Математикийн хөгжилтэй логик. Хөгжилтэй логик Математикийн логик асуултууд

1. Тайлбар тэмдэглэл
1.1 Хамааралтай байдал
1.2 Хөтөлбөрийн зорилго
1.3 Хөтөлбөрийн зорилтууд
1.4 Хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх хугацаа, хүүхдийн нас, хичээл явуулах хэлбэр
1.5 Хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх үе шатууд
1.6 Хөтөлбөрийн агуулга
1.7 Хүлээгдэж буй үр дүн

2. Арга зүйн дэмжлэг
2.1 Тойргийн хэтийн төлөв-сэдэвчилсэн төлөвлөгөө " Хөгжилтэй логик»

3. Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдийн логик сэтгэлгээний оношлогооны хөтөлбөр.

5. Мэдээллийн нөөц

1. Тайлбар тэмдэглэл.
Сургуулийн өмнөх насны хүүхдэд яагаад логик хэрэгтэй вэ?
Л.А.Венгерийн хэлснээр “Таван настай хүүхдийн хувьд аливаа зүйлийн гадаад шинж чанар нь дангаараа хангалтгүй гэдэг нь тодорхой. Тэд зөвхөн гадаад төдийгүй дэлхийн талаарх шинжлэх ухааны мэдлэгийн үндэс болсон дотоод, далд шинж чанар, харилцаа холбоог аажмаар олж авахад бэлэн байна ... Энэ бүхэн ашигтай байх болно. сэтгэцийн хөгжилХэрэв сургалт нь аливаа зүйлийн гадаад шинж чанар, тэдгээрийн олон янз байдлын дээжийг өөртөө шингээхэд үндэслэсэн сэтгэхүйн чадвар, ойлголт, уран сэтгэмж, уран сэтгэмжийн чадварыг хөгжүүлэхэд чиглэгдсэн тохиолдолд л хүүхэд юм ... "
Сургуулийн өмнөх насны хүүхдийн олж авсан ур чадвар нь ахимаг насанд - сургуульд мэдлэг олж авах, чадварыг хөгжүүлэх үндэс суурь болно. Эдгээр ур чадваруудаас хамгийн чухал нь логик сэтгэлгээний ур чадвар, "оюун ухаандаа ажиллах" чадвар юм. Логик сэтгэлгээний аргыг эзэмшээгүй хүүхдэд асуудлыг шийдвэрлэх нь илүү хэцүү байх болно, дасгал хийх нь маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт шаарддаг. Үүний үр дүнд хүүхдийн эрүүл мэнд муудаж, сурах сонирхол суларч, бүр алга болно.
Логик үйлдлүүдийг эзэмшсэнээр хүүхэд илүү анхааралтай болж, тодорхой, тодорхой бодож сурах, асуудлын мөн чанарт зөв цагт анхаарлаа төвлөрүүлэх чадвартай болно. Энэ нь сурахад илүү хялбар болно, энэ нь суралцах үйл явц, мөн өөрөө гэсэн үг юм сургуулийн амьдралбаяр баясгалан, сэтгэл ханамжийг авчрах болно.
Энэхүү хөтөлбөр нь тусгай тоглоом, дасгалын тусламжтайгаар хүүхдүүдийг хүрээлэн буй бодит байдалд бие даан логик харилцаа тогтоох чадварыг бий болгох боломжтой болохыг харуулж байна.
Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдтэй танин мэдэхүйн үйл явцыг хөгжүүлэх чиглэлээр ажилласнаар та тэднийг амжилттай хөгжүүлэх, сурахад зайлшгүй шаардлагатай нөхцлүүдийн нэг бол тууштай байдал юм гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. тууштай хөгжиж, илүү төвөгтэй агуулгатай, дидактик даалгавар бүхий тусгай тоглоом, дасгалын систем; тоглоомын үйлдлүүдболон дүрэм. Тус тусад нь авсан тоглоом, дасгалууд нь маш сонирхолтой байж болох ч тэдгээрийг системээс гадуур ашиглах нь хүссэн суралцах, хөгжүүлэх үр дүнд хүрч чадахгүй.
1.1 Хамааралтай байдал
Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийг амжилттай хөгжүүлэхийн тулд хүүхэд зөвхөн их зүйлийг мэддэг байхаас гадна тууштай, дүгнэлттэй сэтгэх, таах, сэтгэхүйн хурцадмал байдлыг харуулах, логикоор сэтгэх хэрэгтэй.
Логик сэтгэлгээг хөгжүүлэхийг заах нь ирээдүйн оюутны хувьд чухал ач холбогдолтой бөгөөд өнөөдөр маш их хамааралтай юм.
Цээжлэх аливаа аргыг эзэмшсэнээр хүүхэд зорилгоо тодорхойлж, түүндээ хүрэхийн тулд материалтай тодорхой ажил хийж сурдаг. Тэрээр цээжлэх зорилгоор материалыг давтах, харьцуулах, нэгтгэх, бүлэглэх хэрэгцээг ойлгож эхэлдэг.
Хүүхдүүдэд ангиллын талаар заах нь санах ойн илүү төвөгтэй аргыг амжилттай эзэмшихэд хувь нэмэр оруулдаг - хүүхдүүд сургууль дээр тулгардаг семантик бүлэглэл.
Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдийн логик сэтгэлгээ, ой санамжийг хөгжүүлэх боломжийг ашиглан хүүхдүүдийг сургуулийн боловсролын өмнө тавьж буй асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү амжилттай бэлтгэх боломжтой.
Логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх нь дидактик тоглоом ашиглах, авхаалж самбаа, оньсого, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх зэрэг орно. логик тоглоомуудболон лабиринтууд нь хүүхдүүдийн сонирхлыг их татдаг. Энэхүү үйл ажиллагааны явцад хүүхдийн бие даасан зан чанар, авхаалж самбаа, авхаалж самбаа, тууштай байдал, бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх чухал шинж чанарууд үүсдэг. Хүүхдүүд бүтээлч байдлыг харуулахын зэрэгцээ өөрсдийн үйлдлүүдийг төлөвлөж, тэдгээрийн талаар бодож, үр дүнг хайж олоход суралцдаг.
Хүүхдүүдтэй ажиллахдаа олон хүүхэд энгийн мэт санагдах логик ажлуудыг даван туулж чаддаггүйг анзаарч болно. Жишээлбэл, сургуулийн өмнөх насны ихэнх хүүхдүүд жимс, жимсгэнэ эсвэл алимны аль нь илүү вэ гэсэн асуултанд зөв хариулж чадахгүй, тэр ч байтугай тэдний гарт жимс зурсан зураг байсан ч - олон алим, хэд хэдэн лийр. Хүүхдүүд илүү олон лийр байдаг гэж хариулна. Ийм тохиолдолд тэрээр өөрийн нүдээр харсан зүйлдээ үндэслэн хариултаа өгдөг. Тэд уран сэтгэмжээрээ "унадаг" бөгөөд 5 нас хүрэхэд хүүхдүүд логик үндэслэлтэй байдаггүй. Ахлах ангид сургуулийн өмнөх насныТэд логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх хамгийн оновчтой аргыг тодорхойлоход шаардлагатай сургуулийн сурагчид, насанд хүрэгчдийн онцлог шинж чанартай логик сэтгэлгээний элементүүдийг харуулж эхэлдэг.
Логик агуулгатай тоглоомууд нь хүүхдийн танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх, судалгаа, бүтээлч эрэл хайгуул, суралцах хүсэл, чадварыг хөгжүүлэхэд тусалдаг. Дидактик тоглоом нь хүүхдийн хамгийн байгалийн үйл ажиллагааны нэг бөгөөд оюуны болон бүтээлч илрэл, өөрийгөө илэрхийлэх, бие даасан байдлыг бий болгох, хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг. Хүүхдийн логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх замаар дидактик тоглоомуудЭнэ нь дараагийн сургуулийн амжилт, оюутны хувийн шинж чанарыг зөв төлөвшүүлэхэд чухал ач холбогдолтой бөгөөд цаашдын боловсрол нь математик, компьютерийн шинжлэх ухааны үндсийг амжилттай эзэмшихэд тусална.
1.2 Хөтөлбөрийн зорилго:Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүдийн логик сэтгэлгээг дээд зэргээр хөгжүүлэх нөхцлийг бүрдүүлэх, амжилттай сургуульд бэлтгэх.
1.3 Хөтөлбөрийн зорилтууд:

• Хүүхдэд логикийн үндсэн үйлдлүүдийг заах: дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, харьцуулах, үгүйсгэх, ангилах, системчлэх, хязгаарлах, нэгтгэх, дүгнэлт хийх.
• хүүхдүүдэд сансарт жолоодохыг заах
• Хүүхдэд сэтгэцийн өндөр үйл ажиллагаа, үндэслэл, нотлох чадварыг хөгжүүлэх
• бэрхшээлийг даван туулах хүсэл эрмэлзэл, өөртөө итгэх итгэл, үе тэнгийнхэндээ туслах хүслийг төлөвшүүлэх

1.4 Хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх хугацаа, хүүхдийн нас, хичээл явуулах хэлбэр
Хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх хугацаа - 1-2 жил
Хөтөлбөр нь 5-7 насны хүүхдүүдэд зориулагдсан.
Хөтөлбөр нь дугуйлангийн хичээлийг янз бүрийн хэлбэрээр явуулах боломжийг олгодог.

• Хувь хүн бие даасан ажилхүүхдүүд.
• Хоёр хоёроороо ажиллах; хосоор ажиллах.
• Ажлын бүлгийн хэлбэрүүд.
• Ялгарсан.
• Урд талын үзлэг, хяналт.
• Хийсэн ажлынхаа өөрийн үнэлгээ.
• Дидактик тоглоом.
• Өрсөлдөөн.
• Тэмцээн.

1.5 Хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх үе шатууд
Үйл ажиллагааны технологийг үе шаттайгаар бүтээдэг.

1. Танин мэдэхүйн үйл явцын хөгжлийн анхны түвшинг оношлох, тэдгээрийн хөгжлийг хянах.
2. Хүүхэд бүрийн хувийн шинж чанар, байгаа мэдлэгийг харгалзан нэг буюу өөр чанарыг хөгжүүлэх арга хэрэгслийг төлөвлөх (анхаарал, санах ой, төсөөлөл, сэтгэлгээ).
3. Хөгжиж буй курст сургалтын салбар хоорондын (салшгүй) суурийг бий болгох.
4. Материалын аажмаар хүндрэл, ажлын хэмжээг аажмаар нэмэгдүүлэх, хүүхдийн бие даасан байдлын түвшинг нэмэгдүүлэх.
5. Онолын элементүүдтэй танилцах, үндэслэлийг заах арга барил, сонголтоо өөрөө батлах.
6. Мэдлэг, аргуудыг нэгтгэх танин мэдэхүйн үйл ажиллагаа, түүний ерөнхий арга техникийг эзэмших.
7. Хүүхдийг багтаасан байх ёстой боловсруулсан шалгуурын дагуу хөгжлийн сургалтын үр дүнг үнэлэх (өөрийгөө үнэлэх, өөрийгөө хянах, харилцан хяналт).

1. 6 Хөтөлбөрийн агуулга
Товч тодорхойлолтангиудын хэсгүүд ба сэдвүүд (хэсгүүд нь хүүхдүүдийн ангид сурах тодорхой логик үйлдэлтэй тохирч байна):

1. Анализ - синтез.
Зорилго нь хүүхдүүдэд бүх зүйлийг хэсэг болгон хуваахыг заах, тэдгээрийн хоорондын холбоог бий болгох; объектын хэсгүүдийг оюун ухаанаараа нэгтгэж нэг бүхэл болгож сурах.
Тоглоом ба дасгалууд: логик хос олох (муур - зулзага, нохой - ? (гөлөг)). Зургийг нөхөх (нөхөөс авах, даашинз руу халаас зурах). Эсрэг талыг хайх (хөнгөн - хүнд, хүйтэн - халуун). Янз бүрийн нарийн төвөгтэй оньсоготой ажиллах. Тоолох саваа, геометрийн дүрсээс зураг тавих.

2. Харьцуулалт.
Зорилго нь чухал шинж чанаруудын дагуу объектуудын ижил төстэй байдал, ялгааг оюун ухаанаар тогтооход сургах; хүүхдийн анхаарал, ойлголтыг хөгжүүлэх. Орон зайд чиг баримжаагаа сайжруулах.
Тоглоом, дасгалууд: үзэл баримтлалыг нэгтгэх: том - жижиг, урт - богино, нам - өндөр, нарийн - өргөн, өндөр - доод, цаашлаад - ойр гэх мэт. "Ижил", "ихэнх" гэсэн ойлголттой ажилладаг. Ижил төстэй 2 зургаас ижил төстэй ба ялгааг хайж олоорой.

3. Хязгаарлалт.
Зорилго нь бүлгээс нэг буюу хэд хэдэн объектыг тодорхой шинж чанарын дагуу ялгаж сургах явдал юм. Хүүхдүүдийн ажиглах чадварыг хөгжүүлэх.
Тоглоом, дасгалууд: "зөвхөн улаан тугуудыг нэг шугамаар дугуйл", "дугуй бус бүх зүйлийг ол" гэх мэт. Дөрөв дэх илүүдлийг хасах.

4. Ерөнхий дүгнэлт.
Зорилго нь объектыг шинж чанарын дагуу бүлэг болгон нэгтгэж сургах явдал юм. Үгийн санг баяжуулахад хувь нэмэр оруулах, хүүхдийн өдөр тутмын мэдлэгийг өргөжүүлэх.
Ерөнхий ойлголттой ажиллах тоглоом, дасгалууд: тавилга, аяга таваг, тээвэр, хүнсний ногоо, жимс жимсгэнэ гэх мэт.

5. Системчилэл.
Зорилго нь хэв маягийг тодорхойлоход заах явдал юм; хүүхдийн үгсийн санг өргөжүүлэх; зурагнаас хэлж сурах, дахин ярих.
Тоглоом, дасгал: шидэт дөрвөлжин (алга болсон хэсэг, зургийг авах). Цуврал зурган дээр үндэслэн үлгэр зохиох, зургуудыг логик дарааллаар байрлуулах.

6. Ангилал.
Зорилго нь объектуудыг үндсэн шинж чанаруудын дагуу бүлэгт хуваарилахыг заах явдал юм. Ерөнхий ойлголтыг нэгтгэх, тэдэнтэй чөлөөтэй ажиллах.

7. Дүгнэлт.
Зорилго нь дүгнэлт гаргахын тулд шүүлтийн тусламжтайгаар заах явдал юм. Хүүхдийн өрхийн мэдлэгийг өргөжүүлэхэд хувь нэмэр оруулах. Төсөөллийг хөгжүүлэх.
Тоглоом, дасгал: үзэгдлээс эерэг ба сөрөг зүйлийг хайх (жишээлбэл, бороо ороход ургамлыг тэжээдэг - энэ нь сайн, гэхдээ муу зүйл нь бороонд хүн норж, ханиад хүрч, өвддөг) . Тодорхой дүгнэлтүүдийн зөв байдлын үнэлгээ ("Мод найгадаг тул салхи үлээж байна." Тийм үү?). Шийдэл логик даалгавар.

1.7 Хүлээгдэж буй үр дүн
Төлөвлөсөн үр дүн:
Хүүхдүүд мэдэх ёстой:

• тоо, объект, үзэгдэл, үгсийн хэв маяг, шинж чанарыг бий болгох зарчим;
• оньсого, кроссворд, гинж үг, лабиринтийн бүтцийн зарчим;
• антоним ба синоним;
• геометрийн хэлбэрийн нэрс, тэдгээрийн шинж чанар;
• програмчлалын зарчим, үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах.

Хүүхдүүд дараахь чадвартай байх ёстой.

• хэв маягийг тодорхойлж, энэ хэв маягийн дагуу даалгавар гүйцэтгэх, объектуудыг ангилах, бүлэглэх, харьцуулах, нийтлэг болон тодорхой шинж чанаруудыг олох, ерөнхий болон хийсвэрлэх, тэдгээрийн үйл ажиллагаанд дүн шинжилгээ хийх, үнэлэх;
• үндэслэлээр дамжуулан логик, стандарт бус асуудлыг шийдвэрлэх, бүтээлч эрэл хайгуул, аман-дидактик, тоон даалгавруудыг гүйцэтгэх, математикийн оньсого хариултыг олох;
• Халаалтын үеэр тавьсан асуултуудад хурдан бөгөөд зөв хариулах;
• анхаарал, ойлголт, санах ойг сургах даалгавруудыг гүйцэтгэх
• график диктант хийх, график даалгаврын схемийн дүрслэлд шилжих чадвартай байх;
• зорилго тавих, ажлын үе шатыг төлөвлөх, өөрийн хүчин чармайлтаар үр дүнд хүрэх чадвартай байх.

Ажлын үр дүнг шалгах арга : хэсэг бүрийн дараа ерөнхий ангиуд, логик сэтгэлгээний үйл ажиллагааг эзэмших түвшний 2 оношлогоо (эхний (9-р сар) ба эцсийн (5-р сар)).

Шерлок Холмсын "Би чамд хичнээн олон удаа хэлсэн бэ, боломжгүй бүхнээ хая, тэгвэл хэчнээн гайхалтай санагдаж байсан ч хариу үлдэнэ" гэж хэлсэн нь энэ бүлгийн эпиграф болж чадна.

Хэрэв таавар шийдвэрлэхэд зөвхөн логикоор сэтгэх чадвар шаардлагатай бөгөөд арифметик тооцоолол хийх шаардлагагүй бол ийм оньсого нь ихэвчлэн логик бодлого гэж нэрлэгддэг. Логикийн асуудлууд нь мэдээжийн хэрэг математикийн асуудлуудын нэг юм, учир нь логикийг маш ерөнхий, суурь математик гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч логик тааварыг олон тооны арифметик эгч нараас тусад нь ялгаж, судлах нь тохиромжтой. Энэ бүлэгт бид гурван нийтлэг төрлийн логик асуудлыг тоймлон авч үзэх бөгөөд тэдгээрт хэрхэн хандахыг олохыг хичээх болно.

Дурлагчид таамаглаж буй хамгийн түгээмэл асуудлыг "Смит-Жонс-Робинсоны асуудал" гэж нэрлэдэг (Г. Дуденигийн зохион бүтээсэн хуучин оньсоготой адил).

Энэ нь хэд хэдэн илгээмжээс бүрддэг бөгөөд ихэвчлэн дүрүүдийн талаархи тодорхой мэдээллийг мэдээлдэг; Эдгээр таамаглал дээр үндэслэн тодорхой дүгнэлт хийх ёстой. Жишээлбэл, Dudeney асуудлын хамгийн сүүлийн үеийн Америкийн хувилбар нь дараах байдалтай байна.

1. Смит, Жонс, Робинсон нар нэг галт тэрэгний багт жолооч, кондуктор, гал сөнөөгчөөр ажилладаг. Тэдний мэргэжлийг заавал овог нэртэй дарааллаар нь нэрлэх албагүй. Бригадын үйлчилж буй галт тэргэнд гурван ижил овогтой зорчигч явж байна.

Цаашид бид зорчигч бүрийг "Ноён" (Ноён) гэж нэрлэх болно.

2. Ноён Робинсон Лос Анжелес хотод амьдардаг.

3. Кондуктор Омахад амьдардаг.

4. Ноён Жонс коллежид өөрт нь зааж байсан алгебрийн хичээлээ аль эрт мартсан байна.

5. Зорчигч - кондукторын нэрэмжит Чикагод амьдардаг.

6. Кондуктор болон зорчигчдын нэг, математикийн физикийн нэрт мэргэжилтэн хоёр нэг сүмд очдог.

7. Смит стокерыг бильярд тоглохоор тааралдахад нь ямагт зоддог.

Жолоочийн нэр хэн бэ?

Эдгээр бодлогуудыг стандарт тэмдэглэгээг ашиглан математик логик хэл рүү хөрвүүлж, тохирох аргуудыг ашиглан шийдлийг хайж болох боловч ийм арга барил нь хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Нөгөөтэйгүүр, нэг төрлийн товчлолгүйгээр асуудлын логик бүтцийг ойлгоход хэцүү байдаг. Хүснэгтийг ашиглах нь хамгийн тохиромжтой бөгөөд түүний хоосон нүдэнд бид хэлэлцэж буй багцын элементүүдийн бүх боломжит хослолыг оруулах болно. Манай тохиолдолд ийм хоёр багц байдаг тул бидэнд хоёр хүснэгт хэрэгтэй (Зураг 139).

Цагаан будаа. 139 Смит, Жонс, Робинсон нарын асуудлын хоёр хүснэгт.

Нүд бүрт харгалзах хослолыг зөвшөөрвөл 1, эсвэл уг хослол нь асуудлын нөхцөлтэй зөрчилдөж байвал 0 гэж оруулна. Үүнийг хэрхэн хийснийг харцгаая. 7-р нөхцөл нь Смитийг галт тэрэг байх магадлалыг үгүйсгэдэг тул зүүн хүснэгтийн баруун дээд буланд байгаа хайрцагт 0-ийг оруулна. 2-р нөхцөл нь Робинсон Лос-Анжелес хотод амьдардаг гэж хэлж байгаа тул хүснэгтийн зүүн доод буланд бид байна. Ноён Робинсон Омаха эсвэл Чикагод амьдардаггүй, ноён Смит, ноён Жонс нар Лос Анжелес хотод амьдардаггүйг харуулахын тулд доод эгнээ болон зүүн баганын бусад бүх нүдэнд 1, 0 гэж оруулна.

Одоо бид жаахан бодох хэрэгтэй. 3 ба 6-р нөхцлөөс бид математикийн физикч Омахад амьдардаг гэдгийг мэдэж байгаа ч овог нэрийг нь мэдэхгүй байна. Тэр ноён Робинсон ч, ноён Жонс ч байж чадахгүй (эцсийн эцэст тэр бүр анхан шатны алгебрыг мартсан).

Тиймээс энэ нь ноён Смит байх ёстой. Баруун талын хүснэгтийн дээд эгнээний дунд нүдэнд 1, ижил эгнээний үлдсэн нүдэнд 0, дунд баганын хоосон нүднүүдэд энэ нөхцөл байдлыг тэмдэглэж байна. Гурав дахь нэгжийг одоо зөвхөн нэг нүдэнд оруулах боломжтой: энэ нь ноён Жонс Чикагод амьдардаг гэдгийг нотолж байна. 5-р нөхцлөөс бид кондуктор нь мөн Жонс овогтой болохыг мэдэж, зүүн талын хүснэгтийн төв нүдэнд 1, дунд эгнээ болон дунд баганын бусад бүх нүдэнд 0-ийг оруулна. Үүний дараа бидний хүснэгтүүд Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэрийг авна. 140.

Цагаан будаа. 140Хүснэгт өндөгийг зурагт үзүүлэв. 139, урьдчилан дүүргэсний дараа.

Одоо эцсийн хариулт руу хөтлөх үндэслэлийг үргэлжлүүлэх нь тийм ч хэцүү биш юм. "Stoker" гэсэн шошготой баганад нэгжийг зөвхөн доод нүдэнд байрлуулж болно. Эндээс нэн даруй зүүн доод буланд 0 байх ёстой.Зөвхөн хүснэгтийн зүүн дээд буланд байгаа нүд хоосон хэвээр байх бөгөөд тэнд зөвхөн 1-ийг оруулах боломжтой.Тиймээс жолоочийн нэр нь Смит юм.

Льюис Кэррол ийм төрлийн маш нарийн төвөгтэй, овсгоотой бодлого зохион бүтээх дуртай байв. Дортмут коллежийн математикийн декан Жон Ж.Кемени аймшигт (13 хувьсагчтай, 12 нөхцөлтэй. Үүнээс үзэхэд "Ямар ч шүүгч тамхи үнэрлэдэггүй") Карроллын асуудлуудыг IBM-704 компьютерт зориулж программчилжээ. Асуудлын "үнэний хүснэгт"-ийг (бодлогын хувьсагчдын үнэний утгуудын боломжит хослолууд үнэн эсвэл худал эсэхийг харуулсан хүснэгт) хэвлэхэд 13 цаг зарцуулсан ч уг машин 4 минутын дотор шийдлийг дуусгасан!

Смит-Жонс-Робинсоны асуудлаас илүү хэцүү бодлогоор азаа сорихыг хүссэн уншигчдад зориулан шинэ оньсого санал болгож байна. Зохиогч нь Принстоны их сургуулийн Р.Смуллян юм.

1. 1918 онд анхны Дэлхийн дайн. Энхийн гэрээнд гарын үсэг зурсан өдөр гурван гэрлэсэн хос энэ үйл явдлыг баярын ширээний ард тэмдэглэхээр цугларав.

2. Нөхөр бүр эхнэрийн аль нэгнийх нь ах, эхнэр бүр нэг нөхрийн эгч байсан, өөрөөр хэлбэл тэнд байгаа хүмүүсийн дунд "ах, эгч" гэсэн гурван хос хосыг зааж өгч болно.

3. Хелен наймдугаар сард төрсөн нөхрөөсөө яг 26 долоо хоногоор ах.

4. Ноён Уайтын эгч Эллений хүргэн ахтай гэрлэсэн бөгөөд төрсөн өдрөөр нь буюу нэгдүгээр сард гэрлэсэн.

5. Маргарет Уайт Уильям Блэйкээс намхан.

6. Артурын эгч Беатрисаас илүү хөөрхөн.

7. Жон 50 настай.

Хатагтай Брауныг хэн гэдэг вэ?

Дараах алдартай жишээтэй адилтгаж "өнгөт тагны бодлого" төрлийн бодлого гэж нэрлэж болох өөр олон төрлийн логик асуудлууд түгээмэл байдаг. Гурван хүн (тэднийг дуудъя А, Бболон FROM) нүдийг нь боож, тус бүрийг улаан эсвэл ногоон малгай өмссөн гэж хэлээрэй. Дараа нь нүдийг нь тайлж, улаан малгай харвал гараа өргөхийг, толгой дээрх малгай ямар өнгөтэй байгааг мэдэж байгаа гэдэгт итгэлтэй байвал өрөөнөөс гарахыг хүснэ. Гурван малгай нь улаан болсон тул гурвуулаа гараа өргөв. Хэдэн минут өнгөрч FROM, энэ нь илүү ухаалаг юм ГЭХДЭЭболон AT, өрөөнөөс гарлаа. Хэрхэн FROMмалгай ямар өнгөтэй байгааг тодорхойлж чадсан уу?

[Ногоон малгайт мэргэн хүмүүсийн асуудлыг уг зохиолд шийдэлгүй байхаар томьёолжээ. Энэ нь ялангуяа мэргэн хүмүүсийн тоо их байх үед тод илэрдэг. Анхны мэргэн хүн бодит байдлыг таахад хэр хугацаа шаардагдах вэ?

Дөчөөд оны сүүлчээр энэ асуудлыг Москвад сургуулийн математикийн дугуйлан дээр эрчимтэй хэлэлцсэн бөгөөд түүний шинэ хувилбарыг зохион бүтээж, салангид цагийг нэвтрүүлсэн. Даалгавар нь иймэрхүү харагдаж байв.

Эрт дээр үед ухаантнууд нэг хотод амьдардаг байжээ. Тэд тус бүр эхнэртэй байсан. Өглөө нь тэд зах дээр ирээд хотын бүх хов живийг тэндээс олж мэдэв. Тэд өөрсдөө хов жив ярьдаг хүмүүс байсан. Эхнэрүүдийн аль нэгнийх нь үнэнч бус байдлын талаар мэдэх нь тэдэнд маш их таашаал өгсөн - тэд үүнийг тэр даруй олж мэдэв. Гэсэн хэдий ч нэг хэлэгдээгүй дүрмийг хатуу дагаж мөрддөг байсан: нөхөртөө эхнэрийнхээ талаар юу ч мэдэгдээгүй, учир нь хүн бүр өөрийн ичгүүрийн талаар мэдээд эхнэрээ гэрээс нь хөөж гаргах байсан. Тиймээс тэд дотно яриа өрнүүлж, өөрсдийнхөө асуудлыг огт мэдэхгүй амьдарч байв.

Гэтэл нэг өдөр хотод жинхэнэ хов жив орж ирэв. Тэрээр зах дээр ирээд: "Гэхдээ бүх мэргэд үнэнч эхнэртэй байдаггүй!" Хов жив шинэ зүйл хэлээгүй юм шиг санагдаж байна - тиймээс хүн бүр үүнийг мэддэг, мэргэд бүр үүнийг мэддэг байсан (зөвхөн хорон санаагаар тэр өөрийнхөө тухай биш, харин нөгөөгийнхөө тухай боддог байсан) тиймээс оршин суугчдын хэн нь ч хов живийн үгэнд анхаарлаа хандуулсангүй. . Гэхдээ ухаантнууд ийм л учраас ухаантай хүмүүс гэж бодсон n-Хов жив ирснээс хойшхи өдөр n ухаантнууд n үнэнч бус эхнэрүүдийг хөөж гаргасан (хэрэв байсан бол). n).

Мэргэдийн учрыг сэргээхэд хэцүү биш. Асуултанд хариулахад илүү хэцүү байдаг: хов жив түүнгүйгээр ч мэргэдийн мэддэг зүйл дээр ямар мэдээлэл нэмсэн бэ?

Энэ асуудал уран зохиолд олон удаа тулгарч байсан].

С малгай нь ногоон өнгөтэй байж чадах уу гэж өөрөөсөө асуудаг. Хэрэв тийм байсан бол ГЭХДЭЭТэр улаан малгай өмссөн байсныг тэр дор нь таних болно, учир нь түүний толгой дээр зөвхөн улаан малгай хийх боломжтой байв ATгараа өргө. Харин дараа нь ГЭХДЭЭөрөөнөөс гарах болно. ATяг үүнтэй адилаар бодож эхэлж, мөн өрөөнөөс гарах байсан. Нэг нь ч, нөгөө нь ч гараагүй болохоор FROMөөрийн малгай улаан байх ёстой гэж дүгнэсэн.

Энэ асуудлыг хэдэн хүн байгаа, бүгд улаан малгай өмссөн тохиолдолд ерөнхийд нь хэлж болно. Асуудалд дөрөв дэх жүжигчин гарч ирсэн гэж бодъё Д, түүнээс ч илүү ухааралтай C.D"Хэрэв миний малгай ногоон байсан бол А, Бболон FROMСаяхан тайлбарласантай яг ижил нөхцөл байдалд орох бөгөөд хэдхэн минутын дараа гурвын хамгийн ухамсартай нь өрөөнөөс гарах нь гарцаагүй.

Гэхдээ аль хэдийн таван минут өнгөрч, аль нь ч гарахгүй байгаа тул малгай минь улаан өнгөтэй байна.

Түүнээс ч илүү ухаантай тав дахь гишүүн байсан бол Д, тэр арван минут хүлээсний эцэст улаан малгай өмссөн гэсэн дүгнэлтэд хүрч болох байсан. Мэдээжийн хэрэг, янз бүрийн түвшний авъяас чадварын талаархи таамаглалаас болж бидний үндэслэл үнэмшилтэй байдлаа алддаг. A, B, C... мөн хамгийн их мэдрэмжтэй хүн малгайныхаа өнгийг итгэлтэйгээр нэрлэхээс өмнө хэр удаан хүлээх ёстой талаар нэлээд бүрхэг бодолтой байдаг.

Бусад зарим "өнгөт таг" асуудлууд нь тодорхой бус байдлыг бага агуулдаг. Жишээлбэл, Смулляны зохион бүтээсэн дараахь асуудал юм. Гурван тус бүр А, Бболон FROM- логикоор чөлөөтэй ярьдаг, өөрөөр хэлбэл тухайн байрнаас бүх үр дагаврыг хэрхэн шууд гаргаж авахаа мэддэг бөгөөд бусад нь ч гэсэн ийм чадвартай гэдгийг мэддэг.

Бид дөрвөн улаан, дөрвөн ногоон марк авч, “логич” нарынхаа нүдийг боож, духан дээр нь хоёр тамга наадаг. Дараа нь бид тэдний нүднээс боолтыг авч, эргээд асууна А, Бболон FROMижил асуулт: "Таны духан дээрх марк ямар өнгөтэй байгааг та мэдэх үү?" Тэд тус бүрдээ сөрөг хариулт өгдөг. Дараа нь бид дахин асууж байна ГЭХДЭЭмөн бид дахин сөрөг хариулт авдаг. Гэхдээ бид хоёр дахь удаагаа ижил асуулт асуухад AT, тэр эерэгээр хариулдаг.

Духан дээрх тэмдэг ямар өнгөтэй байна AT?

Гурав дахь түгээмэл логик таавар бол худалч, үргэлж үнэнийг хэлдэг хүмүүсийн тухай асуудал юм. AT сонгодог хувилбардаалгавар бид ярьж байнахоёр овог аймгуудын оршин суудаг улсад өөрийгөө олсон аялагчийн тухай. Нэг овгийн гишүүд үргэлж худлаа ярьдаг, нөгөө овгийн гишүүд үргэлж үнэн хэлдэг. Аялагч хоёр уугуул хүнтэй уулздаг. "Чи үргэлж үнэнийг хэлдэг үү?" гэж тэр өндөр нутгийн хүнээс асуув. Тэр: "Тарабар" гэж хариулав. "Тэр тийм гэж хэлсэн" гэж англи хэл мэддэг жижиг уугуул хүн тайлбарлав, "тэр аймшигтай худалч". Уугуул иргэд тус бүр аль овгийнх вэ?

Шийдвэрлэх системтэй арга нь AI, IL, LI, LL (би "үнэн", L - "худал" гэсэн үг) гэсэн дөрвөн боломжийг бичиж, асуудлын өгөгдөлтэй зөрчилдөж буйг оруулахгүй байх явдал юм. Өндөр уугуул хүн худлаа ярьж байна уу, үнэн хэлж байна уу гэж эерэг хариулах ёстойг ажиглавал илүү хурдан хариулт авах боломжтой. Нэгэнт жижиг уугуул хүн үнэн хэлсэн тул тэр үнэнч овгийнх, өндөр найз нь худалч овгийнх байх ёстой.

Магадлалын жингийн танилцуулга, тийм ч тодорхой бус томьёоллоор төвөгтэй болсон энэ төрлийн хамгийн алдартай асуудлыг Английн одон орон судлаач А.Эддингтоны Шинжлэх ухааны шинэ замууд номын зургадугаар бүлгийн дундаас санаандгүй байдлаар олж болно. "Хэрвээ A, B, Cболон Д 3-аас нэг удаа үнэнийг хэлэх (бие даасан) ба ГЭХДЭЭгэж мэдэгддэг ATүүнийг үгүйсгэдэг FROMгэж хэлдэг Дхудалч, магадлал хэд вэ Дүнэн хэлсэн үү?"

Эддингтон 25/71 гэсэн хариултыг уншигчид эсэргүүцэж, хэзээ ч эцэслэн шийдэгдээгүй инээдтэй, будлиантай маргааныг үүсгэв. Английн одон орон судлаач, Эддингтоны "Nature" сэтгүүлд (1935 оны 3-р сард) хэвлэгдсэн номын тоймыг бичсэн зохиолч Г.Дингл энэ асуудал нь ямар ч утга учиргүй тул анхаарал хандуулах ёсгүй гэж үзсэн бөгөөд Эддингтон үндсэн санаагаа хангалттай бодож амжаагүйг л харуулж байна. магадлалын онол. Америкийн физикч Т.Стерн (Nature, 1935 оны 6-р сар) үүнийг эсэргүүцэж, түүний бодлоор асуудал ямар ч утгагүй, гэхдээ үүнийг шийдвэрлэх хангалттай тоо баримт байхгүй гэж мэдэгджээ.

Хариуд нь Дингл (Nature, 1935 оны 9-р сар) хэрэв хэн нэгэн Стерний үзэл бодлыг авч үзвэл шийдвэр гаргахад хангалттай тоо баримт байгаа бөгөөд хариулт нь 1/3 байх болно гэж тэмдэглэв. Энд Эддингтон хэрүүл маргаанд орж, хариултаа хэрхэн олж авсан талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан нийтлэлийг нийтлэв (Матеметикийн сонин, 1935 оны 10-р сар). Маргаан нэг сэтгүүлд гарсан хоёр нийтлэлээр өндөрлөж, нэгнийх нь зохиогч Эддингтоныг хамгаалж, нөгөө нь өмнөх бүх нийтлэлээс өөр үзэл бодлыг дэвшүүлэв.

Гол бэрхшээл нь Эддингтоны томъёоллыг ойлгоход оршдог. Хэрвээ AT, үгүйсгэж байгаагаа илэрхийлж, үнэнийг хэлж байгаа бол бид үүнийг үндэслэлтэй гэж үзэж болно FROMгэж хэлсэн Дүнэнийг хэлэх үү? Эддингтон ийм таамаглал гаргах хангалттай үндэслэл байхгүй гэж үзсэн. Үүний нэгэн адил, хэрэв ГЭХДЭЭхудлаа, бид үүнд итгэлтэй байж чадах уу ATболон FROMТэд ерөөсөө юу ч хэлсэн үү? Аз болоход бид дараах таамаглалыг дэвшүүлснээр эдгээр бүх хэлний бэрхшээлийг даван туулж чадна (Эддингтон эдгээрийг хийгээгүй):

1. Дөрвөн хэн нь ч чимээгүй байсангүй.

2. Мэдэгдэл А, Бболон FROM(тэдгээрийг тус тусад нь) дараах мэдэгдлийг батлах эсвэл үгүйсгэх.

3. Хуурамч баталгаа нь үгүйсгэлтэйгээ, худал үгүйсгэл нь баталгаатай давхцдаг.

Дөрөв нь бие биенээсээ хамааралгүйгээр 1/3-ийн магадлалтай худал хэлдэг, өөрөөр хэлбэл тэдний гурван мэдэгдлийн аль нь ч худал байдаг. Хэрэв үнэн мэдэгдлийг үсгээр тэмдэглэсэн бол Тэгээд, ба худал - үсэг Л, дараа нь A, B, Cболон ДБид наян нэг өөр хослолоос бүрдэх хүснэгтийг авна. Энэ тооноос асуудлын нөхцөл байдлаас шалтгаалан боломжгүй хослолуудыг хасах хэрэгтэй.

Үсгээр төгссөн хүчинтэй хослолын тоо Тэгээд(өөрөөр хэлбэл үнэн - үнэн - мэдэгдэл Д), бүх хүчинтэй хослолуудын нийт тоонд хуваагдах ёстой бөгөөд энэ нь хариултыг өгөх болно.

Нэг аялагч, хоёр уугуул хүний ​​тухай асуудлын томъёоллыг тодорхой болгох хэрэгтэй. Уугуул иргэдийн хэлэнд "тийм" гэдэг үг "тийм" эсвэл "үгүй" гэсэн утгатай болохыг аялагч ойлгосон боловч яг юу болохыг тааж чадаагүй юм. Энэ нь хэд хэдэн имэйлийг сэрэмжлүүлэх байсан бөгөөд тэдгээрийн нэгийг нь би доор хуулбарлаж байна.

Өндөр уугуул хүн аялагчийн түүнд хэлсэн үгийг (англи хэлээр) нэг ч үг ойлгоогүй бололтой, англиар тийм эсвэл үгүй ​​гэж хариулж чадахгүй байв. Тийм учраас түүний "хөгжил" нь "Би ойлгохгүй байна" эсвэл "Бонго-Бонго тавтай морил" гэсэн утгатай. Улмаар бяцхан уугуул нь найзыгаа "тийм" гэж хариулсан гэхэд худал хэлж, бага нь худалч болохоор өндөр унаган иргэнээ худалч гэж бас худал хэлдэг. Тиймээс өндөр унаган хүнийг үнэнч гэж үзэх хэрэгтэй.

Тиймээс эмэгтэй логик миний эр хүний ​​хоосон чанарт хүчтэй цохилт өгсөн. Энэ нь таны зохиолчийн бахархлыг бага зэрэг хөндсөнгүй гэж үү?

Хариултууд

Эхний логик асуудлыг гурван хүснэгтийг ашиглан хамгийн сайн шийддэг: нэг нь эхнэрийн овог нэр, хоёр дахь нь нөхрийн овог нэр, гурав дахь нь гэр бүлийн хэлхээ холбоо.

Хатагтай Уайтыг Маргарет гэдэг (нөхцөл 5) тул бидэнд үлдсэн хоёр эхнэрийн нэрийг нэрлэх хоёр л боломж үлдлээ: a) Хелен Блэйк ба Беатрис Браун, эсвэл б) Хелен Браун, Беатрис Блэйк.

Хоёрдахь боломж тохиолдсон гэж үзье. Уайтын эгч нь Хелен эсвэл Беатрис байх ёстой. Гэвч Беатрис Уайн эгч байж чадахгүй, учир нь тэр үед Блэйк Хелений ах, Блэйкийн хоёр хүргэн ах нь Уайт (эхнэрийнх нь дүү) болон Браун (эгчийнх нь нөхөр) байх болно; Беатрис Блэйк хоёулаа гэрлээгүй байгаа нь 4-р нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс Уайтын эгч нь Хелен байх ёстой. Үүнээс бид эргээд Брауны эгчийг Беатрис, Блэйкийн эгчийг Маргарет гэдэг гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна.

6-р нөхцөлөөс ноён Уайтыг Артур гэдэг (Браун нь Артур байж болохгүй, учир нь ийм хослол нь Беатрис өөрөөсөө илүү үзэсгэлэнтэй, Блэйк Артур байж болохгүй, учир нь 5-р нөхцлөөс бид түүний нэрийг мэддэг: Уильям). Тэгэхээр ноён Браун зөвхөн Жон байж чадна. Харамсалтай нь 7-р нөхцлөөс харахад Жон 1868 онд (энхийн гэрээнд гарын үсэг зурахаас 50 жилийн өмнө) төрсөн. Гэвч 1868 он бол үсрэнгүй жил тул Хелен нөхрөөсөө 3-р нөхцөлд заасан 26 долоо хоногоос нэг хоногоор ах байх ёстой. (4-р нөхцлөөс бид түүнийг 1-р сард төрсөн, 3-р нөхцөлөөс нөхөр нь төрсөн гэдгийг бид мэднэ. 8-р сард.Төрсөн өдөр нь 1-р сарын 31-нд, түүнийх нь 8-р сарын 1-нд, мөн эдгээр өдрүүдийн хооронд 2-р сарын 29-нд байгаагүй бол тэр нөхрөөсөө яг 26 долоо хоногоор ах байх боломжтой!) Тэгэхээр, бидний эхлүүлсэн боломжуудын хоёр дахь нь. хаях ёстой бөгөөд энэ нь Маргарет Уайт, Хелен Блэйк, Беатрис Браун нарын эхнэрүүдийг нэрлэх боломжийг бидэнд олгодог. Блэйкийн төрсөн оныг мэдэхгүй тул энд ямар ч зөрчил байхгүй. Асуудлын нөхцлөөс харахад Маргарет бол Брауны эгч, Беатрис бол Блэйкийн эгч, Хелен бол Уайтын эгч гэж дүгнэж болох боловч Уайт, Браун нарын нэрсийн асуудал шийдэгдээгүй хэвээр байна.

Маркны асуудалд ATгурван боломж бий. Түүний тамга нь: 1) хоёулаа улаан; 2) хоёулаа ногоон; 3) нэг нь ногоон, нөгөө нь улаан. Хоёр марк улаан өнгөтэй байна гэж бодъё.

Гурвуулаа нэг удаа хариулсны дараа ГЭХДЭЭ"Миний духан дээрх тэмдгүүд хоёулаа улаан байж болохгүй (учир нь тэр үед FROMДөрвөн улаан марк үзээд духан дээрээ хоёр ногоон тамгатай гэдгээ шууд л мэдэх байсан. FROMТэр үед хоёр марк ногоон өнгөтэй байсан AT, дөрвөн ногоон маркийг хараад түүний духан дээр хоёр улаан тамга байгааг ойлгох байсан). Тийм учраас духан дээр минь нэг ногоон, нэг улаан толбо бий” хэмээн ярьжээ.

Гэвч хэзээ ГЭХДЭЭгэж хоёр дахь удаагаа асуухад тэр өөрийн брэнд ямар өнгөтэй болохыг мэдэхгүй байна. Зөвшөөрсөн ATөөрийнх нь марк хоёулаа улаан өнгөтэй байх магадлалаас татгалз. Яг үүнтэй адилаар маргаж байна А, БТүүний хоёр тамга ногоон өнгөтэй байхыг үгүйсгэв. Тиймээс түүнд ганцхан боломж үлдсэн: нэг тамга нь ногоон, нөгөө нь улаан.

Асуулт, хариултанд дүн шинжилгээ хийхгүйгээр асуудлыг маш хурдан шийдэж болохыг хэд хэдэн уншигчид хурдан анзаарсан. Энэ талаар уншигчдын нэг нь "Асуудлын нөхцөл нь улаан, ногоон тэмдгийн хувьд бүрэн тэгш хэмтэй байна.

Тиймээс хооронд тамга тараах замаар А, Бболон FROMХэрэв асуудлын бүх нөхцөл хангагдсан бол улаан тэмдэглэгээг ногооноор, харин эсрэгээр ногооныг улаанаар сольвол бид өөр хуваарилалтад хүрэх бөгөөд үүний тулд бүх нөхцөл хангагдсан болно. Хэрэв шийдэл нь өвөрмөц байвал ногоон шошгыг улаанаар, улааныг ногооноор солихдоо өөрчлөгдөөгүй (өөрчлөх ёсгүй) байх ёстой. Ийм шийдэл нь зөвхөн маркийн ийм хуваарилалт байж болох бөгөөд үүнд B нь нэг ногоон, нэг улаан тамгатай байх болно.

Бруклин коллежийн Математикийн тэнхимийн декан В.Манхаймерын хэлснээр энэхүү гоёмсог шийдэл нь А, Бболон FROM(асуудлын нөхцөлд дурдсанчлан), Рэймонд Смуллян!

Эддингтоны асуудалд магадлал Дүнэнийг хэлэхэд 13/41. Сондгой тооны худал (эсвэл үнэн)-ийг агуулсан үнэн ба худал хоёрын бүх хослолыг асуудлын нөхцөлтэй зөрчилдөж байгаа тул хасах хэрэгтэй. Үүний үр дүнд боломжит хослолуудын тоо 81-ээс 41 болж буурч, зөвхөн 13 нь үнэн үгээр төгсдөг. Д. Учир нь А, Бболон FROMяг ижил тооны хүчинтэй хослолтой тохирч байгаа тохиолдолд үнэнийг хэлэх, үнэнийг хэлэх магадлал нь бүх дөрвөн хувьд ижил байна.

Эквивалент тэмдгийг ашиглах

Энэ нь түүгээр холбосон саналууд хоёулаа үнэн эсвэл хоёулаа худал байна гэсэн үг (тэгвэл худал санал нь үнэн, эс бөгөөс худал байна), үгүйсгэх тэмдэг ~, Эддингтоны асуудлыг саналын тооцоонд дараах байдлаар бичиж болно.

эсвэл иймэрхүү хялбаршуулсаны дараа:

Энэ илэрхийллийн үнэний хүснэгт нь аль хэдийн хүлээн авсан хариултыг баталж байна.

Тэмдэглэл:

Энэ нь сэтгэл дундуур байна- бухимдах, ямар нэг зүйл хий дэмий, найдваргүй болгох, бүтэлгүйтэх (Англи хэл).

Номын Рэймонд Смулляны тухай бүлгийг үзнэ үү М.Гарднер"Цаг хугацааны аялал" (М.: Мир, 1990).

Эддингтон А. Шинжлэх ухааны шинэ замууд. - Кембриж: 1935; Мичиган: 1959 он.

Оршил

Логик бол сэтгэгчдийн бурхан юм.

Л.Фейхтвангер

Хүний үйл ажиллагааны аль ч салбарт: шинжлэх ухаан, технологи, шударга ёс ба дипломат ёс, эдийн засгийн төлөвлөлт, цэргийн асуудалд зөв сэтгэх чадвар зайлшгүй шаардлагатай. Мөн энэ чадвар нь буцаж ирдэг эртний цаг үе, логик, i.e. Үзэл баримтлалын хэлбэрүүд зөв болохыг шинжлэх ухаан хоёр мянга гаруй жилийн өмнө үүссэн. Энэ нь VI зуунд хөгжсөн. МЭӨ. эртний Грекийн агуу гүн ухаантан Аристотель, түүний шавь нар, дагалдагчдын бүтээлүүдэд.

Хэзээ нэгэн цагт математикчид "Үнэндээ математик гэж юу вэ?" Гэж асуусан. Энгийн хариулт бол математикчид теоремуудыг нотлох, өөрөөр хэлбэл зарим үнэнийг олж мэдэх явдал юм бодит ертөнцболон "хамгийн тохиромжтой математикийн ертөнц". Математикийн теорем гэж юу вэ, математикийн үнэн гэж юу вэ, математикийн өгүүлбэр нь үнэн эсвэл нотлогдох боломжтой гэсэн асуултад хариулах оролдлого нь математик логикийн эхлэлийн сүлжээ юм. Сургуульд бид дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, гол зүйлийг тодруулах, нэгтгэх, системчлэх, нотлох, няцаах, үзэл баримтлалыг тодорхойлох, тайлбарлах, асуудал тавьж, шийдвэрлэхэд суралцах ёстой. Эдгээр аргуудыг эзэмшинэ гэдэг нь сэтгэн бодох чадвартай гэсэн үг. Шинжлэх ухаанд янз бүрийн томьёо, тоон зүй тогтол, дүрмийг гаргаж, теоремуудыг үндэслэлээр батлах ёстой. Жишээлбэл, 1781 онд Тэнгэрийн ван гаригийг нээсэн. Ажиглалтаар энэ гарагийн хөдөлгөөн нь онолын хувьд тооцоолсон хөдөлгөөнөөс ялгаатай болохыг харуулсан. Францын эрдэмтэн Ле Верриер (1811-1877) логик үндэслэлтэй, нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийж, Тэнгэрийн ван гаригт өөр гаригийн нөлөөг тодорхойлж, түүний байршлыг зааж өгсөн. 1846 онд одон орон судлаач Галле Далай ван нэртэй гараг байгааг баталжээ. Ингэхдээ тэд математикийн үндэслэл, тооцооны логикийг ашигласан.

Бидний авч үзэх хоёр дахь эхлэл бол математикийн функцийг тооцоолох боломжтой бөгөөд зарим алгоритм, албан ёсны дүрэм, нарийн тодорхойлсон процедурыг ашиглан тооцоолж болох нь юу гэсэн үг болохыг тодруулах явдал юм. Эдгээр хоёр анхны томъёолол нь нийтлэг зүйлтэй бөгөөд тэд "математик логик" гэсэн ерөнхий нэрээр нэгддэг бөгөөд математик логикийг үндсэндээ математикийн үндэслэл, математик үйлдлийн логик гэж ойлгодог.

Математик логикийн элементүүдийг эзэмшсэн байх нь миний ирээдүйн эдийн засгийн мэргэжлээр ажиллахад туслах учраас би энэ сэдвийг сонгосон. Эцсийн эцэст, маркетер хүн чиг хандлагыг шинжилдэгзах зээл,үнэ, эргэлт, маркетингийн аргууд, өрсөлдөгч байгууллагуудын талаархи мэдээллийг цуглуулах,зөвлөмж гаргадаг. Үүнийг хийхийн тулд та логикийн мэдлэгийг ашиглах хэрэгтэй.

Зорилго: төрөл бүрийн салбар, хүний ​​үйл ажиллагааны асуудлыг шийдвэрлэхэд математик логикийн боломжийг судлах, ашиглах.

Даалгаварууд:

1. Математик логикийн мөн чанар, гарал үүслийн талаархи уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх.

2. Математик логикийн элементүүдийг судлах.

3. Математик логикийн элементүүдтэй бодлого сонгох, шийдвэрлэх.

Арга: уран зохиолын дүн шинжилгээ, үзэл баримтлал, асуудлыг шийдвэрлэх аналоги арга, өөрийгөө ажиглах.

1. Математик логик үүссэн түүхээс

Математик логик нь логиктой нягт холбоотой бөгөөд үүсэл нь үүнтэй холбоотой. Хүний сэтгэлгээний хууль, хэлбэрүүдийн тухай шинжлэх ухаан болох логикийн үндэс суурийг эртний Грекийн хамгийн агуу гүн ухаантан Аристотель (МЭӨ 384-322) тавьсан бөгөөд тэрээр өөрийн зохиол бүтээлдээ логикийн нэр томьёог сайтар судалж, дүгнэлтийн онолыг нарийвчлан шинжилжээ. ба нотлох баримтууд нь хэд хэдэн логик үйлдлүүдийг тайлбарлаж, сэтгэлгээний үндсэн хуулиудыг, тэр дундаа зөрчилдөөний хуулиудыг, гуравдагчийг үгүйсгэх хуулийг томъёолсон. Аристотелийн логикт оруулсан хувь нэмэр маш их бөгөөд түүний өөр нэр нь Аристотелийн логик юм. Аристотель хүртэл өөрийн бүтээсэн шинжлэх ухаан болон математик (тэр үед үүнийг арифметик гэж нэрлэдэг байсан) хоёрын хооронд нийтлэг зүйл олон байгааг анзаарсан. Тэрээр эдгээр хоёр шинжлэх ухааныг нэгтгэхийг хичээсэн, тухайлбал, анхны байрлал дээр үндэслэн эргэцүүлэн бодох, эс тэгвээс дүгнэлт гаргахыг багасгахыг хичээсэн. Аристотель нэгэн зохиолдоо математик логикийн нэг хэсэг болох нотолгооны онолд ойртжээ.

Ирээдүйд олон философич, математикчид логикийн тодорхой заалтуудыг боловсруулж, заримдаа орчин үеийн саналын тооцооллын контурыг тодорхойлсон боловч математик логикийг бүтээхэд хамгийн ойр байсан нь 17-р зууны хоёрдугаар хагаст Германы нэрт эрдэмтэн Готфрид Вильгельм байв. Лейбниц (1646 - 1716) логикийг "тодорхой бус зүйлээр дүүрэн үг хэллэгээс объект эсвэл мэдэгдлийн хоорондын харилцааг төгс нарийвчлалтайгаар тодорхойлдог математикийн хүрээ рүү" орчуулах арга замыг зааж өгсөн. Ирээдүйд философичид үр дүнгүй маргахын оронд цаас аваад аль нь зөв болохыг олж тогтооно гэж Лейбниц хүртэл найдаж байв. Үүний зэрэгцээ Лейбниц өөрийн бүтээлүүддээ хоёртын тооллын системийг мөн хөндсөн. Мэдээллийг кодлохдоо хоёр тэмдэгт ашиглах санаа нь маш эртний гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Австралийн аборигенууд хоёрт тоолдог байсан бол Шинэ Гвиней, Өмнөд Америкийн анчин цуглуулагчдын зарим овгууд мөн хоёртын тооллогын системийг ашигладаг байв. Африкийн зарим овог аймгуудад бөмбөр ашиглан дуут болон уйтгартай цохилтын хослол хэлбэрээр мессеж дамжуулдаг. Хоёр тэмдэгтийн кодчилолын танил жишээ бол цагаан толгойн үсгүүдийг цэг, зураасны тодорхой хослолоор төлөөлдөг Морзын код юм. Лейбницийн дараа олон нэрт эрдэмтэд энэ чиглэлээр судалгаа хийсэн боловч жинхэнэ амжилтыг англи математикч Жорж Буль (1815-1864) өөрөө зааж өгсөн бөгөөд түүний шийдэмгий байдал нь хязгааргүй байв.

Санхүүгийн байдалЖоржийн эцэг эх (аав нь гуталчин байсан) түүнийг зөвхөн сургуулиа төгсөхийг зөвшөөрсөн бага сургуульядууст зориулсан. Хэсэг хугацааны дараа Бухл хэд хэдэн мэргэжлээ сольж, жижиг сургууль нээж, тэнд өөрөө заажээ. Тэрээр өөрийгөө боловсролд маш их цаг зарцуулсан бөгөөд удалгүй симбол логикийн санааг сонирхож эхлэв. 1847 онд Буль "Логикийн математик шинжилгээ буюу дедуктив дүгнэлтийн тооцооны туршлага" гэсэн өгүүлэл нийтлүүлсэн бөгөөд 1854 онд "Логик ба магадлалын математик онолууд үндэслэсэн сэтгэлгээний хуулиудын судалгаа" гэсэн үндсэн бүтээлээ хэвлүүлжээ. . Буль нэг төрлийн алгебрыг зохион бүтээжээ - тоо, үсэг, өгүүлбэр хүртэлх бүх төрлийн объектод хамаарах тэмдэглэгээ, дүрмийн систем. Энэ системийг ашигласнаар тэрээр өөрийн хэлний тэмдэгтүүдийг ашиглан мэдэгдлүүдийг (үнэн эсвэл худал нотлох шаардлагатай мэдэгдлүүд) кодлож, дараа нь математикт тоонуудыг өөрчилдөгтэй адил тэдгээрийг удирдаж чаддаг. Булийн алгебрын үндсэн үйлдлүүд нь холболт (AND), дизъюнкц (OR), үгүйсгэх (NOT) юм. Хэсэг хугацааны дараа Boole-ийн систем нь цахилгаан сэлгэн залгах хэлхээг дүрслэхэд тохиромжтой болох нь тодорхой болсон. Хэлхээнд байгаа гүйдэл нь урсах эсвэл урсахгүй байж болно, яг л мэдэгдэл нь үнэн эсвэл худал байж болно. Хэдэн арван жилийн дараа, аль хэдийн 20-р зуунд эрдэмтэд Жорж Буллийн бүтээсэн математикийн төхөөрөмжийг хоёртын тооллын системтэй нэгтгэж, дижитал цахим компьютерийг хөгжүүлэх үндэс суурийг тавьсан. Булийн ажлын бие даасан заалтуудыг түүний өмнөх болон дараа нь бусад математикч, логикчид тодорхой хэмжээгээр хөндөж байсан. Гэсэн хэдий ч өнөөдөр энэ чиглэлээр Жорж Булийн бүтээлүүд нь математикийн сонгодог гэж тооцогддог бөгөөд тэрээр өөрөө математикийн логикийг үндэслэгч, тэр ч байтугай түүний хамгийн чухал хэсэг болох логикийн алгебр (Булийн алгебр) гэж зүй ёсоор тооцогддог. ) ба саналын алгебр.

Логикийг хөгжүүлэхэд Оросын эрдэмтэд П.С. Порецкий (1846-1907), I.I. Жегалкин (1869-1947).

20-р зуунд математикийн логикийг хөгжүүлэхэд асар их үүрэг гүйцэтгэсэн

Математикийн үндэс суурийг хөгжүүлэхтэй холбоотой математикийг албан ёсны болгох хөтөлбөрийг санал болгосон Д.Гильберт (1862-1943). Эцэст нь 20-р зууны сүүлийн арван жилд математик логикийн хурдацтай хөгжил нь алгоритмын онол ба алгоритмын хэл, автоматын онол, графикийн онол (С.К. Клин, А. Черч, А.А. Марков, П.С. Новиков ба бусад олон).

20-р зууны дунд үед компьютерийн технологийн хөгжил нь бий болоход хүргэсэн логик элементүүд, логик блокууд ба компьютерийн технологийн төхөөрөмжүүд нь логик синтез, логик дизайн, логик төхөөрөмж, компьютерийн технологийн логик загварчлал зэрэг логикийн салбаруудын нэмэлт хөгжилтэй холбоотой байв. 1980-аад оноос судалгааны ажил эхэлсэн хиймэл оюунлогик програмчлалын хэл, систем дээр суурилсан. Эксперт системийг бий болгох нь теоремыг автоматаар нотлох, алгоритм, компьютерийн программуудыг шалгах нотолгоонд суурилсан програмчлалын аргуудыг ашиглах, хөгжүүлэх замаар эхэлсэн. Боловсролын өөрчлөлтүүд мөн 1980-аад оноос эхэлсэн. Ерөнхий боловсролын сургуулиудад хувийн компьютер гарч ирснээр ажлын логик зарчмуудыг тайлбарлах математик логикийн элементүүдийг судалсан компьютерийн шинжлэх ухааны сурах бичгүүдийг бий болгоход хүргэсэн. логик хэлхээнүүдболон тооцоолох төхөөрөмжүүд, түүнчлэн тав дахь үеийн компьютерт зориулсан логик програмчлалын зарчмууд, мэдлэгийн баазыг төлөвлөхөд зориулсан тооцооллын хэлийг судлах замаар компьютерийн шинжлэх ухааны сурах бичгүүдийг боловсруулах.

1. Олонлогын онолын үндэс

Олонлогийн тухай ойлголт нь математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд энгийн ойлголтуудыг ашиглан нарийн тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тиймээс бид олонлогийн тухай ойлголтыг тайлбарлах тайлбараар хязгаарлагдаж байна.

олон нэг бүхэл гэж үздэг нэлээд ялгаатай объектуудын багц гэж нэрлэдэг. Олонлогийн онолыг бүтээгч Георг Кантор олонлогийн тухай дараах тодорхойлолтыг өгсөн - "иж бүрдэл нь бидний бүхэлд нь боддог маш олон зүйл юм."

Олонлогийг бүрдүүлдэг бие даасан объектуудыг дууддагэлементүүдийг тохируулах.

Олонлогийг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд эдгээр багцын элементүүдийг латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг. Багцуудыг буржгар хаалтанд ( ) бичнэ.

Дараах тэмдэглэгээг ашиглах нь заншилтай байдаг.

а∈ X - "а элемент нь X олонлогт хамаарна";

а∉ X - "а элемент нь X олонлогт хамаарахгүй";

∀ - "ямар ч", "ямар ч байсан", "бүх нийтийн төлөө" гэсэн дур зоргоороо, ерөнхий байдлын тоон үзүүлэлт;

∃ - оршихуйн хэмжигч:∃ y∈ B - "Б олонлогоос y элемент байна (байдаг)";

∃! - оршихуй ба өвөрмөц байдлын хэмжигч:∃ !b∈ C - "C багцаас өвөрмөц b элемент байна";

: - “тиймэрхүү; эд хөрөнгө эзэмших";

→ - үр дагаврын бэлгэдэл нь "байна" гэсэн утгатай;

⇔ - эквивалентийн хэмжигдэхүүн, эквивалент - "хэрэв, зөвхөн дараа нь".

Багцууд ньхязгаарлагдмал ба төгсгөлгүй . багц гэж нэрлэдэгэцсийн , хэрэв түүний элементүүдийн тоо хязгаарлагдмал бол, i.e. хэрэв олонлогийн элементийн тоо болох n натурал тоо байвал. A=(а 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ). багц гэж нэрлэдэгэцэс төгсгөлгүй Хэрэв энэ нь хязгааргүй тооны элемент агуулж байвал. B=(б 1 , b 2 , b 3 , ...). Жишээлбэл, Оросын цагаан толгойн үсгийн багц нь хязгаарлагдмал багц юм. Натурал тооны олонлог нь хязгааргүй олонлог юм.

Хязгаарлагдмал M олонлогийн элементүүдийн тоог М олонлогийн кардинал байдал гэж нэрлэх ба |M|-ээр тэмдэглэнэ.хоосон олонлог - ямар ч элемент агуулаагүй олонлог -∅ . Хоёр багцыг дууддагтэнцүү , хэрэв тэдгээр нь ижил элементүүдээс бүрдсэн бол, i.e. ижил багц юм. Хэрэв X нь Y-д хамаарахгүй элементүүдтэй, эсвэл Y нь X-д хамаарахгүй элементүүдтэй бол олонлогууд X ≠ Y-тэй тэнцүү биш юм. Олонлогийн тэгш байдлын тэмдэг нь дараах шинж чанартай байдаг.

X=X; - рефлекс чадвар

хэрэв X=Y, Y=X - тэгш хэм

хэрэв X=Y,Y=Z бол X=Z шилжилт хөдөлгөөн байна.

Олонлогуудын тэгш байдлын энэхүү тодорхойлолтын дагуу бид бүх хоосон олонлогууд бие биетэйгээ тэнцүү эсвэл зөвхөн нэг хоосон олонлог байгаа нь адилхан гэдгийг бид аяндаа олж авдаг.

Дэд олонлогууд. Оруулсан хамаарал.

X олонлогийн аль нэг элемент бол Х олонлог нь Y олонлогийн дэд олонлог юм∈ ба Y багц. Х-ээр тэмдэглэнэ⊆ Ю.

Хэрэв Y нь X-ийн элементүүдээс гадна бусад элементүүдийг агуулдаг гэдгийг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай бол хатуу оруулах тэмдгийг ашиглана.⊂ :X ⊂ Y. Тэмдгүүдийн хоорондын хамаарал⊂ болон ⊆ өгсөн:

X ⊂ Ю ⇔ X ⊆ Y ба X≠Y

Тодорхойлолтоос үүдэлтэй дэд олонлогийн зарим шинж чанарыг бид тэмдэглэж байна:

X⊆ X (рефлекс);

→ X⊆ Z (дамжилт);

Дэд олонлогтойгоо холбоотой анхны А олонлогийг нэрлэнэбүрэн тогтоосон ба I-ээр тэмдэглэнэ.

Аливаа дэд олонлог Аби А олонлогийг А-ийн зөв олонлог гэнэ.

Өгөгдсөн X олонлог болон хоосон олонлогийн бүх дэд олонлогуудаас бүрдэх олонлог∅ , логик гэж нэрлэдэг X ба β(X) гэж тэмдэглэнэ. Булийн хүч |β(X)|=2 n.

Тоолж болох багц- энэ бол бүх элементүүдийг дарааллаар дугаарлаж болох А олонлог (m.b. хязгааргүй) ба 1, a 2, a 3, ..., a n , ... тэгснээр энэ тохиолдолд элемент бүр зөвхөн нэг n тоог хүлээн авах ба натурал n тоо бүрийг манай олонлогийн зөвхөн нэг элементэд тоо болгон өгнө.

Натурал тооны олонлогтой тэнцэх олонлогийг тоолж болох олонлог гэнэ.

Жишээ. 1, 4, 9, ..., n бүхэл тоонуудын квадратуудын багц 2 натурал тоон N олонлогийн зөвхөн дэд олонлогийг төлөөлдөг. Элемент тус бүрт натурал цувралын дугаар, квадратын тоог оноож, натурал цуваатай нэг нэгээр нь харгалзах тул тоолох боломжтой. аль нь вэ.

Багцыг тодорхойлох 2 үндсэн арга байдаг.

тооллого (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m) 1 ,м 2 ,м 3 ,..,м n });

тайлбар - багцын бүх элементүүдийн шинж чанарыг илэрхийлдэг.

Олонлог нь түүний элементүүдээр бүрэн тодорхойлогддог.

Тооцоолол нь зөвхөн хязгаарлагдмал багцуудыг (жишээ нь, нэг жилийн саруудын багц) зааж өгч болно. Хязгааргүй олонлогийг зөвхөн түүний элементүүдийн шинж чанарыг тодорхойлох замаар тодорхойлж болно (жишээ нь, рационал тооны олонлогийг Q=(n/m, m, n) дүрслэх замаар тодорхойлж болно.∈ Z, m≠0).

Тодорхойлолтоор багцыг тодорхойлох арга замууд:

а) үүсгэх процедурыг зааж өгөх замаарЭнэ процедурын параметр (параметрүүд) дамждаг олонлогийн (багц) заалттай - рекурсив, индуктив.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - Фибоникчийн олон тоо.

(х олон элемент, ийм x 1 \u003d 1, x 2 =1 ба дурын х k+1 (k=1,2,3,... хувьд) x томьёогоор тооцоолно k+2 \u003d x k + x k + 1) эсвэл X \u003d)