეგის (მოთამაშის) სტრატეგია, რომელიც შეესაბამება მინიმუმს ბ), ეწოდება მინიმალური სტრატეგია.

მინიმაქსი არის მოგების მნიშვნელობა, რომელსაც გონივრული მოწინააღმდეგე ნამდვილად არ მოგვცემს (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გონივრული ოპონენტი დაკარგავს არაუმეტეს β ). ამ მაგალითში, მინიმალური β უდრის 5-ს (ცხრილის შესაბამისი უჯრა მონიშნულია ნაცრისფერში) და მიიღწევა მოწინააღმდეგის სტრატეგიით. ბ 3 .

ასე რომ, სიფრთხილის პრინციპიდან გამომდინარე („ყოველთვის ველოდოთ ყველაზე უარესს!“) უნდა ავირჩიოთ სტრატეგია ა 4 და მტერი - სტრატეგია ბ 3 . სიფრთხილის პრინციპი თამაშის თეორიაში ფუნდამენტურია და ე.წ მინიმაქსის პრინციპი.

განვიხილოთ მაგალითი 2. მიეცით მოთამაშეები ადა ATსამი რიცხვიდან ერთი იწერება ერთდროულად და ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად: ან "1", ან "2", ან "3". თუ დაწერილი რიცხვების ჯამი ლუწია, მაშინ მოთამაშე ბიხდის მოთამაშეს აამ თანხას. თუ თანხა კენტია, მაშინ მოთამაშე იხდის ამ თანხას ამოთამაშე AT.

მოდით ჩამოვწეროთ თამაშის ანაზღაურებადი მატრიცა და ვიპოვოთ თამაშის ქვედა და ზედა ფასები (სტრატეგიის ნომერი შეესაბამება დაწერილ რიცხვს):

მოთამაშე აუნდა დაიცვას მაქსიმალური სტრატეგია ა 1 მოგება მინიმუმ -3 (ანუ მაქსიმუმ 3 წაგება). Minimax მოთამაშის სტრატეგია ბრომელიმე სტრატეგია ბ 1 და ბ 2, რაც გარანტიას იძლევა, რომ ის მისცემს არაუმეტეს 4-ს.

იგივე შედეგს მივიღებთ, თუ ანაზღაურების მატრიცას დავწერთ მოთამაშის თვალსაზრისით AT. სინამდვილეში, ეს მატრიცა მიიღება მოთამაშის თვალთახედვით აგებული მატრიცის ტრანსპონირებით. ა, და ელემენტების ნიშნების შეცვლა საპირისპიროდ (მოთამაშის ანაზღაურებიდან აარის მოთამაშის დაკარგვა AT):

ამ მატრიციდან გამომდინარე, გამოდის, რომ მოთამაშე ბუნდა დაიცვას რომელიმე სტრატეგია ბ 1 და ბ 2 (და შემდეგ ის დაკარგავს არაუმეტეს 4-ს) და მოთამაშე ა- სტრატეგიები ა 1 (და შემდეგ ის დაკარგავს არაუმეტეს 3-ს). როგორც ხედავთ, შედეგი ზუსტად იგივეა, რაც ზემოთ მიღებული, ამიტომ ანალიზს მნიშვნელობა არ აქვს, თუ რომელი მოთამაშის კუთხით ვატარებთ მას.

8 რა არის ღირებული თამაში.

9. რისგან შედგება MINIMAX პრინციპი. 2. თამაშის ქვედა და ზედა ფასი. მინიმაქსის პრინციპი

განვიხილოთ მატრიცული თამაში ანაზღაურების მატრიცით

თუ მოთამაშე მაგრამაირჩევს სტრატეგიას A ი, მაშინ მისი ყველა შესაძლო ანაზღაურება ელემენტები იქნება მე- მატრიცის რიგი FROM. ყველაზე ცუდი მოთამაშისთვის მაგრამშემთხვევა, როდესაც მოთამაშე ATმიმართავს შესაბამის სტრატეგიას მინიმალურიამ ხაზის ელემენტი, მოთამაშის ანაზღაურება მაგრამრიცხვის ტოლი იქნება.

ამიტომ, მაქსიმალური ანაზღაურების მისაღებად მოთამაშემ მაგრამთქვენ უნდა აირჩიოთ ერთი სტრატეგია, რომლის ნომერი მაქსიმუმ.

უმარტივესი შემთხვევა, დეტალურად დამუშავებული თამაშის თეორიაში, არის ნულოვანი ჯამის სასრული წყვილის თამაში (ანტაგონისტური თამაში ორი პიროვნების ან ორი კოალიციის). განვიხილოთ თამაში G, რომელშიც მონაწილეობს ორი მოთამაშე A და B, რომლებსაც აქვთ საპირისპირო ინტერესები: ერთის მოგება უდრის მეორის დაკარგვას. ვინაიდან A მოთამაშის ანაზღაურება უდრის მოთამაშის B-ის საპირისპირო ნიშნის ანაზღაურებას, ჩვენ შეგვიძლია დავინტერესდეთ მხოლოდ მოთამაშის ანაზღაურებით. ბუნებრივია, A-ს სურს მაქსიმიზაცია და B-ს სურს მინიმუმამდე a.

სიმარტივისთვის, მოდით გონებრივად ამოვიცნოთ საკუთარი თავი ერთ-ერთ მოთამაშესთან (მოდით იყოს A) და ვუწოდოთ მას "ჩვენ", ხოლო მოთამაშე B - "მოწინააღმდეგე" (რა თქმა უნდა, A-სთვის რეალური უპირატესობა არ მოჰყვება ამას). გვქონდეს შესაძლო სტრატეგიები და მოწინააღმდეგე - შესაძლო სტრატეგიები (ასეთ თამაშს თამაში ჰქვია). მოდით აღვნიშნოთ ჩვენი ანაზღაურება, თუ ჩვენ ვიყენებთ სტრატეგიას და მოწინააღმდეგე იყენებს სტრატეგიას

ცხრილი 26.1

დავუშვათ, რომ თითოეული წყვილი სტრატეგიისთვის ჩვენთვის ცნობილია ანაზღაურება (ან საშუალო ანაზღაურება). შემდეგ, პრინციპში, შესაძლებელია მართკუთხა ცხრილის (მატრიცა) შედგენა, რომელშიც ჩამოთვლილია მოთამაშეების სტრატეგიები და შესაბამისი ანაზღაურება (იხ. ცხრილი 26.1).

თუ ასეთი ცხრილი შედგენილია, მაშინ ამბობენ, რომ თამაში G დაიყვანება მატრიცულ ფორმამდე (თავისთავად, თამაშის ასეთ ფორმამდე მიყვანა უკვე რთული ამოცანაა და ზოგჯერ პრაქტიკულად შეუძლებელი სტრატეგიების დიდი რაოდენობის გამო ). გაითვალისწინეთ, რომ თუ თამაში დაიყვანება მატრიცულ ფორმამდე, მაშინ მრავალსაფეხურიანი თამაში რეალურად მცირდება ერთ სვლაზე - მოთამაშეს მოეთხოვება მხოლოდ ერთი სვლა: აირჩიოს სტრატეგია. მოკლედ აღვნიშნავთ თამაშის მატრიცას

განვიხილოთ თამაშის G (4X5) მაგალითი მატრიცის სახით. ჩვენს განკარგულებაშია (ასარჩევად) ოთხი სტრატეგია, მტერს აქვს ხუთი სტრატეგია. თამაშის მატრიცა მოცემულია ცხრილში 26.2

მოდით დავფიქრდეთ, რა სტრატეგიას ვიყენებთ (მოთამაშე A)? მატრიცა 26.2 აქვს მიმზიდველი ანაზღაურება "10"; ჩვენ მზად ვართ ავირჩიოთ სტრატეგია, რომლითაც მივიღებთ ამ „წვრილმანს“.

მაგრამ მოიცადე, მტერიც არ არის სულელი! თუ ჩვენ ავირჩევთ სტრატეგიას, ის, ჩვენდა საწყალზე, აირჩევს სტრატეგიას და ჩვენ მივიღებთ სავალალო ანაზღაურებას "1". არა, სტრატეგიას ვერ ირჩევ! Როგორ უნდა იყოს? ცხადია, სიფრთხილის პრინციპიდან გამომდინარე (და ეს არის თამაშის თეორიის მთავარი პრინციპი), ჩვენ უნდა ავირჩიოთ სტრატეგია, რომლისთვისაც ჩვენი მინიმალური მოგება მაქსიმალურია.

ცხრილი 26.2

ეს არის ეგრეთ წოდებული „მინი-მაქსის პრინციპი“: იმოქმედეთ ისე, რომ თქვენი მოწინააღმდეგის ყველაზე ცუდი საქციელით მიიღოთ მაქსიმალური მოგება.

გადავიწეროთ ცხრილი 26.2 და მარჯვენა დამატებით სვეტში ჩავწეროთ მინიმალურ მნიშვნელობას თითოეულ სტრიქონში (მინიმუმ ხაზი); ავღნიშნოთ ის a სტრიქონისთვის (იხ. ცხრილი 26.3).

ცხრილი 26.3

ყველა მნიშვნელობიდან (მარჯვენა სვეტი), არჩეულია ყველაზე დიდი (3). ეს ემთხვევა სტრატეგიას. ამ სტრატეგიის არჩევით, ნებისმიერ შემთხვევაში შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ (მტრის ნებისმიერი ქცევისთვის) მოვიგებთ არანაკლებ 3. ეს მნიშვნელობა არის ჩვენი გარანტირებული მოგება; ფრთხილად ვიქცევით, ამაზე ნაკლებს ვერ მივიღებთ, მეტის მიღება შეგვიძლია).

ამ ანაზღაურებას უწოდებენ თამაშის ქვედა ფასს (ან "მაქსიმინს" - მინიმალური ანაზღაურების მაქსიმუმს). აღვნიშნავთ როგორც ა. ჩვენს შემთხვევაში

ახლა ავიღოთ მტრის თვალსაზრისი და ვიკამათოთ მის სასარგებლოდ. ის არ არის ერთგვარი პაიკი, არამედ გონივრული! სტრატეგიის არჩევისას მას სურს ნაკლების გაცემა, მაგრამ უნდა ჰქონდეს ჩვენი ქცევის იმედი, რაც მისთვის ყველაზე ცუდია. თუ სტრატეგიას აირჩევს, ვუპასუხებთ და 10-ს მისცემს; თუ ის აირჩევს, ჩვენ ვუპასუხებთ და ის დაგვიბრუნებს და ა.შ. ცხრილს 26.3 ვამატებთ დამატებით ქვედა მწკრივს და მასში ვწერთ სვეტების მაქსიმუმებს. ცხადია, ფრთხილმა მოწინააღმდეგემ უნდა აირჩიოს სტრატეგია, რომლისთვისაც არის ეს მნიშვნელობა. მინიმალური (შესაბამისი მნიშვნელობა 5 მონიშნულია ცხრილში 26.3) . ეს მნიშვნელობა P არის მოგების მნიშვნელობა, რომელსაც გონივრული მოწინააღმდეგე ნამდვილად არ მოგვცემს. მას უწოდებენ თამაშის ზედა ფასს (ან "მი-ნიმაქსი" - მაქსიმალური მოგების მინიმუმს). ჩვენს მაგალითში და მიიღწევა მოწინააღმდეგის სტრატეგიით

ასე რომ, სიფრთხილის პრინციპიდან გამომდინარე (გადაზღვევის წესი „ყოველთვის ყველაზე უარესის იმედი გქონდეს!“) უნდა ავირჩიოთ სტრატეგია A, ხოლო მტერი – სტრატეგია. ასეთ სტრატეგიებს „მინიმექსი“ ეწოდება (მინიმაქსის პრინციპიდან გამომდინარე). სანამ ჩვენს მაგალითში ორივე მხარე იცავს თავის მინიმალურ სტრატეგიებს, ანაზღაურება იქნება

ახლა ერთი წუთით წარმოიდგინეთ, რომ გავიგეთ, რომ მტერი მიჰყვება სტრატეგიას. მოდი, ჩვენ დავსაჯეთ ამისთვის და ვირჩევთ სტრატეგიას, ვიღებთ 5-ს და ეს არც ისე ცუდია. მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, მტერიც არ არის მონატრება; აცნობეთ მას, რომ ჩვენი სტრატეგია არის , ის ასევე იჩქარებს არჩევანს, შეამცირებს ჩვენს ანაზღაურებას 2-მდე და ა.შ. მოკლედ, ჩვენს მაგალითში მინიმაქსის სტრატეგიები არასტაბილურია მეორე მხარის ქცევის შესახებ ინფორმაციის მიმართ; ამ სტრატეგიებს არ აქვთ წონასწორობის თვისება.

ყოველთვის ასეა? არა ყოველთვის არა. განვიხილოთ მაგალითი 26.4 ცხრილში მოცემული მატრიცით.

ამ მაგალითში თამაშის ქვედა ფასი უდრის ზედას: . რა მოჰყვება აქედან? A და B მოთამაშეების მინიმალური სტრატეგიები სტაბილური იქნება. სანამ ორივე მოთამაშე იცავს მათ, ანაზღაურება არის 6. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ (A) აღმოვაჩენთ, რომ მოწინააღმდეგე (B) იცავს B სტრატეგიას?

ცხრილი 26.4

და ზუსტად არაფერი შეიცვლება, რადგან სტრატეგიიდან ნებისმიერმა გადახრამ შეიძლება მხოლოდ გააუარესოს ჩვენი მდგომარეობა. თანაბრად, მოწინააღმდეგის მიერ მიღებული ინფორმაცია არ აიძულებს მას უკან დაიხიოს თავისი სტრატეგიიდან. უნაგირის წერტილის და დაბალანსებული წყვილი სტრატეგიის არსებობის ნიშანია თამაშის ქვედა და ზედა ფასების თანასწორობა; მთლიან ღირებულებას ეწოდება თამაშის ფასი. ჩვენ მივაწერთ მას

სტრატეგიებს (ამ შემთხვევაში, ), რომლებშიც ეს მოგება მიიღწევა, ეწოდება ოპტიმალური სუფთა სტრატეგიები და მათი კომბინაცია არის თამაშის გამოსავალი. ამ შემთხვევაში, თამაში თავად წყდება წმინდა სტრატეგიებით. ორივე მხარეს A და B შეიძლება მიეცეს მათი ოპტიმალური სტრატეგიები, სადაც მათი პოზიცია საუკეთესოა. და მოთამაშე A იგებს 6-ს ​​და მოთამაშე B აგებს, კარგი, ეს არის თამაშის პირობები: ისინი სასარგებლოა A-სთვის და არახელსაყრელი B-სთვის.

მკითხველს შეიძლება გაუჩნდეს კითხვა: რატომ უწოდებენ ოპტიმალურ სტრატეგიებს „სუფთა“? ცოტა წინ რომ გავიხედოთ, მოდით ვუპასუხოთ ამ კითხვას: არის „შერეული“ სტრატეგიები, რომლებიც მდგომარეობს იმაში, რომ მოთამაშე იყენებს არა ერთ სტრატეგიას, არამედ რამდენიმეს, ცვლის მათ შემთხვევით. ასე რომ, თუ ვაღიარებთ, გარდა სუფთა, ასევე შერეული სტრატეგიებისა, ნებისმიერ სასრულ თამაშს აქვს გამოსავალი - წონასწორობის წერტილი. მაგრამ მეტი ამის შესახებ ჯერ კიდევ წინ არის.

თამაშში უნაგირის წერტილის არსებობა შორს არის წესისაგან, არამედ გამონაკლისია. თამაშების უმეტესობას არ აქვს უნაგირის წერტილი. თუმცა, არსებობს სხვადასხვა თამაშები, რომლებსაც ყოველთვის აქვთ უნაგირის წერტილი და, შესაბამისად, წყდებიან სუფთა სტრატეგიებით. ეს არის ეგრეთ წოდებული „თამაშები სრული ინფორმაციით“. თამაში სრული ინფორმაციით არის თამაში, რომელშიც თითოეულმა მოთამაშემ იცის მისი განვითარების მთელი პრეისტორია ყოველი პირადი ნაბიჯის დროს, ანუ ყველა წინა ნაბიჯის შედეგი, როგორც პირადი, ასევე შემთხვევითი. სრული ინფორმაციის მქონე თამაშების მაგალითებია ქვები, ჭადრაკი, ტიკ-ტაკი და ა.შ.

თამაშის თეორიაში დადასტურდა, რომ ყველა თამაშს სრული ინფორმაციის მქონე უნაგირების წერტილი აქვს და, შესაბამისად, მისი გადაჭრა შესაძლებელია სუფთა სტრატეგიებით. ყველა თამაშში, რომელსაც აქვს სრულყოფილი ინფორმაცია, არის წყვილი ოპტიმალური სტრატეგია, რომელიც იძლევა სტაბილურ ანაზღაურებას თამაშის ფასისა და. თუ ასეთი თამაში შედგება მხოლოდ პირადი სვლებისგან, მაშინ როდესაც თითოეული მოთამაშე იყენებს საკუთარ ოპტიმალურ სტრატეგიას, ის უნდა დასრულდეს საკმაოდ განსაზღვრული გზით - თამაშის ფასის ტოლი ანაზღაურებით. ასე რომ, თუ თამაშის გამოსავალი ცნობილია, თავად თამაში კარგავს თავის მნიშვნელობას!

ავიღოთ თამაშის ელემენტარული მაგალითი სრული ინფორმაციით: ორი მოთამაშე მონაცვლეობით ათავსებს ნიკელს მრგვალ მაგიდაზე, თვითნებურად ირჩევს მონეტის ცენტრის პოზიციას (მონეტების ურთიერთგადახურვა დაუშვებელია). გამარჯვებულია ის, ვინც ბოლო პენსს დებს (როცა სხვებისთვის ადგილი არ არის). ადვილი მისახვედრია, რომ ამ თამაშის შედეგი არსებითად წინასწარ დასკვნაა. არსებობს გარკვეული სტრატეგია, რომელიც უზრუნველყოფს მოთამაშეს, რომელიც პირველს დებს მონეტას, გაიმარჯვებს.

კერძოდ, მან პირველად უნდა მოათავსოს მაგიდის ცენტრში ნიკელი, შემდეგ კი მოწინააღმდეგის თითოეულ მოძრაობას სიმეტრიული სვლით უპასუხოს. ცხადია, როგორც არ უნდა მოიქცეს მოწინააღმდეგე, წაგებას ვერ აიცილებს. ზუსტად იგივე სიტუაციაა ჭადრაკსა და ზოგადად სრული ინფორმაციის მქონე თამაშებთან დაკავშირებით: ნებისმიერ მათგანს, მატრიცის სახით დაწერილი, აქვს უნაგირის წერტილი და, შესაბამისად, გამოსავალი არის სუფთა სტრატეგიებში და, შესაბამისად, აზრი აქვს მხოლოდ მანამ, სანამ ეს გამოსავალია. არ მოიძებნა. Მოდით ვთქვათ ჭადრაკის თამაშიან ყოველთვის თეთრების გამარჯვებით მთავრდება, ან ყოველთვის შავის გამარჯვებით, ან ყოველთვის ფრედ, მაგრამ კონკრეტულად რა - ჯერ არ ვიცით (საბედნიეროდ ჭადრაკის მოყვარულებისთვის). დავამატოთ კიდევ ერთი რამ: უახლოეს მომავალში ძნელად გვეცოდინება, რადგან სტრატეგიების რაოდენობა იმდენად დიდია, რომ უკიდურესად რთულია (თუ შეუძლებელი არა) თამაშის მატრიცულ ფორმამდე დაყვანა და მასში უნაგირის წერტილის პოვნა.

ახლა კი ვკითხოთ საკუთარ თავს, თუ რა უნდა გავაკეთოთ, თუ თამაშს არ აქვს უნაგირის წერტილი: კარგი, თუ თითოეული მოთამაშე იძულებულია აირჩიოს ერთი სუფთა სტრატეგია, მაშინ არაფერია გასაკეთებელი: ჩვენ უნდა ვიხელმძღვანელოთ მინიმქსის პრინციპით. სხვა საკითხია, თუ თქვენ შეგიძლიათ „აურიოთ“ თქვენი სტრატეგიები, შეცვალეთ ისინი შემთხვევით, გარკვეული ალბათობით. შერეული სტრატეგიების გამოყენება ასეა ჩაფიქრებული: თამაში მრავალჯერ მეორდება; თამაშის ყოველი თამაშის წინ, როდესაც მოთამაშეს ეძლევა პირადი ნაბიჯი, ის თავის არჩევანს "ანდობს" შემთხვევითობას, "გაყრის" და იღებს სტრატეგიას, რომელიც გამოვარდა (ჩვენ უკვე ვიცით, როგორ მოვაწყოთ ლოტი წინა თავიდან. ).

თამაშის თეორიაში შერეული სტრატეგიები არის ცვალებადი, მოქნილი ტაქტიკის მოდელი, როდესაც არცერთმა მოთამაშემ არ იცის, როგორ მოიქცევა მოწინააღმდეგე მოცემულ თამაშში. ეს ტაქტიკა (თუმცა ჩვეულებრივ ყოველგვარი მათემატიკური დასაბუთების გარეშე) ხშირად გამოიყენება კარტის თამაშები. ამავე დროს აღვნიშნოთ, რომ მტრისგან თქვენი ქცევის დამალვის საუკეთესო საშუალებაა მას შემთხვევითი ხასიათის მიცემა და, შესაბამისად, წინასწარ არ იცოდეთ, რას გააკეთებთ.

ასე რომ, მოდით ვისაუბროთ შერეულ სტრატეგიებზე. ჩვენ აღვნიშნავთ A და B მოთამაშეების შერეულ სტრატეგიებს, შესაბამისად

კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ალბათობა, ერთის გარდა, ნულის ტოლია, ეს კი ერთის, შერეული სტრატეგია იქცევა წმინდად.

არსებობს თამაშის თეორიის ფუნდამენტური თეორემა: ნებისმიერ ორმოთამაშიან სასრულ ნულოვანი ჯამის თამაშს აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი - ოპტიმალური სტრატეგიების წყვილი, ზოგადად შერეული და შესაბამისი ფასი.

ოპტიმალური სტრატეგიების წყვილს, რომლებიც ქმნიან თამაშის გადაწყვეტას, აქვს შემდეგი თვისება: თუ ერთ-ერთი მოთამაშე იცავს თავის ოპტიმალურ სტრატეგიას, მაშინ არ შეიძლება იყოს მომგებიანი მეორესთვის მისი გადახვევა. სტრატეგიების ეს წყვილი ქმნის ერთგვარ წონასწორობას თამაშში: ერთ მოთამაშეს სურს ანაზღაურება მაქსიმუმამდე აქციოს, მეორეს - მინიმუმამდე, თითოეული მიიწევს თავისი მიმართულებით და ორივეს გონივრული ქცევით, წონასწორობა და დამყარებულია სტაბილური ანაზღაურება. თუ მაშინ თამაში ჩვენთვის სასარგებლოა, თუ - მტრისთვის; როდესაც თამაში არის "სამართლიანი", თანაბრად მომგებიანი ორივე მონაწილისთვის.

განვიხილოთ თამაშის მაგალითი უნაგირის წერტილის გარეშე და მიეცით მისი ამოხსნა (დამტკიცების გარეშე). თამაში ასეთია: ორი მოთამაშე A და B ერთდროულად და უსიტყვოდ აჩვენებს ერთ, ორ ან სამ თითს. მოგება წყდება თითების ჯამური რაოდენობით: თუ ლუწია, A იგებს და B-სგან იღებს ამ რიცხვის ტოლ თანხას; თუ კენტია, მაშინ, პირიქით, A უხდის B-ს ამ რიცხვის ტოლ თანხას. რა უნდა გააკეთონ ფეხბურთელებმა?

მოდით შევქმნათ თამაშის მატრიცა. ერთ თამაშში თითოეულ მოთამაშეს აქვს სამი სტრატეგია: აჩვენე ერთი, ორი ან სამი თითი. 3x3 მატრიცა მოცემულია ცხრილში 26.5; დამატებითი მარჯვენა სვეტი აჩვენებს მწკრივის მინიმუმს, ხოლო დამატებითი ქვედა მწკრივი აჩვენებს სვეტის მაქსიმუმს.

თამაშის დაბალი ფასი შეესაბამება სტრატეგიას, ეს ნიშნავს, რომ გონივრული, ფრთხილი ქცევით გარანტიას ვაძლევთ, რომ არ დავკარგავთ 3-ზე მეტს. მატრიქსის უჯრედები. ჩვენთვის ცუდია, მოთამაშე L... მაგრამ მოდით, თავი ვიმშვიდოთ: მეტოქის პოზიცია, როგორც ჩანს, კიდევ უფრო უარესია: თამაშის დაბალი ფასი. გონივრული ქცევა, ის მინიმუმ 4-ს მოგვცემს.