Zábavná logika v matematike. Zábavná logika Otázky z matematickej logiky

1. Vysvetlivka
1.1 Relevantnosť
1.2 Účel programu
1.3 Ciele programu
1.4 Podmienky realizácie programu, vek detí, formy vedenia vyučovania
1.5 Etapy implementácie programu
1.6 Obsah programu
1.7 Očakávané výsledky

2. Metodická podpora
2.1 Perspektívno-tematický plán krúžku " Zábavná logika»

3. Diagnostický program pre logické myslenie starších detí predškolského veku.

5. Informačné zdroje

1. Vysvetlivka.
Prečo logika pre malého predškoláka?
Podľa L.A. Wengera „päťročným deťom samotné vonkajšie vlastnosti vecí zjavne nestačia. Sú celkom pripravení postupne sa zoznámiť nielen s vonkajšími, ale aj vnútornými, skrytými vlastnosťami a vzťahmi, ktoré sú základom vedeckých poznatkov o svete... To všetko bude prospešné duševný vývoj dieťa iba vtedy, ak je výcvik zameraný na rozvoj duševných schopností, tých schopností v oblasti vnímania, imaginatívneho myslenia, predstavivosti, ktoré sú založené na asimilácii vzoriek vonkajších vlastností vecí a ich odrôd ... “
Zručnosti, ktoré dieťa nadobudne v predškolskom období, poslúžia ako základ pre získavanie vedomostí a rozvíjanie schopností vo vyššom veku – v škole. A najdôležitejšou z týchto zručností je zručnosť logického myslenia, schopnosť „konať v mysli“. Pre dieťa, ktoré nezvládlo metódy logického myslenia, bude ťažšie riešiť problémy, vykonávanie cvičení si bude vyžadovať veľa času a úsilia. V dôsledku toho môže utrpieť zdravie dieťaťa, záujem o učenie sa môže oslabiť alebo dokonca vyblednúť.
Po zvládnutí logických operácií bude dieťa pozornejšie, naučí sa jasne a jasne myslieť a dokáže sa v správnom čase sústrediť na podstatu problému. Bude ľahšie sa učiť, čo znamená, že proces učenia, a ona sama školský život prinesie radosť a uspokojenie.
Tento program ukazuje, ako je možné prostredníctvom špeciálnych hier a cvičení formovať schopnosť detí samostatne nadväzovať logické vzťahy v okolitej realite.
Pri práci s predškolákmi na rozvoji kognitívnych procesov prichádzate na to, že jednou z nevyhnutných podmienok ich úspešného rozvoja a učenia je dôslednosť, t.j. systém špeciálnych hier a cvičení s neustále sa rozvíjajúcim a komplexnejším obsahom, s didaktickými úlohami, herné akcie a pravidlá. Samostatne preberané hry a cvičenia môžu byť veľmi zaujímavé, ale ich použitím mimo systému nie je možné dosiahnuť požadovaný výsledok učenia a rozvoja.
1.1 Relevantnosť
Pre úspešné vypracovanie školského kurikula potrebuje dieťa nielen veľa vedieť, ale aj sústavne a presvedčivo myslieť, hádať, prejavovať psychické napätie, myslieť logicky.
Výučba rozvoja logického myslenia má pre budúceho študenta nemalý význam a dnes je veľmi aktuálna.
Zvládnutím akejkoľvek metódy zapamätania sa dieťa naučí vyčleniť cieľ a vykonávať určitú prácu s materiálom na jeho dosiahnutie. Začína chápať potrebu opakovať, porovnávať, zovšeobecňovať, zoskupovať materiál za účelom zapamätania.
Učenie detí o klasifikácii prispieva k úspešnému zvládnutiu komplexnejšieho spôsobu zapamätávania – sémantického zoskupovania, s ktorým sa deti stretávajú v škole.
Využitím možností rozvoja logického myslenia a pamäti predškolákov je možné úspešnejšie pripraviť deti na riešenie problémov, ktoré pred nás školská výchova stavia.
Rozvoj logického myslenia zahŕňa využívanie didaktických hier, vynaliezavosť, hádanky, riešenie rôznych logické hry a labyrintov a teší sa veľkému záujmu detí. Pri tejto činnosti sa u detí formujú dôležité osobnostné črty: rozvíja sa nezávislosť, vynaliezavosť, vynaliezavosť, vytrvalosť a rozvíjajú sa konštruktívne zručnosti. Deti sa učia plánovať svoje činy, premýšľať o nich, hádať pri hľadaní výsledku a zároveň prejavovať kreativitu.
Pri práci s deťmi si môžete všimnúť, že veľa detí nezvláda zdanlivo jednoduché logické úlohy. Väčšina detí staršieho predškolského veku napríklad nevie správne odpovedať na otázku, čo je viac: ovocie alebo jablká, aj keď majú v rukách obrázok, na ktorom je nakreslené ovocie – veľa jabĺk a niekoľko hrušiek. Deti odpovedia, že hrušiek je viac. V takýchto prípadoch svoje odpovede zakladá na tom, čo vidí na vlastné oči. „Sklame“ ich nápadité myslenie a do 5 rokov deti ešte nemajú logické uvažovanie. V seniorskom predškolskom veku začínajú sa u nich prejavovať prvky logického myslenia, charakteristické pre školákov a dospelých, ktoré je potrebné rozvíjať pri identifikácii najoptimálnejších metód rozvoja logického myslenia.
Hry s logickým obsahom pomáhajú pestovať u detí kognitívny záujem, prispievajú k bádaniu a tvorivému hľadaniu, túžbe a schopnosti učiť sa. Didaktické hry sú jednou z najprirodzenejších činností detí a prispievajú k formovaniu a rozvoju rozumových a tvorivých prejavov, sebavyjadrenia a samostatnosti. Rozvoj logického myslenia u detí prostredníctvom didaktické hry je dôležitá pre úspešnosť následnej školskej dochádzky, pre správne formovanie osobnosti žiaka a v ďalšom vzdelávaní pomôže úspešne zvládnuť základy matematiky a informatiky.
1.2 Účel programu: vytváranie podmienok pre maximálny rozvoj logického myslenia predškolákov v príprave na úspešné školské dochádzky.
1.3 Ciele programu:

  • naučiť deti základné logické operácie: analýza, syntéza, porovnanie, negácia, klasifikácia, systematizácia, obmedzenie, zovšeobecnenie, odvodenie
  • naučiť deti orientovať sa vo vesmíre
  • rozvíjať u detí vyššie psychické funkcie, schopnosť uvažovať, dokázať
  • pestovať túžbu prekonávať ťažkosti, sebavedomie, chuť pomôcť rovesníkovi

1.4 Podmienky realizácie programu, vek detí, formy vedenia vyučovania
Termíny realizácie programu – 1-2 roky
Program je určený pre deti vo veku 5-7 rokov.
Program umožňuje vedenie kruhových tried v rôznych formách:

  • Individuálne samostatná práca deti.
  • Pracovať v pároch.
  • Skupinové formy práce.
  • Diferencované.
  • Predná kontrola a kontrola.
  • Sebahodnotenie vykonanej práce.
  • Didaktická hra.
  • konkurencia.
  • Súťaže.

1.5 Etapy implementácie programu
Technológia činnosti je postavená v etapách:

  1. Diagnostika počiatočnej úrovne rozvoja kognitívnych procesov a kontrola ich vývoja.
  2. Plánovanie prostriedkov, pomocou ktorých možno rozvíjať tú či onú kvalitu (pozornosť, pamäť, predstavivosť, myslenie), berúc do úvahy individualitu každého dieťaťa a dostupné vedomosti
  3. Vybudovanie interdisciplinárneho (integrálneho) základu pre výcvik v rozvojovom kurze.
  4. Postupná komplikácia materiálu, postupné zvyšovanie množstva práce, zvyšovanie miery samostatnosti detí.
  5. Oboznámenie sa s prvkami teórie, vyučovacích metód uvažovania, sebaargumentácie výberu.
  6. Integrácia poznatkov a metód kognitívna aktivita, ovládajúc jej zovšeobecnené techniky.
  7. Hodnotenie výsledkov vývojového kurzu podľa vypracovaných kritérií, ktoré by mali zahŕňať dieťa (sebaúcta, sebakontrola, vzájomná kontrola).

1. 6 Obsah programu
Stručný opis sekcie a témy hodín (sekcie zodpovedajú určitej logickej operácii, ktorú sa deti naučia na hodine):

1. Analýza - syntéza.
Cieľom je naučiť deti rozdeliť celok na časti, nadviazať medzi nimi spojenie; naučiť sa mentálne spájať časti objektu do jedného celku.
Hry a cvičenia: hľadanie logickej dvojice (mačka - mačiatko, pes - ? (šteňa)). Doplnenie obrázka (vyzdvihnite náplasť, nakreslite vrecko na šaty). Hľadajte protiklady (ľahké - ťažké, studené - horúce). Pracujte s hádankami rôznej zložitosti. Rozloženie obrázkov z počítania tyčiniek a geometrických tvarov.

2. Porovnanie.
Cieľom je naučiť mentálne určovať podobnosti a rozdiely predmetov podľa podstatných znakov; rozvíjať pozornosť, vnímanie detí. Zlepšite orientáciu v priestore.
Hry a cvičenia: upevňovanie pojmov: veľký - malý, dlhý - krátky, nízky - vysoký, úzky - široký, vyšší - nižší, ďalej - bližšie atď. Prevádzkovanie s pojmami „rovnaký“, „väčšina“. Hľadajte podobnosti a rozdiely v 2 podobných obrázkoch.

3. Obmedzenie.
Cieľom je naučiť vyčleniť jeden alebo viac predmetov zo skupiny podľa určitých vlastností. Rozvíjajte pozorovacie schopnosti detí.
Hry a cvičenia: „zakrúžkuj iba červené vlajky jednou čiarou“, „nájdi všetky nekruhové predmety“ atď. Vylúčenie štvrtého nadbytočného.

4. Zovšeobecňovanie.
Cieľom je naučiť mentálne spájať predmety do skupiny podľa ich vlastností. Prispieť k obohateniu slovnej zásoby, rozšíriť každodenné vedomosti detí.
Hry a cvičenia na ovládanie zovšeobecňujúcich pojmov: nábytok, riad, doprava, zelenina, ovocie atď.

5. Systematizácia.
Cieľom je naučiť identifikovať vzory; rozširovať slovnú zásobu detí; naučiť sa rozprávať z obrázka, prerozprávať.
Hry a cvičenia: magické štvorce (vyzdvihnite chýbajúcu časť, obrázok). Zostavenie príbehu na základe série obrázkov, zoradenie obrázkov do logickej postupnosti.

6. Klasifikácia.
Cieľom je naučiť rozdeliť predmety do skupín podľa ich podstatných vlastností. Upevnenie zovšeobecňujúcich pojmov, voľná práca s nimi.

7. Úsudok.
Cieľom je naučiť pomocou úsudkov urobiť záver. Prispieť k rozšíreniu vedomostí o domácnostiach detí. Rozvíjajte predstavivosť.
Hry a cvičenia: hľadanie pozitív a negatív v javoch (napr. keď prší, vyživuje rastliny - to je dobré, ale zlé je, že v daždi môže človek zmoknúť, prechladnúť a ochorieť) . Hodnotenie správnosti určitých úsudkov („vietor fúka, lebo sa kývajú stromy.“ Nie?). Riešenie logické úlohy.

1.7 Očakávané výsledky
Plánované výsledky:
Deti by mali vedieť:

  • princípy konštruovania vzorov, vlastnosti čísel, predmetov, javov, slov;
  • princípy štruktúry hlavolamov, krížoviek, reťazových slov, labyrintov;
  • antonymá a synonymá;
  • názvy geometrických útvarov a ich vlastnosti;
  • princíp programovania a zostavovania algoritmu akcií.

Deti by mali byť schopné:

  • určovať vzory a vykonávať úlohu podľa tohto vzoru, triediť a zoskupovať predmety, porovnávať, nachádzať spoločné a osobitné vlastnosti, zovšeobecňovať a abstrahovať, analyzovať a hodnotiť svoje činnosti;
  • prostredníctvom uvažovania riešiť logické, neštandardné úlohy, vykonávať tvorivé vyhľadávanie, slovesno-didaktické, numerické úlohy, nájsť odpoveď na matematické hádanky;
  • reagovať rýchlo a správne počas zahrievania na položené otázky;
  • vykonávať úlohy na trénovanie pozornosti, vnímania, pamäti
  • vykonávať grafické diktáty, vedieť sa orientovať v schematickom znázornení grafických úloh;
  • vedieť si stanoviť cieľ, naplánovať etapy práce, dosiahnuť výsledky vlastným úsilím.

Spôsob, ako skontrolovať výsledky práce : zovšeobecňujúce hodiny po každej sekcii a 2 diagnostiky (úvodná (september) a záverečná (máj)) úrovne zvládnutia operácií logického myslenia.

Slová Sherlocka Holmesa: „Koľkokrát som vám hovoril, zahoďte všetko nemožné, potom to, čo zostane, bude odpoveďou, bez ohľadu na to, aké neuveriteľné sa to môže zdať,“ by mohli slúžiť ako epigraf tejto kapitoly.

Ak riešenie hlavolamu vyžaduje iba schopnosť logického myslenia a nie je potrebné vykonávať aritmetické výpočty, potom sa takýto hlavolam zvyčajne nazýva logický problém. Logické problémy, samozrejme, patria medzi tie matematické, keďže logiku možno považovať za veľmi všeobecnú, fundamentálnu matematiku. Napriek tomu je vhodné vyčleniť a študovať logické hádanky oddelene od ich početnejších aritmetických sestier. V tejto kapitole načrtneme tri bežné typy logických problémov a pokúsime sa prísť na to, ako k nim pristupovať.

Najbežnejší typ problému, ktorý milovníci hádaniek niekedy nazývajú „problém Smith-Jones-Robinson“ (analogicky so starou hádankou, ktorú vynašiel G. Dudeni).

Pozostáva zo série balíkov, ktoré zvyčajne uvádzajú určité informácie o postavách; Na základe týchto predpokladov je potrebné vyvodiť určité závery. Napríklad tu je, ako vyzerá najnovšia americká verzia problému Dudeney:

1. Smith, Jones a Robinson pracujú v tej istej vlakovej posádke ako rušňovodič, sprievodca a kurič. Ich povolania nemusia byť nevyhnutne pomenované v rovnakom poradí ako ich priezviská. Vo vlaku, ktorý obsluhuje brigáda, sedia traja cestujúci s rovnakými priezviskami.

V budúcnosti budeme každého cestujúceho s úctou volať „Pán“ (Pán).

2. Pán Robinson žije v Los Angeles.

3. Dirigent býva v Omahe.

4. Pán Jones už dávno zabudol na všetku algebru, ktorú ho učili na vysokej škole.

5. Passenger – menovec dirigenta žije v Chicagu.

6. Vodič a jeden z cestujúcich, známy špecialista na matematickú fyziku, idú do toho istého kostola.

7. Smith vždy porazí stokera, keď sa náhodou stretnú pri hre biliardu.

Aké je meno vodiča?


Tieto problémy by sa dali preložiť do jazyka matematickej logiky pomocou jej štandardnej notácie a riešenie by sa dalo hľadať pomocou vhodných metód, ale takýto prístup by bol príliš ťažkopádny. Na druhej strane, bez skratiek toho či onoho druhu je ťažké pochopiť logickú štruktúru problému. Najvhodnejšie je použiť tabuľku, do ktorej prázdnych buniek zadáme všetky možné kombinácie prvkov uvažovaných množín. V našom prípade ide o dve takéto sady, preto potrebujeme dve tabuľky (obr. 139).

Ryža. 139 Dve tabuľky pre problém Smitha, Jonesa a Robinsona.


Do každej bunky zadáme 1, ak je zodpovedajúca kombinácia prípustná, alebo 0, ak kombinácia odporuje podmienkam úlohy. Pozrime sa, ako sa to robí. Podmienka 7 zjavne vylučuje možnosť, že Smith je stoker, takže do poľa v pravom hornom rohu ľavého stola zadáme 0. Podmienka 2 nám hovorí, že Robinson žije v Los Angeles, takže v ľavom dolnom rohu tabuľky zadajte 1 a 0 do všetkých ostatných buniek v dolnom riadku a ľavom stĺpci, aby ste ukázali, že pán Robinson nežije v Omahe alebo Chicagu a pán Smith a pán Jones nežijú v Los Angeles.

Teraz musíme trochu premýšľať. Z podmienok 3 a 6 vieme, že matematický fyzik žije v Omahe, no jeho priezvisko nepoznáme. Nemôže to byť ani pán Robinson, ani pán Jones (veď už zabudol aj na elementárnu algebru).

Preto to musí byť pán Smith. Túto okolnosť si všimneme tak, že do strednej bunky horného riadku pravej tabuľky vložíme 1 a do zvyšných buniek toho istého riadka 0 a do prostredného stĺpca dáme prázdne bunky. Do tretej jednotky je teraz možné vstúpiť len do jednej cely: to dokazuje, že pán Jones žije v Chicagu. Z podmienky 5 sa dozvieme, že aj dirigent má priezvisko Jones a do centrálnej bunky ľavej tabuľky zadáme 1 a do všetkých ostatných buniek stredného riadku a stredného stĺpca 0. Potom budú mať naše tabuľky formu znázornenú na obr. 140.



Ryža. 140 Tabuľka vajcia znázornené na obr. 139, po predplnení.


Teraz nie je ťažké pokračovať v úvahách vedúcich ku konečnej odpovedi. V stĺpci označenom "Stoker" možno jednotku umiestniť iba do spodnej bunky. Okamžite z toho vyplýva, že v ľavom dolnom rohu by mala byť 0. Prázdna zostáva len bunka v ľavom hornom rohu tabuľky, kde je možné zadať iba 1. Takže meno vodiča je Smith.

Lewis Carroll rád vymýšľal mimoriadne zložité a dômyselné problémy tohto druhu. Dekan matematiky na Dortmouth College John J. Kemeny naprogramoval pre počítač IBM-704 jeden z obludných (s 13 premennými a 12 podmienkami, z ktorých vyplýva, že „žiadny sudca nešnupe tabak“) Carrollových problémov. Stroj dokončil riešenie za približne 4 minúty, hoci vytlačenie kompletnej „pravdivej tabuľky“ problému (tabuľka ukazujúca, či sú možné kombinácie pravdivostných hodnôt premenných problému pravdivé alebo nepravdivé) by trvalo 13 hodín!

Pre čitateľov, ktorí chcú skúsiť šťastie s ťažším problémom, ako je problém Smith-Jones-Robinson, ponúkame novú hádanku. Jej autorom je R. Smullyan z Princetonskej univerzity.

1. V roku 1918 prvý Svetová vojna. V deň podpisu mierovej zmluvy sa zišli tri manželské páry, aby túto udalosť oslávili pri sviatočnom stole.

2. Každý manžel bol bratom jednej z manželiek a každá manželka bola sestrou jedného z manželov, to znamená, že spomedzi prítomných možno uviesť tri príbuzné dvojice „brat a sestra“.

3. Helen je presne o 26 týždňov staršia ako jej manžel, ktorý sa narodil v auguste.

4. Sestra pána Whitea je vydatá za Elleninho švagra a vydala sa za neho v deň svojich narodenín v januári.

5. Margaret White je nižšia ako William Blake.

6. Arthurova sestra je krajšia ako Beatrice.

7. Ján má 50 rokov.

Ako sa volá pani Brownová?


Nemenej bežný je aj ďalší rad logických problémov, ktoré možno analogicky s nasledujúcim známym príkladom nazvať problémami typu „problém s farebnými čiapočkami“. Traja ľudia (nazvime ich A, B a OD) zaviažte oči a povedzte, že každý z nich bol nasadený buď na červenú alebo zelenú čiapku. Potom sa im rozviažu oči a požiadajú ich, aby zdvihli ruku, ak uvidia červenú čiapku, a odišli z miestnosti, ak si sú istí, že vedia, akú farbu má čiapka na hlave. Všetky tri klobúky boli červené, a tak všetci traja zdvihli ruky. Prešlo niekoľko minút a OD, ktorý je inteligentnejší ako ALE a AT, opustil miestnosť. Ako OD dokázal určiť, akú farbu má klobúk?

[Problém mudrcov v zelených šiltovkách je v texte formulovaný tak, že nemôže mať riešenie. To je obzvlášť zrejmé, keď je počet múdrych mužov veľký. Ako dlho bude prvému múdremu trvať, kým uhádne skutočnú situáciu?

Koncom štyridsiatych rokov sa o tomto probléme intenzívne diskutovalo v Moskve v školských matematických kruhoch a bola vynájdená jeho nová verzia, v ktorej bol zavedený diskrétny čas. Úloha vyzerala takto.

V dávnych dobách žili mudrci v jednom meste. Každý z nich mal manželku. Ráno prišli na trh a zisťovali všetky klebety tamojšieho mesta. Sami boli klebetníci. Veľkú radosť im urobilo, keď sa dozvedeli o nevere ktorejkoľvek z manželiek – dozvedeli sa o tom okamžite. Jedno nevyslovené pravidlo sa však prísne dodržiavalo: manželovi sa nikdy nič nehlásilo o jeho žene, pretože každý z nich, keď by sa dozvedel o vlastnej hanbe, by svoju ženu vyhnal z domu. Tak žili, užívali si intímne rozhovory a zostali úplne ignorantmi svojich vlastných záležitostí.

Jedného dňa však do mesta prišla skutočná klebeta. Prišiel na bazár a verejne vyhlásil: „Ale nie všetci múdri muži majú verné manželky! Zdalo by sa, že klebeta nepovedala nič nové - a tak to vedel každý, vedel to každý mudrc (len so zlomyseľnosťou nemyslel na seba, ale na toho druhého), takže nikto z obyvateľov nevenoval slovám klebiet žiadnu pozornosť. . Ale mudrci si mysleli – preto sú múdri – a n- deň po príchode klebiet n múdrych mužov vyhnali n neverné manželky (ak boli n).

Nie je ťažké obnoviť úvahy mudrcov. Ťažšie je odpovedať na otázku: aké informácie pridal klebetník k tomu, čo bolo známe mudrcom aj bez neho?

S týmto problémom sa opakovane stretávame v literatúre].

C sa pýta sám seba, či jeho čiapka môže byť zelená. Ak by to tak bolo, tak ALE by okamžite spoznal, že má na sebe červenú čiapku, pretože len červená čiapka na hlave by mohla robiť AT zdvihnúť ruku. Ale potom ALE by opustil miestnosť. AT začal by uvažovať presne rovnakým spôsobom a tiež by opustil miestnosť. Keďže nevyšlo ani jedno, ani druhé, OD dospel k záveru, že jeho vlastná čiapka by mala byť červená.

Tento problém možno zovšeobecniť na prípad, keď je ľudí ľubovoľný počet a všetci majú na hlave červené čiapky. Predpokladajme, že sa v probléme objavil štvrtý aktér D, ešte prehľadnejšie ako C.D mohol uvažovať takto: „Keby moja čiapka bola zelená, tak A, B a OD ocitli by sa presne v tej istej situácii, aká bola práve opísaná, a o pár minút by ten najvnímavejší z tria určite opustil miestnosť.

Ale už prešlo päť minút a žiadna z nich nevychádza, preto je moja čiapka červená.

Keby existoval piaty člen, ktorý by bol ešte múdrejší ako D, mohol po desiatich minútach čakania prísť na to, že má na hlave červenú šiltovku. Samozrejme, že naše úvahy strácajú na presvedčivosti kvôli domnienkam o rôznych stupňoch vynaliezavosti. A, B, C... a dosť nejasné úvahy o tom, ako dlho by mal ten najvnímavejší človek čakať, kým s istotou pomenuje farbu svojej šiltovky.

Niektoré ďalšie problémy s „farebným uzáverom“ obsahujú menšiu neistotu. Taký je napríklad nasledujúci problém, ktorý tiež vymyslel Smullyan. Každý z troch A, B a OD- ovláda logiku, to znamená, že vie z daného súboru premís okamžite vytiahnuť všetky dôsledky a vie, že túto schopnosť má aj zvyšok.

Vezmeme štyri červené a štyri zelené pečiatky, zaviažeme oči našim „logikom“ a nalepíme im dve známky na čelo. Potom im stiahneme obväzy z očí a obratom sa pýtame A, B a OD tá istá otázka: "Vieš, akú farbu máš pečiatky na čele?" Každý z nich odpovedá záporne. Potom sa pýtame znova ALE a opäť dostaneme negatívnu odpoveď. Ale keď položíme tú istú otázku druhýkrát AT, odpovedá kladne.

Akú farbu má znamienko na čele AT?


Tretím typom populárnych logických hádaniek sú problémy o klamároch a tých, ktorí vždy hovoria pravdu. AT klasická verziaúlohy rozprávame sa o cestovateľovi, ktorý sa ocitne v krajine obývanej dvoma kmeňmi. Príslušníci jedného kmeňa vždy klamú, príslušníci iného vždy hovoria pravdu. Cestovateľ stretáva dvoch domorodcov. "Vždy hovoríš pravdu?" pýta sa vysokého domorodca. On odpovedá: "Tarabár". "Povedal áno," vysvetľuje menší domorodec, ktorý vie po anglicky, "ale je hrozný klamár." Ku ktorému kmeňu patrí každý z domorodcov?


Systematický prístup k riešeniu by spočíval v napísaní všetkých štyroch možností: AI, IL, LI, LL (ja znamená "pravda", L - "nepravda") - a vylúčení tých, ktoré sú v rozpore s údajmi problému. Odpoveď možno získať oveľa rýchlejšie, ak si všimneme, že vysoký domorodec musí odpovedať kladne, či klame alebo hovorí pravdu. Keďže menší domorodec povedal pravdu, musí patriť ku kmeňu pravdovravných a jeho vysoký priateľ - ku kmeňu klamárov.

Najznámejší problém tohto typu, komplikovaný zavedením pravdepodobnostných váh a nie príliš jasnou formuláciou, nájdeme celkom nečakane uprostred šiestej kapitoly knihy New Pathways in Science od anglického astronóma A. Eddingtona. "Ak A, B, C a D povedať pravdu raz z troch (nezávisle) a ALE uvádza, že AT to popiera OD hovorí ako keby D klamár, aká je pravdepodobnosť, že D povedal pravdu?"

Eddingtonova odpoveď, 25/71, sa stretla s veľkým protestom čitateľov a vyvolala smiešny a zmätený spor, ktorý nebol nikdy definitívne vyriešený. Anglický astronóm G. Dingle, autor recenzie na Eddingtonovu knihu publikovanú v časopise Nature (marec 1935), sa domnieval, že problém si vôbec nezaslúži pozornosť ako nezmyselný a iba naznačuje, že Eddington dostatočne nepremyslel základné myšlienky teórie pravdepodobnosti. Proti tomu sa ohradil americký fyzik T. Stern (Nature, jún 1935), ktorý uviedol, že problém podľa neho v žiadnom prípade nie je nezmyselný, no na jeho vyriešenie nie je dostatok údajov.

V reakcii na to Dingle poznamenal (Nature, september 1935), že ak vezmeme Sternov pohľad, potom je dostatok údajov na rozhodnutie a odpoveď bude 1/3. Tu Eddington vstúpil do boja a publikoval (Mathemetical gazette, október 1935) článok, v ktorom podrobne vysvetlil, ako dostal svoju odpoveď. Spor sa skončil ďalšími dvoma článkami, ktoré vyšli v tom istom časopise, autor jedného z nich obhajoval Eddingtona a druhý predložil pohľad odlišný od všetkých predchádzajúcich.

Náročnosť spočíva najmä v pochopení Eddingtonovej formulácie. Ak AT, vyjadrujúc svoje popieranie, hovorí pravdu, potom to môžeme dôvodne predpokladať OD povedal že D hovor pravdu? Eddington veril, že na takýto predpoklad nie je dostatok dôvodov. Rovnako tak, ak ALE klame, môžeme si byť istí AT a OD povedali vobec nieco? Našťastie môžeme obísť všetky tieto jazykové ťažkosti tým, že urobíme nasledujúce predpoklady (Eddington ich neurobil):

1. Nikto zo štvorice nezostal ticho.

2. Výroky A, B a OD(každý z nich samostatne) buď potvrdiť alebo vyvrátiť nasledujúce tvrdenie.

3. Nepravdivé tvrdenie sa zhoduje s jeho negáciou a nepravdivé tvrdenie sa zhoduje s tvrdením.

Všetky štyri klamú nezávisle od seba s pravdepodobnosťou 1/3, to znamená, že v priemere sú akékoľvek dva z ich troch výrokov nepravdivé. Ak je pravdivé tvrdenie označené písm A, a nepravdivý - list L, potom pre A, B, C a D dostaneme tabuľku pozostávajúcu z osemdesiatjeden rôznych kombinácií. Z tohto počtu by sa mali vylúčiť tie kombinácie, ktoré nie sú možné z dôvodu podmienok problému.

Počet platných kombinácií končiacich písmenom A(t. j. pravdivé – pravdivé – tvrdenie D), treba vydeliť celkovým počtom všetkých platných kombinácií, ktoré dajú odpoveď.

Formulácia problému o cestovateľovi a dvoch domorodcoch by sa mala objasniť. Cestovateľ si uvedomil, že slovo „bláboliť“ v jazyku domorodcov znamená buď „áno“ alebo „nie“, no nevedel odhadnúť, čo presne. To by upozornilo na niekoľko e-mailov, z ktorých jeden uvádzam nižšie.

Vysoký domorodec zrejme nerozumel ani slovo z toho, čo mu cestovateľ povedal (v angličtine), a nevedel odpovedať áno alebo nie v angličtine. Preto jeho „blábolenie“ znamená niečo ako: „Nerozumiem“ alebo „Vitajte v Bongo-Bongu“. Následne malý domorodec klamal, keď povedal, že jeho kamarát odpovedal „áno“, a keďže malý bol klamár, klamal aj on, keď vysokého domorodca označil za klamára. Preto by mal byť vysoký domorodec považovaný za pravdovravného.

Takže ženská logika zasadila ranu mojej mužskej ješitnosti. Neškodí to trochu vašej autorskej hrdosti?


Odpovede

Prvý logický problém je najlepšie vyriešiť pomocou troch tabuliek: jedna pre kombinácie mien a priezvisk manželiek, druhá pre mená a priezviská manželov a tretia pre rodinné väzby.

Keďže sa pani Whiteová volá Margaret (podmienka 5), ​​zostávajú nám len dve možnosti pre mená ďalších dvoch manželiek: a) Helen Blake a Beatrice Brown, alebo b) Helen Brown a Beatrice Blake.

Predpokladajme, že nastane druhá z možností. Whiteova sestra musí byť buď Helen alebo Beatrice. Beatrice však nemôže byť Wyninou sestrou, pretože potom by bol Blake Helenin brat a Blakeovi dvaja švagorovia by boli White (brat jeho manželky) a Brown (manžel jeho sestry); Beatrice Blake nie je vydatá ani za jedného z nich, čo je v rozpore s podmienkou 4. Whiteova sestra preto musí byť Helen. Z toho zase usudzujeme, že Brownova sestra sa volá Beatrice a Blakeova sestra je Margaret.

Z podmienky 6 vyplýva, že pán White sa volá Arthur (Brown nemôže byť Arthur, keďže takáto kombinácia by znamenala, že Beatrice je krajšia ako ona, a Blake nemôže byť Arthur, keďže z podmienky 5 poznáme jeho meno: William). Takže pán Brown môže byť len John. Bohužiaľ, z podmienky 7 vidíme, že John sa narodil v roku 1868 (50 rokov pred podpísaním mierovej zmluvy). Ale rok 1868 je priestupný rok, takže Helena musí byť staršia ako jej manžel o jeden deň viac ako 26 týždňov uvedených v podmienke 3. (Z podmienky 4 vieme, že sa narodila v januári, a z podmienky 3, že sa jej manžel narodil v auguste. Mohla by byť presne o 26 týždňov staršia ako jej manžel, ak by mala narodeniny 31. januára a jeho 1. augusta a ak by medzi týmito dátumami nebol 29. február!) Takže druhá z možností, s ktorou sme začali by mali byť vyradené, čo nám umožňuje pomenovať manželky: Margaret White, Helen Blake a Beatrice Brown. Nie je tu žiadny rozpor, keďže nepoznáme rok Blakeovho narodenia. Z podmienok problému možno usúdiť, že Margaret je Brownova sestra, Beatrice je Blakeova sestra a Helen je Whiteova sestra, ale otázka mien White a Brown zostáva nevyriešená.


V probléme s pečiatkami AT sú tri možnosti. Jeho známky môžu byť: 1) obe červené; 2) obe zelené; 3) jeden je zelený a druhý červený. Predpokladajme, že obe známky sú červené.

Potom, čo všetci traja odpovedali raz, ALE môže uvažovať takto: „Značky na mojom čele nemôžu byť oboje červené (pretože potom OD videl by štyri červené pečiatky a hneď by spoznal, že má na čele dve zelené pečiatky a keby OD obe známky boli teda zelené AT pri pohľade na štyri zelené známky by si uvedomil, že má na čele dve červené známky). Preto mám na čele jednu zelenú a jednu červenú značku.“

Ale keď ALE spýtal sa druhýkrát, nevedel, akú farbu má jeho značka. Povolilo to AT zahoďte možnosť, že obe jeho vlastné známky sú červené. Argumentovať presne tým istým spôsobom ako A, B vylúčil prípad, keď obe jeho známky sú zelené. Preto mu zostala len jedna možnosť: jedna známka je zelená, druhá červená.

Viacerí čitatelia si rýchlo všimli, že problém sa dá vyriešiť veľmi rýchlo bez toho, aby museli analyzovať otázky a odpovede. Tu je to, čo o tom napísal jeden z čitateľov: „Podmienky problému sú úplne symetrické vzhľadom na červenú a zelenú značku.

Preto distribúciou známok medzi A, B a OD pri splnení všetkých podmienok problému a nahradením červených značiek zelenými a naopak zelených červenými sa dostaneme k inému rozdeleniu, pre ktoré budú tiež splnené všetky podmienky. Z toho vyplýva, že ak je riešenie jedinečné, potom musí byť invariantné (nemalo by sa meniť) pri výmene zelených štítkov za červené a červených štítkov za zelené. Takýmto riešením môže byť len taká distribúcia kolkov, pri ktorej B bude mať jednu zelenú a jednu červenú známku.

Ako povedal W. Manheimer, dekan Katedry matematiky na Brooklyn College, toto elegantné riešenie vychádza zo skutočnosti, že nie A, B a OD(ako je uvedené v stave problému) a Raymond Smullyan!


V Eddingtonovom probléme je pravdepodobnosť, že D hovorí pravdu, je 13/41. Všetky kombinácie pravdivých a nepravdivých, ktoré obsahujú nepárny počet nepravdivých (alebo pravdivých) rázov, by sa mali vyradiť, pretože odporujú podmienkam problému. Vďaka tomu sa počet možných kombinácií zníži z 81 na 41, z ktorých len 13 končí pravdivým tvrdením. D. Pretože A, B a OD povedz pravdu v prípadoch, ktoré zodpovedajú presne rovnakému počtu platných kombinácií, pravdepodobnosť povedania pravdy je pre všetky štyri rovnaká.

Používanie symbolu ekvivalencie

čo znamená, že výroky, ktoré sú s ním spojené, sú buď pravdivé, alebo oba nepravdivé (potom je nepravdivý výrok pravdivý, inak je nepravdivý) a symbol negácie ~, Eddingtonov problém vo výrokovom kalkule možno zapísať takto:

alebo po niektorých zjednodušeniach, ako je toto:

Pravdivostná tabuľka tohto výrazu potvrdzuje už prijatú odpoveď.

Poznámky:

To je frustrujúce- rozrušiť, urobiť niečo márne, beznádejné, odsúdenie na neúspech (angl.).

Pozri kapitolu o Raymondovi Smullyanovi v knihe M. Gardner"Cestovanie v čase" (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Nové cesty vo vede. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

Úvod

Logika je Bohom mysliteľov.

L. Feuchtwanger

Schopnosť správneho uvažovania je nevyhnutná v každej oblasti ľudskej činnosti: veda a technika, spravodlivosť a diplomacia, ekonomické plánovanie a vojenské záležitosti. A táto schopnosť sa vracia k staroveku, logika, t.j. veda o tom, ktoré formy uvažovania sú správne, vznikla len pred niečo vyše dvetisíc rokmi. Bol vyvinutý v VI storočí. BC. v dielach veľkého starovekého gréckeho filozofa Aristotela, jeho žiakov a nasledovníkov.

V určitom okamihu si matematici položili otázku: „Čo je vlastne matematika, matematická činnosť? Jednoduchá odpoveď je, že matematici dokazujú vety, teda zisťujú o nich nejaké pravdy reálny svet a „ideálny matematický svet“. Pokus odpovedať na otázku, čo je matematická veta, matematická pravda a čo je matematický výrok pravdivý alebo dokázateľný, aj to je sieť východiska matematickej logiky. V škole sa musíme naučiť analyzovať, porovnávať, zdôrazňovať to hlavné, zovšeobecňovať a systematizovať, dokazovať a vyvracať, definovať a vysvetľovať pojmy, klásť a riešiť problémy. Ovládanie týchto metód znamená schopnosť myslieť. Vo vede treba odvodzovať rôzne vzorce, číselné vzorce, pravidlá a dokazovať vety uvažovaním. Napríklad v roku 1781 bola objavená planéta Urán. Pozorovania ukázali, že pohyb tejto planéty sa líši od teoreticky vypočítaného pohybu. Francúzsky vedec Le Verrier (1811-1877), ktorý logicky uvažoval a vykonal pomerne zložité výpočty, určil vplyv inej planéty na Urán a naznačil jej polohu. V roku 1846 astronóm Galle potvrdil existenciu planéty, ktorá dostala meno Neptún. Využili pri tom logiku matematického uvažovania a výpočtov.

Druhým východiskom našich úvah je objasniť, čo znamená, že matematická funkcia je vyčísliteľná a dá sa vypočítať pomocou nejakého algoritmu, formálneho pravidla, presne popísaného postupu. Tieto dve východiskové formulácie majú veľa spoločného, ​​prirodzene sa spájajú pod všeobecným názvom „matematická logika“, kde matematická logika je chápaná predovšetkým ako logika matematického uvažovania a matematických úkonov.

Túto konkrétnu tému som si vybral, pretože zvládnutie prvkov matematickej logiky mi pomôže v mojej budúcej ekonomickej profesii. Koniec koncov, obchodník analyzuje trendytrh,ceny, obrat a marketingové metódy, zbiera údaje o konkurenčných organizáciách,vydáva odporúčania. Aby ste to dosiahli, musíte použiť znalosti logiky.

Cieľ: študovať a využívať možnosti matematickej logiky pri riešení problémov v rôznych oblastiach a ľudských činnostiach.

Úlohy:

1. Analyzujte literatúru o podstate a pôvode matematickej logiky.

2. Študujte prvky matematickej logiky.

3. Vybrať a riešiť úlohy s prvkami matematickej logiky.

Metódy: rozbor literatúry, koncepty, metóda analógií pri riešení problémov, sebapozorovanie.

  1. Z histórie vzniku matematickej logiky

Matematická logika úzko súvisí s logikou a vďačí jej za svoj vznik. Základy logiky, vedy o zákonoch a formách ľudského myslenia, položil najväčší staroveký grécky filozof Aristoteles (384-322 pred Kr.), ktorý vo svojich pojednaniach dôkladne preštudoval terminológiu logiky, podrobne rozobral teóriu inferencií. a dôkazov, opísal množstvo logických operácií, sformuloval základné zákony myslenia, vrátane zákonov protirečenia a vylúčenia tretieho. Aristotelov príspevok k logike je veľmi veľký, nie bezdôvodne sa jeho ďalšie meno nazýva aristotelovská logika. Dokonca aj sám Aristoteles si všimol, že medzi vedou, ktorú vytvoril, a matematikou (v tom čase sa tomu hovorilo aritmetika) je veľa spoločného. Pokúsil sa spojiť tieto dve vedy, a to zredukovať reflexiu, či skôr inferenciu, na kalkuláciu na základe východiskových pozícií. Aristoteles sa v jednom zo svojich pojednaní priblížil k jednej zo sekcií matematickej logiky – teórii dôkazov.

V budúcnosti mnohí filozofi a matematici vyvinuli určité ustanovenia logiky a niekedy dokonca načrtli kontúry moderného výrokového počtu, ale najbližšie k vytvoreniu matematickej logiky prišiel v druhej polovici 17. storočia vynikajúci nemecký vedec Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ktorý poukázal na spôsoby prekladu logiky „z verbálnej oblasti, plnej neistôt, do oblasti matematiky, kde sa vzťahy medzi predmetmi alebo tvrdeniami určujú s dokonalou presnosťou“. Leibniz dokonca dúfal, že v budúcnosti filozofi namiesto bezvýsledných hádok zoberú papier a zistia, ktorý z nich má pravdu. Zároveň sa Leibniz vo svojich prácach dotkol aj binárneho číselného systému. Treba poznamenať, že myšlienka použitia dvoch znakov na kódovanie informácií je veľmi stará. Austrálski domorodci počítali v dvojkách, niektoré kmene lovcov a zberačov z Novej Guiney a Južnej Ameriky používali aj binárny systém počítania. V niektorých afrických kmeňoch sa správy prenášajú pomocou bubnov vo forme kombinácií hlasových a tupých úderov. Známym príkladom dvojznakového kódovania je Morseova abeceda, kde sú písmená abecedy reprezentované určitými kombináciami bodiek a pomlčiek. Po Leibnizovi v tejto oblasti viedli výskumy mnohí významní vedci, no skutočný úspech tu dosiahol anglický matematik samouk George Boole (1815-1864), jeho odhodlanie nepoznalo hraníc.

Finančná situácia Georgovi rodičia (ktorého otec bol obuvník) mu dovolili len vyštudovať Základná škola pre chudobných. Po nejakom čase si Buhl, ktorý vystriedal niekoľko povolaní, otvoril malú školu, kde sa sám vyučoval. Veľa času venoval sebavzdelávaniu a čoskoro sa začal zaujímať o myšlienky symbolickej logiky. V roku 1847 Boole publikoval článok „Mathematical Analysis of Logic, or Experience of the Calculus of Deductive Inferences“ a v roku 1854 vyšla jeho hlavná práca „Vyšetrovanie zákonov myslenia, na ktorom sú založené matematické teórie logiky a pravdepodobnosti“. . Boole vynašiel akýsi druh algebry – systém zápisu a pravidiel použiteľných pre všetky druhy objektov, od čísel a písmen až po vety. Pomocou tohto systému mohol zakódovať tvrdenia (tvrdenia, ktoré bolo potrebné dokázať ako pravdivé alebo nepravdivé) pomocou symbolov svojho jazyka a potom s nimi manipulovať rovnakým spôsobom, akým sa manipuluje s číslami v matematike. Základné operácie Booleovej algebry sú konjunkcia (AND), disjunkcia (OR) a negácia (NOT). Po určitom čase sa ukázalo, že Booleov systém je vhodný na popis elektrických spínacích obvodov. Prúd v obvode môže pretekať alebo nie, rovnako ako vyhlásenie môže byť pravdivé alebo nepravdivé. A o niekoľko desaťročí neskôr, už v 20. storočí, vedci spojili matematický aparát vytvorený Georgeom Boolom s binárnym číselným systémom, čím položili základ pre vývoj digitálneho elektronického počítača. Jednotlivých ustanovení Booleovho diela sa do určitej miery dotkli pred ním aj po ňom iní matematici a logici. Dnes sú však v tejto oblasti považované za matematické klasiky práve diela Georga Boolea a on sám je právom považovaný za zakladateľa matematickej logiky a o to viac jej najdôležitejších častí – algebry logiky (Booleova algebra ) a algebra výrokov.

Veľký prínos k rozvoju logiky mali aj ruskí vedci P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).

V 20. storočí zohral obrovskú úlohu vo vývoji matematickej logiky

D. Hilbert (1862-1943), ktorý navrhol program formalizácie matematiky spojený s rozvojom základov samotnej matematiky. Napokon, v posledných desaťročiach 20. storočia bol prudký rozvoj matematickej logiky spôsobený rozvojom teórie algoritmov a algoritmických jazykov, teórie automatov, teórie grafov (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov a mnoho ďalších).

V polovici 20. storočia viedol rozvoj výpočtovej techniky k vzniku tzv logické prvky, logické bloky a zariadenia výpočtovej techniky, čo súviselo s ďalším rozvojom takých oblastí logiky, ako sú problémy logickej syntézy, logického návrhu a logického modelovania logických zariadení a výpočtovej techniky. V 80. rokoch sa začal výskum v oblasti umela inteligencia založené na jazykoch a systémoch logického programovania. Vytváranie expertných systémov sa začalo využívaním a vývojom automatického dokazovania viet, ako aj metód programovania založeného na dôkazoch na overovanie algoritmov a počítačových programov. V 80. rokoch sa začali aj zmeny v školstve. Nástup osobných počítačov na stredných školách viedol k vytvoreniu učebníc informatiky so štúdiom prvkov matematickej logiky na vysvetlenie logických princípov práce. logické obvody a výpočtových zariadení, ako aj princípy logického programovania pre počítače piatej generácie a vývoj učebníc informatiky so štúdiom jazyka predikátového počtu pre navrhovanie báz znalostí.

  1. Základy teórie množín

Pojem množina je jedným z tých základných pojmov matematiky, ktoré je ťažké presne definovať pomocou elementárnych pojmov. Preto sa obmedzíme na deskriptívne vysvetlenie pojmu množina.

veľa nazývaný súbor určitých celkom odlišných predmetov, považovaných za jeden celok. Tvorca teórie množín Georg Cantor dal nasledujúcu definíciu množiny – „množina je veľa, o čom premýšľame ako o celku“.

Jednotlivé predmety tvoriace množinu sa nazývajú nastaviť prvky.

Súbory sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy a prvky týchto súborov sa označujú malými písmenami latinskej abecedy. Sady sú napísané v zložených zátvorkách ( ).

Je obvyklé používať nasledujúci zápis:

    a∈ X - "prvok a patrí do množiny X";

    a∉ X - "prvok a nepatrí do množiny X";

    ∀ - kvantifikátor svojvôle, všeobecnosti, označujúci „akýkoľvek“, „čokoľvek“, „pre všetkých“;

    ∃ - kvantifikátor existencie:∃ r∈ B - "existuje (existuje) prvok y z množiny B";

    ∃! - kvantifikátor existencie a jedinečnosti:∃ !b∈ C - "existuje jedinečný prvok b z množiny C";

    : - „taký, že; vlastniť majetok“;

    → - symbol následku znamená „znamená“;

    ⇔ - kvantifikátor ekvivalencie, ekvivalencia – „ak a len vtedy“.

Súpravy sú konečný a nekonečný . Súpravy sú tzv finálny, konečný , ak je počet jej prvkov konečný, t.j. ak existuje prirodzené číslo n, čo je počet prvkov množiny. A = (a 1, a 2, a 3, ..., a n ). Súprava je tzv nekonečné ak obsahuje nekonečný počet prvkov. B = (b 1, b2, b3 , ...). Napríklad množina písmen ruskej abecedy je konečná množina. Množina prirodzených čísel je nekonečná množina.

Počet prvkov v konečnej množine M sa nazýva mohutnosť množiny M a označuje sa |M|. prázdny sada - sada, ktorá neobsahuje žiadne prvky -∅ . Dve sady sú tzv rovný , ak pozostávajú z rovnakých prvkov, t.j. sú rovnaké. Množiny sa nerovnajú X ≠ Y, ak X obsahuje prvky, ktoré nepatria do Y, alebo Y obsahuje prvky, ktoré nepatria do X. Symbol rovnosti množín má nasledujúce vlastnosti:

    X=X; - reflexivita

    ak X=Y, Y=X - symetria

    ak X=Y,Y=Z, potom X=Z je tranzitívne.

Podľa tejto definície rovnosti množín prirodzene dostaneme, že všetky prázdne množiny sú si navzájom rovné, alebo že je to isté, že existuje len jedna prázdna množina.

Podmnožiny. Vzťah inklúzie.

Množina X je podmnožinou množiny Y, ak akýkoľvek prvok množiny X∈ a nastavte Y. Označené X⊆ Y.

Ak je potrebné zdôrazniť, že Y obsahuje okrem prvkov z X aj iné prvky, potom sa použije striktný symbol zahrnutia.⊂ :X ⊂ Y. Vzťah medzi symbolmi⊂ a ⊆ je daný:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y a X≠Y

Všimli sme si niektoré vlastnosti podmnožiny, ktoré vyplývajú z definície:

    X⊆ X (reflexivita);

    → X⊆ Z (prechodnosť);

Pôvodná množina A vo vzťahu k jej podmnožinám sa nazýva kompletný súbor a označuje sa I.

Akákoľvek podmnožina A i množina A sa nazýva vlastná množina A.

Množina pozostávajúca zo všetkých podmnožín danej množiny X a prázdnej množiny∅ , sa nazýva boolean X a označuje sa β(X). Booleovská mocnosť |β(X)|=2 n.

Počítateľná sada- ide o množinu A, ktorej všetky prvky možno očíslovať v postupnosti (m.b. nekonečné) a 1, a 2, a 3, ..., a n , ... tak, že v tomto prípade dostane každý prvok len jedno číslo n a každé prirodzené číslo n dostane ako číslo jeden a len jeden prvok našej množiny.

Množina ekvivalentná množine prirodzených čísel sa nazýva spočítateľná množina.

Príklad. Množina druhých mocnín celých čísel 1, 4, 9, ..., n 2 predstavuje iba podmnožinu množiny prirodzených čísel N. Množina je spočítateľná, pretože sa privedie do vzájomnej korešpondencie s prirodzeným radom tak, že každému prvku priradíme číslo čísla prirodzeného radu, druhú mocninu čo to je.

Existujú 2 hlavné spôsoby definovania množín.

    vyčíslenie (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

    popis - označuje charakteristické vlastnosti, ktoré majú všetky prvky súpravy.

Sada je úplne definovaná svojimi prvkami.

Enumerácia môže špecifikovať iba konečné množiny (napríklad množinu mesiacov v roku). Nekonečné množiny je možné definovať len popisom vlastností jej prvkov (napríklad množinu racionálnych čísel možno definovať opisom Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Spôsoby, ako špecifikovať sadu popisom:

a) špecifikovaním postupu generovanias uvedením množiny (množín), ktorou prechádza parameter (parametre) tejto procedúry - rekurzívne, induktívne.

X=(x: x 1 = 1, x 2 = 1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - veľa Fibonicciho čísel.

(viac prvkov x, takže x 1 \u003d 1, x 2 =1 a ľubovoľné x k+1 (pre k=1,2,3,...) sa vypočíta podľa vzorca x k+2 \u003d x k + x k + 1) alebo X \u003d)

Podobné príspevky