Händelser kallas oberoende if. Beroende och oberoende slumpmässiga händelser. Total sannolikhetsformel

Händelsernas beroende förstås i probabilistisk mening, inte funktionellt. Detta innebär att vid uppkomsten av en av beroende händelser det är omöjligt att entydigt bedöma en annans utseende. Sannolikhetsberoende innebär att förekomsten av en av de beroende händelserna endast ändrar sannolikheten för att den andra ska inträffa. Om sannolikheten inte ändras anses händelserna vara oberoende.

Definition: Let - godtyckligt sannolikhetsutrymme, - några slumpmässiga händelser. Det säger de händelse MEN beror inte på händelsen PÅ , om det betingad sannolikhet sammanfaller med den ovillkorliga sannolikheten:

Om en , då säger vi att händelsen MEN händelseberoende PÅ.

Begreppet oberoende är symmetriskt, det vill säga om en händelse MEN beror inte på händelsen PÅ, sedan händelsen PÅ beror inte på händelsen MEN. Verkligen, låt . Sedan . Därför säger de helt enkelt att händelserna MEN och PÅ självständig.

Följande symmetriska definition av händelsernas oberoende följer av regeln om multiplikation av sannolikheter.

Definition: Utveckling MEN och PÅ, definierade på samma sannolikhetsutrymme kallas självständig, om

Om en , sedan händelserna MEN och PÅ kallad beroende.

Observera att denna definition också är giltig när eller .

Egenskaper för oberoende evenemang.

1. Om händelser MEN och PÅär oberoende, då är följande händelsepar också oberoende: .

▲ Låt oss till exempel bevisa händelsernas oberoende . Föreställ dig en händelse MEN som: . Eftersom händelserna är oförenliga, alltså , och på grund av händelsernas oberoende MEN och PÅ det får vi. Alltså, vilket betyder oberoende. ■

2. Om händelsen MEN beror inte på händelser I 1 och I 2, som är inkompatibla () , den händelsen MEN beror inte på mängden.

▲ Faktum är att använda axiomet för additivitet av sannolikhet och oberoende av händelsen MEN från händelser I 1 och I 2, vi har:

Samband mellan begreppen oberoende och oförenlighet.

Låta MEN och PÅ- alla händelser som har en sannolikhet som inte är noll: , så . Om händelserna MEN och PÅär inkonsekventa (), och därför kan jämlikhet aldrig ske. På det här sättet, oförenliga händelser är beroende.

När mer än två händelser betraktas samtidigt, karaktäriserar deras parvisa oberoende inte tillräckligt sambandet mellan händelserna i hela gruppen. I detta fall introduceras begreppet oberoende i aggregatet.

Definition: Händelser definierade på samma sannolikhetsutrymme anropas kollektivt oberoende, om för någon 2 £m £n och varje kombination av index håller jämställdheten:

På m = 2 Oberoende i aggregatet innebär parvis oberoende av händelser. Det omvända är inte sant.

Exempel. (Bernstein S.N.)

Ett slumpmässigt experiment består i att kasta en vanlig tetraeder (tetraeder). Det finns ett ansikte som har fallit ut uppifrån och ner. Tetraederns ytor är färgade enligt följande: 1:a ansiktet - vit, 2:a ansiktet - svart,
3 ansikte - rött, 4 ansikte - innehåller alla färger.

Tänk på händelserna:

MEN= (Avhopp vit färg}; B= (Black drop out);

C= (Rött bortfall).

Sedan ;

Därför händelserna MEN, PÅ och FRÅNär parvis oberoende.

I alla fall, .

Därför händelser MEN, PÅ och FRÅN kollektivt är de inte oberoende.

I praktiken fastställs som regel inte händelsernas oberoende genom att kontrollera det per definition, utan vice versa: händelser anses vara oberoende av externa överväganden eller med hänsyn till omständigheterna slumpmässigt experiment, och använd oberoende för att hitta sannolikheterna för att producera händelser.

Sats (multiplikationer av sannolikheter för oberoende händelser).

Om händelser definierade på samma sannolikhetsutrymme är oberoende i aggregatet, är sannolikheten för deras produkt lika med produkten av sannolikheterna:

▲ Beviset för satsen följer av definitionen av händelsernas oberoende i aggregatet eller från den allmännan, med hänsyn till det faktum att i detta fall

Exempel 1 (typiskt exempel för att hitta betingade sannolikheter, begreppet oberoende, sannolikhetsadditionssatsen).

Den elektriska kretsen består av tre oberoende verksamma element. Felsannolikheterna för vart och ett av elementen är lika med .

1) Hitta sannolikheten för kretsfel.

2) Kretsen är känd för att ha misslyckats.

Vad är sannolikheten att det misslyckas:

a) 1:a elementet; b) 3:e elementet?

Lösning.Överväg händelser = (misslyckades k element) och händelsen MEN= (Schema misslyckades). Sedan händelsen MEN presenteras i formen:

1) Eftersom händelserna och inte är inkompatibla, är sannolikhetsaxiomet för sannolikhetsadditivitet Р3) inte tillämpligt och för att hitta sannolikheten bör man använda den allmänna sannolikhetsadditionssatsen, enligt vilken

Låt sannolikheten för en händelse PÅ beror inte på händelsen MEN.

Definition. Händelse PÅ kallad oberoende av händelsen A om händelsen inträffade MENändrar inte sannolikheten för en händelse PÅ, dvs. om den villkorade sannolikheten för händelsen PÅär lika med dess ovillkorliga sannolikhet:

R A(PÅ) = R(PÅ). (2.12)

Genom att ersätta (2.12) i relation (2.11) får vi

R(MEN)R(PÅ) = R(PÅ)R B(MEN).

R B(MEN) = R(MEN),

de där. villkorad sannolikhet för en händelse MEN förutsatt att en händelse har inträffat PÅ, är lika med dess ovillkorliga sannolikhet. Eventet med andra ord MEN beror inte på händelsen B.

Lemma (om ömsesidigt oberoende av händelser): om händelse PÅ beror inte på händelsen MEN, sedan händelsen MEN beror inte på händelsen PÅ; det betyder att egendom av oberoende av händelser ömsesidigt.

För oberoende händelser, multiplikationssatsen R(AB) = R(MEN) R A(PÅ) har formen

R(AB) = R(MEN) R(PÅ), (2.13)

de där. sannolikheten för att två oberoende händelser ska inträffa tillsammans är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser.

Jämlikhet (2.13) tas som definitionen av oberoende händelser. Två händelser sägs vara oberoende om förekomsten av en av dem inte ändrar sannolikheten för att den andra inträffar.

Definition. Två händelser kallas självständig, om sannolikheten för deras kombination är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser; annars kallas händelserna beroende.

I praktiken avslutas händelsernas oberoende i enlighet med problemets innebörd. Till exempel beror sannolikheten för att träffa ett mål med var och en av två pistoler inte på om den andra pistolen träffade målet, så händelserna "första pistolen träffade målet" och "andra pistolen träffade målet" är oberoende.

Exempel. Hitta sannolikheten att träffa målet tillsammans med två pistoler om sannolikheten att träffa målet med den första pistolen (händelse MEN) är lika med 0,8, och den andra (händelsen PÅ) – 0,7.

Lösning. Utvecklingen MEN och PÅ oberoende, därför, genom multiplikationssatsen, den önskade sannolikheten

R(AB) = R(MEN)R(PÅ) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Kommentar 1. Om händelser MEN och PÅär oberoende, då är händelserna också oberoende. MEN och och PÅ, och . Verkligen,

Följaktligen,

, eller .

de där. utvecklingen MEN och PÅ självständig.

Oberoende av händelser och PÅ, och är en följd av det bevisade påståendet.

Begreppet självständighet kan utvidgas till att omfatta fallet n evenemang.

Definition. Flera evenemang kallas parvis oberoende om varannan av dem är oberoende. Till exempel händelser MEN, PÅ, FRÅN parvis oberoende om händelserna är oberoende MEN och PÅ, MEN och FRÅN, PÅ och FRÅN.

För att generalisera multiplikationssatsen till flera händelser introducerar vi begreppet oberoende av händelser i aggregatet.

Definition. Flera evenemang kallas kollektivt oberoende(eller helt enkelt oberoende) om var och en av dem är oberoende och varje händelse och alla möjliga produkter från de andra är oberoende. Till exempel om händelserna MEN 1 , A 2 , MEN 3 är oberoende i aggregatet, sedan är händelserna oberoende MEN 1 och A 2 , MEN 1 och MEN 3 , A 2 och MEN 3 ; MEN 1 och A 2 MEN 3 , A 2 och MEN 1 MEN 3 , MEN 3 och MEN 1 A 2. Av vad som har sagts följer att om händelserna är oberoende i aggregatet, så är den villkorade sannolikheten för att någon händelse ska inträffa bland dem, beräknad på antagandet att andra händelser bland de andra har inträffat, lika med dess ovillkorliga sannolikhet.

Vi betonar att om flera händelser är oberoende i par, så följer deras oberoende i aggregatet ännu inte av detta. I denna mening är kravet på oberoende av händelser i aggregatet starkare än kravet på deras parvisa oberoende.

Låt oss förklara vad som har sagts med ett exempel. Anta att det finns 4 kulor i urnan, färgade: en är röd ( MEN), en - i blått ( PÅ), en - svart ( FRÅN) och en - i alla dessa tre färger ( ABC). Vad är sannolikheten att en boll som dras från urnan är röd?

Eftersom två av de fyra bollarna är röda, alltså R(MEN) = 2/4 = 1/2. Att argumentera på liknande sätt finner vi R(PÅ) = 1/2, R(FRÅN) = 1/2. Låt oss nu anta att bollen som tas är blå, dvs. händelse PÅ redan hänt. Kommer sannolikheten att den dragna bollen är röd att förändras, d.v.s. Kommer sannolikheten för en händelse att förändras? MEN? Av de två bollarna som är blå är en boll också röd, så sannolikheten för händelsen är MENär fortfarande 1/2. Med andra ord den villkorade sannolikheten för en händelse MEN, beräknat under antagandet att en händelse har inträffat PÅ, är lika med dess ovillkorliga sannolikhet. Därför händelserna MEN och PÅ självständig. På samma sätt drar vi slutsatsen att händelserna MEN och FRÅN, PÅ och FRÅN självständig. Alltså händelserna MEN, PÅ och FRÅNär parvis oberoende.

Är dessa händelser oberoende totalt sett? Det visar sig inte. Låt den extraherade bollen ha två färger, till exempel blå och svart. Vad är sannolikheten att den här bollen också är röd? Endast en boll är färgad i alla tre färgerna, så den fångade bollen är också röd. Alltså, förutsatt att händelserna PÅ och FRÅN inträffade, drar vi slutsatsen att händelsen MEN kommer säkert. Därför är denna händelse tillförlitlig och dess sannolikhet är lika med en. Med andra ord den betingade sannolikheten R BC(MEN)= 1 händelse MENär inte lika med dess ovillkorliga sannolikhet R(MEN) = 1/2. Så, parvis oberoende händelser MEN, PÅ, FRÅNär inte kollektivt oberoende.

Vi presenterar nu en följd av multiplikationssatsen.

Följd. Sannolikheten för en gemensam förekomst av flera händelser som är oberoende i aggregatet är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser:

Bevis. Tänk på tre händelser: MEN, PÅ och FRÅN. Kombination av händelser MEN, PÅ och FRÅN liktydigt med en kombination av händelser AB och FRÅN, det är därför

R(ABC) = R(AB×C).

Sedan händelserna MEN, PÅ och FRÅNär oberoende i aggregatet, då är i synnerhet händelserna oberoende AB och FRÅN, såväl som MEN och PÅ. Genom multiplikationssatsen för två oberoende händelser har vi:

R(AB×C) = R(AB)R(FRÅN) och R(AB) = R(MEN)R(PÅ).

Så, äntligen får vi

R(ABC) = R(MEN)R(PÅ)R(FRÅN).

För en godtycklig n Beviset utförs med metoden matematisk induktion.

Kommentar. Om händelser MEN 1 , MEN 2 , ...,Enär oberoende i aggregatet, då är de motsatta händelserna också oberoende i aggregatet.

Exempel. Hitta sannolikheten för att vapnet ska dyka upp tillsammans i ett kast med två mynt.

Lösning. Sannolikheten för utseendet av det första myntets vapen (händelse MEN)

R(MEN) = 1/2.

Sannolikheten för utseendet av det andra myntets vapen (händelse PÅ)

R(PÅ) = 1/2.

Utvecklingen MEN och PÅ oberoende, så den önskade sannolikheten med multiplikationssatsen är lika med

R(AB) = R(MEN)R(PÅ) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Exempel. Det finns 3 lådor som innehåller 10 delar. Den första lådan innehåller 8, den andra lådan 7 och den tredje lådan 9 standarddelar. Ett föremål dras slumpmässigt från varje ruta. Hitta sannolikheten att alla tre delarna som tas ut är standard.

Lösning. Sannolikheten att en standarddel tas från den första rutan (händelsen MEN),

R(MEN) = 8/10 = 0,8.

Sannolikheten att en standarddel tas från den andra rutan (händelsen PÅ),

R(PÅ) = 7/10 = 0,7.

Sannolikheten att en standarddel tas från den tredje rutan (händelsen FRÅN),

R(FRÅN) = 9/10 = 0,9.

Sedan händelserna MEN, PÅ och FRÅN oberoende i aggregatet, då är den önskade sannolikheten (med multiplikationssatsen) lika med

R(ABC) = R(MEN)R(PÅ)R(FRÅN) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Låt oss ge ett exempel på den gemensamma tillämpningen av additions- och multiplikationssatserna.

Exempel. Sannolikheter för att var och en av tre oberoende händelser inträffar MEN 1 , MEN 2 , MEN 3 respektive lika R 1 , R 2 , R 3 . Hitta sannolikheten för att endast en av dessa händelser inträffar.

Lösning. Observera att till exempel utseendet endast första händelsen MEN 1 motsvarar utseendet på en händelse (den första dök upp och den andra och tredje händelsen dök inte upp). Låt oss presentera notationen:

B 1 - enda händelsen dök upp MEN 1, dvs. ;

B 2 – enda händelse dök upp MEN 2, dvs. ;

B 3 – enda händelsen dök upp MEN 3, dvs. .

Alltså för att hitta sannolikheten för att endast en av händelserna inträffar MEN 1 , MEN 2 , MEN 3 , kommer vi att leta efter sannolikheten P(B 1 + B 2 + PÅ 3) utseendet på en, oavsett vilken av händelserna PÅ 1 , PÅ 2 , PÅ 3 .

Sedan händelserna PÅ 1 , PÅ 2 , PÅ 3 är inkonsekventa, då gäller additionssatsen

P(B 1 + B 2 + PÅ 3) = R(PÅ 1) + R(PÅ 2) + R(PÅ 3). (*)

Det återstår att hitta sannolikheterna för var och en av händelserna PÅ 1 , PÅ 2 , PÅ 3 . Utvecklingen MEN 1 , MEN 2 , MEN 3 är oberoende, därför är händelserna oberoende, så multiplikationssatsen gäller dem

Likaså,

Genom att ersätta dessa sannolikheter med (*) finner vi den önskade sannolikheten för att endast en av händelserna inträffar MEN 1 , MEN 2 , MEN 3.

Sannolikhetsdefinitioner

Klassisk definition

Den klassiska "definitionen" av sannolikhet kommer från begreppet lika möjligheter som en objektiv egenskap hos de fenomen som studeras. Ekvivalens är ett odefinierbart begrepp och etableras utifrån allmänna överväganden om symmetrin hos de fenomen som studeras. Till exempel, när man kastar ett mynt, antas det att det, på grund av den förmodade symmetrin hos myntet, materialets homogenitet och slumpmässigheten (icke-partiskhet) i kastningen, det inte finns någon anledning att föredra "svansar" framför "örnar" eller vice versa, det vill säga att förlusten av dessa sidor kan anses vara lika sannolik (equiprobable) .

Tillsammans med begreppet ekvisannolikhet i det allmänna fallet kräver den klassiska definitionen också begreppet en elementär händelse (utfall) som gynnar eller inte gynnar händelsen A. Vi talar om utfall, vars förekomst utesluter möjligheten av förekomsten av andra utfall. Dessa är oförenliga elementära händelser. Till exempel när man kastar tärningar Att tappa ett specifikt nummer utesluter att andra nummer tas bort.

Den klassiska definitionen av sannolikhet kan formuleras på följande sätt:

Sannolikheten för en slumpmässig händelse A kallas förhållandet mellan talet n inkompatibla lika sannolika elementära händelser som utgör händelsen A , till antalet alla möjliga elementära händelser N :

Anta till exempel att två tärningar kastas. Det totala antalet lika möjliga utfall (elementära händelser) är uppenbarligen 36 (6 möjligheter på varje tärning). Uppskatta sannolikheten att få 7 poäng. Att få 7 poäng är möjligt på följande sätt: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Det vill säga, det finns bara 6 lika sannolika utfall som gynnar händelse A - att få 7 poäng. Därför blir sannolikheten lika med 6/36=1/6. Som jämförelse är sannolikheten att få 12 poäng eller 2 poäng bara 1/36 - 6 gånger mindre.

Geometrisk definition

Trots att den klassiska definitionen är intuitiv och härledd från praktiken, kan den åtminstone inte tillämpas direkt om antalet lika möjliga utfall är oändligt. Ett levande exempel på ett oändligt antal möjliga utfall är ett begränsat geometriskt område G, till exempel på ett plan, med en area S. En slumpmässigt "kastad" "punkt" med lika sannolikhet kan vara var som helst i denna region. Problemet är att bestämma sannolikheten för att en punkt hamnar i någon underdomän g med area s. I det här fallet, genom att generalisera den klassiska definitionen, kan vi komma till en geometrisk definition av sannolikheten att falla in i underdomänen:

Med tanke på den lika möjligheten beror denna sannolikhet inte på formen av regionen g, den beror bara på dess yta. Denna definition kan naturligtvis generaliseras till ett utrymme av vilken dimension som helst, där begreppet "volym" används istället för area. Dessutom är det denna definition som leder till den moderna axiomatiska definitionen av sannolikhet. Begreppet volym generaliseras till begreppet "mått" för någon abstrakt uppsättning, som kraven ställs på, vilket "volymen" också har i den geometriska tolkningen - för det första är dessa icke-negativitet och additivitet.

Frekvens (statistisk) bestämning

Den klassiska definitionen möter svårigheter av oöverstiglig natur när man överväger komplexa problem. I synnerhet kan det i vissa fall inte vara möjligt att identifiera lika sannolika fall. Även när det gäller ett mynt finns det som bekant en helt klart inte lika sannolik möjlighet att en "kant" faller ut, vilket inte kan uppskattas utifrån teoretiska överväganden (man kan bara säga att det är osannolikt och detta är ganska praktiskt ). Därför, vid gryningen av bildandet av sannolikhetsteorin, föreslogs en alternativ "frekvens"-definition av sannolikhet. Nämligen, formellt kan sannolikheten definieras som gränsen för frekvensen av observationer av händelse A, under antagande av homogeniteten hos observationer (det vill säga likheten av alla observationsförhållanden) och deras oberoende av varandra:

var är antalet observationer och är antalet förekomster av händelsen .

Trots att denna definition snarare indikerar ett sätt att skatta en okänd sannolikhet - med hjälp av ett stort antal homogena och oberoende observationer - så speglar denna definition ändå innehållet i sannolikhetsbegreppet. Nämligen, om en viss sannolikhet tillskrivs en händelse, som ett objektivt mått på dess möjlighet, så betyder detta att vi under fasta förhållanden och flera upprepningar bör få en frekvens av dess förekomst nära (ju närmare, desto fler observationer). Egentligen är detta den ursprungliga innebörden av begreppet sannolikhet. Den bygger på en objektivistisk syn på naturfenomen. Nedan finns de så kallade lagarna stora siffror, som ger en teoretisk grund (inom ramen för det moderna axiomatiska tillvägagångssättet som presenteras nedan), inklusive för frekvensuppskattning av sannolikhet.

Axiomatisk definition

I det moderna matematiska tillvägagångssättet ges sannolikheten av Kolmogorovs axiomatik. Det antas att vissa utrymme för elementära händelser. Delmängder av detta utrymme tolkas som slumpmässiga händelser. Unionen (summan) av vissa delmängder (händelser) tolkas som en händelse som består av förekomsten åtminstone ett från dessa händelser. Skärningspunkten (produkten) av delmängder (händelser) tolkas som en händelse som består av förekomsten Allt dessa händelser. Osammanhängande uppsättningar tolkas som oförenlig händelser (deras gemensamma offensiv är omöjlig). Följaktligen betyder den tomma uppsättningen omöjlig händelse.

Sannolikhet ( sannolikhetsmått) kallas mäta(numerisk funktion) definierad på uppsättningen händelser, med följande egenskaper:

Om utrymmet för elementära händelser X säkert, då är det angivna additivitetsvillkoret för godtyckliga två inkompatibla händelser tillräckligt, från vilket additivitet kommer att följa för eventuella slutlig antalet inkompatibla händelser. Men i fallet med ett oändligt (räknebart eller oräkneligt) utrymme av elementära händelser är detta tillstånd inte tillräckligt. Den så kallade räknebar eller sigma-additivitet, det vill säga uppfyllelsen av additivitetsegenskapen för ev inte mer än räkneligt familjer av parvis inkompatibla händelser. Detta är nödvändigt för att säkerställa "kontinuiteten" för sannolikhetsmåttet.

Sannolikhetsmåttet kanske inte definieras för alla delmängder av mängden. Det antas att det är definierat på vissa sigma algebra delmängder . Dessa delmängder kallas mätbar enligt ett givet sannolikhetsmått, och de är slumpmässiga händelser. Mängden - det vill säga mängden elementära händelser, sigma-algebra för dess delmängder och sannolikhetsmåttet - kallas sannolikhetsutrymme.

Kontinuerliga slumpvariabler. Förutom diskreta slumpvariabler, vars möjliga värden bildar en ändlig eller oändlig talföljd som inte helt fyller något intervall, finns det ofta slumpvariabler vars möjliga värden bildar ett visst intervall. Ett exempel på en sådan slumpvariabel är avvikelsen från det nominella värdet av en viss storlek på en del med en korrekt etablerad teknisk process. Denna typ av slumpvariabler kan inte specificeras med hjälp av sannolikhetsfördelningslagen p(x). De kan dock specificeras med hjälp av sannolikhetsfördelningsfunktionen F(x). Denna funktion definieras på exakt samma sätt som i fallet med en diskret slumpvariabel:

Så även här funktionen F(x) definieras på hela talaxeln och dess värde vid punkten Xär lika med sannolikheten att den slumpmässiga variabeln får ett värde mindre än X. Formel (19) och egenskaperna 1° och 2° är giltiga för fördelningsfunktionen för en slumpvariabel. Beviset utförs på samma sätt som fallet med en diskret kvantitet. Den slumpmässiga variabeln kallas kontinuerlig, om det för den finns en icke-negativ styckvis-kontinuerlig funktion* som uppfyller alla värden x jämlikhet

Baserat på den geometriska betydelsen av integralen som ett område kan vi säga att sannolikheten för att uppfylla ojämlikheterna är lika med arean av en krökt trapets med bas ovanför avgränsad av en kurva (fig. 6).

Sedan , och baserat på formel (22)

Observera att för en kontinuerlig slumpvariabel, fördelningsfunktionen F(x) kontinuerlig när som helst X, där funktionen är kontinuerlig. Detta följer av det faktum att F(x)är differentierbar vid dessa punkter. Baserat på formel (23), förutsatt x 1 =x, , vi har

På grund av kontinuiteten i funktionen F(x) det får vi

Följaktligen

På det här sättet, sannolikheten för att en kontinuerlig slumpvariabel kan ta ett enskilt värde på x är noll. Det följer av detta att händelserna som består i uppfyllandet av var och en av ojämlikheterna

De har samma sannolikhet, d.v.s.

Ja, t.ex.

därför att Kommentar. Som vi vet, om en händelse är omöjlig, är sannolikheten för att den inträffar noll. I den klassiska definitionen av sannolikhet, när antalet testresultat är ändligt, sker också den omvända propositionen: om sannolikheten för en händelse är noll, så är händelsen omöjlig, eftersom i detta fall inget av testresultaten gynnar den. I fallet med en kontinuerlig slumpvariabel är antalet möjliga värden oändligt. Sannolikheten att detta värde kommer att anta något särskilt värde x 1 som vi har sett är lika med noll. Därav följer dock inte att denna händelse är omöjlig, eftersom den slumpmässiga variabeln som ett resultat av testet i synnerhet kan anta värdet x 1 . Därför, i fallet med en kontinuerlig slumpvariabel, är det vettigt att tala om sannolikheten att den slumpmässiga variabeln faller in i intervallet, och inte om sannolikheten att den kommer att anta ett visst värde. Så, till exempel, vid tillverkning av en rulle är vi inte intresserade av sannolikheten att dess diameter kommer att vara lika med det nominella värdet. För oss är sannolikheten att rullens diameter inte går utanför toleransen viktig. Exempel. Fördelningstätheten för en kontinuerlig stokastisk variabel ges enligt följande:

Grafen för funktionen visas i fig. 7. Bestäm sannolikheten att en stokastisk variabel tar ett värde som uppfyller olikheterna Hitta fördelningsfunktionen för en given stokastisk variabel. ( Lösning)

De följande två styckena ägnas åt fördelningarna av kontinuerliga slumpvariabler som ofta påträffas i praktiken - enhetliga och normala fördelningar.

* En funktion kallas styckvis kontinuerlig på hela den numeriska axeln om den antingen är kontinuerlig på något segment eller har ett ändligt antal diskontinuitetspunkter av det första slaget. ** Regeln för differentiering av en integral med en variabel övre gräns, härledd i fallet med en finit nedre gräns, förblir giltig för integraler med en oändlig nedre gräns. Verkligen,

Sedan integralen

är ett konstant värde.

Beroende och oberoende evenemang. Villkorlig sannolikhet

Skilj mellan beroende och oberoende händelser. Två händelser sägs vara oberoende om förekomsten av en av dem inte ändrar sannolikheten för att den andra inträffar. Till exempel, om två automatiska linjer fungerar i en verkstad, som inte är sammankopplade enligt produktionsförhållandena, är stopp för dessa linjer oberoende händelser.

Exempel 3 Myntet vänds två gånger. Sannolikheten för att "vapnet" ska uppträda i det första testet (event ) beror inte på utseendet eller uteblivet av "vapenet" i det andra testet (event ). I sin tur beror sannolikheten för utseendet av "vapnet" i det andra testet inte på resultatet av det första testet. Således händelser och oberoende.

Flera evenemang kallas kollektivt oberoende , om någon av dem inte beror på någon annan händelse och på någon kombination av de andra.

Händelserna kallas beroende , om en av dem påverkar sannolikheten att den andra inträffar. Till exempel är två produktionsanläggningar sammankopplade av en enda teknisk cykel. Då beror sannolikheten för misslyckande för en av dem på den andras tillstånd. Sannolikheten för en händelse, beräknad under antagande av att en annan händelse inträffar, kallas betingad sannolikhet händelser och betecknas med .

Villkoret för oberoende av en händelse från en händelse skrivs i formen, och villkoret för dess beroende - i formen. Betrakta ett exempel på att beräkna den villkorade sannolikheten för en händelse.

Exempel 4 Det finns 5 framtänder i lådan: två slitna och tre nya. Två på varandra följande utdragningar av framtänder görs. Bestäm den villkorade sannolikheten för utseendet av en sliten fräs under den andra extraktionen, förutsatt att fräsen som togs bort för första gången inte återförs till lådan.

Lösning. Låt oss beteckna utvinningen av en sliten fräs i det första fallet, och - utvinningen av en ny. Sedan . Eftersom den borttagna fräsen inte återförs till lådan ändras förhållandet mellan antalet slitna och nya fräsar. Därför beror sannolikheten för att ta bort en sliten fräs i det andra fallet på vilken händelse som ägde rum innan.

Låt oss beteckna den händelse som innebär utdragning av den slitna fräsen i det andra fallet. Sannolikheterna för denna händelse är:

Därför beror sannolikheten för en händelse på om händelsen inträffade eller inte.

Sannolikhetstäthet- ett av sätten att sätta ett sannolikhetsmått på det euklidiska rummet. I det fall då sannolikhetsmåttet är fördelningen av en stokastisk variabel talar man om densitetslumpvariabel.

Sannolikhetstäthet Låta vara ett sannolikhetsmått på, det vill säga ett sannolikhetsutrymme definieras, där betecknar Borel σ-algebra på. Låt beteckna Lebesgue mått på.

Definition 1. Sannolikheten kallas absolut kontinuerlig (med avseende på Lebesgue-måttet) () om någon Borel-uppsättning med noll Lebesgue-mått också har sannolikheten noll:

Om sannolikheten är absolut kontinuerlig, så finns det enligt Radon-Nikodyms sats en icke-negativ Borel-funktion så att

där den vanliga förkortningen används , och integralen förstås i betydelsen Lebesgue.

Definition 2. Mer generellt, låt vara ett godtyckligt mätbart utrymme, och låt och vara två mått på detta utrymme. Om det finns en icke-negativ , som gör det möjligt att uttrycka måttet i termer av måttet i formuläret

då anropas denna funktion mäta densitet som , eller derivat av Radon-Nikodim mäta med avseende på mäta , och beteckna

Om, vid inträffandet av en händelse, sannolikheten för en händelse inte förändras, då händelserna och kallad självständig.

Sats:Sannolikhet för gemensam förekomst av två oberoende händelser och (Arbetar och ) är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser.

Faktiskt sedan utvecklingen och oberoende alltså
. I detta fall formeln för sannolikheten för en produkt av händelser och tar formen.

Utvecklingen
kallad parvis oberoende om två av dem är oberoende.

Utvecklingen
kallad kollektivt oberoende (eller helt enkelt oberoende), om varannan av dem är oberoende och varje händelse och alla möjliga produkter av de andra är oberoende.

Sats:Sannolikhet för produkten av ett ändligt antal oberoende händelser i aggregatet
är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser.

Låt oss illustrera skillnaden i tillämpningen av händelsesannolikhetsformlerna för beroende och oberoende händelser med hjälp av exempel

Exempel 1. Sannolikheten att den första skytten träffar målet är 0,85, den andra är 0,8. Vapnen avlossade ett skott i taget. Vad är sannolikheten att minst en projektil träffar målet?

Lösning: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Eftersom skotten är oberoende, då

P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0,97

Exempel 2. En urna innehåller 2 röda och 4 svarta kulor. 2 bollar tas ur den i rad. Vad är sannolikheten att båda bollarna är röda.

Lösning: 1 fall. Händelse A - uppkomsten av en röd boll vid den första borttagningen, händelse B - vid den andra. Händelse C är uppkomsten av två röda bollar.

P(C) \u003d P (A) * P (B/A) \u003d (2/6) * (1/5) \u003d 1/15

2:a fallet. Den första bollen som dras återförs till korgen.

P(C) \u003d P (A) * P (B) \u003d (2/6) * (2/6) \u003d 1/9

Total sannolikhetsformel.

Låt evenemanget kan bara hända med en av de inkompatibla händelserna
bildar en komplett grupp. Till exempel får butiken samma produkter från tre företag och i olika kvantiteter. Sannolikheten för att producera lågkvalitativa produkter på dessa företag är olika. En av produkterna är slumpmässigt utvalda. Det är nödvändigt att fastställa sannolikheten för att denna produkt är av dålig kvalitet (händelse ). Händelser här
- detta är valet av en produkt från produkterna från motsvarande företag.

I det här fallet, sannolikheten för händelsen kan betraktas som summan av produkter av händelser
.

Genom additionssatsen för sannolikheterna för oförenliga händelser får vi
. Med hjälp av sfinner vi

Den resulterande formeln kallas formel för total sannolikhet.

Bayes formel

Låt evenemanget sker samtidigt som en av oförenliga händelser
, vars sannolikheter
(
) är kända innan erfarenhet ( a priori sannolikheter). Ett experiment utförs, som ett resultat av vilket inträffandet av en händelse registreras , och det är känt att denna händelse hade vissa villkorade sannolikheter
(
). Det krävs för att hitta sannolikheterna för händelser
om händelsen är känd hände ( a posteriori sannolikheter).

Problemet är att ha ny information(händelse A hände), måste du omvärdera sannolikheterna för händelser
.

Baserat på satsen om sannolikheten för produkten av två händelser

Den resulterande formeln kallas Bayes formler.

Grundläggande begrepp inom kombinatorik.

När man löser ett antal teoretiska och praktiska problem krävs det att man gör olika kombinationer av en ändlig uppsättning element enligt givna regler och att man räknar antalet av alla möjliga sådana kombinationer. Sådana uppgifter kallas kombinatorisk.

När man löser problem använder kombinatoriken reglerna för summa och produkt.

Allmänt om problemet: sannolikheterna för vissa händelser är kända, men sannolikheterna för andra händelser som är förknippade med dessa händelser måste beräknas. I dessa problem finns det ett behov av sådana operationer på sannolikheter som addition och multiplikation av sannolikheter.

Till exempel avlossades två skott under jakt. Händelse A- slå en anka från första skottet, händelse B- träffade från det andra skottet. Sedan summan av händelser A och B- träffa från första eller andra skottet eller från två skott.

Uppgifter av en annan typ. Flera händelser ges, till exempel kastas ett mynt tre gånger. Det krävs att man hittar sannolikheten att antingen alla tre gångerna vapnet kommer att falla ut, eller att vapnet faller ut minst en gång. Detta är ett multiplikationsproblem.

Tillägg av sannolikheter för oförenliga händelser

Sannolikhetsaddition används när det är nödvändigt att beräkna sannolikheten för en kombination eller en logisk summa av slumpmässiga händelser.

Summan av händelser A och B beteckna A + B eller A ∪ B. Summan av två händelser är en händelse som inträffar om och endast om minst en av händelserna inträffar. Det betyder att A + B- en händelse som inträffar om och endast om en händelse inträffar under observationen A eller händelse B, eller samtidigt A och B.

Om händelser A och Bär ömsesidigt inkonsekventa och deras sannolikheter är givna, så beräknas sannolikheten att en av dessa händelser inträffar som ett resultat av ett försök med hjälp av tillägg av sannolikheter.

Teoremet om addition av sannolikheter. Sannolikheten att en av två ömsesidigt inkompatibla händelser inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:

Till exempel avlossades två skott under jakt. Händelse MEN– slå en anka från det första skottet, händelse PÅ– träff från det andra skottet, händelse ( MEN+ PÅ) - träff från första eller andra skottet eller från två skott. Så om två händelser MEN och PÅär alltså oförenliga händelser MEN+ PÅ- förekomsten av minst en av dessa händelser eller två händelser.

Exempel 1 En låda innehåller 30 bollar av samma storlek: 10 röda, 5 blå och 15 vita. Beräkna sannolikheten att en färgad (inte vit) boll tas utan att titta.

Lösning. Låt oss anta att händelsen MEN– "den röda bollen är tagen", och händelsen PÅ- "Den blå bollen är tagen." Sedan är händelsen "en färgad (inte vit) boll tas". Hitta sannolikheten för en händelse MEN:

och evenemang PÅ:

Utvecklingen MEN och PÅ- ömsesidigt oförenligt, eftersom om en boll tas kan bollar av olika färg inte tas. Därför använder vi tillägg av sannolikheter:

Teoremet om addition av sannolikheter för flera inkompatibla händelser. Om händelserna utgör den fullständiga uppsättningen av händelser, är summan av deras sannolikheter lika med 1:

Summan av sannolikheterna för motsatta händelser är också lika med 1:

Motsatta händelser bildar en komplett uppsättning händelser, och sannolikheten för en fullständig uppsättning händelser är 1.

Sannolikheterna för motsatta händelser anges vanligtvis med små bokstäver. sid och q. Särskilt,

varifrån följande formler för sannolikheten för motsatta händelser följer:

Exempel 2 Målet i strecket är uppdelat i 3 zoner. Sannolikheten att en viss skytt kommer att skjuta på ett mål i den första zonen är 0,15, i den andra zonen - 0,23, i den tredje zonen - 0,17. Hitta sannolikheten att skytten träffar målet och sannolikheten att skytten missar målet.

Lösning: Hitta sannolikheten att skytten träffar målet:

Hitta sannolikheten att skytten missar målet:

Svårare uppgifter där du behöver tillämpa både addition och multiplikation av sannolikheter - på sidan "Olika uppgifter för addition och multiplikation av sannolikheter" .

Tillägg av sannolikheter för ömsesidigt gemensamma händelser

Två slumpmässiga händelser sägs vara gemensamma om förekomsten av en händelse inte utesluter att en andra händelse inträffar i samma observation. Till exempel när man kastar en tärning, händelsen MEN anses vara förekomsten av siffran 4 och händelsen PÅ- ta bort ett jämnt tal. Eftersom siffran 4 är ett jämnt tal är de två händelserna kompatibla. I praktiken finns det uppgifter för att beräkna sannolikheterna för att någon av de ömsesidigt gemensamma händelserna ska inträffa.

Teoremet om addition av sannolikheter för gemensamma händelser. Sannolikheten att en av de gemensamma händelserna inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser, från vilken sannolikheten för den gemensamma förekomsten av båda händelserna subtraheras, det vill säga produkten av sannolikheterna. Formeln för sannolikheterna för gemensamma händelser är följande:

Eftersom händelserna MEN och PÅ kompatibel, händelse MEN+ PÅ inträffar om en av tre möjliga händelser inträffar: eller AB. Enligt satsen om addition av inkompatibla händelser, beräknar vi enligt följande:

Händelse MEN inträffar om en av två inkompatibla händelser inträffar: eller AB. Sannolikheten för att en händelse inträffar från flera inkompatibla händelser är dock lika med summan av sannolikheterna för alla dessa händelser:

Liknande:

Genom att ersätta uttryck (6) och (7) med uttryck (5), får vi sannolikhetsformeln för gemensamma händelser:

När man använder formel (8) bör man ta hänsyn till att händelserna MEN och PÅ kan vara:

ömsesidigt oberoende;
ömsesidigt beroende.

Sannolikhetsformel för ömsesidigt oberoende händelser:

Sannolikhetsformel för ömsesidigt beroende händelser:

Om händelser MEN och PÅär inkonsekventa, så är deras sammanträffande ett omöjligt fall och därför P(AB) = 0. Den fjärde sannolikhetsformeln för inkompatibla händelser är följande:

Exempel 3 I autoracing, när du kör i den första bilen, sannolikheten att vinna, när du kör i den andra bilen. Hitta:

sannolikheten att båda bilarna vinner;
sannolikheten att minst en bil vinner;

1) Sannolikheten att den första bilen vinner beror inte på resultatet av den andra bilen, så händelserna MEN(första bilen vinner) och PÅ(andra bilen vinner) - oberoende evenemang. Hitta sannolikheten att båda bilarna vinner:

2) Hitta sannolikheten att en av de två bilarna vinner:

Svårare uppgifter där du behöver tillämpa både addition och multiplikation av sannolikheter - på sidan "Olika uppgifter för addition och multiplikation av sannolikheter" .

Lös problemet med addition av sannolikheter själv och titta sedan på lösningen

Exempel 4 Två mynt kastas. Händelse A- förlust av vapen på det första myntet. Händelse B- förlust av vapen på det andra myntet. Hitta sannolikheten för en händelse C = A + B .

Sannolikhetsmultiplikation

Multiplikation av sannolikheter används när sannolikheten för en logisk produkt av händelser ska beräknas.

I det här fallet måste slumpmässiga händelser vara oberoende. Två händelser sägs vara ömsesidigt oberoende om förekomsten av en händelse inte påverkar sannolikheten för att den andra händelsen inträffar.

Sannolikhetsmultiplikationssats för oberoende händelser. Sannolikheten för att två oberoende händelser inträffar samtidigt MEN och PÅär lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser och beräknas med formeln:

Exempel 5 Myntet kastas tre gånger i rad. Hitta sannolikheten att vapnet kommer att falla ut alla tre gångerna.

Lösning. Sannolikheten att vapnet kommer att falla vid första slängningen av ett mynt, andra gången och tredje gången. Hitta sannolikheten för att vapnet kommer att falla ut alla tre gångerna:

Lös problem för att multiplicera sannolikheter själv och titta sedan på lösningen

Exempel 6 Det finns en låda med nio nya tennisbollar. Tre bollar tas till spelet, efter matchen läggs de tillbaka. När de väljer bollar skiljer de inte mellan spelade och ospelade bollar. Vad är sannolikheten att efter tre matcher kommer det inte finnas några ospelade bollar i boxen?

Exempel 7 32 bokstäver i det ryska alfabetet är skrivna på klippta alfabetskort. Fem kort dras slumpmässigt, det ena efter det andra, och läggs på bordet i den ordning de visas. Hitta sannolikheten att bokstäverna kommer att bilda ordet "slut".

Exempel 8 Från en full kortlek (52 ark) tas fyra kort ut på en gång. Hitta sannolikheten att alla fyra av dessa kort är av samma färg.

Exempel 9 Samma problem som i exempel 8, men varje kort återförs till leken efter att ha dragits.

Mer komplexa uppgifter, där du behöver tillämpa både addition och multiplikation av sannolikheter, samt beräkna produkten av flera händelser - på sidan "Olika uppgifter för addition och multiplikation av sannolikheter" .

Sannolikheten att åtminstone en av de ömsesidigt oberoende händelserna inträffar kan beräknas genom att subtrahera produkten av sannolikheterna för motsatta händelser från 1, det vill säga med formeln.