Zabavna logika u matematici. Zabavna logika Matematička logička pitanja

1. Objašnjenje
1.1 Relevantnost
1.2 Svrha programa
1.3 Ciljevi programa
1.4 Uvjeti provedbe programa, dob djece, oblici izvođenja nastave
1.5 Faze provedbe programa
1.6 Programski sadržaj
1.7 Očekivani rezultati

2. Metodička potpora
2.1 Perspektivno-tematski plan kruga " Zabavna logika»

3. Dijagnostički program za logičko mišljenje djece starije predškolske dobi.

5. Izvori informacija

1. Objašnjenje.
Zašto logika za malog predškolca?
Prema L.A. Wengeru, “za petogodišnju djecu očito nisu dovoljna sama vanjska svojstva stvari. Oni su prilično spremni postupno se upoznati ne samo s vanjskim, već i s unutarnjim, skrivenim svojstvima i odnosima koji su u osnovi znanstvenog znanja o svijetu ... Sve će to biti korisno mentalni razvoj dijete samo ako je obuka usmjerena na razvoj mentalnih sposobnosti, onih sposobnosti u području percepcije, maštovitog mišljenja, mašte, koje se temelje na asimilaciji uzoraka vanjskih svojstava stvari i njihovih varijanti ... "
Vještine koje je dijete steklo u predškolskom razdoblju poslužit će kao temelj za stjecanje znanja i razvijanje sposobnosti u starijoj dobi – u školi. A najvažnija među tim vještinama je vještina logičnog mišljenja, sposobnost "djelovanja u umu". Djetetu koje nije ovladalo metodama logičkog razmišljanja bit će teže rješavati probleme, izvođenje vježbi zahtijevat će puno vremena i truda. Kao rezultat toga, zdravlje djeteta može biti ugroženo, interes za učenje može oslabiti ili čak nestati.
Savladavši logičke operacije, dijete će biti pažljivije, naučit će jasno i jasno razmišljati i moći će se koncentrirati na bit problema u pravom trenutku. Postat će lakše učiti, a to znači i proces učenja, i sama školski život donijet će radost i zadovoljstvo.
Ovaj program pokazuje kako je kroz posebne igre i vježbe moguće formirati sposobnost djece da samostalno uspostavljaju logične odnose u okolnoj stvarnosti.
Radeći s djecom predškolske dobi na razvoju kognitivnih procesa, dolazite do zaključka da je jedan od nužnih uvjeta za njihov uspješan razvoj i učenje dosljednost, tj. sustav posebnih igara i vježbi s dosljednim razvojem i usložnjavanjem sadržaja, s didaktičkim zadacima, akcije igre i pravila. Zasebno uzete igre i vježbe mogu biti vrlo zanimljive, ali njihovom izvansustavnom uporabom ne može se postići željeni rezultat učenja i razvoja.
1.1 Relevantnost
Za uspješan razvoj školskog kurikuluma dijete treba ne samo puno znati, već i razmišljati dosljedno i zaključno, pogađati, pokazivati ​​mentalnu napetost, razmišljati logično.
Poučavanje razvoja logičkog mišljenja nije od male važnosti za budućeg učenika i danas je vrlo aktualno.
Ovladavajući bilo kojom metodom pamćenja, dijete uči izdvojiti cilj i obaviti određeni rad s materijalom kako bi ga postiglo. Počinje shvaćati potrebu ponavljanja, uspoređivanja, generaliziranja, grupiranja gradiva u svrhu pamćenja.
Poučavanje djece o klasifikaciji doprinosi uspješnom svladavanju složenijeg načina pamćenja – semantičkog grupiranja s kojim se djeca susreću u školi.
Koristeći mogućnosti razvoja logičkog mišljenja i pamćenja djece predškolske dobi, moguće je uspješnije pripremiti djecu za rješavanje problema koje pred nas postavlja školski odgoj.
Razvoj logičkog mišljenja uključuje korištenje didaktičkih igara, domišljatosti, zagonetki, rješavanje raznih logičke igre i labirinti te je vrlo zanimljiv djeci. U ovoj se aktivnosti kod djece formiraju važne osobine ličnosti: samostalnost, snalažljivost, domišljatost, ustrajnost, razvijaju se konstruktivne sposobnosti. Djeca uče planirati svoje radnje, razmišljati o njima, pogađati u potrazi za rezultatom, pokazujući pritom kreativnost.
U radu s djecom možete primijetiti da se mnoga djeca ne snalaze u naizgled jednostavnim logičkim zadacima. Na primjer, većina djece starije predškolske dobi ne može točno odgovoriti na pitanje čega je više: voća ili jabuka, čak i ako u rukama imaju sliku na kojoj je nacrtano voće - mnogo jabuka i nekoliko krušaka. Djeca će odgovoriti da ima više krušaka. U takvim slučajevima svoje odgovore temelji na onome što vidi svojim očima. “Iznevjeri” ih maštovito razmišljanje, a do 5. godine djeca još nemaju logično rasuđivanje. U seniorskoj predškolska dob počinju pokazivati ​​elemente logičkog mišljenja, karakteristične za školsku djecu i odrasle, koji se moraju razvijati u identificiranju najoptimalnijih metoda za razvoj logičkog mišljenja.
Igre logičkog sadržaja pomažu u njegovanju kognitivnog interesa kod djece, doprinose istraživanju i kreativnom traženju, želji i sposobnosti učenja. Didaktičke igre kao jedna od najprirodnijih dječjih aktivnosti doprinose formiranju i razvoju intelektualnih i kreativnih manifestacija, samoizražavanja i neovisnosti. Razvoj logičkog mišljenja kod djece kroz didaktičke igre važan je za uspjeh daljnjeg školovanja, za pravilno formiranje osobnosti učenika te će u daljnjem školovanju pomoći uspješnom svladavanju osnova matematike i informatike.
1.2 Svrha programa: stvaranje uvjeta za maksimalan razvoj logičkog mišljenja predškolaca u pripremi za uspješno školovanje.
1.3 Ciljevi programa:

  • naučiti djecu osnovnim logičkim operacijama: analiza, sinteza, usporedba, negacija, klasifikacija, sistematizacija, ograničavanje, generalizacija, zaključivanje
  • naučiti djecu snalaženju u prostoru
  • razvijati kod djece više duševne funkcije, sposobnost zaključivanja, dokazivanja
  • njegovati želju za prevladavanjem poteškoća, samopouzdanje, želju za pomoći vršnjaku

1.4 Uvjeti provedbe programa, dob djece, oblici izvođenja nastave
Uvjeti provedbe programa - 1-2 godine
Program je namijenjen djeci od 5-7 godina.
Program predviđa izvođenje kružne nastave u različitim oblicima:

  • Pojedinac samostalan rad djece.
  • Raditi u parovima.
  • Grupni oblici rada.
  • Diferencirano.
  • Frontalna provjera i kontrola.
  • Samoprocjena obavljenog posla.
  • Didaktička igra.
  • Natjecanje.
  • Natjecanja.

1.5 Faze provedbe programa
Tehnologija aktivnosti izgrađena je u fazama:

  1. Dijagnostika početnog stupnja razvoja kognitivnih procesa i kontrola nad njihovim razvojem.
  2. Planiranje sredstava kojima se može razvijati jedna ili druga kvaliteta (pažnja, pamćenje, mašta, mišljenje), uzimajući u obzir individualnost svakog djeteta i raspoloživo znanje
  3. Izgradnja interdisciplinarne (integralne) osnove za obuku u razvojnom tečaju.
  4. Postupno kompliciranje gradiva, postupno povećanje količine rada, povećanje razine samostalnosti djece.
  5. Upoznavanje s elementima teorije, nastavnim metodama zaključivanja, samoargumentacije po izboru.
  6. Integracija znanja i metoda kognitivnu aktivnost, svladavajući njegove generalizirane tehnike.
  7. Evaluacija rezultata razvojnog tečaja prema razvijenim kriterijima, koji trebaju uključiti dijete (samopoštovanje, samokontrola, međusobna kontrola).

1. 6 Sadržaj programa
Kratki opis odjeljci i teme nastave (dijelovi odgovaraju određenoj logičkoj operaciji koju će djeca učiti u nastavi):

1. Analiza – sinteza.
Cilj je naučiti djecu podijeliti cjelinu na dijelove, uspostaviti vezu među njima; naučiti mentalno spajati dijelove predmeta u jedinstvenu cjelinu.
Igre i vježbe: pronalaženje logičkog para (mačka - mačić, pas -? (štene)). Dopunjavanje slike (pokupite zakrpu, nacrtajte džep na haljini). Potraga za suprotnostima (lako - teško, hladno - vruće). Radite sa zagonetkama različite složenosti. Slaganje slika sa štapića za brojanje i geometrijski oblici.

2. Usporedba.
Cilj je naučiti mentalno utvrđivati ​​sličnosti i razlike predmeta prema bitnim značajkama; razvijati pažnju, percepciju djece. Poboljšati orijentaciju u prostoru.
Igre i vježbe: učvršćivanje pojmova: veliko - malo, dugo - kratko, nisko - visoko, usko - široko, više - niže, dalje - bliže itd. Operiranje pojmovima "isto", "najviše". Potražite sličnosti i razlike u 2 slične slike.

3. Ograničenje.
Cilj je naučiti izdvojiti jedan ili više predmeta iz skupine prema određenim karakteristikama. Razvijajte dječje sposobnosti zapažanja.
Igre i vježbe: “zaokruži samo crvene zastavice jednom crtom”, “pronađi sve nekružne objekte” itd. Isključenje četvrtog suvišnog.

4. Generalizacija.
Cilj je naučiti mentalno kombinirati predmete u skupinu prema njihovim svojstvima. Doprinijeti bogaćenju rječnika, proširiti svakodnevno znanje djece.
Igre i vježbe za rad s općim pojmovima: namještaj, posuđe, prijevoz, povrće, voće itd.

5. Usustavljivanje.
Cilj je naučiti identificirati obrasce; proširiti vokabular djece; naučiti pričati po slici, prepričati.
Igre i vježbe: čarobni kvadrati (pokupi dio koji nedostaje, slika). Sastavljanje priče prema nizu slika, slaganje slika u logičan niz.

6. Klasifikacija.
Cilj je naučiti raspoređivati ​​predmete u skupine prema njihovim bitnim karakteristikama. Konsolidacija generalizirajućih pojmova, slobodno rukovanje s njima.

7. Zaključivanje.
Cilj je naučiti uz pomoć prosudbi donijeti zaključak. Doprinijeti širenju znanja djece o kućanstvu. Razvijati maštu.
Igre i vježbe: traženje pozitivnog i negativnog u pojavama (npr. kad pada kiša hrani biljke - to je dobro, ali loše je što na kiši čovjek može pokisnuti, prehladiti se i razboljeti) . Procjena ispravnosti pojedinih sudova („vjetar puše jer se drveće njiše.“ Zar ne?). Odluka logičke zadatke.

1.7 Očekivani rezultati
Planirani rezultati:
Djeca bi trebala znati:

  • principi konstruiranja obrazaca, svojstava brojeva, predmeta, pojava, riječi;
  • principi strukture zagonetki, križaljki, lančanica, labirinata;
  • antonimi i sinonimi;
  • nazive geometrijskih oblika i njihova svojstva;
  • princip programiranja i sastavljanja algoritma akcija.

Djeca bi trebala biti sposobna:

  • određivati ​​uzorke i izvršavati zadatak prema tom uzorku, klasificirati i grupirati predmete, uspoređivati, pronalaziti zajednička i posebna svojstva, generalizirati i apstrahirati, analizirati i vrednovati svoje aktivnosti;
  • zaključivanjem rješavati logičke, nestandardne probleme, izvoditi kreativno-tražilačke, verbalno-didaktičke, numeričke zadatke, pronalaziti odgovor na matematičke zagonetke;
  • odgovarati brzo i ispravno tijekom zagrijavanja na postavljena pitanja;
  • obavljati zadatke za treniranje pažnje, percepcije, pamćenja
  • izvoditi grafičke diktate, moći se snalaziti u shematskom prikazu grafičkih zadataka;
  • znati postaviti cilj, planirati faze rada, postići rezultate vlastitim trudom.

Način provjere rezultata rada : generalizirajuća nastava nakon svakog dijela i 2 dijagnostike (početna (rujan) i završna (svibanj)) razine ovladanosti operacijama logičkog mišljenja.

Kao epigraf ovom poglavlju mogle bi poslužiti riječi Sherlocka Holmesa: „Koliko sam ti puta rekao, odbaci sve nemoguće, onda će ono što preostane biti odgovor, koliko god nevjerojatan zvučao“.

Ako rješavanje zagonetke zahtijeva samo sposobnost logičkog razmišljanja i uopće ne treba izvoditi aritmetičke izračune, tada se takva zagonetka obično naziva logičkim problemom. Logički problemi, naravno, spadaju među matematičke, budući da se logika može smatrati vrlo općom, fundamentalnom matematikom. Ipak, zgodno je izdvojiti i proučavati logičke zagonetke odvojeno od njihovih brojnijih aritmetičkih sestara. U ovom poglavlju navest ćemo tri uobičajene vrste logičkih problema i pokušati otkriti kako im pristupiti.

Najčešća vrsta problema koju ljubitelji zagonetki ponekad nazivaju "Smith-Jones-Robinsonov problem" (po analogiji sa starom zagonetkom koju je izumio G. Dudeni).

Sastoji se od niza paketa, koji obično donose određene informacije o likovima; Na temelju ovih pretpostavki moraju se donijeti određeni zaključci. Na primjer, evo kako izgleda najnovija američka verzija problema Dudeney:

1. Smith, Jones i Robinson rade u istoj posadi vlaka kao strojovođa, kondukter i vatrogasac. Njihova zanimanja nisu nužno navedena istim redoslijedom kao njihova prezimena. U vlaku koji vozi brigada nalaze se tri putnika s istim prezimenom.

Ubuduće ćemo svakog putnika s poštovanjem zvati "Mr" (Mr).

2. Gospodin Robinson živi u Los Angelesu.

3. Dirigent živi u Omahi.

4. G. Jones je odavno zaboravio svu algebru koju je učio na koledžu.

5. Putnik - kondukterov imenjak živi u Chicagu.

6. Kondukter i jedan od putnika, poznati specijalist matematičke fizike, idu u istu crkvu.

7. Smith uvijek pobjeđuje ložača kad se sretnu za partiju biljara.

Kako se zove vozač?


Ti bi se problemi mogli prevesti na jezik matematičke logike, koristeći njenu standardnu ​​notaciju, a rješenje tražiti odgovarajućim metodama, ali bi takav pristup bio preglomazan. S druge strane, bez ovakvih ili onakvih kratica teško je razumjeti logičku strukturu problema. Najprikladnije je koristiti tablicu u čije ćemo prazne ćelije unijeti sve moguće kombinacije elemenata skupova koji se razmatraju. U našem slučaju postoje dva takva skupa, pa su nam potrebne dvije tablice (slika 139).

Riža. 139 Dvije tablice za problem Smitha, Jonesa i Robinsona.


U svaku ćeliju upisujemo 1 ako je odgovarajuća kombinacija dopuštena ili 0 ako kombinacija proturječi uvjetima zadatka. Da vidimo kako se to radi. Uvjet 7 očito isključuje mogućnost da je Smith ložač, pa u kućicu u gornjem desnom kutu lijeve tablice upisujemo 0. Uvjet 2 nam govori da Robinson živi u Los Angelesu, pa u donjem lijevom kutu tablice unesite 1 i 0 u sve ostale ćelije u donjem redu i lijevom stupcu kako biste pokazali da g. Robinson ne živi u Omahi ili Chicagu, a g. Smith i g. Jones ne žive u Los Angelesu.

Sada moramo malo razmisliti. Iz uvjeta 3 i 6 znamo da matematički fizičar živi u Omahi, ali ne znamo njegovo prezime. On ne može biti ni gospodin Robinson ni gospodin Jones (uostalom, zaboravio je i elementarnu algebru).

Stoga, to mora biti gospodin Smith. Ovu okolnost bilježimo stavljanjem 1 u srednju ćeliju gornjeg retka desne tablice i 0 u preostale ćelije istog retka i prazne ćelije u srednjem stupcu. Treća jedinica sada se može unijeti samo u jednu ćeliju: to dokazuje da gospodin Jones živi u Chicagu. Iz uvjeta 5 saznajemo da se dirigent također preziva Jones, te upisujemo 1 u središnju ćeliju lijeve tablice i 0 u sve ostale ćelije srednjeg retka i srednjeg stupca. Nakon toga naše tablice poprimaju oblik prikazan na sl. 140.



Riža. 140 Stol jaja prikazana na sl. 139, nakon predispune.


Sada nije teško nastaviti razmišljanje koje vodi do konačnog odgovora. U stupcu s oznakom "Stoker" jedinica se može staviti samo u donju ćeliju. Iz ovoga odmah slijedi da u donjem lijevom kutu treba biti 0. Prazna ostaje samo ćelija u gornjem lijevom kutu tablice, gdje se može staviti samo 1. Dakle, ime vozača je Smith.

Lewis Carroll je volio izmišljati izuzetno složene i genijalne probleme ove vrste. Dekan matematike na koledžu Dortmouth, John J. Kemeny, programirao je jedan od monstruoznih (s 13 varijabli i 12 uvjeta, iz kojih proizlazi da "nijedan sudac ne šmrče duhan") Carrollovih problema za računalo IBM-704. Stroj je dovršio rješenje za oko 4 minute, iako bi ispis potpune "tablice istinitosti" problema (tablice koja pokazuje jesu li moguće kombinacije istinitih vrijednosti varijabli problema istinite ili lažne) trajao 13 sati!

Za čitatelje koji žele okušati sreću s težim problemom od Smith-Jones-Robinsonovog problema, nudimo novu zagonetku. Njegov autor je R. Smullyan sa Sveučilišta Princeton.

1. Godine 1918. prvi Svjetski rat. Na dan potpisivanja mirovnog sporazuma okupila su se tri bračna para kako bi proslavili ovaj događaj za svečanim stolom.

2. Svaki muž je bio brat jedne od žena, a svaka žena je bila sestra jednog od muževa, odnosno među prisutnima su se mogla naznačiti tri srodna para “brat i sestra”.

3. Helen je točno 26 tjedana starija od svog supruga koji je rođen u kolovozu.

4. Sestra gospodina Whitea udana je za Elleninog šogora i udala se za njega na svoj rođendan, u siječnju.

5. Margaret White niža je od Williama Blakea.

6. Arthurova sestra je ljepša od Beatrice.

7. Ivan ima 50 godina.

Kako se zove gospođa Brown?


Ništa manje uobičajena je druga vrsta logičkih problema, koji se, po analogiji sa sljedećim poznatim primjerom, mogu nazvati problemima tipa "problema obojenih kapa". Troje ljudi (nazovimo ih A, B i IZ) zavežite oči i recite da je svaki od njih imao crvenu ili zelenu kapu. Zatim im se odvežu oči i zamoli ih da podignu ruku ako vide crvenu kapu, te da napuste prostoriju ako su sigurni da znaju koje je boje kapa na njihovoj glavi. Ispostavilo se da su sva tri šešira crvena, pa su sva trojica podigla ruke. Prošlo je nekoliko minuta i IZ, koji je inteligentniji od I i NA, napustio prostoriju. Kako IZ uspio odrediti koje je boje šešir na njemu?

[Problem mudraca sa zelenim kapama je u tekstu tako formuliran da nema rješenja. To je posebno vidljivo kada je broj mudraca velik. Koliko će trebati prvom mudracu da pogodi pravu situaciju?

Krajem četrdesetih godina o ovom se problemu intenzivno raspravljalo u Moskvi u školskim matematičkim krugovima te je osmišljena njegova nova verzija u koju je uvedeno diskretno vrijeme. Zadatak je izgledao ovako.

U davna vremena mudraci su živjeli u jednom gradu. Svaki od njih je imao ženu. Ujutro su dolazili na tržnicu i tamo doznavali sve gradske tračeve. I sami su bili ogovarači. Bilo im je veliko zadovoljstvo saznati za nevjeru bilo koje od žena - odmah su saznali za to. Međutim, strogo se poštovalo jedno neizgovoreno pravilo: mužu nikada ništa nije bilo prijavljeno o njegovoj ženi, jer bi svaki od njih, saznavši za vlastitu sramotu, otjerao svoju ženu iz kuće. Tako su živjeli, uživajući u intimnim razgovorima i ostajući potpuno neupućeni u svoje stvari.

Ali jednog dana u grad je došao pravi trač. Došao je na bazar i javno izjavio: “Ali nemaju svi mudri ljudi vjerne žene!” Reklo bi se da trač nije rekao ništa novo - a tako su to znali svi, znao je svaki mudrac (samo je sa zluradošću mislio ne na sebe, nego na drugoga), pa se nitko od ukućana nije obazirao na riječi trača. . Ali mudraci su mislili – zato su mudri ljudi – i n- dan nakon dolaska ogovaranja n mudrih ljudi je protjerano n nevjernih žena (ako ih je bilo n).

Nije teško obnoviti razmišljanje mudraca. Teže je odgovoriti na pitanje: koje je podatke ogovarač dodao onome što su mudraci znali i bez njega?

Ovaj problem se više puta susreće u literaturi].

C se pita može li njegova kapa biti zelena. Kad bi to bio slučaj, onda I bi odmah prepoznao da nosi crvenu kapu, jer samo crvena kapa na glavi može učiniti NA podići ruku. Ali onda I bi napustio sobu. NA počeo razmišljati na potpuno isti način i također bi napustio sobu. Pošto ni jedno ni drugo nije izašlo, IZ zaključio da bi njegova kapa trebala biti crvena.

Ovaj problem se može generalizirati na slučaj kada postoji bilo koji broj ljudi i svi nose crvene kape. Pretpostavimo da se u problemu pojavio četvrti akter D, čak i pronicljiviji od CD mogao rezonirati ovako: “Da mi je kapa zelena, onda A, B i IZ našli bi se u potpuno istoj situaciji koja je upravo opisana, a za nekoliko minuta bi najpronicljiviji od trojca sigurno napustio prostoriju.

Ali već je prošlo pet minuta, a nitko od njih ne izlazi, stoga mi je kapa crvena.

Kad bi postojao peti član koji je još pametniji od D, mogao je zaključiti da nosi crvenu kapu nakon deset minuta čekanja. Naravno, naše razmišljanje gubi na uvjerljivosti zbog pretpostavki o različitim stupnjevima domišljatosti. A, B, C... i prilično nejasna razmišljanja o tome koliko bi najpronicljivija osoba trebala čekati prije nego što može pouzdano imenovati boju svog šešira.

Neki drugi "color cap" problemi sadrže manje neizvjesnosti. Takav je, na primjer, sljedeći problem, koji je također izmislio Smullyan. Svaki od trojice A, B i IZ- tečno govori logiku, odnosno zna u trenu izvući sve konzekvence iz zadanog niza premisa i zna da tu sposobnost imaju i ostali.

Uzmemo četiri crvena i četiri zelena žiga, zavežemo oči našim “logičarima” i zalijepimo im po dva žiga na čelo. Zatim im skinemo zavoje s očiju i zauzvrat pitamo A, B i IZ isto pitanje: "Znaš li koje su boje žigovi na tvom čelu?" Svaki od njih odgovara niječno. Zatim ponovno pitamo I i opet dobivamo negativan odgovor. Ali kad drugi put postavimo isto pitanje NA, odgovara potvrdno.

Koje je boje znak na čelu NA?


Treća vrsta popularnih logičkih zagonetki su problemi o lažljivcima i onima koji uvijek govore istinu. NA klasična verzija zadaci pričamo o putniku koji se nađe u zemlji u kojoj žive dva plemena. Pripadnici jednog plemena uvijek lažu, pripadnici drugog uvijek govore istinu. Putnik susreće dvojicu domorodaca. "Govoriš li uvijek istinu?" - pita visokog domorodca. On odgovara: "Tarabar". "Rekao je da", objašnjava manji domorodac koji zna engleski, "ali on je užasan lažac." Kojem plemenu pripada svaki od domorodaca?


Sustavni pristup rješavanju bio bi ispisati sve četiri mogućnosti: AI, IL, LI, LL (I znači "točno", L - "netočno") - i isključiti one koje proturječe podacima problema. Odgovor se može dobiti mnogo brže ako se primijeti da visoki domorodac mora odgovoriti potvrdno laže li ili govori istinu. Budući da je manji domorodac rekao istinu, mora pripadati plemenu istinoljubivih, a njegov visoki prijatelj - plemenu lažljivaca.

Najpoznatiji problem ove vrste, kompliciran uvođenjem pondera vjerojatnosti i ne baš jasnom formulacijom, sasvim neočekivano nalazimo u sredini šestog poglavlja knjige New Pathways in Science engleskog astronoma A. Eddingtona. "Ako A, B, C i D reći istinu jednom od tri (neovisno) i I navodi da NA poriče to IZ kaže kao da D lažov, koja je vjerojatnost da D rekao istinu?"

Eddingtonov odgovor, 25/71, dočekan je uz kišu protesta čitatelja i izazvao je smiješnu i zbunjujuću raspravu koja nikada nije konačno razriješena. Engleski astronom G. Dingle, autor recenzije Eddingtonove knjige objavljene u časopisu Nature (ožujak 1935.), smatrao je da problem uopće ne zaslužuje pozornost kao besmislen i samo ukazuje na to da Eddington nije dovoljno promislio temeljne ideje. teorije vjerojatnosti. Američki fizičar T. Stern (Nature, lipanj 1935.) usprotivio se tome, ustvrdivši da, po njegovom mišljenju, problem nipošto nije besmislen, ali nema dovoljno podataka za njegovo rješavanje.

Kao odgovor, Dingle je primijetio (Nature, rujan 1935.) da ako se zauzme Sternovo gledište, tada ima dovoljno podataka za odluku i odgovor će biti 1/3. Ovdje je Eddington ušao u borbu, objavivši (Mathemetical gazette, listopad 1935.) članak u kojemu je detaljno objašnjeno kako je dobio svoj odgovor. Spor je završio s još dva članka koja su izašla u istom časopisu, autor jednog od njih branio je Eddingtona, a drugi je iznio stajalište drugačije od svih prethodnih.

Teškoća je uglavnom u razumijevanju Eddingtonove formulacije. Ako NA, izražavajući svoje poricanje, govori istinu, možemo li onda razumno pretpostaviti da IZ rekao je to D reci istinu? Eddington je smatrao da nema dovoljno temelja za takvu pretpostavku. Isto tako, ako I laži, možemo li biti sigurni da NA i IZ jesu li uopće nešto rekli? Srećom, možemo zaobići sve te lingvističke poteškoće donošenjem sljedećih pretpostavki (Eddington ih nije napravio):

1. Nitko od četvorice nije šutio.

2. Izjave A, B i IZ(svaki od njih posebno) potvrditi ili demantirati sljedeću tvrdnju.

3. Lažna tvrdnja koincidira sa svojom negacijom, a lažna negacija koincidira s tvrdnjom.

Sva četvorica lažu neovisno jedna o drugoj s vjerojatnošću 1/3, odnosno u prosjeku su bilo koje dvije od njihove tri izjave netočne. Ako je istinita tvrdnja označena slovom I, a lažno - slov L, zatim za A, B, C i D dobivamo tablicu koja se sastoji od osamdeset i jedne različite kombinacije. Iz ovog broja treba isključiti one kombinacije koje su zbog uvjeta problema nemoguće.

Broj valjanih kombinacija koje završavaju slovom I(tj. istinita - istinita - izjava D), treba podijeliti s ukupnim brojem svih valjanih kombinacija, što će dati odgovor.

Treba razjasniti formulaciju problema o putniku i dva domorodca. Putnik je shvatio da riječ "brbljanje" na jeziku domorodaca znači ili "da" ili "ne", ali nije mogao pogoditi što točno. To bi upozorilo na nekoliko poruka e-pošte, od kojih jednu donosim u nastavku.

Visoki domorodac očito nije razumio ni riječ od onoga što mu je putnik rekao (na engleskom) i nije mogao odgovoriti s da ili ne na engleskom. Stoga njegovo "brbljanje" znači nešto poput: "Ne razumijem" ili "Dobro došli u Bongo-Bongo." Dakle, mali domorodac je lagao kada je rekao da je njegov prijatelj odgovorio "da", a kako je mali bio lažljivac, lagao je i kad je visokog domorodca nazvao lažovom. Stoga bi visokog domorodca trebalo smatrati iskrenim.

Tako je ženska logika zadala udarac mojoj muškoj taštini. Nije li to malo povrijedilo tvoj autorski ponos?


Odgovori

Prvi logički problem najbolje je riješiti pomoću tri tablice: jedna za kombinacije imena i prezimena žena, druga za imena i prezimena muževa, a treća za obiteljske veze.

Budući da se gospođa White zove Margaret (uvjet 5), ostaju nam samo dvije mogućnosti za imena druge dvije supruge: a) Helen Blake i Beatrice Brown, ili b) Helen Brown i Beatrice Blake.

Pretpostavimo da se dogodi druga od mogućnosti. Whiteova sestra mora biti ili Helen ili Beatrice. Ali Beatrice ne može biti Wyneova sestra, jer bi tada Blake bio Helenin brat, a Blakeova dva šurjaka bi bili White (brat njegove žene) i Brown (muž njegove sestre); Beatrice Blake nije udana ni za jedno od njih, što je u suprotnosti s uvjetom 4. Prema tome, Whiteova sestra mora biti Helen. Iz toga pak zaključujemo da se Brownova sestra zove Beatrice, a Blakeova sestra Margaret.

Iz uvjeta 6 proizlazi da se gospodin White zove Arthur (Brown ne može biti Arthur, jer bi takva kombinacija značila da je Beatrice ljepša od sebe, a Blake ne može biti Arthur, budući da iz uvjeta 5 znamo njegovo ime: William). Dakle, gospodin Brown može biti samo John. Nažalost, iz uvjeta 7 vidimo da je Ivan rođen 1868. (50 godina prije potpisivanja mirovnog ugovora). Ali 1868. je prijestupna godina, pa Helen mora biti starija od svog supruga jedan dan više od 26 tjedana navedenih u uvjetu 3. (Iz uvjeta 4 znamo da je rođena u siječnju, a iz uvjeta 3 da je njezin muž rođen u kolovozu. Mogla bi biti točno 26 tjedana starija od svog muža ako joj je rođendan 31. siječnja, a njegov 1. kolovoza, i ako između ovih datuma nema 29. veljače!) Dakle, druga od mogućnosti, s kojom smo započeli treba odbaciti, što nam omogućuje da imenujemo supruge: Margaret White, Helen Blake i Beatrice Brown. Ovdje nema proturječja, budući da ne znamo godinu Blakeova rođenja. Iz uvjeta zadatka može se zaključiti da je Margaret Brownova sestra, Beatrice Blakeova sestra, a Helen Whiteova sestra, ali ostaje neriješeno pitanje imena White i Brown.


U problemu s markama NA postoje tri mogućnosti. Njegovi žigovi mogu biti: 1) oba crvena; 2) oba zelena; 3) jedna je zelena, a druga crvena. Pretpostavimo da su obje marke crvene boje.

Nakon što sva trojica jednom odgovore, I može rezonirati ovako: “Tragovi na mom čelu ne mogu biti i crveni (jer tada IZ vidio četiri crvena pečata i odmah bi prepoznao da ima dva zelena pečata na čelu, i ako IZ tada su obje marke bile zelene NA, vidjevši četiri zelena pečata, shvatio bi da ima dva crvena pečata na čelu). Zato imam jedan zeleni i jedan crveni biljeg na čelu.”

Ali kada I pitao drugi put, nije znao koje je boje njegova marka. Dopušteno je NA odbaciti mogućnost da su oba njegova vlastita pečata crvena. Raspravljajući na potpuno isti način kao A, B isključio slučaj kada su mu oba pečata zelena. Stoga mu je ostala samo jedna mogućnost: jedna markica je zelena, druga crvena.

Nekoliko čitatelja brzo je primijetilo da se problem može riješiti vrlo brzo bez potrebe za analizom pitanja i odgovora. Evo što je o tome napisao jedan od čitatelja: “Uvjeti problema su potpuno simetrični u odnosu na crvene i zelene oznake.

Stoga je podjelom maraka između A, B i IZ ako su ispunjeni svi uvjeti zadatka i zamjenom crvenih oznaka zelenim i, obrnuto, zelenih crvenim, doći ćemo do drugačije raspodjele, za koju će također biti zadovoljeni svi uvjeti. Slijedi da ako je rješenje jedinstveno, onda mora biti nepromjenjivo (ne treba se mijenjati) kada se zelene oznake zamjenjuju crvenima, a crvene zelenima. Takvo rješenje može biti samo takva raspodjela maraka, u kojoj će B imati jednu zelenu i jednu crvenu marku.

Kao što je rekao W. Manheimer, dekan Odsjeka za matematiku na koledžu Brooklyn, ovo elegantno rješenje dolazi iz činjenice da ne A, B i IZ(kako je navedeno u uvjetu problema), i Raymond Smullyan!


U Eddingtonovom problemu, vjerojatnost da D govori istinu, je 13/41. Sve kombinacije true i false koje sadrže neparan broj puta false (ili true) trebaju biti odbačene kao proturječne uvjetima problema. Kao rezultat toga, broj mogućih kombinacija smanjen je s 81 na 41, od kojih samo 13 završava istinitom tvrdnjom. D. Jer A, B i IZ reći istinu u slučajevima koji odgovaraju točno istom broju valjanih kombinacija, vjerojatnost govorenja istine jednaka je za sve četiri.

Korištenje simbola ekvivalencije

što znači da su propozicije povezane njime ili obje istinite ili obje lažne (tada je lažna propozicija istinita, inače je lažna), a simbol negacije ~, Eddingtonov problem u iskaznom računu može se napisati na sljedeći način:

ili nakon nekih pojednostavljenja poput ovog:

Tablica istinitosti ovog izraza potvrđuje već dobiveni odgovor.

Bilješke:

To je frustrirajuće- uzrujati, učiniti nešto uzaludnim, beznadnim, osuditi na neuspjeh (engleski).

Vidi poglavlje o Raymondu Smullyanu u knjizi M. Gardner"Putovanje kroz vrijeme" (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Novi putovi u znanosti. - Cambridge: 1935.; Michigan: 1959.

Uvod

Logika je Bog mislilaca.

L. Feuchtwanger

Sposobnost ispravnog rasuđivanja neophodna je u bilo kojem području ljudske djelatnosti: znanosti i tehnologije, pravosuđu i diplomaciji, gospodarskom planiranju i vojnim poslovima. I ova sposobnost seže do drevna vremena, logika, tj. znanost o tome koji su oblici rasuđivanja ispravni nastala je tek prije nešto više od dvije tisuće godina. Razvijen je u VI stoljeću. PRIJE KRISTA. u djelima velikog starogrčkog filozofa Aristotela, njegovih učenika i sljedbenika.

U jednom trenutku matematičari su postavili pitanje: “Što je zapravo matematika, matematička aktivnost?” Jednostavan odgovor je da matematičari dokazuju teoreme, odnosno otkrivaju neke istine o tome stvarni svijet i "idealni matematički svijet". Pokušaj odgovora na pitanje što je matematički teorem, matematička istina, a što matematička tvrdnja istinita ili dokaziva, ovo je ujedno i mreža polazišta matematičke logike. U školi moramo naučiti analizirati, uspoređivati, isticati glavno, generalizirati i sistematizirati, dokazivati ​​i pobijati, definirati i objašnjavati pojmove, postavljati i rješavati probleme. Ovladavanje ovim metodama znači sposobnost mišljenja. U znanosti treba izvoditi razne formule, numeričke obrasce, pravila i dokazivati ​​teoreme zaključivanjem. Na primjer, 1781. godine otkriven je planet Uran. Promatranja su pokazala da se kretanje ovog planeta razlikuje od teoretski izračunatog gibanja. Francuski znanstvenik Le Verrier (1811.-1877.), logički razmišljajući i izvodeći prilično složene proračune, utvrdio je utjecaj drugog planeta na Uran i naznačio njegov položaj. Godine 1846. astronom Galle potvrdio je postojanje planeta koji je nazvan Neptun. Pritom su se služili logikom matematičkog promišljanja i izračuna.

Drugo polazište naših razmatranja je razjasniti što znači da je matematička funkcija izračunljiva i da se može izračunati pomoću nekog algoritma, formalnog pravila, precizno opisanog postupka. Ove dvije početne formulacije imaju mnogo toga zajedničkog, prirodno su objedinjene pod općim nazivom "matematička logika", pri čemu se matematička logika shvaća prvenstveno kao logika matematičkog razmišljanja i matematičkih radnji.

Odabrao sam ovu temu jer će mi svladavanje elemenata matematičke logike pomoći u budućem ekonomskom zanimanju. Uostalom, trgovac analizira trendovetržište,cijene, promet i metode marketinga, prikuplja podatke o konkurentskim organizacijama,izdaje preporuke. Da biste to učinili, morate koristiti znanje logike.

Cilj: proučavati i koristiti mogućnosti matematičke logike u rješavanju problema u različitim područjima i ljudskim djelatnostima.

Zadaci:

1. Analizirati literaturu o biti i podrijetlu matematičke logike.

2. Proučiti elemente matematičke logike.

3. Odabrati i riješiti zadatke s elementima matematičke logike.

Metode: analiza literature, pojmovi, metoda analogije u rješavanju problema, samopromatranje.

  1. Iz povijesti nastanka matematičke logike

Matematička logika je usko povezana s logikom i njoj duguje svoj nastanak. Temelje logike, znanosti o zakonima i oblicima ljudskog mišljenja, postavio je najveći starogrčki filozof Aristotel (384.-322. pr. Kr.), koji je u svojim traktatima temeljito proučio terminologiju logike, detaljno analizirao teoriju zaključivanja. i dokaze, opisao niz logičkih operacija, formulirao osnovne zakone mišljenja, uključujući zakone proturječja i isključenja trećeg. Aristotelov doprinos logici je vrlo velik, nije bez razloga njezin drugi naziv aristotelovska logika. Čak je i sam Aristotel primijetio da između znanosti koju je stvorio i matematike (tada se zvala aritmetika) postoji mnogo toga zajedničkog. Pokušao je spojiti te dvije znanosti, naime refleksiju, odnosno zaključivanje, svesti na proračun na temelju početnih pozicija. U jednoj od svojih rasprava Aristotel se približio jednom od dijelova matematičke logike - teoriji dokaza.

U budućnosti su mnogi filozofi i matematičari razvili određene odredbe logike, a ponekad čak i ocrtali konture modernog propozicijskog računa, ali najbliži stvaranju matematičke logike došao je u drugoj polovici 17. stoljeća, izvanredni njemački znanstvenik Gottfried Wilhelm. Leibniz (1646. - 1716.), koji je ukazao na načine prevođenja logike "iz verbalnog područja, punog nesigurnosti, u područje matematike, gdje su odnosi između objekata ili iskaza određeni sa savršenom preciznošću". Leibniz se čak nadao da će filozofi u budućnosti, umjesto besplodnog raspravljanja, uzeti papir i zaključiti tko je od njih u pravu. Istodobno, Leibniz se u svojim djelima dotakao i binarnog brojevnog sustava. Treba napomenuti da je ideja korištenja dva znaka za kodiranje informacija vrlo stara. Australski starosjedioci računali su u dvojkama, neka plemena lovaca-sakupljača Nove Gvineje i Južne Amerike također su koristila binarni sustav brojanja. Kod nekih afričkih plemena poruke se prenose pomoću bubnjeva u obliku kombinacije zvučnih i tupih taktova. Poznati primjer kodiranja s dva znaka je Morseov kod, gdje su slova abecede predstavljena određenim kombinacijama točaka i crtica. Nakon Leibniza, mnogi su eminentni znanstvenici provodili istraživanja u ovom području, ali pravi uspjeh ovdje je postigao samouki engleski matematičar George Boole (1815.-1864.), čija odlučnost nije poznavala granice.

Financijska situacija Georgeu su roditelji (čiji je otac bio postolar) dopustili samo da diplomira osnovna škola za siromahe. Nakon nekog vremena, Buhl je, nakon što je promijenio nekoliko zanimanja, otvorio malu školu, gdje je sam učio. Mnogo je vremena posvetio samoobrazovanju i ubrzo se zainteresirao za ideje simboličke logike. Godine 1847. Boole je objavio članak "Matematička analiza logike ili iskustvo računa deduktivnih zaključaka", a 1854. pojavilo se njegovo glavno djelo "Istraživanje zakona mišljenja na kojima se temelje matematičke teorije logike i vjerojatnosti". . Boole je izumio neku vrstu algebre - sustav notacije i pravila primjenjivih na sve vrste objekata, od brojeva i slova do rečenica. Koristeći ovaj sustav, mogao je kodirati izjave (izjave za koje je trebalo dokazati da su istinite ili lažne) pomoću simbola svog jezika, a zatim njima manipulirati na isti način na koji se manipulira brojevima u matematici. Osnovne operacije Booleove algebre su konjunkcija (I), disjunkcija (ILI) i negacija (NE). Nakon nekog vremena postalo je jasno da je Booleov sustav vrlo prikladan za opisivanje električnih sklopnih krugova. Struja u strujnom krugu može teći ili ne, baš kao što izjava može biti istinita ili netočna. A nekoliko desetljeća kasnije, već u 20. stoljeću, znanstvenici su spojili matematički aparat koji je stvorio George Boole s binarnim brojevnim sustavom, postavljajući tako temelje za razvoj digitalnog elektroničkog računala. Pojedine odredbe Booleovog rada u određenoj su mjeri doticali i prije i poslije njega drugi matematičari i logičari. Međutim, danas se na ovim prostorima matematičkim klasicima smatraju radovi Georgea Boolea, a on sam se s pravom smatra utemeljiteljem matematičke logike i tim više njezinih najvažnijih dijelova - algebre logike (Boolean algebra ) i algebra iskaza.

Veliki doprinos razvoju logike dali su i ruski znanstvenici P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Žegalkin (1869-1947).

U 20. stoljeću veliku ulogu u razvoju matematičke logike odigrali su

D. Hilbert (1862-1943), koji je predložio program za formalizaciju matematike povezan s razvojem temelja same matematike. Konačno, u posljednjim desetljećima 20. stoljeća, brzi razvoj matematičke logike bio je posljedica razvoja teorije algoritama i algoritamskih jezika, teorije automata, teorije grafova (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov i mnogi drugi).

Sredinom 20. stoljeća razvoj računalne tehnologije doveo je do pojave logičkih elemenata, logičkih blokova i uređaja računalne tehnologije, što je bilo povezano s dodatnim razvojem takvih područja logike kao što su problemi logičke sinteze, logičkog dizajna i logičkog modeliranja logičkih uređaja i računalne tehnologije. Osamdesetih godina prošlog stoljeća započela su istraživanja na području umjetna inteligencija na temelju jezika i sustava logičkog programiranja. Stvaranje ekspertnih sustava počelo je korištenjem i razvojem automatskog dokazivanja teorema, kao i metoda programiranja temeljenog na dokazima za provjeru algoritama i računalnih programa. Osamdesetih godina prošlog stoljeća počinju i promjene u obrazovanju. Pojava osobnih računala u srednjim školama dovela je do stvaranja udžbenika informatike s proučavanjem elemenata matematičke logike kako bi se objasnili logički principi rada logički sklopovi i računalnih uređaja, kao i načela logičkog programiranja za računala pete generacije i razvoj udžbenika informatike uz proučavanje jezika predikatnog računa za projektiranje baza znanja.

  1. Osnove teorije skupova

Pojam skupa jedan je od onih temeljnih pojmova matematike koje je teško precizno definirati pomoću elementarnih pojmova. Stoga ćemo se ograničiti na opisno objašnjenje pojma skupa.

puno naziva se skup određenih sasvim različitih predmeta, koji se smatraju jednom cjelinom. Tvorac teorije skupova, Georg Cantor, dao je sljedeću definiciju skupa - "skup je puno o čemu razmišljamo kao o cjelini".

Pojedinačni predmeti koji čine skup nazivaju se elementi skupa.

Skupovi se obično označavaju velikim slovima latinične abecede, a elementi tih skupova malim slovima latinične abecede. Skupovi se pišu u vitičastim zagradama ( ).

Uobičajeno je koristiti sljedeće oznake:

    a∈ X - "element a pripada skupu X";

    a∉ X - "element a ne pripada skupu X";

    ∀ - kvantifikator proizvoljnosti, općenitosti, koji označava "bilo koji", "što god", "za sve";

    ∃ - kvantifikator postojanja:∃ g∈ B - "postoji (postoji) element y iz skupa B";

    ∃! - kvantifikator postojanja i jedinstvenosti:∃ !b∈ C - "postoji jedinstven element b iz skupa C";

    : - “tako da; posjedovanje imovine";

    → - simbol posljedice, znači "povlači";

    ⇔ - kvantifikator ekvivalencije, ekvivalencija - "ako i samo tada".

Setovi su konačno i beskrajno . Skupovi se nazivaju konačni , ako je broj njegovih elemenata konačan, tj. ako postoji prirodni broj n, koji je broj elemenata skupa. A=(a 1, a 2, a 3, ..., a n ). Skup se zove beskrajan ako sadrži beskonačan broj elemenata. B=(b 1,b 2,b 3 , ...). Na primjer, skup slova ruske abecede je konačan skup. Skup prirodnih brojeva je beskonačan skup.

Broj elemenata u konačnom skupu M naziva se kardinalitet skupa M i označava se sa |M|. prazan skup - skup koji ne sadrži nijedan element -∅ . Dva skupa su tzv jednak , ako se sastoje od istih elemenata, tj. su isti skup. Skupovi nisu jednaki X ≠ Y ako X ima elemente koji ne pripadaju Y, ili Y ima elemente koji ne pripadaju X. Simbol jednakosti skupa ima sljedeća svojstva:

    X=X; - refleksivnost

    ako je X=Y, Y=X - simetrija

    ako je X=Y,Y=Z, tada je X=Z tranzitivan.

Prema ovoj definiciji jednakosti skupova prirodno dobivamo da su svi prazni skupovi međusobno jednaki, odnosno da je isto da postoji samo jedan prazan skup.

Podskupovi. Odnos uključivanja.

Skup X je podskup skupa Y ako bilo koji element skupa X∈ i skup Y. Označeno sa X⊆ Y.

Ako je potrebno naglasiti da Y sadrži i druge elemente osim elemenata iz X, tada se koristi simbol striktne inkluzije.⊂ : X ⊂ Y. Odnos između simbola⊂ i ⊆ daje:

x ⊂ Y ⇔ x ⊆ Y i X≠Y

Napominjemo neka svojstva podskupa koja slijede iz definicije:

    x⊆ X (refleksivnost);

    → X⊆ Z (tranzitivnost);

Izvorni skup A u odnosu na svoje podskupove naziva se potpuna skup i označava se sa I.

Bilo koji podskup A ja skup A nazivamo pravilnim skupom A.

Skup koji se sastoji od svih podskupova danog skupa X i praznog skupa∅ , naziva se boolean X i označava se s β(X). Booleova snaga |β(X)|=2 n.

Brojivi skup- ovo je skup A, čiji se svi elementi mogu numerirati u nizu (m.b. beskonačno) i 1, a 2, a 3, ..., a n , ... tako da u ovom slučaju svaki element prima samo jedan broj n i svaki prirodni broj n je dan kao broj jednom i samo jednom elementu našeg skupa.

Skup ekvivalentan skupu prirodnih brojeva naziva se prebrojiv skup.

Primjer. Skup kvadrata cijelih brojeva 1, 4, 9, ..., n 2 predstavlja samo podskup skupa prirodnih brojeva N. Skup je prebrojiv, jer je doveden u korespondenciju jedan na jedan s prirodnim nizom tako što se svakom elementu pripisuje broj broja prirodnog niza, kvadrat što i jest.

Postoje 2 glavna načina za definiranje skupova.

    nabrajanje (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

    opis – označava karakteristična svojstva koja imaju svi elementi skupa.

Skup je u potpunosti definiran svojim elementima.

Nabrajanje može specificirati samo konačne skupove (na primjer, skup mjeseci u godini). Beskonačni skupovi mogu se definirati samo opisivanjem svojstava njegovih elemenata (na primjer, skup racionalnih brojeva može se definirati opisivanjem Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Načini navođenja skupa opisom:

a) određivanjem postupka generiranjas naznakom skupa (skupova) kroz koji prolazi parametar (parametri) ovog postupka - rekurzivni, induktivni.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - mnogo Fiboniccijevih brojeva.

(više elemenata x, tako da x 1 \u003d 1, x 2 =1 i proizvoljno x k+1 (za k=1,2,3,...) izračunava se formulom x k+2 \u003d x k + x k + 1) ili X \u003d)

Slični postovi