Warunkowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo warunkowe i najprostsze wzory podstawowe. Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń, z których jedno odbywa się pod warunkiem drugiego”

4. Warunkowe prawdopodobieństwo. Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa.

W wielu problemach konieczne jest znalezienie prawdopodobieństwa zbiegu zdarzeń ALE oraz W jeśli znane są prawdopodobieństwa zdarzeń ALE oraz W.

Rozważmy następujący przykład. Niech rzucą się dwie monety. Znajdź prawdopodobieństwo pojawienia się dwóch herbów. Mamy 4 równie prawdopodobne, niekompatybilne parami wyniki, które tworzą kompletną grupę:

Teraz daj nam znać, że herb padł na pierwszą monetę. Jak zmieni się po tym prawdopodobieństwo pojawienia się herbu na obu monetach? Ponieważ herb padł na pierwszą monetę, teraz pełna grupa składa się z dwóch równie prawdopodobnych niezgodnych wyników:

nowe prawdopodobieństwo zdarzenia ALE, przy założeniu, że zdarzenie miało miejsce B, będziemy oznaczać PB (A).

W ten sposób, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Twierdzenie o mnożeniu. Prawdopodobieństwo połączenia zdarzeń A i B jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z nich przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego, obliczone przy założeniu, że zaszło pierwsze zdarzenie, tj.

Dowód. Udowodnijmy słuszność relacji (4) opartej na klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Niech możliwe wyniki E 1, E 2, ..., PL tego doświadczenia tworzą kompletną grupę równie prawdopodobnych parami niekompatybilnych zdarzeń, z których zdarzenie A przychylność M wyniki i niech z nich M wyniki L wyniki sprzyjają wydarzeniu B. Oczywiście połączenie wydarzeń A oraz B przychylność L z N możliwe wyniki testów. To daje ; ;
W ten sposób,
Zamiana miejsc A oraz B, podobnie dostajemy
Twierdzenie o mnożeniu można łatwo uogólnić na dowolną skończoną liczbę zdarzeń. A więc na przykład w przypadku trzech wydarzeń 1, A2, 3 mamy *
Ogólnie

Z relacji (6) wynika, że ​​z dwóch równości (8) jedna jest konsekwencją drugiej.

Niech na przykład wydarzenie A- wygląd herbu podczas pojedynczego rzutu monetą oraz zdarzenia B- pojawienie się karty w kolorze karo po wyjęciu karty z talii. Oczywiście wydarzenia A oraz B niezależny.

Jeśli wydarzenia są niezależne A do B formuła (4) przyjmie prostszą postać:

* Wydarzenie A 1 A 2 A 3 może być reprezentowana jako kombinacja dwóch wydarzeń: wydarzeń C=A 1 A 2 i wydarzenia 3.

Rozważ wydarzenia A oraz B związane z tym samym doświadczeniem. Niech z niektórych źródeł będzie wiadomo, że wydarzenie B miało miejsce, ale nie wiadomo, który z elementarnych skutków składających się na zdarzenie B, stało się. Co można w tym przypadku powiedzieć o prawdopodobieństwie zdarzenia? A?

Prawdopodobieństwo zdarzenia A, obliczone przy założeniu, że zdarzenie B się stało, zwyczajowo nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym i oznacza P(A|B).

warunkowe prawdopodobieństwo P(A|B) rozwój A podlega wydarzeniu B w ramach klasycznego schematu naturalne jest określenie prawdopodobieństwa jako ilorazu ZŁAPAĆ efekty sprzyjające wspólnej realizacji wydarzeń A oraz B, na numer NB efekty sprzyjające wydarzeniu B, to znaczy

Jeśli podzielimy licznik i mianownik tego wyrażenia przez liczbę całkowitą N otrzymujemy podstawowe wyniki

Definicja. Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A podlega wydarzeniu B nazywa się stosunkiem prawdopodobieństwa przecięcia zdarzeń A oraz B do prawdopodobieństwa zdarzenia B:

Jednocześnie zakłada się, że P(B) ≠ 0.

Twierdzenie. Warunkowe prawdopodobieństwo P(A|B) ma wszystkie właściwości bezwarunkowego prawdopodobieństwa ROCZNIE).

Znaczenie tego twierdzenia jest takie, że prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo bezwarunkowe dane na nowej przestrzeni 1 elementarne skutki zbiegające się z wydarzeniem B.

Przykład. Z urny, w której a=7 biały piasek b=3 czarne bile, dwie bile są losowane bez wymiany. Niech wydarzenie 1 jest to, że pierwsza wylosowana bila jest biała i A2- druga bila jest biała. Chciałem znaleźć P(A2 |A1).

Metoda 1.. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

Metoda 2.. Przejdźmy do nowej przestrzeni elementarnych wyników 1. Od czasu wydarzenia 1 to znaczy, że w nowej przestrzeni wyników elementarnych łączna liczba równie możliwych wyników NΩ 1 =a+b-1=9, a wydarzenie A2 Sprzyja temu N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 wyniki. W konsekwencji,

Twierdzenie [mnożenie prawdopodobieństw]. Niech wydarzenie A=A 1 A 2 …A n oraz P(A)>0. Wtedy równość jest prawdziwa:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Komentarz. Z właściwości przemienności skrzyżowania można napisać

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 | A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 | A 2).

Przykład. Litery tworzące słowo „NIGHTINGALE” są napisane na 7 kartach. Karty są tasowane, a trzy karty są z nich losowo wyjmowane i układane od lewej do prawej. Znajdź prawdopodobieństwo, że słowo „VOL” zostanie uzyskane (zdarzenie A).

Niech wydarzenie 1- na pierwszej karcie jest napisana litera „B”, A2- na drugiej karcie jest napisana litera „O”, A2- na trzeciej karcie - litera „L”. Potem wydarzenie A- skrzyżowanie wydarzeń 1, A2, 3. W konsekwencji,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 | A 1) P(A 3 | A 1 A 2).

P(A1)=1/7; jeśli wydarzenie 1 się stało, wtedy na pozostałych 6 kartach „O” występuje dwukrotnie, co oznacza P(A2 |A1)=2/6=1/3. Podobnie, P(A3 |A1)=2/6=1/3. W konsekwencji,

Definicja. Rozwój A oraz B, o prawdopodobieństwie niezerowym, są nazywane niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo warunkowe A na warunkach B pokrywa się z bezwarunkowym prawdopodobieństwem A lub jeśli prawdopodobieństwo warunkowe B na warunkach A pokrywa się z bezwarunkowym prawdopodobieństwem B, to znaczy

P(A|B) = P(A) lub P(B|A) = P(B),

inaczej wydarzenia A oraz B zwany zależnym.

Twierdzenie. Rozwój A oraz B, które mają niezerowe prawdopodobieństwo, są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

P(AB) = P(A) P(B).

W ten sposób możemy podać równoważną definicję:

Definicja. Rozwój A oraz B są nazywane niezależnymi, jeśli P(AB) = P(A) P(B).

Przykład. Z talii kart zawierającej n=36 karty, jedna karta jest losowana. Oznacz przez A zdarzenie odpowiadające faktowi, że wyodrębniona mapa będzie szczytem, ​​oraz B- wydarzenie odpowiadające pojawieniu się „damy”. Określ, czy zdarzenia są zależne A oraz B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Dlatego wydarzenia A oraz B niezależny. Podobnie, .

Wynajmować ALE oraz W są dwa zdarzenia brane pod uwagę w tym teście. W takim przypadku wystąpienie jednego ze zdarzeń może wpłynąć na możliwość wystąpienia innego. Na przykład wystąpienie zdarzenia ALE może wpłynąć na wydarzenie W lub odwrotnie. Aby uwzględnić taką zależność jednych zdarzeń od innych, wprowadzono pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego.

Definicja. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia W znajduje się pod warunkiem, że zdarzenie ALE się stało, to wynikające z tego prawdopodobieństwo zdarzenia W nazywa warunkowe prawdopodobieństwo rozwój W. Następujące symbole są używane do oznaczenia takiego prawdopodobieństwa warunkowego: R ALE ( W) lub R(W / ALE).

Uwaga 2. W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa warunkowego, prawdopodobieństwo „bezwarunkowe” jest również brane pod uwagę, gdy jakiekolwiek warunki zajścia jakiegoś zdarzenia W zaginiony.

Przykład. Urna zawiera 5 kul, z których 3 są czerwone, a 2 niebieskie. Z kolei wyciąga się z niej jedną piłkę z powrotem i bez powrotu. Znajdź warunkowe prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej bili po raz drugi, pod warunkiem, że pierwszy raz to: a) czerwona kula; b) niebieska piłka.

Niech wydarzenie ALE po raz pierwszy losuje czerwoną piłkę, a wydarzeniem W– wyciągnięcie czerwonej kuli po raz drugi. To oczywiste, że R(ALE) = 3 / 5; następnie w przypadku, gdy wyjęta po raz pierwszy piłka wraca do urny, R(W)=3/5. W przypadku, gdy wylosowana piłka nie zostanie zwrócona, prawdopodobieństwo wylosowania bili czerwonej R(W) zależy od tego, która bila została wylosowana po raz pierwszy - czerwona (zdarzenie ALE) lub niebieski (zdarzenie). Następnie w pierwszym przypadku R ALE ( W) = 2 / 4, a w drugim ( W) = 3 / 4.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń, z których jedno odbywa się pod warunkiem drugiego”

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z nich przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego, ustalone przy założeniu, że zaszło pierwsze zdarzenie:

R(A ∙ B) = R(ALE) ∙ R ALE ( W) . (1.7)

Dowód. Rzeczywiście, niech n- całkowita liczba równie prawdopodobnych i niekompatybilnych (elementarnych) wyników testu. Odpuść sobie n 1 - liczba wyników sprzyjających wydarzeniu ALE, który występuje na początku, oraz m- liczba wyników, w których zdarzenie ma miejsce W zakładając, że wydarzenie ALE przyszedl. W ten sposób, m to liczba wyników, które sprzyjają wydarzeniu W. Następnie otrzymujemy:

Tych. prawdopodobieństwo iloczynu kilku zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z tych zdarzeń przez prawdopodobieństwa warunkowe pozostałych, a prawdopodobieństwo warunkowe każdego kolejnego zdarzenia oblicza się przy założeniu, że wszystkie poprzednie zdarzenia miały miejsce.

Przykład. W 10-osobowej drużynie jest 4 mistrzów sportu. W drodze losowania wybiera się 3 zawodników z drużyny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy wybrani sportowcy są mistrzami sportu?

Rozwiązanie. Sprowadźmy problem do modelu „urny”, czyli Załóżmy, że w urnie zawierającej 10 kulek znajdują się 4 czerwone kule i 6 białych. Z tej urny losowane są 3 kule (wybór S= 3). Niech wydarzenie ALE polega na wydobyciu 3 kulek. Problem można rozwiązać na dwa sposoby: za pomocą klasycznego schematu i wzoru (1.9).

Pierwsza metoda oparta na wzorze kombinatorycznym:

Druga metoda (według wzoru (1.9)). Z urny wyciągane są kolejno 3 kule bez wymiany. Wynajmować ALE 1 - pierwsza wylosowana kula jest czerwona, ALE 2 - druga wylosowana kula jest czerwona, ALE 3 - trzecia wylosowana piłka jest czerwona. Niech też wydarzenie ALE oznacza, że ​​wszystkie 3 wylosowane kule są czerwone. Następnie: ALE = ALE 1 ∙ (ALE 2 / ALE 1) ∙ ALE 3 / (ALE 1 ∙ ALE 2), tj.

Przykład. Niech z zestawu kart a, a, r, b, o, t karty są dobierane pojedynczo. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania słowa „ Praca” podczas sekwencyjnego składania ich w jedną linię od lewej do prawej?

Wynajmować W- zdarzenie, w którym uzyskuje się zadeklarowane słowo. Następnie według wzoru (1.9) otrzymujemy:

R(W) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa przybiera najprostszą postać, gdy iloczyn tworzą zdarzenia niezależne od siebie.

Definicja. Wydarzenie W nazywa niezależny z wydarzenia ALE jeżeli jego prawdopodobieństwo nie zmienia się niezależnie od tego, czy zdarzenie miało miejsce ALE albo nie. Dwa zdarzenia nazywamy niezależnymi (zależnymi), jeżeli wystąpienie jednego z nich nie zmienia (zmienia) prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. Tak więc za nie zdarzenia zależne p(B/A) = R(W) lub = R(W) oraz w przypadku zdarzeń zależnych R(W/A)

Wydarzenie. Przestrzeń wydarzeń elementarnych. Pewne wydarzenie, niemożliwe wydarzenie. Wspólne, niewspólne wydarzenia. Zdarzenia równoważne. Kompletna grupa wydarzeń. Operacje na wydarzeniach.

Wydarzenie to zjawisko, o którym można powiedzieć, że jest dziać się lub nie dzieje się, w zależności od charakteru samego wydarzenia.

Pod wydarzenia elementarne związane z konkretnym testem zrozumieć wszystkie nierozkładalne wyniki tego testu. Każde zdarzenie, które może wystąpić w wyniku tego testu, można uznać za pewien zbiór zdarzeń elementarnych.

Przestrzeń wydarzeń elementarnych nazywamy zbiorem arbitralnym (skończonym lub nieskończonym). Jej elementami są punkty (zdarzenia elementarne). Podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniami.

pewne wydarzenie wywoływane jest zdarzenie, które w wyniku tego testu na pewno nastąpi; (oznaczone przez E).

Niemożliwe wydarzenie zdarzenie nazywamy takim zdarzeniem, które w wyniku danego testu nie może się zdarzyć; (oznaczone U). Na przykład pojawienie się jednego z sześciu punktów podczas jednego rzutu kostka do gry- wiarygodne wydarzenie, a pojawienie się 8 punktów jest niemożliwe.

Te dwa wydarzenia nazywają się wspólny(zgodne) w danym doświadczeniu, jeżeli pojawienie się jednego z nich nie wyklucza pojawienia się drugiego.

Te dwa wydarzenia nazywają się niekompatybilny(niezgodne) w danym badaniu, jeżeli nie mogą wystąpić razem w tym samym badaniu. O kilku zdarzeniach mówi się, że są niezgodne, jeśli są niezgodne parami.

Początek formularza

Koniec formularza

Temat numer 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa. Klasyczna, statystyczna, geometryczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia. Właściwości prawdopodobieństwa. Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw. niezależne wydarzenia. Warunkowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego ze zdarzeń. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo. Formuła Bayesa

Miarą liczbową stopnia obiektywnej możliwości zajścia zdarzenia jest prawdopodobieństwo zdarzenia. Ta definicja, która jakościowo odzwierciedla pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia, nie jest matematyczna. Aby tak było, konieczne jest zdefiniowanie tego jakościowo.

Według klasyczna definicja prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby przypadków sprzyjających mu do całkowitej liczby przypadków, czyli:

Gdzie P(A) jest prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A

Całkowita liczba spraw.

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa:

Statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A to względna częstotliwość występowania tego zdarzenia w przeprowadzonych testach, czyli:

Gdzie jest statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Względna częstotliwość (częstotliwość) zdarzenia A.

Liczba prób, w których wystąpiły zdarzenia A

Całkowita liczba prób.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa „matematycznego”, rozpatrywanego w klasycznej definicji, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą eksperymentalnej, eksperymentalnej.

Jeżeli istnieje proporcja przypadków sprzyjających zdarzeniu A, która jest określana bezpośrednio, bez żadnych prób, to jest proporcja tych faktycznie przeprowadzonych, w których wystąpiło zdarzenie A.

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo geometryczne zdarzenia A to stosunek miary powierzchni sprzyjającej wystąpieniu zdarzenia A do miary wszystkich obszarów, czyli:

W przypadku jednowymiarowym:

Konieczne jest oszacowanie prawdopodobieństwa trafienia punktu na CD/

Okazuje się, że prawdopodobieństwo to nie zależy od położenia CD na odcinku AB, ale zależy tylko od jego długości.

Prawdopodobieństwo trafienia w punkt nie zależy od kształtów ani od położenia B na A, ale zależy tylko od powierzchni tego odcinka.

Warunkowe prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo nazywa się warunkowy , jeśli jest obliczana w określonych warunkach i oznaczona:

Jest to prawdopodobieństwo zdarzenia A. Oblicza się je pod warunkiem, że zdarzenie B już zaszło.

Przykład. Robimy test, wyciągamy dwie karty z talii: Pierwsze prawdopodobieństwo jest bezwarunkowe.

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania asa z talii:

Wystąpienie 2 asa obliczamy z talii:

A*B - wspólne występowanie zdarzeń

– twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa

Konsekwencja:

Twierdzenie o mnożeniu dla wspólnego występowania zdarzeń ma postać:

Oznacza to, że każde kolejne prawdopodobieństwo jest obliczane, biorąc pod uwagę, że wszystkie poprzednie warunki już wystąpiły.

Niezależność od wydarzenia:

Dwa zdarzenia nazywane są niezależnymi, jeśli wystąpienie jednego nie jest sprzeczne z wystąpieniem drugiego.

Na przykład, jeśli asy są losowane wielokrotnie z talii, to są one od siebie niezależne. Ponownie, to znaczy, że karta została obejrzana i wróciła z powrotem do talii.

Wydarzenia wspólne i niewspólne:

Wspólny 2 zdarzenia są wywoływane, jeśli wystąpienie jednego z nich nie jest sprzeczne z wystąpieniem drugiego.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń:

Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez ich wspólnego wystąpienia.

Na trzy wspólne wydarzenia:

Zdarzenia nazywane są niespójnymi, jeśli żadne dwa z nich nie mogą wystąpić jednocześnie w wyniku pojedynczego testu losowego eksperymentu.

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo sumy skończonej liczby niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Wniosek 1:

Suma prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę jest równa jeden:

Wniosek 2:

Komentarz: Należy podkreślić, że rozważane twierdzenie o addycji ma zastosowanie tylko do zdarzeń niezgodnych.

Prawdopodobieństwo przeciwnych zdarzeń:

Naprzeciwko nazywa się dwa unikalne możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę. Jedno z dwóch przeciwstawnych zdarzeń jest oznaczone przez ALE, drugi - przez .

Przykład: Trafienia i chybienia podczas strzelania do celu to przeciwne zdarzenia. Jeśli A jest trafieniem, to pudło.

Twierdzenie: Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń jest równa jeden:

Notatka 1: Jeżeli prawdopodobieństwo jednego z dwóch przeciwstawnych zdarzeń oznaczymy przez p, to prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia oznaczymy przez q Tak więc na mocy poprzedniego twierdzenia:

Uwaga 2: Podczas rozwiązywania problemów w celu znalezienia prawdopodobieństwa zdarzenia A często korzystne jest najpierw obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia , a następnie znalezienie pożądanego prawdopodobieństwa za pomocą wzoru:

Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego zdarzenia:

Załóżmy, że w wyniku eksperymentu może wystąpić część lub brak zdarzenia.

Twierdzenie: Prawdopodobieństwo wystąpienia przynajmniej jednego zdarzenia ze zbioru niezależnych zdarzeń jest równe różnicy między jednością a ich prawdopodobieństwem niewystąpienia zdarzeń.

Formuła całkowitego prawdopodobieństwa pozwala znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia A, co może wystąpić tylko z każdym z n wzajemnie wykluczające się zdarzenia, które tworzą kompletny system, jeśli znane są ich prawdopodobieństwa, oraz prawdopodobieństwa warunkowe rozwój A w odniesieniu do każdego ze zdarzeń systemu są równe .

Zdarzenia nazywane są również hipotezami, wzajemnie się wykluczają. Dlatego w literaturze można również znaleźć ich oznaczenie nie literą B, ale z listem H(hipoteza).

Aby rozwiązać problemy w takich warunkach, należy wziąć pod uwagę 3, 4, 5 lub w ogólnym przypadku n możliwość imprezy A- przy każdym wydarzeniu.

Korzystając z twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw, otrzymujemy sumę iloczynów prawdopodobieństwa każdego ze zdarzeń układu przez warunkowe prawdopodobieństwo rozwój A dla każdego zdarzenia w systemie. To znaczy prawdopodobieństwo zdarzenia A można obliczyć według wzoru

lub w ogóle

,

który jest nazywany wzór na całkowite prawdopodobieństwo .

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1 Znajdują się tam trzy identycznie wyglądające urny: w pierwszej znajdują się 2 białe kule i 3 czarne, w drugiej 4 białe i jedna czarna, w trzeciej 3 białe kule. Ktoś losowo podchodzi do jednej z urny i wyciąga z niej jedną kulę. Wykorzystując wzór na całkowite prawdopodobieństwo, znajdź prawdopodobieństwo, że piłka jest biała.

Rozwiązanie. Wydarzenie A- pojawienie się białej kuli. Stawiamy trzy hipotezy:

Pierwsza wybrana urna;

Wybrano drugą urnę;

Wybrano trzecią urnę.

Prawdopodobieństwo zdarzenia warunkowego A dla każdej z hipotez:

, , .

Stosujemy formułę całkowitego prawdopodobieństwa, w wyniku czego - wymagane prawdopodobieństwo:

.

Przykład 2 W pierwszym zakładzie na 100 żarówek wytwarza się średnio 90 standardowych, w drugim 95, w trzecim 85, a produkty tych fabryk stanowią 50%, 30% i 20%, odpowiednio, wszystkich żarówek elektrycznych dostarczanych do sklepów na danym obszarze. Znajdź prawdopodobieństwo zakupu standardowej żarówki.

Rozwiązanie. Oznaczmy prawdopodobieństwo uzyskania standardowej żarówki jako A oraz zdarzenia, że ​​zakupiona żarówka została wyprodukowana odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej fabryce, poprzez . Przez warunek znane są prawdopodobieństwa tych zdarzeń: , , oraz prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A w odniesieniu do każdego z nich: , , . Są to prawdopodobieństwa nabycia standardowej żarówki, pod warunkiem, że jest ona produkowana odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej fabryce.

Wydarzenie A nastąpi, jeśli wystąpi zdarzenie lub K- żarówka jest produkowana w pierwszej fabryce i jest standardem lub imprezą L- żarówka produkowana jest w drugiej fabryce i jest standardem lub imprezą M- żarówka jest produkowana w trzeciej fabryce i jest standardem. Inne możliwości wystąpienia zdarzenia A nie. Dlatego wydarzenie A to suma zdarzeń K, L oraz M które są niezgodne. Stosując twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa, reprezentujemy prawdopodobieństwo zdarzenia A jak

a przez twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa otrzymujemy

to znaczy, szczególny przypadek wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Podstawiając prawdopodobieństwa po lewej stronie wzoru, otrzymujemy prawdopodobieństwo zdarzenia A :

Przykład 3 Samolot ląduje na lotnisku. Jeśli pogoda na to pozwala, pilot ląduje, wykorzystując oprócz przyrządów również obserwację wzrokową. W tym przypadku prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi . Jeśli lotnisko jest zachmurzone z niskimi chmurami, pilot ląduje samolotem, orientując się tylko na przyrządach. W tym przypadku prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi ; . Urządzenia umożliwiające lądowanie na ślepo są niezawodne (prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy) P. W przypadku niewielkiego zachmurzenia i nieudanych przyrządów do lądowania na ślepo prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi ; . Statystyki pokazują, że w k% lądowań, lotnisko pokryte jest niskimi chmurami. Odnaleźć pełne prawdopodobieństwo zdarzenia A- bezpieczne lądowanie samolotu.

Rozwiązanie. Hipotezy:

Nie ma niskiego zachmurzenia;

Jest niska zachmurzenie.

Prawdopodobieństwo tych hipotez (zdarzeń):

;

Warunkowe prawdopodobieństwo.

Prawdopodobieństwo warunkowe znajduje się ponownie za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo całkowite z hipotezami

Działają urządzenia do lądowania na ślepo;

Przyrządy do lądowania na ślepo zawiodły.

Prawdopodobieństwa tych hipotez to:

Zgodnie z formułą całkowitego prawdopodobieństwa

Przykład 4 Urządzenie może pracować w dwóch trybach: normalnym i nienormalnym. Tryb normalny obserwuje się w 80% wszystkich przypadków działania urządzenia, a nienormalny - w 20% przypadków. Prawdopodobieństwo awarii urządzenia w określonym czasie t równy 0,1; w nienormalnym 0,7. Odnaleźć pełne prawdopodobieństwo awaria urządzenia w czasie t.

Rozwiązanie. Ponownie oznaczamy prawdopodobieństwo awarii urządzenia jako A. Tak więc, jeśli chodzi o działanie urządzenia w każdym trybie (zdarzenia), prawdopodobieństwa są znane według warunku: dla trybu normalnego wynosi 80% (), dla trybu nieprawidłowego - 20% (). Prawdopodobieństwo zdarzenia A(czyli awaria urządzenia) w zależności od pierwszego zdarzenia (tryb normalny) wynosi 0,1 (); w zależności od drugiego zdarzenia (tryb nienormalny) - 0,7 ( ). Podstawiamy te wartości do formuły prawdopodobieństwa całkowitego (czyli sumy iloczynów prawdopodobieństwa każdego ze zdarzeń systemu i prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia A dotyczące każdego ze zdarzeń systemu) i mamy wymagany wynik.