Занимателна логика по математика. Занимателни логически математически логически въпроси

1. Обяснителна бележка
1.1 Уместност
1.2 Цел на програмата
1.3 Цели на програмата
1.4 Условия за изпълнение на програмата, възраст на децата, форми на провеждане на занятия
1.5 Етапи на изпълнение на програмата
1.6 Програмно съдържание
1.7 Очаквани резултати

2. Методическа подкрепа
2.1 Перспективно-тематичен план на кръга " Забавна логика»

3. Диагностична програма за логическо мислене на деца от по-голяма предучилищна възраст.

5. Информационни ресурси

1. Обяснителна бележка.
Защо логика за малко дете в предучилищна възраст?
Според Л. А. Венгер „за петгодишните деца само външните свойства на нещата очевидно не са достатъчни. Те са напълно готови постепенно да се запознаят не само с външните, но и с вътрешните, скрити свойства и връзки, които са в основата на научното познание за света ... Всичко това ще бъде от полза умствено развитиедете само ако обучението е насочено към развиване на умствени способности, тези способности в областта на възприятието, въображаемото мислене, въображението, които се основават на усвояването на образци от външните свойства на нещата и техните разновидности ... "
Уменията, придобити от детето в предучилищния период, ще послужат като основа за придобиване на знания и развитие на способности в по-напреднала възраст - в училище. И най-важното сред тези умения е умението за логическо мислене, способността да "действате наум". За дете, което не е усвоило методите на логическото мислене, ще бъде по-трудно да решава проблеми, изпълнението на упражнения ще изисква много време и усилия. В резултат на това здравето на детето може да пострада, интересът към ученето може да отслабне или дори да изчезне.
След като усвои логическите операции, детето ще бъде по-внимателно, ще се научи да мисли ясно и ясно и ще може да се концентрира върху същността на проблема в точното време. Тя ще стане по-лесна за учене, което означава, че процесът на обучение и самата нея училищен животще донесе радост и удовлетворение.
Тази програма показва как чрез специални игри и упражнения е възможно да се формира способността на децата самостоятелно да установяват логически връзки в заобикалящата ги действителност.
Работейки с деца в предучилищна възраст върху развитието на когнитивните процеси, стигате до извода, че едно от необходимите условия за тяхното успешно развитие и учене е последователността, т.е. система от специални игри и упражнения с последователно развиващо се и усложняващо се съдържание, с дидактически задачи, игрови действияи правила. Игрите и упражненията, взети поотделно, могат да бъдат много интересни, но ако се използват извън системата, човек не може да постигне желания резултат от обучението и развитието.
1.1 Уместност
За успешното усвояване на училищната програма детето трябва не само да знае много, но и да мисли последователно и убедително, да гадае, да проявява умствено напрежение, да мисли логично.
Обучението за развитие на логическото мислене е не малко важно за бъдещия ученик и е много актуално днес.
Овладявайки всеки метод на запаметяване, детето се научава да определя цел и да извършва определена работа с материала, за да я постигне. Той започва да разбира необходимостта от повтаряне, сравняване, обобщаване, групиране на материал с цел запаметяване.
Обучението на децата за класификация допринася за успешното овладяване на по-сложен начин на запомняне - семантичното групиране, което децата срещат в училище.
Използвайки възможностите за развитие на логическото мислене и паметта на децата в предучилищна възраст, е възможно по-успешно да подготвим децата за решаване на проблемите, които училищното образование поставя пред нас.
Развитието на логическото мислене включва използването на дидактически игри, изобретателност, пъзели, решаване на различни логически игрии лабиринти и представлява голям интерес за децата. В тази дейност у децата се формират важни личностни качества: самостоятелност, находчивост, изобретателност, развива се постоянство, развиват се конструктивни умения. Децата се учат да планират действията си, да мислят за тях, да гадаят в търсене на резултат, като същевременно проявяват креативност.
Докато работите с деца, можете да забележите, че много деца не се справят с на пръв поглед прости логически задачи. Например, повечето деца в по-стара предучилищна възраст не могат да отговорят правилно на въпроса какво е повече: плодове или ябълки, дори ако имат картина в ръцете си, върху която са нарисувани плодове - много ябълки и няколко круши. Децата ще отговорят, че има повече круши. В такива случаи той основава отговорите си на това, което вижда със собствените си очи. Те са „разочаровани“ от въображаемото мислене и до 5-годишна възраст децата все още нямат логически разсъждения. В старши предучилищна възрастте започват да показват елементи на логическо мислене, характерни за ученици и възрастни, които трябва да бъдат развити при идентифицирането на най-оптималните методи за развитие на логическото мислене.
Игрите с логическо съдържание спомагат за култивирането на познавателния интерес у децата, допринасят за изследване и творческо търсене, желание и способност за учене. Дидактическите игри са една от най-естествените дейности на децата и допринасят за формирането и развитието на интелектуални и творчески прояви, самоизява и независимост. Развитието на логическото мислене при децата чрез дидактически игрие важно за успеха на последващото обучение, за правилното формиране на личността на ученика и в по-нататъшното образование ще помогне за успешното овладяване на основите на математиката и информатиката.
1.2 Цел на програмата:създаване на условия за максимално развитие на логическото мислене на децата в предучилищна възраст като подготовка за успешно обучение в училище.
1.3 Цели на програмата:

• научете децата на основни логически операции: анализ, синтез, сравнение, отрицание, класификация, систематизиране, ограничаване, обобщение, извод
• научете децата да се ориентират в космоса
• развиват у децата висши умствени функции, способността да разсъждават, доказват
• да култивира желанието за преодоляване на трудностите, самочувствието, желанието да помогне на връстник

1.4 Условия за изпълнение на програмата, възраст на децата, форми на провеждане на занятия
Срокове за изпълнение на програмата – 1-2 години
Програмата е предназначена за деца на възраст 5-7 години.
Програмата предвижда провеждане на кръгови класове в различни форми:

• Индивидуален самостоятелна работадеца.
• Работете по двойки.
• Групови форми на работа.
• Диференциран.
• Фронтална проверка и контрол.
• Самооценка на свършената работа.
• Дидактическа игра.
• Конкуренция.
• Конкурси.

1.5 Етапи на изпълнение на програмата
Технологията на дейността е изградена на етапи:

1. Диагностика на началното ниво на развитие на когнитивните процеси и контрол върху тяхното развитие.
2. Планиране на средствата, чрез които може да се развие едно или друго качество (внимание, памет, въображение, мислене), като се вземат предвид индивидуалността на всяко дете и наличните знания
3. Изграждане на интердисциплинарна (интегрална) основа за обучение в развиващ курс.
4. Постепенно усложняване на материала, постепенно увеличаване на обема на работата, повишаване на нивото на независимост на децата.
5. Запознаване с елементите на теорията, методи на преподаване на разсъждение, самоаргументация по избор.
6. Интегриране на знания и методи познавателна дейност, овладяване на неговите обобщени техники.
7. Оценка на резултатите от курса на развитие според разработените критерии, които трябва да включват детето (самооценка, самоконтрол, взаимен контрол).

1. 6 Програмно съдържание
Кратко описаниераздели и теми на класовете (разделите съответстват на определена логическа операция, която децата ще научат в клас):

1. Анализ – синтез.
Целта е да научим децата да разделят цялото на части, да установят връзка между тях; научете се да комбинирате мислено части от обект в едно цяло.
Игри и упражнения: намиране на логическа двойка (котка - коте, куче - ? (кученце)). Допълване на картината (вземете кръпка, нарисувайте джоб към роклята). Търсене на противоположности (леко - тежко, студено - горещо). Работете с пъзели с различна сложност. Оформяне на картинки от пръчици за броене и геометрични фигури.

2. Сравнение.
Целта е да се научи да установява мислено приликите и разликите на обектите по съществени признаци; развиват вниманието, възприятието на децата. Подобрете ориентацията в пространството.
Игри и упражнения: консолидиране на понятията: голямо - малко, дълго - късо, ниско - високо, тясно - широко, по-високо - по-ниско, по-нататък - по-близо и др. Опериране с понятията "едно и също", "най-много". Търсете прилики и разлики в 2 подобни снимки.

3. Ограничение.
Целта е да се научи да отделя един или повече обекти от група според определени характеристики. Развийте уменията за наблюдение на децата.
Игри и упражнения: „оградете само червени знамена с една линия“, „намерете всички некръгли обекти“ и др. Изключване на четвъртия излишен.

4. Обобщение.
Целта е да се научите да комбинирате мислено обекти в група според техните свойства. Допринасят за обогатяване на речниковия запас, разширяват ежедневните знания на децата.
Игри и упражнения за опериране с обобщаващи понятия: мебели, съдове, транспорт, зеленчуци, плодове и др.

5. Систематизиране.
Целта е да научите да идентифицирате модели; разширяване на речника на децата; научи се да разказваш по картинка, преразказвай.
Игри и упражнения: магически квадрати (вземете липсващата част, картинка). Съставяне на разказ по поредица от картинки, подреждане на картинките в логическа последователност.

6. Класификация.
Целта е да се научи да се разпределят предметите в групи според техните съществени характеристики. Консолидиране на обобщаващи понятия, свободна работа с тях.

7. Извод.
Целта е да научите с помощта на преценки да направите заключение. Допринесете за разширяване на познанията за домакинството на децата. Развийте въображението.
Игри и упражнения: търсене на положително и отрицателно в явленията (например, когато вали, той подхранва растенията - това е добре, но лошото е, че в дъжда човек може да се намокри, да настине и да се разболее) . Оценка на правилността на определени преценки („вятърът духа, защото дърветата се люлеят.“ Нали?). Решение логически задачи.

1.7 Очаквани резултати
Планирани резултати:
Децата трябва да знаят:

• принципи на конструиране на модели, свойства на числа, обекти, явления, думи;
• принципите на структурата на пъзели, кръстословици, верижни думи, лабиринти;
• антоними и синоними;
• имена на геометрични фигури и техните свойства;
• принципът на програмиране и съставяне на алгоритъм на действията.

Децата трябва да могат да:

• определят модели и изпълняват задача според този модел, класифицират и групират обекти, сравняват, намират общи и специфични свойства, обобщават и абстрахират, анализират и оценяват своите дейности;
• чрез разсъждение решават логически, нестандартни задачи, изпълняват творчески търсещи, словесно-дидактически, числени задачи, намират отговора на математически загадки;
• отговаряйте бързо и правилно по време на загрявката на поставените въпроси;
• изпълнява задачи за трениране на вниманието, възприятието, паметта
• изпълнява графични диктовки, да може да се ориентира в схематично представяне на графични задачи;
• да можете да си поставите цел, да планирате етапите на работа, да постигнете резултати със собствените си усилия.

Начин за проверка на резултатите от работата : обобщаващи занятия след всеки раздел и 2 диагностики (начална (септември) и крайна (май)) на нивото на овладяване на операциите на логическото мислене.

Като епиграф към тази глава могат да послужат думите на Шерлок Холмс: „Колко пъти съм ти казвал, зарежи всичко невъзможно, тогава това, което ще остане, ще бъде отговорът, колкото и невероятен да изглежда той.

Ако решаването на пъзел изисква само способността да се мисли логично и изобщо не е необходимо да се извършват аритметични изчисления, тогава такъв пъзел обикновено се нарича логически проблем. Логическите задачи, разбира се, са сред математическите, тъй като логиката може да се разглежда като много обща, фундаментална математика. Въпреки това е удобно да се отделят и изучават логически пъзели отделно от техните по-многобройни аритметични сестри. В тази глава ще очертаем три често срещани типа логически проблеми и ще се опитаме да разберем как да подходим към тях.

Най-често срещаният тип проблем, който любителите на пъзели понякога наричат ​​„проблемът на Смит-Джоунс-Робинсън“ (по аналогия със стария пъзел, изобретен от Г. Дудени).

Състои се от поредица от пакети, обикновено съобщаващи определена информация за героите; Въз основа на тези предположения трябва да се направят определени изводи. Например, ето как изглежда последната американска версия на проблема Dudeney:

1. Смит, Джоунс и Робинсън работят в един и същи влаков екипаж като машинист, кондуктор и пожарникар. Техните професии не са непременно посочени в същия ред като техните фамилни имена. Във влака, обслужван от бригадата, има трима пътници с еднакви фамилии.

В бъдеще ще наричаме с уважение всеки пътник „г-н“ (Mr).

2. Г-н Робинсън живее в Лос Анджелис.

3. Диригентът живее в Омаха.

4. Г-н Джоунс отдавна е забравил цялата алгебра, на която е преподавал в колежа.

5. Пътник - съименникът на кондуктора живее в Чикаго.

6. Кондукторът и един от пътниците, известен специалист по математическа физика, отиват в една и съща църква.

7. Смит винаги побеждава стокера, когато случайно се срещнат за игра на билярд.

Какво е името на водача?

Тези проблеми биха могли да бъдат преведени на езика на математическата логика, като се използва нейната стандартна нотация и може да се търси решение с помощта на подходящи методи, но такъв подход би бил твърде тромав. От друга страна, без съкращения от един или друг вид е трудно да се разбере логическата структура на проблема. Най-удобно е да използваме таблица, в празните клетки на която ще въведем всички възможни комбинации от елементи на разглежданите множества. В нашия случай има два такива набора, така че имаме нужда от две маси (фиг. 139).

Ориз. 139 Две таблици за проблема на Смит, Джоунс и Робинсън.

Във всяка клетка въвеждаме 1, ако съответната комбинация е допустима, или 0, ако комбинацията противоречи на условията на задачата. Да видим как се прави. Условие 7 очевидно изключва възможността Смит да е кладач, така че в полето в горния десен ъгъл на лявата таблица въвеждаме 0. Условие 2 ни казва, че Робинсън живее в Лос Анджелис, така че в долния ляв ъгъл на таблицата ние въведете 1 и 0 във всички други клетки в долния ред и лявата колона, за да покажете, че г-н Робинсън не живее в Омаха или Чикаго, а г-н Смит и г-н Джоунс не живеят в Лос Анджелис.

Сега трябва да помислим малко. От условия 3 и 6 знаем, че математическият физик живее в Омаха, но не знаем фамилното му име. Той не може да бъде нито мистър Робинсън, нито мистър Джоунс (все пак е забравил дори елементарната алгебра).

Следователно трябва да е г-н Смит. Отбелязваме това обстоятелство, като поставяме 1 в средната клетка на горния ред на дясната таблица и 0 в останалите клетки на същия ред и празни клетки в средната колона. Третата единица вече може да бъде въведена само в една клетка: това доказва, че г-н Джоунс живее в Чикаго. От условие 5 научаваме, че проводникът също има фамилно име Jones и въвеждаме 1 в централната клетка на лявата таблица и 0 във всички останали клетки на средния ред и средната колона. След това нашите таблици приемат формата, показана на фиг. 140.

Ориз. 140Таблица яйца, показани на фиг. 139, след предварително попълване.

Сега не е трудно да продължим разсъжденията, водещи до крайния отговор. В колоната с надпис "Stoker" единица може да бъде поставена само в долната клетка. От това веднага следва, че в долния ляв ъгъл трябва да стои 0. Само клетката в горния ляв ъгъл на таблицата остава празна, където може да се постави само 1. И така, името на водача е Смит.

Луис Карол обичаше да измисля изключително сложни и гениални проблеми от този вид. Деканът по математика в колежа в Дортмут, Джон Дж. Кемени, програмира една от чудовищните (с 13 променливи и 12 условия, от които следва, че „нито един съдия не смърка тютюн“) задачи на Карол за компютъра IBM-704. Машината завърши решението за около 4 минути, въпреки че отпечатването на пълната "таблица на истината" на проблема (таблица, показваща дали възможните комбинации от стойности на истината на променливите на проблема са истина или невярно) би отнело 13 часа!

За читателите, които искат да опитат късмета си с по-труден проблем от проблема на Смит-Джоунс-Робинсън, предлагаме нов пъзел. Негов автор е Р. Смулян от Принстънския университет.

1. През 1918 г. първият Световна война. В деня на подписването на мирния договор три семейни двойки се събраха, за да отпразнуват това събитие на празничната трапеза.

2. Всеки съпруг е брат на една от съпругите и всяка жена е сестра на един от съпрузите, т.е. сред присъстващите могат да бъдат посочени три свързани двойки „брат и сестра“.

3. Хелън е точно 26 седмици по-голяма от съпруга си, който е роден през август.

4. Сестрата на г-н Уайт е омъжена за зетя на Елън и се омъжи за него на рождения си ден през януари.

5. Маргарет Уайт е по-ниска от Уилям Блейк.

6. Сестрата на Артур е по-красива от Беатрис.

7. Джон е на 50 години.

Как се казва г-жа Браун?

Не по-малко разпространена е друга разновидност на логическите задачи, които по аналогия със следния известен пример могат да бъдат наречени задачи от типа „проблем с цветни капачки“. Трима души (да ги наречем А, Би ОТ) завържете очите и кажете, че всеки от тях е сложил или червена, или зелена шапка. След това очите им се отвързват и те са помолени да вдигнат ръка, ако видят червена шапка, и да напуснат стаята, ако са сигурни, че знаят какъв цвят е шапката на главата им. И трите шапки се оказаха червени, така че и тримата вдигнаха ръце. Минаха няколко минути и ОТ, който е по-интелигентен от НОи AT, излезе от стаята. как ОТуспя да определи какъв цвят е шапката върху него?

[Проблемът за мъдреците със зелени шапки е формулиран в текста така, че не може да има решение. Това е особено очевидно, когато броят на мъдреците е голям. Колко време ще отнеме на първия мъдър човек да отгатне истинската ситуация?

В края на четиридесетте години този проблем беше интензивно обсъждан в Москва в училищните математически кръгове и беше изобретен нов негов вариант, в който беше въведено дискретно време. Задачата изглеждаше така.

В древни времена мъдреците живеели в един град. Всеки от тях имаше жена. Сутрин те идваха на пазара и там разбраха всички клюки на града. Те самите бяха клюкари. За тях беше голямо удоволствие да научат за изневяра на някоя от съпругите - те веднага разбраха за това. Въпреки това, едно неизказано правило беше стриктно спазено: нищо не се съобщаваше на съпруга за жена му, тъй като всеки от тях, след като научи за собствения си срам, би изгонил жена си от къщата. Така те живееха, наслаждавайки се на интимни разговори и оставайки напълно невежи за собствените си дела.

Но един ден в града дойде истинска клюка. Той дойде на базара и публично заяви: "Но не всички мъдри хора имат верни жени!" Изглежда, че клюката не каза нищо ново - и така всички го знаеха, всеки мъдрец го знаеше (само със злоба мислеше не за себе си, а за другия), така че никой от жителите не обърна внимание на думите на клюката . Но мъдреците си помислиха - затова са мъдреци - и н-ти ден след пристигането на клюката n мъдреци бяха изгонени n неверни съпруги (ако имаше н).

Не е трудно да се възстановят разсъжденията на мъдреците. По-трудно е да се отговори на въпроса: каква информация е добавил клюкарят към тази, която е била известна на мъдреците и без него?

Този проблем многократно се среща в литературата].

C се пита дали шапката му може да бъде зелена. Ако случаят беше такъв, тогава НОведнага ще разпознае, че носи червена шапка, защото само червена шапка на главата му може да направи ATвдигнете ръка. Но след това НОще напусне стаята. ATщеше да започне да разсъждава точно по същия начин и също би напуснал стаята. Тъй като нито едното, нито другото излезе, ОТзаключи, че собствената му шапка трябва да е червена.

Този проблем може да се обобщи за случая, когато има произволен брой хора и всички те носят червени шапки. Да приемем, че в задачата се е появил четвърти актьор д, още по-проницателен от C.Dможе да разсъждава така: „Ако шапката ми беше зелена, тогава А, Би ОТбиха се озовали в абсолютно същата ситуация, която току-що беше описана, и след няколко минути най-проницателният от триото със сигурност щеше да напусне стаята.

Но пет минути вече са минали и нито една от тях не излиза, следователно шапката ми е червена.

Ако имаше пети член, който беше дори по-умен от д, можеше да стигне до заключението, че носи червена шапка, след като изчака десет минути. Разбира се, нашите разсъждения губят своята убедителност поради предположения за различни степени на изобретателност. А, Б, В... и доста неясни съображения за това колко време трябва да изчака най-проницателният човек, преди да може уверено да назове цвета на шапката си.

Някои други проблеми с "цветната шапка" съдържат по-малко несигурност. Такава например е следната задача, също измислена от Смулян. Всеки от трите А, Би ОТ- владее логиката, тоест той знае как незабавно да извлече всички последствия от даден набор от предпоставки и знае, че останалите също имат тази способност.

Взимаме четири червени и четири зелени печата, завързваме очите на нашите „логици“ и залепваме по два печата на челата им. След това премахваме превръзките от очите им и на свой ред питаме А, Би ОТсъщият въпрос: "Знаеш ли какъв цвят са печатите на челото ти?" Всеки от тях отговаря отрицателно. След това питаме отново НОи отново получаваме отрицателен отговор. Но когато зададем същия въпрос втори път AT, той отговаря утвърдително.

Какъв цвят е белегът на челото AT?

Третият тип популярни логически пъзели са задачи за лъжци и тези, които винаги казват истината. AT класическа версиязадачи говорим сиза пътник, който попада в страна, населена от две племена. Членовете на едно племе винаги лъжат, членовете на друго винаги казват истината. Пътешественикът среща двама туземци. — Винаги ли казваш истината? — пита той високия туземец. Той отговаря: "Тарабар". „Той каза „да“, обяснява по-малкият местен жител, който знае английски, „но е ужасен лъжец“. Към кое племе принадлежи всеки от местните?

Систематичен подход към решаването би бил да се изпишат и четирите възможности: AI, IL, LI, LL (I означава "вярно", L - "невярно") - и да се изключат онези, които противоречат на данните на проблема. Отговор може да се получи много по-бързо, ако се забележи, че високият роден трябва да отговори утвърдително дали лъже или казва истината. Тъй като по-малкият туземец каза истината, той трябва да принадлежи към племето на правдивите, а високият му приятел - към племето на лъжците.

Най-известният проблем от този тип, усложнен от въвеждането на вероятностни тегла и не много ясна формулировка, може да бъде открит съвсем неочаквано в средата на шеста глава на книгата New Pathways in Science на английския астроном А. Едингтън. "Ако А, Б, Ви дкажете истината един път от три (независимо) и НОгласи че ATотрича това ОТказва сякаш длъжец, каква е вероятността, че дказа истината?"

Отговорът на Едингтън, 25/71, беше посрещнат с градушка от протести от читателите и породи смешен и объркан спор, който никога не беше окончателно решен. Английският астроном Г. Дингъл, автор на преглед на книгата на Едингтън, публикуван в списание Nature (март 1935 г.), смята, че проблемът изобщо не заслужава внимание като безсмислен и само показва, че Едингтън не е обмислил достатъчно основните идеи на теорията на вероятностите. Американският физик Т. Стърн (Nature, юни 1935 г.) възразява срещу това, заявявайки, че според него проблемът в никакъв случай не е безсмислен, но няма достатъчно данни за разрешаването му.

В отговор Дингъл отбеляза (Nature, септември 1935 г.), че ако човек приеме гледната точка на Стърн, тогава има достатъчно данни за решение и отговорът ще бъде 1/3. Тук Едингтън влиза в битката, публикувайки (Mathemetical gazette, октомври 1935 г.) статия, обясняваща подробно как е получил своя отговор. Спорът завърши с още две статии, които се появиха в същото списание, авторът на една от които защити Едингтън, а другата изложи гледна точка, различна от всички предишни.

Трудността се състои главно в разбирането на формулировката на Едингтън. Ако AT, изразявайки своето отричане, говори истината, тогава можем ли основателно да приемем, че ОТказах че дговори истината? Едингтън вярваше, че няма достатъчно основания за подобно предположение. По същия начин, ако НОлъжи, можем ли да сме сигурни, че ATи ОТказаха ли нещо изобщо? За щастие, можем да преодолеем всички тези езикови трудности, като направим следните предположения (Едингтън не ги е направил):

1. Никой от четиримата не замълча.

2. Изявления А, Би ОТ(всяко от тях поотделно) потвърждават или отричат ​​следното твърдение.

3. Погрешното твърдение съвпада с неговото отрицание, а погрешното отрицание съвпада с твърдението.

И четирите лъжат независимо един от друг с вероятност 1/3, т.е. средно всеки две от трите им твърдения са неверни. Ако вярно твърдение се обозначава с буквата И, а false - буква Л, след това за А, Б, Ви дполучаваме таблица, състояща се от осемдесет и една различни комбинации. От това число трябва да се изключат онези комбинации, които са невъзможни поради условията на проблема.

Брой валидни комбинации, завършващи с буква И(т.е. вярно - вярно - твърдение д), трябва да се раздели на общия брой на всички валидни комбинации, които ще дадат отговора.

Трябва да се изясни постановката на проблема за пътник и двама местни жители. Пътешественикът разбрал, че думата „бърборене“ на езика на местните означава или „да“, или „не“, но не могъл да познае какво точно. Това би предупредило няколко имейла, един от които възпроизвеждам по-долу.

Високият туземец очевидно не разбра и дума от това, което пътникът му каза (на английски) и не можа да отговори с да или не на английски. Следователно неговото „безсмислие“ означава нещо като: „Не разбирам“ или „Добре дошли в Бонго-Бонго“. Следователно малкият туземец излъга, когато каза, че неговият приятел е отговорил с „да“, а тъй като малкият беше лъжец, той също излъга, когато нарече високия туземец лъжец. Следователно високият роден трябва да се счита за правдив.

Така че женската логика нанесе удар на мъжката ми суета. Не наранява ли малко авторската ви гордост?

Отговори

Първият логически проблем се решава най-добре с помощта на три таблици: едната за комбинации от собствени и фамилни имена на съпругите, втората за собствените и фамилните имена на съпрузите и третата за семейни връзки.

Тъй като името на г-жа Уайт е Маргарет (условие 5), ни остават само две възможности за имената на другите две съпруги: а) Хелън Блейк и Беатрис Браун, или б) Хелън Браун и Беатрис Блейк.

Да приемем, че втората от възможностите е налице. Сестрата на Уайт трябва да е или Хелън, или Беатрис. Но Беатрис не може да бъде сестрата на Уайн, защото тогава Блейк ще бъде брат на Хелън, а двамата зетове на Блейк ще бъдат Уайт (братът на жена му) и Браун (съпругът на сестра му); Беатрис Блейк не е омъжена за нито един от тях, което противоречи на условие 4. Следователно сестрата на Уайт трябва да е Хелън. От това на свой ред заключаваме, че сестрата на Браун се казва Беатрис, а сестрата на Блейк е Маргарет.

От условие 6 следва, че името на г-н Уайт е Артър (Браун не може да бъде Артър, тъй като такава комбинация би означавала, че Беатрис е по-красива от себе си, а Блейк не може да бъде Артър, тъй като от условие 5 знаем името му: Уилям). Така че г-н Браун може да бъде само Джон. За съжаление, от условие 7 виждаме, че Джон е роден през 1868 г. (50 години преди подписването на мирния договор). Но 1868 е високосна година, така че Хелън трябва да е по-възрастна от съпруга си с един ден повече от 26-те седмици, посочени в условие 3. (От условие 4 знаем, че е родена през януари, а от условие 3, че съпругът й е роден през август Тя може да е точно 26 седмици по-възрастна от съпруга си, ако нейният рожден ден е на 31 януари, а неговият на 1 август и ако между тези дати няма 29 февруари!) И така, втората от възможностите, с които започнахме трябва да се изхвърли, което ни позволява да посочим имената на съпругите: Маргарет Уайт, Хелън Блейк и Беатрис Браун. Тук няма противоречие, тъй като не знаем годината на раждане на Блейк. От условията на задачата може да се заключи, че Маргарет е сестрата на Браун, Беатрис е сестрата на Блейк, а Хелън е сестрата на Уайт, но въпросът за имената на Уайт и Браун остава неразрешен.

В проблема с печатите ATима три възможности. Печатите му могат да бъдат: 1) и двете червени; 2) и двете зелени; 3) единият е зелен, а другият е червен. Да приемем, че и двата печата са червени.

След като и тримата са отговорили веднъж, НОможе да разсъждава така: „Белезите на челото ми не могат да бъдат едновременно червени (защото тогава ОТщеше да види четири червени печата и веднага щеше да разпознае, че има два зелени печата на челото си и ако ОТтогава и двата печата бяха зелени AT, виждайки четири зелени печата, щеше да разбере, че има два червени печата на челото си). Ето защо имам един зелен и един червен белег на челото си.

Но когато НОпопита втори път, той не знаеше какъв цвят е марката му. Това позволи ATотхвърлете възможността и двата му собствени печата да са червени. Спори точно по същия начин като А, Бизключи случая, когато и двата му печата са зелени. Затова му остана само една възможност: единият печат е зелен, другият - червен.

Няколко читатели бързо забелязаха, че проблемът може да бъде решен много бързо, без да се налага да анализирате въпросите и отговорите. Ето какво пише един от читателите за това: „Условията на задачата са напълно симетрични по отношение на червените и зелените марки.

Следователно, чрез раздаване на марки между А, Би ОТако са изпълнени всички условия на задачата и заменяйки червените белези със зелени и, обратно, зелените с червени, ще стигнем до различно разпределение, за което всички условия също ще бъдат изпълнени. От това следва, че ако решението е уникално, то трябва да бъде инвариантно (не трябва да се променя) при замяна на зелени етикети с червени, а червени със зелени. Такова решение може да бъде само такова разпределение на печатите, при което Б ще има един зелен и един червен печат.

Както каза W. Manheimer, декан на катедрата по математика в Brooklyn College, това елегантно решение идва от факта, че не А, Би ОТ(както е посочено в условието на проблема), и Реймънд Смълян!

В проблема на Едингтън, вероятността, че дказва истината, е 13/41. Всички комбинации от true и false, които съдържат нечетен брой пъти false (или true), трябва да бъдат отхвърлени като противоречащи на условията на проблема. В резултат на това броят на възможните комбинации е намален от 81 на 41, от които само 13 завършват с вярно твърдение. д. Тъй като А, Би ОТкажете истината в случаи, които съответстват на абсолютно същия брой валидни комбинации, вероятността да кажете истината е една и съща и за четирите.

Използване на символа за еквивалентност

което означава, че съжденията, свързани с него, са или двете верни, или и двете неверни (тогава грешното съждение е вярно, в противен случай е невярно), а символът за отрицание ~, проблемът на Едингтън в пропозиционалното смятане може да бъде написан по следния начин:

или след някои опростявания като това:

Таблицата на истинността на този израз потвърждава вече получения отговор.

Бележки:

Това е разочароващо- разстрои, направи нещо безполезно, безнадеждно, обричане на провал (английски).

Вижте главата за Реймънд Смълян в книгата М. Гарднър„Пътуване във времето“ (М.: Мир, 1990).

Едингтън А. Нови пътища в науката. - Кеймбридж: 1935 г.; Мичиган: 1959 г.

Въведение

Логиката е Богът на мислителите.

Л. Фойхтвангер

Способността да се разсъждава правилно е необходима във всяка област на човешката дейност: наука и технологии, правосъдие и дипломация, икономическо планиране и военно дело. И тази способност се връща към древни времена, логика, т.е. науката за това кои форми на разсъждение са правилни възниква едва преди малко повече от две хиляди години. Развита е през VI век. пр.н.е. в трудовете на великия древногръцки философ Аристотел, неговите ученици и последователи.

В един момент математиците зададоха въпроса: „Какво всъщност е математиката, математическата дейност?“ Простият отговор е, че математиците доказват теореми, тоест откриват някои истини за реалния святи "идеален математически свят". Опит да се отговори на въпроса какво е математическа теорема, математическа истина и какво е математическо твърдение, вярно или доказуемо, това е и мрежата на отправната точка на математическата логика. В училище трябва да се научим да анализираме, сравняваме, подчертаваме главното, обобщаваме и систематизираме, доказваме и опровергаваме, дефинираме и обясняваме понятия, поставяме и решаваме проблеми. Овладяването на тези методи означава способност за мислене. В науката човек трябва да изведе различни формули, числени модели, правила и да докаже теореми чрез разсъждения. Например през 1781 г. е открита планетата Уран. Наблюденията показват, че движението на тази планета се различава от теоретично изчисленото движение. Френският учен Льо Верие (1811-1877), логически разсъждавайки и извършвайки доста сложни изчисления, определя влиянието на друга планета върху Уран и посочва нейното местоположение. През 1846 г. астрономът Гале потвърди съществуването на планета, наречена Нептун. При това те използваха логиката на математическите разсъждения и изчисления.

Втората отправна точка на нашите разсъждения е да изясним какво означава, че една математическа функция е изчислима и може да бъде изчислена с помощта на някакъв алгоритъм, формално правило, точно описана процедура. Тези две първоначални формулировки имат много общо, те естествено се обединяват под общото наименование "математическа логика", където математическата логика се разбира предимно като логиката на математическите разсъждения и математическите действия.

Избрах точно тази тема, защото овладяването на елементите на математическата логика ще ми помогне в бъдещата ми икономическа професия. В крайна сметка маркетологът анализира тенденциитепазар,цени, оборот и маркетингови методи, събира данни за конкурентни организации,издава препоръки. За да направите това, трябва да използвате знанията на логиката.

Обективен: да изучават и използват възможностите на математическата логика при решаване на задачи в различни области и човешки дейности.

Задачи:

1. Анализирайте литературата за същността и произхода на математическата логика.

2. Изучаване на елементите на математическата логика.

3. Подбират и решават задачи с елементи на математическата логика.

Методи: анализ на литература, концепции, метод на аналогиите при решаване на проблеми, самонаблюдение.

1. От историята на възникването на математическата логика

Математическата логика е тясно свързана с логиката и дължи произхода си на нея. Основите на логиката, науката за законите и формите на човешкото мислене, са положени от най-великия древногръцки философ Аристотел (384-322 г. пр.н.е.), който в своите трактати задълбочено изучава терминологията на логиката, анализира подробно теорията на изводите и доказателства, описва редица логически операции, формулира основните закони на мисленето, включително законите на противоречието и изключването на третото. Приносът на Аристотел в логиката е много голям, не случайно другото й име е Аристотелова логика. Дори самият Аристотел е забелязал, че между създадената от него наука и математиката (по това време тя се е наричала аритметика) има много общо. Той се опита да съчетае тези две науки, а именно да намали размисъла или по-скоро извода до изчисление въз основа на първоначални позиции. В един от своите трактати Аристотел се доближава до един от разделите на математическата логика - теорията на доказателствата.

В бъдеще много философи и математици разработиха определени положения на логиката и понякога дори очертаха контурите на съвременното пропозиционално смятане, но най-близо до създаването на математическата логика дойде през втората половина на 17 век, изключителният немски учен Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646 - 1716), който посочи начините за превеждане на логиката "от словесната сфера, пълна с несигурност, в сферата на математиката, където отношенията между обекти или твърдения се определят с перфектна точност". Лайбниц дори се надяваше, че в бъдеще философите, вместо да спорят безплодно, ще вземат хартия и ще разберат кой от тях е прав. В същото време Лайбниц засяга и двоичната бройна система в своите произведения. Трябва да се отбележи, че идеята за използване на два знака за кодиране на информация е много стара. Австралийските аборигени са броили в двойки, някои племена на ловци-събирачи от Нова Гвинея и Южна Америка също са използвали двоична система за броене. В някои африкански племена съобщенията се предават с помощта на барабани под формата на комбинации от гласови и глухи удари. Познат пример за двусимволно кодиране е морзовата азбука, където буквите от азбуката са представени с определени комбинации от точки и тирета. След Лайбниц много изтъкнати учени провеждат изследвания в тази област, но истинският успех тук идва при самоукия английски математик Джордж Бул (1815-1864), чиято решителност нямаше граници.

Финансова ситуацияРодителите на Джордж (чийто баща беше обущар) му позволиха само да завърши начално училищеза бедните. След известно време Бул, след като смени няколко професии, отвори малко училище, където сам преподаваше. Той посвещава много време на самообразование и скоро се интересува от идеите на символната логика. През 1847 г. Бул публикува статията „Математически анализ на логиката или опитът на смятането на дедуктивните изводи“, а през 1854 г. се появява основната му работа „Изследване на законите на мисълта, на които се основават математическите теории на логиката и вероятността“. . Бул изобретява един вид алгебра - система от обозначения и правила, приложими към всички видове обекти, от числа и букви до изречения. Използвайки тази система, той може да кодира изявления (изявления, които трябва да бъдат доказани верни или неверни), използвайки символите на своя език, и след това да ги манипулира по същия начин, по който се манипулират числата в математиката. Основните операции на булевата алгебра са конюнкция (И), дизюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). След известно време стана ясно, че системата на Boole е много подходяща за описание на електрически превключващи вериги. Токът във веригата може да тече или не, точно както едно твърдение може да бъде вярно или невярно. И няколко десетилетия по-късно, вече през 20-ти век, учените комбинираха математическия апарат, създаден от Джордж Бул, с двоичната бройна система, като по този начин поставиха основата за разработването на цифров електронен компютър. Индивидуални положения от работата на Бул бяха засегнати до известна степен както преди, така и след него от други математици и логици. Въпреки това днес в тази област произведенията на Джордж Бул се считат за математическа класика, а самият той с право се счита за основател на математическата логика и още повече на нейните най-важни раздели - алгебрата на логиката (булева алгебра ) и алгебрата на предложенията.

Голям принос за развитието на логиката направиха и руските учени П.С. Порецки (1846-1907), I.I. Жегалкин (1869-1947).

През 20 век огромна роля в развитието на математическата логика играе

Д. Хилберт (1862-1943), който предлага програма за формализиране на математиката, свързана с развитието на основите на самата математика. И накрая, през последните десетилетия на 20 век бързото развитие на математическата логика се дължи на развитието на теорията на алгоритмите и алгоритмичните езици, теорията на автоматите, теорията на графите (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov и много други).

В средата на 20 век развитието на компютърните технологии доведе до появата на логически елементи, логически блокове и компютърни технологични устройства, което беше свързано с допълнителното развитие на такива области на логиката като проблемите на логическия синтез, логическия дизайн и логическото моделиране на логическите устройства и компютърните технологии. През 80-те години на миналия век започват изследвания в областта на изкуствен интелектбазирани на езици и системи за логическо програмиране. Създаването на експертни системи започва с използването и разработването на автоматично доказателство на теореми, както и методи за базирано на доказателства програмиране за проверка на алгоритми и компютърни програми. Промените в образованието също започват през 80-те години. Появата на персонални компютри в средните училища доведе до създаването на учебници по информатика с изучаване на елементи от математическата логика за обяснение на логическите принципи на работа логически схемии изчислителни устройства, както и принципите на логическото програмиране за компютри от пето поколение и разработването на учебници по компютърни науки с изучаването на езика на предикатното смятане за проектиране на бази от знания.

1. Основи на теорията на множествата

Понятието набор е едно от онези фундаментални понятия на математиката, които е трудно да се дефинират точно с помощта на елементарни понятия. Затова се ограничаваме до описателно обяснение на концепцията за набор.

много наречен набор от определени доста различни обекти, разглеждани като едно цяло. Създателят на теорията на множествата Георг Кантор дава следното определение за множество – „множеството е много, което мислим като едно цяло“.

Отделните обекти, съставляващи едно множество, се наричатзададени елементи.

Множествата обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, а елементите на тези множества се обозначават с малки букви на латинската азбука. Наборите се записват във къдрави скоби ( ).

Обичайно е да се използва следната нотация:

а∈ X - "елемент a принадлежи на множеството X";

а∉ X - "елемент a не принадлежи на множеството X";

∀ - квантификатор на произволност, обобщеност, обозначаващ "всеки", "какъвто и да е", "за всички";

∃ - квантор на съществуване:∃ г∈ B - "има (има) елемент y от множеството B";

∃! - квантификатор на съществуване и уникалност:∃ !б∈ C - "има уникален елемент b от множеството C";

: - „такова, че; владее имота”;

→ - символът на последствието означава "влече";

⇔ - квантификатор на еквивалентност, еквивалентност - "ако и само тогава".

Комплектите сакрайно и безкрайно . Комплектите се наричатфинал , ако броят на елементите му е краен, т.е. ако има естествено число n, което е броят на елементите на множеството. A=(a 1, a 2, a 3, ..., a n ). Комплектът се наричабезкраен ако съдържа безкраен брой елементи. B=(b 1, b 2, b 3 , ...). Например наборът от букви на руската азбука е краен набор. Множеството от естествени числа е безкрайно множество.

Броят на елементите в крайно множество M се нарича мощност на множеството M и се означава с |M|.празен множество - множество, което не съдържа никакви елементи -∅ . Двата комплекта се наричатравен , ако се състоят от едни и същи елементи, т.е. са един и същ комплект. Наборите не са равни на X ≠ Y, ако X има елементи, които не принадлежат на Y, или Y има елементи, които не принадлежат на X. Символът за равенство на множество има следните свойства:

X=X; - рефлексивност

ако X=Y, Y=X - симетрия

ако X=Y,Y=Z, тогава X=Z е транзитивно.

Съгласно тази дефиниция за равенство на множества естествено получаваме, че всички празни множества са равни помежду си или че е същото, че има само едно празно множество.

Подмножества. Връзка на включване.

Множество X е подмножество на множество Y, ако всеки елемент от множеството X∈ и множество Y. Означено с X⊆ Y.

Ако е необходимо да се подчертае, че Y съдържа други елементи освен елементи от X, тогава се използва символът за строго включване.⊂ : Х ⊂ Y. Връзка между символи⊂ и ⊆ се дава от:

х ⊂ Y ⇔ х ⊆ Y и X≠Y

Отбелязваме някои свойства на подмножеството, които следват от дефиницията:

х⊆ X (рефлексивност);

→ X⊆ Z (преходност);

Първоначалното множество A по отношение на неговите подмножества се наричапълен множество и се означава с I.

Всяко подмножество Aаз множество A се нарича правилно множество от A.

Множество, състоящо се от всички подмножества на дадено множество X и празното множество∅ , се нарича булево X и се означава с β(X). Булева степен |β(X)|=2н.

Изброим набор- това е множество A, всички елементи на което могат да бъдат номерирани в последователност (m.b. безкрайно) и 1, a 2, a 3, ..., a n , ... така че в този случай всеки елемент получава само едно число n и всяко естествено число n се дава като число на един и само един елемент от нашето множество.

Множество, еквивалентно на множеството от естествени числа, се нарича изброимо множество.

Пример. Набор от квадрати с цели числа 1, 4, 9, ..., n 2 представлява само подмножество на набора от естествени числа N. Наборът е изброим, тъй като е приведен в съответствие едно към едно с естествената серия чрез присвояване на всеки елемент числото на числото на естествената серия, квадратът на което е.

Има 2 основни начина за дефиниране на набори.

изброяване (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,м 2 ,м 3 ,..,м н });

описание - посочва характерните свойства, които притежават всички елементи на множеството.

Едно множество е напълно определено от своите елементи.

Едно изброяване може да указва само крайни набори (например набор от месеци в годината). Безкрайните множества могат да бъдат дефинирани само чрез описание на свойствата на неговите елементи (например множеството от рационални числа може да бъде дефинирано чрез описание на Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Начини за указване на набор чрез описание:

а) чрез указване на процедура за генериранес указание за набора (множествата), през който преминава параметърът (параметрите) на тази процедура - рекурсивна, индуктивна.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - много числа на Фибоничи.

(множество елементи x, така че x 1 \u003d 1, x 2 =1 и произволно x k+1 (за k=1,2,3,...) се изчислява по формулата x k+2 \u003d x k + x k + 1) или X \u003d)