منطق سرگرم کننده در ریاضیات. سوالات منطقی سرگرم کننده منطق ریاضی

1. یادداشت توضیحی
1.1 ارتباط
1.2 هدف برنامه
1.3 اهداف برنامه
1.4 شرایط اجرای برنامه، سن کودکان، اشکال برگزاری کلاس ها
1.5 مراحل اجرای برنامه
1.6 محتوای برنامه
1.7 نتایج مورد انتظار

2. پشتیبانی روش شناختی
2.1 طرح منظری - موضوعی دایره " منطق سرگرم کننده»

3. برنامه تشخیصی برای تفکر منطقی کودکان پیش دبستانی بزرگتر.

5. منابع اطلاعاتی

1. یادداشت توضیحی.
چرا منطق برای یک پیش دبستانی کوچک؟
به گفته L.A. Wenger، «برای کودکان پنج ساله، ویژگی های بیرونی اشیا به تنهایی کافی نیست. آنها کاملاً آماده هستند تا به تدریج نه تنها با خصوصیات و روابط پنهانی بیرونی، بلکه درونی و پنهانی که زیربنای دانش علمی در مورد جهان است آشنا شوند ... همه اینها مفید خواهد بود. رشد ذهنیکودک فقط در صورتی که هدف آموزش توسعه توانایی های ذهنی باشد، آن توانایی ها در زمینه ادراک، تفکر تخیلی، تخیل که مبتنی بر جذب نمونه هایی از ویژگی های خارجی اشیا و انواع آنها باشد ... "
مهارت های به دست آمده توسط کودک در دوره پیش دبستانی به عنوان پایه ای برای کسب دانش و رشد توانایی ها در سنین بالاتر - در مدرسه عمل می کند. و مهم ترین در میان این مهارت ها، مهارت تفکر منطقی، توانایی «عمل در ذهن» است. حل مسائل برای کودکی که به روش های تفکر منطقی تسلط ندارد دشوارتر خواهد بود؛ انجام تمرینات مستلزم زمان و تلاش زیادی است. در نتیجه، سلامت کودک ممکن است آسیب ببیند، علاقه به یادگیری ممکن است ضعیف شود یا حتی محو شود.
با تسلط بر عملیات منطقی، کودک توجه بیشتری خواهد داشت، یاد می گیرد که واضح و روشن فکر کند و می تواند در زمان مناسب بر اصل مسئله تمرکز کند. یادگیری آسان تر خواهد شد، به این معنی که فرآیند یادگیری، و خودش دوران مدرسهشادی و رضایت را به همراه خواهد داشت.
این برنامه نشان می دهد که چگونه از طریق بازی ها و تمرین های خاص می توان توانایی کودکان را برای ایجاد مستقل روابط منطقی در واقعیت اطراف شکل داد.
با کار با کودکان پیش دبستانی بر روی رشد فرآیندهای شناختی، به این نتیجه می رسید که یکی از شرایط لازم برای رشد و یادگیری موفق آنها، سازگاری است، یعنی. سیستمی از بازی‌ها و تمرین‌های ویژه با محتوای پیچیده‌تر و پیوسته در حال توسعه، با وظایف آموزشی، اقدامات بازیو قوانین بازی ها و تمرین های جداگانه می تواند بسیار جالب باشد، اما با استفاده از آنها در خارج از سیستم نمی توان به نتیجه یادگیری و رشد مطلوب دست یافت.
1.1 ارتباط
برای توسعه موفقیت آمیز برنامه درسی مدرسه، کودک نه تنها نیاز به دانستن چیزهای زیادی دارد، بلکه باید به طور مداوم و قطعی فکر کند، حدس بزند، تنش ذهنی نشان دهد، منطقی فکر کند.
آموزش پرورش تفکر منطقی برای دانش آموز آینده اهمیت کمی ندارد و امروزه بسیار مهم است.
با تسلط بر هر روش حفظی، کودک یاد می گیرد که هدفی را مشخص کند و برای رسیدن به آن کار خاصی را با مواد انجام دهد. او شروع به درک نیاز به تکرار، مقایسه، تعمیم، گروه بندی مطالب به منظور حفظ کردن می کند.
آموزش طبقه‌بندی به کودکان به تسلط موفقیت‌آمیز بر روش پیچیده‌تر به خاطر سپردن کمک می‌کند - گروه‌بندی معنایی که کودکان در مدرسه با آن مواجه می‌شوند.
با استفاده از فرصت های رشد تفکر منطقی و حافظه پیش دبستانی می توان کودکان را برای حل مشکلاتی که آموزش مدرسه پیش روی ما قرار می دهد با موفقیت بیشتری آماده کرد.
توسعه تفکر منطقی شامل استفاده از بازی های آموزشی، نبوغ، معماها، حل انواع مختلف است. بازی های منطقیو هزارتوها و مورد توجه کودکان است. در این فعالیت، ویژگی های شخصیتی مهمی در کودکان شکل می گیرد: استقلال، تدبیر، نبوغ، پشتکار و مهارت های سازنده رشد می کند. کودکان یاد می گیرند که اقدامات خود را برنامه ریزی کنند، در مورد آنها فکر کنند، در جستجوی نتیجه حدس بزنند، در حالی که خلاقیت نشان می دهند.
هنگام کار با کودکان، می توانید متوجه شوید که بسیاری از کودکان با کارهای منطقی به ظاهر ساده کنار نمی آیند. به عنوان مثال، بیشتر کودکان در سنین پیش دبستانی بزرگتر نمی توانند به درستی به این سوال پاسخ دهند که چه چیزی بیشتر است: میوه یا سیب، حتی اگر تصویری در دستان خود داشته باشند که روی آن میوه ها کشیده شده است - بسیاری از سیب ها و چندین گلابی. بچه ها پاسخ خواهند داد که گلابی بیشتر است. در چنین مواردی، او پاسخ های خود را بر اساس آنچه با چشمان خود می بیند، قرار می دهد. آنها با تفکر تخیلی "ناامید" می شوند و در سن 5 سالگی کودکان هنوز استدلال منطقی ندارند. در ارشد سن پیش دبستانیآنها شروع به نشان دادن عناصر تفکر منطقی، مشخصه دانش آموزان و بزرگسالان می کنند، که باید در شناسایی بهینه ترین روش ها برای توسعه تفکر منطقی توسعه یابد.
بازی های محتوای منطقی به پرورش علاقه شناختی در کودکان کمک می کند، به تحقیق و جستجوی خلاقانه، تمایل و توانایی یادگیری کمک می کند. بازی های آموزشی یکی از طبیعی ترین فعالیت های کودکان است و به شکل گیری و رشد تجلیات فکری و خلاقیت، ابراز وجود و استقلال کمک می کند. رشد تفکر منطقی در کودکان از طریق بازی های آموزشیبرای موفقیت تحصیلات بعدی، برای شکل گیری صحیح شخصیت دانش آموز و در آموزش بیشتر به تسلط موفقیت آمیز بر مبانی ریاضیات و علوم کامپیوتر کمک می کند.
1.2 هدف برنامه:ایجاد شرایط برای حداکثر توسعه تفکر منطقی پیش دبستانی در آمادگی برای تحصیل موفق.
1.3 اهداف برنامه:

• عملیات منطقی پایه را به کودکان آموزش دهید: تجزیه و تحلیل، ترکیب، مقایسه، نفی، طبقه بندی، سیستم سازی، محدودیت، تعمیم، استنتاج
• به کودکان بیاموزید که در فضا حرکت کنند
• در کودکان کارکردهای ذهنی بالاتر، توانایی استدلال، اثبات ایجاد می شود
• برای پرورش میل برای غلبه بر مشکلات، اعتماد به نفس، تمایل به کمک به همسالان

1.4 شرایط اجرای برنامه، سن کودکان، اشکال برگزاری کلاس ها
شرایط اجرای برنامه - 1-2 سال
این برنامه برای کودکان 5-7 ساله طراحی شده است.
این برنامه برگزاری کلاس های دایره ای را به اشکال مختلف فراهم می کند:

• شخصی کار مستقلفرزندان.
• دوتایی کار کنید.
• اشکال کار گروهی
• متمایز شده است.
• بررسی و کنترل از جلو.
• خود ارزیابی کار انجام شده.
• بازی آموزشی.
• رقابت.
• مسابقات.

1.5 مراحل اجرای برنامه
فن آوری فعالیت در مراحل ساخته شده است:

1. تشخیص سطح اولیه توسعه فرآیندهای شناختی و کنترل بر رشد آنها.
2. برنامه ریزی وسایلی که به وسیله آن می توان یک یا آن کیفیت را توسعه داد (توجه، حافظه، تخیل، تفکر)، با در نظر گرفتن فردیت هر کودک و دانش موجود.
3. ایجاد یک پایه بین رشته ای (یکپارچه) برای آموزش در یک دوره در حال توسعه.
4. پیچیدگی تدریجی مواد، افزایش تدریجی میزان کار، افزایش سطح استقلال کودکان.
5. آشنایی با عناصر تئوری، روش های تدریس استدلال، خود استدلالی انتخاب.
6. ادغام دانش و روش فعالیت شناختی، تسلط بر تکنیک های تعمیم یافته آن.
7. ارزیابی نتایج دوره رشد با توجه به معیارهای تدوین شده که باید شامل کودک (عزت نفس، خودکنترلی، کنترل متقابل) باشد.

1. 6 محتوای برنامه
توضیح کوتاهبخش ها و موضوعات کلاس ها (بخش ها مربوط به عملیات منطقی خاصی است که کودکان در کلاس یاد می گیرند):

1. تجزیه و تحلیل - سنتز.
هدف این است که به کودکان بیاموزیم که کل را به قطعات تقسیم کنند و بین آنها ارتباط برقرار کنند. یاد بگیرید که به طور ذهنی اجزای یک شی را در یک کل واحد ترکیب کنید.
بازی و تمرین: پیدا کردن یک جفت منطقی (گربه - بچه گربه، سگ -؟ (توله سگ)). تکمیل تصویر (یک وصله بردارید، یک جیب به لباس بکشید). جستجو برای متضاد (سبک - سنگین، سرد - گرم). با پازل هایی با پیچیدگی های مختلف کار کنید. چیدمان تصاویر از چوب شمارش و اشکال هندسی.

2. مقایسه.
هدف آموزش ایجاد شباهت ها و تفاوت های اشیاء با توجه به ویژگی های اساسی است. توجه، درک کودکان را توسعه دهید. بهبود جهت گیری در فضا
بازی ها و تمرین ها: تلفیق مفاهیم: بزرگ - کوچک، بلند - کوتاه، کم - زیاد، باریک - گسترده، بالاتر - پایین تر، بیشتر - نزدیکتر و غیره. عملکرد با مفاهیم "همان"، "بیشترین". شباهت ها و تفاوت ها را در 2 تصویر مشابه جستجو کنید.

3. محدودیت.
هدف آموزش جدا کردن یک یا چند شی از یک گروه با توجه به ویژگی های خاص است. مهارت های مشاهده را در کودکان توسعه دهید.
بازی ها و تمرین ها: "فقط پرچم های قرمز را با یک خط دایره کنید"، "همه اشیاء غیر دایره ای را پیدا کنید" و غیره. حذف چهارمین زائد.

4. تعمیم.
هدف آموزش ترکیب ذهنی اشیا در یک گروه با توجه به ویژگی های آنها است. کمک به غنی سازی واژگان، گسترش دانش روزمره کودکان.
بازی‌ها و تمرین‌هایی برای عملکرد با مفاهیم تعمیم‌دهنده: مبلمان، ظروف، حمل‌ونقل، سبزیجات، میوه‌ها و غیره.

5. سیستم سازی.
هدف آموزش شناسایی الگوها است. گسترش دایره لغات کودکان؛ یاد بگیرید که از روی عکس بگویید، بازگو کنید.
بازی ها و تمرین ها: مربع های جادویی (بخش گم شده، تصویر را بردارید). ترسیم داستان بر اساس یک سری عکس، چیدمان تصاویر در یک توالی منطقی.

6. طبقه بندی.
هدف آموزش توزیع اشیاء به گروه ها بر اساس ویژگی های اساسی آنهاست. ادغام مفاهیم تعمیم دهنده، عملیات آزاد با آنها.

7. استنباط.
هدف آموزش با کمک قضاوت برای نتیجه گیری است. کمک به گسترش دانش خانواده کودکان. تخیل را توسعه دهید.
بازی‌ها و تمرین‌ها: جستجوی مثبت و منفی در پدیده‌ها (مثلاً وقتی باران می‌بارد، گیاهان را تغذیه می‌کند - این خوب است، اما بدی آن این است که در باران ممکن است انسان خیس شود، سرما بخورد و بیمار شود) . ارزیابی صحت قضاوت های خاص ("باد می وزد زیرا درختان تاب می خوردند." درست است؟). راه حل وظایف منطقی.

1.7 نتایج مورد انتظار
نتایج برنامه ریزی شده:
کودکان باید بدانند:

• اصول ساختن الگوها، خواص اعداد، اشیاء، پدیده ها، کلمات؛
• اصول ساختار پازل ها، جدول کلمات متقاطع، کلمات زنجیره ای، هزارتوها؛
• متضاد و مترادف؛
• نام اشکال هندسی و خواص آنها.
• اصل برنامه نویسی و ترسیم الگوریتم اقدامات.

کودکان باید بتوانند:

• تعیین الگوها و انجام یک کار بر اساس این الگو، طبقه بندی و گروه بندی اشیاء، مقایسه، یافتن ویژگی های مشترک و خاص، تعمیم و انتزاع، تجزیه و تحلیل و ارزیابی فعالیت های آنها.
• از طریق استدلال، حل مسائل منطقی، غیر استاندارد، انجام جستجوی خلاقانه، وظایف کلامی-آموزشی، عددی، یافتن پاسخ معماهای ریاضی.
• در حین گرم کردن به سوالات مطرح شده سریع و صحیح پاسخ دهید.
• انجام وظایف برای آموزش توجه، ادراک، حافظه
• انجام دیکته های گرافیکی، قادر به حرکت در یک نمایش شماتیک از وظایف گرافیکی.
• بتوانید هدفی تعیین کنید، مراحل کار را برنامه ریزی کنید، با تلاش خود به نتیجه برسید.

روشی برای بررسی نتایج کار : تعمیم کلاس ها بعد از هر بخش و 2 تشخیص (ابتدایی (شهریور) و نهایی (مه)) سطح تسلط بر عملیات تفکر منطقی.

گفته‌های شرلوک هلمز: «چند بار به شما گفته‌ام، هر چیز غیرممکنی را رها کنید، آن‌گاه آنچه باقی می‌ماند، پاسخ خواهد بود، مهم نیست که چقدر باورنکردنی به نظر می‌رسد» می‌تواند به عنوان خلاصه‌ای برای این فصل باشد.

اگر حل یک معما فقط به توانایی تفکر منطقی نیاز دارد و اصلاً نیازی به انجام محاسبات حسابی ندارد، معمولاً چنین معما را یک مسئله منطقی می نامند. البته مسائل منطقی از جمله مسائل ریاضی هستند، زیرا منطق را می توان ریاضیات بسیار کلی و اساسی در نظر گرفت. با این وجود، جدا کردن و مطالعه پازل های منطقی به طور جداگانه از خواهران محاسباتی آنها راحت است. در این فصل، سه نوع رایج از مشکلات منطقی را تشریح می کنیم و سعی می کنیم نحوه برخورد با آنها را بیابیم.

رایج ترین نوع مشکلی که دوستداران پازل گاهی اوقات آن را «مسئله اسمیت-جونز-رابینسون» می نامند (به قیاس با معمای قدیمی اختراع شده توسط G. Dudeni).

این شامل یک سری بسته است که معمولاً اطلاعات خاصی را در مورد شخصیت ها گزارش می دهد. بر اساس این مفروضات، باید نتایج خاصی گرفت. برای مثال، در اینجا آخرین نسخه آمریکایی مشکل Dudeney به نظر می رسد:

1. اسمیت، جونز و رابینسون در یک خدمه قطار به عنوان راننده، راهبر و آتش نشان کار می کنند. حرفه آنها لزوماً به ترتیب نام خانوادگی آنها نامگذاری نمی شود. در قطاری که تیپ سرویس دهی می کند، سه مسافر با نام خانوادگی مشابه هستند.

در آینده با احترام به هر مسافری «آقا» می گوییم.

2. آقای رابینسون در لس آنجلس زندگی می کند.

3. رهبر ارکستر در اوماها زندگی می کند.

4. آقای جونز مدتهاست که تمام جبری را که در کالج به او آموزش داده بودند فراموش کرده است.

5. مسافر - همنام رهبر ارکستر در شیکاگو زندگی می کند.

6. هادی و یکی از مسافران، متخصص مشهور فیزیک ریاضی، به یک کلیسا می روند.

7. اسمیت همیشه وقتی استوکر را برای یک بازی بیلیارد ملاقات می کنند، می زند.

اسم راننده چیه؟

این مسائل را می‌توان با استفاده از نمادهای استاندارد آن به زبان منطق ریاضی ترجمه کرد و با استفاده از روش‌های مناسب به دنبال راه‌حل بود، اما چنین رویکردی بیش از حد دست و پا گیر خواهد بود. از سوی دیگر، بدون اختصارات یک نوع یا دیگری، درک ساختار منطقی مسئله دشوار است. راحت ترین استفاده از جدولی است که در سلول های خالی آن همه ترکیب های ممکن از عناصر مجموعه های مورد بررسی را وارد می کنیم. در مورد ما، دو مجموعه از این دست وجود دارد، بنابراین به دو جدول نیاز داریم (شکل 139).

برنج. 139 دو جدول برای مسئله اسمیت، جونز و رابینسون.

در هر سلول اگر ترکیب مربوطه قابل قبول باشد 1 یا اگر ترکیب با شرایط مشکل در تضاد باشد 0 وارد می کنیم. بیایید ببینیم چگونه انجام می شود. شرط 7 بدیهی است که احتمال استوکر بودن اسمیت را رد می کند، بنابراین در کادر گوشه سمت راست بالای میز سمت چپ عدد 0 را وارد می کنیم. شرط 2 به ما می گوید که رابینسون در لس آنجلس زندگی می کند، بنابراین در گوشه سمت چپ پایین جدول ما برای نشان دادن اینکه آقای رابینسون در اوماها یا شیکاگو زندگی نمی کنند و آقای اسمیت و آقای جونز در لس آنجلس زندگی نمی کنند، 1 و 0 را در تمام سلول های دیگر در ردیف پایین و ستون سمت چپ وارد کنید.

حالا باید کمی فکر کنیم. از شرایط 3 و 6 می دانیم که فیزیکدان ریاضی در اوماها زندگی می کند، اما نام خانوادگی او را نمی دانیم. او نمی تواند نه آقای رابینسون باشد و نه آقای جونز (بالاخره، او حتی جبر ابتدایی را هم فراموش کرده است).

بنابراین، باید آقای اسمیت باشد. این شرایط را با قرار دادن 1 در سلول میانی ردیف بالای جدول سمت راست و 0 در سلول های باقی مانده از همان ردیف و سلول های خالی در ستون وسط یادداشت می کنیم. واحد سوم اکنون فقط در یک سلول قابل ورود است: این ثابت می کند که آقای جونز در شیکاگو زندگی می کند. از شرط 5 متوجه می شویم که هادی نام خانوادگی جونز را نیز دارد و در سلول مرکزی جدول سمت چپ عدد 1 و در سایر سلول های ردیف وسط و ستون وسط عدد 0 را وارد می کنیم. پس از آن، جداول ما به شکل نشان داده شده در شکل. 140.

برنج. 140جدول تخم مرغ نشان داده شده در شکل 139، پس از پر کردن.

اکنون ادامه استدلال منجر به پاسخ نهایی دشوار نیست. در ستون با عنوان "Stoker"، یک واحد فقط می تواند در سلول پایین قرار گیرد. بلافاصله از این نتیجه می شود که 0 باید در گوشه پایین سمت چپ باشد.فقط سلول در گوشه سمت چپ بالای جدول خالی می ماند که فقط 1 را می توان در آن قرار داد.پس نام درایور اسمیت است.

لوئیس کارول دوست داشت مسائل بسیار پیچیده و مبتکرانه ای از این نوع اختراع کند. جان جی. کیمنی، رئیس ریاضیات کالج دورتموث، یکی از مشکلات هیولایی (با 13 متغیر و 12 شرط، که از آن نتیجه می‌شود که «هیچ قاضی تنباکو را بو نمی‌کشد») کارول را برای رایانه IBM-704 برنامه‌ریزی کرد. دستگاه راه حل را در حدود 4 دقیقه تکمیل کرد، اگرچه چاپ "جدول حقیقت" کامل مشکل (جدولی که نشان می دهد آیا ترکیبات احتمالی مقادیر صدق متغیرهای مشکل درست یا نادرست هستند) 13 ساعت طول می کشید!

برای خوانندگانی که می خواهند شانس خود را با مشکلی دشوارتر از مسئله اسمیت-جونز-رابینسون امتحان کنند، ما یک پازل جدید ارائه می دهیم. نویسنده آن R. Smullyan از دانشگاه پرینستون است.

1. در سال 1918، اولین جنگ جهانی. در روز امضای پیمان صلح، سه زوج متاهل گرد هم آمدند تا این رویداد را بر سر میز جشن جشن بگیرند.

2. هر شوهر برادر یکی از همسران بود و هر زن خواهر یکی از شوهران بود، یعنی از میان حاضران، سه جفت «برادر و خواهر» به هم مرتبط می‌شد.

3. هلن دقیقا 26 هفته از شوهرش که در ماه آگوست به دنیا آمده بزرگتر است.

4. خواهر آقای وایت با برادر شوهر الن ازدواج کرده و در روز تولدش در ژانویه با او ازدواج کرده است.

5. مارگارت وایت از ویلیام بلیک کوتاهتر است.

6. خواهر آرتور از بئاتریس زیباتر است.

7. جان 50 ساله است.

نام خانم براون چیست؟

کمتر رایج نیست انواع دیگری از مشکلات منطقی است که با قیاس با مثال معروف زیر می توان آنها را مشکلاتی از نوع "مشکل کلاه های رنگی" نامید. سه نفر (به آنها زنگ بزنیم الف، بو از جانب) چشمان خود را ببندید و بگویید که هر کدام از آنها یک کلاه قرمز یا سبز پوشیده بودند. سپس چشمان آنها را باز می کنند و از آنها می خواهند که در صورت مشاهده کلاه قرمز دست خود را بالا ببرند و اگر مطمئن هستند که کلاه روی سرشان چه رنگی است از اتاق خارج شوند. هر سه کلاه قرمز بود، بنابراین هر سه دست خود را بالا بردند. چند دقیقه گذشت و از جانب، که باهوش تر از ولیو AT، از اتاق خارج شد. چگونه از جانبآیا می توانید تشخیص دهید که کلاه روی آن چه رنگی است؟

[مسئله خردمندان با کلاه سبز در متن به گونه ای تنظیم شده است که راه حلی برای آن وجود ندارد. این امر به ویژه زمانی آشکار می شود که تعداد خردمندان زیاد باشد. چه مدت طول می کشد تا اولین مرد عاقل وضعیت واقعی را حدس بزند؟

در پایان دهه چهل این مسئله به طور فشرده در مسکو در محافل ریاضی مدرسه مورد بحث قرار گرفت و نسخه جدیدی از آن اختراع شد که در آن زمان گسسته معرفی شد. کار به این شکل بود.

در زمان های قدیم، خردمندان در یک شهر زندگی می کردند. هر کدام یک همسر داشتند. صبح ها به بازار آمدند و از همه شایعات شهر در آنجا مطلع شدند. آنها خودشان شایعه ساز بودند. دانستن خیانت هر یک از همسران برای آنها بسیار لذت بخش بود - آنها بلافاصله متوجه این موضوع شدند. با این حال، یک قانون ناگفته به شدت رعایت شد: هرگز چیزی در مورد همسرش به شوهر گزارش نشد، زیرا هر یک از آنها با آگاهی از شرمندگی خود، همسرش را از خانه بیرون می کردند. بنابراین آنها زندگی می کردند و از گفتگوهای صمیمی لذت می بردند و کاملاً از امور خود بی اطلاع بودند.

اما یک روز یک شایعه واقعی به شهر آمد. او به بازار آمد و علناً اعلام کرد: «اما همه عاقلان زنان مؤمن ندارند!» به نظر می رسد که شایعات چیز جدیدی نگفتند - و بنابراین همه آن را می دانستند، هر حکیمی آن را می دانست (فقط با بدخواهی او نه به خود، بلکه در مورد دیگری فکر می کرد)، بنابراین هیچ یک از ساکنان به سخنان شایعه توجه نکردند. . اما خردمندان فکر کردند - برای همین عاقل هستند - و n- روز بعد از آمدن شایعه، مرد عاقل اخراج شدند و زن خیانتکار (اگر وجود داشت) n).

بازگرداندن استدلال حکیمان کار دشواری نیست. پاسخ به این سؤال دشوارتر است: غیبت کننده چه اطلاعاتی را به آنچه که حکیمان حتی بدون او می دانستند اضافه کرد؟

این مشکل بارها در ادبیات با آن مواجه شده است].

ج از خودش می پرسد که آیا کلاهش می تواند سبز باشد؟ اگر اینطور بود پس ولیبلافاصله متوجه می‌شود که او کلاه قرمزی به سر دارد، زیرا فقط یک کلاه قرمز روی سرش می‌تواند ایجاد کند ATدستی را بلند کن اما بعد ولیاتاق را ترک می کرد ATدقیقاً به همین ترتیب شروع به استدلال می کرد و همچنین اتاق را ترک می کرد. از آنجایی که نه یکی و نه دیگری بیرون نیامدند، از جانببه این نتیجه رسید که کلاه خودش باید قرمز باشد.

این مشکل را می توان به مواردی تعمیم داد که افراد هر تعداد باشند و همه آنها کلاه قرمز به سر دارند. فرض کنید بازیگر چهارمی در این مشکل ظاهر شده است D، حتی روشنگرتر از سی دیمی تواند اینگونه دلیل کند: «اگر کلاه من سبز بود، پس الف، بو از جانبدقیقاً در همان موقعیتی قرار می‌گیرند که به تازگی توضیح داده شد، و در عرض چند دقیقه مطمئن‌ترین افراد سه نفره اتاق را ترک خواهند کرد.

اما پنج دقیقه گذشته است و هیچ کدام از آنها بیرون نمی آید، بنابراین، کلاه من قرمز است.

اگر عضو پنجمی وجود داشت که حتی باهوش‌تر از آن بود D، بعد از ده دقیقه انتظار می توانست به این نتیجه برسد که کلاه قرمزی بر سر دارد. البته، استدلال ما به دلیل فرضیاتی در مورد درجات مختلف نبوغ، قانع‌کننده بودن خود را از دست می‌دهد. الف، ب، ج... و ملاحظات نسبتاً مبهم در مورد اینکه فهیم ترین فرد چقدر باید منتظر بماند تا بتواند با اطمینان رنگ کلاه خود را نامگذاری کند.

برخی دیگر از مشکلات "کلاه رنگ" دارای عدم قطعیت کمتری هستند. برای مثال، مشکل زیر که توسط اسمولیان ابداع شده است. هر یک از این سه الف، بو از جانب- به منطق مسلط است، یعنی می داند چگونه فوراً تمام عواقب را از مجموعه ای از مقدمات استخراج کند و می داند که بقیه نیز این توانایی را دارند.

چهار مهر قرمز و چهار مهر سبز می گیریم، چشمان "منطقان" خود را می بندیم و روی پیشانی هر کدام دو مهر می چسبانیم. سپس بانداژها را از چشم آنها برمی داریم و به نوبه خود می پرسیم الف، بو از جانبهمان سوال: "آیا می دانید مهرهای روی پیشانی شما چه رنگی است؟" هر کدام از آنها پاسخ منفی می دهند. سپس دوباره می پرسیم ولیو باز هم جواب منفی می گیریم. اما وقتی برای بار دوم همین سوال را می پرسیم AT، او پاسخ مثبت می دهد.

علامت روی پیشانی چه رنگی است AT?

سومین نوع از پازل های منطقی رایج، مشکلاتی در مورد دروغگوها و کسانی است که همیشه حقیقت را می گویند. AT نسخه کلاسیکوظایف ما داریم صحبت می کنیمدرباره مسافری که خود را در کشوری می بیند که دو قبیله در آن زندگی می کنند. اعضای یک قبیله همیشه دروغ می گویند، اعضای قبیله دیگر همیشه راست می گویند. مسافر با دو بومی آشنا می شود. "آیا همیشه حقیقت را می گویی؟" از بومی بلندقد می پرسد. پاسخ می دهد: «ترابر». بومی کوچکتر که انگلیسی می داند توضیح می دهد: "او گفت بله، اما او یک دروغگوی وحشتناک است." هر یک از بومیان متعلق به کدام قبیله است؟

یک رویکرد سیستماتیک برای حل، نوشتن هر چهار احتمال است: AI، IL، LI، LL (من به معنای "درست"، L - "نادرست" است) - و حذف مواردی که با داده های مشکل در تضاد هستند. اگر ببینیم که فرد بومی بلند قد باید پاسخ مثبت بدهد که دروغ می گوید یا راست می تواند خیلی سریعتر به پاسخ برسد. از آنجایی که بومی کوچکتر حقیقت را گفته است، باید از قبیله راستگویان باشد و دوست بلندقدش - از قبیله دروغگویان.

معروف ترین مسئله از این نوع که با معرفی وزن های احتمال و فرمول نه چندان واضح پیچیده می شود، به طور کاملا غیر منتظره ای در میانه فصل ششم کتاب مسیرهای جدید در علم توسط ستاره شناس انگلیسی A. Eddington یافت می شود. "اگر یک الف، ب، جو Dحقیقت را یک بار از سه (به طور مستقل) بگویید و ولیکشورهایی که ATآن را رد می کند از جانبگویا می گوید Dدروغگو، احتمالش چقدر است Dحقیقت را گفت؟"

پاسخ ادینگتون، 25/71، با اعتراض خوانندگان مواجه شد و باعث اختلاف مضحک و گیج شد که هرگز سرانجام حل نشد. اخترشناس انگلیسی G. Dingle، نویسنده مروری بر کتاب ادینگتون که در مجله Nature (مارس 1935) منتشر شد، معتقد بود که این مشکل به هیچ وجه سزاوار توجه نیست و فقط نشان می دهد که ادینگتون به اندازه کافی در مورد ایده های اساسی فکر نکرده است. نظریه احتمال فیزیکدان آمریکایی تی استرن (Nature، ژوئن 1935) به این موضوع اعتراض کرد و اظهار داشت که به نظر او، مشکل به هیچ وجه بی معنی نیست، اما داده های کافی برای حل آن وجود ندارد.

در پاسخ، دینگل خاطرنشان کرد (Nature، سپتامبر 1935) که اگر دیدگاه استرن را در نظر بگیریم، داده های کافی برای تصمیم گیری وجود دارد و پاسخ 1/3 خواهد بود. در اینجا ادینگتون وارد معارضه شد و مقاله ای را منتشر کرد (روزنامه ریاضی، اکتبر 1935) که به تفصیل توضیح می داد که چگونه پاسخ خود را دریافت کرد. این اختلاف با دو مقاله دیگر که در همان مجله منتشر شد به پایان رسید، نویسنده یکی از آنها از ادینگتون دفاع کرد و دیگری دیدگاهی متفاوت از همه مقالات قبلی را مطرح کرد.

مشکل عمدتاً در درک فرمول ادینگتون نهفته است. اگر یک AT، با بیان انکار خود، حقیقت را بیان می کند، پس آیا می توانیم منطقی چنین فرض کنیم از جانبگفت که Dحقیقت را بگو؟ ادینگتون معتقد بود که دلایل کافی برای چنین فرضی وجود ندارد. به همین ترتیب، اگر ولیدروغ می گوید، آیا می توانیم مطمئن باشیم که ATو از جانباصلا چیزی گفتند؟ خوشبختانه، ما می‌توانیم با پیش‌فرض‌های زیر، تمام این مشکلات زبانی را دور بزنیم (ادینگتون آنها را مطرح نکرده است):

1. هیچ کدام از آن چهار نفر ساکت نماندند.

2. اظهارات الف، بو از جانب(هر کدام به طور جداگانه) عبارت زیر را تایید یا رد می کنند.

3. تصدیق باطل مصادف با نفی آن است و نفی باطل مصادف با ادعا.

هر چهار به طور مستقل از یکدیگر با احتمال 1/3 دروغ می گویند، یعنی به طور متوسط ​​هر دو مورد از سه گزاره آنها نادرست است. اگر یک عبارت درست با حرف مشخص شود و، و نادرست - نامه L، سپس برای الف، ب، جو Dجدولی متشکل از هشتاد و یک ترکیب مختلف دریافت می کنیم. از این تعداد، باید ترکیباتی را که به دلیل شرایط مشکل غیرممکن هستند، حذف کرد.

تعداد ترکیب‌های معتبر که با حرف ختم می‌شوند و(یعنی بیانیه صادق - درست - D) باید بر تعداد کل ترکیبات معتبر تقسیم شود که جواب را می دهد.

صورت مسئله در مورد یک مسافر و دو بومی باید روشن شود. مسافر متوجه شد که کلمه "بیهوده" در زبان بومیان به معنای "بله" یا "نه" است، اما او نتوانست حدس بزند دقیقاً چه چیزی است. این باعث می شد چندین ایمیل هشدار داده شود که یکی از آنها را در زیر بازتولید می کنم.

ظاهراً بومی بلند قد کلمه ای از آنچه مسافر به او گفت (به انگلیسی) را نمی فهمید و نمی توانست به انگلیسی بله یا خیر پاسخ دهد. بنابراین، «بیهوده» او به معنای چیزی است مانند: «نمی‌فهمم» یا «به Bongo-Bongo خوش آمدید». در نتیجه، بومی کوچولو وقتی گفت که دوستش جواب «بله» داد، دروغ گفت و از آنجایی که کوچولو دروغگو بود، وقتی قدبلند بومی را دروغگو خطاب کرد، دروغ گفت. بنابراین، یک بومی بلند قد را باید راستگو دانست.

بنابراین منطق زنانه ضربه ای به غرور مردانه ام زد. کمی به غرور نویسنده شما لطمه نمی زند؟

پاسخ ها

اولین مشکل منطقی با استفاده از سه جدول بهتر حل می شود: یکی برای ترکیب نام و نام خانوادگی همسران، دوم برای نام و نام خانوادگی شوهران، و سوم برای نام و نام خانوادگی همسران. ارتباط خانوادگی.

از آنجایی که نام خانم وایت مارگارت است (شرط 5)، تنها دو احتمال برای نام دو همسر دیگر باقی می‌ماند: الف) هلن بلیک و بئاتریس براون، یا ب) هلن براون و بئاتریس بلیک.

اجازه دهید فرض کنیم که دومی از احتمالات رخ دهد. خواهر وایت باید یا هلن باشد یا بئاتریس. اما بئاتریس نمی تواند خواهر واین باشد، زیرا در این صورت بلیک برادر هلن خواهد بود و دو برادر شوهر بلیک وایت (برادر همسرش) و براون (شوهر خواهرش) خواهند بود. بئاتریس بلیک با هیچکدام از آنها ازدواج نکرده است، که با شرط 4 تناقض دارد. بنابراین، خواهر وایت باید هلن باشد. از این به نوبه خود نتیجه می گیریم که خواهر براون بئاتریس نام دارد و خواهر بلیک مارگارت است.

از شرط 6 برمی آید که نام آقای وایت آرتور است (براون نمی تواند آرتور باشد، زیرا چنین ترکیبی به این معنی است که بئاتریس از خودش زیباتر است و بلیک نمی تواند آرتور باشد، زیرا از شرط 5 نام او را می دانیم: ویلیام). بنابراین، آقای براون فقط می تواند جان باشد. متأسفانه از شرط 7 می بینیم که جان در سال 1868 (50 سال قبل از امضای پیمان صلح) به دنیا آمد. اما سال 1868 یک سال کبیسه است، بنابراین هلن باید یک روز بیشتر از 26 هفته ذکر شده در شرط 3 از شوهرش بزرگتر باشد. در ماه آگوست، اگر تولد او در 31 ژانویه و او در 1 آگوست باشد، و اگر بین این تاریخ ها 29 فوریه وجود نداشته باشد، می تواند دقیقا 26 هفته از همسرش بزرگتر باشد!) بنابراین، دومین احتمال، که با آن شروع کردیم. باید دور انداخته شود، که به ما امکان می دهد نام همسران را نام ببریم: مارگارت وایت، هلن بلیک و بئاتریس براون. در اینجا هیچ تناقضی وجود ندارد، زیرا ما سال تولد بلیک را نمی دانیم. از شرایط مشکل می توان نتیجه گرفت که مارگارت خواهر براون، بئاتریس خواهر بلیک و هلن خواهر وایت است، اما سوال در مورد نام وایت و براون حل نشده باقی مانده است.

در مشکل با تمبر ATسه احتمال وجود دارد تمبرهای او می تواند: 1) هر دو قرمز; 2) هر دو سبز؛ 3) یکی سبز و دیگری قرمز است. بیایید فرض کنیم که هر دو تمبر قرمز هستند.

بعد از اینکه هر سه یک بار پاسخ دادند، ولیمی تواند اینگونه استدلال کند: «علامت های روی پیشانی من نمی توانند هر دو قرمز باشند (زیرا آن وقت از جانبچهار تمبر قرمز را می دید و بلافاصله تشخیص می داد که دو تمبر سبز روی پیشانی خود دارد و اگر از جانبپس هر دو تمبر سبز بودند ATبا دیدن چهار تمبر سبز متوجه می شد که دو مهر قرمز روی پیشانی خود دارد). به همین دلیل است که من یک علامت سبز و یک علامت قرمز روی پیشانی ام دارم.»

اما کی ولیبار دوم پرسید، او نمی دانست مارکش چه رنگی است. اجازه داد ATاحتمال قرمز بودن هر دو تمبر خودش را رد کنید. بحث کردن دقیقاً به همان روش الف، باین مورد را رد کرد که هر دو تمبر او سبز باشند. بنابراین، او تنها با یک احتمال باقی ماند: یک تمبر سبز است، دیگری قرمز.

تعدادی از خوانندگان به سرعت متوجه شدند که مشکل را می توان خیلی سریع و بدون نیاز به تجزیه و تحلیل پرسش و پاسخ حل کرد. یکی از خوانندگان در این مورد چنین نوشته است: «شرایط مشکل با توجه به علائم قرمز و سبز کاملاً متقارن است.

بنابراین، با توزیع تمبر بین الف، بو از جانباگر همه شرایط مشکل برآورده شود و علائم قرمز را با سبز و برعکس سبز با قرمز جایگزین کنیم، به توزیع متفاوتی خواهیم رسید که برای آن همه شرایط نیز برآورده می شود. نتیجه این است که اگر راه حل منحصر به فرد است، هنگام جایگزینی برچسب های سبز با برچسب های قرمز و برچسب های قرمز با برچسب های سبز باید ثابت باشد (نباید تغییر کند). چنین راه حلی فقط می تواند چنین توزیع تمبر باشد که در آن B یک تمبر سبز و یک تمبر قرمز داشته باشد.

همانطور که W. Manheimer، رئیس دپارتمان ریاضیات در کالج بروکلین بیان کرد، این راه حل زیبا از این واقعیت ناشی می شود که الف، بو از جانب(همانطور که در شرایط مشکل بیان شد)، و ریموند اسمولیان!

در مسئله ادینگتون، این احتمال وجود دارد که Dحقیقت را می گوید، 13/41 است. تمام ترکیب‌های درست و نادرست که حاوی تعداد فرد برابر نادرست (یا درست) هستند، باید به‌عنوان مغایر با شرایط مسئله کنار گذاشته شوند. در نتیجه، تعداد ترکیب‌های ممکن از 81 به 41 کاهش می‌یابد که تنها 13 مورد به یک عبارت واقعی ختم می‌شوند. D. از آنجا که الف، بو از جانبدر مواردی که دقیقاً با همان تعداد ترکیب معتبر مطابقت دارد، حقیقت را بگویید، احتمال گفتن حقیقت برای هر چهار مورد یکسان است.

با استفاده از نماد هم ارزی

به این معنی که گزاره های متصل به آن یا هر دو درست هستند یا هر دو نادرست (پس گزاره کاذب درست است، در غیر این صورت نادرست است) و نماد نفی ~، مسئله ادینگتون در حساب گزاره ای را می توان به صورت زیر نوشت:

یا بعد از چند ساده سازی مانند این:

جدول صدق این عبارت پاسخی را که قبلاً دریافت کرده اید تأیید می کند.

یادداشت:

این ناامید کننده است- ناراحت کردن، چیزی بیهوده ساختن، ناامیدکننده، محکوم به شکست (انگلیسی).

فصل مربوط به ریموند اسمولیان را در کتاب ببینید ام. گاردنر"سفر در زمان" (م.: میر، 1990).

ادینگتون A. مسیرهای جدید در علم - کمبریج: 1935; میشیگان: 1959.

مقدمه

منطق خدای متفکران است.

L. Fouchtwanger

توانایی استدلال صحیح در هر زمینه ای از فعالیت های انسانی ضروری است: علم و فناوری، عدالت و دیپلماسی، برنامه ریزی اقتصادی و امور نظامی. و این توانایی به زمان های قدیم، منطق، یعنی علمی که اشکال استدلال در آن صحیح است تنها کمی بیش از دو هزار سال پیش پدید آمد. در قرن ششم توسعه یافت. قبل از میلاد مسیح. در آثار ارسطو فیلسوف بزرگ یونان باستان، شاگردان و پیروان او.

در نقطه ای، ریاضیدانان این سوال را مطرح کردند: "در واقع، ریاضیات، فعالیت ریاضی چیست؟" پاسخ ساده این است که ریاضیدانان قضایا را اثبات می کنند، یعنی به حقایقی درباره آن پی می برند دنیای واقعیو "دنیای ایده آل ریاضی". تلاش برای پاسخ به این سوال که قضیه ریاضی چیست، حقیقت ریاضی چیست و یک گزاره ریاضی درست یا قابل اثبات چیست، این نیز شبکه نقطه شروع منطق ریاضی است. در مدرسه، ما باید یاد بگیریم که تحلیل کنیم، مقایسه کنیم، چیزهای اصلی را برجسته کنیم، تعمیم دهیم و سیستم کنیم، اثبات کنیم و رد کنیم، مفاهیم را تعریف کنیم و توضیح دهیم، مسائل را طرح کنیم و حل کنیم. تسلط بر این روش ها به معنای توانایی تفکر است. در علم، باید فرمول‌ها، الگوهای عددی، قواعد مختلف را استنباط کرد و قضایا را با استدلال اثبات کرد. به عنوان مثال، در سال 1781 سیاره اورانوس کشف شد. مشاهدات نشان داده است که حرکت این سیاره با حرکت محاسبه شده نظری متفاوت است. دانشمند فرانسوی Le Verrier (1811-1877) با استدلال منطقی و انجام محاسبات نسبتاً پیچیده، تأثیر سیاره دیگری را بر اورانوس تعیین کرد و مکان آن را نشان داد. در سال 1846 ستاره شناس گال وجود سیاره ای به نام نپتون را تایید کرد. در این کار از منطق استدلال و محاسبات ریاضی استفاده کردند.

دومین نقطه شروع ملاحظات ما این است که روشن کنیم که یک تابع ریاضی قابل محاسبه است و می توان آن را با استفاده از برخی الگوریتم ها، یک قانون رسمی، و یک روش دقیق توصیف شده محاسبه کرد. این دو فرمول اولیه مشترکات زیادی دارند، آنها به طور طبیعی تحت نام کلی "منطق ریاضی" متحد می شوند، جایی که منطق ریاضی در درجه اول به عنوان منطق استدلال ریاضی و اعمال ریاضی درک می شود.

من این موضوع خاص را انتخاب کردم زیرا تسلط بر عناصر منطق ریاضی به من در حرفه اقتصادی آینده ام کمک می کند. پس از همه، یک بازاریاب روندها را تجزیه و تحلیل می کندبازار،قیمت ها، گردش مالی و روش های بازاریابی، جمع آوری داده ها در مورد سازمان های رقیب،توصیه هایی را صادر می کند. برای این کار باید از دانش منطق استفاده کنید.

هدف، واقعگرایانه: مطالعه و استفاده از امکانات منطق ریاضی در حل مسائل در زمینه های مختلف و فعالیت های انسانی.

وظایف:

1. ادبیات مربوط به ماهیت و منشأ منطق ریاضی را تجزیه و تحلیل کنید.

2. عناصر منطق ریاضی را مطالعه کنید.

3. انتخاب و حل مسائل با عناصر منطق ریاضی.

مواد و روش ها: تجزیه و تحلیل ادبیات، مفاهیم، ​​روش قیاس در حل مسائل، خود مشاهده.

1. از تاریخچه پیدایش منطق ریاضی

منطق ریاضی ارتباط تنگاتنگی با منطق دارد و منشأ خود را مدیون آن است. پایه های منطق، علم قوانین و اشکال تفکر بشری توسط بزرگترین فیلسوف یونان باستان ارسطو (384-322 قبل از میلاد) پایه گذاری شد که در رساله های خود اصطلاحات منطق را به طور کامل مطالعه کرد و نظریه استنتاج را به تفصیل تجزیه و تحلیل کرد. و شواهد، تعدادی از عملیات منطقی را توصیف کردند، قوانین اساسی تفکر، از جمله قوانین تضاد و حذف سومی را تدوین کردند. سهم ارسطو در منطق بسیار زیاد است، نه بی دلیل نام دیگر آن منطق ارسطویی است. حتی خود ارسطو نیز متوجه شد که بین علمی که او ایجاد کرد و ریاضیات (در آن زمان به آن حساب می گفتند) اشتراکات زیادی وجود دارد. او کوشید تا این دو علم را ترکیب کند، یعنی تأمل یا بهتر استنباط را به محاسبه بر اساس مواضع اولیه تقلیل دهد. ارسطو در یکی از رساله های خود به یکی از بخش های منطق ریاضی - نظریه برهان - نزدیک شد.

در آینده، بسیاری از فیلسوفان و ریاضیدانان مفاد معینی از منطق را توسعه دادند و گاه حتی خطوط محاسبات گزاره‌ای مدرن را ترسیم کردند، اما نزدیک‌ترین آنها به ایجاد منطق ریاضی در نیمه دوم قرن هفدهم، دانشمند برجسته آلمانی، گوتفرید ویلهلم بود. لایب نیتس (1646 - 1716)، که راه‌هایی را برای ترجمه منطق «از قلمرو کلامی، پر از عدم قطعیت، به قلمرو ریاضیات، که در آن روابط بین اشیا یا گزاره‌ها با دقت کامل تعیین می‌شود» اشاره کرد. لایب نیتس حتی امیدوار بود که فیلسوفان در آینده به جای بحث بی ثمر، کاغذ بردارند و بفهمند که کدام یک از آنها درست می گوید. در همان زمان، لایب نیتس در آثار خود به سیستم اعداد باینری نیز اشاره کرد. لازم به ذکر است که ایده استفاده از دو کاراکتر برای رمزگذاری اطلاعات بسیار قدیمی است. بومیان استرالیایی به صورت دوتایی شمارش می شدند، برخی از قبایل شکارچی-گردآورنده گینه نو و آمریکای جنوبی نیز از سیستم شمارش دوتایی استفاده می کردند. در برخی از قبایل آفریقایی، پیام ها با استفاده از طبل به صورت ترکیبی از ضربات صوتی و کسل کننده منتقل می شود. یک مثال آشنا از کدگذاری دو کاراکتری، کد مورس است، که در آن حروف الفبا با ترکیب خاصی از نقطه و خط تیره نشان داده می شوند. پس از لایب نیتس، بسیاری از دانشمندان برجسته در این زمینه تحقیقاتی انجام دادند، اما موفقیت واقعی در اینجا نصیب ریاضیدان انگلیسی خودآموخته جورج بول (1815-1864) شد، عزم او هیچ حد و مرزی نداشت.

موقعیت مالیوالدین جورج (که پدرشان کفاش بود) به او اجازه دادند فقط فارغ التحصیل شود دبستانبرای فقرا. پس از مدتی، بوهل، با تغییر چندین حرفه، مدرسه کوچکی را افتتاح کرد و خود در آنجا تدریس کرد. او زمان زیادی را به خودآموزی اختصاص داد و به زودی به ایده های منطق نمادین علاقه مند شد. در سال 1847، بول مقاله "تحلیل ریاضی منطق، یا تجربه حساب استنتاج های قیاسی" را منتشر کرد و در سال 1854 اثر اصلی او "بررسی قوانین فکری که نظریه های ریاضی منطق و احتمالات بر اساس آنها استوار است" ظاهر شد. . بول نوعی جبر را اختراع کرد - سیستمی از نشانه گذاری و قوانین قابل اجرا برای همه انواع اشیاء، از اعداد و حروف گرفته تا جملات. با استفاده از این سیستم، او می‌توانست گزاره‌ها (گزاره‌هایی که باید درست یا نادرست ثابت می‌شد) را با استفاده از نمادهای زبان خود رمزگذاری کند و سپس آنها را به همان روشی که اعداد در ریاضیات دستکاری می‌شوند، دستکاری کند. عملیات اصلی جبر بولی عبارتند از: ربط (AND)، تفکیک (OR) و نفی (NOT). پس از مدتی مشخص شد که سیستم Boole برای توصیف مدارهای سوئیچینگ الکتریکی مناسب است. جریان در یک مدار می تواند جریان داشته باشد یا نه، همانطور که یک عبارت می تواند درست یا نادرست باشد. و چند دهه بعد، در قرن بیستم، دانشمندان دستگاه ریاضی ایجاد شده توسط جورج بول را با سیستم اعداد باینری ترکیب کردند، و بدین ترتیب پایه و اساس توسعه یک کامپیوتر الکترونیکی دیجیتال را گذاشتند. مفاد فردی کار بول تا حدی قبل و بعد از او توسط ریاضیدانان و منطق دانان دیگر مورد توجه قرار گرفت. با این حال، امروزه در این زمینه، این آثار جورج بول است که کلاسیک ریاضی محسوب می شود، و خود او به درستی بنیانگذار منطق ریاضی و به ویژه مهم ترین بخش های آن - جبر منطق (جبر بولی) در نظر گرفته می شود. ) و جبر قضایا.

سهم بزرگی در توسعه منطق نیز توسط دانشمندان روسی P.S. پورتسکی (1846-1907)، I.I. ژگالکین (1869-1947).

در قرن بیستم، نقش بزرگی در توسعه منطق ریاضی ایفا کرد

هیلبرت (1862-1943)، که برنامه ای را برای رسمی کردن ریاضیات مرتبط با توسعه پایه های خود ریاضیات پیشنهاد کرد. سرانجام، در دهه‌های پایانی قرن بیستم، توسعه سریع منطق ریاضی به دلیل توسعه نظریه الگوریتم‌ها و زبان‌های الگوریتمی، نظریه خودکار، نظریه گراف (S.K. Kleene، A. Church، A.A. Markov، P.S. Novikov و بسیاری دیگر).

در اواسط قرن بیستم، توسعه فناوری کامپیوتر منجر به ظهور عناصر منطقی، بلوک های منطقی و دستگاه های فن آوری رایانه ای، که با توسعه اضافی حوزه هایی از منطق مانند مشکلات سنتز منطقی، طراحی منطقی و مدل سازی منطقی دستگاه های منطقی و فناوری رایانه همراه بود. در دهه 1980، تحقیقات در این زمینه آغاز شد هوش مصنوعیبر اساس زبان ها و سیستم های برنامه نویسی منطقی. ایجاد سیستم های خبره با استفاده و توسعه اثبات خودکار قضایا و همچنین روش های برنامه نویسی مبتنی بر شواهد برای تأیید الگوریتم ها و برنامه های رایانه ای آغاز شد. تغییرات در آموزش نیز در دهه 1980 آغاز شد. ظهور رایانه های شخصی در مدارس متوسطه منجر به ایجاد کتاب های درسی علوم رایانه با مطالعه عناصر منطق ریاضی برای توضیح اصول منطقی کار شد. مدارهای منطقیو دستگاه های محاسباتی و همچنین اصول برنامه نویسی منطقی برای کامپیوترهای نسل پنجم و توسعه کتاب های درسی علوم کامپیوتر با مطالعه زبان محموله حساب دیفرانسیل و انتگرال برای طراحی پایگاه های دانش.

1. مبانی نظریه مجموعه ها

مفهوم مجموعه یکی از آن مفاهیم اساسی ریاضیات است که تعریف دقیق آن با استفاده از مفاهیم ابتدایی دشوار است. بنابراین، ما خود را به توضیح توصیفی مفهوم مجموعه محدود می کنیم.

زیاد مجموعه ای از اشیاء کاملاً متمایز معینی نامیده می شود که به عنوان یک کل واحد در نظر گرفته می شوند. خالق نظریه مجموعه ها، گئورگ کانتور، تعریف زیر را از مجموعه ارائه کرد - "مجموعه چیزهای زیادی است که ما به عنوان یک کل فکر می کنیم."

اشیاء مجزا که یک مجموعه را تشکیل می دهند نامیده می شوندمجموعه عناصر

مجموعه ها معمولا با حروف بزرگ الفبای لاتین و عناصر این مجموعه ها با حروف کوچک الفبای لاتین مشخص می شوند. مجموعه ها در براکت های مجعد ( ) نوشته می شوند.

مرسوم است که از نماد زیر استفاده کنید:

آ∈ X - "عنصر a متعلق به مجموعه X است"؛

آ∉ X - "عنصر a به مجموعه X تعلق ندارد"؛

∀ - کمیت دلخواه، عمومیت، دلالت بر "هر"، "هرچه"، "برای همه"؛

∃ - کمیت وجود:∃ y∈ ب - "یک عنصر y از مجموعه B وجود دارد (وجود دارد"؛

∃! - کمیت وجود و یکتایی:∃ ب∈ C - "یک عنصر منحصر به فرد b از مجموعه C وجود دارد"؛

: - "به طوری که؛ داشتن مال"؛

→ - نماد نتیجه، به معنای "مطلوب" است.

⇔ - کمیت هم ارزی، هم ارزی - "اگر و فقط در آن صورت".

مجموعه ها هستندمتناهی و بی پایان . مجموعه ها نامیده می شوندنهایی ، اگر تعداد عناصر آن محدود باشد، یعنی. اگر یک عدد طبیعی n وجود داشته باشد که تعداد عناصر مجموعه است. A=(a 1، a 2، a 3، ...، a n ). مجموعه نامیده می شودبی پایان اگر شامل بی نهایت عنصر باشد. B=(b 1، ب 2، ب 3 ، ...). به عنوان مثال، مجموعه حروف الفبای روسی یک مجموعه متناهی است. مجموعه اعداد طبیعی یک مجموعه بی نهایت است.

تعداد عناصر موجود در یک مجموعه محدود M، کاردینالیته مجموعه M نامیده می شود و با |M| نشان داده می شود.خالی مجموعه - مجموعه ای که حاوی هیچ عنصری نیست -∅ . دو مجموعه نامیده می شوندبرابر ، اگر از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند، یعنی. همان مجموعه هستند اگر X دارای عناصری باشد که به Y تعلق ندارند، یا Y دارای عناصری باشد که به X تعلق ندارند، مجموعه ها با X ≠ Y برابر نیستند. نماد برابری مجموعه دارای ویژگی های زیر است:

X=X; - انعکاس پذیری

اگر X = Y، Y = X - تقارن

اگر X=Y،Y=Z، آنگاه X=Z متعدی است.

با توجه به این تعریف از تساوی مجموعه ها، طبیعتاً به این نتیجه می رسیم که همه مجموعه های خالی با یکدیگر برابر هستند یا این که تنها یک مجموعه خالی وجود دارد یکسان است.

زیر مجموعه ها رابطه شمول.

مجموعه X زیرمجموعه ای از مجموعه Y است اگر هر عنصری از مجموعه X باشد∈ و Y را تنظیم کنید که با X نشان داده می شود⊆ Y.

اگر لازم است تأکید شود که Y علاوه بر عناصر X، عناصر دیگری نیز دارد، از نماد گنجاندن دقیق استفاده می شود.⊂ : ایکس ⊂ ی. رابطه بین نمادها⊂ و ⊆ از رابطه زیر بدست می آید:

ایکس ⊂ Y ⇔ ایکس ⊆ Y و X≠Y

برخی از خصوصیات زیرمجموعه را که از تعریف به دست می آید، یادداشت می کنیم:

ایکس⊆ X (انعکاس پذیری)؛

→ X⊆ Z (گذرا)؛

مجموعه اصلی A در رابطه با زیر مجموعه های آن نامیده می شودکامل مجموعه و با I نشان داده می شود.

هر زیر مجموعه Aمن مجموعه A را مجموعه مناسبی از A می نامند.

مجموعه ای متشکل از تمام زیر مجموعه های یک مجموعه معین X و مجموعه خالی∅ ، بولی نامیده می شود X و با β(X) نشان داده می شود. توان بولی |β(X)|=2 n

مجموعه قابل شمارش- این یک مجموعه A است که همه عناصر آن را می توان در یک دنباله (m.b. بی نهایت) شماره گذاری کرد و 1، a 2، a 3، ...، a n ، ... به طوری که در این حالت هر عنصر فقط یک عدد n دریافت می کند و هر عدد طبیعی n به عنوان یک عدد به یک و تنها یک عنصر از مجموعه ما داده می شود.

مجموعه ای معادل مجموعه اعداد طبیعی را مجموعه قابل شمارش می گویند.

مثال. مجموعه مربع های اعداد صحیح 1، 4، 9، ...، n 2 تنها زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی N را نشان می دهد. این مجموعه قابل شمارش است، زیرا با اختصاص دادن به هر عنصر تعداد سری طبیعی، مربع، مطابقت یک به یک با سری طبیعی دارد. که هست.

2 راه اصلی برای تعریف مجموعه ها وجود دارد.

شمارش (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ، متر 2 ، متر 3 ،...، م n });

توضیحات - نشان دهنده ویژگی های مشخصه ای است که همه عناصر مجموعه دارند.

یک مجموعه کاملاً با عناصر آن تعریف می شود.

یک شمارش فقط می تواند مجموعه های محدودی را مشخص کند (مثلاً مجموعه ای از ماه ها در یک سال). مجموعه های نامتناهی را فقط می توان با توصیف ویژگی های عناصر آن تعریف کرد (به عنوان مثال، مجموعه اعداد گویا را می توان با توصیف Q=(n/m, m, n) تعریف کرد.∈ Z، m≠0).

راه های تعیین مجموعه با توضیحات:

آ) با تعیین یک رویه تولیدبا نشان دادن مجموعه (مجموعه ها) که پارامتر (پارامترهای) این روش اجرا می شود - بازگشتی، استقرایی.

X=(x: x 1 = 1، x 2 = 1، x k + 2 = x k + x k + 1 , k=1,2,3,...) - تعداد زیادی فیبونیکی.

(چند عنصر x، به طوری که x 1 \u003d 1، x 2 =1 و x دلخواه k+1 (برای k=1,2,3,...) با فرمول x محاسبه می شود k+2 \u003d x k + x k + 1) یا X \u003d)