احتمال شرطی احتمال شرطی و ساده ترین فرمول های اساسی قضیه ضرب احتمالات رخدادهایی که یکی در شرایط دیگری صورت می گیرد

4. احتمال شرطی. قضیه ضرب احتمال.

در بسیاری از مسائل باید احتمال ترکیب رویدادها را یافت ولیو ATاگر احتمالات وقایع مشخص باشد ولیو AT.

مثال زیر را در نظر بگیرید. بگذارید دو سکه پرتاب شود. احتمال ظهور دو نشان را پیدا کنید. ما 4 نتیجه جفت ناسازگار به همان اندازه محتمل داریم که یک گروه کامل را تشکیل می دهند:

حالا بدانیم که نشان روی سکه اول افتاد. بعد از این، احتمال اینکه نشان روی هر دو سکه ظاهر شود چگونه تغییر می کند؟ از آنجایی که نشان روی اولین سکه افتاد، اکنون گروه کامل شامل دو نتیجه ناسازگار به همان اندازه محتمل است:

احتمال رویداد جدید ولی، با فرض اینکه یک رویداد رخ داده است ب، نشان خواهیم داد P B (A).

به این ترتیب، P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

قضیه ضرب. احتمال ترکیب رویدادهای A و B برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری که با این فرض محاسبه می شود که اولین رویداد رخ داده است.

اثباتاجازه دهید اعتبار رابطه (4) را بر اساس تعریف کلاسیک احتمال اثبات کنیم. اجازه دهید نتایج احتمالی E 1, E 2, ..., E Nاز این تجربه، یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار دوتایی به همان اندازه محتمل، که رویداد از آن‌هاست، تشکیل می‌دهند آلطف منتایج، و از این منتایج Lنتایج به نفع رویداد است ب. بدیهی است که ترکیبی از رویدادها آو بلطف Lاز جانب ننتایج آزمایش احتمالی این می دهد؛ ;
به این ترتیب،
تعویض مکان آو ب، به طور مشابه دریافت می کنیم
قضیه ضرب را می توان به راحتی به هر تعداد محدودی از رویدادها تعمیم داد. بنابراین، برای مثال، در مورد سه رویداد الف 1, A2, الف 3ما داریم *
به طور کلی

از رابطه (6) بر می آید که از دو برابری (8) یکی نتیجه دیگری است.

اجازه دهید، برای مثال، رویداد آ- ظاهر نشان ملی در حین پرتاب یک سکه و رویداد ب- ظاهر یک کارت کت و شلوار الماس هنگام برداشتن یک کارت از عرشه. بدیهی است وقایع آو بمستقل.

اگر اتفاقات مستقل باشد آبه بفرمول (4) شکل ساده تری خواهد داشت:

* رویداد A 1 A 2 A 3را می توان به صورت ترکیبی از دو رویداد نشان داد: رویدادها C=A 1 A 2و رویدادها الف 3.

رویدادها را در نظر بگیرید آو بمرتبط با همین تجربه بگذارید از برخی منابع معلوم شود که این رویداد برخ داده است، اما مشخص نیست که کدام یک از نتایج اولیه که رویداد را تشکیل می دهد ب، اتفاق افتاد در این مورد در مورد احتمال یک رویداد چه می توان گفت آ?

احتمال رویداد آ، با این فرض محاسبه می شود که رویداد باتفاق افتاده است، مرسوم است که احتمال شرطی را صدا می زنند و نشان می دهند P(A|B).

احتمال شرطی P(A|B)تحولات آموضوع رویداد بدر چارچوب طرح کلاسیک، طبیعی است که احتمال را به عنوان نسبت تعریف کنیم NABنتایجی که به نفع اجرای مشترک رویدادها هستند آو ب، به شماره NBنتایج به نفع رویداد ب، به این معنا که

اگر صورت و مخرج این عبارت را بر عدد کل تقسیم کنیم ننتایج اولیه را می گیریم

تعریف. احتمال شرطی یک رویداد آموضوع رویداد بنسبت احتمال تلاقی رویدادها نامیده می شود آو ببه احتمال یک رویداد ب:

در عین حال فرض بر این است که P(B) ≠ 0.

قضیه. احتمال شرطی P(A|B)تمام ویژگی های احتمال نامشروط را دارد P(A).

معنای این قضیه این است که احتمال شرطی، احتمال غیرشرطی داده شده در فضای جدید است. Ω 1نتایج ابتدایی همزمان با رویداد ب.

مثال. از کوزه ای که در آن a=7شن سفید b=3توپ های سیاه، دو توپ به طور تصادفی و بدون جایگزینی کشیده می شوند. اجازه دهید رویداد الف 1این است که اولین توپ کشیده شده سفید است و A2- توپ دوم سفید است. می خواست پیدا کند P(A 2 |A 1).

روش 1.. با تعریف احتمال شرطی

روش 2.. بیایید به فضای جدیدی از نتایج ابتدایی برویم Ω 1. از زمان رویداد الف 1اتفاق افتاده است، به این معنی که در فضای جدید پیامدهای ابتدایی، تعداد کل نتایج به همان اندازه ممکن است NΩ 1 =a+b-1=9، و رویداد A2طرفدار آن است N A 2 \u003d a-1 \u003d 6نتایج. در نتیجه،

قضیه [ضرب احتمالات]. اجازه دهید رویداد A=A 1 A 2 …A nو P(A)> 0. سپس برابری صادق است:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

اظهار نظر. از ویژگی جابجایی یک تقاطع، می توان نوشت

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

مثال. حروف تشکیل دهنده کلمه "NIGHTINGALE" روی 7 کارت نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و سه کارت به‌طور تصادفی از آنها جدا می‌شوند و از چپ به راست قرار می‌گیرند. احتمال به دست آمدن کلمه "VOL" را بیابید (رویداد آ).

اجازه دهید رویداد الف 1- حرف "B" روی کارت اول نوشته شده است، A2- حرف "O" روی کارت دوم نوشته شده است، A2- در کارت سوم - حرف "L". سپس رویداد آ- تقاطع رویدادها الف 1, A2, الف 3. در نتیجه،

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; اگر رویداد الف 1اتفاق افتاد، سپس در 6 کارت باقی مانده "O" دو بار رخ می دهد، به این معنی P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. به همین ترتیب، P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. در نتیجه،

تعریف. تحولات آو ب، که احتمال غیر صفر دارند، اگر احتمال شرطی باشد مستقل نامیده می شوند آبه شرط بمنطبق با احتمال بی قید و شرط است آیا اگر احتمال مشروط باشد ببه شرط آمنطبق با احتمال بی قید و شرط است ب، به این معنا که

P(A|B) = P(A)یا P(B|A) = P(B),

در غیر این صورت حوادث آو بوابسته نامیده می شود.

قضیه. تحولات آو ب، که احتمال غیر صفر دارند اگر و فقط اگر مستقل هستند

P(AB) = P(A) P(B).

بنابراین، ما می توانیم یک تعریف معادل ارائه دهیم:

تعریف. تحولات آو باگر مستقل نامیده می شوند P(AB) = P(A) P(B).

مثال. از یک دسته کارت حاوی n=36کارت ها، یک کارت به صورت تصادفی کشیده می شود. با نشان دادن آیک رویداد مربوط به این واقعیت است که نقشه استخراج شده یک اوج خواهد بود، و ب- یک رویداد مربوط به ظاهر یک "بانو". تعیین کنید که آیا رویدادها وابسته هستند یا خیر آو ب.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . بنابراین، حوادث آو بمستقل. به همین ترتیب، .

اجازه دهید ولیو ATدو رویداد در نظر گرفته شده در این آزمون هستند. در این صورت ممکن است وقوع یکی از وقایع احتمال وقوع دیگری را تحت تأثیر قرار دهد. مثلاً وقوع یک رویداد ولیمی تواند رویداد را تحت تأثیر قرار دهد ATیا برعکس. برای در نظر گرفتن چنین وابستگی برخی از رویدادها به برخی دیگر، مفهوم احتمال شرطی معرفی شده است.

تعریف.اگر احتمال یک رویداد ATدر شرایطی واقع شده است که رویداد ولیاتفاق افتاد، سپس احتمال وقوع رویداد ATتماس گرفت احتمال شرطیتحولات AT. از نمادهای زیر برای نشان دادن چنین احتمال شرطی استفاده می شود: آرولی ( AT) یا آر(AT / ولی).

تبصره 2. در مقابل احتمال مشروط، احتمال "بدون قید و شرط" نیز در نظر گرفته می شود که هر شرطی برای وقوع یک رویداد وجود داشته باشد. ATگم شده

مثال. یک گلدان حاوی 5 توپ است که 3 توپ قرمز و 2 توپ آبی است. به نوبه خود یک توپ با برگشت و بدون برگشت از آن کشیده می شود. احتمال مشروط کشیدن یک توپ قرمز برای بار دوم را بیابید، مشروط بر اینکه اولین بار گرفته شده باشد: الف) یک توپ قرمز. ب) یک توپ آبی

اجازه دهید رویداد ولیبرای اولین بار توپ قرمز را می کشد و این رویداد AT- استخراج توپ قرمز برای بار دوم. بدیهی است که آر(ولی) = 3/5; سپس در صورتی که توپی که برای اولین بار بیرون آورده شده به داخل کوزه برگردانده شود، آر(AT)=3/5. در صورتی که توپ کشیده شده برنگردد، احتمال رسم توپ قرمز وجود دارد آر(AT) بستگی به این دارد که کدام توپ برای اولین بار کشیده شده است - قرمز (رویداد ولی) یا آبی (رویداد). سپس در مورد اول آرولی ( AT) = 2/4، و در دوم ( AT) = 3 / 4.

قضیه ضرب احتمالات رخدادهایی که یکی در شرایط دیگری صورت می گیرد

احتمال حاصلضرب دو رویداد برابر است با حاصلضرب احتمال یکی از آنها با احتمال مشروط دیگری که با این فرض که اولین رویداد رخ داده است:

آر(A∙ B) = آر(ولی) ∙ آرولی ( AT) . (1.7)

اثبات در واقع، اجازه دهید n- تعداد کل نتایج محتمل و ناسازگار (ابتدایی) آزمون. رهایش کن n 1 - تعداد نتایجی که به نفع رویداد است ولی، که در ابتدا رخ می دهد و متر- تعداد پیامدهایی که رویداد در آنها رخ می دهد ATبا فرض این که رویداد ولیآمده است. به این ترتیب، مترتعداد نتایجی است که به نفع رویداد است AT.سپس ما گرفتیم:

آن ها احتمال حاصلضرب چندین رویداد برابر است با حاصلضرب احتمال یکی از این رویدادها با احتمالات مشروط سایر رویدادها و احتمال شرطی هر رویداد بعدی با این فرض محاسبه می شود که همه رویدادهای قبلی رخ داده اند.

مثال. 4 استاد ورزش در یک تیم 10 نفره ورزشکار حضور دارند. با قرعه کشی 3 ورزشکار از تیم انتخاب می شوند. احتمال اینکه همه ورزشکاران منتخب استاد ورزش باشند چقدر است؟

راه حل. اجازه دهید مشکل را به مدل "urn" کاهش دهیم، یعنی. فرض کنید در یک کوزه حاوی 10 توپ 4 توپ قرمز و 6 توپ سفید وجود دارد. 3 توپ به طور تصادفی از این کوزه کشیده می شود (انتخاب اس= 3). اجازه دهید رویداد ولیشامل استخراج 3 توپ است. مشکل را می توان به دو طریق حل کرد: با طرح کلاسیک و با فرمول (1.9).

روش اول بر اساس فرمول ترکیبی:

روش دوم (با فرمول (1.9)). 3 توپ متوالی از کوزه بدون تعویض کشیده می شود. اجازه دهید ولی 1 - اولین توپ کشیده شده قرمز است ولی 2 - دومین توپ کشیده شده قرمز است ولی 3 - سومین توپ کشیده شده قرمز است. اجازه دهید همچنین رویداد ولییعنی هر 3 توپ کشیده شده قرمز هستند. سپس: ولی = ولی 1 ∙ (ولی 2 / ولی 1) ∙ ولی 3 / (ولی 1 ∙ ولی 2) یعنی

مثال.اجازه از مجموعه کارت a, a, r, b, o, tکارت ها یکی یکی کشیده می شوند. احتمال به دست آوردن کلمه " چقدر است کار کنیدوقتی آنها را به صورت متوالی در یک خط از چپ به راست تا کنید؟

اجازه دهید AT- رویدادی که در آن کلمه اعلام شده به دست می آید. سپس با فرمول (1.9) بدست می آوریم:

آر(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

قضیه ضرب احتمال زمانی ساده ترین شکل خود را به خود می گیرد که حاصل ضرب توسط رویدادهای مستقل از یکدیگر تشکیل شود.

تعریف.رویداد ATتماس گرفت مستقلاز رویداد ولیاگر احتمال آن بدون توجه به وقوع رویداد تغییر نکند ولییا نه. دو رویداد مستقل (وابسته) نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر (تغییر) نکند. بنابراین، برای نه رویدادهای وابسته p(B/آ) = آر(AT) یا = آر(AT) و برای رویدادهای وابسته آر(AT/آ)

رویداد. فضای رویدادهای ابتدایی. رویداد قطعی، رویداد غیرممکن. رویدادهای مشترک و غیر مشترک رویدادهای معادل گروه کامل رویدادها عملیات روی رویدادها

رویدادپدیده ای است که می توان گفت در جریانیا اتفاق نمی افتد، بسته به ماهیت خود رویداد.

زیر رویدادهای ابتداییمرتبط با یک آزمون خاص، تمام نتایج تجزیه ناپذیر آن آزمایش را درک می کند. هر رویدادی که می تواند در نتیجه این آزمون رخ دهد را می توان مجموعه خاصی از رویدادهای ابتدایی در نظر گرفت.

فضای رویدادهای ابتداییمجموعه دلخواه (متناهی یا نامتناهی) نامیده می شود. عناصر آن نقاط (رویدادهای ابتدایی) هستند. زیرمجموعه های فضای رویدادهای ابتدایی را رویدادها می گویند.

یک رویداد خاصرویدادی نامیده می شود که در نتیجه این آزمایش قطعاً رخ خواهد داد. (با E نشان داده می شود).

اتفاق غیر ممکنیک رویداد به آن رویدادی گفته می شود که در نتیجه یک آزمون داده شده است نمی تواند اتفاق بیفتد; (به U نشان داده شده است). به عنوان مثال، ظاهر شدن یکی از شش نقطه در طول یک پرتاب تاس- یک رویداد قابل اعتماد، و ظهور 8 امتیاز غیرممکن است.

این دو رویداد نامیده می شوند مفصل(سازگار) در یک تجربه معین، در صورتی که ظاهر یکی از آنها ظاهر دیگری را منتفی نکند.

این دو رویداد نامیده می شوند ناسازگار(ناسازگار) در یک کارآزمایی معین اگر نتوانند با هم در یک آزمایش انجام شوند. گفته می شود که چندین رویداد ناسازگار هستند اگر به صورت زوجی ناسازگار باشند.

شروع فرم

پایان فرم

مبحث شماره 2. تعریف بدیهی از احتمال. تعریف کلاسیک، آماری، هندسی احتمال یک رویداد. خواص احتمال قضایای جمع و ضرب احتمالات. رویدادهای مستقل احتمال شرطی احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادها. فرمول احتمال کل فرمول بیز

اندازه گیری عددی درجه امکان عینی وقوع یک رویداد نامیده می شود احتمال یک رویداد این تعریف که به لحاظ کیفی مفهوم احتمال یک رویداد را منعکس می کند، ریاضی نیست. برای این که چنین شود، لازم است آن را به صورت کیفی تعریف کنیم.

مطابق با تعریف کلاسیک احتمال رویداد A برابر است با نسبت تعداد موارد مطلوب آن به تعداد کل موارد، یعنی:

جایی که P(A) احتمال رویداد A است.

تعداد موارد مساعد برای رویداد A

تعداد کل موارد

تعریف آماری احتمال:

احتمال آماری یک رویداد A فراوانی نسبی وقوع این رویداد در تست های انجام شده است، یعنی:

احتمال آماری رویداد A کجاست؟

فرکانس (فرکانس) نسبی رویداد A.

تعداد آزمایشاتی که رویدادهای A در آنها ظاهر شد

تعداد کل آزمایشات

بر خلاف احتمال "ریاضی" که در تعریف کلاسیک در نظر گرفته شده است، احتمال آماری مشخصه یک آزمایشی و تجربی است.

اگر نسبتی از پرونده‌ها وجود داشته باشد که به نفع رویداد A باشد، که مستقیماً بدون هیچ آزمایشی مشخص می‌شود، یعنی نسبت آن آزمایش‌هایی که واقعاً انجام شده‌اند که در آن رویداد A ظاهر شده است.

تعریف هندسی احتمال:

احتمال هندسی یک رویداد A نسبت اندازه مساحت مساعد وقوع رویداد A به اندازه همه مناطق است، یعنی:

در حالت تک بعدی:

تخمین زدن احتمال برخورد با یک نقطه روی سی دی ضروری است/

معلوم می شود که این احتمال به محل CD در قطعه AB بستگی ندارد، بلکه فقط به طول آن بستگی دارد.

احتمال برخورد به یک نقطه به اشکال یا محل B روی A بستگی ندارد، بلکه فقط به مساحت این بخش بستگی دارد.

احتمال شرطی

احتمال نامیده می شود مشروط ، اگر تحت شرایط خاصی محاسبه شود و نشان داده شود:

این احتمال رویداد A است. در شرایطی محاسبه می شود که رویداد B قبلاً اتفاق افتاده باشد.

مثال. ما یک آزمایش انجام می دهیم، دو کارت را از عرشه استخراج می کنیم: احتمال اول بدون قید و شرط است.

ما احتمال کشیدن یک آس از عرشه را محاسبه می کنیم:

ما وقوع 2 آس را از روی عرشه محاسبه می کنیم:

A*B - وقوع مشترک حوادث

– قضیه ضرب احتمال

نتیجه:

قضیه ضرب برای وقوع مشترک رویدادها به شکل زیر است:

یعنی هر احتمال بعدی با در نظر گرفتن اینکه همه شرایط قبلی قبلاً رخ داده است محاسبه می شود.

رویداد استقلال:

دو رویداد مستقل نامیده می شوند که وقوع یکی با وقوع دیگری منافات نداشته باشد.

به عنوان مثال، اگر آس ها به طور مکرر از عرشه کشیده شوند، آنها مستقل از یکدیگر هستند. دوباره، یعنی کارت نگاه شد و به عرشه برگشت.

رویدادهای مشترک و غیر مشترک:

مفصل 2 رویداد در صورتی نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها با وقوع دیگری منافات نداشته باشد.

قضیه جمع احتمالات رویدادهای مشترک:

احتمال وقوع یکی از دو رویداد مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون وقوع مشترک آنها.

برای سه رویداد مشترک:

رویدادها در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که هیچ دو تا از آنها نتوانند به طور همزمان در نتیجه یک آزمایش واحد از یک آزمایش تصادفی ظاهر شوند.

قضیه:احتمال وقوع یکی از دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها.

احتمال مجموع رویدادها:

قضیه جمع احتمال:

احتمال مجموع تعداد محدودی از رویدادهای ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:

نتیجه 1:

مجموع احتمالات رخدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با یک است:

نتیجه 2:

اظهار نظر:لازم به ذکر است که قضیه جمع در نظر گرفته شده فقط برای رویدادهای ناسازگار قابل استفاده است.

احتمال وقوع حوادث متضاد:

در مقابلدو رویداد ممکن منحصر به فرد که یک گروه کامل را تشکیل می دهند نامیده می شوند. یکی از دو رویداد متضاد با نشان داده می شود ولی، دیگری - از طریق .

مثال: اصابت و مفقود شدن هنگام شلیک به یک هدف، رویدادهای متضادی هستند. اگر A یک ضربه است، پس از دست دادن.

قضیه:مجموع احتمالات رویدادهای متضاد برابر با یک است:

یادداشت 1:اگر احتمال یکی از دو رویداد متضاد با p نشان داده شود، احتمال رویداد دیگر با q نشان داده می شود، بنابراین، به موجب قضیه قبلی:

تبصره 2:هنگام حل مسائل برای یافتن احتمال یک رویداد A، اغلب سودمند است که ابتدا احتمال رویداد را محاسبه کنید و سپس با استفاده از فرمول احتمال مورد نظر را پیدا کنید:

احتمال وقوع حداقل یک رویداد:

اجازه دهید فرض کنیم که در نتیجه یک آزمایش، ممکن است بخشی یا هیچ رویدادی ظاهر شود.

قضیه:احتمال وقوع حداقل یک رویداد از مجموعه ای از رویدادهای مستقل برابر است با تفاوت بین وحدت و احتمال عدم وقوع آنها.

فرمول احتمال کل به شما امکان می دهد تا احتمال یک رویداد را پیدا کنید آ، که فقط با هر یک از آنها می تواند رخ دهد nرویدادهای متقابل انحصاری که در صورت مشخص بودن احتمالات آنها یک سیستم کامل را تشکیل می دهند و احتمالات مشروط تحولات آبا توجه به هر یک از رویدادهای سیستم برابر با .

وقایع را فرضیه نیز می نامند، آنها متقابلاً انحصاری هستند. بنابراین ، در ادبیات می توانید نام آنها را نه با حرف بیابید ب، اما با یک نامه اچ(فرضیه).

برای حل مشکلات با چنین شرایطی باید 3، 4، 5 یا در حالت کلی را در نظر گرفت nامکان وقوع یک رویداد آ- با هر رویداد

با استفاده از قضایای جمع و ضرب احتمالات، مجموع حاصل ضرب احتمال هر یک از رویدادهای سیستم را به دست می آوریم. احتمال شرطی تحولات آبرای هر رویداد در سیستم یعنی احتمال یک اتفاق آبا فرمول قابل محاسبه است

یا به طور کلی

,

که نامیده می شود فرمول احتمال کل .

فرمول احتمال کل: نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1سه کوزه با ظاهر یکسان وجود دارد: در اولی 2 توپ سفید و 3 توپ سیاه وجود دارد، در دومی - 4 گلوله سفید و یکی سیاه و در سومی - سه توپ سفید. شخصی به طور تصادفی به یکی از کوزه ها نزدیک می شود و یک توپ را از آن بیرون می آورد. استفاده از فرصت فرمول احتمال کل، احتمال سفید بودن توپ را پیدا کنید.

راه حل. رویداد آ- ظاهر یک توپ سفید. ما سه فرضیه را مطرح می کنیم:

اولین کوزه انتخاب شد.

کوزه دوم انتخاب شده است.

کوزه سوم انتخاب شده است.

احتمالات رویداد مشروط آبرای هر یک از فرضیه ها:

, , .

ما فرمول احتمال کل را اعمال می کنیم، در نتیجه - احتمال لازم:

.

مثال 2در کارخانه اول از هر 100 لامپ به طور متوسط ​​90 لامپ استاندارد تولید می شود، در کارخانه دوم - 95، در سوم - 85 لامپ و محصولات این کارخانه ها 50٪، 30٪ و 20٪ را تشکیل می دهند. به ترتیب، از تمام لامپ های عرضه شده به فروشگاه ها در یک منطقه خاص. احتمال خرید یک لامپ استاندارد را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید احتمال به دست آوردن یک لامپ استاندارد را به عنوان نشان دهیم آو اتفاقاتی که لامپ خریداری شده به ترتیب در کارخانه های اول، دوم و سوم ساخته شده است. با شرط، احتمالات این رویدادها مشخص است: , و احتمالات شرطی رویداد آدر مورد هر یک از آنها: , , . اینها احتمالات دستیابی به یک لامپ استاندارد است، مشروط بر اینکه به ترتیب در کارخانه های اول، دوم و سوم ساخته شود.

رویداد آرخ خواهد داد اگر رویدادی رخ دهد یا ک- لامپ در کارخانه اول ساخته شده و استاندارد یا یک رویداد است L- لامپ در کارخانه دوم ساخته شده و استاندارد یا یک رویداد است م- لامپ در کارخانه سوم ساخته شده و استاندارد است. سایر احتمالات برای وقوع رویداد آنه بنابراین، رویداد آمجموع وقایع است ک, Lو مکه ناسازگار هستند با استفاده از قضیه جمع احتمال، احتمال یک رویداد را نشان می دهیم آمانند

و با قضیه ضرب احتمال بدست می آوریم

به این معنا که، یک مورد خاص از فرمول احتمال کل.

با جایگزینی احتمالات در سمت چپ فرمول، احتمال رویداد را بدست می آوریم آ :

مثال 3هواپیما در حال فرود در فرودگاه است. اگر آب و هوا اجازه دهد، خلبان هواپیما را فرود می آورد و علاوه بر ابزار، از مشاهده بصری نیز استفاده می کند. در این حالت، احتمال فرود موفقیت آمیز است. اگر فرودگاه ابری با ابرهای کم باشد، خلبان هواپیما را فرود می‌آورد و فقط روی ابزار جهت گیری می‌کند. در این مورد، احتمال فرود موفقیت آمیز است. . دستگاه هایی که فرود کور را فراهم می کنند دارای قابلیت اطمینان هستند (احتمال عملکرد بدون خرابی) پ. در صورت وجود ابر کم و ابزار فرود کور ناموفق، احتمال فرود موفقیت آمیز است. . آمار نشان می دهد که در ک٪ از فرودها، فرودگاه با ابرهای کم پوشیده شده است. پیدا کردن احتمال کامل رویداد آ- فرود ایمن هواپیما

راه حل. فرضیه ها:

هیچ پوشش ابری کم وجود ندارد.

پوشش ابر کم وجود دارد.

احتمالات این فرضیه ها (رویدادها):

;

احتمال شرطی

احتمال شرطی دوباره با فرمول احتمال کل با فرضیه ها پیدا می شود

دستگاه های فرود کور کار می کنند.

ابزار فرود کور شکست خورد.

احتمالات این فرضیه ها عبارتند از:

با توجه به فرمول احتمال کل

مثال 4دستگاه می تواند در دو حالت عادی و غیر عادی کار کند. حالت عادی در 80٪ از تمام موارد عملکرد دستگاه مشاهده می شود، و غیر طبیعی - در 20٪ موارد. احتمال خرابی دستگاه در زمان معین تیبرابر با 0.1؛ در غیر طبیعی 0.7. پیدا کردن احتمال کاملخرابی دستگاه به موقع تی.

راه حل. ما مجدداً احتمال خرابی دستگاه را به عنوان نشان می دهیم آ. بنابراین، در مورد عملکرد دستگاه در هر حالت (رویدادها)، احتمالات با شرط مشخص می شود: برای حالت عادی 80٪ () برای حالت غیر طبیعی - 20٪ (). احتمال رویداد آ(یعنی خرابی دستگاه) بسته به اولین رویداد (حالت عادی) 0.1 () است. بسته به رویداد دوم (حالت غیر طبیعی) - 0.7 ( ). ما این مقادیر را با فرمول احتمال کل (یعنی مجموع حاصلضرب احتمال هر یک از رویدادهای سیستم و احتمال شرطی رویداد) جایگزین می کنیم. آدر مورد هر یک از رویدادهای سیستم) و نتیجه لازم را داریم.