Zabavna logika u matematici. Zabavna logika Matematička logička pitanja

1. Objašnjenje
1.1 Relevantnost
1.2 Svrha programa
1.3 Ciljevi programa
1.4 Uslovi realizacije programa, uzrast dece, oblici izvođenja nastave
1.5 Faze implementacije programa
1.6 Sadržaj programa
1.7 Očekivani rezultati

2. Metodološka podrška
2.1 Perspektivno-tematski plan kruga " Zabavna logika»

3. Dijagnostički program za logičko mišljenje djece starijeg predškolskog uzrasta.

5. Izvori informacija

1. Objašnjenje.
Čemu logika za malog predškolca?
Prema L. A. Wengeru, „za petogodišnju djecu očito nije dovoljna samo vanjska svojstva stvari. Oni su prilično spremni da se postepeno upoznaju ne samo sa vanjskim, već i sa unutrašnjim, skrivenim svojstvima i odnosima koji su u osnovi naučnih saznanja o svijetu... Sve će to biti od koristi mentalni razvoj dijete samo ako je obuka usmjerena na razvoj mentalnih sposobnosti, onih sposobnosti u području percepcije, maštovitog mišljenja, mašte, koje se zasnivaju na asimilaciji uzoraka vanjskih svojstava stvari i njihovih varijanti..."
Veštine koje dete stekne u predškolskom periodu poslužiće kao osnova za sticanje znanja i razvoj sposobnosti u starijem uzrastu – u školi. A najvažnija među ovim vještinama je vještina logičkog mišljenja, sposobnost "djelovanja u umu". Djetetu koje nije ovladalo metodama logičkog mišljenja bit će teže rješavati probleme, izvođenje vježbi će zahtijevati puno vremena i truda. Kao rezultat toga, zdravlje djeteta može narušiti, interesovanje za učenje može oslabiti ili čak nestati.
Savladavši logičke operacije, dijete će biti pažljivije, naučiti jasno i jasno razmišljati i moći će se koncentrirati na suštinu problema u pravo vrijeme. Postat će lakše učiti, što znači da će proces učenja i ona sama školski život doneće radost i zadovoljstvo.
Ovaj program pokazuje kako je kroz posebne igre i vježbe moguće formirati sposobnost djece da samostalno uspostavljaju logičke odnose u okolnoj stvarnosti.
Radeći sa predškolcima na razvoju kognitivnih procesa, dolazite do zaključka da je jedan od neophodnih uslova za njihov uspešan razvoj i učenje doslednost, tj. sistem posebnih igara i vježbi sa sadržajem koji se dosljedno razvija i postaje sve složeniji, sa didaktičkim zadacima, akcije igre i pravila. Zasebno uzete igre i vježbe mogu biti vrlo zanimljive, ali koristeći ih van sistema, ne može se postići željeni rezultat učenja i razvoja.
1.1 Relevantnost
Za uspješan razvoj školskog programa, dijete treba ne samo da zna mnogo, već i da razmišlja dosljedno i zaključno, da pogađa, da pokazuje mentalnu napetost, da razmišlja logično.
Podučavanje razvoja logičkog mišljenja je od velikog značaja za budućeg učenika i danas je veoma aktuelno.
Ovladavajući bilo kojom metodom pamćenja, dijete uči da izdvoji cilj i izvrši određeni rad s materijalom kako bi ga postiglo. Počinje shvaćati potrebu ponavljanja, upoređivanja, generalizacije, grupiranja materijala u svrhu pamćenja.
Podučavanje djece klasifikaciji doprinosi uspješnom savladavanju složenijeg načina pamćenja – semantičkog grupiranja s kojim se djeca susreću u školi.
Koristeći mogućnosti za razvoj logičkog mišljenja i pamćenja predškolaca, moguće je uspješnije pripremiti djecu za rješavanje problema koje školski odgoj postavlja pred nas.
Razvoj logičkog mišljenja uključuje korištenje didaktičkih igara, domišljatosti, zagonetki, rješavanje raznih logičke igre i lavirinti i od velikog je interesa za djecu. U ovoj aktivnosti kod djece se formiraju važne osobine ličnosti: samostalnost, snalažljivost, domišljatost, upornost, razvijaju se konstruktivne vještine. Djeca uče planirati svoje postupke, razmišljati o njima, pogađati u potrazi za rezultatom, pokazujući kreativnost.
U radu s djecom možete primijetiti da se mnoga djeca ne snalaze u naizgled jednostavnim logičkim zadacima. Na primjer, većina djece starijeg predškolskog uzrasta ne može točno odgovoriti na pitanje šta je više: voće ili jabuke, čak i ako u rukama imaju sliku na kojoj je nacrtano voće - mnogo jabuka i nekoliko krušaka. Djeca će odgovoriti da ima više krušaka. U takvim slučajevima on svoje odgovore zasniva na onome što vidi svojim očima. “Iznevjerava ih” maštovito razmišljanje, a do 5. godine djeca još nemaju logičko rasuđivanje. In senior predškolskog uzrasta počinju pokazivati ​​elemente logičkog mišljenja, karakteristične za školarce i odrasle, koje se moraju razvijati u prepoznavanju najoptimalnijih metoda za razvoj logičkog mišljenja.
Igre logičkog sadržaja pomažu u razvijanju kognitivnog interesa kod djece, doprinose istraživačkom i kreativnom traganju, želji i sposobnosti za učenje. Didaktičke igre kao jedna od najprirodnijih aktivnosti djece doprinose formiranju i razvoju intelektualnih i kreativnih manifestacija, samoizražavanju i samostalnosti. Razvoj logičkog mišljenja kod djece kroz didaktičke igre važan je za uspjeh naknadnog školovanja, za pravilno formiranje ličnosti učenika iu daljem školovanju pomoći će da se uspješno savladaju osnove matematike i informatike.
1.2 Svrha programa: stvaranje uslova za maksimalan razvoj logičkog mišljenja predškolaca u pripremi za uspješno školovanje.
1.3 Ciljevi programa:

  • naučiti djecu osnovnim logičkim operacijama: analiza, sinteza, poređenje, negacija, klasifikacija, sistematizacija, ograničenje, generalizacija, zaključivanje
  • naučiti djecu navigaciji u svemiru
  • razvijaju kod djece više mentalne funkcije, sposobnost rasuđivanja, dokazivanja
  • gajiti želju za prevazilaženjem poteškoća, samopouzdanje, želju da se pomogne vršnjaku

1.4 Uslovi realizacije programa, uzrast dece, oblici izvođenja nastave
Rokovi realizacije programa – 1-2 godine
Program je namijenjen djeci od 5-7 godina.
Programom je predviđeno izvođenje kružne nastave u različitim oblicima:

  • Pojedinac samostalan rad djeca.
  • Raditi u parovima.
  • Grupni oblici rada.
  • Diferenciran.
  • Frontalna kontrola i kontrola.
  • Samoprocjena obavljenog posla.
  • Didaktička igra.
  • Konkurencija.
  • Konkursi.

1.5 Faze implementacije programa
Tehnologija aktivnosti se gradi u fazama:

  1. Dijagnoza početnog nivoa razvoja kognitivnih procesa i kontrola njihovog razvoja.
  2. Planiranje načina na koji se može razviti jedan ili drugi kvalitet (pažnja, pamćenje, mašta, mišljenje), uzimajući u obzir individualnost svakog djeteta i dostupno znanje
  3. Izgradnja interdisciplinarne (integralne) osnove za obuku u razvojnom kursu.
  4. Postepeno usložnjavanje gradiva, postepeno povećanje obima posla, povećanje stepena samostalnosti djece.
  5. Upoznavanje sa elementima teorije, nastavnim metodama zaključivanja, samoargumentacijom izbora.
  6. Integracija znanja i metoda kognitivna aktivnost, savladavajući njegove generalizovane tehnike.
  7. Vrednovanje rezultata razvojnog kursa prema razvijenim kriterijumima koji treba da obuhvate dete (samopoštovanje, samokontrola, međusobna kontrola).

1. 6 Sadržaj programa
Kratki opis sekcije i teme nastave (odjeljci odgovaraju određenoj logičkoj operaciji koju će djeca naučiti na času):

1. Analiza - sinteza.
Cilj je naučiti djecu da podijele cjelinu na dijelove, da uspostave vezu između njih; naučiti mentalno kombinovati dijelove objekta u jednu cjelinu.
Igre i vježbe: pronalaženje logičkog para (mačka - mače, pas - ? (štene)). Dopunjujući sliku (podignite zakrpu, nacrtajte džep na haljini). Traži suprotnosti (lako - teško, hladno - vruće). Radite sa zagonetkama različite složenosti. Postavljanje slika sa štapića za brojanje i geometrijskih oblika.

2. Poređenje.
Cilj je naučiti mentalno utvrditi sličnosti i razlike objekata prema bitnim osobinama; razvijati pažnju, percepciju djece. Poboljšajte orijentaciju u prostoru.
Igre i vježbe: konsolidacija pojmova: veliko - malo, dugo - kratko, nisko - visoko, usko - široko, više - niže, dalje - bliže itd. Rad sa konceptima "isto", "većina". Potražite sličnosti i razlike u 2 slične slike.

3. Ograničenje.
Cilj je naučiti izdvajanje jednog ili više objekata iz grupe prema određenim karakteristikama. Razvijati dječije sposobnosti zapažanja.
Igre i vježbe: „zaokruži samo crvene zastavice jednom linijom“, „pronađi sve predmete koji nisu kružni“ itd. Isključivanje četvrtog suvišnog.

4. Generalizacija.
Cilj je naučiti mentalno kombinovati predmete u grupu prema njihovim svojstvima. Doprinijeti bogaćenju vokabulara, proširiti svakodnevna znanja djece.
Igre i vježbe za rad sa generalizirajućim pojmovima: namještaj, posuđe, prijevoz, povrće, voće itd.

5. Sistematizacija.
Cilj je naučiti identificirati obrasce; proširiti vokabular djece; naučite da pričate iz slike, prepričajte.
Igre i vježbe: magični kvadrati (pokupite dio koji nedostaje, sliku). Sastavljanje priče na osnovu niza slika, slaganje slika u logičan slijed.

6. Klasifikacija.
Cilj je naučiti distribuciju objekata u grupe prema njihovim bitnim karakteristikama. Konsolidacija generalizirajućih pojmova, slobodno djelovanje s njima.

7. Zaključak.
Cilj je naučiti da se uz pomoć prosudbi donese zaključak. Doprinijeti proširenju znanja djece u domaćinstvu. Razvijajte maštu.
Igre i vježbe: traženje pozitivnog i negativnog u pojavama (na primjer, kada pada kiša, hrani biljke - to je dobro, ali loša stvar je što se na kiši čovjek može smočiti, prehladiti i razboljeti) . Procjena ispravnosti određenih prosudbi („vjetar duva jer se drveće njiše.“ zar ne?). Rješenje logičkih zadataka.

1.7 Očekivani rezultati
Planirani rezultati:
Djeca treba da znaju:

  • principi konstruisanja obrazaca, svojstva brojeva, predmeta, pojava, reči;
  • principi strukture zagonetki, ukrštenih reči, lančanih reči, lavirinta;
  • antonimi i sinonimi;
  • nazivi geometrijskih oblika i njihova svojstva;
  • princip programiranja i sastavljanje algoritma akcija.

Djeca bi trebala biti u stanju:

  • određuju obrasce i izvršavaju zadatak prema tom obrascu, klasifikuju i grupišu objekte, upoređuju, pronalaze zajednička i posebna svojstva, generalizuju i apstrahuju, analiziraju i vrednuju njihove aktivnosti;
  • kroz rasuđivanje rješavati logičke, nestandardne probleme, izvoditi kreativno traženje, verbalno-didaktičke, numeričke zadatke, pronaći odgovor na matematičke zagonetke;
  • brzo i tačno u toku zagrevanja odgovarati na postavljena pitanja;
  • obavljati zadatke za treniranje pažnje, percepcije, pamćenja
  • izvoditi grafičke diktate, biti sposoban kretati se u šematski prikaz grafičkih zadataka;
  • biti u stanju postaviti cilj, planirati faze rada, postići rezultate vlastitim naporima.

Način provjere rezultata rada : generalizujuća nastava nakon svake sekcije i 2 dijagnostike (početna (septembar) i završna (maj)) nivoa ovladavanja operacijama logičkog mišljenja.

Riječi Sherlocka Holmesa: „Koliko sam vam puta rekao, odbacite sve nemoguće, onda će ono što preostane biti odgovor, ma koliko to izgledalo nevjerovatno“, mogle bi poslužiti kao epigraf ovom poglavlju.

Ako rješavanje zagonetke zahtijeva samo sposobnost logičkog razmišljanja i uopće ne treba izvoditi aritmetičke proračune, onda se takva zagonetka obično naziva logičkim problemom. Logički problemi, naravno, spadaju među matematičke, jer se logika može smatrati vrlo opštom, fundamentalnom matematikom. Ipak, zgodno je izdvojiti i proučavati logičke zagonetke odvojeno od njihovih brojnijih aritmetičkih sestara. U ovom poglavlju ćemo opisati tri uobičajena tipa logičkih problema i pokušati shvatiti kako im pristupiti.

Najčešći tip problema koji ljubitelji zagonetki ponekad nazivaju “Smith-Jones-Robinson problem” (po analogiji sa starom slagalicom koju je izmislio G. Dudeni).

Sastoji se od niza paketa, obično saopštavajući određene informacije o likovima; Na osnovu ovih pretpostavki moraju se izvući određeni zaključci. Na primjer, evo kako izgleda najnovija američka verzija Dudeneyjevog problema:

1. Smith, Jones i Robinson rade u istoj voznoj posadi kao mašinovođa, kondukter i vatrogasac. Njihove profesije nisu nužno imenovane istim redoslijedom kao njihova prezimena. U vozu koji opslužuje brigada nalaze se tri putnika sa istim prezimenima.

Ubuduće ćemo svakog putnika s poštovanjem zvati "gospodin" (gospodin).

2. Gospodin Robinson živi u Los Angelesu.

3. Dirigent živi u Omahi.

4. Gospodin Jones je odavno zaboravio svu algebru koju je učio na koledžu.

5. Putnik - kondukterov imenjak živi u Čikagu.

6. Kondukter i jedan od putnika, poznati specijalista matematičke fizike, idu u istu crkvu.

7. Smith uvijek pobijedi stokera kada se slučajno sretnu na partiji bilijara.

Kako se zove vozač?


Ovi problemi bi se mogli prevesti na jezik matematičke logike, koristeći njenu standardnu ​​notaciju, a rješenje bi se moglo tražiti odgovarajućim metodama, ali bi takav pristup bio previše glomazan. S druge strane, bez ovakvih ili onakvih skraćenica teško je razumjeti logičku strukturu problema. Najpogodnije je koristiti tablicu u čije ćemo prazne ćelije unijeti sve moguće kombinacije elemenata skupova koji se razmatraju. U našem slučaju postoje dva takva skupa, pa su nam potrebne dvije tabele (slika 139).

Rice. 139 Dvije tabele za problem Smitha, Jonesa i Robinsona.


U svaku ćeliju unosimo 1 ako je odgovarajuća kombinacija prihvatljiva, ili 0 ako je kombinacija u suprotnosti sa uslovima problema. Da vidimo kako se to radi. Uslov 7 očito isključuje mogućnost da je Smith stoker, pa u polje u gornjem desnom uglu lijevog stola upisujemo 0. Uslov 2 nam govori da Robinson živi u Los Angelesu, tako da u donjem lijevom kutu tabele unesite 1 i 0 u sve ostale ćelije u donjem redu i lijevoj koloni da pokažete da g. Robinson ne živi u Omahi ili Chicagu, a g. Smith i g. Jones ne žive u Los Angelesu.

Sada moramo malo razmisliti. Iz uslova 3 i 6 znamo da matematički fizičar živi u Omahi, ali ne znamo njegovo prezime. On ne može biti ni gospodin Robinson ni gospodin Džons (na kraju krajeva, zaboravio je čak i elementarnu algebru).

Prema tome, to mora biti gospodin Smith. Ovu okolnost uočavamo tako što stavljamo 1 u srednju ćeliju gornjeg reda desne tabele i 0 u preostale ćelije istog reda i prazne ćelije u srednju kolonu. U treću jedinicu sada se može ući samo u jednu ćeliju: ovo dokazuje da gospodin Džons živi u Čikagu. Iz uslova 5 saznajemo da se i dirigent preziva Jones, te u centralnu ćeliju lijeve tablice upisujemo 1, a u sve ostale ćelije srednjeg reda i srednjeg stupca. Nakon toga, naše tabele poprimaju oblik prikazan na sl. 140.



Rice. 140 Table jaja prikazana na sl. 139, nakon prethodnog punjenja.


Sada nije teško nastaviti rezonovanje koje vodi do konačnog odgovora. U koloni sa oznakom "Stoker", jedinica se može postaviti samo u donju ćeliju. Iz ovoga odmah sledi da u donjem levom uglu treba da bude 0. Prazna ostaje samo ćelija u gornjem levom uglu tabele gde se može staviti samo 1. Dakle, ime vozača je Smith.

Lewis Carroll volio je izmišljati izuzetno složene i genijalne probleme ove vrste. Dekan matematike na koledžu Dortmouth, John J. Kemeny, programirao je jedan od monstruoznih (sa 13 varijabli i 12 uslova, iz čega proizilazi da "nijedan sudija ne njuši duvan") Carroll problema za računar IBM-704. Mašina je završila rješenje za oko 4 minute, iako bi ispis kompletne "tablice istinitosti" problema (tabela koja pokazuje da li su moguće kombinacije istinitih vrijednosti varijabli problema tačne ili netačne) trajalo 13 sati!

Za čitatelje koji žele okušati sreću s težim problemom od Smith-Jones-Robinsonovog problema, nudimo novu zagonetku. Njegov autor je R. Smullyan sa Univerziteta Princeton.

1. 1918. prvi Svjetski rat. Na dan potpisivanja mirovnog ugovora okupila su se tri bračna para kako bi proslavili ovaj događaj za svečanom trpezom.

2. Svaki muž je bio brat jedne od žena, a svaka žena je bila sestra jednog od muževa, odnosno među prisutnima su se mogla navesti tri srodna para „brat i sestra“.

3. Helen je tačno 26 sedmica starija od svog supruga, koji je rođen u avgustu.

4. Sestra gospodina Whitea je udata za Ellenina zeta i udala se za njega na svoj rođendan, u januaru.

5. Margaret White je niža od Williama Blakea.

6. Arturova sestra je ljepša od Beatrice.

7. John ima 50 godina.

Kako se zove gđa Brown?


Ništa manje uobičajena je još jedna vrsta logičkih problema, koja se, po analogiji sa sljedećim dobro poznatim primjerom, može nazvati problemima tipa „problema u boji“. Troje ljudi (nazovimo ih A, B i OD) povez preko očiju i reci da je svaki od njih imao crvenu ili zelenu kapu. Tada im se odvežu oči i od njih se traži da podignu ruku ako vide crvenu kapu, i da napuste prostoriju ako su sigurni da znaju koje je boje kapa na glavi. Ispostavilo se da su sva tri šešira bila crvena, pa su sva tri podigla ruke. Prošlo je nekoliko minuta i OD, što je inteligentnije od ALI i AT, napustio sobu. Kako OD uspio odrediti koje je boje šešir na njemu?

[Problem mudraca u zelenim kapama je u tekstu formulisan na način da ne može imati rješenje. To je posebno vidljivo kada je broj mudraca velik. Koliko će vremena trebati prvom mudracu da pogodi pravu situaciju?

Krajem četrdesetih godina u Moskvi se o ovom problemu intenzivno raspravljalo u školskim matematičkim krugovima, a izmišljena je i njegova nova verzija u kojoj je uvedeno diskretno vrijeme. Zadatak je izgledao ovako.

U davna vremena, mudraci su živjeli u jednom gradu. Svaki od njih je imao ženu. Ujutro su dolazili na pijacu i tamo saznali sve gradske tračeve. I sami su bili ogovarači. Bilo im je veliko zadovoljstvo saznati za nevjeru bilo koje od supruga – odmah su to saznali. Međutim, strogo se poštovalo jedno neizrečeno pravilo: mužu nikada ništa nije prijavljeno o njegovoj ženi, jer bi svaki od njih, saznavši za svoju sramotu, svoju ženu istjerao iz kuće. Tako su živjeli, uživajući u intimnim razgovorima i potpuno neupućeni u svoje poslove.

Ali jednog dana u grad je došao pravi trač. Došao je na bazar i javno izjavio: “Ali nemaju svi mudraci vjerne žene!” Čini se da trač nije rekao ništa novo - i tako su to svi znali, svaki mudrac je to znao (samo sa zlobom nije mislio na sebe, već na drugoga), pa niko od ukućana nije obraćao pažnju na riječi trača. . Ali mudraci su mislili - zato su mudraci - i n-ti dan po dolasku tračeva n mudraca su protjerani n nevjernih žena (ako ih je bilo n).

Nije teško obnoviti razmišljanje mudraca. Teže je odgovoriti na pitanje: koje je podatke ogovarač dodao onome što je mudracima bilo poznato i bez njega?

Ovaj problem se više puta susreće u literaturi].

C se pita može li njegova kapa biti zelena. Ako je to bio slučaj, onda ALI odmah bi prepoznao da nosi crvenu kapu, jer samo crvena kapa na glavi može da napravi AT podići ruku. Ali onda ALI bi napustio sobu. AT bi počeo da razmišlja na potpuno isti način i takođe bi izašao iz sobe. Pošto ni jedno ni drugo nije izašlo, OD zaključio da bi njegova kapa trebala biti crvena.

Ovaj problem se može generalizirati na slučaj kada postoji bilo koji broj ljudi i svi nose crvene kape. Pretpostavimo da se u problemu pojavio četvrti akter D, čak i pronicljiviji od C.D mogao razmišljati ovako: „Kad bi moja kapa bila zelena, onda A, B i OD bi se našli u potpuno istoj situaciji koja je upravo opisana, a za nekoliko minuta bi najpronicljiviji iz trija sigurno napustio prostoriju.

Ali već je prošlo pet minuta, a niko od njih ne izlazi, dakle, moja kapa je crvena.

Kad bi postojao peti član koji bi bio još pametniji od D, mogao je doći do zaključka da nosi crvenu kapu nakon deset minuta čekanja. Naravno, naše razmišljanje gubi na uvjerljivosti zbog pretpostavki o različitim stupnjevima domišljatosti. A, B, C... i prilično nejasna razmišljanja o tome koliko dugo najpronicljivija osoba treba da čeka prije nego što može pouzdano imenovati boju svog šešira.

Neki drugi problemi sa "bojom" sadrže manje nesigurnosti. Takav je, na primjer, sljedeći problem, koji je također izmislio Smullyan. Svaki od tri A, B i OD- tečno govori logiku, odnosno zna kako odmah izvući sve posljedice iz datog skupa premisa i zna da i ostali imaju tu sposobnost.

Uzimamo četiri crvene i četiri zelene marke, povezamo oči našim „logičarima“ i zalijepimo im po dva pečata na čelo. Zatim im skinemo zavoje s očiju i zauzvrat pitamo A, B i OD isto pitanje: "Znate li koje su boje pečati na vašem čelu?" Svaki od njih odgovara negativno. Onda ponovo pitamo ALI i opet dobijamo negativan odgovor. Ali kada postavimo isto pitanje drugi put AT, odgovara potvrdno.

Koje je boje oznaka na čelu AT?


Treća vrsta popularnih logičkih zagonetki su problemi o lažovima i onima koji uvijek govore istinu. AT klasična verzija zadataka mi pričamo o putniku koji se nađe u zemlji naseljenoj dva plemena. Pripadnici jednog plemena uvijek lažu, pripadnici drugog uvijek govore istinu. Putnik upoznaje dva domorodca. "Da li uvijek govoriš istinu?" pita on visokog domorodca. On odgovara: "Tarabar". "Rekao je da," objašnjava manji domorodac koji zna engleski, "ali on je užasan lažov." Kome plemenu pripada svaki od domorodaca?


Sistematski pristup rješavanju bio bi ispisivanje sve četiri mogućnosti: AI, IL, LI, LL (I znači "tačno", L - "netačno") - i isključiti one koje su u suprotnosti sa podacima problema. Odgovor se može dobiti mnogo brže ako se primijeti da visoki domorodac mora potvrdno odgovoriti da li laže ili govori istinu. Pošto je manji domorodac rekao istinu, on mora pripadati plemenu istinitih, a njegov visoki prijatelj - plemenu lažova.

Najpoznatiji problem ovog tipa, kompliciran uvođenjem pondera vjerovatnoće i ne baš jasnom formulacijom, može se naći sasvim neočekivano u sredini šestog poglavlja knjige New Pathways in Science engleskog astronoma A. Eddingtona. „Ako a A, B, C i D reći istinu jednom od tri (nezavisno) i ALI To navodi AT to poriče OD kaže kao da D lažov, kolika je verovatnoća da D rekao istinu?"

Eddingtonov odgovor, 25/71, naišao je na proteste čitalaca i izazvao je smiješan i konfuzan spor koji nikada nije konačno riješen. Engleski astronom G. Dingle, autor recenzije Eddingtonove knjige objavljene u časopisu Nature (mart 1935.), smatrao je da problem uopće ne zaslužuje pažnju kao besmislen i samo ukazuje na to da Eddington nije dovoljno promislio o osnovnim idejama. teorije verovatnoće. Američki fizičar T. Stern (Nature, jun 1935.) prigovorio je tome, navodeći da, po njegovom mišljenju, problem nipošto nije besmislen, ali nema dovoljno podataka za njegovo rješavanje.

Kao odgovor, Dingle je primijetio (Nature, septembar 1935.) da ako se uzme Sternovo gledište, onda ima dovoljno podataka za odluku i odgovor će biti 1/3. Ovdje je Eddington ušao u borbu, objavljujući (Mathemetical gazette, oktobar 1935.) članak u kojem se detaljno objašnjava kako je dobio odgovor. Spor je okončan sa još dva članka koja su se pojavila u istom časopisu, autor jednog od njih je branio Eddingtona, a drugi je iznio gledište drugačije od svih prethodnih.

Teškoća je uglavnom u razumijevanju Eddingtonove formulacije. Ako a AT, izražavajući svoje poricanje, govori istinu, onda to možemo razumno pretpostaviti OD Reci to D govoriti istinu? Eddington je smatrao da nema dovoljno osnova za takvu pretpostavku. Isto tako, ako ALI laži, možemo li biti sigurni u to AT i OD da li su uopšte nešto rekli? Na sreću, sve ove jezičke poteškoće možemo zaobići tako što ćemo napraviti sljedeće pretpostavke (Eddington ih nije iznio):

1. Niko od četvorice nije šutio.

2. Izjave A, B i OD(svaki od njih posebno) ili potvrđuju ili demantuju sljedeću izjavu.

3. Lažna tvrdnja se poklapa sa njenom negacijom, a lažna negacija se poklapa sa tvrdnjom.

Sve četiri leže nezavisno jedna od druge sa verovatnoćom od 1/3, to jest, u proseku, bilo koje dve od njihove tri izjave su netačne. Ako je tačan iskaz označen slovom I, i lažno - pismo L, zatim za A, B, C i D dobijamo tabelu koja se sastoji od osamdeset i jedne različite kombinacije. Iz ovog broja treba isključiti one kombinacije koje su zbog uslova problema nemoguće.

Broj važećih kombinacija koje se završavaju slovom I(tj. istinita - istinita - izjava D), treba podijeliti s ukupnim brojem svih važećih kombinacija, što će dati odgovor.

Treba razjasniti formulaciju problema o putniku i dvojici domorodaca. Putnik je shvatio da riječ "brbljanje" na jeziku domorodaca znači ili "da" ili "ne", ali nije mogao pogoditi šta tačno. Ovo bi upozorilo nekoliko e-mailova, od kojih jedan prenosim u nastavku.

Visoki domorodac očigledno nije razumeo ni reč od onoga što mu je putnik rekao (na engleskom), i nije mogao da odgovori sa da ili ne na engleskom. Stoga, njegovo "brbljanje" znači nešto poput: "Ne razumijem" ili "Dobrodošli u Bongo-Bongo". Shodno tome, mali domorodac je lagao kada je rekao da mu je prijatelj odgovorio sa "da", a kako je mali bio lažov, lagao je i kada je visokog urođenika nazvao lažovom. Stoga, visokog urođenika treba smatrati istinitim.

Tako je ženska logika zadala udarac mojoj muškoj taštini. Nije li to malo povrijedilo ponos vašeg autora?


Odgovori

Prvi logički problem najbolje je riješiti korištenjem tri tabele: jedne za kombinacije imena i prezimena supruga, druge za imena i prezimena muževa i treće za porodične veze.

Pošto se gospođa Vajt zove Margaret (uslov 5), preostaju nam samo dve mogućnosti za imena druge dve supruge: a) Helen Blejk i Beatris Braun, ili b) Helen Braun i Beatris Blejk.

Pretpostavimo da se druga od mogućnosti odvija. Whiteova sestra mora biti ili Helen ili Beatrice. Ali Beatrice ne može biti Wyneova sestra, jer bi tada Blake bio Helenin brat, a Blakeova dva zeta bila bi White (brat njegove žene) i Brown (muž njegove sestre); Beatrice Blake nije udata ni za jednu od njih, što je u suprotnosti sa uslovom 4. Dakle, Vajtova sestra mora da je Helen. Iz ovoga, pak, zaključujemo da se Brownova sestra zove Beatrice, a Blakeova sestra Margaret.

Iz uslova 6 proizilazi da se gospodin Vajt zove Artur (Braun ne može biti Artur, jer bi takva kombinacija značila da je Beatris lepša od sebe, a Blejk ne može biti Artur, pošto iz uslova 5 znamo njegovo ime: Vilijam). Dakle, gospodin Brown može biti samo John. Nažalost, iz uslova 7 vidimo da je Jovan rođen 1868. godine (50 godina pre potpisivanja mirovnog ugovora). Ali 1868. je prijestupna godina, tako da Helen mora biti starija od svog muža za jedan dan više od 26 sedmica navedenih u uslovu 3. (Iz uslova 4 znamo da je rođena u januaru, a iz uslova 3 da je njen muž rođen Mogla bi biti starija od muža tačno 26 sedmica da je njen rođendan 31. januara, a njegov 1. avgusta i da između ovih datuma nije bilo 29. februara!) Dakle, druga od mogućnosti, s kojom smo počeli treba odbaciti, što nam omogućava da imenujemo supruge: Margaret White, Helen Blake i Beatrice Brown. Tu nema kontradiktornosti, jer ne znamo godinu Blejkovog rođenja. Iz uslova problema može se zaključiti da je Margaret Brownova sestra, Beatrice Blakeova sestra, a Helen Whiteova sestra, ali pitanje imena White i Brown ostaje neriješeno.


U problemu sa markama AT postoje tri mogućnosti. Njegove marke mogu biti: 1) obe crvene; 2) oba zelena; 3) jedna je zelena, a druga crvena. Pretpostavimo da su obje marke crvene.

Nakon što su sva trojica jednom odgovorila, ALI može razmišljati ovako: „Oznake na mom čelu ne mogu biti oboje crvene (jer tada OD bi vidio četiri crvena pečata i odmah bi prepoznao da ima dva zelena pečata na čelu, i ako OD tada su obje marke bile zelene AT, vidjevši četiri zelene marke, shvatio bi da ima dva crvena pečata na čelu). Zato imam jednu zelenu i jednu crvenu mrlju na čelu.”

Ali kada ALI upitao je drugi put, nije znao koje je boje njegova marka. To je dozvolilo AT odbaciti mogućnost da su oba njegova pečata crvene. Raspravljajući na potpuno isti način kao A, B isključio slučaj kada su mu obje marke zelene. Stoga mu je ostala samo jedna mogućnost: jedna marka je zelena, druga crvena.

Nekoliko čitatelja je brzo primijetilo da se problem može vrlo brzo riješiti bez potrebe za analizom pitanja i odgovora. Evo šta je o tome napisao jedan od čitalaca: „Uslovi problema su potpuno simetrični u odnosu na crvene i zelene oznake.

Stoga, distribucijom maraka između A, B i OD ako su ispunjeni svi uslovi problema i ako se crvene oznake zamijene zelenim i, obrnuto, zelene crvenom, doći ćemo do drugačije raspodjele, za koju će također biti ispunjeni svi uslovi. Slijedi da ako je rješenje jedinstveno, onda mora biti nepromjenjivo (ne bi se trebalo mijenjati) pri zamjeni zelenih oznaka crvenim, a crvenih zelenim. Takvo rješenje može biti samo takva raspodjela maraka, u kojoj će B imati jednu zelenu i jednu crvenu marku.

Kako je rekao W. Manheimer, dekan Odsjeka za matematiku na Brooklyn Collegeu, ovo elegantno rješenje proizlazi iz činjenice da nije A, B i OD(kao što je navedeno u stanju problema), i Raymond Smullyan!


U Edingtonovom problemu, vjerovatnoća da D govori istinu, je 13/41. Sve kombinacije tačnih i netačnih koje sadrže neparan broj puta netačno (ili istinito) treba odbaciti jer su u suprotnosti sa uslovima problema. Kao rezultat toga, broj mogućih kombinacija je smanjen sa 81 na 41, od kojih samo 13 završava istinitim iskazom. D. Zbog A, B i OD reći istinu u slučajevima koji odgovaraju potpuno istom broju valjanih kombinacija, vjerovatnoća da se kaže istina je ista za sve četiri.

Korištenje simbola ekvivalencije

što znači da su tvrdnje povezane njime ili istinite ili obje netačne (tada je lažna tvrdnja istinita, inače je lažna), a simbol negacije ~, Eddingtonov problem u propozicionom proračunu može se zapisati na sljedeći način:

ili nakon nekih pojednostavljenja poput ovog:

Tabela istinitosti ovog izraza potvrđuje već primljeni odgovor.

napomene:

To je frustrirajuće- uznemiren, učiniti nešto uzaludno, beznadežno, osuđen na neuspjeh (engleski).

Pogledajte poglavlje o Raymondu Smullyanu u knjizi M. Gardner"Putovanje kroz vrijeme" (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Novi putevi u nauci. - Cambridge: 1935; Mičigen: 1959.

Uvod

Logika je Bog mislilaca.

L. Feuchtwanger

Sposobnost ispravnog rasuđivanja neophodna je u bilo kojoj oblasti ljudske aktivnosti: nauci i tehnologiji, pravosuđu i diplomatiji, ekonomskom planiranju i vojnim poslovima. I ova sposobnost seže do davna vremena, logika, tj. nauka o tome koji su oblici rasuđivanja ispravni nastala je pre nešto više od dve hiljade godina. Razvijen je u VI veku. BC. u djelima velikog starogrčkog filozofa Aristotela, njegovih učenika i sljedbenika.

U nekom trenutku, matematičari su postavili pitanje: „Šta je, zapravo, matematika, matematička aktivnost?“ Jednostavan odgovor je da matematičari dokazuju teoreme, odnosno saznaju neke istine o njima stvarnom svijetu i "idealni matematički svijet". Pokušaj da se odgovori na pitanje šta je matematička teorema, matematička istina, a šta je matematička tvrdnja istinita ili dokaziva, ovo je ujedno i mreža polazne tačke matematičke logike. U školi moramo naučiti analizirati, upoređivati, isticati najvažnije, generalizirati i sistematizovati, dokazivati ​​i pobijati, definirati i objašnjavati pojmove, postavljati i rješavati probleme. Ovladavanje ovim metodama znači sposobnost razmišljanja. U nauci se moraju izvoditi različite formule, numeričke obrasce, pravila i dokazivati ​​teoreme rasuđivanjem. Na primjer, 1781. godine otkrivena je planeta Uran. Zapažanja su pokazala da se kretanje ove planete razlikuje od teorijski izračunatog kretanja. Francuski naučnik Le Verrier (1811-1877), logički zaključivši i izvodeći prilično složene proračune, utvrdio je uticaj druge planete na Uran i naznačio njenu lokaciju. Godine 1846. astronom Galle je potvrdio postojanje planete koja je nazvana Neptun. Pri tome su koristili logiku matematičkog zaključivanja i proračuna.

Druga polazna tačka našeg razmatranja je da pojasnimo šta znači da je matematička funkcija izračunljiva i da se može izračunati korišćenjem nekog algoritma, formalnog pravila, precizno opisane procedure. Ove dvije početne formulacije imaju mnogo toga zajedničkog, prirodno su objedinjene pod općim nazivom "matematička logika", pri čemu se matematička logika shvaća prvenstveno kao logika matematičkog zaključivanja i matematičkih radnji.

Odabrao sam upravo ovu temu jer će mi ovladavanje elementima matematičke logike pomoći u budućoj ekonomskoj profesiji. Na kraju krajeva, marketer analizira trendovetržište,cijene, promet i metode marketinga, prikuplja podatke o konkurentskim organizacijama,izdaje preporuke. Da biste to učinili, morate koristiti znanje logike.

Cilj: proučavati i koristiti mogućnosti matematičke logike u rješavanju problema iz različitih oblasti i ljudskih djelatnosti.

Zadaci:

1. Analizirati literaturu o suštini i nastanku matematičke logike.

2. Proučavati elemente matematičke logike.

3. Odabrati i riješiti zadatke s elementima matematičke logike.

Metode: analiza literature, pojmovi, metoda analogija u rješavanju problema, samoposmatranje.

  1. Iz istorije nastanka matematičke logike

Matematička logika je usko povezana sa logikom i njoj duguje svoje poreklo. Osnove logike, nauke o zakonima i oblicima ljudskog mišljenja, postavio je najveći starogrčki filozof Aristotel (384-322 pne), koji je u svojim raspravama temeljito proučavao terminologiju logike, detaljno analizirao teoriju zaključaka. i dokazi, opisali niz logičkih operacija, formulisali osnovne zakone mišljenja, uključujući zakone kontradikcije i isključivanja trećeg. Aristotelov doprinos logici je veoma velik, ne bez razloga njeno drugo ime je aristotelova logika. Čak je i sam Aristotel primijetio da između nauke koju je stvorio i matematike (u to vrijeme se zvala aritmetika) postoji mnogo zajedničkog. Pokušao je da spoji ove dvije nauke, naime, da refleksiju, odnosno zaključivanje, svede na proračun na osnovu početnih pozicija. U jednoj od svojih rasprava Aristotel se približio jednom od dijelova matematičke logike - teoriji dokaza.

U budućnosti su mnogi filozofi i matematičari razvili određene odredbe logike i ponekad čak ocrtali konture modernog propozicionog računa, ali najbliže stvaranju matematičke logike došao je u drugoj polovini 17. stoljeća, izvanredni njemački naučnik Gottfried Wilhelm. Leibniz (1646 - 1716), koji je ukazao na načine prevođenja logike "iz verbalnog područja, punog neizvjesnosti, u područje matematike, gdje se odnosi između objekata ili iskaza određuju sa savršenom preciznošću". Leibniz se čak nadao da će u budućnosti filozofi, umjesto da se bezuspješno raspravljaju, uzeti papir i shvatiti ko je od njih u pravu. Istovremeno, Leibniz se u svojim radovima dotakao i binarnog brojevnog sistema. Treba napomenuti da je ideja korištenja dva znaka za kodiranje informacija vrlo stara. Australijski aboridžini su brojali u dvojke, neka plemena lovaca-sakupljača Nove Gvineje i Južne Amerike također su koristila binarni sistem brojanja. U nekim afričkim plemenima poruke se prenose pomoću bubnjeva u obliku kombinacija glasnih i tupih taktova. Poznat primjer kodiranja od dva znaka je Morzeov kod, gdje su slova abecede predstavljena određenim kombinacijama tačaka i crtica. Nakon Leibniza, mnogi eminentni naučnici su vodili istraživanja u ovoj oblasti, ali pravi uspjeh ovdje je postigao engleski samouki matematičar George Boole (1815-1864), njegova odlučnost nije poznavala granice.

Finansijska situacija Georgeovi roditelji (čiji je otac bio obućar) dozvolili su mu samo da diplomira osnovna škola za siromašne. Nakon nekog vremena, Buhl je, nakon što je promijenio nekoliko profesija, otvorio malu školu u kojoj je sam predavao. Posvetio je dosta vremena samoobrazovanju i ubrzo se zainteresovao za ideje simboličke logike. Godine 1847. Boole je objavio članak "Matematička analiza logike, ili iskustvo računa deduktivnih zaključaka", a 1854. godine pojavio se njegov glavni rad "Istraživanje zakona mišljenja na kojima se zasnivaju matematičke teorije logike i vjerovatnoće". . Boole je izmislio neku vrstu algebre - sistem notacije i pravila primjenjiva na sve vrste objekata, od brojeva i slova do rečenica. Koristeći ovaj sistem, mogao je da kodira izjave (izjave za koje je trebalo dokazati da su istinite ili netačne) koristeći simbole svog jezika, a zatim da njima manipuliše na isti način na koji se manipuliše brojevima u matematici. Osnovne operacije Booleove algebre su konjunkcija (AND), disjunkcija (OR) i negacija (NE). Nakon nekog vremena postalo je jasno da je Booleov sistem vrlo pogodan za opisivanje električnih sklopnih kola. Struja u kolu može ili teći ili ne, kao što izjava može biti istinita ili lažna. I nekoliko decenija kasnije, već u 20. veku, naučnici su kombinovali matematički aparat Georgea Boolea sa binarnim brojevnim sistemom, postavljajući tako temelje za razvoj digitalnog elektronskog računara. Pojedine odredbe Booleovog rada doticali su se u određenoj mjeri i prije i poslije njega od strane drugih matematičara i logičara. Međutim, danas se na ovim prostorima upravo radovi Georgea Boolea smatraju matematičkim klasicima, a on se s pravom smatra osnivačem matematičke logike i, tim prije, njenih najvažnijih dijelova - algebre logike (Boolean algebra ) i algebra propozicija.

Veliki doprinos razvoju logike dali su i ruski naučnici P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Žegalkin (1869-1947).

U 20. veku ogromnu ulogu u razvoju matematičke logike odigrali su

D. Hilbert (1862-1943), koji je predložio program za formalizaciju matematike povezan sa razvojem temelja same matematike. Konačno, u poslednjim decenijama 20. veka nagli razvoj matematičke logike bio je posledica razvoja teorije algoritama i algoritamskih jezika, teorije automata, teorije grafova (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov i mnogi drugi).

Sredinom 20. vijeka razvoj kompjuterske tehnologije doveo je do pojave logičke elemente, logičkih blokova i uređaja računarske tehnologije, što je bilo povezano sa dodatnim razvojem oblasti logike kao što su problemi logičke sinteze, logičko projektovanje i logičko modeliranje logičkih uređaja i računarske tehnologije. Osamdesetih godina prošlog vijeka počela su istraživanja u oblasti umjetna inteligencija baziran na jezicima i sistemima logičkog programiranja. Kreiranje ekspertnih sistema počelo je upotrebom i razvojem automatskog dokaza teorema, kao i metoda programiranja zasnovanog na dokazima za verifikaciju algoritama i kompjuterskih programa. Promjene u obrazovanju također su počele 1980-ih. Pojava personalnih računara u srednjim školama dovela je do stvaranja udžbenika informatike sa izučavanjem elemenata matematičke logike za objašnjenje logičkih principa rada. logička kola i računarskih uređaja, kao i principe logičkog programiranja za računare pete generacije i razvoj udžbenika informatike sa proučavanjem jezika predikatskog računa za projektovanje baza znanja.

  1. Osnove teorije skupova

Koncept skupa je jedan od onih fundamentalnih koncepata matematike koje je teško precizno definisati koristeći elementarne pojmove. Stoga se ograničavamo na deskriptivno objašnjenje pojma skupa.

mnogi naziva skup određenih sasvim različitih objekata, koji se smatraju jedinstvenom cjelinom. Tvorac teorije skupova, Georg Cantor, dao je sljedeću definiciju skupa - "skup je mnogo toga o čemu razmišljamo kao cjelina".

Pozivaju se pojedinačni objekti koji čine skup set elemenata.

Skupovi se obično označavaju velikim slovima latinice, a elementi ovih skupova malim slovima latinice. Skupovi se pišu u vitičastim zagradama ( ).

Uobičajeno je koristiti sljedeću notaciju:

    a∈ X - "element a pripada skupu X";

    a∉ X - "element a ne pripada skupu X";

    ∀ - kvantifikator proizvoljnosti, općenitosti, koji označava "bilo koji", "bilo šta", "za sve";

    ∃ - kvantifikator postojanja:∃ y∈ B - "postoji (postoji) element y iz skupa B";

    ∃! - kvantifikator postojanja i jedinstvenosti:∃ !b∈ C - "postoji jedinstveni element b iz skupa C";

    : - "takav da; posjedovanje imovine";

    → - simbol posljedice, znači "povlači";

    ⇔ - kvantifikator ekvivalencije, ekvivalencije - "ako i samo tada".

Setovi su konačan i beskrajan . Skupovi se zovu final , ako je broj njegovih elemenata konačan, tj. ako postoji prirodan broj n, koji je broj elemenata skupa. A=(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ). Skup se zove beskrajno ako sadrži beskonačan broj elemenata. B=(b 1 , b 2 , b 3 , ...). Na primjer, skup slova ruske abecede je konačan skup. Skup prirodnih brojeva je beskonačan skup.

Broj elemenata u konačnom skupu M naziva se kardinalnost skupa M i označava se sa |M|. prazan set - skup koji ne sadrži nijedan element -∅ . Dva seta se zovu jednaka , ako se sastoje od istih elemenata, tj. su isti set. Skupovi nisu jednaki X ≠ Y ako X ima elemente koji ne pripadaju Y, ili Y ima elemente koji ne pripadaju X. Simbol jednakosti skupa ima sljedeća svojstva:

    X=X; - refleksivnost

    ako je X=Y, Y=X - simetrija

    ako je X=Y,Y=Z, tada je X=Z tranzitivan.

Prema ovoj definiciji jednakosti skupova, prirodno dobijamo da su svi prazni skupovi međusobno jednaki, ili da je isto da postoji samo jedan prazan skup.

Podskupovi. Relacija uključivanja.

Skup X je podskup skupa Y ako je bilo koji element skupa X∈ i skup Y. Označen sa X⊆ Y.

Ako je potrebno naglasiti da Y sadrži i druge elemente osim elemenata iz X, onda se koristi simbol striktnog uključivanja.⊂ :X ⊂ Y. Odnos između simbola⊂ i ⊆ daje:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y i X≠Y

Napominjemo neka svojstva podskupa koja slijede iz definicije:

    X⊆ X (refleksivnost);

    → X⊆ Z (tranzitivnost);

Originalni skup A u odnosu na njegove podskupove se zove kompletan skup i označava se sa I.

Bilo koji podskup A i skup A naziva se pravi skup od A.

Skup koji se sastoji od svih podskupova datog skupa X i praznog skupa∅ , naziva se boolean X i označava se sa β(X). Bulova snaga |β(X)|=2 n.

Brojivi set- ovo je skup A čiji se svi elementi mogu numerisati u nizu (m.b. beskonačno) i 1, a 2, a 3, ..., a n , ... tako da u ovom slučaju svaki element prima samo jedan broj n i svaki prirodni broj n je dan kao broj jednom i samo jednom elementu našeg skupa.

Skup ekvivalentan skupu prirodnih brojeva naziva se prebrojiv skup.

Primjer. Skup kvadrata cijelih brojeva 1, 4, 9, ..., n 2 predstavlja samo podskup skupa prirodnih brojeva N. Skup je prebrojiv, jer se dovodi u korespondenciju jedan prema jedan sa prirodnim nizom tako što se svakom elementu dodjeljuje broj broja prirodnog niza, kvadrat od što i jeste.

Postoje 2 glavna načina za definiranje skupova.

    nabrajanje (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

    opis - označava karakteristična svojstva koja imaju svi elementi skupa.

Skup je u potpunosti definiran svojim elementima.

Nabrajanje može specificirati samo konačne skupove (na primjer, skup mjeseci u godini). Beskonačni skupovi se mogu definirati samo opisivanjem svojstava njegovih elemenata (na primjer, skup racionalnih brojeva može se definirati opisom Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Načini za određivanje skupa prema opisu:

a) specificiranjem procedure generisanjasa naznakom skupa (skupova) kroz koji prolazi parametar (parametri) ove procedure - rekurzivno, induktivno.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - mnogo Fiboniccijevih brojeva.

(više elemenata x, tako da je x 1 \u003d 1, x 2 =1 i proizvoljno x k+1 (za k=1,2,3,...) se izračunava po formuli x k+2 = x k + x k + 1) ili X \u003d)

Slični postovi