Två oberoende händelser. Beroende och oberoende evenemang. Villkorlig sannolikhet. Föreläsningen tar upp grundläggande begrepp inom sannolikhetsteori och statistik som används inom ekonometri

I USE-uppgifterna i matematik finns också mer komplexa sannolikhetsuppgifter (än vi ansåg i del 1), där man ska tillämpa regeln om addition, multiplikation av sannolikheter och skilja på gemensamma och inkompatibla händelser.

Så, teori.

Gemensamma och icke-gemensamma evenemang

Händelser sägs vara oförenliga om förekomsten av en av dem utesluter förekomsten av de andra. Det vill säga att bara en viss händelse kan inträffa, eller en annan.

Genom att till exempel kasta en tärning kan du skilja på händelser som ett jämnt antal poäng och ett udda antal poäng. Dessa händelser är oförenliga.

Händelser kallas gemensamma om förekomsten av en av dem inte utesluter förekomsten av den andra.

Till exempel, när du kastar en tärning, kan du skilja mellan händelser som förekomsten av ett udda antal poäng och förlusten av ett antal poäng som är en multipel av tre. När tre rullas, realiseras båda händelserna.

Summan av händelser

Summan (eller sammanslutningen) av flera händelser är en händelse som består i att minst en av dessa händelser inträffar.

Vart i summan av två osammanhängande händelser är summan av sannolikheterna för dessa händelser:

Till exempel sannolikheten att få 5 eller 6 på tärningar på ett kast, kommer att bero på att båda händelserna (kast 5, kast 6) är inkompatibla och sannolikheten för att den ena eller andra händelsen inträffar beräknas enligt följande:

Sannolikheten summan av två gemensamma evenemang är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser utan att ta hänsyn till deras gemensamma förekomst:

Till exempel i ett köpcentrum säljer två identiska varuautomater kaffe. Sannolikheten att kaffet i maskinen tar slut vid dagens slut är 0,3. Sannolikheten för att båda maskinerna får slut på kaffe är 0,12. Låt oss ta reda på sannolikheten att kaffet vid dagens slut kommer att sluta i åtminstone en av maskinerna (det vill säga antingen i den ena eller i den andra, eller i båda på en gång).

Sannolikheten för den första händelsen "kaffe kommer att sluta i den första maskinen" liksom sannolikheten för den andra händelsen "kaffe kommer att sluta i den andra maskinen" av villkoret är lika med 0,3. Evenemang är samverkande.

Sannolikheten för gemensam realisering av de två första händelserna är lika med 0,12 enligt villkoret.

Det betyder att sannolikheten för att kaffet vid dagens slut tar slut i minst en av maskinerna är

Beroende och oberoende evenemang

Två slumpmässiga händelser A och B kallas oberoende om förekomsten av en av dem inte ändrar sannolikheten för att den andra inträffar. Annars kallas händelserna A och B beroende.

Till exempel, när du kastar två tärningar samtidigt, faller på en av dem, säg 1, och på den andra 5, - oberoende evenemang.

Produkt av sannolikheter

En produkt (eller skärningspunkt) av flera händelser är en händelse som består i att alla dessa händelser inträffar gemensamt.

Om det finns två oberoende evenemang A och B med sannolikheter P(A) respektive P(B), då är sannolikheten för realisering av händelser A och B samtidigt lika med produkten av sannolikheterna:

Till exempel är vi intresserade av att förlora en sexa på en tärning två gånger i rad. Båda händelserna är oberoende och sannolikheten för att var och en av dem inträffar separat är . Sannolikheten för att båda dessa händelser ska inträffa kommer att beräknas med hjälp av formeln ovan: .

Se ett urval av uppgifter för att arbeta fram ämnet.

Händelser A, B, C... kallas beroende från varandra om sannolikheten för att minst en av dem ska inträffa varierar beroende på om andra händelser inträffar eller inte. Händelserna kallas självständig om sannolikheterna för att var och en av dem inträffar inte beror på förekomsten eller utebliven av de andra.

Villkorlig sannolikhet(RA (B)-villkorad sannolikhet för händelse B i förhållande till A) är sannolikheten för händelse B, beräknad på antagandet att händelse A redan har inträffat. exempel på villkorlig sannolikhet Den villkorade sannolikheten för händelse B, förutsatt att händelse A redan har inträffat, per definition, är lika med RA (B) = P (AB) / P (A) (P (A)>0).

Multiplicera sannolikheterna för beroende händelser: sannolikheten för en gemensam förekomst av två händelser är lika med produkten av sannolikheten för en av dem med den villkorliga sannolikheten för den andra, beräknad under antagandet att den första händelsen redan har inträffat:
P (AB) \u003d P (A) RA (B)

Exempel. Uppsamlaren har 3 koniska och 7 elliptiska rullar. Samlaren tog en rulle och sedan den andra. Hitta sannolikheten att den första av de tagna rullarna är konisk och den andra är elliptisk.

Lösning: Sannolikheten att den första rullen kommer att vara konisk (händelse A), P (A) = 3 / 10. Sannolikheten att den andra rullen kommer att vara elliptisk (händelse B), beräknad under antagandet att den första rullen är konisk, d.v.s. sannolikhet RA (B) = 7/9.
Enligt multiplikationsformeln är den önskade sannolikheten P (AB) \u003d P (A) RA (B) \u003d (3 / 10) * (7 / 9) \u003d 7 / 30. Observera att vi behåller notationen kan enkelt hitta: P (B) = 7/10, PB (A) = 3/9, P (B) PB (A) = 7/30

Villkor för händelsernas oberoende. Multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser. Exempel.

Händelse B är oberoende av händelse A if

P(B/A) = P(B) dvs. Sannolikheten för händelse B beror inte på om händelse A har inträffat eller inte.

I detta fall beror händelsen A inte på händelsen B, det vill säga egenskapen att händelserna är oberoende är ömsesidiga.

Sannolikheten för produkten av två oberoende händelser är lika med produkten av deras sannolikheter:

P(AB) = P(A)P(B) .

Exempel 1: En anordning som arbetar under tiden t består av tre noder, som var och en, oberoende av de andra, kan misslyckas (vara ur funktion) under tiden t. Fel på minst en nod leder till fel på enheten som helhet. Under tiden t är tillförlitligheten (sannolikheten för felfri drift) för den första noden lika med p 1 = 0,8; andra p 2 = 0,9 tredje p 3 = 0,7. Hitta tillförlitligheten hos enheten som helhet.

Lösning. Betecknar:

A - problemfri drift av enheter,

A 1 - ingen misslyckande operation av den första noden,

A 2 - problemfri drift av den andra noden,

En 3 - problemfri drift av den tredje noden,

varifrån genom multiplikationssatsen för oberoende händelser

P(A) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) = p 1 p 2 p 3 = 0,504

Exempel 2. Hitta sannolikheten för att en siffra visas tillsammans i ett kast med två mynt.

Lösning. Sannolikhet för utseende av siffran för det första myntet (händelse A) Р(А) = 1/2; sannolikheten för uppkomsten av siffran för det andra myntet (händelse B) är P(B) = 1/2.

Händelser A och B är oberoende, så vi hittar den önskade sannolikheten

enligt formeln:

P (AB) \u003d P (A) P (B) \u003d 1/2 * 1/2 \u003d 1/4

Konsekvens och inkonsekvens av händelser. Lägga till sannolikheterna för två gemensamma händelser. Exempel.

De två händelserna kallas gemensam om förekomsten av en av dem inte påverkar eller utesluter förekomsten av den andra. Gemensamma händelser kan realiseras samtidigt, till exempel uppkomsten av valfritt nummer på samma tärning

påverkar inte på något sätt utseendet av siffror på ett annat ben. Händelserna är inkonsekventa, om i ett fenomen eller i ett test de inte kan realiseras samtidigt och utseendet av en av dem utesluter utseendet på den andra (att träffa målet och saknas är inkompatibla).

Sannolikheten för att minst en av de två gemensamma händelserna A eller B ska inträffa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser utan sannolikheten för att de ska inträffa gemensamt:

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB).

Exempel. Sannolikheten att träffa målet för den första idrottaren är 0,85 och för den andra - 0,8. Idrottare självständigt

avlossade ett skott. Hitta sannolikheten att minst en idrottare träffar målet?

Lösning. Låt oss presentera notationen: händelser A - "träff av den första idrottaren", B - "träff av den andra idrottaren", C - "träff av minst en av idrottarna". Uppenbarligen är A + B = C, och händelserna A och B är kompatibla. I enlighet med formeln får vi:

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB)

P (C) \u003d P (A) + P (B) - P (A) P (B),

eftersom A och B är oberoende händelser. Genom att ersätta dessa värden P(A) = 0,85, P(B) = 0,8 i formeln för P(C), hittar vi den önskade sannolikheten

P (C) \u003d (0,85 + 0,8) - 0,85 0,8 \u003d 0,97

P(A)= 1 - 0,3 = 0,7.

3. Teorem om addition av sannolikheter för motsatta händelser

Motsatt nämn två oförenliga händelser som bildar en komplett grupp. Om en av två motsatta händelser betecknas med MEN, den andra betecknas vanligtvis . Motsatt händelse består i att händelsen inte inträffar MEN.

Sats. Summan av sannolikheterna för motsatta händelser är lika med en:

P(A)+P()= 1.

Exempel 4 Kartongen innehåller 11 delar, varav 8 är standard. Hitta sannolikheten att det bland 3 slumpmässigt extraherade delar finns minst en defekt.

Lösning. Problemet kan lösas på två sätt.

1 sätt. Händelserna "det finns minst en defekt del bland de extraherade delarna" och "det finns inte en enda defekt del bland de extraherade delarna" är motsatta. Låt oss beteckna den första händelsen som MEN, och den andra genom :

P(A) =1 - P( ) .

Låt oss hitta R(). Det totala antalet sätt på vilka 3 delar kan extraheras från 11 delar är lika med antalet kombinationer
. Antalet standarddelar är 8 ; från detta antal delar
sätt att extrahera 3 standarddelar. Därför är sannolikheten att det inte finns några icke-standardiserade delar bland de extraherade 3 delarna lika med:

Enligt satsen om addition av sannolikheter för motsatta händelser är den önskade sannolikheten lika med: P(A)=1 - P()=

2 sätt. Händelse MEN- "bland de extraherade delarna finns det minst en defekt" - kan realiseras som utseendet på:

eller händelser PÅ- "tog bort 1 defekt och 2 ej defekta delar",

eller händelser FRÅN- "tog bort 2 defekta och 1 icke-defekt del",

eller händelser D - "3 defekta delar borttagna".

Sedan A= B+ C+ D. Sedan händelserna B, C och D inkompatibla, då kan vi tillämpa additionssatsen för sannolikheterna för inkompatibla händelser:

4. Teoremet om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser

Produkten av två händelserMEN ochPÅ ring evenemanget C=AB, som består i det gemensamma utseendet (kombinationen) av dessa händelser.

Produkten av flera händelser namnge den händelse som består i att alla dessa händelser inträffar gemensamt. Till exempel händelse ABCär kombinationen av händelser A, B och FRÅN.

Två händelser kallas självständig om sannolikheten för en av dem inte beror på förekomsten eller utebliven av den andra.

Sats. Sannolikheten för en gemensam förekomst av två oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser:

P(AB)=P(A) P(B).

Följd. Sannolikheten för att flera händelser som är oberoende i aggregatet ska inträffa tillsammans är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser :

P(A 1 MEN 2 ... MEN n ) = P(A 1 ) P(A 2 )...P(A n ).

Exempel 5 Hitta sannolikheten för att vapnet ska dyka upp tillsammans i ett kast med två mynt.

Lösning. Låt oss beteckna händelserna: MEN - utseendet av vapenskölden på det första myntet, AT - utseendet på vapenskölden på det andra myntet, FRÅN- vapensköldens utseende på två mynt C=AB.

Sannolikheten för utseendet av det första myntets vapen :

P(A) =.

Sannolikheten för utseendet av det andra myntets vapen :

P(B) =.

Sedan händelserna MEN och PÅ oberoende, då är den önskade sannolikheten enligt multiplikationssatsen lika med:

P(C)=P(AB)=P(A) P(B) = =.

Exempel 6 Det finns 3 lådor som innehåller 10 delar. Den första lådan innehåller 8, den andra lådan 7 och den tredje lådan 9 standarddelar. Ett föremål dras slumpmässigt från varje ruta. Hitta sannolikheten att alla tre delarna som tas ut är standard.

Lösning. Sannolikheten att en standarddel tas från den första rutan (händelsen MEN):

P(A) =

Sannolikheten att en standarddel tas från den andra rutan (händelsen PÅ):

Sannolikheten att en standarddel tas från den tredje rutan (händelsen FRÅN):

P(C)=

Sedan händelserna A, B och FRÅN oberoende i aggregatet, då är den önskade sannolikheten (enligt multiplikationssatsen) lika med:

P(ABC)=P(A) P(B) P(C)= 0,8 0,70,9 = 0,504.

Exempel 7 Sannolikheter för att var och en av två oberoende händelser inträffar MEN 1 och MEN 2 respektive lika R 1 och R 2. Hitta sannolikheten för att endast en av dessa händelser inträffar.

Lösning. Låt oss presentera notationen av händelser:

PÅ 1 – enda händelsen dök upp MEN 1 ; PÅ 2 – enda händelsen dök upp MEN 2 .

Händelsehändelse PÅ 1 motsvarar förekomsten av en händelse MEN 1 2 (den första händelsen dök upp och den andra dök inte upp), d.v.s. PÅ 1 = A 1 2 .

Händelsehändelse PÅ 2 motsvarar förekomsten av en händelse 1 MEN 2 (den första händelsen dök inte upp och den andra dök upp), d.v.s. PÅ 1 = 1 MEN 2 .

Alltså för att hitta sannolikheten för att endast en av händelserna inträffar MEN 1 eller MEN 2 , det räcker med att hitta sannolikheten för att en inträffar, oavsett vilken av händelserna PÅ 1 och PÅ 2 . Utvecklingen PÅ 1 och PÅ 2 är inkonsekventa, därför är satsen om tillägg av inkompatibla händelser tillämplig:

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) .

Teorem om addition och multiplikation av sannolikheter.
Beroende och oberoende evenemang

Titeln ser skrämmande ut, men den är faktiskt väldigt enkel. I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med satserna addition och multiplikation av händelsesannolikheter, samt analysera typiska uppgifter som tillsammans med uppgift för den klassiska definitionen av sannolikhet kommer definitivt att träffas eller, mer troligt, redan har träffats på din väg. För att effektivt studera materialet i den här artikeln måste du känna till och förstå de grundläggande termerna sannolikhetsteori och kunna utföra enkla aritmetiska operationer. Som du kan se krävs väldigt lite, och därför är ett fett plus i tillgången nästan garanterat. Men å andra sidan varnar jag återigen för en ytlig inställning till praktiska exempel – det finns också tillräckligt med finesser. Lycka till:

Additionssatsen för sannolikheterna för oförenliga händelser: sannolikheten att en av de två inträffar oförenlig evenemang eller (oavsett vad), är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:

Ett liknande faktum gäller också för ett större antal oförenliga händelser, till exempel för tre oförenliga händelser och:

Drömsats =) En sådan dröm är dock också föremål för bevis, vilket kan finnas till exempel i studiehandledningen V.E. Gmurman.

Låt oss bekanta oss med nya, hittills osynliga koncept:

Beroende och oberoende evenemang

Låt oss börja med oberoende händelser. Händelser är självständig om sannolikheten för inträffande vilken som helst beror inte på från uppkomsten/icke-uppträdandet av andra händelser i den övervägda uppsättningen (i alla möjliga kombinationer). ... Men vad finns det för att slipa fram vanliga fraser:

Teoremet om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser: sannolikheten för gemensam förekomst av oberoende händelser och är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser:

Låt oss återgå till det enklaste exemplet på den första lektionen, där två mynt kastas och följande händelser:

- huvuden kommer att falla på det första myntet;
- Huvuden på det andra myntet.

Låt oss hitta sannolikheten för händelsen (huvuden kommer att synas på det första myntet och Eagle kommer att dyka upp på det andra myntet - kom ihåg hur man läser produkt av händelser!) . Sannolikheten att få huvuden på ett mynt beror inte på resultatet av att kasta ett annat mynt, därför är händelserna och oberoende.

Liknande:
är sannolikheten att det första myntet landar huvuden och på 2: a svansen;
är sannolikheten att huvuden dyker upp på det 1:a myntet och på 2: a svansen;
är sannolikheten att det första myntet landar på svansar och på 2:a örnen.

Observera att händelser bildas hela gruppen och summan av deras sannolikheter är lika med en: .

Multiplikationssatsen sträcker sig uppenbarligen till ett större antal oberoende händelser, så till exempel, om händelserna är oberoende, är sannolikheten för att de inträffar gemensamt: . Låt oss öva med specifika exempel:

Uppgift 3

Var och en av de tre lådorna innehåller 10 delar. I den första lådan finns det 8 standarddelar, i den andra - 7, i den tredje - 9. En del tas slumpmässigt bort från varje låda. Hitta sannolikheten att alla delar är standard.

Lösning: sannolikheten att extrahera en standard- eller icke-standarddel från en box beror inte på vilka delar som kommer att extraheras från andra boxar, så problemet handlar om oberoende händelser. Tänk på följande oberoende händelser:

– en standarddel tas bort från den första lådan;
– en standarddel tas bort från den andra lådan;
– En standarddel har tagits bort från den 3:e lådan.

Enligt den klassiska definitionen:
är motsvarande sannolikheter.

Event vi är intresserade av (Standarddelen kommer att tas från den första lådan och från 2:a standarden och från den tredje standarden) uttrycks av produkten.

Enligt satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:

är sannolikheten att en standarddel kommer att extraheras från tre lådor.

Svar: 0,504

Efter uppiggande övningar med lådor väntar inte mindre intressanta urnor på oss:

Uppgift 4

Tre urnor innehåller 6 vita och 4 svarta kulor. En boll dras slumpmässigt från varje urna. Hitta sannolikheten att: a) alla tre kulorna kommer att vara vita; b) alla tre bollarna kommer att ha samma färg.

Baserat på den mottagna informationen, gissa hur man hanterar "be"-objektet ;-) En ungefärlig exempellösning är utformad i en akademisk stil med en detaljerad beskrivning av alla händelser.

Beroende händelser. Evenemanget kallas beroende om det är sannolikhet beror på från en eller flera händelser som redan har inträffat. Du behöver inte gå långt för att få exempel - gå bara till närmaste butik:

– Imorgon kl 19.00 säljs färskt bröd.

Sannolikheten för detta evenemang beror på många andra evenemang: om färskt bröd kommer att levereras imorgon, om det kommer att vara slutsålt före 19.00 eller inte, etc. Beroende på olika omständigheter kan denna händelse vara både tillförlitlig och omöjlig. Så är händelsen beroende.

Bröd ... och, som romarna krävde, cirkusar:

- vid tentamen får studenten en enkel biljett.

Om du inte går den allra första, kommer evenemanget att vara beroende, eftersom dess sannolikhet kommer att bero på vilka biljetter klasskamraterna redan har dragit.

Hur avgör man beroende/oberoende av händelser?

Ibland står detta direkt i problemets tillstånd, men oftast måste man göra en oberoende analys. Det finns ingen entydig riktlinje här, och faktumet av beroende eller oberoende av händelser följer av naturliga logiska resonemang.

För att inte kasta allt i en hög, uppgifter för beroende händelser Jag kommer att lyfta fram nästa lektion, men för nu kommer vi att överväga de vanligaste satserna i praktiken:

Problem med additionssatser för inkonsekventa sannolikheter
och multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser

Denna tandem, enligt min subjektiva bedömning, fungerar i cirka 80 % av uppgifterna i ämnet som behandlas. En hit av träffar och en riktig klassiker inom sannolikhetsteorin:

Uppgift 5

Två skyttar avlossade ett skott vardera mot målet. Sannolikheten att träffa för den första skytten är 0,8, för den andra - 0,6. Hitta sannolikheten att:

a) endast en skytt kommer att träffa målet;
b) minst en av skyttarna kommer att träffa målet.

Lösning: Sannolikheten för träff/miss för en skytt är uppenbarligen oberoende av den andra skyttens prestation.

Tänk på händelserna:
– Första skytten träffar målet;
– Den andra skytten träffar målet.

Efter villkor: .

Låt oss hitta sannolikheterna för motsatta händelser - att motsvarande pilar kommer att missa:

a) Tänk på händelsen: - endast en skytt träffar målet. Denna händelse består av två inkompatibla utfall:

1:a skytten kommer att träffa och 2:a missar
eller
1:a kommer att missa och 2:a kommer att träffas.

På tungan händelsealgebror detta faktum kan skrivas som:

Först använder vi satsen om addition av sannolikheter för inkompatibla händelser, sedan - satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:

är sannolikheten att det bara blir en träff.

b) Tänk på händelsen: - minst en av skyttarna kommer att träffa målet.

Först och främst, LÅT OSS TÄNKA - vad betyder villkoret "MINST EN"? I det här fallet betyder det att antingen 1:a skytten kommer att träffa (den 2:a kommer att missa) eller 2:a (1:a missar) eller båda pilarna samtidigt - totalt 3 inkompatibla utfall.

Metod ett: med tanke på den förberedda sannolikheten för föregående punkt, är det lämpligt att representera händelsen som summan av följande osammanhängande händelser:

man kommer att få (en händelse som i sin tur består av 2 inkompatibla utfall) eller
Om båda pilarna träffar, betecknar vi denna händelse med bokstaven .

På det här sättet:

Enligt satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:
är sannolikheten att 1:a skytten träffar och 2:a skytten kommer att träffa.

Enligt satsen om addition av sannolikheter för inkompatibla händelser:
är sannolikheten för minst en träff på målet.

Metod två: överväg den motsatta händelsen: – båda skyttarna kommer att missa.

Enligt satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:

Som ett resultat:

Särskild uppmärksamhet var uppmärksam på den andra metoden - i det allmänna fallet är det mer rationellt.

Dessutom finns det ett alternativt, tredje sätt att lösa, baserat på satsen att summera gemensamma händelser, som var tyst ovan.

! Om du läser materialet för första gången är det bättre att hoppa över nästa stycke för att undvika förvirring.

Metod tre : händelserna är gemensamma, vilket innebär att deras summa uttrycker händelsen "minst en skytt träffar målet" (se bild. händelsealgebra). Förbi sats om addition av sannolikheter för gemensamma händelser och satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:

Låt oss kolla: evenemang och (0, 1 respektive 2 träffar) bilda en komplett grupp, så summan av deras sannolikheter måste vara lika med en:
, som skulle verifieras.

Svar:

Med en grundlig studie av sannolikhetsteorin kommer du att stöta på dussintals uppgifter med ett militaristiskt innehåll, och, vilket är typiskt, efter det kommer du inte att vilja skjuta någon - uppgifterna är nästan gåva. Varför inte göra mallen ännu enklare? Låt oss korta ned posten:

Lösning: enligt villkoret: , är sannolikheten att träffa motsvarande skyttar. Då är deras misssannolikheter:

a) Enligt satserna för addition av sannolikheter för inkompatibel och multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:
är sannolikheten att endast en skytt träffar målet.

b) Enligt satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:
är sannolikheten att båda skyttarna missar.

Då: är sannolikheten att minst en av skyttarna träffar målet.

Svar:

I praktiken kan du använda vilket designalternativ som helst. Naturligtvis går de mycket oftare den korta vägen, men man bör inte glömma den första metoden - även om den är längre, är den mer meningsfull - den är tydligare i den, vad, varför och varför adderar och multiplicerar. I vissa fall är en hybridstil lämplig, när det är lämpligt att endast ange vissa händelser med versaler.

Liknande uppgifter för oberoende lösning:

Uppgift 6

Två oberoende givare är installerade för brandlarm. Sannolikheten att sensorn kommer att fungera under en brand är 0,5 och 0,7 för den första respektive andra sensorn. Hitta sannolikheten att i en brand:

a) båda sensorerna kommer att misslyckas;
b) båda sensorerna kommer att fungera.
c) Använda additionssats för sannolikheterna för händelser som bildar en komplett grupp, hitta sannolikheten att endast en sensor kommer att fungera under en brand. Kontrollera resultatet genom direkt beräkning av denna sannolikhet (med hjälp av additions- och multiplikationssatser).

Här är oberoendet av driften av enheter direkt preciserat i tillståndet, vilket förresten är ett viktigt förtydligande. Provlösningen är utformad i en akademisk stil.

Vad händer om, i ett liknande problem, samma sannolikheter ges, till exempel 0,9 och 0,9? Du måste bestämma exakt samma sak! (vilket faktiskt redan har visats i exemplet med två mynt)

Uppgift 7

Sannolikheten att den första skytten träffar målet med ett skott är 0,8. Sannolikheten att målet inte träffas efter att första och andra skytten skjutit ett skott är 0,08. Vad är sannolikheten att den andra skytten träffar målet med ett skott?

Och det här är ett litet pussel, som ramas in på ett kort sätt. Villkoret kan omformuleras mer kortfattat, men jag ska inte göra om originalet – i praktiken måste jag fördjupa mig i mer utsmyckade påhitt.

Träffa honom - det är han som klippt en omättad mängd detaljer åt dig =):

Uppgift 8

En arbetare driver tre maskiner. Sannolikheten att den första maskinen under skiftet kommer att kräva justering är 0,3, den andra - 0,75, den tredje - 0,4. Hitta sannolikheten att under skiftet:

a) alla maskiner kommer att behöva justeras;
b) endast en maskin kommer att kräva justering;
c) minst en maskin kräver justering.

Lösning: eftersom villkoret inte säger något om en enskild teknisk process, bör driften av varje maskin anses vara oberoende av driften av andra maskiner.

I analogi med uppgift nr 5 kan du här ta hänsyn till händelser som består i att motsvarande maskiner kommer att kräva justering under skiftet, skriva ner sannolikheterna, hitta sannolikheterna för motsatta händelser, etc. Men med tre objekt vill jag egentligen inte rita upp uppgiften så - den kommer att bli lång och tråkig. Därför är det märkbart mer lönsamt att använda den "snabba" stilen här:

Av villkor: - sannolikheten att motsvarande maskiner under skiftet kommer att kräva trimning. Då är sannolikheterna att de inte kommer att kräva uppmärksamhet:

En av läsarna hittade ett coolt stavfel här, jag kommer inte ens rätta till det =)

a) Enligt satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:
är sannolikheten att alla tre maskinerna under skiftet kräver justering.

b) Händelsen "Under skiftet kommer endast en maskin att kräva justering" består av tre inkompatibla utfall:

1) 1:a maskinen kommer behöva uppmärksamhet och 2:a maskinen kommer inte att kräva och 3:e maskinen kommer inte att kräva
eller:
2) 1:a maskinen kommer inte att kräva uppmärksamhet och 2:a maskinen kommer behöva och 3:e maskinen kommer inte att kräva
eller:
3) 1:a maskinen kommer inte att kräva uppmärksamhet och 2:a maskinen kommer inte att kräva och 3:e maskinen kommer behöva.

Enligt satserna för addition av sannolikheter för inkompatibel och multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:

- sannolikheten att endast en maskin under skiftet kräver justering.

Jag tror att det nu borde vara klart för dig var uttrycket kom ifrån

c) Beräkna sannolikheten för att maskinerna inte kommer att behöva justeras, och sedan sannolikheten för den motsatta händelsen:
– det faktum att minst en maskin kräver justering.

Svar:

Punkt "ve" kan också lösas genom summan , där är sannolikheten att under skiftet endast två maskiner kräver justering. Denna händelse inkluderar i sin tur 3 inkompatibla utfall, som är signerade i analogi med "be"-objektet. Försök själv hitta sannolikheten för att kontrollera hela problemet med hjälp av jämlikhet.

Uppgift 9

Tre kanoner avfyrade en salva mot målet. Sannolikheten att slå med ett skott endast från den första pistolen är 0,7, från den andra - 0,6, från den tredje - 0,8. Hitta sannolikheten att: 1) minst en projektil träffar målet; 2) endast två projektiler kommer att träffa målet; 3) målet kommer att träffas minst två gånger.

Lösning och svar i slutet av lektionen.

Och återigen om tillfälligheter: i händelse av att två eller till och med alla värden för de initiala sannolikheterna sammanfaller (till exempel 0,7; 0,7 och 0,7), bör exakt samma lösningsalgoritm följas.

Som avslutning av artikeln kommer vi att analysera ett annat vanligt pussel:

Uppgift 10

Skytten träffar målet med samma sannolikhet vid varje skott. Vad är denna sannolikhet om sannolikheten för minst en träff på tre skott är 0,973.

Lösning: beteckna med - sannolikheten att träffa målet med varje skott.
och genom - sannolikheten för en miss med varje skott.

Låt oss skriva ner händelserna:
- med 3 skott kommer skytten att träffa målet minst en gång;
- skytten missar 3 gånger.

Enligt villkoret, då sannolikheten för den motsatta händelsen:

Å andra sidan, enligt satsen om multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser:

På det här sättet:

- Sannolikheten för en miss med varje skott.

Som ett resultat:
är sannolikheten att träffa varje skott.

Svar: 0,7

Enkelt och elegant.

I det övervägda problemet kan ytterligare frågor ställas om sannolikheten för endast en träff, endast två träffar och sannolikheten för tre träffar på målet. Lösningsschemat kommer att vara exakt detsamma som i de två föregående exemplen:

Den grundläggande materiella skillnaden är dock att det finns upprepade oberoende tester, som utförs sekventiellt, oberoende av varandra och med samma sannolikhet för utfall.

Allmänt om problemet: sannolikheterna för vissa händelser är kända, men sannolikheterna för andra händelser som är associerade med dessa händelser måste beräknas. I dessa problem finns det ett behov av sådana operationer på sannolikheter som addition och multiplikation av sannolikheter.

Till exempel avlossades två skott under jakt. Händelse A- slå en anka från första skottet, händelse B- träffade från det andra skottet. Sedan summan av händelser A och B- träffa från första eller andra skottet eller från två skott.

Uppgifter av en annan typ. Flera händelser ges, till exempel kastas ett mynt tre gånger. Det krävs att man hittar sannolikheten att antingen alla tre gångerna vapnet kommer att falla ut, eller att vapnet faller ut minst en gång. Detta är ett multiplikationsproblem.

Tillägg av sannolikheter för oförenliga händelser

Sannolikhetsaddition används när det är nödvändigt att beräkna sannolikheten för en kombination eller en logisk summa av slumpmässiga händelser.

Summan av händelser A och B beteckna A + B eller A ∪ B. Summan av två händelser är en händelse som inträffar om och endast om minst en av händelserna inträffar. Det betyder att A + B- en händelse som inträffar om och endast om en händelse inträffar under observationen A eller händelse B, eller samtidigt A och B.

Om händelser A och Bär ömsesidigt inkonsekventa och deras sannolikheter är givna, så beräknas sannolikheten att en av dessa händelser inträffar som ett resultat av ett försök med hjälp av tillägg av sannolikheter.

Teoremet om addition av sannolikheter. Sannolikheten att en av två ömsesidigt inkompatibla händelser inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:

Till exempel avlossades två skott under jakt. Händelse MEN– slå en anka från det första skottet, händelse PÅ– träff från det andra skottet, händelse ( MEN+ PÅ) - träff från första eller andra skottet eller från två skott. Så om två händelser MEN och PÅär alltså oförenliga händelser MEN+ PÅ- förekomsten av minst en av dessa händelser eller två händelser.

Exempel 1 En låda innehåller 30 bollar av samma storlek: 10 röda, 5 blå och 15 vita. Beräkna sannolikheten att en färgad (inte vit) boll tas utan att titta.

Lösning. Låt oss anta att händelsen MEN– "den röda bollen är tagen", och händelsen PÅ- "Den blå bollen är tagen." Sedan är händelsen "en färgad (inte vit) boll tas". Hitta sannolikheten för en händelse MEN:

och evenemang PÅ:

Utvecklingen MEN och PÅ- ömsesidigt oförenligt, eftersom om en boll tas kan bollar av olika färg inte tas. Därför använder vi tillägg av sannolikheter:

Teoremet om addition av sannolikheter för flera inkompatibla händelser. Om händelserna utgör den fullständiga uppsättningen av händelser, är summan av deras sannolikheter lika med 1:

Summan av sannolikheterna för motsatta händelser är också lika med 1:

Motsatta händelser bildar en komplett uppsättning händelser, och sannolikheten för en fullständig uppsättning händelser är 1.

Sannolikheterna för motsatta händelser anges vanligtvis med små bokstäver. sid och q. Särskilt,

varifrån följande formler för sannolikheten för motsatta händelser följer:

Exempel 2 Målet i strecket är uppdelat i 3 zoner. Sannolikheten att en viss skytt kommer att skjuta på ett mål i den första zonen är 0,15, i den andra zonen - 0,23, i den tredje zonen - 0,17. Hitta sannolikheten att skytten träffar målet och sannolikheten att skytten missar målet.

Lösning: Hitta sannolikheten att skytten träffar målet:

Hitta sannolikheten att skytten missar målet:

Svårare uppgifter där du behöver tillämpa både addition och multiplikation av sannolikheter - på sidan "Olika uppgifter för addition och multiplikation av sannolikheter" .

Tillägg av sannolikheter för ömsesidigt gemensamma händelser

Två slumpmässiga händelser sägs vara gemensamma om förekomsten av en händelse inte utesluter att en andra händelse inträffar i samma observation. Till exempel när man kastar en tärning, händelsen MEN anses vara förekomsten av siffran 4 och händelsen PÅ- ta bort ett jämnt tal. Eftersom siffran 4 är ett jämnt tal är de två händelserna kompatibla. I praktiken finns det uppgifter för att beräkna sannolikheterna för att någon av de ömsesidigt gemensamma händelserna ska inträffa.

Teoremet om addition av sannolikheter för gemensamma händelser. Sannolikheten att en av de gemensamma händelserna inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser, från vilken sannolikheten för den gemensamma förekomsten av båda händelserna subtraheras, det vill säga produkten av sannolikheterna. Formeln för sannolikheterna för gemensamma händelser är följande:

Eftersom händelserna MEN och PÅ kompatibel, händelse MEN+ PÅ inträffar om en av tre möjliga händelser inträffar: eller AB. Enligt satsen om addition av inkompatibla händelser, beräknar vi enligt följande:

Händelse MEN inträffar om en av två inkompatibla händelser inträffar: eller AB. Sannolikheten för att en händelse inträffar från flera inkompatibla händelser är dock lika med summan av sannolikheterna för alla dessa händelser:

Liknande:

Genom att ersätta uttryck (6) och (7) med uttryck (5), får vi sannolikhetsformeln för gemensamma händelser:

När man använder formel (8) bör man ta hänsyn till att händelserna MEN och PÅ kan vara:

• ömsesidigt oberoende;
• ömsesidigt beroende.

Sannolikhetsformel för ömsesidigt oberoende händelser:

Sannolikhetsformel för ömsesidigt beroende händelser:

Om händelser MEN och PÅär inkonsekventa, så är deras sammanträffande ett omöjligt fall och därför P(AB) = 0. Den fjärde sannolikhetsformeln för inkompatibla händelser är följande:

Exempel 3 I autoracing, när du kör i den första bilen, sannolikheten att vinna, när du kör i den andra bilen. Hitta:

• sannolikheten att båda bilarna vinner;
• sannolikheten att minst en bil vinner;

1) Sannolikheten att den första bilen vinner beror inte på resultatet av den andra bilen, så händelserna MEN(första bilen vinner) och PÅ(andra bilen vinner) - oberoende evenemang. Hitta sannolikheten att båda bilarna vinner:

2) Hitta sannolikheten att en av de två bilarna vinner:

Svårare uppgifter där du behöver tillämpa både addition och multiplikation av sannolikheter - på sidan "Olika uppgifter för addition och multiplikation av sannolikheter" .

Lös problemet med addition av sannolikheter själv och titta sedan på lösningen

Exempel 4 Två mynt kastas. Händelse A- förlust av vapen på det första myntet. Händelse B- förlust av vapen på det andra myntet. Hitta sannolikheten för en händelse C = A + B .

Sannolikhetsmultiplikation

Multiplikation av sannolikheter används när sannolikheten för en logisk produkt av händelser ska beräknas.

I det här fallet måste slumpmässiga händelser vara oberoende. Två händelser sägs vara ömsesidigt oberoende om förekomsten av en händelse inte påverkar sannolikheten för att den andra händelsen inträffar.

Sannolikhetsmultiplikationssats för oberoende händelser. Sannolikheten för att två oberoende händelser inträffar samtidigt MEN och PÅär lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser och beräknas med formeln:

Exempel 5 Myntet kastas tre gånger i rad. Hitta sannolikheten att vapnet kommer att falla ut alla tre gångerna.

Lösning. Sannolikheten att vapnet kommer att falla vid första slängningen av ett mynt, andra gången och tredje gången. Hitta sannolikheten för att vapnet kommer att falla ut alla tre gångerna:

Lös problem för att multiplicera sannolikheter själv och titta sedan på lösningen

Exempel 6 Det finns en låda med nio nya tennisbollar. Tre bollar tas till spelet, efter matchen läggs de tillbaka. När de väljer bollar skiljer de inte mellan spelade och ospelade bollar. Vad är sannolikheten att efter tre matcher kommer det inte finnas några ospelade bollar i boxen?

Exempel 7 32 bokstäver i det ryska alfabetet är skrivna på klippta alfabetskort. Fem kort dras slumpmässigt, det ena efter det andra, och läggs på bordet i den ordning de visas. Hitta sannolikheten att bokstäverna kommer att bilda ordet "slut".

Exempel 8 Från en full kortlek (52 ark) tas fyra kort ut på en gång. Hitta sannolikheten att alla fyra av dessa kort är av samma färg.

Exempel 9 Samma problem som i exempel 8, men varje kort återförs till leken efter att ha dragits.

Mer komplexa uppgifter, där du behöver tillämpa både addition och multiplikation av sannolikheter, samt beräkna produkten av flera händelser - på sidan "Olika uppgifter för addition och multiplikation av sannolikheter" .

Sannolikheten att åtminstone en av de ömsesidigt oberoende händelserna inträffar kan beräknas genom att subtrahera produkten av sannolikheterna för motsatta händelser från 1, det vill säga med formeln.