Zabavna logika v matematiki. Zabavna logična matematična logična vprašanja

1. Pojasnilo
1.1 Ustreznost
1.2 Namen programa
1.3 Cilji programa
1.4 Pogoji izvajanja programa, starost otrok, oblike izvajanja pouka
1.5 Faze izvajanja programa
1.6 Vsebina programa
1.7 Pričakovani rezultati

2. Metodološka podpora
2.1 Perspektivno-tematski načrt krožka " Zabavna logika»

3. Diagnostični program za logično razmišljanje starejših predšolskih otrok.

5. Viri informacij

1. Pojasnilo.
Zakaj logika za malega predšolskega otroka?
Po L. A. Wengerju »za petletne otroke samo zunanje lastnosti stvari očitno niso dovolj. Pripravljeni so, da se postopoma seznanijo ne le z zunanjimi, ampak tudi z notranjimi, skritimi lastnostmi in odnosi, ki so podlaga za znanstveno znanje o svetu ... Vse to bo koristno duševni razvoj otrok le, če je usposabljanje namenjeno razvoju duševnih sposobnosti, tistih sposobnosti na področju zaznavanja, domišljijskega mišljenja, domišljije, ki temeljijo na asimilaciji vzorcev zunanjih lastnosti stvari in njihovih sort ... "
Spretnosti, ki jih otrok pridobi v predšolskem obdobju, bodo služile kot osnova za pridobivanje znanja in razvijanje sposobnosti v starejši dobi – v šoli. In najpomembnejša med temi veščinami je veščina logičnega razmišljanja, sposobnost »delovanja v mislih«. Otrok, ki ne obvlada metod logičnega razmišljanja, bo težje reševal probleme, izvajanje vaj bo zahtevalo veliko časa in truda. Posledično lahko trpi otrokovo zdravje, zanimanje za učenje lahko oslabi ali celo zbledi.
Ko bo otrok obvladal logične operacije, bo postal bolj pozoren, naučil se bo jasno in jasno razmišljati ter se bo lahko ob pravem času osredotočil na bistvo problema. Lažje se bo učiti, kar pomeni, da se učni proces in sama šolsko življenje bo prinesel veselje in zadovoljstvo.
Ta program prikazuje, kako je s posebnimi igrami in vajami mogoče oblikovati sposobnost otrok, da samostojno vzpostavijo logična razmerja v okoliški realnosti.
Pri delu s predšolskimi otroki na razvoju kognitivnih procesov pridete do zaključka, da je eden od nujnih pogojev za njihov uspešen razvoj in učenje doslednost, tj. sistem posebnih iger in vaj z dosledno razvijajočo se in kompleksnejšo vsebino, z didaktičnimi nalogami, dejanja igre in pravila. Posamezne igre in vaje so lahko zelo zanimive, vendar z njihovo uporabo zunaj sistema ne moremo doseči želenega učnega in razvojnega rezultata.
1.1 Ustreznost
Za uspešen razvoj šolskega kurikuluma mora otrok ne le veliko vedeti, ampak tudi razmišljati dosledno in dokončno, ugibati, pokazati duševno napetost, logično razmišljati.
Poučevanje razvoja logičnega mišljenja ni majhnega pomena za bodočega študenta in je danes zelo pomembno.
Z obvladovanjem katere koli metode pomnjenja se otrok nauči določiti cilj in opraviti določeno delo z materialom, da ga doseže. Začne razumeti potrebo po ponavljanju, primerjanju, posploševanju, združevanju snovi z namenom pomnjenja.
Poučevanje otrok o klasifikaciji prispeva k uspešnemu obvladovanju kompleksnejšega načina pomnjenja – pomenskega združevanja, s katerim se otroci srečujejo v šoli.
Z uporabo možnosti za razvoj logičnega razmišljanja in spomina predšolskih otrok je mogoče otroke uspešneje pripraviti na reševanje problemov, ki jih postavlja šolsko izobraževanje.
Razvoj logičnega mišljenja vključuje uporabo didaktičnih iger, iznajdljivost, uganke, reševanje različnih logične igre in labirinte ter je zelo zanimiv za otroke. Pri tej dejavnosti se pri otrocih oblikujejo pomembne osebnostne lastnosti: samostojnost, iznajdljivost, iznajdljivost, vztrajnost, razvijajo se konstruktivne sposobnosti. Otroci se naučijo načrtovati svoja dejanja, razmišljati o njih, ugibati v iskanju rezultata, hkrati pa pokazati ustvarjalnost.
Pri delu z otroki lahko opazite, da veliko otrok ni kos na videz preprostim logičnim nalogam. Na primer, večina otrok starejše predšolske starosti ne more pravilno odgovoriti na vprašanje, česa je več: sadja ali jabolk, tudi če imajo v rokah sliko, na kateri je narisano sadje - veliko jabolk in več hrušk. Otroci bodo odgovorili, da je več hrušk. V takih primerih svoje odgovore utemelji na tem, kar vidi na lastne oči. Domiselno mišljenje jih »spušča« in do 5. leta starosti otroci še nimajo logičnega sklepanja. V višji predšolska starost začnejo kazati elemente logičnega mišljenja, značilne za šolarje in odrasle, ki jih je treba razviti pri prepoznavanju najbolj optimalnih metod za razvoj logičnega mišljenja.
Igre logične vsebine pomagajo gojiti kognitivni interes pri otrocih, prispevajo k raziskovanju in ustvarjalnemu iskanju, želji in sposobnosti učenja. Didaktične igre so ena najbolj naravnih dejavnosti otrok in prispevajo k oblikovanju in razvoju intelektualnih in ustvarjalnih manifestacij, samoizražanja in neodvisnosti. Razvoj logičnega razmišljanja pri otrocih skozi didaktične igre je pomembna za uspešnost nadaljnjega šolanja, za pravilno oblikovanje osebnosti učenca in v nadaljnjem šolanju pripomore k uspešnemu osvajanju osnov matematike in računalništva.
1.2 Namen programa: ustvarjanje pogojev za največji razvoj logičnega razmišljanja predšolskih otrok v pripravi na uspešno šolanje.
1.3 Cilji programa:

• naučite otroke osnovnih logičnih operacij: analiza, sinteza, primerjava, negacija, klasifikacija, sistematizacija, omejevanje, posploševanje, sklepanje
• naučiti otroke navigacije v vesolju
• razvijati pri otrocih višje duševne funkcije, sposobnost sklepanja, dokazovanja
• gojiti željo po premagovanju težav, samozavest, željo po pomoči vrstniku

1.4 Pogoji izvajanja programa, starost otrok, oblike izvajanja pouka
Pogoji izvajanja programa - 1-2 leti
Program je namenjen otrokom od 5 do 7 let.
Program predvideva izvajanje krožnih razredov v različnih oblikah:

• Posameznik samostojno delo otroci.
• Delo v parih.
• Skupinske oblike dela.
• Diferencirano.
• Čelni pregled in kontrola.
• Samoocena opravljenega dela.
• Didaktična igra.
• Tekmovanje.
• Natečaji.

1.5 Faze izvajanja programa
Tehnologija dejavnosti je zgrajena v fazah:

1. Diagnoza začetne stopnje razvoja kognitivnih procesov in nadzor nad njihovim razvojem.
2. Načrtovanje sredstev, s katerimi je mogoče razviti eno ali drugo kakovost (pozornost, spomin, domišljija, mišljenje), ob upoštevanju individualnosti vsakega otroka in razpoložljivega znanja.
3. Izgradnja interdisciplinarne (integralne) osnove za usposabljanje v razvijajočem se tečaju.
4. Postopno zapletanje gradiva, postopno povečevanje količine dela, povečanje stopnje neodvisnosti otrok.
5. Seznanjanje s prvinami teorije, učnimi metodami sklepanja, samoargumentacija po izbiri.
6. Povezovanje znanja in metod kognitivna dejavnost, obvladovanje njegovih splošnih tehnik.
7. Vrednotenje rezultatov razvojnega tečaja po razvitih kriterijih, ki naj vključujejo otroka (samopodoba, samokontrola, medsebojna kontrola).

1. 6 Programske vsebine
Kratek opis razdelki in teme razredov (oddelki ustrezajo določeni logični operaciji, ki se je bodo otroci naučili v razredu):

1. Analiza - sinteza.
Cilj je naučiti otroke razdeliti celoto na dele, vzpostaviti povezavo med njimi; naučite se miselno združiti dele predmeta v eno celoto.
Igre in vaje: iskanje logičnega para (mačka - mucek, pes - ? (kuža)). Dopolnite sliko (vzemite obliž, narišite žep na obleko). Iskanje nasprotij (lahko - težko, hladno - vroče). Delajte z ugankami različnih zahtevnosti. Postavljanje slik iz števnih palic in geometrijskih oblik.

2. Primerjava.
Cilj je naučiti miselno ugotavljati podobnosti in razlike predmetov glede na bistvene značilnosti; razvijati pozornost, dojemanje otrok. Izboljšajte orientacijo v prostoru.
Igre in vaje: utrjevanje pojmov: velik - majhen, dolg - kratek, nizek - visok, ozek - širok, višji - nižji, dlje - bližje itd. Delovanje s koncepti "enako", "najbolj". Poiščite podobnosti in razlike v 2 podobnih slikah.

3. Omejitev.
Cilj je naučiti izločiti enega ali več predmetov iz skupine glede na določene značilnosti. Razvijte otrokove sposobnosti opazovanja.
Igre in vaje: »z eno črto obkroži samo rdeče zastavice«, »poišči vse nekrožne predmete« itd. Izključitev četrtega odvečnega.

4. Posploševanje.
Cilj je naučiti mentalno združevati predmete v skupino glede na njihove lastnosti. Prispevajte k bogatitvi besednega zaklada, širite vsakdanje znanje otrok.
Igre in vaje za delo s posploševalnimi pojmi: pohištvo, posoda, transport, zelenjava, sadje itd.

5. Sistematizacija.
Cilj je naučiti prepoznati vzorce; razširiti besedni zaklad otrok; naučiti povedati po sliki, pripovedovati.
Igre in vaje: čarobni kvadrati (poberi manjkajoči del, sliko). Sestavljanje zgodbe na podlagi serije slik, razporejanje slik v logičnem zaporedju.

6. Razvrstitev.
Cilj je naučiti razporejati predmete v skupine glede na njihove bistvene značilnosti. Utrjevanje splošnih konceptov, prosto delovanje z njimi.

7. Sklepanje.
Cilj je naučiti se s pomočjo sodb sklepati. Prispevajte k širjenju gospodinjskega znanja otrok. Razvijte domišljijo.
Igre in vaje: iskanje pozitivnega in negativnega v pojavih (npr. ko dežuje, nahrani rastline – to je dobro, slabo pa je, da se v dežju človek lahko zmoči, prehladi in zboli) . Vrednotenje pravilnosti določenih sodb (»veter piha, ker se drevesa majejo.« Kajne?). Odločitev logične naloge.

1.7 Pričakovani rezultati
Načrtovani rezultati:
Otroci bi morali vedeti:

• principi konstruiranja vzorcev, lastnosti števil, predmetov, pojavov, besed;
• načela zgradbe ugank, križank, verižnih besed, labirintov;
• antonimi in sinonimi;
• imena geometrijskih likov in njihove lastnosti;
• načelo programiranja in sestavljanje algoritma dejanj.

Otroci bi morali biti sposobni:

• določajo vzorce in izvajajo nalogo po tem vzorcu, razvrščajo in združujejo predmete, primerjajo, iščejo skupne in posebne lastnosti, posplošujejo in abstrahirajo, analizirajo in vrednotijo ​​svoje delovanje;
• s sklepanjem rešujejo logične, nestandardne probleme, izvajajo ustvarjalno iskalne, besedno-didaktične, numerične naloge, najdejo odgovor na matematične uganke;
• hitro in pravilno odgovarjati med ogrevanjem na zastavljena vprašanja;
• izvajati naloge za urjenje pozornosti, zaznavanja, spomina
• izvajati grafične nareke, biti sposoben krmariti v shematskem prikazu grafičnih nalog;
• biti sposoben postaviti cilj, načrtovati faze dela, doseči rezultate z lastnimi prizadevanji.

Način preverjanja rezultatov dela : generalizacijski razredi po vsakem oddelku in 2 diagnostiki (začetni (september) in končni (maj)) stopnje obvladovanja operacij logičnega mišljenja.

Besede Sherlocka Holmesa: »Kolikokrat sem ti rekel, odvrzi vse nemogoče, potem bo tisto, kar ostane, odgovor, pa naj bo še tako neverjeten,« bi lahko služile kot epigraf tega poglavja.

Če reševanje uganke zahteva le sposobnost logičnega razmišljanja in sploh ni treba izvajati aritmetičnih izračunov, potem se takšna uganka običajno imenuje logična težava. Logični problemi seveda sodijo med matematične, saj lahko logiko obravnavamo kot zelo splošno, temeljno matematiko. Kljub temu je priročno izločiti in preučevati logične uganke ločeno od njihovih bolj številnih aritmetičnih sester. V tem poglavju bomo opisali tri običajne vrste logičnih problemov in poskušali ugotoviti, kako se jim lotiti.

Najpogostejša vrsta težave, ki jo ljubitelji ugank včasih imenujejo "problem Smith-Jones-Robinson" (po analogiji s staro uganko, ki jo je izumil G. Dudeni).

Sestavljen je iz serije paketov, ki običajno poročajo o določenih informacijah o likih; Na podlagi teh predpostavk je treba narediti nekatere zaključke. Takole je na primer videti najnovejša ameriška različica problema Dudeney:

1. Smith, Jones in Robinson delajo v istem vlakovnem osebju kot strojevodja, sprevodnik in gasilec. Njihovi poklici niso nujno navedeni v istem vrstnem redu kot njihovi priimki. Na vlaku, ki ga vozi brigada, so trije potniki z istimi priimki.

V prihodnje bomo vsakega potnika spoštljivo klicali "gospod" (Mr).

2. G. Robinson živi v Los Angelesu.

3. Dirigent živi v Omahi.

4. G. Jones je že dolgo pozabil na vso algebro, ki so jo učili na kolidžu.

5. Potnik - dirigentov soimenjak živi v Chicagu.

6. Dirigent in eden od potnikov, znani specialist za matematično fiziko, gredo v isto cerkev.

7. Smith vedno premaga kurjača, ko se srečata za partijo biljarda.

Kako je ime vozniku?

Te težave bi lahko prevedli v jezik matematične logike z njenim standardnim zapisom in iskali rešitev z ustreznimi metodami, vendar bi bil takšen pristop preveč okoren. Po drugi strani pa je brez takšnih ali drugačnih okrajšav težko razumeti logično strukturo problema. Najbolj priročno je uporabiti tabelo, v prazne celice katere bomo vnesli vse možne kombinacije elementov obravnavanih nizov. V našem primeru sta takšni množici dve, zato potrebujemo dve tabeli (slika 139).

riž. 139 Dve tabeli za problem Smitha, Jonesa in Robinsona.

V vsako celico vnesemo 1, če je ustrezna kombinacija dopustna, ali 0, če je kombinacija v nasprotju s pogoji problema. Poglejmo, kako se to naredi. Pogoj 7 očitno izključuje možnost, da je Smith stoker, zato v polje v zgornjem desnem kotu leve tabele vnesemo 0. Pogoj 2 nam pove, da Robinson živi v Los Angelesu, zato v spodnjem levem kotu tabele vnesemo vnesite 1 in 0 v vse druge celice v spodnji vrstici in levem stolpcu, da pokažete, da gospod Robinson ne živi v Omahi ali Chicagu, gospod Smith in gospod Jones pa ne živita v Los Angelesu.

Zdaj moramo malo razmisliti. Iz pogojev 3 in 6 vemo, da matematični fizik živi v Omahi, ne poznamo pa njegovega priimka. Ne more biti ne g. Robinson ne g. Jones (navsezadnje je pozabil celo elementarno algebro).

Zato mora biti g. Smith. To okoliščino zabeležimo tako, da v srednjo celico zgornje vrstice desne tabele vnesemo 1, v preostale celice iste vrstice in prazne celice v srednjem stolpcu pa 0. Tretjo enoto je zdaj mogoče vnesti le v eno celico: to dokazuje, da gospod Jones živi v Chicagu. Iz pogoja 5 izvemo, da ima dirigent tudi priimek Jones in v osrednjo celico leve tabele vpišemo 1, v vse ostale celice srednje vrstice in srednjega stolpca pa 0. Po tem dobijo naše tabele obliko, prikazano na sl. 140.

riž. 140 Tabela jajca, prikazana na sl. 139, po predpolnjenju.

Zdaj ni težko nadaljevati sklepanja, ki vodijo do končnega odgovora. V stolpcu z oznako "Stoker" lahko enoto postavite samo v spodnjo celico. Iz tega takoj sledi, da mora biti v spodnjem levem kotu 0. Prazna ostane samo celica v zgornjem levem kotu tabele, kamor lahko vpišemo samo 1. Vozniku je torej ime Smith.

Lewis Carroll je rad izumljal izjemno zapletene in genialne probleme te vrste. Dekan matematike na kolidžu v Dortmouthu John J. Kemeny je za računalnik IBM-704 sprogramiral enega od pošastnih (s 13 spremenljivkami in 12 pogoji, iz katerih izhaja, da »noben sodnik ne njuha tobaka«) Carrollovih problemov. Stroj je dokončal rešitev v približno 4 minutah, čeprav bi tiskanje celotne "tabele resničnosti" problema (tabele, ki prikazuje, ali so možne kombinacije resničnostnih vrednosti spremenljivk problema resnične ali napačne) trajalo 13 ur!

Za bralce, ki želijo poskusiti srečo s težjim problemom, kot je Smith-Jones-Robinsonov problem, ponujamo novo uganko. Njen avtor je R. Smullyan z univerze Princeton.

1. Leta 1918 je bil prvi Svetovna vojna. Na dan podpisa mirovne pogodbe so se trije zakonci zbrali, da bi ta dogodek proslavili za praznično mizo.

2. Vsak mož je bil brat ene od žena in vsaka žena je bila sestra enega od mož, kar pomeni, da so med prisotnimi lahko označeni trije sorodni pari »brat in sestra«.

3. Helen je točno 26 tednov starejša od moža, ki se je rodil avgusta.

4. Sestra gospoda Whitea je poročena z Elleninim svakom in se je z njim poročila na svoj rojstni dan januarja.

5. Margaret White je nižja od Williama Blakea.

6. Arthurjeva sestra je lepša od Beatrice.

7. Janez je star 50 let.

Kako je ime gospe Brown?

Nič manj pogosta je druga vrsta logičnih problemov, ki jih po analogiji z naslednjim znanim primerom lahko imenujemo problemi tipa "problem barvnih kapic". Tri osebe (recimo jim A, B in z) zavežite oči in povejte, da si je vsak od njih nadel rdečo ali zeleno kapico. Nato jim odvežejo oči in jih prosijo, naj dvignejo roko, če vidijo rdečo kapo, in naj zapustijo sobo, če so prepričani, da vedo, kakšne barve je kapa na njihovi glavi. Vsi trije klobuki so se izkazali za rdeče, zato so vsi trije dvignili roke. Minilo je nekaj minut in z, ki je inteligentnejša od IN in AT, zapustil sobo. kako z je lahko ugotovil, kakšne barve je klobuk na njem?

[Problem modrecev v zelenih kapah je v besedilu formuliran tako, da nima rešitve. To je še posebej očitno, ko je modrecev veliko. Kako dolgo bo trajalo, da prvi modri človek ugane pravo situacijo?

Konec štiridesetih let so o tem problemu intenzivno razpravljali v Moskvi v šolskih matematičnih krogih in izumili so njegovo novo različico, v kateri je bil uveden diskretni čas. Naloga je izgledala takole.

V starih časih so modri ljudje živeli v enem mestu. Vsak od njih je imel ženo. Zjutraj so prišli na trg in tam izvedeli vse trače mesta. Sami so bili ogovarjalci. V veliko veselje jim je bilo izvedeti za nezvestobo katere od žena - za to so izvedeli takoj. Vendar je bilo eno neizrečeno pravilo strogo upoštevano: možu nikoli ni bilo nič poročano o njegovi ženi, saj bi vsak od njih, ko bi izvedel za svojo sramoto, ženo izgnal iz hiše. Tako sta živela, uživala v intimnih pogovorih in ostajala popolnoma nevedna o svojih zadevah.

Nekega dne pa je v mesto prišel pravi trač. Prišel je na bazar in javno izjavil: "Ampak vsi modri ljudje nimajo zvestih žena!" Zdi se, da trač ni povedal nič novega - in tako so to vedeli vsi, vedel je vsak modrec (le z zlobo je mislil ne nase, ampak na drugega), tako da se nihče od stanovalcev ni oziral na besede trača. . Toda modri možje so mislili - zato so modri možje - in n- dan po prihodu ogovarjanja je bilo n modrih mož izgnanih n nezvestih žena (če so bile n).

Ni težko obnoviti razmišljanja modrecev. Težje je odgovoriti na vprašanje: katere podatke je ogovarjavec dodal tistim, ki so jih poznali modreci tudi brez njega?

Ta problem se v literaturi večkrat srečuje].

C se vpraša, ali je njegova kapa lahko zelena. Če bi bilo tako, potem IN bi takoj prepoznal, da nosi rdečo čepico, kajti le rdeča čepica na glavi bi to lahko naredila AT dvigniti roko. Potem pa IN bi zapustil sobo. AT bi začel razmišljati na povsem enak način in bi tudi zapustil sobo. Ker ne eno ne drugo ni prišlo ven, z sklenil, da mora biti lastna kapa rdeča.

To težavo lahko posplošimo na primer, ko je poljubno število ljudi in vsi nosijo rdeče kape. Predpostavimo, da se je v problemu pojavil še četrti akter D, še bolj pronicljiva kot C.D bi lahko razmišljal takole: »Če bi bila moja kapa zelena, potem A, B in z bi se znašli v popolnoma enaki situaciji, kot je bila pravkar opisana, in čez nekaj minut bi najbolj dojemljivi izmed trojice zagotovo zapustili prostor.

Toda pet minut je že minilo in nobena ne pride ven, zato je moja kapa rdeča.

Če bi bil še peti član, ki bi bil še pametnejši od D, je lahko po desetih minutah čakanja ugotovil, da nosi rdečo kapo. Seveda pa naše sklepanje zaradi predpostavk o različnih stopnjah iznajdljivosti izgubi svojo prepričljivost. A, B, C... in dokaj nejasna razmišljanja o tem, kako dolgo naj bi najbolj dojemljiva oseba čakala, preden lahko samozavestno poimenuje barvo svoje kape.

Nekatere druge težave z barvno kapico vsebujejo manj negotovosti. Takšen je na primer naslednji problem, ki si ga je prav tako izmislil Smullyan. Vsak od treh A, B in z- tekoče razume logiko, to pomeni, da zna iz danega niza premis v hipu izluščiti vse posledice in ve, da imajo to sposobnost tudi ostali.

Vzamemo štiri rdeče in štiri zelene štampiljke, našim »logikom« zavežemo oči in vsakemu na čelo prilepimo po dva žiga. Nato jim odstranimo povoje z oči in po vrsti vprašamo A, B in z isto vprašanje: "Ali veš, kakšne barve so štampiljke na tvojem čelu?" Vsak od njih odgovori nikalno. Nato ponovno vprašamo IN in spet dobimo negativen odgovor. Ko pa drugič postavimo isto vprašanje AT, odgovarja pritrdilno.

Kakšne barve je znamenje na čelu AT?

Tretja vrsta priljubljenih logičnih ugank so težave o lažnivcih in tistih, ki vedno govorijo resnico. AT klasična različica naloge pogovarjamo se o popotniku, ki se znajde v deželi dveh plemen. Pripadniki enega plemena vedno lažejo, pripadniki drugega vedno govorijo resnico. Popotnik sreča dva domorodca. "Ali vedno govoriš resnico?" vpraša visokoraslega domačina. Odgovori: "Tarabar". "Rekel je da," pojasnjuje manjši domačin, ki zna angleško, "vendar je strašen lažnivec." Kateremu plemenu pripada vsak od staroselcev?

Sistematičen pristop k reševanju bi bil izpisati vse štiri možnosti: AI, IL, LI, LL (I pomeni "true", L - "false") - in izključiti tiste, ki so v nasprotju s podatki problema. Odgovor lahko dobimo veliko hitreje, če opazimo, da mora visok domačin odgovoriti pritrdilno, ali laže ali govori resnico. Ker je manjši domačin povedal resnico, mora pripadati plemenu resnicoljubnih, njegov visoki prijatelj pa plemenu lažnivcev.

Najbolj znan problem te vrste, zapleten z uvedbo verjetnostnih uteži in ne preveč jasno formulacijo, najdemo povsem nepričakovano sredi šestega poglavja knjige New Pathways in Science angleškega astronoma A. Eddingtona. "Če A, B, C in D povej resnico enkrat od treh (neodvisno) in IN navaja, da AT to zanika z pravi, kot da D lažnivec, kakšna je verjetnost, da D povedal resnico?"

Eddingtonov odgovor, 25/71, je naletel na točo protestov bralcev in sprožil smešen in zmeden spor, ki ni bil nikoli dokončno rešen. Angleški astronom G. Dingle, avtor recenzije Eddingtonove knjige, objavljene v reviji Nature (marec 1935), je menil, da problem sploh ne zasluži pozornosti kot nesmiseln in le kaže na to, da Eddington ni dovolj premislil osnovnih idej. teorije verjetnosti. Ameriški fizik T. Stern (Nature, junij 1935) je temu nasprotoval, češ da po njegovem mnenju problem nikakor ni nesmiseln, vendar pa ni dovolj podatkov za njegovo rešitev.

V odgovor je Dingle pripomnil (Nature, september 1935), da če zavzamemo Sternovo stališče, je dovolj podatkov za odločitev in bo odgovor 1/3. Tu je Eddington vstopil v boj in objavil (Mathemetical gazette, oktober 1935) članek, v katerem je podrobno pojasnil, kako je dobil odgovor. Spor se je končal s še dvema člankoma, ki sta se pojavila v isti reviji, avtor enega od njiju je branil Eddingtona, drugi pa je predstavil stališče, drugačno od vseh prejšnjih.

Težava je predvsem v razumevanju Eddingtonove formulacije. če AT, ki izraža svoje zanikanje, govori resnico, potem lahko utemeljeno domnevamo, da z rekel to D govoriti resnico? Eddington je verjel, da za takšno domnevo ni dovolj razlogov. Prav tako, če IN laži, smo lahko prepričani, da AT in z so sploh kaj rekli? Na srečo se lahko vsem tem jezikovnim težavam izognemo z naslednjimi predpostavkami (Eddington jih ni naredil):

1. Nihče od štirih ni ostal tiho.

2. Izjave A, B in z(vsakega posebej) potrdite ali zanikate naslednjo trditev.

3. Napačna trditev sovpada s svojim zanikanjem, napačna negacija pa sovpada s trditvijo.

Vsi štirje lažejo neodvisno drug od drugega z verjetnostjo 1/3, torej sta v povprečju katerikoli dve od njihovih treh trditev napačni. Če je resnična trditev označena s črko in, in lažno - pismo L, potem za A, B, C in D dobimo tabelo, sestavljeno iz enainosemdeset različnih kombinacij. Iz tega števila je treba izključiti tiste kombinacije, ki so zaradi pogojev problema nemogoče.

Število veljavnih kombinacij, ki se končajo s črko in(tj. resnična - resnična - izjava D), je treba deliti s skupnim številom vseh veljavnih kombinacij, kar bo dalo odgovor.

Treba je pojasniti formulacijo problema o popotniku in dveh domačinih. Popotnik je ugotovil, da beseda "blebetanje" v jeziku domorodcev pomeni "da" ali "ne", vendar ni mogel uganiti, kaj točno. To bi opozorilo na več e-poštnih sporočil, od katerih eno ponavljam spodaj.

Visoki domačin očitno ni razumel niti besede od tega, kar mu je popotnik rekel (v angleščini), in ni znal odgovoriti z da ali ne v angleščini. Zato njegovo "blebetanje" pomeni nekaj takega: "Ne razumem" ali "Dobrodošli v Bongo-Bongo." Posledično se je mali domorodec zlagal, ko je rekel, da je njegov prijatelj odgovoril z "da", in ker je bil mali lažnivec, se je zlagal tudi, ko je visokega domorodca označil za lažnivca. Zato je treba visokega domačina šteti za resnicoljubnega.

Tako je ženska logika zadala udarec moji moški nečimrnosti. Ali ni to nekoliko prizadeto avtorjevega ponosa?

odgovori

Prvo logično težavo najlaže rešimo s tremi tabelami: eno za kombinacije imen in priimkov žena, drugo za imena in priimke mož ter tretjo za družinske vezi.

Ker je gospe White ime Margaret (pogoj 5), imamo samo dve možnosti za ime drugih dveh žena: a) Helen Blake in Beatrice Brown ali b) Helen Brown in Beatrice Blake.

Predpostavimo, da se zgodi druga od možnosti. Whiteova sestra mora biti Helen ali Beatrice. Toda Beatrice ne more biti Wyneova sestra, ker bi bil potem Blake Helenin brat, Blakova dva svaka pa bi bila White (brat njegove žene) in Brown (mož njegove sestre); Beatrice Blake ni poročena z nobenim od njiju, kar je v nasprotju s pogojem 4. Zato mora biti Whiteova sestra Helen. Iz tega pa sklepamo, da se Brownova sestra imenuje Beatrice, Blakova sestra pa Margaret.

Iz pogoja 6 sledi, da je gospodu Whiteu ime Arthur (Brown ne more biti Arthur, saj bi takšna kombinacija pomenila, da je Beatrice lepša od sebe, Blake pa ne more biti Arthur, saj iz pogoja 5 poznamo njegovo ime: William). Torej, gospod Brown je lahko samo John. Na žalost iz pogoja 7 vidimo, da je bil Janez rojen leta 1868 (50 let pred podpisom mirovne pogodbe). Toda leto 1868 je prestopno leto, zato mora biti Helen starejša od svojega moža za en dan več kot 26 tednov, navedenih v pogoju 3. (Iz pogoja 4 vemo, da je bila rojena januarja, iz pogoja 3 pa, da je njen mož rojen avgusta. Lahko bi bila natanko 26 tednov starejša od moža, če bi bil njen rojstni dan 31. januarja, njegov pa 1. avgusta in če med tema datumoma ne bi bil 29. februar!) Torej, druga od možnosti, s katero smo začeli je treba zavreči, kar nam omogoča, da poimenujemo žene: Margaret White, Helen Blake in Beatrice Brown. Tu ni nobenega protislovja, saj ne poznamo letnice Blakovega rojstva. Iz pogojev problema je mogoče sklepati, da je Margaret Brownova sestra, Beatrice Blakeova sestra in Helen Whiteova sestra, vendar vprašanje imen White in Brown ostaja nerešeno.

V problemu z znamkami AT obstajajo tri možnosti. Njegovi žigi so lahko: 1) oba rdeča; 2) oba zelena; 3) ena je zelena, druga pa rdeča. Predpostavimo, da sta oba žiga rdeča.

Ko so vsi trije enkrat odgovorili, IN lahko razmišlja takole: »Znamja na mojem čelu ne morejo biti hkrati rdeča (ker potem z bi videl štiri rdeče žige in bi takoj prepoznal, da ima dva zelena žiga na čelu, in če z oba žiga sta bila zelena, torej AT, ko bi videl štiri zelene štampiljke, bi ugotovil, da ima na čelu dve rdeči štampiljki). Zato imam na čelu eno zeleno in eno rdeče znamenje.”

Ampak ko IN vprašal drugič, ni vedel, katere barve je njegova znamka. Dovoljeno je AT zavrzite možnost, da sta oba njegova žiga rdeča. Prepirati na povsem enak način kot A, B izključil primer, ko sta oba njegova žiga zelena. Zato mu je ostala le ena možnost: ena znamka je zelena, druga rdeča.

Več bralcev je hitro opazilo, da je problem mogoče rešiti zelo hitro, ne da bi morali analizirati vprašanja in odgovore. Takole je o tem zapisal eden od bralcev: »Pogoji problema so popolnoma simetrični glede na rdeče in zelene oznake.

Zato z razdeljevanjem znamk med A, B in zče so izpolnjeni vsi pogoji problema in zamenjava rdečih oznak z zelenimi in obratno zelenih z rdečimi, pridemo do drugačne porazdelitve, za katero bodo izpolnjeni tudi vsi pogoji. Iz tega sledi, da če je rešitev edinstvena, potem mora biti invariantna (ne sme se spreminjati) pri zamenjavi zelenih oznak z rdečimi in rdečih z zelenimi. Takšna rešitev je lahko le takšna razporeditev znamk, pri kateri bo B imel eno zeleno in eno rdečo znamko.

Kot je dejal W. Manheimer, dekan oddelka za matematiko na kolidžu Brooklyn, ta elegantna rešitev izhaja iz dejstva, da ne A, B in z(kot je navedeno v pogoju problema), in Raymond Smullyan!

V Eddingtonovem problemu je verjetnost, da D pove resnico, je 13/41. Vse kombinacije true in false, ki vsebujejo liho število krat false (ali true), je treba zavreči kot nasprotujoče pogojem problema. Posledično se število možnih kombinacij zmanjša z 81 na 41, od tega se le 13 konča z resnično izjavo. D. Zaradi A, B in z povedati resnico v primerih, ki ustrezajo popolnoma enakemu številu veljavnih kombinacij, je verjetnost, da boste povedali resnico, enaka za vse štiri.

Uporaba simbola enakovrednosti

kar pomeni, da sta propoziciji, ki ju povezujeta, oba resnična ali oba napačna (tedaj je napačna propozicija resnična, sicer je napačna), in simbol zanikanja ~, lahko Eddingtonov problem v propozicijskem računu zapišemo takole:

ali po nekaj poenostavitvah, kot je ta:

Resnična tabela tega izraza potrjuje že prejeti odgovor.

Opombe:

To je frustrirajoče- vznemiriti, narediti nekaj zaman, brezupno, obsojeno na neuspeh (angleško).

Glej poglavje o Raymondu Smullyanu v knjigi M. Gardner"Potovanje skozi čas" (M .: Mir, 1990).

Eddington A. Nove poti v znanosti. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

Uvod

Logika je bog mislecev.

L. Feuchtwanger

Sposobnost pravilnega sklepanja je potrebna na katerem koli področju človeške dejavnosti: v znanosti in tehnologiji, pravosodju in diplomaciji, gospodarskem načrtovanju in vojaških zadevah. In ta sposobnost sega nazaj v starodavni časi, logika, tj. znanost o tem, katere oblike sklepanja so pravilne, je nastala šele pred nekaj več kot dva tisoč leti. Razvit je bil v VI stoletju. pr. n. št. v delih velikega starogrškega filozofa Aristotela, njegovih učencev in sledilcev.

Na neki točki so se matematiki vprašali: "Kaj je pravzaprav matematika, matematična dejavnost?" Preprost odgovor je, da matematiki dokazujejo izreke, torej ugotavljajo nekaj resnic o resnični svet in "idealni matematični svet". Poskus odgovora na vprašanje, kaj je matematični izrek, matematična resnica in kaj je matematična trditev resnična ali dokazljiva, je to tudi mreža izhodišča matematične logike. V šoli se moramo naučiti analizirati, primerjati, izpostavljati glavno, posploševati in sistematizirati, dokazovati in ovreči, definirati in pojasnjevati pojme, postavljati in reševati probleme. Obvladovanje teh metod pomeni sposobnost razmišljanja. V znanosti je treba izpeljati različne formule, numerične vzorce, pravila in dokazovati izreke s sklepanjem. Na primer, leta 1781 je bil odkrit planet Uran. Opazovanja so pokazala, da se gibanje tega planeta razlikuje od teoretično izračunanega gibanja. Francoski znanstvenik Le Verrier (1811-1877), ki je logično sklepal in izvajal precej zapletene izračune, je določil vpliv drugega planeta na Uran in navedel njegovo lokacijo. Leta 1846 je astronom Galle potrdil obstoj planeta, ki so ga poimenovali Neptun. Pri tem so uporabili logiko matematičnega sklepanja in izračunov.

Drugo izhodišče naših razmišljanj je pojasniti, kaj pomeni, da je matematična funkcija izračunljiva in jo je mogoče izračunati z uporabo nekega algoritma, formalnega pravila, natančno opisanega postopka. Ti dve začetni formulaciji imata veliko skupnega, seveda sta združeni pod splošnim imenom "matematična logika", kjer matematično logiko razumemo predvsem kot logiko matematičnega razmišljanja in matematičnih dejanj.

Za to temo sem se odločil, ker mi bo obvladovanje elementov matematične logike pomagalo pri mojem bodočem ekonomskem poklicu. Navsezadnje tržnik analizira trendetrg,cene, promet in načine trženja, zbira podatke o konkurenčnih organizacijah,izda priporočila. Če želite to narediti, morate uporabiti znanje logike.

Namen dela: preučevati in uporabljati možnosti matematične logike pri reševanju problemov na različnih področjih in človekovih dejavnostih.

Naloge:

1. Analiziraj literaturo o bistvu in izvoru matematične logike.

2. Preučite elemente matematične logike.

3. Izberi in reši naloge z elementi matematične logike.

Metode: analiza literature, koncepti, metoda analogij pri reševanju problemov, samoopazovanje.

1. Iz zgodovine nastanka matematične logike

Matematična logika je tesno povezana z logiko in ima svoj izvor od nje. Temelje logike, vede o zakonih in oblikah človeškega mišljenja, je postavil največji starogrški filozof Aristotel (384-322 pr. n. št.), ki je v svojih razpravah temeljito preučil terminologijo logike, podrobno analiziral teorijo sklepanja. in dokazov, opisal številne logične operacije, oblikoval osnovne zakone mišljenja, vključno z zakoni protislovja in izključitve tretjega. Aristotelov prispevek k logiki je zelo velik, ne brez razloga je njeno drugo ime aristotelovska logika. Že sam Aristotel je opazil, da je med znanostjo, ki jo je ustvaril, in matematiko (takrat se je imenovala aritmetika) veliko skupnega. Poskušal je združiti ti dve vedi, namreč zreducirati refleksijo oziroma sklepanje na računanje na podlagi začetnih položajev. V eni od svojih razprav se je Aristotel približal enemu od delov matematične logike - teoriji dokazov.

V prihodnosti so številni filozofi in matematiki razvili nekatere določbe logike in včasih celo začrtali obrise sodobnega propozicijskega računa, vendar je bil najbližji ustvarjanju matematične logike v drugi polovici 17. stoletja izjemni nemški znanstvenik Gottfried Wilhelm. Leibniz (1646 - 1716), ki je nakazal načine za prevajanje logike »iz verbalnega področja, polnega negotovosti, v področje matematike, kjer so razmerja med objekti ali izjavami določena s popolno natančnostjo«. Leibniz je celo upal, da bodo filozofi v prihodnosti namesto brezplodnega prepiranja vzeli papir in ugotovili, kdo od njih ima prav. Hkrati se je Leibniz v svojih delih dotaknil tudi binarnega številskega sistema. Treba je opozoriti, da je ideja o uporabi dveh znakov za kodiranje informacij zelo stara. Avstralski staroselci so šteli v dvojkah, nekatera plemena lovcev in nabiralcev Nove Gvineje in Južne Amerike so uporabljala tudi binarni sistem štetja. V nekaterih afriških plemenih se sporočila prenašajo z bobni v obliki kombinacij glasovnih in dolgočasnih udarcev. Znan primer kodiranja z dvema znakoma je Morsejeva abeceda, kjer so črke abecede predstavljene z določenimi kombinacijami pik in pomišljajev. Za Leibnizom so na tem področju raziskovali številni ugledni znanstveniki, pravi uspeh pa je tu dosegel angleški matematik samouk George Boole (1815-1864), njegova odločnost ni imela meja.

Finančno stanje Georgeu so starši (čigar oče je bil čevljar) dovolili le, da je diplomiral osnovna šola za reveže. Čez nekaj časa je Buhl, potem ko je zamenjal več poklicev, odprl majhno šolo, kjer je sam poučeval. Veliko časa je posvetil samoizobraževanju in se kmalu začel zanimati za ideje simbolne logike. Leta 1847 je Boole objavil članek "Matematična analiza logike ali izkušnja računa deduktivnih sklepov", leta 1854 pa je izšlo njegovo glavno delo "Raziskava zakonov mišljenja, na katerih temeljijo matematične teorije logike in verjetnosti". . Boole je izumil neke vrste algebro - sistem zapisov in pravil, ki veljajo za vse vrste predmetov, od številk in črk do stavkov. Z uporabo tega sistema je lahko kodiral izjave (izjave, ki jih je bilo treba dokazati, da so resnične ali napačne) z uporabo simbolov svojega jezika in jih nato manipuliral na enak način, kot se manipulira s številkami v matematiki. Osnovne operacije Boolove algebre so konjunkcija (AND), disjunkcija (OR) in negacija (NE). Čez nekaj časa je postalo jasno, da je Boolov sistem zelo primeren za opisovanje električnih preklopnih vezij. Tok v vezju lahko teče ali ne, tako kot je lahko izjava resnična ali napačna. In nekaj desetletij pozneje, že v 20. stoletju, so znanstveniki združili matematični aparat, ki ga je ustvaril George Boole, z binarnim številskim sistemom in s tem postavili temelje za razvoj digitalnega elektronskega računalnika. Posamezne določbe Boolejevega dela so se pred njim in za njim v določeni meri dotaknili drugi matematiki in logiki. Vendar pa danes na tem področju dela Georgea Boola veljajo za matematične klasike, sam pa upravičeno velja za utemeljitelja matematične logike in še toliko bolj njenih najpomembnejših delov - algebre logike (Boolean algebra). ) in algebra predlogov.

Velik prispevek k razvoju logike so prispevali tudi ruski znanstveniki P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Žegalkin (1869-1947).

V 20. stoletju so imeli veliko vlogo pri razvoju matematične logike

D. Hilbert (1862-1943), ki je predlagal program za formalizacijo matematike, povezane z razvojem temeljev matematike same. Končno je bil v zadnjih desetletjih 20. stoletja hiter razvoj matematične logike posledica razvoja teorije algoritmov in algoritemskih jezikov, teorije avtomatov, teorije grafov (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov in mnogi drugi).

Sredi 20. stoletja je razvoj računalniške tehnologije povzročil nastanek logičnih elementov, logičnih blokov in naprav računalniške tehnologije, kar je bilo povezano z dodatnim razvojem področij logike, kot so problemi logične sinteze, logičnega načrtovanja in logičnega modeliranja logičnih naprav in računalniške tehnologije. V osemdesetih letih prejšnjega stoletja so se začele raziskave na področju umetna inteligenca temelji na jezikih in sistemih logičnega programiranja. Ustvarjanje ekspertnih sistemov se je začelo z uporabo in razvojem samodejnega dokazovanja izrekov ter metod programiranja na podlagi dokazov za preverjanje algoritmov in računalniških programov. V osemdesetih letih prejšnjega stoletja so se začele tudi spremembe v šolstvu. Pojav osebnih računalnikov v srednjih šolah je povzročil nastanek učbenikov računalništva s študijem elementov matematične logike za razlago logičnih principov dela logična vezja in računalniške naprave ter principi logičnega programiranja za računalnike pete generacije in razvoj učbenikov računalništva s študijem jezika predikatnega računa za oblikovanje baz znanja.

1. Osnove teorije množic

Pojem množice je eden tistih temeljnih pojmov matematike, ki jih je težko natančno definirati z uporabo elementarnih pojmov. Zato se omejimo na opisno razlago pojma množice.

veliko imenovan niz določenih precej različnih predmetov, obravnavanih kot ena sama celota. Ustvarjalec teorije množic, Georg Cantor, je dal naslednjo definicijo množice - "množica je veliko, kar mislimo kot celoto."

Posamezne predmete, ki sestavljajo množico, imenujemo postavljenih elementov.

Množice običajno označujemo z velikimi črkami latinice, elemente teh množic pa z malimi črkami latinice. Množice so zapisane v zavitih oklepajih ( ).

Običajno se uporablja naslednji zapis:

a∈ X - "element a pripada množici X";

a∉ X - "element a ne pripada množici X";

∀ - kvantifikator poljubnosti, splošnosti, ki označuje "vsak", "karkoli", "za vse";

∃ - kvantifikator obstoja:∃ l∈ B - "obstaja (obstaja) element y iz množice B";

∃! - kvantifikator obstoja in edinstvenosti:∃ !b∈ C - "obstaja edinstven element b iz množice C";

: - “tako, da; posedovanje lastnine";

→ - simbol posledice pomeni "povleči";

⇔ - kvantifikator ekvivalence, ekvivalenca – »če in samo takrat«.

Kompleti so končno in neskončno . Kompleti se imenujejo dokončno , če je število njegovih elementov končno, tj. če obstaja naravno število n, ki je število elementov množice. A=(a 1, a 2, a 3, ..., a n ). Komplet se imenuje neskončno če vsebuje neskončno število elementov. B=(b 1, b 2, b 3 , ...). Na primer, množica črk ruske abecede je končna množica. Množica naravnih števil je neskončna množica.

Število elementov v končni množici M imenujemo kardinalnost množice M in jo označimo z |M|. prazno množica - množica, ki ne vsebuje nobenega elementa -∅ . Dva sklopa se imenujeta enaka , če so sestavljeni iz istih elementov, tj. sta isti niz. Množice niso enake X ≠ Y, če ima X elemente, ki ne pripadajo Y, ali ima Y elemente, ki ne pripadajo X. Simbol za enakost množice ima naslednje lastnosti:

X=X; - refleksivnost

če je X=Y, Y=X - simetrija

če je X=Y,Y=Z, potem je X=Z tranzitiven.

Po tej definiciji enakosti množic seveda dobimo, da so vse prazne množice med seboj enake oziroma da je enako, da je prazna množica le ena.

Podmnožice. Inkluzivna relacija.

Množica X je podmnožica množice Y, če kateri koli element množice X∈ in nastavite Y. Označeno z X⊆ Y.

Če je treba poudariti, da Y poleg elementov iz X vsebuje še druge elemente, potem uporabimo simbol stroge vključitve.⊂ : X ⊂ Y. Odnos med simboli⊂ in ⊆ podaja:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y in X≠Y

Opažamo nekaj lastnosti podmnožice, ki izhajajo iz definicije:

X⊆ X (refleksivnost);

→ X⊆ Z (tranzitivnost);

Prvotna množica A v odnosu do svojih podmnožic se imenuje popolna niz in je označen z I.

Katera koli podmnožica A jaz množico A imenujemo prava množica A.

Množica, sestavljena iz vseh podmnožic dane množice X in prazne množice∅ , se imenuje logična vrednost X in je označena z β(X). Logična potenca |β(X)|=2 n.

Števni niz- to je množica A, katere vse elemente je mogoče oštevilčiti v zaporedju (m.b. neskončno) in 1, a 2, a 3, ..., a n , ... tako da v tem primeru vsak element prejme samo eno število n in je vsako naravno število n podano kot število enemu in samo enemu elementu naše množice.

Množica, ki je enaka množici naravnih števil, se imenuje števna množica.

Primer. Množica kvadratov celih števil 1, 4, 9, ..., n 2 predstavlja samo podmnožico množice naravnih števil N. Množica je števna, saj se spravi v korespondenco ena proti ena z naravnim nizom tako, da vsakemu elementu pripišemo število števila naravnega niza, kvadrat kar je.

Obstajata dva glavna načina za definiranje nizov.

oštevilčenje (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

opis - označuje značilne lastnosti, ki jih imajo vsi elementi množice.

Množico v celoti definirajo njeni elementi.

Štetje lahko določa samo končne nize (na primer niz mesecev v letu). Neskončne množice lahko definiramo le z opisom lastnosti njenih elementov (na primer množico racionalnih števil lahko definiramo z opisom Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Načini določanja nabora z opisom:

a) z določitvijo postopka generiranjaz navedbo množice (nizov), skozi katero teče parameter (parametri) tega postopka - rekurzivno, induktivno.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - veliko Fiboniccijevih števil.

(več elementov x, tako da x 1 \u003d 1, x 2 =1 in poljuben x k+1 (za k=1,2,3,...) se izračuna po formuli x k+2 \u003d x k + x k + 1) ali X \u003d)