Զվարճալի տրամաբանություն մաթեմատիկայի մեջ. Զվարճալի տրամաբանություն Մաթեմատիկայի տրամաբանական հարցեր

1. Բացատրական նշում
1.1 Համապատասխանություն
1.2 Ծրագրի նպատակը
1.3 Ծրագրի նպատակները
1.4 Ծրագրի իրականացման ժամկետները, երեխաների տարիքը, պարապմունքների անցկացման ձեւերը
1.5 Ծրագրի իրականացման փուլերը
1.6 Ծրագրի բովանդակությունը
1.7 Ակնկալվող արդյունքները

2. Մեթոդական աջակցություն
2.1 Շրջանակի հեռանկարային-թեմատիկ պլան « Զվարճալի տրամաբանություն»

3. Նախադպրոցական տարիքի երեխաների տրամաբանական մտածողության ախտորոշիչ ծրագիր.

5. Տեղեկատվական ռեսուրսներ

1. Բացատրական նշում.
Ինչու՞ տրամաբանություն փոքրիկ նախադպրոցական երեխայի համար:
Ըստ Լ.Ա.Վենգերի՝ «հինգ տարեկան երեխաների համար միայն իրերի արտաքին հատկությունները ակնհայտորեն բավարար չեն։ Նրանք բավականին պատրաստ են աստիճանաբար ծանոթանալ ոչ միայն արտաքին, այլև ներքին, թաքնված հատկություններին ու հարաբերություններին, որոնք ընկած են աշխարհի մասին գիտական ​​գիտելիքների հիմքում... Այս ամենը օգտակար կլինի: մտավոր զարգացումերեխան միայն այն դեպքում, եթե ուսուցումն ուղղված է մտավոր կարողությունների զարգացմանը, այն կարողություններին ընկալման, երևակայական մտածողության, երևակայության ոլորտում, որոնք հիմնված են իրերի արտաքին հատկությունների և դրանց տեսակների նմուշների յուրացման վրա…»:
Նախադպրոցական տարիքում երեխայի ձեռք բերած հմտությունները հիմք կծառայեն ավելի մեծ տարիքում՝ դպրոցում գիտելիքներ ձեռք բերելու և կարողություններ զարգացնելու համար։ Եվ այս հմտություններից ամենակարեւորը տրամաբանական մտածողության հմտությունն է, «մտքում գործելու» կարողությունը։ Երեխայի համար, ով չի տիրապետել տրամաբանական մտածողության մեթոդներին, ավելի դժվար կլինի լուծել խնդիրները, վարժություններ կատարելը շատ ժամանակ և ջանք կպահանջի: Արդյունքում, երեխայի առողջությունը կարող է տուժել, սովորելու նկատմամբ հետաքրքրությունը կարող է թուլանալ կամ նույնիսկ մարել:
Տրամաբանական գործողություններին տիրապետելով՝ երեխան ավելի ուշադիր կլինի, կսովորի հստակ և հստակ մտածել և ճիշտ ժամանակին կկարողանա կենտրոնանալ խնդրի էության վրա։ Դա ավելի հեշտ կդառնա սովորելը, ինչը նշանակում է, որ ուսուցման գործընթացը և ինքը դպրոցական կյանքկբերի ուրախություն և բավարարվածություն:
Այս ծրագիրը ցույց է տալիս, թե ինչպես է հնարավոր հատուկ խաղերի և վարժությունների միջոցով երեխաների մոտ ձևավորել շրջապատող իրականության մեջ ինքնուրույն տրամաբանական հարաբերություններ հաստատելու ունակությունը։
Նախադպրոցականների հետ աշխատելով ճանաչողական գործընթացների զարգացման վրա՝ դուք գալիս եք այն եզրակացության, որ նրանց հաջող զարգացման և ուսուցման համար անհրաժեշտ պայմաններից մեկը հետևողականությունն է, այսինքն. հետևողականորեն զարգացող և ավելի բարդ բովանդակությամբ հատուկ խաղերի և վարժությունների համակարգ, դիդակտիկ առաջադրանքներով, խաղային գործողություններև կանոններ։ Առանձին վերցված խաղերն ու վարժությունները կարող են շատ հետաքրքիր լինել, սակայն դրանք համակարգից դուրս օգտագործելով՝ չի կարելի հասնել ցանկալի ուսումնառության և զարգացման արդյունքի։
1.1 Համապատասխանություն
Դպրոցական ծրագիրը հաջողությամբ յուրացնելու համար երեխային անհրաժեշտ է ոչ միայն շատ բան իմանալ, այլև հետևողական ու վերջնական մտածել, գուշակել, հոգեկան լարվածություն դրսևորել և տրամաբանորեն մտածել։
Տրամաբանական մտածողության զարգացման ուսուցումը ապագա ուսանողի համար փոքր նշանակություն չունի և շատ արդիական է այսօր։
Յուրացնելով անգիր սովորելու ցանկացած մեթոդ՝ երեխան սովորում է առանձնացնել նպատակ և նյութի հետ որոշակի աշխատանք տանել դրան հասնելու համար։ Նա սկսում է հասկանալ անգիր անելու նպատակով նյութը կրկնելու, համեմատելու, ընդհանրացնելու, խմբավորելու անհրաժեշտությունը։
Երեխաներին դասակարգման մասին ուսուցանելը նպաստում է հիշելու ավելի բարդ ձևի հաջող յուրացմանը՝ այն իմաստային խմբավորմանը, որին երեխաները հանդիպում են դպրոցում:
Օգտագործելով նախադպրոցական տարիքի երեխաների տրամաբանական մտածողության և հիշողության զարգացման հնարավորությունները՝ հնարավոր է ավելի հաջողությամբ պատրաստել երեխաներին այն խնդիրների լուծմանը, որոնք մեր առջեւ դնում է դպրոցական կրթությունը։
Տրամաբանական մտածողության զարգացումը ներառում է դիդակտիկ խաղերի կիրառում, հնարամտություն, հանելուկներ, լուծում տարբեր տրամաբանական խաղերև լաբիրինթոսներ և մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում երեխաների համար: Այս գործունեության ընթացքում երեխաների մոտ ձևավորվում են անհատականության կարևոր գծեր՝ զարգացնում են անկախությունը, հնարամտությունը, հնարամտությունը, հաստատակամությունը, կառուցողական հմտությունները։ Երեխաները սովորում են պլանավորել իրենց գործողությունները, մտածել դրանց մասին, կռահել արդյունքի որոնման մեջ՝ միաժամանակ ցուցադրելով ստեղծագործական ունակություններ:
Երեխաների հետ աշխատելիս կարող եք նկատել, որ շատ երեխաներ չեն կարողանում գլուխ հանել պարզ թվացող տրամաբանական խնդիրներից։ Օրինակ, ավելի մեծ նախադպրոցական տարիքի երեխաների մեծամասնությունը չի կարող ճիշտ պատասխանել հարցին, թե որն է ավելին՝ մրգեր կամ խնձորներ, նույնիսկ եթե նրանց ձեռքում կա նկար, որի վրա նկարված են մրգեր՝ շատ խնձոր և մի քանի տանձ: Երեխաները կպատասխանեն, որ տանձերն ավելի շատ են: Նման դեպքերում նա իր պատասխանները հիմնավորում է իր աչքով տեսածի վրա։ Փոխաբերական մտածողությամբ նրանք «հուսահատվում» են, իսկ 5 տարեկանում երեխաները դեռ չեն տիրապետում տրամաբանական տրամաբանությանը։ ավագում նախադպրոցական տարիքնրանք սկսում են ցույց տալ տրամաբանական մտածողության տարրեր, որոնք բնորոշ են դպրոցականներին և մեծահասակներին, որոնք պետք է մշակվեն տրամաբանական մտածողության զարգացման ամենաօպտիմալ մեթոդները բացահայտելու համար:
Տրամաբանական բովանդակության խաղերն օգնում են երեխաների ճանաչողական հետաքրքրությունը կրթել, նպաստել հետազոտությանն ու ստեղծագործական որոնմանը, սովորելու ցանկությունն ու կարողությունը: Դիդակտիկ խաղերը որպես երեխաների ամենաբնական գործունեությունից մեկը և նպաստում են ինտելեկտուալ և ստեղծագործական դրսևորումների ձևավորմանն ու զարգացմանը, ինքնադրսևորմանը և անկախությանը: Երեխաների մոտ տրամաբանական մտածողության զարգացում դիդակտիկ խաղերկարևոր է հետագա ուսման հաջողության, աշակերտի անհատականության ճիշտ ձևավորման և հետագա կրթության համար, կօգնի հաջողությամբ յուրացնել մաթեմատիկայի և համակարգչային գիտության հիմունքները:
1.2 Ծրագրի նպատակը.պայմանների ստեղծում նախադպրոցական տարիքի երեխաների տրամաբանական մտածողության առավելագույն զարգացման համար՝ հաջող դպրոցական պատրաստվելու համար:
1.3 Ծրագրի նպատակները.

• երեխաներին սովորեցնել հիմնական տրամաբանական գործողությունները՝ վերլուծություն, սինթեզ, համեմատություն, ժխտում, դասակարգում, համակարգում, սահմանափակում, ընդհանրացում, եզրակացություն
• երեխաներին սովորեցնել նավարկել տարածության մեջ
• երեխաների մոտ զարգացնել ավելի բարձր մտավոր գործառույթներ, տրամաբանելու կարողություն, ապացուցել
• զարգացնել դժվարությունները հաղթահարելու ցանկություն, ինքնավստահություն, հասակակիցին օգնելու ցանկություն

1.4 Ծրագրի իրականացման ժամկետները, երեխաների տարիքը, պարապմունքների անցկացման ձեւերը
Ծրագրի իրականացման ժամկետները՝ 1-2 տարի
Ծրագիրը նախատեսված է 5-7 տարեկան երեխաների համար։
Ծրագիրը նախատեսում է շրջանաձեւ դասեր անցկացնել տարբեր ձևերով.

• Անհատական ինքնուրույն աշխատանքերեխաներ.
• Աշխատանք զույգերով.
• Խմբային աշխատանքի ձևեր.
• Տարբերակված.
• Ճակատային ստուգում և հսկողություն:
• Կատարված աշխատանքի ինքնագնահատում.
• Դիդակտիկ խաղ.
• Մրցույթ.
• Մրցույթներ.

1.5 Ծրագրի իրականացման փուլերը
Գործունեության տեխնոլոգիան կառուցված է փուլերով.

1. Ճանաչողական գործընթացների զարգացման սկզբնական մակարդակի ախտորոշում և դրանց զարգացման վերահսկում:
2. Պլանավորել այն միջոցները, որոնցով կարելի է զարգացնել այս կամ այն ​​որակը (ուշադրություն, հիշողություն, երևակայություն, մտածողություն)՝ հաշվի առնելով յուրաքանչյուր երեխայի անհատականությունը և առկա գիտելիքները.
3. Զարգացող դասընթացում վերապատրաստման միջդիսցիպլինար (ինտեգրալ) հիմքի ստեղծում:
4. Նյութի աստիճանական բարդացում, աշխատանքի ծավալի աստիճանական աճ, երեխաների անկախության մակարդակի բարձրացում։
5. Ծանոթացում տեսության տարրերին, հիմնավորման ուսուցման մեթոդներին, ընտրության ինքնափաստարկում.
6. Գիտելիքների և մեթոդների ինտեգրում ճանաչողական գործունեություն, տիրապետելով դրա ընդհանրացված տեխնիկաներին։
7. Զարգացման դասընթացի արդյունքների գնահատում ըստ մշակված չափանիշների, որը պետք է ներառի երեխային (ինքնագնահատական, ինքնատիրապետում, փոխադարձ վերահսկողություն):

1. 6 Ծրագրի բովանդակությունը
Կարճ նկարագրությունբաժիններ և դասերի թեմաներ (բաժինները համապատասխանում են որոշակի տրամաբանական գործողությանը, որը երեխաները կսովորեն դասարանում).

1. Վերլուծություն - սինթեզ.
Նպատակն է երեխաներին սովորեցնել ամբողջը մասերի բաժանել, նրանց միջև կապ հաստատել; սովորել մտավոր կերպով միավորել առարկայի մասերը մեկ ամբողջության մեջ:
Խաղեր և վարժություններ. գտնել տրամաբանական զույգ (կատու-կատվի ձագ, շուն-? (լակոտ)): Լրացնելով նկարը (վերցնել կարկատել, գրպանը նկարել զգեստի վրա): Որոնեք հակադրություններ (թեթև - ծանր, սառը - տաք): Աշխատեք տարբեր բարդության հանելուկների հետ: Ձողիկներ հաշվելուց և երկրաչափական ձևերից նկարներ դնելը:

2. Համեմատություն.
Նպատակն է սովորեցնել մտավոր կերպով հաստատել առարկաների նմանություններն ու տարբերությունները՝ ըստ էական հատկանիշների. զարգացնել ուշադրությունը, երեխաների ընկալումը. Բարելավել կողմնորոշումը տարածության մեջ:
Խաղեր և վարժություններ՝ հասկացությունների համախմբում՝ մեծ - փոքր, երկար - կարճ, ցածր - բարձր, նեղ - լայն, ավելի բարձր - ցածր, ավելի մոտ - ավելի մոտ և այլն: Գործող «նույն», «շատ» հասկացություններով: Փնտրեք նմանություններ և տարբերություններ 2 նմանատիպ նկարներում:

3. Սահմանափակում.
Նպատակն է սովորեցնել խմբից առանձնացնել մեկ կամ մի քանի առարկա՝ ըստ որոշակի հատկանիշների: Զարգացնել երեխաների դիտողական հմտությունները:
Խաղեր և վարժություններ՝ «մեկ տողով շրջանիր միայն կարմիր դրոշակները», «գտիր բոլոր ոչ շրջանաձև առարկաները» և այլն։ Չորրորդ ավելորդության բացառումը.

4. Ընդհանրացում.
Նպատակն է սովորեցնել մտավոր կերպով միավորել առարկաները խմբի մեջ՝ ըստ դրանց հատկությունների: Նպաստել բառապաշարի հարստացմանը, ընդլայնել երեխաների առօրյա գիտելիքները:
Խաղեր և վարժություններ ընդհանրացնող հասկացություններով գործելու համար՝ կահույք, սպասք, տրանսպորտ, բանջարեղեն, մրգեր և այլն։

5. Համակարգվածություն.
Նպատակն է սովորեցնել բացահայտել օրինաչափությունները. ընդլայնել երեխաների բառապաշարը; սովորել նկարից պատմել, վերապատմել.
Խաղեր և վարժություններ՝ կախարդական քառակուսիներ (վերցնել բաց թողնված մասը, նկարը): Նկարների շարքի հիման վրա պատմություն կազմելը, նկարները տրամաբանական հաջորդականությամբ դասավորելը:

6. Դասակարգում.
Նպատակն է սովորեցնել բաշխել առարկաները խմբերի` ըստ դրանց էական հատկանիշների: Ընդհանրացնող հասկացությունների համախմբում, դրանցով ազատ գործարկում։

7. Եզրակացություն.
Նպատակը դատողությունների օգնությամբ սովորեցնելն է եզրակացություն անել։ Նպաստել երեխաների կենցաղային գիտելիքների ընդլայնմանը: Զարգացնել երևակայությունը:
Խաղեր և վարժություններ՝ երևույթների մեջ դրականի և բացասականի որոնում (օրինակ, երբ անձրև է գալիս, սնուցում է բույսերը. սա լավ է, բայց վատն այն է, որ անձրևի ժամանակ մարդը կարող է թրջվել, մրսել և հիվանդանալ) . Որոշ դատողությունների ճիշտության գնահատում («քամին փչում է, որովհետև ծառերը ճոճվում են»: Ճի՞շտ է: Լուծում տրամաբանական առաջադրանքներ.

1.7 Ակնկալվող արդյունքները
Պլանավորված արդյունքներ.
Երեխաները պետք է իմանան.

• օրինաչափությունների կառուցման սկզբունքներ, թվերի, առարկաների, երևույթների, բառերի հատկություններ;
• Փազլների, խաչբառերի, շղթայական բառերի, լաբիրինթոսների կառուցվածքի սկզբունքները.
• հականիշներ և հոմանիշներ;
• երկրաչափական ձևերի անունները և դրանց հատկությունները.
• ծրագրավորման և գործողությունների ալգորիթմ կազմելու սկզբունքը.

Երեխաները պետք է կարողանան.

• որոշել օրինաչափությունները և կատարել առաջադրանք այս օրինաչափության համաձայն, դասակարգել և խմբավորել առարկաները, համեմատել, գտնել ընդհանուր և առանձնահատուկ հատկություններ, ընդհանրացնել և վերացականացնել, վերլուծել և գնահատել դրանց գործունեությունը.
• պատճառաբանության միջոցով լուծել տրամաբանական, ոչ ստանդարտ խնդիրներ, կատարել ստեղծագործական որոնում, բանավոր-դիդակտիկ, թվային առաջադրանքներ, գտնել մաթեմատիկական հանելուկների պատասխանը.
• արագ և ճիշտ արձագանքել տաքացման ընթացքում առաջադրված հարցերին.
• կատարել առաջադրանքներ ուշադրությունը, ընկալումը, հիշողությունը մարզելու համար
• կատարել գրաֆիկական թելադրություններ, կարողանալ նավարկելու գրաֆիկական առաջադրանքների սխեմատիկ ներկայացում.
• կարողանալ նպատակ դնել, պլանավորել աշխատանքի փուլերը, սեփական ուժերով արդյունքի հասնել։

Աշխատանքի արդյունքները ստուգելու եղանակ : յուրաքանչյուր բաժնից հետո ընդհանրացնող դասեր և տրամաբանական մտածողության գործողությունների յուրացման մակարդակի 2 ախտորոշում (նախնական (սեպտեմբեր) և վերջնական (մայիս)):

Շերլոկ Հոլմսի խոսքերը. «Քանի՞ անգամ եմ ասել ձեզ, թողեք ամեն անհնարին բան, ապա այն, ինչ կմնա, կլինի պատասխանը, որքան էլ դա անհավատալի թվա», կարող են ծառայել որպես էպիգրաֆ այս գլխում:

Եթե ​​գլուխկոտրուկ լուծելու համար պահանջվում է միայն տրամաբանորեն մտածելու կարողություն և ընդհանրապես անհրաժեշտ չէ թվաբանական հաշվարկներ կատարել, ապա նման գլուխկոտրուկը սովորաբար կոչվում է տրամաբանական խնդիր։ Տրամաբանական խնդիրները, իհարկե, մաթեմատիկականներից են, քանի որ տրամաբանությունը կարելի է համարել շատ ընդհանուր, հիմնարար մաթեմատիկա։ Այնուամենայնիվ, հարմար է տրամաբանական գլուխկոտրուկները առանձնացնել և ուսումնասիրել դրանց ավելի շատ թվաբանական քույրերից առանձին։ Այս գլխում մենք ուրվագծելու ենք տրամաբանական խնդիրների երեք ընդհանուր տեսակներ և կփորձենք պարզել, թե ինչպես մոտենալ դրանց:

Խնդիրների ամենատարածված տեսակը, որը գլուխկոտրուկների սիրահարները երբեմն անվանում են «Սմիթ-Ջոնս-Ռոբինսոնի խնդիր» (Գ. Դուդենիի հորինած հին գլուխկոտրուկի անալոգիայով):

Այն բաղկացած է մի շարք ծանրոցներից, որոնք սովորաբար հաղորդում են որոշակի տեղեկություններ կերպարների մասին. Այս ենթադրությունների հիման վրա պետք է որոշակի եզրակացություններ արվեն։ Օրինակ, ահա թե ինչ տեսք ունի Դուդենի խնդրի վերջին ամերիկյան տարբերակը.

1. Սմիթը, Ջոնսը և Ռոբինսոնը աշխատում են նույն գնացքի անձնակազմում՝ որպես վարորդ, ուղեկցորդ և հրշեջ: Նրանց մասնագիտությունները պարտադիր չէ, որ անվանվեն նույն հաջորդականությամբ, ինչ իրենց ազգանունները: Բրիգադի կողմից սպասարկվող գնացքում նույն ազգանունով երեք ուղեւոր կա։

Հետագայում մենք յուրաքանչյուր ուղեւորի հարգանքով կանվանենք «պարոն» (պարոն):

2. Պարոն Ռոբինսոնն ապրում է Լոս Անջելեսում։

3. Դիրիժորն ապրում է Օմահայում։

4. Միստր Ջոնսը վաղուց մոռացել է այն ամբողջ հանրահաշիվը, որն իրեն սովորեցրել են քոլեջում:

5. Ուղևոր՝ դիրիժորի անվանակիցն ապրում է Չիկագոյում։

6. Հաղորդավարն ու ուղեւորներից մեկը՝ մաթեմատիկական ֆիզիկայի հայտնի մասնագետը, գնում են նույն եկեղեցի։

7. Սմիթը միշտ հաղթում է սթոքերին, երբ նրանք հանդիպում են բիլիարդ խաղի համար:

Ինչ է վարորդի անունը:

Այս խնդիրները կարելի է թարգմանել մաթեմատիկական տրամաբանության լեզվով՝ օգտագործելով դրա ստանդարտ նշումը, և լուծում գտնել՝ օգտագործելով համապատասխան մեթոդներ, սակայն նման մոտեցումը չափազանց ծանրաբեռնված կլինի: Մյուս կողմից, առանց այս կամ այն ​​տեսակի հապավումների, դժվար է հասկանալ խնդրի տրամաբանական կառուցվածքը։ Առավել հարմար է օգտագործել աղյուսակը, որի դատարկ բջիջներում մուտքագրելու ենք դիտարկվող հավաքածուների տարրերի բոլոր հնարավոր համակցությունները։ Մեր դեպքում այդպիսի երկու հավաքածու կա, ուստի մեզ անհրաժեշտ է երկու աղյուսակ (նկ. 139):

Բրինձ. 139 Երկու աղյուսակ Սմիթի, Ջոնսի և Ռոբինսոնի խնդրի համար։

Յուրաքանչյուր բջիջում մենք մուտքագրում ենք 1, եթե համապատասխան համակցությունը թույլատրելի է, կամ 0, եթե համակցությունը հակասում է խնդրի պայմաններին: Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում: Պայման 7-ն ակնհայտորեն բացառում է, որ Սմիթը սնուցող է, ուստի ձախ սեղանի վերին աջ անկյունում գտնվող վանդակում մենք մուտքագրում ենք 0: Պայման 2-ը մեզ ասում է, որ Ռոբինսոնը ապրում է Լոս Անջելեսում, ուստի սեղանի ստորին ձախ անկյունում մենք մուտքագրեք 1, իսկ ներքևի տողի և ձախ սյունակի մյուս բոլոր բջիջները՝ ցույց տալու համար, որ պարոն Ռոբինսոնը չի ապրում Օմահայում կամ Չիկագոյում, իսկ պարոն Սմիթը և պարոն Ջոնսը չեն ապրում Լոս Անջելեսում:

Հիմա պետք է մի փոքր մտածել։ 3-րդ և 6-րդ պայմաններից մենք գիտենք, որ մաթեմատիկոս ֆիզիկոսն ապրում է Օմահայում, բայց մենք չգիտենք նրա ազգանունը։ Նա չի կարող լինել ոչ միստր Ռոբինսոնը, ոչ էլ միստր Ջոնսը (ի վերջո, նա մոռացել է նույնիսկ տարրական հանրահաշիվը)։

Հետեւաբար, դա պետք է լինի պարոն Սմիթը: Այս հանգամանքը նկատում ենք՝ աջ աղյուսակի վերին տողի միջին վանդակում դնելով 1, իսկ նույն շարքի մնացած բջիջներում՝ 0, իսկ միջին սյունակում՝ դատարկ բջիջներում։ Երրորդ բաժինն այժմ կարելի է մուտքագրել միայն մեկ խցում. սա ապացուցում է, որ պարոն Ջոնսը ապրում է Չիկագոյում: 5-րդ պայմանից մենք իմանում ենք, որ դիրիժորն ունի նաև Ջոնս ազգանունը, և ձախ աղյուսակի կենտրոնական վանդակում մուտքագրում ենք 1, իսկ միջին տողի և միջին սյունակի մյուս բոլոր վանդակներում՝ 0։ Դրանից հետո մեր աղյուսակները ստանում են Նկ. 140։

Բրինձ. 140Աղյուսակ ձվերը ցույց են տրված նկ. 139, նախալիցքավորումից հետո։

Այժմ դժվար չէ շարունակել վերջնական պատասխանին տանող պատճառաբանությունը։ «Stoker» պիտակավորված սյունակում միավորը կարող է տեղադրվել միայն ներքևի բջիջում: Սրանից անմիջապես հետևում է, որ 0-ը պետք է լինի ներքևի ձախ անկյունում: Դատարկ է մնում միայն աղյուսակի վերին ձախ անկյունի բջիջը, որտեղ կարելի է տեղադրել միայն 1-ը: Այսպիսով, վարորդի անունը Սմիթ է:

Լյուիս Քերոլը սիրում էր հորինել այս կարգի չափազանց բարդ և հնարամիտ խնդիրներ։ Դորտմութ քոլեջի մաթեմատիկայի դեկան Ջոն Ջ. Քեմենին ծրագրավորել է հրեշավոր (13 փոփոխականներով և 12 պայմաններով, որից հետևում է, որ «ոչ մի դատավոր ծխախոտ չի հոտոտում») Քերոլի խնդիրներից մեկը IBM-704 համակարգչի համար։ Մեքենան լուծումն ավարտեց մոտ 4 րոպեում, թեև խնդրի ամբողջական «ճշմարտության աղյուսակը» տպելը (աղյուսակ, որը ցույց է տալիս, թե արդյոք խնդրի փոփոխականների ճշմարտության արժեքների հնարավոր համակցությունները ճշմարիտ են, թե կեղծ) կպահանջվեր 13 ժամ:

Ընթերցողների համար, ովքեր ցանկանում են իրենց բախտը փորձել ավելի բարդ, քան Սմիթ-Ջոնս-Ռոբինսոն խնդիրը, առաջարկում ենք նոր գլուխկոտրուկ: Դրա հեղինակը Փրինսթոնի համալսարանի Ռ.Սմուլյանն է։

1. 1918 թվականին առաջին Համաշխարհային պատերազմ. Խաղաղության պայմանագրի ստորագրման օրը երեք ամուսնական զույգեր հավաքվել էին տոնական սեղանի շուրջ նշելու այս իրադարձությունը։

2. Յուրաքանչյուր ամուսին եղել է կանանցից մեկի եղբայրը, և յուրաքանչյուր կին եղել է ամուսիններից մեկի քույրը, այսինքն՝ ներկաների մեջ կարելի է նշել երեք հարազատ զույգ «եղբայր և քույր»:

3. Հելենն օգոստոսին ծնված ամուսնուց մեծ է ուղիղ 26 շաբաթով։

4. Միստր Ուայթի քույրն ամուսնացել է Էլենի եղբոր հետ և ամուսնացել է նրա ծննդյան օրը՝ հունվարին։

5. Մարգարեթ Ուայթն ավելի ցածրահասակ է, քան Ուիլյամ Բլեյքը:

6. Արթուրի քույրն ավելի գեղեցիկ է, քան Բեատրիսը։

7. Ջոնը 50 տարեկան է։

Ինչ է տիկին Բրաունի անունը:

Ոչ պակաս տարածված է տրամաբանական խնդիրների մեկ այլ տարատեսակ, որը, ի հակադրություն հետևյալ հայտնի օրինակի, կարելի է անվանել «գունավոր գլխարկների խնդիր» տիպի խնդիրներ։ Երեք հոգի (եկեք նրանց կոչենք Ա, Բև ԻՑ) կապեք աչքերը և ասեք, որ նրանցից յուրաքանչյուրին դրել են կամ կարմիր կամ կանաչ գլխարկ: Այնուհետև նրանց աչքերը բացում են և խնդրում են կարմիր գլխարկ տեսնելու դեպքում ձեռքը բարձրացնել, իսկ եթե վստահ են, որ գիտեն, թե ինչ գույնի է գլխարկը, հեռանալ սենյակից։ Երեք գլխարկներն էլ կարմիր էին, ուստի երեքն էլ ձեռքերը բարձրացրին։ Անցավ մի քանի րոպե և ԻՑ, որն ավելի խելացի է, քան ԲԱՅՑև AT, դուրս եկավ սենյակից։ Ինչպես ԻՑկարողացա՞վ որոշել, թե ինչ գույնի է գլխարկը:

[Կանաչ գլխարկներով իմաստունների խնդիրը տեքստում ձևակերպված է այնպես, որ լուծում չի կարող ունենալ. Սա հատկապես ակնհայտ է, երբ իմաստունների թիվը մեծ է։ Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի առաջին իմաստունից՝ կռահելու իրական իրավիճակը:

Քառասունականների վերջում այս խնդիրը ինտենսիվորեն քննարկվում էր Մոսկվայում՝ դպրոցական մաթեմատիկական շրջանակներում, և հորինվեց դրա նոր տարբերակը, որում ներկայացվեց դիսկրետ ժամանակ։ Առաջադրանքն այսպիսի տեսք ուներ.

Հին ժամանակներում իմաստուն մարդիկ ապրում էին մեկ քաղաքում։ Նրանցից յուրաքանչյուրն ուներ կին։ Առավոտյան նրանք շուկա էին գալիս ու այնտեղ սովորում քաղաքի բոլոր բամբասանքները։ Նրանք իրենք բամբասողներ էին։ Նրանց մեծ հաճույք էր պատճառում իմանալ կանանցից որևէ մեկի դավաճանության մասին. նրանք անմիջապես իմացան այդ մասին: Այնուամենայնիվ, խստորեն պահպանվում էր մի չասված կանոն՝ ամուսնուն երբեք ոչինչ չի հայտնել իր կնոջ մասին, քանի որ նրանցից յուրաքանչյուրը, իմանալով իր ամոթի մասին, կնոջը դուրս կքշեր տնից։ Այսպիսով, նրանք ապրում էին, վայելելով մտերմիկ զրույցները և մնալով բոլորովին անտեղյակ իրենց գործերին:

Բայց մի օր իսկական բամբասանք հայտնվեց քաղաք. Նա եկավ շուկա և հրապարակավ հայտարարեց. «Բայց ոչ բոլոր իմաստուններն ունեն հավատարիմ կանայք»: Թվում է, թե բամբասանքը ոչ մի նոր բան չի ասել, և բոլորը դա գիտեին, յուրաքանչյուր իմաստուն գիտեր դա (միայն չարությամբ նա մտածում էր ոչ թե իր, այլ մյուսի մասին), ուստի բնակիչներից ոչ ոք ուշադրություն չդարձրեց բամբասանքի խոսքերին: . Բայց իմաստունները մտածեցին,- դրա համար էլ իմաստուններ են,- և n- բամբասանքի գալուց հետո , իմաստուններին վտարել են և անհավատարիմ կանանց (եթե եղել են. n).

Դժվար չէ վերականգնել իմաստունների բանականությունը. Ավելի դժվար է պատասխանել այն հարցին, թե ի՞նչ տեղեկություն է ավելացրել բամբասողը այն բանին, որն առանց իրեն էլ հայտնի է եղել իմաստուններին։

Այս խնդիրը բազմիցս բախվել է գրականության մեջ]։

C-ն ինքն իրեն հարցնում է, թե արդյոք նրա գլխարկը կարող է կանաչ լինել: Եթե ​​այդպես լիներ, ուրեմն ԲԱՅՑանմիջապես կհասկանա, որ նա կարմիր գլխարկով է, որովհետև միայն գլխին կարմիր գլխարկը կարող էր անել ATձեռք բարձրացնել. Բայց հետո ԲԱՅՑդուրս կգա սենյակից. ATկսկսեր ճիշտ նույն կերպ տրամաբանել և նույնպես դուրս կգար սենյակից։ Քանի որ ոչ մեկը, ոչ մյուսը դուրս չեկան, ԻՑեզրակացրեց, որ իր սեփական գլխարկը պետք է կարմիր լինի:

Այս խնդիրը կարելի է ընդհանրացնել մինչև այն դեպքը, երբ կան ցանկացած թվով մարդիկ և բոլորը կարմիր գլխարկներով են։ Ենթադրենք, որ խնդրի մեջ հայտնվել է չորրորդ դերասանը Դ, նույնիսկ ավելի խորաթափանց, քան C. Dկարող է այսպես պատճառաբանել. «Եթե իմ գլխարկը կանաչ լիներ, ուրեմն Ա, Բև ԻՑկհայտնվեին ճիշտ նույն իրավիճակում, որը հենց նոր նկարագրվեց, և մի քանի րոպեից եռյակից ամենաըմբռնողներն անշուշտ կլքեին սենյակը։

Բայց արդեն հինգ րոպե է անցել, ու ոչ մեկը դուրս չի գալիս, հետևաբար՝ գլխարկս կարմիր է։

Եթե ​​լիներ հինգերորդ անդամ, ով նույնիսկ ավելի խելացի էր, քան Դ, նա կարող էր տասը րոպե սպասելուց հետո գալ այն եզրակացության, որ կարմիր գլխարկով է։ Իհարկե, մեր դատողությունը կորցնում է իր համոզիչությունը հնարամտության տարբեր աստիճանների մասին ենթադրությունների պատճառով։ A, B, C... և բավականին անորոշ նկատառումներ, թե որքան ժամանակ պետք է սպասի ամենաըմբռնող մարդը, մինչև նա կարողանա վստահորեն անվանել իր գլխարկի գույնը:

«Գունավոր գլխարկի» որոշ այլ խնդիրներ ավելի քիչ անորոշություն են պարունակում: Այդպիսին է, օրինակ, Սմուլլյանի հորինած հետեւյալ խնդիրը. Երեքից յուրաքանչյուրը Ա, Բև ԻՑ- տիրապետում է տրամաբանությանը, այսինքն՝ գիտի, թե ինչպես ակնթարթորեն հանել բոլոր հետևանքները տվյալ նախադրյալներից և գիտի, որ մնացածներն էլ ունեն այդ ունակությունը:

Վերցնում ենք չորս կարմիր և չորս կանաչ կնիք, կապում մեր «տրամաբանների» աչքերը և յուրաքանչյուրի ճակատին երկու կնիք կպցնում։ Հետո նրանց աչքերից հանում ենք վիրակապերն ու հերթով հարցնում Ա, Բև ԻՑնույն հարցը. «Գիտե՞ք, թե ինչ գույնի են դրոշմակնիքները ձեր ճակատին»: Նրանցից յուրաքանչյուրը բացասական պատասխան է տալիս։ Հետո նորից հարցնում ենք ԲԱՅՑև կրկին բացասական պատասխան ենք ստանում։ Բայց երբ նույն հարցը տալիս ենք երկրորդ անգամ AT, նա դրական է պատասխանում։

Ինչ գույնի նշան է ճակատին AT?

Հանրաճանաչ տրամաբանական գլուխկոտրուկների երրորդ տեսակը խաբեբաների և միշտ ճշմարտությունն ասողների հետ կապված խնդիրներն են: AT դասական տարբերակառաջադրանքներ մենք խոսում ենքմի ճանապարհորդի մասին, ով հայտնվում է երկու ցեղերով բնակեցված երկրում։ Մի ցեղի անդամները միշտ ստում են, մյուսի անդամները՝ ճշմարտությունը։ Ճանապարհորդը հանդիպում է երկու բնիկների։ «Դու միշտ ճշմարտությունն ես ասում»: նա հարցնում է բարձրահասակ բնիկին. Նա պատասխանում է. «Տարաբարա»: «Նա ասաց, որ այո», - բացատրում է ավելի փոքր բնիկ, ով գիտի անգլերեն, «բայց նա սարսափելի ստախոս է»: Ո՞ր ցեղին է պատկանում բնիկներից յուրաքանչյուրը:

Լուծման համակարգված մոտեցումը կլինի դուրս գրել բոլոր չորս հնարավորությունները՝ AI, IL, LI, LL (ես նշանակում է «ճշմարիտ», L՝ «կեղծ») - և բացառել դրանք, որոնք հակասում են խնդրի տվյալներին: Պատասխանը կարելի է շատ ավելի արագ ստանալ, եթե նկատենք, որ բարձրահասակ բնիկը պետք է դրական պատասխանի՝ ստո՞ւմ է, թե՞ ճշմարտությունն է ասում։ Քանի որ ավելի փոքր բնիկն ասաց ճշմարտությունը, նա պետք է պատկանի ճշմարտախոսների ցեղին, իսկ նրա բարձրահասակ ընկերը՝ ստախոսների ցեղին:

Այս տեսակի ամենահայտնի խնդիրը, որը բարդանում է հավանականության կշիռների ներդրմամբ և ոչ այնքան հստակ ձևակերպմամբ, կարելի է բավականին անսպասելիորեն գտնել անգլիացի աստղագետ Ա. Էդինգթոնի «Նոր ուղիներ գիտության մեջ» գրքի վեցերորդ գլխի կեսին: "Եթե A, B, Cև Դերեքից մեկ անգամ (ինքնուրույն) ասել ճշմարտությունը և ԲԱՅՑՆշում է, որ ATհերքում է դա ԻՑասում է կարծես Դստախոս, ինչքա՞ն է դրա հավանականությունը Դճշմարտությունն ասաց?

Էդինգթոնի պատասխանը՝ 25/71, հանդիպեց ընթերցողների բողոքի կարկուտով և ծնեց ծիծաղելի ու շփոթված վեճ, որը երբեք վերջնականապես չլուծվեց: Անգլիացի աստղագետ Գ. Դինգլը, Nature ամսագրում տպագրված Էդինգթոնի գրքի ակնարկի հեղինակը (1935 թ. մարտ), կարծում էր, որ խնդիրն ամենևին էլ արժանի չէ ուշադրության, քանի որ անիմաստ է և միայն ցույց է տալիս, որ Էդինգթոնը բավականաչափ չի մտածել հիմնական գաղափարների մասին: հավանականությունների տեսության. Ամերիկացի ֆիզիկոս Թ.Սթերնը (Nature, հունիս 1935) առարկեց սրան՝ նշելով, որ, իր կարծիքով, խնդիրն ամենևին էլ անիմաստ չէ, բայց այն լուծելու համար բավարար տվյալներ չկան։

Ի պատասխան Դինգլը նկատեց (Nature, սեպտեմբեր 1935), որ եթե մեկը ընդունի Ստեռնի տեսակետը, ապա որոշման համար բավարար տվյալներ կան, և պատասխանը կլինի 1/3-ը։ Այստեղ Էդինգթոնը մտավ կռվի մեջ՝ հրապարակելով (Mathemetical gazette, հոկտեմբեր 1935) մի հոդված, որտեղ մանրամասն բացատրվում էր, թե ինչպես է նա ստացել իր պատասխանը։ Վեճն ավարտվեց նույն ամսագրում հայտնված ևս երկու հոդվածներով, որոնցից մեկի հեղինակը պաշտպանեց Էդինգթոնին, իսկ մյուսը առաջ քաշեց բոլոր նախորդներից տարբերվող տեսակետ։

Դժվարությունը հիմնականում Էդինգթոնի ձևակերպումը հասկանալու մեջ է: Եթե AT, արտահայտելով իր ժխտումը, ասում է ճշմարտությունը, ապա կարելի՞ է հիմնավոր կերպով ենթադրել, որ ԻՑասել է, որ Դխոսել ճշմարտությունը. Էդինգթոնը կարծում էր, որ նման ենթադրության համար բավարար հիմքեր չկան։ Նմանապես, եթե ԲԱՅՑսուտ է, կարո՞ղ ենք վստահ լինել ATև ԻՑնրանք ընդհանրապես ինչ-որ բան ասե՞լ են: Բարեբախտաբար, մենք կարող ենք շրջանցել այս բոլոր լեզվական դժվարությունները՝ կատարելով հետևյալ ենթադրությունները (Էդինգթոնը դրանք չի արել).

1. Չորսից ոչ մեկը լուռ չմնաց։

2. Հայտարարություններ Ա, Բև ԻՑ(նրանցից յուրաքանչյուրն առանձին) կա՛մ հաստատում, կա՛մ հերքում հետևյալ հայտարարությունը.

3. Կեղծ պնդումը համընկնում է իր ժխտման հետ, իսկ կեղծ ժխտումը համընկնում է պնդման հետ։

Բոլոր չորսն էլ միմյանցից անկախ ստում են 1/3 հավանականությամբ, այսինքն՝ միջինում նրանց երեք պնդումներից ցանկացած երկուսը կեղծ են: Եթե ​​ճշմարիտ պնդումը նշվում է տառով Եվ, իսկ կեղծ - ​​տառ Լ, ապա համար A, B, Cև Դմենք ստանում ենք ութսունմեկ տարբեր համակցություններից բաղկացած աղյուսակ: Այս թվից պետք է բացառել այն համակցությունները, որոնք անհնարին են խնդրի պայմաններից ելնելով։

Տառով ավարտվող վավեր համակցությունների քանակը Եվ(այսինքն՝ ճշմարիտ - ճշմարիտ հայտարարություն Դ), պետք է բաժանվի բոլոր վավեր համակցությունների ընդհանուր թվի վրա, որը կտա պատասխանը։

Պետք է հստակեցվի ճանապարհորդի և երկու բնիկների մասին խնդրի ձևակերպումը։ Ճանապարհորդը հասկացել է, որ բնիկների լեզվում «աղբյուր» բառը նշանակում է կա՛մ «այո», կա՛մ «ոչ», բայց չի կարողացել կռահել, թե կոնկրետ ինչ: Սա կզգուշացներ մի քանի նամակներ, որոնցից մեկը ես վերարտադրում եմ ստորև:

Բարձրահասակ բնիկն, ըստ երևույթին, չէր հասկանում, թե ինչ ասաց իրեն ճանապարհորդը (անգլերեն), և չկարողացավ պատասխանել այո կամ ոչ անգլերեն: Հետևաբար, նրա «աղբյուրը» նշանակում է նման բան. «Ես չեմ հասկանում» կամ «Բարի գալուստ Բոնգո-Բոնգո»: Հետևաբար, փոքրիկ հայրենակիցը խաբել է, երբ ասել է, որ իր ընկերը պատասխանել է «այո», և քանի որ փոքրիկը ստախոս է, նա էլ է ստել, երբ բարձրահասակ հայրենին ստախոս է անվանել։ Ուստի բարձրահասակ բնիկին պետք է ճշմարիտ համարել:

Այսպիսով, կանացի տրամաբանությունը հարված հասցրեց իմ տղամարդկային ունայնությանը: Դա մի քիչ չի՞ վնասում Ձեր հեղինակային հպարտությանը։

Պատասխանները

Առաջին տրամաբանական խնդիրը լավագույնս լուծվում է երեք աղյուսակների միջոցով՝ մեկը կանանց անուն-ազգանունների համակցությունների համար, երկրորդը՝ ամուսինների անուն-ազգանունների և երրորդը՝ ընտանեկան կապերը.

Քանի որ միսիս Ուայթի անունը Մարգարիտ է (պայման 5), մեզ մնում է միայն երկու հնարավորություն մյուս երկու կանանց անունների համար՝ ա) Հելեն Բլեյք և Բեատրիս Բրաուն, կամ բ) Հելեն Բրաուն և Բեատրիս Բլեյք։

Ենթադրենք, որ տեղի է ունենում հնարավորություններից երկրորդը։ Ուայթի քույրը պետք է լինի կամ Հելենը, կամ Բեատրիսը։ Բայց Բեատրիսը չի կարող լինել Ուայնի քույրը, քանի որ այդ դեպքում Բլեյքը կլիներ Հելենի եղբայրը, իսկ Բլեյքի երկու եղբայրները՝ Ուայթը (նրա կնոջ եղբայրը) և Բրաունը (իր քրոջ ամուսինը); Բեատրիս Բլեյքը ամուսնացած չէ նրանցից ոչ մեկի հետ, ինչը հակասում է 4-րդ պայմանին։ Հետևաբար, Ուայթի քույրը պետք է լինի Հելենը։ Այստեղից, իր հերթին, եզրակացնում ենք, որ Բրաունի քույրը կոչվում է Բեատրիս, իսկ Բլեյքի քույրը Մարգարեթն է։

6-րդ պայմանից հետևում է, որ պարոն Ուայթի անունը Արթուր է (Բրաունը չի կարող լինել Արթուր, քանի որ նման համադրությունը կնշանակի, որ Բեատրիսն իրենից գեղեցիկ է, իսկ Բլեյքը չի կարող լինել Արթուր, քանի որ 5-րդ պայմանից մենք գիտենք նրա անունը՝ Ուիլյամ): Այսպիսով, պարոն Բրաունը կարող է լինել միայն Ջոնը: Ցավոք, 7-րդ պայմանից տեսնում ենք, որ Ջոնը ծնվել է 1868 թվականին (խաղաղության պայմանագրի ստորագրումից 50 տարի առաջ)։ Բայց 1868 թվականը նահանջ տարի է, ուստի Հելենը պետք է մեկ օրով մեծ լինի իր ամուսնուց, քան 26 շաբաթը 3-րդ վիճակում: (4-րդ պայմանից մենք գիտենք, որ նա ծնվել է հունվարին, իսկ պայմանից 3-ից, որ նրա ամուսինը ծնվել է օգոստոսին: Նա կարող էր լինել իր ամուսնուց ուղիղ 26 շաբաթով մեծ, եթե նրա ծննդյան օրը լիներ հունվարի 31-ին, իսկ նրա ծննդյան օրը՝ օգոստոսի 1-ին, և եթե այս ամսաթվերի միջև չլիներ փետրվարի 29-ը:) Այսպիսով, հնարավորություններից երկրորդը, որով մենք սկսել ենք, պետք է հրաժարվել: , որը թույլ է տալիս անուններ տալ կանանց՝ Մարգարեթ Ուայթ, Հելեն Բլեյք և Բեատրիս Բրաուն։ Այստեղ հակասություն չկա, քանի որ մենք չգիտենք Բլեյքի ծննդյան տարեթիվը։ Խնդրի պայմաններից կարելի է եզրակացնել, որ Մարգարեթը Բրաունի քույրն է, Բեատրիսը՝ Բլեյքի, Հելենը՝ Ուայթի քույրը, սակայն Ուայթի և Բրաունի անունների հարցը մնում է չլուծված։

Նամականիշերի խնդրի մեջ ATկա երեք հնարավորություն. Նրա նամականիշները կարող են լինել՝ 1) երկուսն էլ կարմիր; 2) երկուսն էլ կանաչ; 3) մեկը կանաչ է, մյուսը՝ կարմիր։ Ենթադրենք, որ երկու նամականիշներն էլ կարմիր են։

Երեքն էլ մեկ անգամ պատասխանելուց հետո, ԲԱՅՑկարող է այսպես պատճառաբանել ԻՑկտեսներ չորս կարմիր կնիք և միանգամից կհասկանար, որ իր ճակատին երկու կանաչ կնիք կա, և եթե. ԻՑայդ ժամանակ երկու նամականիշներն էլ կանաչ էին AT, տեսնելով չորս կանաչ նամականիշ, կհասկանար, որ իր ճակատին երկու կարմիր կնիք կա): Այդ իսկ պատճառով ճակատիս վրա կա մեկ կանաչ և մեկ կարմիր հետք»։

Բայց երբ ԲԱՅՑերկրորդ անգամ հարցրեց, նա չգիտեր, թե ինչ գույնի է իր ապրանքանիշը: Դա թույլ տվեց ATմերժել այն հնարավորությունը, որ իր երկու նամականիշներն էլ կարմիր են: Վիճել ճիշտ այնպես, ինչպես Ա, Բբացառեց այն դեպքը, երբ իր երկու նամականիշներն էլ կանաչ են։ Ուստի նրան մնաց միայն մեկ հնարավորություն՝ մի նամականիշը կանաչ է, մյուսը՝ կարմիր։

Մի քանի ընթերցող արագ նկատեցին, որ խնդիրը կարելի է շատ արագ լուծել՝ առանց հարցերն ու պատասխանները վերլուծելու։ Ահա թե ինչ է գրել այս մասին ընթերցողներից մեկը. «Խնդիրի պայմանները կարմիր և կանաչ նշանների նկատմամբ լիովին սիմետրիկ են։

Հետևաբար, կնիքների միջև բաժանելով Ա, Բև ԻՑեթե խնդրի բոլոր պայմանները բավարարվեն, և կարմիր նշանները փոխարինենք կանաչով, իսկ հակառակը՝ կանաչը կարմիրով, ապա կհանգենք այլ բաշխման, որի համար նույնպես կբավարարվեն բոլոր պայմանները։ Հետևում է, որ եթե լուծումը եզակի է, ապա այն պետք է լինի անփոփոխ (չպետք է փոխվի) կանաչ պիտակները կարմիրով, իսկ կարմիրները կանաչով փոխարինելիս։ Նման լուծում կարող է լինել միայն նամականիշների այնպիսի բաշխումը, որում B-ն կունենա մեկ կանաչ և մեկ կարմիր նամականիշ:

Ինչպես ասում է Բրուքլինի քոլեջի մաթեմատիկայի ամբիոնի դեկան Վ. Մանհեյմերը, այս նրբագեղ լուծումը գալիս է նրանից, որ ոչ. Ա, Բև ԻՑ(ինչպես նշված է խնդրի վիճակում), և Ռայմոնդ Սմուլլյան!

Էդինգթոնի խնդրի մեջ հավանականությունը, որ Դճիշտն է ասում, 13/41 է։ Ճշմարիտի և կեղծի բոլոր համակցությունները, որոնք պարունակում են կենտ թվով սխալ (կամ ճշմարիտ) անգամներ, պետք է մերժվեն որպես խնդրի պայմաններին հակասող: Արդյունքում հնարավոր համակցությունների թիվը 81-ից կրճատվում է 41-ի, որոնցից միայն 13-ն է ավարտվում ճշմարիտ հայտարարությամբ։ Դ. Քանի որ Ա, Բև ԻՑասա ճշմարտությունը այն դեպքերում, որոնք համապատասխանում են ճիշտ նույն թվով վավեր համակցություններին, ճշմարտությունն ասելու հավանականությունը նույնն է բոլոր չորսի համար:

Օգտագործելով համարժեքության նշանը

նկատի ունենալով, որ դրա հետ կապված դրույթները երկուսն էլ ճշմարիտ են, կամ երկուսն էլ սխալ (այդ դեպքում կեղծ դրույթը ճշմարիտ է, հակառակ դեպքում՝ կեղծ), իսկ ժխտման նշանը ~, Էդինգթոնի խնդիրը դրույթների հաշվարկում կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

կամ այսպիսի պարզեցումներից հետո.

Այս արտահայտության ճշմարտության աղյուսակը հաստատում է արդեն ստացված պատասխանը։

Նշումներ:

Դա հիասթափեցնող է- վրդովված, ինչ-որ բան անօգուտ, անհույս, անհաջողության դատապարտված (անգլերեն):

Տե՛ս գրքում Ռայմոնդ Սմուլյանի մասին գլուխը Մ.Գարդներ«Ժամանակի ճանապարհորդություն» (Մ.: Միր, 1990):

Էդինգթոն Ա. Նոր ուղիներ գիտության մեջ. - Քեմբրիջ: 1935; Միչիգան: 1959 թ.

Ներածություն

Տրամաբանությունը մտածողների Աստվածն է։

Լ.Ֆոյխթվանգեր

Ճիշտ տրամաբանելու ունակությունն անհրաժեշտ է մարդկային գործունեության ցանկացած բնագավառում՝ գիտություն և տեխնիկա, արդարադատություն և դիվանագիտություն, տնտեսական պլանավորում և ռազմական գործեր: Եվ այս ունակությունը վերադառնում է հին ժամանակներ, տրամաբանություն, այսինքն. Գիտությունը, որի մասին հիմնավորման ձևերը ճիշտ են, առաջացել է ընդամենը երկու հազար տարի առաջ: Մշակվել է VI դարում։ մ.թ.ա. հին հույն մեծ փիլիսոփա Արիստոտելի, նրա աշակերտների և հետևորդների աշխատություններում։

Ինչ-որ պահի մաթեմատիկոսները հարց տվեցին. «Ի՞նչ է իրականում մաթեմատիկան, մաթեմատիկական գործունեությունը»: Պարզ պատասխանն այն է, որ մաթեմատիկոսներն ապացուցում են թեորեմները, այսինքն՝ պարզում են որոշ ճշմարտություններ իրական աշխարհըև «իդեալական մաթեմատիկական աշխարհ»: Հարցին պատասխանելու փորձ, թե որն է մաթեմատիկական թեորեմը, մաթեմատիկական ճշմարտությունը, և որն է մաթեմատիկական պնդումը ճիշտ կամ ապացուցելի, սա նաև մաթեմատիկական տրամաբանության ելակետի ցանցն է։ Դպրոցում մենք պետք է սովորենք վերլուծել, համեմատել, կարևորել հիմնականը, ընդհանրացնել և համակարգել, ապացուցել և հերքել, սահմանել և բացատրել հասկացությունները, առաջադրել և լուծել խնդիրներ: Այս մեթոդներին տիրապետելը նշանակում է մտածելու կարողություն։ Գիտության մեջ պետք է եզրակացնել տարբեր բանաձևեր, թվային օրինաչափություններ, կանոններ և հիմնավորումներով ապացուցել թեորեմները: Օրինակ՝ 1781 թվականին հայտնաբերվեց Ուրան մոլորակը։ Դիտարկումները ցույց են տվել, որ այս մոլորակի շարժումը տարբերվում է տեսականորեն հաշվարկված շարժումից։ Ֆրանսիացի գիտնական Լե Վերիեն (1811-1877), տրամաբանորեն հիմնավորելով և բավականին բարդ հաշվարկներ կատարելով, որոշել է մեկ այլ մոլորակի ազդեցությունը Ուրանի վրա և նշել նրա գտնվելու վայրը։ 1846 թվականին աստղագետ Գալլեն հաստատեց մոլորակի գոյությունը, որը կոչվում էր Նեպտուն։ Դրանով նրանք օգտագործել են մաթեմատիկական պատճառաբանության և հաշվարկների տրամաբանությունը։

Մեր նկատառումների երկրորդ մեկնարկային կետը պարզաբանելն է, թե ինչ է նշանակում, որ մաթեմատիկական ֆունկցիան հաշվարկելի է և կարող է հաշվարկվել՝ օգտագործելով որոշ ալգորիթմ, պաշտոնական կանոն, ճշգրիտ նկարագրված ընթացակարգ: Այս երկու բնօրինակ ձևակերպումները շատ ընդհանրություններ ունեն, դրանք բնականաբար միավորված են «մաթեմատիկական տրամաբանություն» ընդհանուր անվան տակ, որտեղ մաթեմատիկական տրամաբանությունը ընկալվում է հիմնականում որպես մաթեմատիկական դատողությունների և մաթեմատիկական գործողությունների տրամաբանություն:

Ես ընտրեցի կոնկրետ այս թեման, քանի որ մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերին տիրապետելը կօգնի ինձ իմ ապագա տնտեսական մասնագիտության մեջ: Ի վերջո, շուկայավարը վերլուծում է միտումներըշուկա,գները, շրջանառությունը և շուկայավարման մեթոդները, հավաքում է տվյալներ մրցակից կազմակերպությունների վերաբերյալ,տալիս է առաջարկություններ: Դա անելու համար հարկավոր է օգտագործել տրամաբանության գիտելիքները:

Նպատակը: ուսումնասիրել և օգտագործել մաթեմատիկական տրամաբանության հնարավորությունները տարբեր ոլորտների և մարդու գործունեության խնդիրների լուծման գործում:

Առաջադրանքներ.

1. Վերլուծի՛ր մաթեմատիկական տրամաբանության էության և ծագման մասին գրականությունը:

2. Ուսումնասիրեք մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերը.

3. Ընտրել և լուծել խնդիրներ մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերով:

Մեթոդներ: գրականության վերլուծություն, հասկացություններ, խնդիրների լուծման անալոգիաների մեթոդ, ինքնադիտարկում:

1. Մաթեմատիկական տրամաբանության առաջացման պատմությունից

Մաթեմատիկական տրամաբանությունը սերտորեն կապված է տրամաբանության հետ և դրանով է պարտական ​​իր ծագմանը։ Տրամաբանության՝ մարդկանց մտածողության օրենքների և ձևերի գիտությունը դրել է հին հույն մեծագույն փիլիսոփա Արիստոտելը (մ. և ապացույցները, նկարագրելով մի շարք տրամաբանական գործողություններ, ձևակերպեցին մտածողության հիմնական օրենքները, ներառյալ հակասության և երրորդի բացառման օրենքները: Արիստոտելի ներդրումը տրամաբանության մեջ շատ մեծ է, ոչ առանց պատճառի նրա մյուս անվանումն է արիստոտելյան տրամաբանություն։ Նույնիսկ ինքը՝ Արիստոտելը, նկատեց, որ իր ստեղծած գիտության և մաթեմատիկայի (այն ժամանակ այն կոչվում էր թվաբանություն) միջև շատ ընդհանրություններ կան։ Նա փորձեց համատեղել այս երկու գիտությունները, այն է՝ նվազեցնել արտացոլումը, ավելի ճիշտ՝ եզրակացությունը, նախնական դիրքերի հիման վրա հաշվարկի։ Իր տրակտատներից մեկում Արիստոտելը մոտեցավ մաթեմատիկական տրամաբանության բաժիններից մեկին՝ ապացույցների տեսությանը։

Հետագայում շատ փիլիսոփաներ և մաթեմատիկոսներ մշակեցին տրամաբանության որոշակի դրույթներ և երբեմն նույնիսկ ուրվագծեցին ժամանակակից առաջարկական հաշվարկի ուրվագծերը, բայց մաթեմատիկական տրամաբանության ստեղծմանը ամենամոտը եկավ 17-րդ դարի երկրորդ կեսին, ականավոր գերմանացի գիտնական Գոթֆրիդ Վիլհելմը: Լայբնիցը (1646 - 1716), ով մատնանշեց տրամաբանությունը «անորոշություններով լի բանավոր ոլորտից մաթեմատիկայի տիրույթ, որտեղ առարկաների կամ հայտարարությունների հարաբերությունները որոշվում են կատարյալ ճշգրտությամբ» թարգմանելու ուղիները։ Լայբնիցը նույնիսկ հույս ուներ, որ ապագայում փիլիսոփաներն անպտուղ վիճելու փոխարեն թուղթ կվերցնեն ու կպարզեն, թե իրենցից ով է ճիշտ։ Միաժամանակ Լայբնիցն իր աշխատություններում անդրադարձել է նաև երկուական թվային համակարգին։ Հարկ է նշել, որ տեղեկատվության կոդավորման համար երկու նիշ օգտագործելու գաղափարը շատ հին է: Ավստրալիայի աբորիգենները հաշվում էին դյուզներով, Նոր Գվինեայի և Հարավային Ամերիկայի որսորդ-հավաքողների որոշ ցեղեր նույնպես օգտագործում էին երկուական հաշվման համակարգ: Աֆրիկյան որոշ ցեղերում հաղորդագրությունները փոխանցվում են հարվածային գործիքների միջոցով՝ ձայնային և ձանձրալի հարվածների համակցության տեսքով: Երկու նիշերի կոդավորման ծանոթ օրինակ է Մորզեի կոդը, որտեղ այբուբենի տառերը ներկայացված են կետերի և գծիկների որոշակի համակցություններով։ Լայբնիցից հետո շատ ականավոր գիտնականներ հետազոտություններ կատարեցին այս ոլորտում, բայց իրական հաջողությունն այստեղ հասավ ինքնուս անգլիացի մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլին (1815-1864), նրա վճռականությունը սահմաններ չուներ:

Ֆինանսական վիճակՋորջի ծնողները (որի հայրը կոշկակար էր) թույլ տվեցին նրան միայն ավարտել տարրական դպրոցաղքատների համար. Որոշ ժամանակ անց Բյուլը, փոխելով մի քանի մասնագիտություն, բացում է փոքրիկ դպրոց, որտեղ ինքն է դասավանդում։ Նա շատ ժամանակ նվիրեց ինքնակրթությանը և շուտով սկսեց հետաքրքրվել սիմվոլիկ տրամաբանության գաղափարներով։ 1847 թվականին Բուլը հրապարակեց «Տրամաբանության մաթեմատիկական վերլուծություն կամ դեդուկտիվ եզրակացությունների հաշվարկի փորձը» հոդվածը, իսկ 1854 թվականին հայտնվեց նրա հիմնական աշխատությունը՝ «Մտքի օրենքների ուսումնասիրություն, որոնց վրա հիմնված են տրամաբանության և հավանականության մաթեմատիկական տեսությունները»։ . Բուլը հորինել է մի տեսակ հանրահաշիվ՝ նշագրման համակարգ և կանոններ, որոնք կիրառելի են բոլոր տեսակի առարկաների համար՝ թվերից և տառերից մինչև նախադասություններ: Օգտագործելով այս համակարգը, նա կարող էր կոդավորել դրույթները (դրույթները, որոնք պետք է ապացուցվեին ճիշտ կամ կեղծ), օգտագործելով իր լեզվի նշանները, և այնուհետև շահարկեր դրանք այնպես, ինչպես թվերը շահարկում են մաթեմատիկայում: Բուլյան հանրահաշվի հիմնական գործողություններն են կապը (AND), դիսյունկցիան (OR) և ժխտումը (NOT): Որոշ ժամանակ անց պարզ դարձավ, որ Բուլի համակարգը լավ հարմարեցված է էլեկտրական անջատիչ սխեմաները նկարագրելու համար: Շղթայում հոսանքը կարող է կամ հոսել, կամ ոչ, ճիշտ այնպես, ինչպես պնդումը կարող է լինել ճշմարիտ կամ կեղծ: Եվ մի քանի տասնամյակ անց, արդեն 20-րդ դարում, գիտնականները համատեղեցին Ջորջ Բուլի ստեղծած մաթեմատիկական ապարատը երկուական թվային համակարգի հետ՝ դրանով իսկ հիմք դնելով թվային էլեկտրոնային համակարգչի զարգացմանը: Բուլի աշխատության առանձին դրույթները որոշ չափով շոշափվել են ինչպես նրանից առաջ, այնպես էլ դրանից հետո այլ մաթեմատիկոսների և տրամաբանության մասնագետների կողմից։ Այնուամենայնիվ, այսօր այս ոլորտում հենց Ջորջ Բուլի գործերն են համարվում մաթեմատիկական դասականներ, և նա ինքը իրավամբ համարվում է մաթեմատիկական տրամաբանության հիմնադիրը և, առավել ևս, նրա ամենակարևոր բաժինները՝ տրամաբանության հանրահաշիվը (Բուլյան հանրահաշիվ) և առաջարկությունների հանրահաշիվը։

Տրամաբանության զարգացման գործում մեծ ներդրում են ունեցել նաև ռուս գիտնականներ Պ.Ս. Պորեցկին (1846-1907), Ի.Ի. Ժեգալկին (1869-1947):

20-րդ դարում մաթեմատիկական տրամաբանության զարգացման գործում հսկայական դեր է խաղացել

D. Hilbert (1862-1943), ով առաջարկել է մաթեմատիկայի պաշտոնականացման ծրագիր, որը կապված է հենց մաթեմատիկայի հիմքերի զարգացման հետ: Վերջապես, 20-րդ դարի վերջին տասնամյակներում մաթեմատիկական տրամաբանության արագ զարգացումը պայմանավորված էր ալգորիթմների և ալգորիթմական լեզուների տեսության, ավտոմատների տեսության, գրաֆիկների տեսության (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov և. շատ ուրիշներ):

20-րդ դարի կեսերին համակարգչային տեխնիկայի զարգացումը հանգեցրեց առաջացմանը տրամաբանական տարրեր, տրամաբանական բլոկներ և համակարգչային տեխնոլոգիական սարքեր, որոնք կապված էին տրամաբանության այնպիսի ոլորտների լրացուցիչ զարգացման հետ, ինչպիսիք են տրամաբանական սինթեզի խնդիրները, տրամաբանական ձևավորումը և տրամաբանական սարքերի և համակարգչային տեխնիկայի տրամաբանական մոդելավորումը: 1980-ական թվականներին հետազոտություններ սկսվեցին ոլորտում արհեստական ​​բանականությունհիմնված տրամաբանական ծրագրավորման լեզուների և համակարգերի վրա: Փորձագիտական ​​համակարգերի ստեղծումը սկսվեց թեորեմների ավտոմատ ապացուցման, ինչպես նաև ալգորիթմների և համակարգչային ծրագրերի ստուգման համար ապացույցների վրա հիմնված ծրագրավորման մեթոդների օգտագործմամբ և մշակմամբ: 1980-ականներից սկսվեցին նաև կրթության ոլորտում փոփոխությունները։ Անձնական համակարգիչների հայտնվելը միջնակարգ դպրոցներում հանգեցրեց համակարգչային գիտության դասագրքերի ստեղծմանը մաթեմատիկական տրամաբանության տարրերի ուսումնասիրությամբ՝ աշխատանքի տրամաբանական սկզբունքները բացատրելու համար։ տրամաբանական սխեմաներև հաշվողական սարքերը, ինչպես նաև հինգերորդ սերնդի համակարգիչների տրամաբանական ծրագրավորման սկզբունքները և համակարգչային գիտության դասագրքերի մշակումը՝ գիտելիքի հիմքերի նախագծման համար նախադրյալ հաշվարկային լեզվի ուսումնասիրությամբ:

1. Բազմությունների տեսության հիմունքները

Կոմպլեկտ հասկացությունը մաթեմատիկայի այն հիմնարար հասկացություններից է, որը դժվար է ճշգրիտ սահմանել՝ օգտագործելով տարրական հասկացությունները: Հետևաբար, մենք սահմանափակվում ենք հավաքածու հասկացության նկարագրական բացատրությամբ:

շատերը կոչվում է որոշակի միանգամայն տարբեր առարկաների մի շարք, որոնք դիտարկվում են որպես մեկ ամբողջություն: Բազմությունների տեսության ստեղծող Գեորգ Կանտորը տվել է բազմության հետևյալ սահմանումը.

Կոմպլեկտ կազմող առանձին առարկաները կոչվում ենսահմանված տարրեր.

Կոմպլեկտները սովորաբար նշվում են լատինական այբուբենի մեծատառերով, իսկ այդ բազմությունների տարրերը նշվում են լատինական այբուբենի փոքր տառերով։ Կոմպլեկտները գրված են գանգուր փակագծերում ( ):

Ընդունված է օգտագործել հետևյալ նշումը.

ա∈ X - «a տարրը պատկանում է X բազմությանը»;

ա∉ X - «a տարրը չի պատկանում X բազմությանը»;

∀ - կամայականության քանակական, ընդհանրություն, որը նշանակում է «ցանկացած», «ինչ էլ որ լինի», «բոլորի համար»;

∃ - գոյության քանակական.∃ y∈ B - «կա (կա) y տարր B բազմությունից»;

∃! - գոյության և եզակիության քանակական.∃ բ∈ C - «կա եզակի բ տարր C բազմությունից»;

: - "այնպիսին է, որ; գույքի տիրապետում»;

→ - հետևանքի խորհրդանիշը նշանակում է «բերում է»;

⇔ - համարժեքության քանակական, համարժեքություն՝ «եթե և միայն այն ժամանակ»։

Կոմպլեկտներ ենվերջավոր և անվերջ . Կոմպլեկտները կոչվում ենեզրափակիչ , եթե նրա տարրերի թիվը վերջավոր է, այսինքն. եթե կա n բնական թիվ, որը բազմության տարրերի թիվն է։ A=(a 1, a 2, a 3, ..., a n ) Հավաքածուն կոչվում էանվերջ եթե այն պարունակում է անսահման թվով տարրեր։ B=(բ 1, բ 2, բ 3 , ...). Օրինակ, ռուսերեն այբուբենի տառերի բազմությունը վերջավոր հավաքածու է: Բնական թվերի բազմությունը անսահման բազմություն է։

M վերջավոր բազմության տարրերի թիվը կոչվում է M բազմության կարդինալություն և նշվում է |M|-ով:դատարկ հավաքածու - հավաքածու, որը չի պարունակում որևէ տարր.∅ . Երկու հավաքածուները կոչվում ենհավասար , եթե դրանք բաղկացած են նույն տարրերից, այսինքն. նույն հավաքածուն են: Բազմությունները հավասար չեն X ≠ Y-ին, եթե X-ն ունի Y-ին չպատկանող տարրեր, կամ Y-ն ունի X-ին չպատկանող տարրեր: Բազմության հավասարության նշանն ունի հետևյալ հատկությունները.

X=X; - ռեֆլեքսիվություն

եթե X=Y, Y=X - համաչափություն

եթե X=Y,Y=Z, ապա X=Z անցողիկ է:

Համաձայն բազմությունների հավասարության այս սահմանման՝ մենք բնականաբար ստանում ենք, որ բոլոր դատարկ բազմությունները հավասար են միմյանց, կամ նույնն է, որ կա միայն մեկ դատարկ բազմություն։

Ենթաբազմություններ. Ներառման հարաբերություն.

X բազմությունը Y բազմության ենթաբազմություն է, եթե X բազմության որևէ տարր∈ եւ սահմանել Y. Նշվում է X-ով⊆ Յ.

Եթե ​​անհրաժեշտ է ընդգծել, որ Y-ը պարունակում է այլ տարրեր, բացի X-ից, ապա օգտագործվում է խիստ ներառման նշանը:⊂ :X ⊂ Յ. Խորհրդանիշների փոխհարաբերությունները⊂ և ⊆ տրված է.

X ⊂ Յ ⇔ X ⊆ Y և X≠Y

Մենք նշում ենք ենթաբազմության որոշ հատկություններ, որոնք բխում են սահմանումից.

X⊆ X (ռեֆլեքսիվություն);

→ X⊆ Z (անցանելիություն);

Բնօրինակ A բազմությունն իր ենթաբազմությունների նկատմամբ կոչվում էամբողջական սահմանված է և նշանակվում է I-ով:

Ցանկացած ենթաբազմություն Աես A բազմությունը կոչվում է A-ի պատշաճ բազմություն:

Բազմություն, որը բաղկացած է տվյալ X բազմության բոլոր ենթաբազմություններից և դատարկ բազմությունից∅ , կոչվում է բուլյան X և նշանակվում է β(X): Բուլյան հզորություն |β(X)|=2 n.

Հաշվելի հավաքածու- սա այնպիսի A բազմություն է, որի բոլոր տարրերը կարող են համարակալվել հաջորդականությամբ (m.b. անսահման) և 1, a 2, a 3, ..., a n , ... այնպես որ այս դեպքում յուրաքանչյուր տարր ստանում է միայն մեկ n թիվ և յուրաքանչյուր բնական թիվ տրվում է որպես թիվ մեր բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։

Բնական թվերի բազմությանը համարժեք բազմություն կոչվում է հաշվելի բազմություն։

Օրինակ. 1, 4, 9, ..., n ամբողջ թվերի քառակուսիների բազմություն 2 ներկայացնում է N բնական թվերի բազմության միայն ենթաբազմությունը: Բազմությունը հաշվելի է, քանի որ այն բերվում է մեկ առ մեկ համապատասխանության բնական շարքի հետ՝ յուրաքանչյուր տարրին վերագրելով բնական շարքի թվի թիվը՝ քառակուսին: որը դա է։

Կոմպլեկտները սահմանելու 2 հիմնական եղանակ կա.

թվարկում (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 , մ 2 , մ 3 ,...,մ n });

նկարագրություն - ցույց է տալիս այն բնորոշ հատկությունները, որոնք ունեն բազմության բոլոր տարրերը:

Կոմպլեկտը ամբողջությամբ սահմանվում է իր տարրերով:

Թվարկումը կարող է սահմանել միայն վերջավոր բազմություններ (օրինակ՝ տարվա ամիսների բազմություն)։ Անսահման բազմությունները կարող են սահմանվել միայն նրա տարրերի հատկությունները նկարագրելով (օրինակ, ռացիոնալ թվերի բազմությունը կարելի է սահմանել Q=(n/m, m, n) նկարագրելով∈ Z, m≠0):

Նկարագրությամբ հավաքածուն նշելու եղանակներ.

ա) նշելով գեներացման ընթացակարգըբազմության (կոմպլեկտների) նշումով, որի միջով անցնում է այս ընթացակարգի պարամետրը (պարամետրերը)՝ ռեկուրսիվ, ինդուկտիվ:

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - ֆիբոնիկի շատ թվեր։

(բազմաթիվ տարրեր x, այնպիսին, որ x 1 \u003d 1, x 2 =1 և կամայական x k+1 (k=1,2,3,... համար) հաշվարկվում է x բանաձեւով k+2 \u003d x k + x k + 1) կամ X \u003d)