ตรรกะที่สนุกสนานในวิชาคณิตศาสตร์ ตรรกะที่สนุกสนาน คำถามตรรกะทางคณิตศาสตร์

1. หมายเหตุอธิบาย
1.1 ความเกี่ยวข้อง
1.2 วัตถุประสงค์ของโครงการ
1.3 วัตถุประสงค์ของโครงการ
1.4 เงื่อนไขการดำเนินโครงการ อายุของเด็ก รูปแบบการจัดชั้นเรียน
1.5 ขั้นตอนของการนำโปรแกรมไปปฏิบัติ
1.6 เนื้อหาของโปรแกรม
1.7 ผลลัพธ์ที่คาดหวัง

2. การสนับสนุนระเบียบวิธี
2.1 แผนเปอร์สเปคทีฟ - ใจความของวงกลม " ตรรกะที่สนุกสนาน»

3. โปรแกรมวินิจฉัยการคิดเชิงตรรกะของเด็กก่อนวัยเรียนที่มีอายุมากกว่า

5. แหล่งข้อมูล

1. หมายเหตุอธิบาย
ทำไมต้องเป็นตรรกะสำหรับเด็กก่อนวัยเรียนตัวน้อย?
ตามที่ L.A. Wenger กล่าว “สำหรับเด็กอายุ 5 ขวบ คุณสมบัติภายนอกของสิ่งต่าง ๆ เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพออย่างชัดเจน พวกเขาค่อนข้างพร้อมที่จะค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับไม่เพียง แต่กับภายนอกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคุณสมบัติและความสัมพันธ์ภายในที่ซ่อนอยู่ซึ่งรองรับความรู้ทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับโลก ... ทั้งหมดนี้จะเป็นประโยชน์ การพัฒนาจิตใจเด็กเท่านั้นหากการฝึกอบรมมีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาความสามารถทางจิตความสามารถเหล่านั้นในด้านการรับรู้การคิดเชิงจินตนาการจินตนาการซึ่งขึ้นอยู่กับการดูดซึมตัวอย่างคุณสมบัติภายนอกของสิ่งต่าง ๆ และความหลากหลาย ... "
ทักษะและความสามารถที่เด็กได้รับในช่วงก่อนวัยเรียนจะเป็นพื้นฐานในการได้รับความรู้และพัฒนาความสามารถเมื่ออายุมากขึ้น - ที่โรงเรียน และที่สำคัญที่สุดในบรรดาทักษะเหล่านี้คือทักษะการคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการ "กระทำในใจ" มันจะยากขึ้นสำหรับเด็กที่ไม่เชี่ยวชาญวิธีการคิดเชิงตรรกะในการแก้ปัญหาการทำแบบฝึกหัดจะต้องใช้เวลาและความพยายามอย่างมาก เป็นผลให้สุขภาพของเด็กอาจลดลงความสนใจในการเรียนรู้อาจลดลงหรือหายไป
เมื่อเข้าใจการดำเนินการเชิงตรรกะแล้ว เด็กจะมีสมาธิมากขึ้น เรียนรู้ที่จะคิดให้ชัดเจนและชัดเจน และสามารถจดจ่อกับแก่นแท้ของปัญหาได้ในเวลาที่เหมาะสม จะกลายเป็นเรื่องง่ายในการเรียนรู้ซึ่งหมายถึงกระบวนการเรียนรู้และตัวเธอเอง ชีวิตในโรงเรียนจะนำมาซึ่งความสุขและความพึงพอใจ
โปรแกรมนี้แสดงให้เห็นว่าเกมและแบบฝึกหัดพิเศษสามารถสร้างความสามารถของเด็กในการสร้างความสัมพันธ์เชิงตรรกะได้อย่างอิสระในความเป็นจริงโดยรอบ
การทำงานกับเด็กก่อนวัยเรียนในการพัฒนากระบวนการทางปัญญา คุณได้ข้อสรุปว่าหนึ่งในเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการพัฒนาและการเรียนรู้ที่ประสบความสำเร็จของพวกเขาคือความสม่ำเสมอ กล่าวคือ ระบบเกมและแบบฝึกหัดพิเศษที่มีการพัฒนาอย่างต่อเนื่องและกลายเป็นเนื้อหาที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วยการสอน การกระทำของเกมและกฎเกณฑ์ เกมและแบบฝึกหัดที่แยกจากกันอาจมีความน่าสนใจมาก แต่การใช้สิ่งเหล่านี้นอกระบบ เราไม่สามารถบรรลุผลการเรียนรู้และการพัฒนาที่ต้องการได้
1.1 ความเกี่ยวข้อง
เพื่อที่จะประสบความสำเร็จในการเรียนรู้หลักสูตรของโรงเรียน เด็กไม่จำเป็นต้องรู้มากเท่านั้น แต่ยังต้องคิดอย่างต่อเนื่องและสรุป เดา แสดงความตึงเครียดทางจิตใจ และคิดอย่างมีเหตุมีผล
การสอนการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะมีความสำคัญไม่น้อยสำหรับนักเรียนในอนาคตและมีความเกี่ยวข้องมากในปัจจุบัน
ด้วยการเรียนรู้วิธีการท่องจำใด ๆ เด็กเรียนรู้ที่จะแยกแยะเป้าหมายและทำงานบางอย่างกับเนื้อหาเพื่อให้บรรลุเป้าหมาย เขาเริ่มเข้าใจถึงความจำเป็นในการทำซ้ำ เปรียบเทียบ สรุป เนื้อหากลุ่มเพื่อจุดประสงค์ในการท่องจำ
การสอนเด็กเกี่ยวกับการจัดหมวดหมู่มีส่วนช่วยในการเรียนรู้วิธีจดจำที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งก็คือการจัดกลุ่มความหมายที่เด็กๆ พบในโรงเรียน
การใช้โอกาสในการพัฒนาความคิดเชิงตรรกะและความจำของเด็กก่อนวัยเรียนทำให้สามารถเตรียมเด็กให้พร้อมสำหรับการแก้ปัญหาที่การศึกษาในโรงเรียนกำหนดไว้ต่อหน้าเราให้ประสบความสำเร็จมากขึ้น
พัฒนาการของการคิดเชิงตรรกะ ได้แก่ การใช้เกมการสอน ความเฉลียวฉลาด ปริศนา การแก้ปริศนาต่างๆ เกมตรรกะและเขาวงกตและเป็นที่สนใจของเด็กๆ ในกิจกรรมนี้ ลักษณะบุคลิกภาพที่สำคัญจะเกิดขึ้นในเด็ก: ความเป็นอิสระ ความเฉลียวฉลาด ความเฉลียวฉลาด ความพากเพียรได้รับการพัฒนา และพัฒนาทักษะเชิงสร้างสรรค์ เด็กเรียนรู้ที่จะวางแผนการกระทำ คิดเกี่ยวกับพวกเขา เดาเพื่อค้นหาผลลัพธ์ พร้อมแสดงความคิดสร้างสรรค์
ขณะทำงานกับเด็ก คุณจะสังเกตได้ว่าเด็กจำนวนมากไม่รับมือกับงานเชิงตรรกะที่ดูเหมือนง่าย ตัวอย่างเช่น เด็กส่วนใหญ่ในวัยก่อนวัยเรียนที่มีอายุมากกว่าไม่สามารถตอบคำถามได้อย่างถูกต้องว่ามีอะไรมากกว่านั้น: ผลไม้หรือแอปเปิ้ลแม้ว่าพวกเขาจะมีภาพที่วาดผลไม้อยู่ในมือก็ตาม - แอปเปิ้ลจำนวนมากและลูกแพร์หลายลูก เด็กจะตอบว่าลูกแพร์มีมากขึ้น ในกรณีเช่นนี้ เขาใช้คำตอบจากสิ่งที่เห็นด้วยตาตนเอง พวกเขา "ผิดหวัง" จากการคิดเชิงจินตนาการ และเมื่ออายุได้ 5 ขวบเด็กก็ยังไม่มีการใช้เหตุผลเชิงตรรกะ ในวัยชรา อายุก่อนวัยเรียนพวกเขาเริ่มแสดงองค์ประกอบของการคิดเชิงตรรกะ ลักษณะของเด็กนักเรียนและผู้ใหญ่ ซึ่งต้องได้รับการพัฒนาในการระบุวิธีการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะ
เกมที่มีเนื้อหาเชิงตรรกะช่วยปลูกฝังความสนใจทางปัญญาในเด็ก มีส่วนในการวิจัยและการค้นหาอย่างสร้างสรรค์ ความปรารถนาและความสามารถในการเรียนรู้ เกมการสอนเป็นหนึ่งในกิจกรรมที่เป็นธรรมชาติที่สุดของเด็กๆ และมีส่วนช่วยในการก่อตัวและพัฒนาการของการแสดงออกทางปัญญาและความคิดสร้างสรรค์ การแสดงออก และความเป็นอิสระ พัฒนาการการคิดเชิงตรรกะในเด็กผ่าน เกมการสอนเป็นสิ่งสำคัญสำหรับความสำเร็จของการศึกษาในภายหลังสำหรับการสร้างบุคลิกภาพที่ถูกต้องของนักเรียนและในการศึกษาต่อจะช่วยให้ประสบความสำเร็จในการเรียนรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์
1.2 วัตถุประสงค์ของโปรแกรม:การสร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนาสูงสุดของการคิดเชิงตรรกะของเด็กก่อนวัยเรียนเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการเรียนที่ประสบความสำเร็จ
1.3 วัตถุประสงค์ของโครงการ:

• สอนการดำเนินการทางตรรกะขั้นพื้นฐานแก่เด็ก: การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ การปฏิเสธ การจำแนก การจัดระบบ การจำกัด การวางนัยทั่วไป การอนุมาน
• สอนลูกท่องอวกาศ
• พัฒนาในเด็ก หน้าที่ทางจิตที่สูงขึ้น ความสามารถในการให้เหตุผล พิสูจน์
• เพื่อปลูกฝังความปรารถนาที่จะเอาชนะความยากลำบาก, ความมั่นใจในตนเอง, ความปรารถนาที่จะช่วยเหลือเพื่อน

1.4 เงื่อนไขการดำเนินโครงการ อายุของเด็ก รูปแบบการจัดชั้นเรียน
เงื่อนไขการดำเนินโครงการ – 1-2 ปี
โปรแกรมนี้ออกแบบมาสำหรับเด็กอายุ 5-7 ปี
โปรแกรมจัดให้มีการเรียนแบบวงกลมในรูปแบบต่างๆ:

• รายบุคคล งานอิสระเด็ก.
• ทำงานเป็นคู่.
• แบบงานกลุ่ม.
• แตกต่าง
• ตรวจสอบและควบคุมหน้าผาก
• การประเมินตนเองของงานที่ทำ
• เกมการสอน
• การแข่งขัน.
• การแข่งขัน

1.5 ขั้นตอนของการนำโปรแกรมไปปฏิบัติ
เทคโนโลยีของกิจกรรมถูกสร้างขึ้นในขั้นตอน:

1. การวินิจฉัยระดับเริ่มต้นของการพัฒนากระบวนการทางปัญญาและการควบคุมการพัฒนา
2. การวางแผนวิธีการที่จะพัฒนาคุณภาพอย่างใดอย่างหนึ่ง (ความสนใจ ความจำ จินตนาการ การคิด) โดยคำนึงถึงบุคลิกลักษณะของเด็กแต่ละคนและความรู้ที่มีอยู่
3. การสร้างพื้นฐานสหวิทยาการ (บูรณาการ) สำหรับการฝึกอบรมในหลักสูตรที่กำลังพัฒนา
4. ความซับซ้อนของวัสดุค่อยๆเพิ่มขึ้นในปริมาณงานเพิ่มระดับความเป็นอิสระของเด็ก
5. ทำความคุ้นเคยกับองค์ประกอบของทฤษฎีวิธีการสอนการใช้เหตุผลการโต้แย้งทางเลือกด้วยตนเอง
6. บูรณาการความรู้และวิธีการ กิจกรรมทางปัญญาเชี่ยวชาญเทคนิคทั่วไป
7. การประเมินผลลัพธ์ของหลักสูตรการพัฒนาตามเกณฑ์ที่พัฒนาขึ้นซึ่งควรรวมถึงเด็ก (ความนับถือตนเอง การควบคุมตนเอง การควบคุมซึ่งกันและกัน)

1. 6 เนื้อหาของโปรแกรม
คำอธิบายสั้นส่วนและหัวข้อของชั้นเรียน (ส่วนที่สอดคล้องกับการดำเนินการเชิงตรรกะบางอย่างที่เด็กจะได้เรียนรู้ในชั้นเรียน):

1. วิเคราะห์-สังเคราะห์
เป้าหมายคือการสอนเด็ก ๆ ให้แบ่งส่วนทั้งหมดออกเป็นส่วน ๆ เพื่อสร้างความเชื่อมโยงระหว่างพวกเขา เรียนรู้ที่จะรวมส่วนต่าง ๆ ของวัตถุเข้าด้วยกันเป็นชิ้นเดียว
เกมและแบบฝึกหัด: ค้นหาคู่ตรรกะ (แมว - ลูกแมว, สุนัข - ? (ลูกสุนัข)) เสริมภาพ (หยิบแพทช์, ดึงกระเป๋าไปที่ชุด) ค้นหาสิ่งที่ตรงกันข้าม (เบา - หนัก, เย็น - ร้อน) ทำงานกับปริศนาที่มีความซับซ้อนต่างกัน การจัดวางรูปภาพจากการนับแท่งและรูปทรงเรขาคณิต

2. การเปรียบเทียบ
เป้าหมายคือการสอนเพื่อสร้างความเหมือนและความแตกต่างของวัตถุตามลักษณะที่จำเป็น พัฒนาความสนใจการรับรู้ของเด็ก ปรับปรุงการวางแนวในอวกาศ
เกมและแบบฝึกหัด: การรวมแนวคิด: ใหญ่ - เล็ก, ยาว - สั้น, ต่ำ - สูง, แคบ - กว้าง, สูงกว่า - ล่าง, ไกลกว่า - ใกล้กว่า ฯลฯ ดำเนินการด้วยแนวคิด "เหมือนกัน" "มากที่สุด" ค้นหาความเหมือนและความแตกต่างใน 2 ภาพที่คล้ายกัน

3. ข้อจำกัด
เป้าหมายคือการสอนให้แยกแยะวัตถุหนึ่งชิ้นขึ้นไปจากกลุ่มตามลักษณะเฉพาะบางประการ พัฒนาทักษะการสังเกตของเด็ก
เกมและแบบฝึกหัด: "วงกลมเฉพาะธงสีแดงที่มีเส้นเดียว", "ค้นหาวัตถุที่ไม่เป็นวงกลมทั้งหมด" ฯลฯ การยกเว้นฟุ่มเฟือยที่สี่

4. ลักษณะทั่วไป
เป้าหมายคือสอนให้รวมวัตถุเข้าเป็นกลุ่มตามคุณสมบัติ มีส่วนช่วยเสริมคำศัพท์ เพิ่มพูนความรู้ในชีวิตประจำวันของเด็กๆ
เกมและแบบฝึกหัดสำหรับปฏิบัติการด้วยแนวคิดทั่วไป: เฟอร์นิเจอร์ จาน การขนส่ง ผัก ผลไม้ ฯลฯ

5. การจัดระบบ
เป้าหมายคือการสอนให้ระบุรูปแบบ ขยายคำศัพท์ของเด็ก เรียนรู้ที่จะบอกเล่าจากภาพ
เกมและแบบฝึกหัด: สี่เหลี่ยมมายากล (หยิบส่วนที่หายไป, รูปภาพ) วาดเรื่องราวจากชุดรูปภาพ จัดเรียงรูปภาพตามลำดับตรรกะ

6. การจำแนกประเภท
เป้าหมายคือสอนให้กระจายสิ่งของออกเป็นกลุ่มตามลักษณะสำคัญ การรวมแนวคิดทั่วไป ใช้งานฟรีกับพวกเขา

7. การอนุมาน
เป้าหมายคือการสอนโดยใช้วิจารณญาณในการสรุปผล มีส่วนในการขยายความรู้ในครัวเรือนของเด็ก พัฒนาจินตนาการ
เกมและการออกกำลังกาย: ค้นหาปรากฏการณ์เชิงบวกและเชิงลบ (เช่น เมื่อฝนตก มันช่วยบำรุงพืช - นี่เป็นสิ่งที่ดี แต่สิ่งที่ไม่ดีคือในสายฝนคนสามารถเปียกเป็นหวัดและป่วยได้) . การประเมินความถูกต้องของการตัดสินบางอย่าง (“ลมพัดเพราะต้นไม้ไหว” ใช่ไหม) วิธีการแก้ งานตรรกะ.

1.7 ผลลัพธ์ที่คาดหวัง
ผลลัพธ์ตามแผน:
เด็กควรรู้:

• หลักการสร้างแบบแผน คุณสมบัติของตัวเลข วัตถุ ปรากฏการณ์ คำ
• หลักการของโครงสร้างของปริศนา, ปริศนาอักษรไขว้, คำลูกโซ่, เขาวงกต;
• คำตรงข้ามและคำพ้องความหมาย;
• ชื่อของรูปทรงเรขาคณิตและคุณสมบัติ
• หลักการเขียนโปรแกรมและการร่างอัลกอริธึมของการกระทำ

เด็กควรจะสามารถ:

• กำหนดรูปแบบและดำเนินงานตามรูปแบบนี้ จำแนกและจัดกลุ่มวัตถุ เปรียบเทียบ ค้นหาคุณสมบัติทั่วไปและเฉพาะเจาะจง สรุปและสรุป วิเคราะห์และประเมินผลกิจกรรม
• ผ่านการให้เหตุผล, แก้ปัญหาเชิงตรรกะ, ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน, ดำเนินการค้นหาอย่างสร้างสรรค์, การสอนด้วยวาจา, งานเชิงตัวเลข, ค้นหาคำตอบของปริศนาทางคณิตศาสตร์
• ตอบสนองอย่างรวดเร็วและถูกต้องระหว่างการอุ่นเครื่องกับคำถามที่ตั้งไว้
• ทำหน้าที่ฝึกสมาธิ การรับรู้ ความจำ
• ดำเนินการตามคำบอกกราฟิกสามารถนำทางในการแสดงแผนผังของงานกราฟิก
• สามารถกำหนดเป้าหมาย วางแผนขั้นตอนการทำงาน บรรลุผลด้วยความพยายามของคุณเอง

ช่องทางการตรวจสอบผลงาน : สรุปชั้นเรียนหลังจากแต่ละส่วนและ 2 การวินิจฉัย (เริ่มต้น (กันยายน) และสุดท้าย (พฤษภาคม)) ของระดับของการควบคุมการดำเนินงานของการคิดเชิงตรรกะ

คำพูดของเชอร์ล็อค โฮล์มส์: “ฉันบอกคุณกี่ครั้งแล้ว ให้ทิ้งทุกอย่างที่เป็นไปไม่ได้ แล้วสิ่งที่เหลืออยู่จะเป็นคำตอบ ไม่ว่ามันจะดูน่าเหลือเชื่อขนาดไหน” สามารถใช้เป็นบทสรุปของบทนี้ได้

หากการไขปริศนาต้องการเพียงความสามารถในการคิดอย่างมีตรรกะและไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์เลย ปริศนาดังกล่าวมักจะเรียกว่าปัญหาเชิงตรรกะ แน่นอนว่าปัญหาลอจิกเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากตรรกะถือได้ว่าเป็นคณิตศาสตร์พื้นฐานทั่วไป อย่างไรก็ตาม มันสะดวกที่จะแยกแยะและศึกษาปริศนาตรรกะแยกจากพี่น้องคณิตศาสตร์จำนวนมาก ในบทนี้ เราจะสรุปปัญหาเชิงตรรกะทั่วไปสามประเภท และพยายามหาวิธีจัดการกับปัญหาเหล่านั้น

ปัญหาที่พบบ่อยที่สุดที่คนรักปริศนาบางครั้งเรียกว่า "ปัญหาของ Smith-Jones-Robinson" (โดยการเปรียบเทียบกับปริศนาตัวต่อเก่าที่คิดค้นโดย G. Dudeni)

ประกอบด้วยชุดของพัสดุ มักจะรายงานข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับตัวละคร บนพื้นฐานของสมมติฐานเหล่านี้ ต้องมีข้อสรุปบางประการ ตัวอย่างเช่น นี่คือลักษณะของปัญหา Dudeney เวอร์ชันล่าสุดของอเมริกา:

1. สมิท โจนส์ และโรบินสันทำงานในลูกเรือคนเดียวกับคนขับรถ คนควบคุมรถ และเจ้าหน้าที่ดับเพลิง อาชีพของพวกเขาไม่จำเป็นต้องมีชื่อในลำดับเดียวกับนามสกุล มีผู้โดยสารสามคนที่มีนามสกุลเดียวกันบนรถไฟที่ให้บริการโดยกองพลน้อย

ต่อไปเราจะเรียกผู้โดยสารแต่ละคนว่า "คุณ" (นาย) ด้วยความเคารพ

2. คุณโรบินสันอาศัยอยู่ที่ลอสแองเจลิส

3. ผู้ควบคุมวงอาศัยอยู่ในโอมาฮา

4. มิสเตอร์โจนส์ลืมพีชคณิตไปหมดแล้วที่เขาเคยสอนในวิทยาลัยไปนานแล้ว

5. ผู้โดยสาร - คนชื่อเดียวกับวาทยกรอาศัยอยู่ในชิคาโก

6. ผู้ควบคุมวงและผู้โดยสารคนหนึ่งซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านฟิสิกส์คณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ไปที่โบสถ์เดียวกัน

7. สมิ ธ ชนะสโตกเกอร์เสมอเมื่อพวกเขาพบกันเพื่อเล่นบิลเลียด

คนขับชื่ออะไร

ปัญหาเหล่านี้สามารถแปลเป็นภาษาของตรรกะทางคณิตศาสตร์ โดยใช้สัญกรณ์มาตรฐาน และสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการที่เหมาะสม แต่วิธีการดังกล่าวจะยุ่งยากเกินไป ในทางกลับกัน ถ้าไม่มีตัวย่ออย่างใดอย่างหนึ่ง เป็นการยากที่จะเข้าใจโครงสร้างเชิงตรรกะของปัญหา เป็นการสะดวกที่สุดในการใช้ตารางในเซลล์ว่างซึ่งเราจะป้อนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของชุดข้อมูลภายใต้การพิจารณา ในกรณีของเรา มีสองชุดดังกล่าว ดังนั้นเราจึงต้องการสองตาราง (รูปที่ 139)

ข้าว. 139 สองตารางสำหรับปัญหาของ Smith, Jones และ Robinson

ในแต่ละเซลล์ เราป้อน 1 หากยอมรับชุดค่าผสมที่ตรงกัน หรือ 0 หากชุดค่าผสมขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหา เรามาดูกันว่ามันทำอย่างไร เงื่อนไข 7 ไม่รวมความเป็นไปได้ที่สมิทจะเป็นสโตกเกอร์อย่างชัดเจน ดังนั้นในช่องมุมขวาบนของตารางด้านซ้ายเราจึงป้อน 0 เงื่อนไขที่ 2 บอกเราว่าโรบินสันอาศัยอยู่ในลอสแองเจลิส ดังนั้นที่มุมล่างซ้ายของโต๊ะเรา ป้อน 1 และ 0 ลงในเซลล์อื่นๆ ทั้งหมดในแถวล่างและคอลัมน์ซ้ายเพื่อแสดงว่ามิสเตอร์โรบินสันไม่ได้อาศัยอยู่ในโอมาฮาหรือชิคาโก และมิสเตอร์สมิธและมิสเตอร์โจนส์ไม่ได้อาศัยอยู่ในลอสแองเจลิส

ตอนนี้เราต้องคิดนิดหน่อย จากเงื่อนไข 3 และ 6 เรารู้ว่านักฟิสิกส์คณิตศาสตร์อาศัยอยู่ในโอมาฮา แต่เราไม่รู้นามสกุลของเขา เขาไม่สามารถเป็นได้ทั้งมิสเตอร์โรบินสันหรือมิสเตอร์โจนส์ (เพราะว่าเขาลืมแม้กระทั่งพีชคณิตประถมไปแล้ว)

จึงต้องเป็นคุณสมิธ เราจะสังเกตสถานการณ์นี้โดยใส่ 1 ลงในเซลล์ตรงกลางของแถวบนของตารางด้านขวา และ 0 ลงในเซลล์ที่เหลือของแถวเดียวกันและเซลล์ว่างในคอลัมน์กลาง ขณะนี้สามารถป้อนหน่วยที่สามได้ในช่องเดียวเท่านั้น: นี่เป็นการพิสูจน์ว่านายโจนส์อาศัยอยู่ในชิคาโก จากเงื่อนไข 5 เราเรียนรู้ว่าตัวนำยังมีนามสกุลว่า โจนส์ และเราป้อน 1 ในเซลล์กลางของตารางด้านซ้าย และ 0 ในเซลล์อื่นๆ ทั้งหมดของแถวกลางและคอลัมน์กลาง หลังจากนั้น ตารางของเราจะอยู่ในรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 140.

ข้าว. 140โต๊ะ ไข่ที่แสดงในรูปที่ 139 หลังจากกรอกล่วงหน้า

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะดำเนินการให้เหตุผลต่อไปซึ่งนำไปสู่คำตอบสุดท้าย ในคอลัมน์ชื่อ "Stoker" หน่วยสามารถวางได้เฉพาะในเซลล์ด้านล่างเท่านั้น จากนี้ไปทันทีว่า 0 ควรอยู่ที่มุมล่างซ้าย เฉพาะเซลล์ที่มุมซ้ายบนของตารางเท่านั้นที่ยังคงว่าง โดยสามารถใส่ได้เพียง 1 เท่านั้น ดังนั้น ชื่อของไดรเวอร์คือ Smith

Lewis Carroll ชอบคิดค้นปัญหาที่ซับซ้อนและแยบยลในลักษณะนี้ John J. Kemeny คณบดีคณิตศาสตร์แห่งวิทยาลัย Dortmouth ได้ตั้งโปรแกรมหนึ่งในสิ่งมหัศจรรย์ (ด้วยตัวแปร 13 ตัวและ 12 เงื่อนไข ซึ่งตามมาด้วยว่า "ไม่มีผู้พิพากษาสูดดมยาสูบ") ปัญหาของ Carroll สำหรับคอมพิวเตอร์ IBM-704 เครื่องเสร็จสิ้นการแก้ปัญหาในเวลาประมาณ 4 นาทีแม้ว่าการพิมพ์ "ตารางความจริง" ที่สมบูรณ์ของปัญหา (ตารางที่แสดงว่าการรวมค่าความจริงของตัวแปรของปัญหาที่เป็นไปได้เป็นจริงหรือเท็จ) จะใช้เวลา 13 ชั่วโมง!

สำหรับผู้อ่านที่ต้องการลองเสี่ยงโชคกับปัญหาที่ยากกว่าปัญหาของ Smith-Jones-Robinson เราขอเสนอปริศนาใหม่ ผู้เขียนคือ R. Smullyan จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน

1. ในปี พ.ศ. 2461 ครั้งแรก สงครามโลก. ในวันลงนามสนธิสัญญาสันติภาพ คู่สมรสสามคนรวมตัวกันเพื่อเฉลิมฉลองงานนี้ที่โต๊ะรื่นเริง

2. สามีแต่ละคนเป็นพี่ชายของภรรยาคนหนึ่ง และภรรยาแต่ละคนเป็นน้องสาวของสามีคนหนึ่ง นั่นคือ ในบรรดาผู้ที่อยู่ในปัจจุบันนั้น สามารถระบุ "พี่ชายและน้องสาว" ที่เกี่ยวข้องกันสามคู่ได้

3. เฮเลนมีอายุมากกว่าสามีของเธอถึง 26 สัปดาห์ ซึ่งเกิดในเดือนสิงหาคม

4. น้องสาวของนายไวท์แต่งงานกับพี่เขยของเอลเลนและแต่งงานกับเขาในวันเกิดของเธอในเดือนมกราคม

5. Margaret White เตี้ยกว่า William Blake

6. น้องสาวของอาเธอร์สวยกว่าเบียทริซ

7. จอห์นอายุ 50 ปี

นางบราวน์ชื่ออะไร

ปัญหาเชิงตรรกะอีกหลากหลายปัญหาที่พบไม่บ่อยนัก ซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่ทราบกันดีต่อไปนี้ เรียกว่าปัญหาของประเภท "ปัญหาตัวพิมพ์ใหญ่สี" ได้ สามคน (เรียกพวกเขาว่า A, Bและ จาก) ผ้าปิดตาแล้วบอกว่าแต่ละคนใส่หมวกสีแดงหรือสีเขียว จากนั้นตาจะคลายและขอให้ยกมือขึ้นหากเห็นหมวกสีแดง และให้ออกจากห้องหากแน่ใจว่ารู้ว่าหมวกบนศีรษะเป็นสีอะไร หมวกทั้งสามกลายเป็นสีแดง ดังนั้นทั้งสามจึงยกมือขึ้น ผ่านไปหลายนาทีและ จากซึ่งฉลาดกว่า แต่และ ที่, ออกจากห้อง. ยังไง จากสามารถระบุได้ว่าหมวกอยู่บนหมวกสีอะไร?

[ปัญหาของนักปราชญ์ตัวพิมพ์ใหญ่สีเขียวถูกกำหนดไว้ในข้อความในลักษณะที่ไม่มีทางแก้ไขได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนักปราชญ์มีจำนวนมาก นักปราชญ์คนแรกจะใช้เวลานานแค่ไหนในการเดาสถานการณ์จริง?

ในตอนท้ายของวัยสี่สิบ ปัญหานี้ถูกกล่าวถึงอย่างเข้มข้นในมอสโกในแวดวงคณิตศาสตร์ของโรงเรียน และมีการประดิษฐ์เวอร์ชันใหม่ขึ้น ซึ่งในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องถูกนำมาใช้ งานมีลักษณะเช่นนี้

ในสมัยโบราณ นักปราชญ์อาศัยอยู่ในเมืองเดียว แต่ละคนมีภรรยา ในตอนเช้าพวกเขามาที่ตลาดและพบข่าวซุบซิบทั้งหมดของเมืองที่นั่น พวกเขาเป็นคนซุบซิบกันเอง พวกเขารู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งที่ได้เรียนรู้เกี่ยวกับความไม่ซื่อสัตย์ของภรรยาคนใดคนหนึ่ง พวกเขารู้เรื่องนี้ทันที อย่างไรก็ตาม มีการปฏิบัติตามกฎที่ไม่ได้พูดข้อหนึ่งอย่างเคร่งครัด: ไม่มีการรายงานเกี่ยวกับภรรยาของเขากับสามีเกี่ยวกับภรรยาของเขา เนื่องจากพวกเขาแต่ละคนได้เรียนรู้เกี่ยวกับความอัปยศของตัวเองแล้ว จะต้องขับไล่ภรรยาของเขาออกจากบ้าน ดังนั้นพวกเขาจึงใช้ชีวิต เพลิดเพลินกับการสนทนาที่ใกล้ชิด และไม่สนใจเรื่องของตัวเองโดยสิ้นเชิง

แต่วันหนึ่งก็มีข่าวซุบซิบเข้ามาในเมือง เขามาที่ตลาดและประกาศต่อสาธารณชนว่า “แต่ไม่ใช่นักปราชญ์ทุกคนจะมีภรรยาที่ซื่อสัตย์!” ดูเหมือนว่าข่าวซุบซิบไม่ได้พูดอะไรใหม่ - และทุกคนก็รู้ นักปราชญ์ทุกคนรู้ (เฉพาะด้วยความอาฆาตพยาบาทเท่านั้นที่เขาไม่ได้คิดเกี่ยวกับตัวเอง แต่เกี่ยวกับคนอื่น ๆ ) ชาวบ้านจึงไม่มีใครสนใจคำพูดซุบซิบ . แต่นักปราชญ์คิดว่า - นั่นคือเหตุผลที่พวกเขาเป็นนักปราชญ์ - และ น- วันหลังจากข่าวซุบซิบมาถึง นักปราชญ์ถูกไล่ออก ภรรยานอกใจ (ถ้ามี น).

ไม่ยากเลยที่จะรื้อฟื้นเหตุผลของปราชญ์ เป็นการยากที่จะตอบคำถาม: คนนินทาได้เพิ่มข้อมูลอะไรให้กับสิ่งที่นักปราชญ์รู้จักแม้จะไม่มีเขา

ปัญหานี้พบซ้ำแล้วซ้ำเล่าในวรรณคดี]

C ถามตัวเองว่าหมวกของเขาเป็นสีเขียวได้ไหม ถ้าอย่างนั้นก็ แต่จะรู้ตัวทันทีว่าเขาสวมหมวกสีแดง เพราะมีเพียงหมวกสีแดงบนหัวของเขาเท่านั้นที่ทำได้ ที่ยกมือขึ้น แต่แล้ว แต่จะออกจากห้อง ที่จะเริ่มให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันทุกประการและก็จะออกจากห้องไปด้วย เนื่องจากไม่มีใครออกมา จากสรุปว่าหมวกของเขาควรจะเป็นสีแดง

ปัญหานี้สามารถสรุปได้ในกรณีที่มีคนจำนวนมากและทุกคนสวมหมวกสีแดง สมมติว่ามีนักแสดงคนที่สี่ปรากฏตัวในปัญหา ดีลึกซึ้งยิ่งกว่า ซีดีอาจให้เหตุผลดังนี้: “ถ้าหมวกของฉันเป็นสีเขียว งั้น A, Bและ จากจะพบว่าตัวเองอยู่ในสถานการณ์เดียวกันกับที่เพิ่งได้รับการอธิบาย และในเวลาไม่กี่นาที ทั้งสามคนที่เข้าใจได้มากที่สุดก็จะออกจากห้องไปอย่างแน่นอน

แต่ห้านาทีผ่านไปแล้วและไม่มีใครออกมาดังนั้นหมวกของฉันจึงเป็นสีแดง

ถ้ามีสมาชิกคนที่ห้าที่ฉลาดกว่า ดีเขาสามารถสรุปได้ว่าเขาสวมหมวกสีแดงหลังจากรอสิบนาที แน่นอน การให้เหตุผลของเราสูญเสียความโน้มน้าวใจไปเนื่องจากการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับระดับความเฉลียวฉลาดที่แตกต่างกัน A, B, C... และค่อนข้างคลุมเครือว่าคนที่ฉลาดหลักแหลมที่สุดควรรอนานแค่ไหน ก่อนที่เขาจะสามารถระบุชื่อสีหมวกของเขาได้อย่างมั่นใจ

ปัญหา "ฝาสี" อื่นๆ บางอย่างมีความไม่แน่นอนน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ปัญหาต่อไปนี้ที่ Smullyan คิดค้นขึ้นเช่นกัน อย่างละสาม A, Bและ จาก- คล่องแคล่วในตรรกะ นั่นคือ เขารู้วิธีดึงผลที่ตามมาทั้งหมดออกจากชุดสถานที่ที่กำหนดในทันที และรู้ว่าที่เหลือก็มีความสามารถนี้เช่นกัน

เราใช้แสตมป์สีแดงสี่ดวงและสีเขียวสี่ดวง ปิดตา "นักตรรกวิทยา" ของเราแล้วติดแสตมป์สองดวงบนหน้าผากแต่ละอัน จากนั้นเราก็เอาผ้าพันแผลออกจากตาของพวกเขาแล้วถาม A, Bและ จากคำถามเดียวกันคือ "คุณรู้ไหมว่าตราประทับบนหน้าผากของคุณเป็นสีอะไร" แต่ละคนตอบในแง่ลบ เราก็ถามใหม่ แต่และเราก็ได้คำตอบเชิงลบอีกครั้ง แต่เมื่อเราถามคำถามเดิมซ้ำอีกครั้ง ที่, เขาตอบในการยืนยัน.

เครื่องหมายบนหน้าผากสีอะไร ที่?

ปริศนาลอจิกยอดนิยมประเภทที่สามคือปัญหาเกี่ยวกับคนโกหกและผู้พูดความจริงเสมอ ที่ รุ่นคลาสสิคงาน เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับนักเดินทางที่พบว่าตัวเองอยู่ในประเทศที่มีสองเผ่าอาศัยอยู่ สมาชิกของเผ่าหนึ่งโกหกเสมอ สมาชิกของเผ่าอื่นพูดความจริงเสมอ นักเดินทางได้พบกับชาวพื้นเมืองสองคน “คุณพูดความจริงเสมอเหรอ” เขาถามคนพื้นเมืองที่สูง เขาตอบว่า: "Tarabar" “เขาตอบตกลง” ชาวพื้นเมืองตัวเล็กที่รู้ภาษาอังกฤษอธิบาย “แต่เขาเป็นคนโกหกที่แย่มาก” ชาวพื้นเมืองแต่ละคนเป็นของเผ่าใด

แนวทางการแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบคือการเขียนความเป็นไปได้ทั้งสี่อย่าง: AI, IL, LI, LL (ฉันหมายถึง "จริง", L - "เท็จ") - และไม่รวมสิ่งที่ขัดแย้งกับข้อมูลของปัญหา คำตอบสามารถรับได้เร็วกว่ามากหากสังเกตว่าคนตัวสูงต้องตอบยืนยันไม่ว่าเขาจะโกหกหรือพูดความจริง เนื่องจากคนตัวเล็กพูดความจริง เขาจึงต้องอยู่ในเผ่าแห่งความจริง และเพื่อนตัวสูงของเขา - ของเผ่าผู้โกหก

ปัญหาที่โด่งดังที่สุดของประเภทนี้ ซึ่งซับซ้อนโดยการแนะนำน้ำหนักความน่าจะเป็นและสูตรที่ไม่ชัดเจนนัก สามารถพบได้โดยไม่คาดคิดในตอนกลางของบทที่หกของหนังสือ New Pathways in Science โดยนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ เอ. เอดดิงตัน “ถ้า A, B, Cและ ดีพูดความจริงหนึ่งครั้งในสาม (อย่างอิสระ) และ แต่ระบุว่า ที่ปฏิเสธว่า จากพูดราวกับว่า ดีคนโกหก ความน่าจะเป็นที่ ดีบอกความจริง?”

คำตอบของ Eddington อายุ 25/71 ได้รับการตอบรับด้วยเสียงประท้วงจากผู้อ่านและก่อให้เกิดข้อพิพาทที่ไร้สาระและสับสนซึ่งไม่ได้รับการแก้ไขในท้ายที่สุด นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ จี. ดิงเกิล ผู้เขียนบทวิจารณ์หนังสือของเอดดิงตันที่ตีพิมพ์ในวารสาร Nature (มีนาคม 2478) เชื่อว่าปัญหาไม่สมควรได้รับความสนใจเลยเนื่องจากไร้ความหมาย และเพียงบ่งบอกว่าเอดดิงตันไม่ได้คิดผ่านแนวคิดพื้นฐานอย่างเพียงพอ ของทฤษฎีความน่าจะเป็น นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน ที. สเติร์น (Nature, มิถุนายน 1935) คัดค้านเรื่องนี้ โดยระบุว่า ในความเห็นของเขา ปัญหานี้ไม่ได้ไร้ความหมาย แต่มีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะแก้ไข

ในการตอบสนอง Dingle ตั้งข้อสังเกต (Nature, กันยายน 1935) ว่าถ้าใครใช้มุมมองของ Stern ก็จะมีข้อมูลเพียงพอสำหรับการตัดสินใจและคำตอบคือ 1/3 ที่นี่ Eddington เข้าสู่การต่อสู้โดยจัดพิมพ์บทความ (Mathemetical Gazette, ตุลาคม 1935) ซึ่งอธิบายรายละเอียดว่าเขาได้คำตอบอย่างไร ข้อพิพาทสิ้นสุดลงด้วยบทความอีกสองบทความที่ปรากฏในวารสารฉบับเดียวกัน ผู้เขียนบทความหนึ่งปกป้อง Eddington และอีกบทความหนึ่งเสนอมุมมองที่แตกต่างจากบทความก่อนหน้าทั้งหมด

ปัญหาส่วนใหญ่อยู่ที่การทำความเข้าใจสูตรของ Eddington ถ้า ที่, แสดงการปฏิเสธของเขา, พูดความจริง, แล้วเราก็สามารถสันนิษฐานได้ว่า จากพูดว่า ดีพูดความจริง? Eddington เชื่อว่าไม่มีเหตุผลเพียงพอสำหรับสมมติฐานดังกล่าว ในทำนองเดียวกัน ถ้า แต่โกหก เรามั่นใจได้ไหมว่า ที่และ จากพวกเขาไม่ได้พูดอะไรเลยเหรอ? โชคดีที่เราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาทางภาษาเหล่านี้ได้โดยตั้งสมมติฐานต่อไปนี้ (Eddington ไม่ได้ตั้งสมมติฐานไว้):

1. ไม่มีทั้งสี่คนนิ่งเงียบ

2. งบ A, Bและ จาก(แต่ละข้อแยกกัน) ให้ยืนยันหรือปฏิเสธข้อความต่อไปนี้

3. การยืนยันที่ผิดพลาดเกิดขึ้นพร้อมกับการปฏิเสธและการปฏิเสธที่ผิดพลาดพร้อมกับการยืนยัน

ทั้งสี่โกหกโดยอิสระจากกันโดยมีความน่าจะเป็น 1/3 นั่นคือโดยเฉลี่ยแล้วสองในสามข้อความเหล่านี้เป็นเท็จ หากข้อความจริงแสดงด้วยตัวอักษร และและเท็จ - ตัวอักษร หลี่แล้วสำหรับ A, B, Cและ ดีเราได้ตารางที่ประกอบด้วยชุดค่าผสมที่แตกต่างกัน 81 ชุด จากตัวเลขนี้ เราควรแยกชุดค่าผสมที่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากเงื่อนไขของปัญหาออก

จำนวนชุดค่าผสมที่ถูกต้องที่ลงท้ายด้วยตัวอักษร และ(กล่าวคือ จริง - จริง - คำแถลง ดี) ควรหารด้วยจำนวนรวมของชุดค่าผสมที่ถูกต้องทั้งหมด ซึ่งจะให้คำตอบ

การกำหนดปัญหาเกี่ยวกับนักเดินทางและชาวพื้นเมืองสองคนควรได้รับการชี้แจง นักเดินทางตระหนักว่าคำว่า "พูดพล่อยๆ" ในภาษาของชาวพื้นเมืองแปลว่า "ใช่" หรือ "ไม่ใช่" แต่เขาไม่สามารถเดาได้แน่ชัดว่าอะไรกันแน่ สิ่งนี้จะแจ้งเตือนอีเมลหลายฉบับซึ่งหนึ่งในนั้นที่ฉันทำซ้ำด้านล่าง

เห็นได้ชัดว่าเจ้าของบ้านตัวสูงไม่เข้าใจคำพูดที่นักเดินทางพูดกับเขา (เป็นภาษาอังกฤษ) และไม่สามารถตอบว่าใช่หรือไม่ใช่เป็นภาษาอังกฤษ ดังนั้น "พูดพล่อยๆ" ของเขาจึงหมายถึงบางอย่างเช่น: "ฉันไม่เข้าใจ" หรือ "ยินดีต้อนรับสู่ Bongo-Bongo" ดังนั้น เจ้าตัวน้อยจึงโกหกเมื่อเขาบอกว่าเพื่อนของเขาตอบว่า "ใช่" และเนื่องจากเด็กน้อยเป็นคนโกหก เขาก็โกหกด้วยเมื่อเขาเรียกเจ้าของบ้านตัวสูงคนนั้นว่าคนโกหก ดังนั้นชาวพื้นเมืองที่สูงจึงควรถือว่าสัตย์จริง

ดังนั้นตรรกะของผู้หญิงจึงส่งผลต่อความไร้สาระของผู้ชายของฉัน มันไม่ทำลายความภาคภูมิใจของผู้เขียนของคุณเล็กน้อย?

คำตอบ

ปัญหาตรรกะแรกแก้ไขได้ดีที่สุดโดยใช้สามตาราง: หนึ่งสำหรับการรวมกันของชื่อและนามสกุลของภรรยา, ที่สองสำหรับชื่อและนามสกุลของสามี, และที่สามสำหรับ ความสัมพันธ์ในครอบครัว.

เนื่องจากคุณนายไวท์ชื่อมาร์กาเร็ต (เงื่อนไข 5) เราจึงเหลือเพียงสองชื่อที่เป็นไปได้สำหรับชื่อภรรยาอีกสองคน: ก) เฮเลน เบลกและเบียทริซ บราวน์ หรือ ข) เฮเลน บราวน์และเบียทริซ เบลก

ให้เราสมมติว่าความเป็นไปได้ที่สองเกิดขึ้น น้องสาวของไวท์ต้องเป็นเฮเลนหรือเบียทริซ แต่เบียทริซจะเป็นน้องสาวของไวน์ไม่ได้ เพราะเมื่อนั้นเบลกจะเป็นน้องชายของเฮเลน และพี่เขยสองคนของเบลกก็คือไวท์ (น้องชายของภรรยาของเขา) และบราวน์ (สามีของพี่สาวของเขา) เบียทริซ เบลกไม่ได้แต่งงานกับทั้งสองคน ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ 4 ดังนั้น น้องสาวของไวท์ต้องเป็นเฮเลน จากนี้ไป เราสรุปได้ว่าน้องสาวของบราวน์ชื่อเบียทริซ และน้องสาวของเบลคคือมาร์กาเร็ต

จากเงื่อนไข 6 ที่ว่านายไวท์ชื่ออาเธอร์ (บราวน์ไม่สามารถเป็นอาเธอร์ได้ เนื่องจากการผสมผสานเช่นนี้จะทำให้เบียทริซสวยกว่าตัวเธอเอง และเบลคก็ไม่สามารถเป็นอาเธอร์ได้ เนื่องจากจากเงื่อนไขที่ 5 เรารู้จักชื่อเขา: วิลเลียม) ดังนั้น คุณบราวน์สามารถเป็นได้เพียงจอห์นเท่านั้น น่าเสียดาย จากเงื่อนไขที่ 7 เราพบว่าจอห์นเกิดในปี พ.ศ. 2411 (50 ปีก่อนการลงนามในสนธิสัญญาสันติภาพ) แต่ปี 2411 เป็นปีอธิกสุรทิน ดังนั้นเฮเลนจึงต้องแก่กว่าสามีหนึ่งวันมากกว่าอายุ 26 สัปดาห์ตามที่ระบุไว้ในเงื่อนไขที่ 3 (จากเงื่อนไขที่ 4 เรารู้ว่าเธอเกิดในเดือนมกราคม และจากเงื่อนไขที่ 3 ว่าสามีของเธอเกิดในเดือนสิงหาคม . เธออาจจะแก่กว่าสามีของเธอได้ 26 สัปดาห์ถ้าวันเกิดของเธอคือวันที่ 31 มกราคม และของเขาในวันที่ 1 สิงหาคม และหากไม่มีวันที่ 29 กุมภาพันธ์ระหว่างวันที่เหล่านี้!) ดังนั้น ความเป็นไปได้ที่สองที่เราเริ่มต้นควรเป็น ทิ้งซึ่งทำให้เราสามารถตั้งชื่อภรรยาได้: Margaret White, Helen Blake และ Beatrice Brown ไม่มีข้อขัดแย้งในที่นี้ เนื่องจากเราไม่ทราบปีเกิดของเบลค จากเงื่อนไขของปัญหา สรุปได้ว่า Margaret เป็นน้องสาวของ Brown, Beatrice เป็นน้องสาวของ Blake และ Helen เป็นน้องสาวของ White แต่คำถามเกี่ยวกับชื่อของ White และ Brown ยังไม่ได้รับการแก้ไข

ในปัญหาแสตมป์ ที่มีความเป็นไปได้สามอย่าง แสตมป์ของเขาสามารถเป็น: 1) ทั้งสีแดง; 2) ทั้งสีเขียว; 3) อันหนึ่งเป็นสีเขียวและอีกอันหนึ่งเป็นสีแดง สมมติว่าแสตมป์ทั้งสองเป็นสีแดง

หลังจากที่ทั้งสามตอบครั้งเดียว แต่สามารถให้เหตุผลดังนี้: “รอยบนหน้าผากของฉันจะไม่เป็นสีแดงทั้งคู่ (เพราะตอนนั้น จากจะได้เห็นตราประทับสีแดงสี่ดวงและคงจะรู้ได้ทันทีว่าเขามีตราประทับสีเขียวสองดวงบนหน้าผากของเขาและถ้า จากแสตมป์ทั้งสองเป็นสีเขียวแล้ว ที่เมื่อเห็นตราประทับสีเขียวสี่ดวงก็จะรู้ว่าเขามีตราประทับสีแดงสองดวงบนหน้าผากของเขา) นั่นคือเหตุผลที่ฉันมีเครื่องหมายสีเขียวและสีแดงหนึ่งจุดบนหน้าผากของฉัน”

แต่เมื่อ แต่ถามครั้งที่สอง เขาไม่รู้ว่าแบรนด์ของเขาเป็นสีอะไร อนุญาติ ที่ละทิ้งความเป็นไปได้ที่ตราประทับของเขาทั้งสองจะเป็นสีแดง เถียงกันแบบเดียวกับ A, Bยกเว้นกรณีที่ตราประทับทั้งสองของเขาเป็นสีเขียว ดังนั้นเขาจึงเหลือเพียงความเป็นไปได้เดียวเท่านั้น: หนึ่งตราประทับเป็นสีเขียวและอีกอันเป็นสีแดง

ผู้อ่านหลายคนสังเกตเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวิเคราะห์คำถามและคำตอบ นี่คือสิ่งที่ผู้อ่านคนหนึ่งเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้: “เงื่อนไขของปัญหามีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับเครื่องหมายสีแดงและสีเขียว

ดังนั้นโดยการแจกแสตมป์ระหว่าง A, Bและ จากหากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของปัญหาและแทนที่เครื่องหมายสีแดงด้วยสีเขียวและในทางกลับกันสีเขียวเป็นสีแดงเราจะมาถึงการกระจายที่แตกต่างกันซึ่งจะเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด ตามมาว่าหากโซลูชันไม่ซ้ำกัน จะต้องไม่เปลี่ยนแปลง (ไม่ควรเปลี่ยน) เมื่อแทนที่ฉลากสีเขียวด้วยฉลากสีแดง และฉลากสีแดงเป็นสีเขียว การแก้ปัญหาดังกล่าวสามารถเป็นได้เพียงการกระจายตราประทับ ซึ่ง B จะมีตราประทับสีเขียวหนึ่งดวงและตราประทับสีแดงหนึ่งดวง

ดังที่ W. Manheimer คณบดีภาควิชาคณิตศาสตร์แห่งวิทยาลัยบรู๊คลินกล่าวไว้ วิธีแก้ปัญหาที่หรูหรานี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า A, Bและ จาก(ตามที่ระบุในสภาพปัญหา) และ Raymond Smullyan!

ในปัญหาเอดดิงตัน ความน่าจะเป็นที่ ดีพูดความจริงคือ 13/41 ชุดค่าผสมของค่าจริงและค่าเท็จทั้งหมดที่มีจำนวนครั้งที่เท็จ (หรือจริง) เป็นจำนวนคี่ควรละทิ้งเนื่องจากขัดแย้งกับเงื่อนไขของปัญหา ด้วยเหตุนี้ จำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จึงลดลงจาก 81 เป็น 41 ซึ่งมีเพียง 13 ชุดที่ลงท้ายด้วยข้อความจริง ดี. เพราะว่า A, Bและ จากบอกความจริงในกรณีที่ตรงกับจำนวนชุดค่าผสมที่ถูกต้องตรงกันทุกประการ ความน่าจะเป็นในการบอกความจริงจะเท่ากันสำหรับทั้งสี่

การใช้สัญลักษณ์เทียบเท่า

ซึ่งหมายความว่าคำประพจน์ที่เชื่อมต่อกันนั้นเป็นทั้งจริงหรือเท็จทั้งคู่ (จากนั้นโจทย์เท็จก็เป็นจริง ไม่เช่นนั้นจะเป็นเท็จ) และสัญลักษณ์ปฏิเสธ ~ ปัญหาของเอ็ดดิงตันในแคลคูลัสเชิงประพจน์สามารถเขียนได้ดังนี้

หรือหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายเช่นนี้:

ตารางความจริงของนิพจน์นี้ยืนยันคำตอบที่ได้รับแล้ว

หมายเหตุ:

มันน่าหงุดหงิด- อารมณ์เสีย, ทำสิ่งที่ไร้ประโยชน์, สิ้นหวัง, โทษถึงความล้มเหลว (อังกฤษ).

ดูบทเกี่ยวกับ Raymond Smullyan ในหนังสือ เอ็ม การ์ดเนอร์"การเดินทางข้ามเวลา" (M.: Mir, 1990).

เอดดิงตัน เอ. เส้นทางใหม่ในวิทยาศาสตร์ - เคมบริดจ์: 2478; มิชิแกน: 2502

บทนำ

ตรรกะคือพระเจ้าของนักคิด

L. Feuchtwanger

ความสามารถในการให้เหตุผลอย่างถูกต้องเป็นสิ่งจำเป็นในทุกสาขาของกิจกรรมของมนุษย์: วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ความยุติธรรมและการทูต การวางแผนทางเศรษฐกิจและกิจการทหาร และความสามารถนี้จะกลับไปสู่ สมัยโบราณตรรกะคือ ศาสตร์แห่งการให้เหตุผลที่ถูกต้องเกิดขึ้นเมื่อสองพันกว่าปีก่อน ได้รับการพัฒนาในศตวรรษที่หก ปีก่อนคริสตกาล ในผลงานของอริสโตเติลนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ ลูกศิษย์ และผู้ติดตามของเขา

เมื่อถึงจุดหนึ่ง นักคณิตศาสตร์ได้ถามคำถามว่า "ที่จริงแล้ว คณิตศาสตร์คืออะไร กิจกรรมทางคณิตศาสตร์" คำตอบง่ายๆ คือ นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบท นั่นคือ ค้นหาความจริงบางประการเกี่ยวกับ โลกแห่งความจริงและ "โลกทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติ" ความพยายามที่จะตอบคำถามว่าอะไรคือทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ ความจริงทางคณิตศาสตร์ และข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นจริงหรือพิสูจน์ได้คืออะไร นี่คือเครือข่ายของจุดเริ่มต้นของตรรกะทางคณิตศาสตร์ ที่โรงเรียน เราต้องเรียนรู้ที่จะวิเคราะห์ เปรียบเทียบ เน้นสิ่งสำคัญ สรุปและจัดระบบ พิสูจน์และหักล้าง กำหนดและอธิบายแนวคิด ก่อให้เกิดและแก้ปัญหา การเรียนรู้วิธีการเหล่านี้หมายถึงความสามารถในการคิด ในทางวิทยาศาสตร์ เราต้องอนุมานสูตรต่างๆ รูปแบบตัวเลข กฎเกณฑ์ และพิสูจน์ทฤษฎีบทต่างๆ โดยการให้เหตุผล ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 1781 ดาวเคราะห์ยูเรนัสถูกค้นพบ การสังเกตได้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ดวงนี้แตกต่างจากการเคลื่อนที่ที่คำนวณตามทฤษฎี นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Le Verrier (1811-1877) ให้เหตุผลเชิงตรรกะและทำการคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน กำหนดอิทธิพลของดาวเคราะห์ดวงอื่นบนดาวยูเรนัสและระบุตำแหน่งของมัน ในปี ค.ศ. 1846 นักดาราศาสตร์ชื่อ Galle ได้ยืนยันการมีอยู่ของดาวเคราะห์ที่ชื่อดาวเนปจูน ในการทำเช่นนั้น พวกเขาใช้ตรรกะของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และการคำนวณ

จุดเริ่มต้นที่สองของการพิจารณาของเราคือการค้นหาความหมายของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่คำนวณได้และสามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริธึมบางอย่าง กฎที่เป็นทางการ ขั้นตอนที่อธิบายไว้อย่างแม่นยำ สูตรดั้งเดิมทั้งสองนี้มีความคล้ายคลึงกันมาก โดยธรรมชาติจะรวมกันเป็นหนึ่งภายใต้ชื่อทั่วไปว่า "ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์" ซึ่งเข้าใจตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นหลักว่าเป็นตรรกะของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และการกระทำทางคณิตศาสตร์

ฉันเลือกหัวข้อเฉพาะนี้เพราะการเรียนรู้องค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์จะช่วยฉันได้ในอาชีพทางเศรษฐกิจในอนาคต นักการตลาดวิเคราะห์แนวโน้มตลาด,ราคา การหมุนเวียน และวิธีการทางการตลาด รวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับองค์กรที่แข่งขันกันประเด็นแนะนำ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกะ

วัตถุประสงค์: เพื่อศึกษาและใช้ความเป็นไปของตรรกะทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในด้านต่างๆ และกิจกรรมของมนุษย์

งาน:

1. วิเคราะห์วรรณกรรมเกี่ยวกับสาระสำคัญและที่มาของตรรกะทางคณิตศาสตร์

2. ศึกษาองค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์

3. เลือกและแก้ปัญหาด้วยองค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์

วิธีการ: การวิเคราะห์วรรณกรรม แนวความคิด วิธีการเปรียบเทียบในการแก้ปัญหา การสังเกตตนเอง

1. จากประวัติความเป็นมาของตรรกะทางคณิตศาสตร์

ตรรกะทางคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตรรกะและเป็นหนี้ที่มาของมัน รากฐานของตรรกะ ศาสตร์แห่งกฎหมายและรูปแบบการคิดของมนุษย์ ถูกวางโดยนักปรัชญาชาวกรีกโบราณที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อริสโตเติล (384-322 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งในบทความของเขาได้ศึกษาคำศัพท์ของตรรกะอย่างละเอียดถี่ถ้วน วิเคราะห์รายละเอียดของทฤษฎีการอนุมานอย่างละเอียด และการพิสูจน์ อธิบายการดำเนินการเชิงตรรกะจำนวนหนึ่ง กำหนดกฎพื้นฐานแห่งการคิด รวมทั้งกฎแห่งความขัดแย้ง และการกีดกันของกฎข้อที่สาม การมีส่วนร่วมของอริสโตเติลในด้านตรรกะนั้นยอดเยี่ยมมาก ไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล ชื่ออื่นคือตรรกะของอริสโตเติล แม้แต่อริสโตเติลเองก็สังเกตเห็นว่าระหว่างวิทยาศาสตร์ที่เขาสร้างขึ้นและคณิตศาสตร์ (ในขณะนั้นเรียกว่าเลขคณิต) มีความเหมือนกันมาก เขาพยายามรวมศาสตร์ทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน กล่าวคือ เพื่อลดการสะท้อนหรืออนุมาน เข้ากับการคำนวณบนพื้นฐานของตำแหน่งเริ่มต้น ในบทความหนึ่งของเขา อริสโตเติลเข้าใกล้ส่วนหนึ่งของตรรกะทางคณิตศาสตร์ - ทฤษฎีการพิสูจน์

ในอนาคต นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์หลายคนได้พัฒนาบทบัญญัติของตรรกะบางอย่าง และบางครั้งก็ร่างโครงร่างของแคลคูลัสเชิงประพจน์สมัยใหม่ แต่สิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดกับการสร้างตรรกะทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) ซึ่งชี้ให้เห็นวิธีการแปลตรรกะ "จากขอบเขตทางวาจาที่เต็มไปด้วยความไม่แน่นอนไปจนถึงขอบเขตของคณิตศาสตร์ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุหรือข้อความถูกกำหนดด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ" ไลบนิซถึงกับหวังว่าในอนาคตนักปรัชญาแทนที่จะโต้เถียงกันอย่างไร้ผล จะเอากระดาษมาพิจารณาว่าคนใดถูกต้อง ในเวลาเดียวกัน Leibniz ยังได้สัมผัสกับระบบเลขฐานสองในผลงานของเขา ควรสังเกตว่าแนวคิดในการใช้อักขระสองตัวในการเข้ารหัสข้อมูลนั้นเก่ามาก ชาวอะบอริจินในออสเตรเลียนับในสอง บางเผ่าของนักล่า-รวบรวมของนิวกินีและอเมริกาใต้ยังใช้ระบบการนับเลขฐานสอง ในบางชนเผ่าในแอฟริกา ข้อความถูกส่งโดยใช้กลองในรูปแบบของการเต้นที่เปล่งเสียงและทื่อๆ ตัวอย่างที่คุ้นเคยของการเข้ารหัสแบบสองอักขระคือรหัสมอร์ส โดยที่ตัวอักษรจะแสดงด้วยจุดและขีดกลางผสมกัน หลังจาก Leibniz นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนได้ทำการวิจัยในด้านนี้ แต่ความสำเร็จที่แท้จริงมาถึงที่ George Boole นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่เรียนรู้ด้วยตนเอง (1815-1864) ความมุ่งมั่นของเขาไม่มีขอบเขต

สถานการณ์ทางการเงินพ่อแม่ของจอร์จ (ซึ่งพ่อเป็นช่างทำรองเท้า) อนุญาตให้เขาเรียนจบเท่านั้น โรงเรียนประถมสำหรับคนยากจน หลังจากนั้นไม่นาน Buhl ได้เปลี่ยนอาชีพหลายอย่างแล้วเปิดโรงเรียนเล็ก ๆ ซึ่งเขาสอนตัวเอง เขาอุทิศเวลาให้กับการศึกษาด้วยตนเองเป็นจำนวนมากและในไม่ช้าก็เริ่มสนใจแนวคิดเกี่ยวกับตรรกะเชิงสัญลักษณ์ ในปี ค.ศ. 1847 บูลได้ตีพิมพ์บทความ "การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของลอจิกหรือประสบการณ์ของแคลคูลัสของการอนุมานแบบนิรนัย" และในปี พ.ศ. 2397 งานหลักของเขา "การตรวจสอบกฎแห่งความคิดซึ่งมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของตรรกะและความน่าจะเป็น" . Boole ได้คิดค้นพีชคณิตชนิดหนึ่ง ซึ่งเป็นระบบของสัญกรณ์และกฎที่ใช้ได้กับวัตถุทุกประเภท ตั้งแต่ตัวเลขและตัวอักษรไปจนถึงประโยค เมื่อใช้ระบบนี้ เขาสามารถเข้ารหัสข้อความ (คำสั่งที่ต้องพิสูจน์ว่าจริงหรือเท็จ) โดยใช้สัญลักษณ์ในภาษาของเขา แล้วจัดการในลักษณะเดียวกับที่ใช้กับตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ การดำเนินการพื้นฐานของพีชคณิตบูลีนคือการสันธาน (AND) การแตกแยก (OR) และการปฏิเสธ (NOT) หลังจากผ่านไประยะหนึ่ง มันก็ชัดเจนว่าระบบของ Boole นั้นเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการอธิบายวงจรสวิตชิ่งไฟฟ้า กระแสในวงจรสามารถไหลหรือไม่ก็ได้ เช่นเดียวกับที่คำสั่งอาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ และอีกสองสามทศวรรษต่อมา ในศตวรรษที่ 20 แล้ว นักวิทยาศาสตร์ได้รวมเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สร้างโดย George Boole เข้ากับระบบเลขฐานสอง จึงเป็นการวางรากฐานสำหรับการพัฒนาคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล บทบัญญัติส่วนบุคคลของงาน Boole ได้รับการสัมผัสในระดับหนึ่งทั้งก่อนและหลังเขาโดยนักคณิตศาสตร์และนักตรรกวิทยาคนอื่นๆ อย่างไรก็ตาม วันนี้ในพื้นที่นี้เป็นผลงานของ George Boole ที่ได้รับการจัดอันดับให้เป็นหนึ่งในคลาสสิกทางคณิตศาสตร์และตัวเขาเองได้รับการพิจารณาอย่างถูกต้องว่าเป็นผู้ก่อตั้งตรรกะทางคณิตศาสตร์และยิ่งไปกว่านั้นส่วนที่สำคัญที่สุด - พีชคณิตของตรรกะ (บูลีน) พีชคณิต) และพีชคณิตของข้อเสนอ

นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียยังได้มีส่วนร่วมอย่างมากในการพัฒนาตรรกะ Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (2412-2490)

ในศตวรรษที่ 20 มีบทบาทอย่างมากในการพัฒนาตรรกะทางคณิตศาสตร์

D. Hilbert (1862-1943) ผู้เสนอโปรแกรมสำหรับการจัดรูปแบบคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนารากฐานของคณิตศาสตร์เอง ในที่สุด ในทศวรรษสุดท้ายของศตวรรษที่ 20 การพัฒนาอย่างรวดเร็วของตรรกะทางคณิตศาสตร์เกิดจากการพัฒนาทฤษฎีของอัลกอริทึมและภาษาอัลกอริธึม ทฤษฎีออโตมาตา ทฤษฎีกราฟ (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov และ อื่น ๆ อีกมากมาย) .

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 การพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์นำไปสู่การเกิดขึ้นของ องค์ประกอบเชิงตรรกะบล็อกตรรกะและอุปกรณ์เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพัฒนาเพิ่มเติมของพื้นที่ของตรรกะเช่นปัญหาของการสังเคราะห์เชิงตรรกะ การออกแบบตรรกะและการสร้างแบบจำลองเชิงตรรกะของอุปกรณ์ตรรกะและเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ ในปี 1980 การวิจัยเริ่มขึ้นในด้านของ ปัญญาประดิษฐ์ขึ้นอยู่กับภาษาและระบบของการเขียนโปรแกรมลอจิก การสร้างระบบผู้เชี่ยวชาญด้วยการใช้และการพัฒนาการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติตลอดจนวิธีการโปรแกรมตามหลักฐานสำหรับการตรวจสอบอัลกอริธึมและโปรแกรมคอมพิวเตอร์ก็เริ่มต้นขึ้นเช่นกัน การเปลี่ยนแปลงด้านการศึกษาเริ่มขึ้นในทศวรรษ 1980 การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลในโรงเรียนมัธยมศึกษานำไปสู่การสร้างตำราวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วยการศึกษาองค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายหลักตรรกะในการทำงาน วงจรลอจิกและอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ตลอดจนหลักการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะสำหรับคอมพิวเตอร์รุ่นที่ 5 และการพัฒนาตำราวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วยการศึกษาภาษาแคลคูลัสภาคแสดงเพื่อออกแบบฐานความรู้

1. พื้นฐานของทฤษฎีเซต

แนวคิดของเซตเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่ยากต่อการกำหนดอย่างแม่นยำโดยใช้แนวคิดพื้นฐาน ดังนั้นเราจึงจำกัดตัวเองให้อยู่ในคำอธิบายเชิงพรรณนาของแนวคิดของเซต

มากมาย เรียกว่า ชุดของวัตถุที่ค่อนข้างชัดเจนบางอย่าง ถือเป็นชุดเดียว ผู้สร้างทฤษฎีเซตคือ Georg Cantor ให้คำจำกัดความของเซตดังต่อไปนี้ - "เซตเป็นจำนวนมากที่เราคิดโดยรวม"

วัตถุแต่ละชิ้นที่ประกอบเป็นชุดเรียกว่ากำหนดองค์ประกอบ

เซตมักจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละติน และองค์ประกอบของชุดเหล่านี้จะแสดงด้วยอักษรตัวเล็กของอักษรละติน เซตเขียนด้วยวงเล็บปีกกา ( )

เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

เอ∈ X - "องค์ประกอบ a เป็นของชุด X";

เอ∉ X - "องค์ประกอบ a ไม่ได้อยู่ในชุด X";

∀ - ปริมาณของความเด็ดขาด, ลักษณะทั่วไป, หมายถึง "ใดๆ", "อะไรก็ตาม", "เพื่อทุกคน";

∃ - ปริมาณการดำรงอยู่:∃ y∈ B - "มี (มี) องค์ประกอบ y จากชุด B";

∃! - ปริมาณของการดำรงอยู่และเอกลักษณ์:∃ !b∈ C - "มีองค์ประกอบเฉพาะ b จากชุด C";

: - "ดังนั้น; ครอบครองทรัพย์สิน";

→ - สัญลักษณ์ของผลที่ตามมาหมายถึง "เกี่ยวข้อง";

⇔ - ปริมาณของความเท่าเทียมกัน, ความเท่าเทียมกัน - "ถ้าแล้วเท่านั้น"

ชุดคือไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุด . ชุดที่เรียกว่าสุดท้าย หากจำนวนขององค์ประกอบมี จำกัด เช่น ถ้ามีจำนวนธรรมชาติ n ซึ่งเป็นจำนวนขององค์ประกอบของชุด A=(a 1 , 2 , 3 , ... , น ). ชุดเรียกว่าไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามันมีจำนวนอนันต์ขององค์ประกอบ ข=(ข 1 ,b 2 ,b 3 , ...) ตัวอย่างเช่น ชุดตัวอักษรของตัวอักษรรัสเซียเป็นชุดจำกัด เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นเซตอนันต์

จำนวนขององค์ประกอบในเซตจำกัด M เรียกว่าคาร์ดินาลิตี้ของเซต M และแสดงด้วย |M|ว่างเปล่า set - ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ -∅ . ทั้งสองชุดเรียกว่าเท่ากัน หากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันเช่น เป็นชุดเดียวกัน ชุดไม่เท่ากับ X ≠ Y หาก X มีองค์ประกอบที่ไม่ได้เป็นของ Y หรือ Y มีองค์ประกอบที่ไม่ได้เป็นของ X สัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันของชุดมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

X=X; - การสะท้อนกลับ

ถ้า X=Y, Y=X - สมมาตร

ถ้า X=Y,Y=Z แล้ว X=Z เป็นสกรรมกริยา

ตามคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเซตนี้ เราได้รับโดยธรรมชาติว่าเซตว่างทั้งหมดมีค่าเท่ากัน หรือมันเหมือนกันที่มีเซตว่างเพียงชุดเดียวเท่านั้น

ชุดย่อย รวมความสัมพันธ์

เซต X เป็นสับเซตของเซต Y หากองค์ประกอบของเซต X∈ และตั้งค่า Y. แสดงโดย X⊆ ย.

หากจำเป็นต้องเน้นว่า Y มีองค์ประกอบอื่นนอกเหนือจากองค์ประกอบจาก X จะใช้สัญลักษณ์การรวมที่เข้มงวด⊂ : X ⊂ Y. ความสัมพันธ์ระหว่างสัญลักษณ์⊂ และ ⊆ มอบให้โดย:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y และ X≠Y

เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของเซตย่อยที่ตามมาจากคำจำกัดความ:

X⊆ X (การสะท้อนกลับ);

→ X⊆ Z (ชั่วคราว);

เซต A ดั้งเดิมที่สัมพันธ์กับเซตย่อยเรียกว่าเสร็จสิ้น กำหนดและแสดงโดย I.

เซตย่อยใดๆ Aผม เซต A เรียกว่าเซตที่ถูกต้องของ A

ชุดประกอบด้วยชุดย่อยทั้งหมดของชุดที่กำหนด X และชุดว่าง∅ เรียกว่าบูลีน X และแสดงด้วย β(X) พลังบูลีน |β(X)|=2น.

ชุดนับได้- นี่คือเซต A ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดสามารถนับได้ตามลำดับ (m.b. อนันต์) และ 1, 2, 3, ..., หนึ่ง , ... เพื่อให้ในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบได้รับเพียงหนึ่งหมายเลข n และแต่ละหมายเลขธรรมชาติ n จะได้รับเป็นตัวเลขถึงหนึ่งและเพียงหนึ่งองค์ประกอบในเซตของเรา

เซตที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่าเซตนับได้

ตัวอย่าง. ชุดกำลังสองของจำนวนเต็ม 1, 4, 9, ..., n 2 แทนเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติ N เซตนี้นับได้ เนื่องจากมันถูกนำเข้ามาในการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับอนุกรมธรรมชาติโดยกำหนดจำนวนให้กับแต่ละองค์ประกอบ จำนวนของจำนวนอนุกรมวิธาน สแควร์ของ ซึ่งเป็น

มี 2 ​​วิธีหลักในการกำหนดชุด

การแจงนับ (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,ม 2 ,ม 3 ,.,ม น });

คำอธิบาย - ระบุคุณสมบัติเฉพาะที่องค์ประกอบทั้งหมดของชุดมี

ชุดถูกกำหนดโดยองค์ประกอบอย่างสมบูรณ์

การแจงนับสามารถระบุชุดจำกัดเท่านั้น (เช่น ชุดเดือนในหนึ่งปี) เซตอนันต์สามารถกำหนดได้โดยการอธิบายคุณสมบัติขององค์ประกอบเท่านั้น (เช่น ชุดของจำนวนตรรกยะสามารถกำหนดได้โดยการอธิบาย Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

วิธีระบุชุดตามคำอธิบาย:

ก) โดยกำหนดขั้นตอนการผลิตด้วยตัวบ่งชี้ของชุด (ชุด) ที่พารามิเตอร์ (พารามิเตอร์) ของขั้นตอนนี้ทำงานผ่าน - แบบเรียกซ้ำ, อุปนัย

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - ตัวเลขฟีโบนิกชีจำนวนมาก

(หลายองค์ประกอบ x ดังนั้น x 1 \u003d 1, x 2 =1 และโดยพลการ x k+1 (สำหรับ k=1,2,3,...) คำนวณโดยสูตร x k+2 \u003d x k + x k + 1) หรือ X \u003d)