Villkorlig sannolikhet. Villkorlig sannolikhet och de enklaste grundformlerna. Teoremet om multiplikation av sannolikheter för händelser, varav den ena äger rum under den andras villkor

4. Villkorlig sannolikhet. Sannolikhetsmultiplikationssats.

I många problem är det nödvändigt att hitta sannolikheten för att kombinera händelser MEN och PÅ om sannolikheterna för händelser är kända MEN och PÅ.

Betrakta följande exempel. Låt två mynt kastas. Hitta sannolikheten för uppkomsten av två vapensköldar. Vi har fyra lika troliga parvis inkompatibla utfall som bildar en komplett grupp:

Låt oss nu veta att vapnet föll på det första myntet. Hur kommer sannolikheten att vapnet kommer att synas på båda mynten förändras efter detta? Eftersom vapnet föll på det första myntet, består nu hela gruppen av två lika troliga inkompatibla utfall:

sannolikhet för ny händelse MEN, förutsatt att en händelse har inträffat B, kommer vi att beteckna P B (A).

På det här sättet, P(A)=1/4; P B (A) \u003d 1/2

Multiplikationssats. Sannolikheten för att kombinera händelser A och B är lika med produkten av sannolikheten för en av dem med den villkorliga sannolikheten för den andra, beräknad på antagandet att den första händelsen har ägt rum, dvs.

Bevis. Låt oss bevisa giltigheten av relation (4) baserat på den klassiska definitionen av sannolikhet. Låt de möjliga resultaten E 1, E 2, ..., E N av denna erfarenhet bildar en komplett grupp av lika troliga parvis inkompatibla händelser, varav händelsen A förmån M resultat, och låt från dessa M resultat L resultat gynnar evenemanget B. Uppenbarligen kombinationen av händelser A och B förmån L från N möjliga testresultat. Detta ger ; ;
På det här sättet,
Byter plats A och B, på samma sätt får vi
Multiplikationssatsen kan lätt generaliseras till valfritt ändligt antal händelser. Så till exempel vid tre händelser A 1, A2, A 3 vi har *
I allmänhet

Av relation (6) följer att av två likheter (8) är den ena en följd av den andra.

Låt till exempel händelsen A- utseendet på vapenskölden under en enda myntkastning och händelsen B- utseendet på ett kort i en diamantfärg när ett kort tas bort från leken. Uppenbarligen händelserna A och B självständig.

Om händelserna är oberoende A till B formel (4) kommer att ha en enklare form:

* Event A 1 A 2 A 3 kan representeras som en kombination av två händelser: händelser C=A1A2 och evenemang A 3.

Tänk på händelser A och B förknippas med samma upplevelse. Låt det bli känt från några källor att händelsen B inträffade, men det är inte känt vilket av de elementära utfall som utgör händelsen B, hände. Vad kan man säga i det här fallet om sannolikheten för en händelse A?

Sannolikhet för händelse A, beräknat under antagandet att händelsen B hänt, är det vanligt att kalla den betingade sannolikheten och beteckna P(A|B).

betingad sannolikhet P(A|B) utvecklingen A beroende av händelsen B inom ramen för det klassiska schemat är det naturligt att definiera sannolikheten som förhållandet HAFFA resultat som gynnar ett gemensamt genomförande av evenemang A och B, till numret OBS! resultat som gynnar evenemanget B, det är

Om vi ​​dividerar täljaren och nämnaren för detta uttryck med det totala antalet N elementära resultat, får vi

Definition. Villkorlig sannolikhet för en händelse A beroende av händelsen B kallas förhållandet mellan sannolikheten för skärningspunkten av händelser A och B till sannolikheten för en händelse B:

Samtidigt förutsätts det P(B) ≠ 0.

Sats. Villkorlig sannolikhet P(A|B) har alla egenskaper av ovillkorlig sannolikhet P(A).

Innebörden av detta teorem är att den villkorade sannolikheten är den ovillkorliga sannolikheten som ges på det nya utrymmet Ω 1 elementära resultat som sammanfaller med händelsen B.

Exempel. Från urnan i vilken a=7 vit sand b=3 svarta bollar, två bollar dras slumpmässigt utan ersättning. Låt evenemanget A 1är att den första kulan som dras är vit, och A2- den andra bollen är vit. Ville hitta P(A 2 |A 1).

Metod 1.. Per definition av betingad sannolikhet

Metod 2.. Låt oss gå vidare till ett nytt utrymme av elementära resultat Ω 1. Sedan händelsen A 1 hände, betyder detta att i det nya rummet av elementära utfall, det totala antalet lika möjliga utfall NQi =a+b-1=9 och händelsen A2 gynnar det N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 resultat. Följaktligen,

Sats [multiplikation av sannolikheter]. Låt evenemanget A=A 1 A 2 …A n och P(A)>0. Då är jämställdheten sann:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 | A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

Kommentar. Från kommutativitetsegenskapen för en korsning kan man skriva

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 | A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 | A 2).

Exempel. Bokstäver som bildar ordet "NIGHTINGALE" är skrivna på 7 kort. Korten blandas och tre kort tas slumpmässigt bort från dem och läggs ut från vänster till höger. Hitta sannolikheten för att ordet "VOL" kommer att erhållas (händelsen A).

Låt evenemanget A 1- bokstaven "B" är skriven på det första kortet, A2- bokstaven "O" är skriven på det andra kortet, A2- på det tredje kortet - bokstaven "L". Sedan händelsen A- korsning av händelser A 1, A2, A 3. Följaktligen,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 | A 1) P(A 3 | A 1 A 2).

P(Al)=1/7; om händelse A 1 hände, sedan på de återstående 6 korten förekommer "O" två gånger, vilket betyder P(A2 |A1)=2/6=1/3. Likaså, P(A3 |A1)=2/6=1/3. Följaktligen,

Definition. Utvecklingen A och B, som har en sannolikhet som inte är noll, kallas oberoende om den villkorade sannolikheten A På villkor B sammanfaller med den ovillkorliga sannolikheten A eller om den villkorade sannolikheten B På villkor A sammanfaller med den ovillkorliga sannolikheten B, det är

P(A|B) = P(A) eller P(B|A) = P(B),

annars händelserna A och B kallas beroende.

Sats. Utvecklingen A och B, som har en sannolikhet som inte är noll, är oberoende om och endast om

P(AB) = P(A) P(B).

Därför kan vi ge en motsvarande definition:

Definition. Utvecklingen A och B kallas oberoende if P(AB) = P(A) P(B).

Exempel. Från en kortlek som innehåller n=36 kort dras ett kort slumpmässigt. Beteckna med A en händelse som motsvarar det faktum att den extraherade kartan kommer att vara en topp, och B- en händelse som motsvarar utseendet på en "dam". Bestäm om händelser är beroende A och B.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . Därför händelserna A och B självständig. Likaså, .

Låta MEN och PÅär de två händelserna som beaktas i detta test. I det här fallet kan förekomsten av en av händelserna påverka möjligheten att en annan inträffar. Till exempel förekomsten av en händelse MEN kan påverka händelsen PÅ eller tvärtom. För att ta hänsyn till ett sådant beroende av vissa händelser av andra, introduceras begreppet betingad sannolikhet.

Definition. Om sannolikheten för en händelse PÅär beläget under förutsättning att evenemanget MEN hände, sedan den resulterande sannolikheten för händelsen PÅ kallad betingad sannolikhet utvecklingen PÅ. Följande symboler används för att beteckna en sådan villkorad sannolikhet: R MEN ( PÅ) eller R(AT / MEN).

Anmärkning 2. I motsats till den villkorade sannolikheten beaktas även den "ovillkorliga" sannolikheten när några villkor för att någon händelse inträffar PÅ saknas.

Exempel. En urna innehåller 5 kulor, varav 3 är röda och 2 är blå. I sin tur dras en boll från den med en retur och utan en retur. Hitta den betingade sannolikheten för att dra en röd boll för andra gången, förutsatt att den första tiden som tas är: a) en röd boll; b) en blå boll.

Låt evenemanget MEN drar den röda bollen för första gången, och händelsen PÅ– dra ut den röda bollen för andra gången. Det är uppenbart R(MEN) = 3/5; sedan i det fall när bollen som tas ut för första gången återförs till urnan, R(PÅ)=3/5. I fallet när den dragna bollen inte returneras, sannolikheten för att dra en röd boll R(PÅ) beror på vilken boll som drogs för första gången - röd (händelse MEN) eller blå (händelse). Sedan i det första fallet R MEN ( PÅ) = 2/4, och i den andra ( PÅ) = 3 / 4.

Teoremet om multiplikation av sannolikheter för händelser, varav den ena äger rum under den andras villkor

Sannolikheten för produkten av två händelser är lika med produkten av sannolikheten för en av dem med den villkorliga sannolikheten för den andra, som finns under antagandet att den första händelsen inträffade:

R(A ∙ B) = R(MEN) ∙ R MEN ( PÅ) . (1.7)

Bevis. Verkligen, låt n- det totala antalet lika sannolika som oförenliga (elementära) resultat av testet. Släpp det n 1 - antalet utfall som gynnar händelsen MEN, som inträffar i början, och m- antalet utfall där händelsen inträffar PÅ förutsatt att händelsen MEN har kommit. På det här sättet, mär antalet utfall som gynnar händelsen PÅ. Sedan vi får:

De där. sannolikheten för produkten av flera händelser är lika med produkten av sannolikheten för en av dessa händelser med de villkorliga sannolikheterna för de andra, och den villkorade sannolikheten för varje efterföljande händelse beräknas på antagandet att alla tidigare händelser har inträffat.

Exempel. Det finns 4 mästare i sport i ett lag på 10 idrottare. Genom lottning utses 3 idrottare från laget. Vad är sannolikheten att alla utvalda idrottare är mästare i sport?

Lösning. Låt oss reducera problemet till ”urn”-modellen, dvs. Låt oss anta att det finns 4 röda kulor och 6 vita i en urna som innehåller 10 kulor. 3 bollar dras slumpmässigt från denna urna (val S= 3). Låt evenemanget MEN består i att extrahera 3 bollar. Problemet kan lösas på två sätt: med det klassiska schemat och med formeln (1.9).

Den första metoden baserad på kombinatorikformeln:

Den andra metoden (genom formel (1.9)). 3 bollar dras i följd från urnan utan ersättning. Låta MEN 1 - den första dragna bollen är röd, MEN 2 - den andra dragna bollen är röd, MEN 3 - den tredje dragna bollen är röd. Låt också evenemanget MEN betyder att alla 3 dragna bollar är röda. Sedan: MEN = MEN 1 ∙ (MEN 2 / MEN 1) ∙ MEN 3 / (MEN 1 ∙ MEN 2), dvs.

Exempel. Låt från uppsättningen kort a, a, r, b, o, t korten dras ett i taget. Vad är sannolikheten att få ordet " Arbete” när du sekventiellt viker dem till en rad från vänster till höger?

Låta PÅ- den händelse vid vilken det deklarerade ordet erhålls. Sedan får vi med formeln (1.9):

R(PÅ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Star sin enklaste form när produkten bildas av händelser oberoende av varandra.

Definition. Händelse PÅ kallad självständig från evenemanget MEN om dess sannolikhet inte förändras oavsett om händelsen inträffade MEN eller inte. Två händelser kallas oberoende (beroende) om förekomsten av en av dem inte ändrar (ändrar) sannolikheten för att den andra inträffar. Alltså för inte beroende händelser p(B/A) = R(PÅ) eller = R(PÅ), och för beroende händelser R(PÅ/A)

Händelse. Utrymme av elementära händelser. Viss händelse, omöjlig händelse. Gemensamma, icke-gemensamma evenemang. Motsvarande händelser. Komplett grupp av evenemang. Operationer på evenemang.

Händelseär ett fenomen som kan sägas vara pågår eller händer inte, beroende på själva händelsens karaktär.

Under elementära händelser associerade med ett visst test förstår alla oupplösliga resultat av det testet. Varje händelse som kan inträffa som ett resultat av detta test kan betraktas som en viss uppsättning elementära händelser.

Utrymme av elementära händelser kallas en godtycklig mängd (ändlig eller oändlig). Dess element är punkter (elementära händelser). Delmängder av utrymmet av elementära händelser kallas händelser.

en viss händelse en händelse anropas som, som ett resultat av detta test, definitivt kommer att inträffa; (betecknad med E).

Omöjlig händelse en händelse kallas en sådan händelse som, som ett resultat av ett givet test kan inte hända; (betecknad U). Till exempel utseendet på en av de sex poängen under ett kast tärningar- en pålitlig händelse, och utseendet på 8 poäng är omöjligt.

De två händelserna kallas gemensam(kompatibel) i en given upplevelse, om utseendet på en av dem inte utesluter utseendet på den andra.

De två händelserna kallas oförenlig(inkompatibla) i en given prövning om de inte kan förekomma tillsammans i samma prövning. Flera händelser sägs vara oförenliga om de är parvis inkompatibla.

Form start

Slut på formuläret

Ämne nummer 2. Axiomatisk definition av sannolikhet. Klassisk, statistisk, geometrisk definition av sannolikheten för en händelse. Sannolikhetsegenskaper. Teorem om addition och multiplikation av sannolikheter. oberoende evenemang. Villkorlig sannolikhet. Sannolikheten att minst en av händelserna inträffar. Total sannolikhetsformel. Bayes formel

Ett numeriskt mått på graden av objektiv möjlighet att en händelse inträffar kallas sannolikheten för en händelse. Denna definition, som kvalitativt återspeglar begreppet sannolikhet för en händelse, är inte matematisk. För att göra det så är det nödvändigt att definiera det kvalitativt.

Enligt klassisk definition sannolikheten för händelse A är lika med förhållandet mellan antalet fall som är gynnsamt för den och det totala antalet fall, det vill säga:

Där P(A) är sannolikheten för händelse A.

Antal fall som gynnar händelse A

Det totala antalet fall.

Statistisk definition av sannolikhet:

Den statistiska sannolikheten för en händelse A är den relativa frekvensen av att denna händelse inträffar i de utförda testerna, det vill säga:

Var är den statistiska sannolikheten för händelse A.

Relativ frekvens (frekvens) av händelsen A.

Antal försök där händelser A förekom

Det totala antalet försök.

Till skillnad från den "matematiska" sannolikheten, betraktad i den klassiska definitionen, är den statistiska sannolikheten en egenskap hos en experimentell, experimentell.

Om det finns en andel av fallen som gynnar händelse A, vilket avgörs direkt, utan några rättegångar, det vill säga andelen av de rättegångar som faktiskt utförts där händelse A uppträdde.

Geometrisk definition av sannolikhet:

Den geometriska sannolikheten för en händelse A är förhållandet mellan måttet på arean som gynnar förekomsten av händelse A och måttet på alla områden, det vill säga:

I det endimensionella fallet:

Det är nödvändigt att uppskatta sannolikheten för att träffa en punkt på CD/

Det visar sig att denna sannolikhet inte beror på platsen för CD på segmentet AB, utan beror bara på dess längd.

Sannolikheten att träffa en punkt beror inte på formerna eller på platsen för B på A, utan beror bara på området för detta segment.

Villkorlig sannolikhet

Sannolikheten kallas villkorlig , om den beräknas under vissa förutsättningar och betecknas:

Detta är sannolikheten för händelse A. Den beräknas under förutsättning att händelse B redan har inträffat.

Exempel. Vi gör ett test, vi extraherar två kort från leken: Den första sannolikheten är ovillkorlig.

Vi beräknar sannolikheten att dra ett ess från kortleken:

Vi beräknar förekomsten av 2-ess från kortleken:

A*B - gemensam händelse av händelser

– sannolikhetsmultiplikationssats

Följd:

Multiplikationssatsen för den gemensamma förekomsten av händelser har formen:

Det vill säga att varje efterföljande sannolikhet beräknas med hänsyn till att alla tidigare förhållanden redan har inträffat.

Eventoberoende:

Två händelser kallas oberoende om förekomsten av den ena inte motsäger förekomsten av den andra.

Till exempel, om ess dras upprepade gånger från kortleken är de oberoende av varandra. Återigen, det vill säga att kortet tittades på och återfördes tillbaka till leken.

Gemensamma och icke-gemensamma evenemang:

gemensam 2 händelser kallas om förekomsten av en av dem inte motsäger förekomsten av den andra.

Teoremet om addition av sannolikheter för gemensamma händelser:

Sannolikheten för att en av de två gemensamma händelserna ska inträffa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser utan att de inträffar gemensamt.

För tre gemensamma evenemang:

Händelser kallas inkonsekventa om inte två av dem kan dyka upp samtidigt som ett resultat av ett enda test av ett slumpmässigt experiment.

Sats: Sannolikheten för att en av två inkompatibla händelser inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser.

Sannolikheten för summan av händelser:

Sannolikhetsadditionssats:

Sannolikheten för summan av ett ändligt antal inkompatibla händelser är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:

Resultat 1:

Summan av sannolikheterna för händelser som bildar en komplett grupp är lika med en:

Resultat 2:

Kommentar: Det bör betonas att den övervägda additionssatsen endast är tillämplig för inkompatibla händelser.

Sannolikhet för motsatta händelser:

Motsatt två unika möjliga händelser som bildar en komplett grupp kallas. En av två motsatta händelser betecknas med MEN, den andra - genom .

Exempel: Att träffa och missa när man skjuter mot ett mål är motsatta händelser. Om A är en träff, då en miss.

Sats: Summan av sannolikheterna för motsatta händelser är lika med en:

Anteckning 1: Om sannolikheten för en av två motsatta händelser betecknas med p, så betecknas sannolikheten för den andra händelsen med q Således, i kraft av föregående sats:

Anteckning 2: När man löser problem för att hitta sannolikheten för en händelse A är det ofta fördelaktigt att först beräkna sannolikheten för händelsen och sedan hitta den önskade sannolikheten med formeln:

Sannolikhet för att minst en händelse inträffar:

Låt oss anta att som ett resultat av ett experiment ett kan någon del eller ingen händelse dyka upp.

Sats: Sannolikheten för att minst en händelse från en uppsättning oberoende händelser inträffar är lika med skillnaden mellan enhet och deras sannolikhet att inte inträffa.

Formeln för total sannolikhet låter dig hitta sannolikheten för en händelse A, som endast kan förekomma med var och en av nömsesidigt uteslutande händelser som bildar ett komplett system om deras sannolikheter är kända, och betingade sannolikheter utvecklingen A med avseende på var och en av händelserna i systemet är lika med .

Händelser kallas också för hypoteser, de utesluter varandra. Därför kan du i litteraturen också hitta deras beteckning inte med bokstaven B, men med ett brev H(hypotes).

För att lösa problem med sådana förhållanden är det nödvändigt att överväga 3, 4, 5 eller i det allmänna fallet n möjligheten till ett evenemang A- med varje event.

Med hjälp av satserna för addition och multiplikation av sannolikheter får vi summan av produkterna av sannolikheten för var och en av systemets händelser genom att betingad sannolikhet utvecklingen A för varje händelse i systemet. Det vill säga sannolikheten för en händelse A kan beräknas med formeln

eller i allmänhet

,

som kallas formel för total sannolikhet .

Total sannolikhetsformel: exempel på problemlösning

Exempel 1 Det finns tre identiska urnor: i den första finns det 2 vita bollar och 3 svarta, i den andra - 4 vita och en svart, i den tredje - tre vita bollar. Någon går slumpmässigt fram till en av urnorna och tar en boll ur den. Utnyttja formel för total sannolikhet, hitta sannolikheten att bollen är vit.

Lösning. Händelse A- utseendet på en vit boll. Vi lägger fram tre hypoteser:

Första urnan vald;

Den andra urnan väljs;

Den tredje urnan är vald.

Sannolikheter för villkorad händelse A för var och en av hypoteserna:

, , .

Vi tillämpar den totala sannolikhetsformeln, som ett resultat - den nödvändiga sannolikheten:

.

Exempel 2 Vid den första anläggningen, av varje 100 glödlampor, produceras i genomsnitt 90 standardglödlampor, vid den andra - 95, vid den tredje - 85, och produkterna från dessa fabriker står för 50%, 30% och 20%, av alla elektriska glödlampor som levereras till butiker i ett visst område. Hitta sannolikheten för att köpa en vanlig glödlampa.

Lösning. Låt oss beteckna sannolikheten för att skaffa en vanlig glödlampa som A, och händelserna att den köpta glödlampan tillverkades vid första, andra respektive tredje fabriken genom . Genom villkor är sannolikheterna för dessa händelser kända: , , och de villkorade sannolikheterna för händelsen A angående var och en av dem: , , . Dessa är sannolikheterna för att skaffa en vanlig glödlampa, förutsatt att den tillverkas i den första, andra respektive tredje fabriken.

Händelse A kommer att inträffa om en händelse inträffar eller K- glödlampan är gjord på den första fabriken och är standard, eller ett event L- glödlampan är gjord på den andra fabriken och är standard, eller ett event M- lampan tillverkas i den tredje fabriken och är standard. Andra möjligheter för händelsens inträffande A Nej. Därför händelsen Aär summan av händelser K, L och M som är oförenliga. Genom att tillämpa sannolikhetsadditionssatsen representerar vi sannolikheten för en händelse A som

och genom sfår vi

det är, ett specialfall av totalsannolikhetsformeln.

Genom att ersätta sannolikheterna i formelns vänstra sida får vi sannolikheten för händelsen A :

Exempel 3 Flygplanet landar på flygplatsen. Om vädret tillåter landar piloten planet, med hjälp av, förutom instrument, även visuell observation. I det här fallet är sannolikheten för en lyckad landning . Om flygfältet är mulet med låga moln, landar piloten planet och orienterar sig bara på instrument. I det här fallet är sannolikheten för en lyckad landning ; . Enheter som ger blindlandning har tillförlitlighet (sannolikhet för felfri drift) P. I närvaro av låg molnighet och misslyckade blindlandningsinstrument är sannolikheten för en lyckad landning ; . Statistik visar att i k% av landningarna är flygfältet täckt av låga moln. Hitta full sannolikhet för händelsen A- säker landning av flygplanet.

Lösning. Hypoteser:

Det finns inget lågt molntäcke;

Det är lågt molntäcke.

Sannolikheterna för dessa hypoteser (händelser):

;

Villkorlig sannolikhet.

Den betingade sannolikheten återfinns av formeln för den totala sannolikheten med hypoteser

Blindlandningsanordningar fungerar;

Blindlandningsinstrument misslyckades.

Sannolikheterna för dessa hypoteser är:

Enligt totalsannolikhetsformeln

Exempel 4 Enheten kan fungera i två lägen: normal och onormal. Normalt läge observeras i 80% av alla fall av drift av enheten och onormalt - i 20% av fallen. Sannolikhet för enhetsfel inom en viss tid t lika med 0,1; i onormala 0,7. Hitta full sannolikhet enhetsfel i tid t.

Lösning. Vi betecknar återigen sannolikheten för enhetsfel som A. Så när det gäller driften av enheten i varje läge (händelser), är sannolikheterna kända av tillstånd: för det normala läget är det 80% (), för det onormala läget - 20% (). Sannolikhet för händelse A(det vill säga fel på enheten) beroende på den första händelsen (normalt läge) är 0,1 (); beroende på den andra händelsen (onormalt läge) - 0,7 ( ). Vi ersätter dessa värden i den totala sannolikhetsformeln (det vill säga summan av produkterna av sannolikheten för var och en av händelserna i systemet och den villkorade sannolikheten för händelsen A angående var och en av händelserna i systemet) och vi har det önskade resultatet.