გასართობი ლოგიკა მათემატიკაში. გასართობი ლოგიკა მათემატიკის ლოგიკის კითხვები

1. ახსნა-განმარტება
1.1 შესაბამისობა
1.2 პროგრამის მიზანი
1.3 პროგრამის მიზნები
1.4 პროგრამის განხორციელების ვადები, ბავშვების ასაკი, გაკვეთილების ჩატარების ფორმები
1.5 პროგრამის განხორციელების ეტაპები
1.6 პროგრამის შინაარსი
1.7 მოსალოდნელი შედეგები

2. მეთოდოლოგიური მხარდაჭერა
2.1 წრის პერსპექტიულ-თემატური გეგმა " გასართობი ლოგიკა»

3. სკოლამდელი ასაკის ბავშვების ლოგიკური აზროვნების დიაგნოსტიკური პროგრამა.

5. საინფორმაციო რესურსები

1. ახსნა-განმარტება.
რატომ არის ლოგიკა პატარა სკოლამდელი აღზრდისთვის?
ლ.ა. ვენგერის თქმით, „ხუთი წლის ბავშვებისთვის მხოლოდ საგნების გარეგანი თვისებები აშკარად არ არის საკმარისი. ისინი მზად არიან თანდათან გაეცნონ არა მხოლოდ გარეგნულ, არამედ შინაგან, ფარულ თვისებებს და ურთიერთობებს, რომლებიც საფუძვლად უდევს მეცნიერულ ცოდნას სამყაროს შესახებ... ეს ყველაფერი სასარგებლო იქნება. გონებრივი განვითარებაბავშვი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ტრენინგი მიზნად ისახავს გონებრივი შესაძლებლობების განვითარებას, იმ უნარებს აღქმის, წარმოსახვითი აზროვნების, წარმოსახვის სფეროში, რომლებიც დაფუძნებულია საგნების გარეგანი თვისებების ნიმუშების და მათი ჯიშების ასიმილაციაზე ... "
ბავშვის მიერ სკოლამდელ პერიოდში შეძენილი უნარ-ჩვევები საფუძვლად დაედება ცოდნის მიღებისა და შესაძლებლობების განვითარებას უფროს ასაკში - სკოლაში. და ამ უნარებს შორის ყველაზე მნიშვნელოვანია ლოგიკური აზროვნების უნარი, „გონებით მოქმედების“ უნარი. ბავშვს, რომელიც არ დაეუფლა ლოგიკური აზროვნების მეთოდებს, პრობლემების გადაჭრა უფრო რთული იქნება, სავარჯიშოების შესრულება დიდ დროსა და ძალისხმევას მოითხოვს. შედეგად, ბავშვის ჯანმრთელობა შეიძლება დაზარალდეს, სწავლისადმი ინტერესი შეიძლება შესუსტდეს ან თუნდაც გაქრეს.
ლოგიკური ოპერაციების დაუფლების შემდეგ, ბავშვი იქნება უფრო ყურადღებიანი, ისწავლის მკაფიოდ და ნათლად აზროვნებას და შეძლებს პრობლემის არსზე კონცენტრირებას საჭირო დროს. უფრო ადვილი გახდება სწავლა, რაც იმას ნიშნავს, რომ სასწავლო პროცესი და თავად სკოლის ცხოვრებამოუტანს სიხარულს და კმაყოფილებას.
ეს პროგრამა გვიჩვენებს, თუ როგორ არის შესაძლებელი სპეციალური თამაშებისა და სავარჯიშოების საშუალებით ჩამოყალიბდეს ბავშვების უნარი, დამოუკიდებლად დაამყარონ ლოგიკური ურთიერთობები გარემომცველ რეალობაში.
სკოლამდელ ბავშვებთან კოგნიტური პროცესების განვითარებაზე მუშაობთ, მიხვალთ დასკვნამდე, რომ მათი წარმატებული განვითარებისა და სწავლის ერთ-ერთი აუცილებელი პირობაა თანმიმდევრულობა, ე.ი. სპეციალური თამაშებისა და სავარჯიშოების სისტემა თანმიმდევრულად განვითარებადი და უფრო რთული შინაარსით, დიდაქტიკური ამოცანებით, თამაშის მოქმედებებიდა წესები. ცალ-ცალკე გადაღებული თამაშები და სავარჯიშოები შეიძლება იყოს ძალიან საინტერესო, მაგრამ მათი გამოყენებით სისტემის გარეთ ვერ მივაღწევთ სასურველ სასწავლო და განვითარების შედეგს.
1.1 შესაბამისობა
სასკოლო სასწავლო გეგმის წარმატებით განვითარებისთვის ბავშვს სჭირდება არა მხოლოდ ბევრი რამის ცოდნა, არამედ თანმიმდევრულად და საბოლოო აზროვნება, გამოცნობა, გონებრივი დაძაბულობის გამოვლენა, ლოგიკურად აზროვნება.
ლოგიკური აზროვნების განვითარების სწავლებას მომავალი მოსწავლისთვის არცთუ მცირე მნიშვნელობა აქვს და დღესაც ძალიან აქტუალურია.
დამახსოვრების ნებისმიერი მეთოდის დაუფლებით, ბავშვი სწავლობს მიზნის გამოყოფას და მის მისაღწევად მასალასთან გარკვეული სამუშაოს შესრულებას. ის იწყებს დამახსოვრების მიზნით მასალის გამეორების, შედარების, განზოგადების, დაჯგუფების აუცილებლობის გააზრებას.
კლასიფიკაციის შესახებ ბავშვების სწავლება ხელს უწყობს დამახსოვრების უფრო რთული ხერხის - სემანტიკური დაჯგუფების წარმატებულ დაუფლებას, რომელსაც ბავშვები ხვდებიან სკოლაში.
სკოლამდელი ასაკის ბავშვების ლოგიკური აზროვნებისა და მეხსიერების განვითარების შესაძლებლობების გამოყენებით, შესაძლებელია უფრო წარმატებით მოვამზადოთ ბავშვები იმ პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებსაც სასკოლო განათლება გვიყენებს.
ლოგიკური აზროვნების განვითარება მოიცავს დიდაქტიკური თამაშების გამოყენებას, გამომგონებლობას, თავსატეხებს, სხვადასხვა გადაწყვეტას. ლოგიკური თამაშებიდა ლაბირინთებში და დიდ ინტერესს იწვევს ბავშვებისთვის. ამ აქტივობაში ბავშვებში ყალიბდება მნიშვნელოვანი პიროვნული თვისებები: ყალიბდება დამოუკიდებლობა, მარაგი, გამომგონებლობა, შეუპოვრობა, ყალიბდება კონსტრუქციული უნარები. ბავშვები სწავლობენ თავიანთი ქმედებების დაგეგმვას, მათზე ფიქრს, შედეგის ძიებაში გამოცნობას, კრეატიულობის გამოვლენისას.
ბავშვებთან მუშაობისას შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ ბევრი ბავშვი არ უმკლავდება ერთი შეხედვით მარტივ ლოგიკურ ამოცანებს. მაგალითად, უფროსი სკოლამდელი ასაკის ბავშვების უმეტესობას არ შეუძლია სწორად უპასუხოს კითხვას, რა არის მეტი: ხილი თუ ვაშლი, მაშინაც კი, თუ მათ ხელში აქვთ სურათი, რომელზეც ხილია დახატული - ბევრი ვაშლი და რამდენიმე მსხალი. ბავშვები უპასუხებენ, რომ მსხალი მეტია. ასეთ შემთხვევებში პასუხებს ის აფუძნებს იმას, რასაც საკუთარი თვალით ხედავს. ისინი წარმოსახვითი აზროვნებით „ჩაგდებულან“ და 5 წლის ასაკში ბავშვებს ჯერ არ აქვთ ლოგიკური მსჯელობა. უფროსში სკოლამდელი ასაკიისინი იწყებენ სკოლის მოსწავლეებისა და მოზარდებისთვის დამახასიათებელი ლოგიკური აზროვნების ელემენტების ჩვენებას, რომლებიც უნდა განვითარდეს ლოგიკური აზროვნების განვითარების ყველაზე ოპტიმალური მეთოდების გამოვლენაში.
ლოგიკური შინაარსის თამაშები ხელს უწყობს ბავშვებში შემეცნებითი ინტერესის განვითარებას, ხელს უწყობს კვლევასა და შემოქმედებით ძიებას, სწავლის სურვილსა და უნარს. დიდაქტიკური თამაშები, როგორც ბავშვების ერთ-ერთი ყველაზე ბუნებრივი საქმიანობა და ხელს უწყობს ინტელექტუალური და შემოქმედებითი გამოვლინებების ჩამოყალიბებასა და განვითარებას, თვითგამოხატვასა და დამოუკიდებლობას. ბავშვებში ლოგიკური აზროვნების განვითარება დიდაქტიკური თამაშებიმნიშვნელოვანია შემდგომი სწავლის წარმატებისთვის, მოსწავლის პიროვნების სწორად ჩამოყალიბებისთვის და შემდგომ განათლებაში ხელს შეუწყობს მათემატიკისა და კომპიუტერული მეცნიერების საფუძვლების წარმატებით ათვისებას.
1.2 პროგრამის მიზანი:სკოლამდელი აღზრდის ლოგიკური აზროვნების მაქსიმალური განვითარების პირობების შექმნა წარმატებული სასკოლო სწავლისთვის მომზადებისთვის.
1.3 პროგრამის მიზნები:

• ასწავლეთ ბავშვებს ძირითადი ლოგიკური ოპერაციები: ანალიზი, სინთეზი, შედარება, უარყოფა, კლასიფიკაცია, სისტემატიზაცია, შეზღუდვა, განზოგადება, დასკვნა.
• ასწავლეთ ბავშვებს სივრცეში ნავიგაცია
• ბავშვებში უვითარდებათ უმაღლესი გონებრივი ფუნქციები, მსჯელობის უნარი, მტკიცება
• სიძნელეების დაძლევის სურვილი, თავდაჯერებულობა, თანატოლის დახმარების სურვილი

1.4 პროგრამის განხორციელების ვადები, ბავშვების ასაკი, გაკვეთილების ჩატარების ფორმები
პროგრამის განხორციელების ვადები – 1-2 წელი
პროგრამა განკუთვნილია 5-7 წლის ბავშვებისთვის.
პროგრამა ითვალისწინებს წრის კლასების ჩატარებას სხვადასხვა ფორმით:

• Ინდივიდუალური დამოუკიდებელი მუშაობაბავშვები.
• მუშაობა წყვილებში.
• ჯგუფური მუშაობის ფორმები.
• დიფერენცირებული.
• ფრონტალური შემოწმება და კონტროლი.
• შესრულებული სამუშაოს თვითშეფასება.
• დიდაქტიკური თამაში.
• კონკურსი.
• კონკურსები.

1.5 პროგრამის განხორციელების ეტაპები
საქმიანობის ტექნოლოგია აგებულია ეტაპად:

1. შემეცნებითი პროცესების განვითარების საწყისი დონის დიაგნოსტიკა და მათ განვითარებაზე კონტროლი.
2. იმ საშუალებების დაგეგმვა, რომლითაც შესაძლებელია ამა თუ იმ ხარისხის განვითარება (ყურადღება, მეხსიერება, წარმოსახვა, აზროვნება), თითოეული ბავშვის ინდივიდუალობისა და არსებული ცოდნის გათვალისწინებით.
3. განვითარებადი კურსზე ტრენინგის ინტერდისციპლინარული (ინტელექტუალური) საფუძვლის აგება.
4. მასალის თანდათანობითი გართულება, სამუშაოს მოცულობის თანდათანობითი ზრდა, ბავშვების დამოუკიდებლობის დონის ამაღლება.
5. თეორიის ელემენტების გაცნობა, მსჯელობის სწავლების მეთოდები, არჩევანის თვითარგუმენტირება.
6. ცოდნისა და მეთოდების ინტეგრაცია შემეცნებითი აქტივობა, აითვისებს მის განზოგადებულ ტექნიკას.
7. განვითარების კურსის შედეგების შეფასება შემუშავებული კრიტერიუმების მიხედვით, რომელიც უნდა მოიცავდეს ბავშვს (თვითშეფასება, თვითკონტროლი, ურთიერთკონტროლი).

1. 6 პროგრამის შინაარსი
Მოკლე აღწერასექციები და კლასების თემები (სექციები შეესაბამება გარკვეულ ლოგიკურ ოპერაციას, რომელსაც ბავშვები ისწავლიან კლასში):

1. ანალიზი – სინთეზი.
მიზანია ვასწავლოთ ბავშვებს მთელის ნაწილებად დაყოფა, მათ შორის კავშირის დამყარება; ისწავლეთ საგნის ნაწილების გონებრივად გაერთიანება ერთ მთლიანობაში.
თამაშები და სავარჯიშოები: ლოგიკური წყვილის პოვნა (კატა - კნუტი, ძაღლი - ? (ლეკვი)). სურათის შევსება (აიღეთ ნაჭერი, დახატეთ ჯიბე კაბაზე). მოძებნეთ საპირისპიროები (მსუბუქი - მძიმე, ცივი - ცხელი). იმუშავეთ სხვადასხვა სირთულის თავსატეხებთან. ჯოხებისა და გეომეტრიული ფიგურების დათვლის სურათების განლაგება.

2. შედარება.
მიზანია ვასწავლოთ საგნების მსგავსებისა და განსხვავებების გონებრივად დადგენა არსებითი მახასიათებლების მიხედვით; ბავშვების ყურადღების, აღქმის განვითარება. გააუმჯობესეთ ორიენტაცია სივრცეში.
თამაშები და სავარჯიშოები: ცნებების კონსოლიდაცია: დიდი - პატარა, გრძელი - მოკლე, დაბალი - მაღალი, ვიწრო - ფართო, უფრო მაღალი - ქვედა, უფრო - უფრო ახლოს და ა.შ. მოქმედებს ცნებებით "იგივე", "ყველაზე". მოძებნეთ მსგავსება და განსხვავებები 2 მსგავს სურათში.

3. შეზღუდვა.
მიზანია ვისწავლოთ ჯგუფიდან ერთი ან მეტი ობიექტის გამოყოფა გარკვეული მახასიათებლების მიხედვით. განუვითარდეთ ბავშვებს დაკვირვების უნარი.
თამაშები და სავარჯიშოები: „შემოხაზეთ მხოლოდ წითელი დროშები ერთი ხაზით“, „იპოვეთ ყველა არაწრიული ობიექტი“ და ა.შ. მეოთხე ზედმეტის გამორიცხვა.

4. განზოგადება.
მიზანია ვასწავლოთ ობიექტების გონებრივად გაერთიანება ჯგუფში მათი თვისებების მიხედვით. წვლილი შეიტანეთ ლექსიკის გამდიდრებაში, გააფართოვეთ ბავშვების ყოველდღიური ცოდნა.
თამაშები და სავარჯიშოები განზოგადებული ცნებებით მუშაობისთვის: ავეჯი, კერძები, ტრანსპორტი, ბოსტნეული, ხილი და ა.შ.

5. სისტემატიზაცია.
მიზანია ასწავლოს ნიმუშების ამოცნობა; გააფართოვოს ბავშვების ლექსიკა; ისწავლე ნახატიდან გარჩევა, მოყოლა.
თამაშები და სავარჯიშოები: ჯადოსნური კვადრატები (აიღეთ დაკარგული ნაწილი, სურათი). ნახატების სერიაზე დაფუძნებული მოთხრობის შედგენა, სურათების ლოგიკური თანმიმდევრობით დალაგება.

6. კლასიფიკაცია.
მიზანია ვასწავლოთ ობიექტების ჯგუფებად განაწილება მათი არსებითი მახასიათებლების მიხედვით. განზოგადებული ცნებების კონსოლიდაცია, მათთან თავისუფალი მოქმედება.

7. დასკვნა.
მიზანია განსჯის დახმარებით ვასწავლოთ დასკვნის გაკეთება. წვლილი შეიტანეთ ბავშვების საყოფაცხოვრებო ცოდნის გაფართოებაში. განავითარეთ წარმოსახვა.
თამაშები და სავარჯიშოები: პოზიტივისა და ნეგატივის ძიება მოვლენებში (მაგალითად, წვიმის დროს მცენარეებს კვებავს - ეს კარგია, მაგრამ ცუდი ის არის, რომ წვიმაში ადამიანი შეიძლება დასველდეს, გაცივდეს და დაავადდეს) . გარკვეული განსჯის სისწორის შეფასება („ქარი უბერავს იმიტომ, რომ ხეები ქანაობენ“. არა?). გამოსავალი ლოგიკური ამოცანები.

1.7 მოსალოდნელი შედეგები
დაგეგმილი შედეგები:
ბავშვებმა უნდა იცოდნენ:

• ნიმუშების აგების პრინციპები, რიცხვების, საგნების, ფენომენების, სიტყვების თვისებები;
• თავსატეხების, კროსვორდების, ჯაჭვური სიტყვების, ლაბირინთების სტრუქტურის პრინციპები;
• ანტონიმები და სინონიმები;
• გეომეტრიული ფიგურების სახელები და მათი თვისებები;
• პროგრამირების პრინციპი და მოქმედებების ალგორითმის შედგენა.

ბავშვებს უნდა შეეძლოთ:

• შაბლონების განსაზღვრა და ამ ნიმუშის მიხედვით დავალების შესრულება, ობიექტების კლასიფიკაცია და დაჯგუფება, შედარება, საერთო და ცალკეული თვისებების პოვნა, განზოგადება და აბსტრაქცია, მათი აქტივობების ანალიზი და შეფასება;
• მსჯელობის საშუალებით ლოგიკური, არასტანდარტული ამოცანების ამოხსნა, შემოქმედებითი ძიება, ვერბალურ-დიდაქტიკური, რიცხვითი ამოცანების შესრულება, მათემატიკური გამოცანების პასუხის პოვნა;
• სწრაფად და სწორად უპასუხეთ დათბობის დროს დასმულ კითხვებზე;
• შეასრულეთ დავალებები ყურადღების, აღქმის, მეხსიერების მოსამზადებლად
• შეასრულოს გრაფიკული კარნახები, შეძლოს ნავიგაცია გრაფიკული ამოცანების სქემატურ წარმოდგენაში;
• შეძლოს მიზნის დასახვა, სამუშაოს ეტაპების დაგეგმვა, საკუთარი ძალისხმევით მიაღწიო შედეგებს.

სამუშაოს შედეგების შემოწმების გზა : კლასების განზოგადება ყოველი განყოფილების შემდეგ და ლოგიკური აზროვნების ოპერაციების დაუფლების დონის 2 დიაგნოსტიკა (საწყისი (სექტემბერი) და საბოლოო (მაისი)).

შერლოკ ჰოლმსის სიტყვები: „რამდენჯერ გითხარი, ჩამოაგდე ყველაფერი შეუძლებელი, მერე რაც დარჩება იქნება პასუხი, რაც არ უნდა წარმოუდგენელი ჩანდეს“ შეიძლება იყოს ეპიგრაფი ამ თავისთვის.

თუ თავსატეხის ამოხსნა მხოლოდ ლოგიკურად აზროვნების უნარს მოითხოვს და საერთოდ არ სჭირდება არითმეტიკული გამოთვლების შესრულება, მაშინ ასეთ თავსატეხს ჩვეულებრივ ლოგიკურ პრობლემას უწოდებენ. ლოგიკური ამოცანები, რა თქმა უნდა, მათემატიკური პრობლემების რიცხვს მიეკუთვნება, რადგან ლოგიკა შეიძლება ჩაითვალოს ძალიან ზოგად, ფუნდამენტურ მათემატიკად. მიუხედავად ამისა, მოსახერხებელია გამოვყოთ და შევისწავლოთ ლოგიკური თავსატეხები მათი უფრო მრავალრიცხოვანი არითმეტიკული დებისგან დამოუკიდებლად. ამ თავში ჩვენ გამოვყოფთ ლოგიკური პრობლემის სამ გავრცელებულ ტიპს და შევეცდებით გავარკვიოთ, როგორ მივუდგეთ მათ.

პრობლემის ყველაზე გავრცელებულ ტიპს, რომელსაც თავსატეხების მოყვარულები ზოგჯერ „სმიტ-ჯონს-რობინსონის პრობლემას“ უწოდებენ (გ. დუდენის მიერ გამოგონილი ძველი თავსატეხის ანალოგიით).

იგი შედგება ამანათების სერიისგან, რომლებიც ჩვეულებრივ იუწყებიან გარკვეულ ინფორმაციას პერსონაჟების შესახებ; ამ ვარაუდების საფუძველზე გარკვეული დასკვნები უნდა გაკეთდეს. მაგალითად, აი, როგორ გამოიყურება დუდენის პრობლემის უახლესი ამერიკული ვერსია:

1. სმიტი, ჯონსი და რობინსონი მუშაობენ იმავე მატარებლის ეკიპაჟში, როგორც მძღოლი, კონდუქტორი და მეხანძრე. მათი პროფესიები სულაც არ არის დასახელებული იმავე თანმიმდევრობით, როგორც მათი გვარები. მატარებელში, რომელსაც ბრიგადა ემსახურება, ერთი და იგივე გვარის მქონე სამი მგზავრია.

მომავალში თითოეულ მგზავრს პატივისცემით დავარქმევთ "ბატონს" (ბატონს).

2. მისტერ რობინსონი ცხოვრობს ლოს ანჯელესში.

3. დირიჟორი ცხოვრობს ომაჰაში.

4. მისტერ ჯონსმა დიდი ხანია დაივიწყა ყველა ის ალგებრა, რომელსაც კოლეჯში ასწავლიდნენ.

5. მგზავრი - დირიჟორის თანამოძმე ცხოვრობს ჩიკაგოში.

6. კონდუქტორი და ერთ-ერთი მგზავრი, მათემატიკური ფიზიკის ცნობილი სპეციალისტი, ერთ ეკლესიაში მიდიან.

7. სმიტი ყოველთვის სცემს სტოკერს, როდესაც ისინი ხვდებიან ბილიარდის თამაშს.

რა ქვია მძღოლს?

ეს ამოცანები შეიძლება ითარგმნოს მათემატიკური ლოგიკის ენაზე, მისი სტანდარტული აღნიშვნის გამოყენებით და გამოსავლის მოძიება შესაბამისი მეთოდების გამოყენებით, მაგრამ ასეთი მიდგომა ძალიან რთული იქნება. მეორე მხრივ, ამა თუ იმ სახის აბრევიატურების გარეშე, ძნელია პრობლემის ლოგიკური სტრუქტურის გაგება. ყველაზე მოსახერხებელია ცხრილის გამოყენება, რომლის ცარიელ უჯრებში შევიყვანთ განსახილველი კომპლექტების ელემენტების ყველა შესაძლო კომბინაციას. ჩვენს შემთხვევაში ორი ასეთი ნაკრებია, ამიტომ გვჭირდება ორი ცხრილი (სურ. 139).

ბრინჯი. 139 ორი ცხრილი სმიტის, ჯონსის და რობინსონის პრობლემისთვის.

თითოეულ უჯრედში შევიყვანთ 1-ს, თუ შესაბამისი კომბინაცია დასაშვებია, ან 0-ს, თუ კომბინაცია ეწინააღმდეგება პრობლემის პირობებს. ვნახოთ, როგორ კეთდება. მე-7 პირობა აშკარად გამორიცხავს იმის შესაძლებლობას, რომ სმიტი არის სტოკერი, ამიტომ მარცხენა მაგიდის ზედა მარჯვენა კუთხეში მდებარე უჯრაში შევიყვანთ 0. პირობა 2 გვეუბნება, რომ რობინსონი ცხოვრობს ლოს-ანჯელესში, ამიტომ მაგიდის ქვედა მარცხენა კუთხეში ჩვენ შეიყვანეთ 1 და 0 ქვედა მწკრივისა და მარცხენა სვეტის ყველა სხვა უჯრედში, რათა ნახოთ, რომ მისტერ რობინსონი არ ცხოვრობს ომაჰაში ან ჩიკაგოში, ხოლო მისტერ სმიტი და მისტერ ჯონსი არ ცხოვრობენ ლოს ანჯელესში.

ახლა ცოტა უნდა დავფიქრდეთ. მე-3 და მე-6 პირობებიდან ვიცით, რომ მათემატიკური ფიზიკოსი ომაჰაში ცხოვრობს, მაგრამ მისი გვარი არ ვიცით. ის არ შეიძლება იყოს არც მისტერ რობინსონი და არც მისტერ ჯონსი (ბოლოს და ბოლოს, ელემენტარული ალგებრაც კი დაივიწყა).

ამიტომ, ეს უნდა იყოს მისტერ სმიტი. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ გარემოებას მარჯვენა ცხრილის ზედა რიგის შუა უჯრის 1-ის და იმავე მწკრივის დარჩენილ უჯრებში 0-ის და შუა სვეტის ცარიელი უჯრების ჩასმით. მესამე ერთეული ახლა მხოლოდ ერთ საკანშია შესაძლებელი: ეს ადასტურებს, რომ მისტერ ჯონსი ჩიკაგოში ცხოვრობს. მე-5 პირობიდან ვიგებთ, რომ დირიჟორს ასევე აქვს გვარი ჯონსი და შევიყვანთ 1-ს მარცხენა ცხრილის ცენტრალურ უჯრაში და 0-ს შუა რიგისა და შუა სვეტის ყველა სხვა უჯრაში. ამის შემდეგ, ჩვენი ცხრილები იღებენ ნახ. 140.

ბრინჯი. 140მაგიდა კვერცხები ნაჩვენებია ნახ. 139, წინასწარ შევსების შემდეგ.

ახლა ძნელი არ არის საბოლოო პასუხამდე მიმავალი მსჯელობის გაგრძელება. სვეტში, სახელწოდებით "Stoker", ერთეული შეიძლება განთავსდეს მხოლოდ ქვედა უჯრედში. აქედან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ ქვედა მარცხენა კუთხეში უნდა იყოს 0. ცარიელი რჩება მხოლოდ ცხრილის ზედა მარცხენა კუთხის უჯრა, სადაც მხოლოდ 1 შეიძლება ჩაიწეროს. ასე რომ, დრაივერის სახელია სმიტი.

ლუის კეროლს უყვარდა ამ ტიპის უკიდურესად რთული და გენიალური პრობლემების გამოგონება. დორტმუთის კოლეჯის მათემატიკის დეკანმა ჯონ კემენიმ დააპროგრამა IBM-704 კომპიუტერისთვის ერთ-ერთი ამაზრზენი (13 ცვლადით და 12 პირობით, საიდანაც ირკვევა, რომ „არც ერთი მოსამართლე თამბაქოს ყნოსავს“) კეროლის პრობლემას. აპარატმა ამოხსნა დაასრულა დაახლოებით 4 წუთში, თუმცა პრობლემის სრული „სიმართლის ცხრილის“ დაბეჭდვას (ცხრილი, რომელიც აჩვენებს, არის თუ არა პრობლემის ცვლადების სიმართლის მნიშვნელობების შესაძლო კომბინაციები) 13 საათი დასჭირდებოდა!

მკითხველებს, რომლებსაც სურთ სცადონ ბედი უფრო რთულ პრობლემაზე, ვიდრე სმიტ-ჯონს-რობინსონის პრობლემა, გთავაზობთ ახალ თავსატეხს. მისი ავტორია პრინსტონის უნივერსიტეტის რ. სმულიანი.

1. 1918 წელს პირველი Მსოფლიო ომი. სამშვიდობო ხელშეკრულების ხელმოწერის დღეს სამი დაქორწინებული წყვილი შეიკრიბა ამ ღონისძიების აღსანიშნავად სადღესასწაულო სუფრაზე.

2. თითოეული ქმარი იყო ერთ-ერთი ცოლის ძმა და თითოეული ცოლი იყო ერთ-ერთი ქმრის და, ანუ დამსწრეებს შორის შეიძლება მიეთითოს სამი მონათესავე წყვილი „ძმა და დის“.

3. ელენე ზუსტად 26 კვირით უფროსია ქმართან, რომელიც აგვისტოში დაიბადა.

4. მისტერ უაითის და ელენეს სიძეზეა დაქორწინებული და დაბადების დღეზე, იანვარში, იქორწინა.

5. მარგარეტ უაიტი უილიამ ბლეიკზე დაბალია.

6. არტურის და უფრო ლამაზია ვიდრე ბეატრისი.

7. ჯონი 50 წლისაა.

რა ჰქვია ქალბატონ ბრაუნს?

არანაკლებ გავრცელებულია ლოგიკური პრობლემების კიდევ ერთი სახეობა, რომელსაც, შემდეგი ცნობილი მაგალითის ანალოგიით, შეიძლება ეწოდოს "ფერადი ქუდების პრობლემის" ტიპის პრობლემები. სამი ადამიანი (მოდით დავარქვათ მათ A, Bდა FROM) თვალდახუჭული და თქვი, რომ თითოეულ მათგანს ან წითელ ან მწვანე ქუდი ეხურა. შემდეგ მათ თვალებს უხსნიან და სთხოვენ აწიონ ხელი, თუ წითელ თავსახურს დაინახავენ, ხოლო თუ დარწმუნებულნი არიან, რომ იციან, რა ფერის ქუდი აქვს თავზე, დატოვონ ოთახი. სამივე ქუდი წითელი აღმოჩნდა, ამიტომ სამივემ ხელი ასწია. გავიდა რამდენიმე წუთი და FROM, რომელიც უფრო ინტელექტუალურია ვიდრე მაგრამდა AT, ოთახიდან გავიდა. Როგორ FROMშეძლო იმის დადგენა, თუ რა ფერის არის ქუდი?

[მწვანე ქუდებით ბრძენკაცების პრობლემა ტექსტში ისეა ჩამოყალიბებული, რომ გამოსავალი არ აქვს. ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია, როცა ბრძენთა რაოდენობა დიდია. რამდენი დრო დასჭირდება პირველ ბრძენ ადამიანს ჭეშმარიტი სიტუაციის გამოცნობას?

ორმოციანი წლების ბოლოს ეს პრობლემა ინტენსიურად განიხილებოდა მოსკოვში სასკოლო მათემატიკურ წრეებში და გამოიგონეს მისი ახალი ვერსია, რომელშიც დაინერგა დისკრეტული დრო. დავალება ასე გამოიყურებოდა.

ძველად ერთ ქალაქში ბრძენკაცები ცხოვრობდნენ. თითოეულ მათგანს ჰყავდა ცოლი. დილით ბაზარში მივიდნენ და იქ ქალაქის ყველა ჭორი გაარკვიეს. თვითონაც ჭორიკანები იყვნენ. მათ დიდ სიამოვნებას ანიჭებდა რომელიმე ცოლის ღალატის გაცნობა – ამის შესახებ მაშინვე შეიტყვეს. თუმცა, ერთი გამოუთქმელი წესი მკაცრად იყო დაცული: ქმარს ცოლის შესახებ არაფერი უთქვამს, რადგან თითოეული მათგანი, საკუთარი სირცხვილის შესახებ რომ გაიგო, ცოლს სახლიდან გააძევებს. ასე ცხოვრობდნენ, ტკბებოდნენ ინტიმური საუბრებით და რჩებოდნენ სრულიად უცოდინარი საკუთარი საქმეების მიმართ.

მაგრამ ერთ დღეს ნამდვილი ჭორი მოვიდა ქალაქში. ის მივიდა ბაზარში და საჯაროდ განაცხადა: "მაგრამ ყველა ბრძენკაცს არ ჰყავს ერთგული ცოლები!" როგორც ჩანს, ჭორებს ახალი არაფერი უთქვამთ - და ასე ყველამ იცოდა ეს, ყველა ბრძენმა იცოდა (მხოლოდ ბოროტებით ფიქრობდა არა საკუთარ თავზე, არამედ სხვაზე), ამიტომ არცერთმა მცხოვრებმა ყურადღება არ მიაქცია ჭორის სიტყვებს. . მაგრამ ბრძენნი ფიქრობდნენ – ამიტომ არიან ბრძენნი – და ნ- ჭორიკანის მოსვლიდან მე-1 დღეს ბრძენი კაცები გააძევეს და მოღალატე ცოლები (თუ იყო ნ).

ბრძენთა მსჯელობის აღდგენა არ არის რთული. უფრო რთულია პასუხის გაცემა კითხვაზე: რა ინფორმაცია დაუმატა ჭორიკანამ იმას, რაც ბრძენებმა მის გარეშეც იცოდნენ?

ეს პრობლემა არაერთხელ შეგვხვდა ლიტერატურაში].

C ეკითხება საკუთარ თავს, შეიძლება თუ არა მისი ქუდი მწვანე იყოს. თუ ეს ასე იყო, მაშინ მაგრამმაშინვე მიხვდა, რომ წითელ ქუდი ეხურა, რადგან მხოლოდ თავზე წითელი ქუდი შეეძლო ATაწიე ხელი. Მაგრამ შემდეგ მაგრამოთახს დატოვებდა. ATზუსტად იგივენაირად დაიწყებდა მსჯელობას და ოთახიდანაც გავიდოდა. რადგან არც ერთი გამოვიდა და არც მეორე, FROMდაასკვნა, რომ საკუთარი ქუდი წითელი უნდა ყოფილიყო.

ეს პრობლემა შეიძლება განზოგადდეს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც არის ხალხის რაოდენობა და ყველა მათგანს წითელი ქუდი აცვია. დავუშვათ, რომ პრობლემაში მეოთხე მსახიობი გამოჩნდა დ, კიდევ უფრო გამჭრიახი ვიდრე C.Dშეიძლება ასე მსჯელობა: „ჩემი ქუდი მწვანე რომ იყოს, მაშინ A, Bდა FROMაღმოჩნდებოდა ზუსტად იმავე სიტუაციაში, რაც ახლახან აღწერეს და რამდენიმე წუთში ტრიოს ყველაზე გამჭრიახი აუცილებლად დატოვებდა ოთახს.

მაგრამ ხუთი წუთი უკვე გავიდა და არცერთი არ გამოდის, შესაბამისად, ჩემი ქუდი წითელია.

თუ არსებობდა მეხუთე წევრი, რომელიც კიდევ უფრო ჭკვიანი იყო ვიდრე დათი წუთის ლოდინის შემდეგ შეეძლო დასკვნამდე მივიდა, რომ წითელ ქუდი ეხურა. რა თქმა უნდა, ჩვენი მსჯელობა კარგავს თავის დამაჯერებლობას გამომგონებლობის სხვადასხვა ხარისხის შესახებ ვარაუდების გამო. A, B, C... და საკმაოდ ბუნდოვანი მოსაზრებები იმის თაობაზე, თუ რამდენ ხანს უნდა დაელოდოს ყველაზე აღქმადი ადამიანი, სანამ დარწმუნებით შეძლებს დაასახელოს თავისი ქუდის ფერი.

ზოგიერთი სხვა "ფერადი ქუდის" პრობლემა ნაკლებ გაურკვევლობას შეიცავს. ასეთია, მაგალითად, შემდეგი პრობლემა, რომელიც ასევე გამოიგონა სმულიანმა. თითოეული სამი A, Bდა FROM- თავისუფლად ფლობს ლოგიკას, ანუ იცის, როგორ მომენტალურად ამოიღოს ყველა შედეგი მოცემული წყობიდან და იცის, რომ დანარჩენებსაც აქვთ ეს უნარი.

ვიღებთ ოთხ წითელ და ოთხ მწვანე შტამპს, თვალებს ვუკრავთ ჩვენს „ლოგიკოსებს“ და თითოეულ შუბლზე ვამაგრებთ ორ შტამპს. შემდეგ მათ თვალებს ვაშორებთ სახვევებს და, თავის მხრივ, ვთხოვთ A, Bდა FROMიგივე კითხვა: "იცი რა ფერის შტამპები გაქვს შუბლზე?" თითოეული მათგანი უარყოფითად პასუხობს. შემდეგ კვლავ ვიკითხავთ მაგრამდა ისევ ვიღებთ უარყოფით პასუხს. მაგრამ როცა იგივე კითხვას მეორედ ვსვამთ AT, - პასუხობს ის დადებითად.

რა ფერია შუბლზე კვალი AT?

მესამე ტიპის პოპულარული ლოგიკური თავსატეხები არის პრობლემები მატყუარასა და მათზე, ვინც ყოველთვის სიმართლეს ამბობს. AT კლასიკური ვერსიადავალებები ჩვენ ვსაუბრობთმოგზაურის შესახებ, რომელიც აღმოჩნდება ორი ტომით დასახლებულ ქვეყანაში. ერთი ტომის წევრები ყოველთვის იტყუებიან, მეორის წევრები ყოველთვის სიმართლეს ამბობენ. მოგზაური ორ მკვიდრს ხვდება. "ყოველთვის სიმართლეს ამბობ?" ეკითხება ის მაღალ მკვიდრს. მპასუხობს: „თარაბარ“. "მან თქვა დიახ", - განმარტავს პატარა მშობლიური, რომელმაც ინგლისური იცის, "მაგრამ ის საშინელი მატყუარაა". რომელ ტომს მიეკუთვნება თითოეული მკვიდრი?

გადაჭრის სისტემური მიდგომა იქნება ოთხივე შესაძლებლობის ჩამოწერა: AI, IL, LI, LL (მე ვგულისხმობ "მართალი", L - "ცრუ") - და გამოვრიცხოთ ის, რაც ეწინააღმდეგება პრობლემის მონაცემებს. პასუხის მიღება ბევრად უფრო სწრაფად შეიძლება, თუ შეამჩნევთ, რომ მაღალმა მკვიდრმა დადებითად უნდა უპასუხოს, იტყუება თუ სიმართლეს. ვინაიდან პატარამ თქვა სიმართლე, ის უნდა მიეკუთვნებოდეს მართალთა ტომს, ხოლო მისი მაღალი მეგობარი - მატყუარების ტომს.

ამ ტიპის ყველაზე ცნობილი პრობლემა, რომელიც გართულებულია ალბათობის წონების შემოღებით და არც თუ ისე მკაფიო ფორმულირებით, საკმაოდ მოულოდნელად გვხვდება ინგლისელი ასტრონომის ა. ედინგტონის წიგნის New Pathways in Science-ის მეექვსე თავის შუაში. "Თუ A, B, Cდა დთქვი სიმართლე სამიდან ერთხელ (დამოუკიდებლად) და მაგრამაცხადებს, რომ ATამას უარყოფს FROMამბობს თითქოს დმატყუარა, რა არის ამის ალბათობა დსიმართლე თქვა?"

ედინგტონის პასუხს, 25/71, მოჰყვა მკითხველთა პროტესტის სეტყვა და სასაცილო და დაბნეული დავა წარმოშვა, რომელიც საბოლოოდ არასოდეს მოგვარებულა. ინგლისელი ასტრონომი G. Dingle, ავტორი ედინგტონის წიგნის მიმოხილვის, რომელიც გამოქვეყნდა ჟურნალ Nature-ში (1935 წლის მარტი), თვლიდა, რომ პრობლემა საერთოდ არ იმსახურებს ყურადღებას, როგორც უაზრო და მხოლოდ იმაზე მიუთითებს, რომ ედინგტონს საკმარისად არ ჰქონდა გააზრებული ძირითადი იდეები. ალბათობის თეორიის. ამერიკელმა ფიზიკოსმა ტ.სტერნმა (Nature, ივნისი 1935) გააპროტესტა და განაცხადა, რომ მისი აზრით, პრობლემა სულაც არ არის უაზრო, მაგრამ არ არის საკმარისი მონაცემები მის გადასაჭრელად.

საპასუხოდ, დინგლმა აღნიშნა (Nature, 1935 წლის სექტემბერი), რომ თუკი ვინმე სტერნის თვალსაზრისს მიიღებს, მაშინ საკმარისი მონაცემებია გადაწყვეტილების მისაღებად და პასუხი იქნება 1/3. აქ ედინგტონი შევიდა ბრძოლაში, გამოაქვეყნა (მათემატიკური გაზეთი, 1935 წლის ოქტომბერი) სტატია, სადაც დეტალურად განმარტა, თუ როგორ მიიღო პასუხი. დავა დასრულდა კიდევ ორი ​​სტატიით, რომლებიც გამოჩნდა იმავე ჟურნალში, ერთ-ერთი მათგანის ავტორი იცავდა ედინგტონს, ხოლო მეორემ წამოაყენა ყველა წინამორბედისგან განსხვავებული თვალსაზრისი.

სირთულე ძირითადად ედინგტონის ფორმულირების გაგებაშია. Თუ AT, რომელიც უარყოფს თავის უარყოფას, ამბობს სიმართლეს, მაშინ შეიძლება გონივრულად ვივარაუდოთ ეს FROMთქვა, რომ დსიმართლე თქვა? ედინგტონს მიაჩნდა, რომ არ იყო საკმარისი საფუძველი ასეთი ვარაუდისთვის. ანალოგიურად, თუ მაგრამტყუილია, შეგვიძლია დავრწმუნდეთ ამაში ATდა FROMთქვეს საერთოდ რამე? საბედნიეროდ, ჩვენ შეგვიძლია გადავლახოთ ყველა ეს ენობრივი სირთულე შემდეგი ვარაუდებით (ედინგტონმა ისინი არ გააკეთა):

1. არც ერთი ოთხიდან არ გაჩუმებულა.

2. განცხადებები A, Bდა FROM(თითოეული მათგანი ცალ-ცალკე) ან დაადასტურეთ ან უარყოთ შემდეგი განცხადება.

3. მცდარი მტკიცება ემთხვევა მის უარყოფას, ხოლო მცდარი უარყოფა ემთხვევა მტკიცებას.

ოთხივე ცრუობს ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად, ალბათობით 1/3, ანუ, საშუალოდ, მათი სამი განცხადებიდან ნებისმიერი ორი მცდარია. თუ ჭეშმარიტი ცნობა აღინიშნება ასოთი და, ხოლო ყალბი - ასო ლ, შემდეგ ამისთვის A, B, Cდა დჩვენ ვიღებთ ცხრილს, რომელიც შედგება ოთხმოცდაერთი განსხვავებული კომბინაციისგან. ამ რიცხვიდან უნდა გამოირიცხოს ის კომბინაციები, რომლებიც შეუძლებელია პრობლემის პირობების გამო.

ასოებით დამთავრებული სწორი კომბინაციების რაოდენობა და(ანუ ჭეშმარიტი - ჭეშმარიტი - განცხადება დ), უნდა გაიყოს ყველა მოქმედი კომბინაციის საერთო რაოდენობაზე, რომელიც გასცემს პასუხს.

უნდა დაზუსტდეს პრობლემის ფორმულირება მოგზაურისა და ორი მკვიდრის შესახებ. მოგზაური მიხვდა, რომ სიტყვა „გიბნე“ ადგილობრივთა ენაზე ნიშნავს „დიახ“-ს, ან „არას“, მაგრამ მან ვერ გამოიცნო კონკრეტულად რას. ეს იქნებოდა გაფრთხილებული რამდენიმე ელ.წერილი, რომელთაგან ერთ-ერთს ქვემოთ ვიმეორებ.

როგორც ჩანს, მაღალმა მკვიდრმა ვერ გაიგო სიტყვა, რაც მოგზაურმა უთხრა (ინგლისურად) და ვერ უპასუხა დიახ ან არა ინგლისურად. მაშასადამე, მისი „გიბნე“ ნიშნავს რაღაცას: „არ მესმის“ ან „კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ბონგო-ბონგოში“. შესაბამისად, პატარა მკვიდრმა იცრუა, როცა თქვა, რომ მისმა მეგობარმა უპასუხა „დიახ“, და რადგან პატარა მატყუარა იყო, მანაც მოიტყუა, როცა მაღალ მშობლიურს მატყუარა უწოდა. ამიტომ მაღალი მკვიდრი მართალი უნდა ჩაითვალოს.

ასე რომ, ქალის ლოგიკამ დარტყმა მიაყენა ჩემს მამაკაცურ ამაოებას. ცოტა არ შელახავს თქვენი ავტორის სიამაყეს?

პასუხები

პირველი ლოგიკური პრობლემა საუკეთესოდ წყდება სამი ცხრილის გამოყენებით: ერთი ცოლების სახელისა და გვარის კომბინაციებისთვის, მეორე ქმრების სახელისა და გვარისთვის და მესამე ცხრილისთვის. ოჯახის კავშირები.

ვინაიდან ქალბატონი უაიტის სახელია მარგარეტი (პირობა 5), დანარჩენი ორი მეუღლის სახელებისთვის მხოლოდ ორი შესაძლებლობა გვაქვს: ა) ჰელენ ბლეიკი და ბეატრის ბრაუნი, ან ბ) ჰელენ ბრაუნი და ბეატრის ბლეიკი.

დავუშვათ, რომ შესაძლებლობათაგან მეორე ხდება. უაითის და უნდა იყოს ან ელენე ან ბეატრისი. მაგრამ ბეატრისი არ შეიძლება იყოს უაინის და, რადგან მაშინ ბლეიკი იქნებოდა ელენეს ძმა, ხოლო ბლეიკის ორი სიძე – უაითი (მისი ცოლის ძმა) და ბრაუნი (მისი დის ქმარი); ბითრის ბლეიკი არცერთ მათგანზე არ არის დაქორწინებული, რაც ეწინააღმდეგება მე-4 პირობას. ამიტომ უაითის და უნდა იყოს ჰელენი. აქედან, თავის მხრივ, ვასკვნით, რომ ბრაუნის დას ჰქვია ბეატრისი, ხოლო ბლეიკის დას არის მარგარეტი.

მე-6 პირობიდან გამომდინარეობს, რომ მისტერ უაითს ჰქვია არტური (ბრაუნი არ შეიძლება იყოს არტური, რადგან ასეთი კომბინაცია ნიშნავს, რომ ბეატრისი საკუთარ თავზე უფრო ლამაზია და ბლეიკი არ შეიძლება იყოს არტური, რადგან მე-5 პირობიდან ვიცით მისი სახელი: უილიამი). ასე რომ, მისტერ ბრაუნი შეიძლება იყოს მხოლოდ ჯონი. სამწუხაროდ, მე-7 მდგომარეობიდან ვხედავთ, რომ ჯონი დაიბადა 1868 წელს (სამშვიდობო ხელშეკრულების დადებამდე 50 წლით ადრე). მაგრამ 1868 არის ნახტომი წელი, ამიტომ ელენე უნდა იყოს მეუღლეზე ერთი დღით უფროსი, ვიდრე მე-3 პირობაში მითითებული 26 კვირა. (მე-4 პირობიდან ვიცით, რომ იგი დაიბადა იანვარში, ხოლო მე-3 პირობიდან, რომ მისი ქმარი დაიბადა. აგვისტოში. ის შეიძლება ქმართან ზუსტად 26 კვირით უფროსი ყოფილიყო, თუ მისი დაბადების დღე 31 იანვარს იყო და 1 აგვისტოს და თუ ამ თარიღებს შორის 29 თებერვალი არ იყო!) ასე რომ, მეორე შესაძლებლობა, რომლითაც დავიწყეთ. უნდა განადგურდეს, რაც საშუალებას გვაძლევს დავასახელოთ ცოლები: მარგარეტ უაიტი, ჰელენ ბლეიკი და ბეატრის ბრაუნი. აქ არანაირი წინააღმდეგობა არ არის, რადგან ბლეიკის დაბადების წელი არ ვიცით. პრობლემის პირობებიდან შეიძლება დავასკვნათ, რომ მარგარეტი ბრაუნის დაა, ბეატრისი ბლეიკის და, ჰელენი კი უაიტის და, მაგრამ უაითისა და ბრაუნის სახელების საკითხი გადაუჭრელი რჩება.

მარკების პრობლემაში ATარის სამი შესაძლებლობა. მისი მარკები შეიძლება იყოს: 1) ორივე წითელი; 2) ორივე მწვანე; 3) ერთი არის მწვანე და მეორე წითელი. დავუშვათ, რომ ორივე მარკა წითელია.

მას შემდეგ რაც სამივემ ერთხელ უპასუხა, მაგრამშეიძლება ასე მსჯელობა: „შუბლზე კვალი ორივე წითელი არ შეიძლება იყოს (რადგან მაშინ FROMდაინახავდა ოთხ წითელ შტამპს და მაშინვე მიხვდებოდა, რომ შუბლზე ორი მწვანე შტამპი ჰქონდა და თუ FROMმაშინ ორივე მარკა მწვანე იყო ATოთხი მწვანე მარკის დანახვისას მიხვდებოდა, რომ მას შუბლზე ორი წითელი შტამპი ჰქონდა). ამიტომ შუბლზე ერთი მწვანე და ერთი წითელი კვალი მაქვს“.

Მაგრამ როდესაც მაგრამმეორედ იკითხა, არ იცოდა რა ფერის იყო მისი ბრენდი. დაუშვა ATგააუქმოს შესაძლებლობა, რომ მისი ორივე მარკა წითელი იყოს. კამათი ზუსტად ისევე, როგორც A, Bგამორიცხა შემთხვევა, როცა მისი ორივე მარკა მწვანეა. ამიტომ მას მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა დარჩა: ერთი ბეჭედი მწვანეა, მეორე წითელი.

რამდენიმე მკითხველმა სწრაფად შეამჩნია, რომ პრობლემის გადაჭრა შეიძლება ძალიან სწრაფად, კითხვებისა და პასუხების გაანალიზების გარეშე. აი, რას წერს ამის შესახებ ერთ-ერთი მკითხველი: „პრობლემის პირობები სრულიად სიმეტრიულია წითელ და მწვანე ნიშნებთან მიმართებაში.

მაშასადამე, შორის შტამპების განაწილებით A, Bდა FROMთუ პრობლემის ყველა პირობა დაკმაყოფილდება და წითელი ნიშნები მწვანეთი ჩანაცვლდება და პირიქით, მწვანე წითელით, მივიღებთ განსხვავებულ განაწილებას, რისთვისაც ყველა პირობა დაკმაყოფილდება. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ გამოსავალი უნიკალურია, მაშინ ის უნდა იყოს უცვლელი (არ უნდა შეიცვალოს) მწვანე ეტიკეტების წითელით, ხოლო წითელის მწვანეთი ჩანაცვლებისას. ასეთი გამოსავალი შეიძლება იყოს მხოლოდ მარკების ისეთი განაწილება, რომელშიც B-ს ექნება ერთი მწვანე და ერთი წითელი შტამპი.

როგორც ბრუკლინის კოლეჯის მათემატიკის დეპარტამენტის დეკანმა W. Manheimer-მა თქვა, ეს ელეგანტური გამოსავალი გამომდინარეობს იქიდან, რომ არა A, Bდა FROM(როგორც აღნიშნულია პრობლემის მდგომარეობაში) და რაიმონდ სმულიანი!

ედინგტონის პრობლემაში, ამის ალბათობაა დსიმართლეს ამბობს, არის 13/41. ჭეშმარიტისა და მცდარის ყველა კომბინაცია, რომელიც შეიცავს კენტი რაოდენობის მცდარ რაოდენობას (ან ჭეშმარიტს) უნდა გაუქმდეს, რადგან ეწინააღმდეგება პრობლემის პირობებს. შედეგად, შესაძლო კომბინაციების რაოდენობა მცირდება 81-დან 41-მდე, რომელთაგან მხოლოდ 13 მთავრდება ჭეშმარიტი დებულებით. დ. Იმიტომ რომ A, Bდა FROMთქვით სიმართლე იმ შემთხვევებში, რომლებიც შეესაბამება ზუსტად იგივე რაოდენობის მოქმედ კომბინაციებს, სიმართლის თქმის ალბათობა ოთხივესთვის ერთნაირია.

ეკვივალენტობის სიმბოლოს გამოყენება

რაც ნიშნავს, რომ მასთან დაკავშირებული წინადადებები არის ორივე ჭეშმარიტი ან ორივე მცდარი (მაშინ მცდარი წინადადება არის ჭეშმარიტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში მცდარია), ხოლო უარყოფის სიმბოლო ~, ედინგტონის პრობლემა წინადადების გამოთვლაში შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ან ასეთი გამარტივების შემდეგ:

ამ გამოთქმის სიმართლის ცხრილი ადასტურებს უკვე მიღებულ პასუხს.

შენიშვნები:

ეს იმედგაცრუებაა- დაარღვიოს, რაღაც ამაო, უიმედო, წარუმატებლობისთვის განწირული (ინგლისური).

იხილეთ თავი რაიმონდ სმულიანის შესახებ წიგნში მ.გარდნერი„მოგზაურობა დროში“ (მ.: მირი, 1990 წ.).

ედინგტონ ა. ახალი გზები მეცნიერებაში. - კემბრიჯი: 1935; მიჩიგანი: 1959 წ.

შესავალი

ლოგიკა მოაზროვნეთა ღმერთია.

ლ.ფეიხტვანგერი

სწორი მსჯელობის უნარი აუცილებელია ადამიანის საქმიანობის ნებისმიერ სფეროში: მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში, სამართლიანობასა და დიპლომატიაში, ეკონომიკურ დაგეგმარებაში და სამხედრო საქმეებში. და ეს უნარი ბრუნდება ანტიკური დრო, ლოგიკა, ე.ი. მეცნიერება, რომლის მსჯელობის ფორმები სწორია, წარმოიშვა მხოლოდ ორი ათასი წლის წინ. განვითარდა VI საუკუნეში. ძვ.წ. დიდი ძველი ბერძენი ფილოსოფოსის არისტოტელეს, მისი სტუდენტებისა და მიმდევრების ნაშრომებში.

რაღაც მომენტში მათემატიკოსებმა დაუსვეს კითხვა: "რა არის სინამდვილეში მათემატიკა, მათემატიკური აქტივობა?" მარტივი პასუხი არის ის, რომ მათემატიკოსები ამტკიცებენ თეორემებს, ანუ ადგენენ რამდენიმე ჭეშმარიტებას რეალური სამყაროდა „იდეალური მათემატიკური სამყარო“. მცდელობა პასუხის გაცემის კითხვაზე, რა არის მათემატიკური თეორემა, მათემატიკური ჭეშმარიტება და რა არის მათემატიკური დებულება ჭეშმარიტი ან დასამტკიცებელი, ეს არის ასევე მათემატიკური ლოგიკის საწყისი წერტილის ქსელი. სკოლაში უნდა ვისწავლოთ ანალიზი, შედარება, მთავარის ხაზგასმა, განზოგადება და სისტემატიზაცია, მტკიცება და უარყოფა, ცნებების განსაზღვრა და ახსნა, პრობლემების დასმა და გადაჭრა. ამ მეთოდების დაუფლება ნიშნავს აზროვნების უნარს. მეცნიერებაში უნდა გამოიტანო სხვადასხვა ფორმულები, რიცხვითი ნიმუშები, წესები და დაამტკიცო თეორემები მსჯელობით. მაგალითად, 1781 წელს აღმოაჩინეს პლანეტა ურანი. დაკვირვებებმა აჩვენა, რომ ამ პლანეტის მოძრაობა განსხვავდება თეორიულად გათვლილი მოძრაობისგან. ფრანგმა მეცნიერმა ლე ვერიერმა (1811-1877), ლოგიკურად მსჯელობდა და საკმაოდ რთულ გამოთვლებს ახორციელებდა, დაადგინა სხვა პლანეტის გავლენა ურანზე და მიუთითა მისი მდებარეობა. 1846 წელს ასტრონომმა გალემ დაადასტურა პლანეტის არსებობა, რომელსაც ნეპტუნი ერქვა. ამით ისინი იყენებდნენ მათემატიკური მსჯელობისა და გამოთვლების ლოგიკას.

ჩვენი მოსაზრებების მეორე საწყისი წერტილი არის იმის გარკვევა, თუ რას ნიშნავს, რომ მათემატიკური ფუნქცია გამოთვლადია და შეიძლება გამოითვალოს გარკვეული ალგორითმის, ფორმალური წესის, ზუსტად აღწერილი პროცედურის გამოყენებით. ამ ორ თავდაპირველ ფორმულირებას ბევრი საერთო აქვს, ისინი ბუნებრივად გაერთიანებულია ზოგადი სახელწოდებით "მათემატიკური ლოგიკა", სადაც მათემატიკური ლოგიკა პირველ რიგში გაგებულია, როგორც მათემატიკური მსჯელობისა და მათემატიკური მოქმედებების ლოგიკა.

სწორედ ეს თემა ავირჩიე, რადგან მათემატიკური ლოგიკის ელემენტების ათვისება დამეხმარება მომავალ ეკონომიკურ პროფესიაში. მარკეტინგი ხომ აანალიზებს ტენდენციებსბაზარი,ფასები, ბრუნვა და მარკეტინგის მეთოდები, აგროვებს მონაცემებს კონკურენტი ორგანიზაციების შესახებ,გასცემს რეკომენდაციებს. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგიკის ცოდნა.

მიზანი: მათემატიკური ლოგიკის შესაძლებლობების შესწავლა და გამოყენება სხვადასხვა სფეროსა და ადამიანის საქმიანობის ამოცანების გადაჭრისას.

Დავალებები:

1. გააანალიზეთ ლიტერატურა მათემატიკური ლოგიკის არსის და წარმოშობის შესახებ.

2. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტების შესწავლა.

3. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტებით ამოცანების შერჩევა და ამოხსნა.

მეთოდები: ლიტერატურის ანალიზი, ცნებები, ანალოგიების მეთოდი პრობლემების გადაჭრაში, თვითდაკვირვება.

1. მათემატიკური ლოგიკის გაჩენის ისტორიიდან

მათემატიკური ლოგიკა მჭიდრო კავშირშია ლოგიკასთან და მის წარმოშობას ევალება. ლოგიკის საფუძვლები, მეცნიერება ადამიანთა აზროვნების კანონებისა და ფორმების შესახებ, ჩაუყარა უდიდესმა ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა არისტოტელემ (ძვ. წ. 384-322 წწ.), რომელმაც თავის ტრაქტატებში საფუძვლიანად შეისწავლა ლოგიკის ტერმინოლოგია, დეტალურად გააანალიზა დასკვნების თეორია. და მტკიცებულებები, აღწერილია მთელი რიგი ლოგიკური ოპერაციები, ჩამოაყალიბეს აზროვნების ძირითადი კანონები, მათ შორის, წინააღმდეგობის კანონები და მესამეს გამორიცხვა. არისტოტელეს წვლილი ლოგიკაში ძალიან დიდია, უმიზეზოდ მისი სხვა სახელია არისტოტელესური ლოგიკა. თავად არისტოტელემაც კი შენიშნა, რომ მის მიერ შექმნილ მეცნიერებასა და მათემატიკას შორის (იმ დროს მას არითმეტიკას ეძახდნენ) ბევრი საერთოა. იგი ცდილობდა ამ ორი მეცნიერების გაერთიანებას, კერძოდ, ასახვას, უფრო სწორად, დასკვნას, საწყის პოზიციებზე დაყრდნობით გაანგარიშებამდე დაეყვანა. არისტოტელე თავის ერთ-ერთ ტრაქტატში მიუახლოვდა მათემატიკური ლოგიკის ერთ-ერთ მონაკვეთს - მტკიცებულებათა თეორიას.

მომავალში, ბევრმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა შეიმუშავა ლოგიკის გარკვეული დებულებები და ზოგჯერ გამოკვეთეს თანამედროვე წინადადებების კალკულუსის კონტურებიც, მაგრამ მათემატიკური ლოგიკის შექმნასთან ყველაზე ახლოს მე-17 საუკუნის მეორე ნახევარში, გამოჩენილი გერმანელი მეცნიერი გოტფრიდ ვილჰელმი იყო. ლაიბნიცი (1646 - 1716), რომელმაც მიუთითა ლოგიკის თარგმნის გზებზე "სიტყვიერი სფეროდან, გაურკვევლობებით სავსე, მათემატიკის სფერომდე, სადაც ობიექტებსა თუ განცხადებებს შორის ურთიერთობა განისაზღვრება სრულყოფილი სიზუსტით". ლაიბნიცი იმედოვნებდა კიდეც, რომ მომავალში ფილოსოფოსები, უშედეგო კამათის ნაცვლად, აიღებდნენ ქაღალდს და გაარკვევდნენ, რომელი მათგანი იყო მართალი. ამავდროულად, ლაიბნიცი თავის ნაშრომებში ბინარულ რიცხვთა სისტემასაც შეეხო. უნდა აღინიშნოს, რომ ინფორმაციის კოდირებისთვის ორი სიმბოლოს გამოყენების იდეა ძალიან ძველია. ავსტრალიელი აბორიგენები ითვლიდნენ წყლებში, ახალი გვინეისა და სამხრეთ ამერიკის მონადირე-შემგროვებელთა ზოგიერთი ტომი ასევე იყენებდა ორობითი დათვლის სისტემას. ზოგიერთ აფრიკულ ტომში შეტყობინებები გადაიცემა დასარტყამების გამოყენებით გახმოვანებული და მოსაწყენი დარტყმების კომბინაციების სახით. ორსიმბოლოიანი კოდირების ნაცნობი მაგალითია მორზეს კოდი, სადაც ანბანის ასოები წარმოდგენილია წერტილებისა და ტირეების გარკვეული კომბინაციით. ლაიბნიცის შემდეგ ბევრმა გამოჩენილმა მეცნიერმა ჩაატარა კვლევა ამ სფეროში, მაგრამ ნამდვილი წარმატება აქ მიაღწია თვითნასწავლ ინგლისელ მათემატიკოს ჯორჯ ბულს (1815-1864), მის გადაწყვეტილებას საზღვარი არ ჰქონდა.

Ფინანსური სიტუაციაგიორგის მშობლებმა (რომლის მამაც ფეხსაცმლის მწარმოებელი იყო) მას მხოლოდ დამთავრების უფლება მისცეს დაწყებითი სკოლაღარიბებისთვის. გარკვეული პერიოდის შემდეგ, ბუჰლმა, შეცვალა რამდენიმე პროფესია, გახსნა პატარა სკოლა, სადაც თავად ასწავლიდა. მან დიდი დრო დაუთმო თვითგანათლებას და მალევე დაინტერესდა სიმბოლური ლოგიკის იდეებით. 1847 წელს ბულმა გამოაქვეყნა სტატია "ლოგიკის მათემატიკური ანალიზი, ან დედუქციური დასკვნების გამოთვლების გამოცდილება", ხოლო 1854 წელს გამოჩნდა მისი მთავარი ნაშრომი "აზროვნების კანონების გამოკვლევა, რომლებზეც დაფუძნებულია ლოგიკისა და ალბათობის მათემატიკური თეორიები". . ბულმა გამოიგონა ერთგვარი ალგებრა - აღნიშვნების სისტემა და წესები, რომლებიც გამოიყენება ყველა სახის ობიექტზე, რიცხვებიდან და ასოებიდან წინადადებებამდე. ამ სისტემის გამოყენებით, მას შეეძლო დაშიფვრა განცხადებები (განცხადებები, რომლებიც უნდა დადასტურდეს ჭეშმარიტი ან მცდარი) მისი ენის სიმბოლოების გამოყენებით, შემდეგ კი მათი მანიპულირება ისევე, როგორც რიცხვებით მანიპულირება ხდება მათემატიკაში. ლოგიკური ალგებრის ძირითადი ოპერაციებია შეერთება (AND), დისიუნქცია (OR) და უარყოფა (NOT). გარკვეული პერიოდის შემდეგ, გაირკვა, რომ ბულის სისტემა კარგად არის შესაფერისი ელექტრული გადართვის სქემების აღწერისთვის. წრეში დენი შეიძლება შემოვიდეს ან არა, ისევე როგორც განცხადება შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი. და რამდენიმე ათეული წლის შემდეგ, უკვე მე-20 საუკუნეში, მეცნიერებმა გააერთიანეს ჯორჯ ბულის მიერ შექმნილი მათემატიკური აპარატი ბინარული რიცხვების სისტემასთან, რითაც საფუძველი ჩაუყარა ციფრული ელექტრონული კომპიუტერის განვითარებას. ბულის ნაშრომის ცალკეულ დებულებებს გარკვეულწილად შეეხო როგორც მის წინ, ისე მის შემდეგ სხვა მათემატიკოსები და ლოგიკოსები. თუმცა, დღეს ამ სფეროში, სწორედ ჯორჯ ბულის ნამუშევრები ითვლება მათემატიკურ კლასიკად, და ის თავად ითვლება მათემატიკური ლოგიკის ფუძემდებლად და, მით უმეტეს, მისი ყველაზე მნიშვნელოვანი განყოფილებების - ლოგიკის ალგებრას (ბულის ალგებრა) ფუძემდებლად. ) და წინადადებათა ალგებრა.

ლოგიკის განვითარებაში დიდი წვლილი შეიტანეს ასევე რუსმა მეცნიერებმა პ.ს. პორეცკი (1846-1907), ი.ი. ჟეგალკინი (1869-1947 წწ.).

მე-20 საუკუნეში მათემატიკური ლოგიკის განვითარებაში უზარმაზარი როლი ითამაშა

D. Hilbert (1862-1943), რომელმაც შემოგვთავაზა პროგრამა მათემატიკის ფორმალიზაციისთვის, რომელიც დაკავშირებულია თავად მათემატიკის საფუძვლების განვითარებასთან. დაბოლოს, მე-20 საუკუნის ბოლო ათწლეულებში მათემატიკური ლოგიკის სწრაფი განვითარება განპირობებული იყო ალგორითმებისა და ალგორითმული ენების თეორიის, ავტომატების თეორიის, გრაფიკების თეორიის (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov და მრავალი სხვა).

მე-20 საუკუნის შუა ხანებში კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარებამ გამოიწვია გაჩენა ლოგიკური ელემენტებილოგიკური ბლოკები და კომპიუტერული ტექნოლოგიების მოწყობილობები, რაც დაკავშირებული იყო ლოგიკის ისეთი სფეროების დამატებით განვითარებასთან, როგორიცაა ლოგიკური სინთეზის პრობლემები, ლოგიკური დიზაინი და ლოგიკური მოწყობილობებისა და კომპიუტერული ტექნოლოგიების ლოგიკური მოდელირება. 1980-იან წლებში დაიწყო კვლევა ამ სფეროში ხელოვნური ინტელექტიეფუძნება ლოგიკური პროგრამირების ენებსა და სისტემებს. საექსპერტო სისტემების შექმნა დაიწყო თეორემების ავტომატური მტკიცებულების, აგრეთვე მტკიცებულებებზე დაფუძნებული პროგრამირების მეთოდების გამოყენებით და განვითარებით ალგორითმებისა და კომპიუტერული პროგრამების გადამოწმებისთვის. 1980-იან წლებში დაიწყო ცვლილებები განათლებაშიც. საშუალო სკოლებში პერსონალური კომპიუტერების გამოჩენამ გამოიწვია კომპიუტერული მეცნიერების სახელმძღვანელოების შექმნა მათემატიკური ლოგიკის ელემენტების შესწავლით მუშაობის ლოგიკური პრინციპების ასახსნელად. ლოგიკური სქემებიდა გამოთვლითი მოწყობილობები, ასევე მეხუთე თაობის კომპიუტერების ლოგიკური პროგრამირების პრინციპები და კომპიუტერული მეცნიერების სახელმძღვანელოების შემუშავება პრედიკატის გაანგარიშების ენის შესწავლით ცოდნის ბაზის შესაქმნელად.

1. სიმრავლეების თეორიის საფუძვლები

კომპლექტის ცნება არის მათემატიკის ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნება, რომლის ზუსტად განსაზღვრა რთულია ელემენტარული ცნებების გამოყენებით. ამიტომ, ჩვენ შემოვიფარგლებით კომპლექტის კონცეფციის აღწერილობითი ახსნით.

ბევრი ეწოდება გარკვეული საკმაოდ განსხვავებული ობიექტების ერთობლიობას, განიხილება როგორც ერთიან მთლიანობა. სიმრავლეების თეორიის შემქმნელმა, გეორგ კანტორმა, მისცა სიმრავლის შემდეგი განმარტება - „სიმრავლე არის ბევრი, რასაც ჩვენ მთლიანობაში ვფიქრობთ“.

ცალკეულ ობიექტებს, რომლებიც ქმნიან კომპლექტს, ე.წკომპლექტის ელემენტები.

სიმრავლეები, როგორც წესი, აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით, ხოლო ამ ნაკრების ელემენტები აღინიშნება ლათინური ანბანის მცირე ასოებით. კომპლექტები იწერება ხვეული ფრჩხილებში ( ).

ჩვეულებრივია გამოიყენოთ შემდეგი აღნიშვნა:

ა∈ X - "ა ელემენტი ეკუთვნის X სიმრავლეს";

ა∉ X - "ა ელემენტი არ მიეკუთვნება X სიმრავლეს";

∀ - თვითნებობის, განზოგადების რაოდენობრივი მაჩვენებელი, რომელიც აღნიშნავს "ნებისმიერს", "რაც არ უნდა იყოს", "ყველასთვის";

∃ - არსებობის რაოდენობრივი მაჩვენებელი:∃ წ∈ B - "არსებობს (არსებობს) ელემენტი y B სიმრავლიდან";

∃! - არსებობისა და უნიკალურობის რაოდენობრივი მაჩვენებელი:∃ !ბ∈ C - "არსებობს უნიკალური ელემენტი b სიმრავლიდან C";

: - "ისეთივე როგორც; ქონების ფლობა“;

→ - შედეგის სიმბოლო ნიშნავს "მოიყვება";

⇔ - ეკვივალენტობის კვანტიფიკატორი, ეკვივალენტობა – „თუ და მხოლოდ მაშინ“.

კომპლექტი არისსასრული და გაუთავებელი . კომპლექტები ე.წსაბოლოო , თუ მისი ელემენტების რაოდენობა სასრულია, ე.ი. თუ არის ნატურალური რიცხვი n, რომელიც არის სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა. A=(ა 1, a 2, a 3, ..., a n ). კომპლექტი ე.წგაუთავებელი თუ იგი შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ელემენტებს. B=(ბ 1, ბ 2, ბ 3 ,...). მაგალითად, რუსული ანბანის ასოების ნაკრები არის სასრული ნაკრები. ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არის უსასრულო სიმრავლე.

ელემენტების რაოდენობას სასრულ სიმრავლეში M ეწოდება M სიმრავლის კარდინალურობა და აღინიშნება |M|-ით.ცარიელი ნაკრები - ნაკრები, რომელიც არ შეიცავს ელემენტებს -∅ . ორი კომპლექტი ე.წთანაბარი , თუ ისინი შედგება ერთი და იგივე ელემენტებისაგან, ე.ი. არის იგივე ნაკრები. სიმრავლეები არ არის X ≠ Y-ის ტოლი, თუ X აქვს ელემენტები, რომლებიც არ ეკუთვნის Y-ს, ან Y აქვს ელემენტები, რომლებიც არ ეკუთვნის X-ს. სიმრავლის თანასწორობის სიმბოლოს აქვს შემდეგი თვისებები:

X=X; - რეფლექსურობა

თუ X=Y, Y=X - სიმეტრია

თუ X=Y,Y=Z, მაშინ X=Z გარდამავალია.

სიმრავლეთა ტოლობის ამ განმარტების მიხედვით, ბუნებრივად ვიღებთ, რომ ყველა ცარიელი სიმრავლე ტოლია ერთმანეთის, ან რომ იგივეა, რომ მხოლოდ ერთი ცარიელი სიმრავლეა.

ქვეჯგუფები. ინკლუზიური ურთიერთობა.

X სიმრავლე არის Y სიმრავლის ქვესიმრავლე, თუ X სიმრავლის რომელიმე ელემენტი∈ და მითითებული Y. აღინიშნება X-ით⊆ ი.

თუ საჭიროა ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ Y შეიცავს X-ის ელემენტების გარდა სხვა ელემენტებს, მაშინ გამოიყენება მკაცრი ჩართვის სიმბოლო.⊂ : X ⊂ Y. სიმბოლოებს შორის ურთიერთობა⊂ და ⊆ მოცემულია:

X ⊂ ი ⇔ X ⊆ Y და X≠Y

ჩვენ აღვნიშნავთ ქვეჯგუფის ზოგიერთ თვისებას, რომელიც გამომდინარეობს განმარტებიდან:

X⊆ X (რეფლექსურობა);

→ X⊆ Z (ტრანზიტულობა);

თავდაპირველი A სიმრავლე მის ქვეჯგუფებთან მიმართებაში ეწოდებასრული კომპლექტი და აღინიშნება I-ით.

ნებისმიერი ქვესიმრავლე Aმე A სიმრავლეს ეწოდება A-ს სათანადო სიმრავლე.

სიმრავლე, რომელიც შედგება მოცემული X სიმრავლისა და ცარიელი სიმრავლისგან ყველა ქვესიმრავლისაგან∅ , ეწოდება ლოგიკური X და აღინიშნება β(X). ლოგიკური სიმძლავრე |β(X)|=2ნ.

თვლადი ნაკრები- ეს არის A სიმრავლე, რომლის ყველა ელემენტი შეიძლება იყოს დანომრილი თანმიმდევრობით (მ.ბ. უსასრულო) და 1, a 2, a 3, ..., a n , ... ისე, რომ ამ შემთხვევაში თითოეული ელემენტი იღებს მხოლოდ ერთ რიცხვს n და ყოველი ნატურალური რიცხვი n მოცემულია რიცხვად ჩვენი სიმრავლის ერთ და მხოლოდ ერთ ელემენტზე.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ეკვივალენტურ სიმრავლეს თვლადი სიმრავლე ეწოდება.

მაგალითი. მთელი რიცხვების კვადრატების ნაკრები 1, 4, 9, ..., n 2 წარმოადგენს მხოლოდ N ნატურალური რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლეს. სიმრავლე თვლადია, ვინაიდან იგი მოყვანილია ერთ-ერთ შესაბამისობაში ბუნებრივ სერიებთან, თითოეულ ელემენტზე მინიჭებით ნატურალური რიგის რიცხვის რიცხვი, კვადრატი. რომელიც არის.

ნაკრების განსაზღვრის 2 ძირითადი გზა არსებობს.

ჩამოთვლა (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,მ 2 ,მ 3 ,...,მ ნ });

აღწერა - მიუთითებს იმ დამახასიათებელ თვისებებზე, რაც აქვს კომპლექტის ყველა ელემენტს.

ნაკრები მთლიანად განისაზღვრება მისი ელემენტებით.

ჩამოთვლას შეუძლია მხოლოდ განსაზღვროს სასრული სიმრავლეები (მაგალითად, თვეების სიმრავლე წელიწადში). უსასრულო სიმრავლეების განსაზღვრა შესაძლებელია მხოლოდ მისი ელემენტების თვისებების აღწერით (მაგალითად, რაციონალური რიცხვების სიმრავლის განსაზღვრა შესაძლებელია Q=(n/m, m, n) აღწერით∈ Z, m≠0).

აღწერილობით ნაკრების მითითების გზები:

ა) გენერირების პროცედურის მითითებითსიმრავლის (სიმრავლების) მითითებით, რომელსაც გადის ამ პროცედურის პარამეტრი (პარამეტრები) - რეკურსიული, ინდუქციური.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - ბევრი ფიბონიკის რიცხვი.

(მრავალი ელემენტი x, ისეთი, რომ x 1 \u003d 1, x 2 =1 და თვითნებური x k+1 (k=1,2,3,...-ისთვის) გამოითვლება x ფორმულით k+2 \u003d x k + x k + 1) ან X \u003d)